Реферат: Хаос, необратимость времени и брюссельская интерпретация квантовой механики - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Хаос, необратимость времени и брюссельская интерпретация квантовой механики

Банк рефератов / Технологии

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 81 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

31 ХАОС , НЕОБРАТИМОСТЬ ВРЕМЕНИ И Б РЮС СЕЛЬСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ . КОНЦЕП ЦИЯ И.ПРИГОЖИНА Содержание 0. ВВЕДЕНИЕ 1. ХАОС 1.1 Классический динамический хаос : неустойчи вость по начальным условиям 1.2 Классический хаос : неинтегрируемые систем ы Пуанкаре 1.3 Статистическо е описание . Диссипативны й хаос 2. НЕОБРАТИМОСТЬ ВРЕМЕНИ 2.1 Обратимость времени в классической и квантовой механике 2.2 Роль необратимости в статистической м еханике . Потоки корреляций 2.3 Проблема несводимого описания 3. БРЮССЕЛЬСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 3.1 Альтернативные интерпретации квантовой м еханики 3.2 Неунитарная эволюция и несводимое описание 4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 0. ВВЕДЕНИЕ Начиная с времён Галилея и Ньютона современная физик а проделала огромный путь по нак оплен ию , систематизации , описанию и осмыслению факт ов об окружающем мире . Описание обычно дел алось на языке математики , и сама структур а этого языка зачастую позволяла совершать новые открытия в реальном мире (что сам о по себе достаточно удивительно ). За несколько столетий предсказательная роль физики стала настолько большой , что в наст оящее время нерешаемых "счётных " задач практич ески не осталось – по крайней мере , с точки зрения принципиального понимания проис ходящих явлений – ни в механике , ни в класси ч еской электродинамике , ни в квантовой теории. Физика продолжает развиваться , и за по следние десятилетия возрос интерес к таким её новым областям , как синергетика , динамиче ский хаос и самоорганизация . В этих ветвях физики зачастую используется оригинальный математический аппарат , а в сочетании с возрастающей мощностью компьютеров и возмож ностей "численного эксперимента " предсказательная сила их оказывается вполне "на уровне ", нар яду с традиционными физическими теориями. В то же время возникли некоторые пробл емы , лежащие скорее в области не математики , а философии физики . Различные физические теории – старые и новые – "не стыкуются " друг с другом в отношении определённых фундаментальных понятий и явлен ий – в частности , детерминизма и необрати мости времени. На макроскопическом уровне необратимост ь времени входит не только в "новую фи зику ", но , например , и в разработанную в прошлом веке термодинамику . Трудности возникают при перекидывании моста с классических м еханических моделей , основанных на обратимых во врем е ни гамильтоновых уравнениях , к явно диссипативному , необратимому , поведени ю реальных физических систем и теориям , их описывающим . Это один пример. Другой пример физической проблемы философ ского плана – возникновение хаотического пов едения у простых систем, описываемых дет ерминистскими уравнениями движения . И вновь – существующие теории хаоса вполне эффективн о работают и описывают такие системы , но "моста " к классической части физики нет . Откуда берётся хаос в детерминированных си стемах ? Данная работа посвящ ена взглядам на эти вопросы , развиваемым так называемой "брюссельской школой ", идейным руководителем кот орой является известный биофизик , синергетик , лауреат Нобелевской премии по химии за 1977 г . Илья Пригожин. Основная особенность научной концепции , р азв иваемой И.Пригожиным – необратимость времени на микроскопическом уровне . Не отрица я ни законов , ни результатов традиционной физики , Пригожин предлагает новую интерпретацию этих результатов . Технически это выражается как поиск решений всё тех же уравнений ( уравнений Гамильтона , Лиувилля , Шрёдингера и т. д .) – но в новом клас се функций, в новом функциональном пространстве . В разделе 1 настоящей работы рассматривают ся примеры классического динамического хаоса в простейших математических моделях сдвига Бе рнулли и преобразования пекаря (неустойчивос ть по начальным условиям ), а также фундаме нтальное свойство неинтегрируемости многих динам ических систем (теорема Пуанкаре ), также привод ящее к хаотическому поведению. Раздел 2 посвящён проблемам сводимости "мак роскопич еского " хаоса к "микроскопическому " и проблеме обратимости времени . Существенно , что и в классической механике , и в копенгагенской интерпретации квантовой механики описание необратимого поведения макроскопических систем исходя из обратимых микроскопическ и х законов наталкивается на сущес твенные трудности. В разделе 3 вкратце описаны основные и нтерпретации квантовой механики : копенгагенская , с татистическая , многомировая интерпретация Эверетта . Основное же внимание уделяется брюссельской интерпретации квантов ой механики , развиваем ой И.Пригожиным . Особенности её математического аппарата поясняются на простых примерах ди намических систем , уже рассмотренных в предыд ущих разделах . Общая концепция неунитарной эв олюции приводит к тому , что единственно ад екватным ст а новится статистическое оп исание систем – как классических , так и квантовых . Для случая последних проясняются некоторые известные парадоксы известных инте рпретаций квантовой механики , связанные с рол ью внешнего наблюдателя. К сожалению , идеи И.Пригожина тре буют для своего изложения (даже в популярном виде ) существен ного использования математического аппарата , что привело к некоторой перегруженности текста формулами . Автор , однако , надеется , что "лес " за "деревьями " не скрылся , и основные положения физическо й концепции Брюссель ской школы нашли отражение в настоящей ра боте. 1. ХАОС Их либе жизнь и обожаю хаос... И.Бродский , "Два часа в резервуаре " 1.1 Классический динамический хаос : неустойчи вость по начальным условиям Хаотическое поведение может возника ть даже в очен ь простых системах , например , из физических моделей – в колебаниях сферического маятн ика с двумя степенями свободы . Мы для начала рассмотрим даже ещё более простые математические модели с дискретным временем – сдвиг Бернулли и преобразовани е пекаря. Сдвиг Бернулли представляет собой отображ ение в одномерном пространстве на интервале (0,1) по зако ну x n+1 =2x n (mod1). Это уравнен ие движения детерминистично : по заданному x n однозначно вычисляется x n+1 . При этом , однако , сдвиг Бернулли не являетс я обратимым отображением . Симметрия во времени нарушена ещё на уровне уравнения движения . Этим сдвиг Бернулли отличается от динами ческих систем с обратимыми уравнениями движен ия. Сдвиг Бернулли представляет собой пример детерминистического хаоса . Можно пре дста вить примеры последовательностей , начинающихся с какого-нибудь произвольного числа , например : 0.13; 0.26; 0.52; 0.04; 0.08; 0.16; 0.32; 0.64; 0.28... и 0.14; 0.28; 0.56; 0.12; 0.24; 0.48; 0.96; 0.92; 0.84... – как видим , незн ачительное отличие в начальных усл овиях уже на 4-м шаге порождает существенн ое различие траекторий , а в дальнейшем их поведение совершенно различно . Легко показ ать , что со временем разойдутся траектории любых двух сколь угодно близких точек . Запишем число x в виде двоичной дроби : x=0.u – 1 u – 2 u – 3 ...u – k ...=u – 1 /2 + u – 2 /2 2 + u – 3 /2 3 + ... + u – k /2 k + ... Описанное в ыше отображение соответствует сдвигу u – k '=u – (k+1) , откуда становится понятным название "сдвиг Бернулли ". Видно , что нулевой разряд числа при это м т еряется , что соответствует не-взаимоодн означности отображения. Описание эволюции динамической системы ти па сдвига Бернулли в терминах траектории неадекватно , так как для адекватности траекто рия должна оставаться "почти одной и той же " при незначительном из менении нача льных условий. В данном же случае имеет смысл об ратиться к статистическому описанию , введя пл отность вероятности (x) пребывания сис темы в каждой точке x интервала (0,1) . Отображение представляет собой опера тор U , дейст вующий на эту функцию : n+1 =U n (x)= ( n (x/2)+ n ((x+1)/2) ) / 2. Оказывается , что при многократном примене нии оператора отображен ия к произвольному распределению плотности вероятности оно стре мится к константе : n =U n 0 (x) (x)=const. В дальнейшем мы ещё вернемся к отображению Бернулли и свойствам его оператора , а пока рассмотрим другую простую динамическую систему , теперь уже двумерную , называемую преобразованием пекаря : Правило , опр еделяющее преобразование пекаря , очень просто . Сначала квадрат со стороной , равной 1, сплющивается в пр ямоугольник длиной 2 и высотой 1/2 , затем правая половина полученного прямоугольника накладывается на левую , обра зуя новый квадрат . Процесс в чём-то аналогичен размешиванию теста , отсюда и наз вание. В отличие от сдвига Бернулли преобраз ование пекаря обратимо во времени . Однако оно точно так же порождает хаотическое дв ижение , связанное с неустойчивостью по началь ным у словиям. Преобразование пекаря сводится к сдвигу в двусторонней двоичной последовательности : x0y = ....u – k... u – 3 u -2 u – 1 u 0 u 1 u 2 ...u k ...., u k ' = u – (k+1) . Видно , что при этом никакие двоичные разряды не теряются , что и соответствует обратимости преобразования пекаря во в ремени. Аналогично сдвигу Бернулли , преобразование пекаря порождает динамический хаос , и описа ние движения точки в терминах траекторий также неадекватно. В случае преобразования пекаря описание эволюции системы в статистических терминах даже бол ее "физически осмысленно ", чем для сдвига Бернулли . Дело в том , что теперь , в двумерном случае , можно рассмат ривать координатную плоскость как фазовое про странство некоторой динамической системы с од ной степенью свободы : ось x соответствует координате , а о сь y – импульсу . Аналогия с "физическими " динамичес кими системами усиливается ещё и тем , что выполняется теорема Лиувилля : сохраняется об ъём в фазовом пространстве . Другими словами , взяв ансамбль точек внутри некоторой облас ти и проделав произвольное колич ество преобразований пекаря , мы обнаружим тоже са мое количество точек внутри некоторой другой области (форма её при этом очень силь но изменится и станет крайне замысловатой ). Объём этой области (в нашем двумерном с лучае ему соответствует площадь ) останетс я неизменным. Несмотря на обратимость преобразования пе каря во времени , эволюция при t + и при t – оказывается разли чной [1,c.114]. Кроме описанных выше , существует ещё м ного сравнительно простых моделей динамического хаоса . Однако мы воздержимся от их по дробного рассмотрения , и перейдём теперь к причинам , лежащим в основе непредсказуемого поведения физических систем. 1.2 Классически й хаос : неинтегрируемые системы Пуанкаре Чем простое отличается от сложного ? Тр адиционный ответ содержит ссылку на иерархию . На одном конце шкалы мы находим таки е объекты , как маятник , подчиняющийся простым детерминистским законам . На другом конце шкалы н аходятся люди и их сообщества . Между этими полюсами можно мысленно впис ать целую иерархию "комплексификации " – возни кновения сложного из простого . В действительн ости же дело обстоит даже более тонко : простое и сложное могут сосуществовать вме сте , не будуч и связаны между соб ой иерархически . Что касается человеческих сообществ , теор ия их поведения крайне трудно поддаётся х оть какой-нибудь математизации и заслуживает отдельного рассмотрения , вне рамок настоящей работы . Пример же хаотического поведения прос тей ших физических систем типа маятника будет рассмотрен ниже. При исследовании того , как простое отн осится к сложному , обычно широко используется понятие аттрактора , то есть конечного сос тояния или хода эволюции диссипативной систем ы . Смысл этого понятия был глубоко п реобразован современной физикой и математикой . В прошлом считалось , что все системы , эв олюция которых связана с существованием аттра ктора , одинаковы . Ныне понятие аттрактора связ ывают с разнообразием диссипативных систем. Идеальный маятник без тре ния не имеет аттрактора и колеблется бесконечно . С другой стороны , движение реального маятника – диссипативной системы , движение которой включает трение , – постепенно останавливается в положении равновесия . Это положение явл яется аттрактором . Аналогичным о бразом , аттрактором является и состояние термодинам ического равновесия : ансамбль из миллиардов и миллиардов частиц , образующих изолированную систему , эволюционирует к состоянию равновесия , описание которого зависит лишь от немногих параметров , таких как т е мпература и давление. Идеальный маятник служит примером так называемой структурной неустойчивости : в отсутс твие трения аттрактор не существует , но вв едение даже самого незначительного трения изм еняет движение маятника и вводит аттрактор. Чтобы представить аттрактор геометричес ки , обычно вводят пространство , размерность ко торого совпадает с числом переменных , необход имых для описания системы . Это могут быть координаты , импульсы , различные термодинамические переменные . Во введённом пространстве равнов есное с о стояние диссипативных систем соответствует точечному аттрактору . То же относится и к стационарным состояниям сист ем , близких к термодинамическому равновесию и удовлетворяющим теореме о минимальном произв одстве энтропии . Во всех случаях , каково б ы ни было п ервоначальное приготовле ние системы , её эволюция может быть описан а траекторией , ведущей из точки , которая п редставляет начальное состояние , к аттрактору . Таким образом , конечная точка – аттрактор – представляет собой финальное состояние всех траекторий. Н е все диссипативные системы прив одят к одной-единственной конечной точке . Напр имер , сильно неравновесная диссипативная структур а , известная под названием "химические часы ", эволюционирует не к какому-нибудь состоянию , а к устойчивому периодическому режиму. Такая ситуация приводит к необходимости об общения идеи аттрактора : аттрактор более не точка , а линия , описывающая периодическое во времени изменение концентрации химических ве ществ . Примеры подобных аттракторов легко най ти , например , и в радиофизике – им и являются предельные циклы автогенераторов , – и во многих других разделах естес твознания. Система с предельным циклом остаётся предсказуемой и потому допускает простое опис ание . Но за этой простотой кроются неожида нные свойства . Нетрудно представить себе х имическое равновесие – множество химичес ких процессов , компенсирующих друг друга подо бно тому , как в состоянии демографического равновесия рождаемость компенсирует смертность . Но воображение бессильно представить себе , как огромные количества молекул , вза и модействующих только через столкновения , начинают вдруг действовать "дружно " – так , что среда периодически изменяет свой цвет. В других случаях , пытаясь построить из ображение аттрактора , мы получим не точку или замкнутую линию , а поверхность или объ ём . Пов оротным же событием стало откры тие аттракторов , не относящихся к столь пр остым геометрическим объектам – так называем ым странных аттракторов . В отличие от лини и или поверхности , странные аттракторы предст авляют собой фрактальные объекты , характеризующие ся дробной размерностью. Странные аттракторы были обнаружены в поведении многих динамических систем , описываем ых детерминистическими уравнениями движения . Напр имер , они возникают для так называемого сф ерического маятника – обыкновенного грузика на нитке , кото рый совершает колебания не в плоскости , а по поверхности полусферы . При внесении возмущений в виде колебаний точки подвеса в некоторый критический мо мент (зависящий от частоты возмущения ) движени е маятника становится хаотическим , а его т раектория описывае т ся странным аттрак тором [1, с .83]. Корреляционный анализ временны 'х последов ательностей , характеризующих работу человеческого мозга , изменения климата на планете за миллионы лет и курса акций на бирже т акже приводит к обнаружению странных аттракто ров . Впро чем , при наличии огромного ко личества внешних причин , влияющих на поведени е всех этих систем , случайность их поведен ия вроде бы удивления не вызывает , поэтому пока обратим внимание на более загадочно е явление . Откуда возникает хаотическое повед ение в случ а е сферического маятни ка ? Как было показано выше , хаотическое по ведение отображений типа сдвига Бернулли связ ано с неустойчивостью по начальным условиям , а необратимость их во времени – с потерей информации при сдвиге двоичной зап иси числа . Можно , однако , в озразить , что приведённые примеры отображений несколько ис кусственны , так как в природе не встречает ся подобных дискретных процессов , да и "вы числительной мощности " природы не хватит на выполнение столь мудрёной операций , как мод ульная арифметика . Оказыва ется , однако , что и на у ровне решения обычных уравнений движений (выт екающих из законов Ньютона ) для того же маятника возможно получение неустойчивых решен ий , связанных с так называемой неинтегрируемо стью системы по Пуанкаре. Основная проблема классической механики состоит в расчёте движения взаимодействующих тел на основе их уравнений движения ( в частном случае , например , это может быть закон Ньютона F =m a ). Обобще ние ньютоновской механики на более сложные системы показало , что более удобной формой описания является не зависимость от времени пространственной траектории системы (в нашем примере – координаты ), а движение точки , изображающей систему , в пространстве вдвое большей размерности , чем обычное "физи ческое ". В общем случае состояние динамической систе м ы описывается координатами q 1 , ..., q s , которые являются независи мыми переменными , и соответствующими им импул ьсами p 1 , ..., p s . Преимуществом такого подхода является существенное упрощение уравнений движения. Центральная величина всей гамильтоновой м ехани ки – функция Гамильтона , или гам ильтониан – это , в простейшем случае , выраженная через координаты и импульсы энергия системы (Стро гое изложение гамильтоновой механики – см . [3]). В гамильтоновском описании число независимых переменных удваивается , но уравн ения движения существенно упрощаются . Рассмотрим систе му N точек . Ка ждой из 3N к оординат N точе к соответствует каноническое уравнение движения . Аналогично , каждому из 3N импульсов соответствует каноническое уравнени е движения вида . В качестве частн ого сл учая рассмотрим свободные , то е сть невзаимодействующие , частицы . Гамильтониан для них зависит только от импульсов (потенциа льной энергии нет ). Тогда из канонических уравнений следует , что импульсы постоянны во времени ( ), и что координаты , задающие положение частиц , – линейные функ ции времени . Этот тривиальный случай играет , тем не менее , весьма важную роль в общей проблеме интегрирования гамильтоновых урав нений движени я. Чтобы ввести понятие интегрируемой систем ы , обратимся к другому простому примеру – маятнику на пружинке , одномерному гармоничес кому осциллятору . Гамильтониан для него имеет вид , где k – жёсткость пружины, q – смещение груза о т положения равновесия . Чтобы упростить уравн ения движения , введём новые переменные и J вместо старых q и p : , , где – собственная частота колебаний осциллятора . Переменная называется угловой пе ременной , J – переменной действия . В переменных угол– действие гамильтониан принимает простой вид : H= J . Он тепер ь зависит только от нового импульса – переменной действия . В результате , как и в случае свободных частиц , , то есть переменная действия явля ется инвариантом движения . Что же касается угловой переменной , то , она меняется линейно по вре мени. Переход от переменных p, q к переменным J, называется каноническим преобразованием . В данном случае оно позволило исключить из гамильтониана член , ответственн ый за потенциальную энергию . Аналогичное преобразование можно иногда проделать и в случае системы со многими степенями своб оды , исключив из гамильтониана межчастичное в заимодействие , и выразить движение в циклических переменных . Их название относится к периодическому хар актер у движения , который делается явным в таких переменных. Особую важную роль играют частоты сис темы 1 , 2 , ..., n . Именно через эти частоты мы приходим к понятию резон анса , имеющего решающее значение для т еоремы Пуанкаре. Движение интегрируемой системы с двумя степенями свободы можно представить на тор е . Возможны две ситуации . Если для некотор ых целых n 1 и n 2 выполняется условие n 1 1 + n 2 2 =0 , то есть частоты соизмеримы , мы имеем резонанс , и движение на торе периодическое – траектория замкнутая . Если ж е эта сумма ни при каких комбинациях n 1 и n 2 не равна нулю , то траектори я навивается на поверхность тора и никог да не замыкается . В конце концов , к ак показано Пуанкаре , такая траектория проход ит сколь угодно близко к произвольной точ ке на поверхности тора . Траектория при это м называется всюду плотной , а движение – квазипериодическим . Квазипериодическое движение оче н ь сложно выглядит , но на с амом деле является вполне детерминированным. До Пуанкаре полагалось , что все динами ческие системы являются интегрируемыми . Однако в 1889 г . Пуанкаре показал , что в общем случае невозможно получит каноническое преобразо вание , сохра няющее вид гамильтоновых урав нений , которое приводило бы к циклическим переменным . Например , система двух тел (Земля – Солнце ) интегрируема , а вот система т рёх тел (Земля – Солнце – Юпитер ) неи нтегрируема . Короче говоря , подавляющее большинств о динамическ и х систем неинтегрируемы. Данная работа не посвящена анализу ма тематических методов , которыми Пуанкаре доказывал свою теорему . Отметим только , что он с формулировал свой вопрос в терминах теории возмущений , то есть пытался для гамильтониа на вида H(J, ) = H 0 (J)+ V(J, ) определить но вые переменные действия J' вида J' = J + J 1 + 2 J 2 + ... , аналитически переходящие в исхо дные при стремлении константы связи (параметра , определяющего интенсивность взаи модействия ) к нулю . Если такая замена возм ожна , то мы можем исключить потенциальную энергию возмущённой системы и ввести новый гамильтони ан , зависящий только от J' . Интегрирование во змущённой системы было бы в этом случае столь ж простым , так как новые переменн ые действия были бы постоянными движения . Однако Пуанкаре показал , что такая замена возможна далеко не всегда. Предположим , что Пуан каре удалось бы доказать инт егрируемость всех динамических систем . Это оз начало бы , что все динамические движения и зоморфны движению свободных (не взаимодействующих ) частиц . Разумеется , такая модель не остав ляет никакого места для возможности макропроц есс о в , которые мы наблюдаем ежемин утно . В интегрируемом мире не нашлось бы места ни для самоорганизации , ни для когерентности (в случае , например , диссипативного хаоса ). Пуанкаре не только доказал неинтегрируемо сть , но и указал на её причину , а и менно – на сущ ествование резонансов между степенями свободы системы . Именно резон ансы сильно связывают степени свободы и н е дают возможность исключить взаимодействие . В качестве примера рассмотрим систему с д вумя степенями свободы , гамильтониан которой имеет вид H = H 0 (J 1 ,J 2 )+ V(J 1 ,J 2 , 1 , 2 ), представимый в виде суммы невозмущённого интегрируемого гамильтониана и малого возмущ ения V . Как показал Пуанка ре , теория возмущений неизбежно приводит к поя влению членов с "оласными " знаменателями вида 1/(n 1 1 +n 2 2 ) . Если частоты соизмеримы и с уществуют резонансы , то члены ряда теории возмущений расходятс я , и им приходится приписывать значение , равное бесконечности . Но это означает , что в физике описания ч то-то "не так "! Проблема ма лых знаменателей была известна ещё астрономам в XIX в . Теорема Пуанкаре показала , что о сновная трудность – появление расходимо с тей в решении задач динамики – не мо жет быть устранена и делает невозможным в ведение циклических переменных для большинства динамических проблем , начиная с проблемы тр ёх тел. Открытие неинтегрируемости вызвало определён ный пессимизм и недоумение в рядах м ногих физиков . Макс Борн , например , зам етил : "Было бы весьма странно , если бы Природа укрылась от дальнейшего прогресса поз нания за аналитическими трудностями проблемы многих тел ". Только с появлением работ Кол могорова , продолженных Арнольдом и Мозером (т а к называемой теории КАМ ), проблем у неинтегрируемости перестали оценивать как с опротивление Природы прогрессу знания , а нача ли рассматривать как новый отправной пункт дальнейшего развития динамики. Теория КАМ рассматривает влияние резонанс ов на траектории . Простой случай гармони ческого осциллятора с постоянной частотой , не зависящей от переменных действия J, является исключением : частоты , вообще говоря , зависят от значений , принимаемых переменными действия . А посему в одних точках фазового прост ранства дина м ической системы резонанс может существовать , а в других – нет . Резонансы соответствуют рациональным соотношени ям между частотами , классический же результат теории чисел говорит , что мера рациональн ых чисел по сравнению с мерой иррациональ ных равна нулю . Э т о означает , ч то резонансы встречаются крайне редко . Кроме того , в отсутствие возмущений , как было сказано выше , резонансы приводят к периодич ескому движению , а в общем случае мы и меем квазипериодическое движение (нерезонансные т оры ). Резюмируя , можно сказ а ть , что периодические движения – не правило , а исключение. (Интересно было бы предположить , какими путями развивалась бы эволюция жизни на Земле , если бы движение Земли вокруг Солнца не носило периодического характера . Во зможна ли , например , жизнь в услови ях планетной системы двойной звезды ? Автор р еферата полагает , что если "крайние " условия , в которые попадала бы такая планета , не были слишком уж жёсткими , то жизнь на шла бы возможность приспособиться и эволюция была бы всё-таки возможна . Однако все эти р а ссуждения основаны лишь на оптимизме автора и его вере в глубок ую приспособляемость всего живого к внешним условиям , и имеют крайне мало отношения к объявленной в заглавии теме работы ). При введении возмущений характер движения на резонансных торах резко и зменяетс я (по теореме Пуанкаре ), в то время как квазипериодическое движение изменяется незначит ельно , по крайней мере , при малом параметр е возмущения . Основной результат теории КАМ со стоит в том , что теперь мы имеем два сове ршенно различных типа траекторий : с легка изменившиеся квазипериодические траектории и стохастические траектории , возникшие при ра зрушении резонансных торов . Появление стохастичес ких траекторий подтверждается численными экспери ментами [1, c.127]. Теория КАМ не приводит к динами ческой теории хаоса . Её главный вклад в другом : она показала , что при малых знач ениях параметра мы имеем промежуточный режим , в котором сосуществуют траектории двух типов – регулярные и стохастические . В даль нейшем нас будет в основном интересовать то , что происходит в предельном случае , ко гда снова останется только один тип траек торий . Эта ситуация соответствует так называе мым большим системам Пуанкаре (БСП ) , к рассмотрению котор ых мы и переходим. При ра ссмотрении предложенной Пуанкар е классификации динамических систем на интегр ируемые и неинтегрируемы мы отметили , что резонансы встречаются редко . При переходе к БСП ситуация радикально изменяется : в БСП резонансы играют главную роль. Рассмотрим в качестве примера взаим одействие между какой-нибудь частицей и полем . Поле можно рассматривать как суперпозицию осцилляторов с континуумом частот . В отличи е от поля , частица совершает колебания с одной фиксированной частотой 1 . П еред нами – пример неинтегрируемой сис темы Пуанкаре . Резонансы будут возникать всяк ий раз , когда 1 = k . Ис пускание излучения обусловлено именно такими резонансными взаимодействиями между заряженной ч ас тицей и полем . Испускание излучения представляет собой необратимый процесс , связанный с резонансами Пуанкаре. Новая особенность состоит в том , что частота k есть непрерывная функция индекса k , соответствующая длинам волн осц илл ятора поля . Такова специфическая особенность больших систем Пуанкаре , то есть хаотических систем , у которых нет регулярных траектор ий , сосуществующих с хаотическими траекториями . БСП соответствуют в действительности большинст ву физических ситуаций , с к о торыми мы сталкиваемся в природе . Но БСП поз воляют также исключить расходимости Пуанкаре , то есть устранить основное препятствие на пути к интегрированию уравнений движения . Э тот результат , заметно приумножающий мощь дин амического описания , разрушает отож д е ствление ньютоновской или гамильтоновой механики и обратимого по времени детерминизма в духе Лапласа . Уравнения для больших систем Пуанкаре в общем случае приводят к п ринципиально вероятностной эволюции с нарушенной симметрией во времени . Более подробно в опросы необратимости времени рассмот рим в следующем разделе. 1.3 Статистическо е описание . Диссипативный хаос Можно описывать мир в терминах траект орий (в классической физике ) или волновых функций (в квантовой механике ). Почти сто л ет назад Гиббс и Эйнште йн ввели е щё один тип описания – статистическое оп исание в терминах ансамблей . Описание отдельн ой динамической системы заменяется описанием ансамбля систем , которые все соответствуют од ному и тому же гамильтониану и различаютс я только начальными условиями эволюци и . Для введения ансамблевой точки зрения б ыли две основные причины . Во-первых , описание в терминах ансамбля позволило удобно вычис лять средние значения . Во-вторых , понятие ансам бля стало необходимым для описания системы , достигшей термодинамическог о равновесия . Оказалось , что термодинамические свойства мо жно понять только в терминах ансамблей , но отнюдь не в терминах отдельных траектори й или волновых функций . Ансамблевый подход применим ко всем динамическим системам , инт егрируемым и неинтегрируемым, устойчивым и неустойчивым. Основной величиной в ансамблевом подходе становится распределение вероятностей . Однако ничто не мешает вернуться как к предел ьному случаю . Подход Гиббса– Эйнштейна – аль тернативный , но эквивалентный способ представления законов фи зики , он является сводим ым статистическим описанием. Концепцию несводимых статистических описаний , развиваемую школой И.Пригожина , мы подробнее рассмотрим в третьем разделе . Пока что вкратце обратимся к классическому диссипативно му хаосу , для которого стат истическое описание является единственно возможным подходом . Введём также некоторые понятия , необходимые для дальнейших рассуждений о статистическом описании . (Подробнее – см . [4]). Как и прежде , каждому состоянию систем ы соответствует точка в фазовом прос т ранстве . Но в теории ансамблей Гиббса сист ема как целое представима лишь "облаком " т очек в фазовом пространстве . Это "облако " о писывается непрерывным распределением плотности вероятности (q 1 ,...,q s ,p 1 ,...,p s ) в фазовом про с транстве . Каждая точка фазового простран ства движется во времени по своей динамич еской траектории , которые никогда не пересека ются . Две первоначально различные точки навсе гда остаются различными . Это фундаментальное свойство приводит к теореме Лиувилля , к о торая уже упоминалась при описан ии преобразования пекаря . Эта теорема утвержд ает , что плотность ведёт себя как несжимаемая жидкость : для любой динамической системы объём области , занятой представляющими точками в фазовом про странстве , сохраняется в ходе эволюции . Однако теорема Лиувилля отню дь не исключает изменения формы области , з анятой представляющими точками. Вернёмся к хаосу . Примеры хаотически в едущих себя динамических систем , описанные вы ше , относительно новы и , как уж е уп оминалось , не всегда "физичны ". Термодинамика же и статистическая физика примерно на сто лет раньше столкнулись с проблемой хаоти ческого поведения систем . За примерами далеко ходить не следует – окружающая нас атмосфера ведёт себя вполне хаотически , п редсказание прогноза погоды на сколько-нибудь большой срок – задача огромной сложности (хотя в принципе и небезнадёжная ). Однако даже в атмосфере встречаются о тносительно устойчивые образовани я и на некотором уровне описания поведение атмосферы не совсем хаоти чно . Другим примером того , что (термодинамическ ий ) хаос и беспорядок – в физике не синонимы , являются широко известные ячейки Бенара (настолько известные , что автор почему-т о совершенно не желает в очередной раз давать описание этого явления – см ., н а пример , [1, с .68]). И ячейки Бенара , и атмосферные вихри , и многие другие подоб ные явления относятся к так называемым ди ссипативным структурам – структурам , существован ие которых напрямую обусловлено наличием в системе процессов диссипации энергии и про из в одства энтропии. Таким образом , простое и сложное , дете рминированное и хаотическое поведение сосуществу ют в современной физике рядом . Закончим эт от очень краткий обзор словами И.Пригожина [1, с .59]: "...хотелось бы подчеркнуть замечательный дуализм , которы й мы обнаруживаем в природе , – сосуществование равновесных ситуаций типа излучения абсолютно чёрного тела и высокоорганизованных объектов , одним из наиб олее замечательных среди которых , по-видимому , является человеческий мозг с его 10 11 связанных между соб ой нейронами . Порядо к и беспорядок не могут быть поняты в терминах Больцмана : порядок как менее вер оятное состояние , беспорядок как более вероят ное состояние . И порядок , и беспорядок явл яются неотъемлемыми составными частями и прод уктами коррелированных э в олюционных п роцессов ". 2. НЕОБРАТИМОСТ Ь ВРЕМЕНИ Меж тем вот палец твой , он на пульсе . А во т часы, Они идут , и довольно быстро – я проверял... М.Щербаков , "Фармацевт " 2.1 Обратимость времени в классической и квантовой механике Центральная тема размыш лений И.Пригож ина и направление размышлений "брюссельской ш колы " состоит в решении дилеммы : отрицание – неотрицание стрелы времени . Выражение "ст рела времени " было введено в 1928 г . Эддингтон ом в его книге "Природа физического мира ". В этой книге Эддингто н предска зывал конец господства в физике "первичных " (детерминистических ) законов и наступление эры "вторичных " (статистических ) законов , описывающих необратимые процессы. В том виде , в каком время входит в фундаментальные законы физики от классической дина мики до теории относительности и кван товой физики , время не содержит в себе различия между прошлым и будущим . Для м ногих физиков это уже почти вопрос веры : до тех пор и поскольку речь идёт о фундаментальном уровне описания , "стрелы врем ени " не существует. Но на макроуровне , в мире объектов , с которыми мы имеем дело ежедневно , на уровне живых организмов необратимость време ни сомнений ни у кого не вызывает . Про цессы старения , распада , рассеяния энергии неи збежны . Как сказано в пародии на известную песню , "ф а рш невозможно провернут ь назад ". Стрела времени на самом деле присутствует и во всех физических теориях , описывающих реальный мир . Но присутствует о на там не в виде членов в уравнениях , а в виде примечаний и комментариев к этим уравнениям , представляя соб о й высказывания типа : "...Из этих двух решений мы должны выбрать первое , поскольку оно соответствует прямому направлению хода време ни " или "...В формуле (...) первый член отвечает за прямое , а второй – за обратное рассеяние , в реальности не наблюдающееся , п оэтому мы будем рассматривать то лько решения вида (...)". В более явном виде стрела времени появляется в термодинамике , в различных фор мулировках её второго начала и в H-теореме Больцмана . Удивительным оказывается то , что при попытке анализировать такие пр оцес сы , как диффузия или вязкость – вполне макроскопически необратимые – физика успешно их описывает с помощью обратимых во времени микропроцессов. В основе классической механики (историчес ки , даже если и не логически ) лежит зак он Ньютона . Он обратим во вр емени и детерминистичен . Закон Ньютона можно рассма тривать как прототип некоего Универсального З акона Природы. Понятие закона природы заслуживает некото рого отступления . Мы настолько привыкли к нему , что оно воспринимается как нечто сам о собой разумеющееся . Однако в других взглядах на мир (не всегда вполне научн ых – с нынешней точки зрения ) такая к онцепция "закона природы " отсутствует . По Арист отелю , живые существа не подчиняются никаким законам , их деятельность обусловлена их с обственными внутренними прич и нами . Ка ждое существо стремится к достижению своей собственной истины . В Китае господствовали взгляды о спонтанной гармонии космоса , своего рода статистическом равновесии , связывающем воедино природу , общество и небеса . Примеры можно множить и множить... И дея о том , что в мире мог ут действовать законы , вызрела в недрах за падной мысли . Отчасти она восходит к стоик ам , несмотря на ту роль , которую они от водили року . Немаловажную роль , вероятно , сыгра ли и иудеохристианские представления о Боге как абсолютном В с едержителе , уста навливающем законы для всего сущего . Так и ли иначе , открытие неизменяющихся детерминистичес ких законов как бы сближало человеческое знание с божественной , вневременной точкой зр ения. Намеченная программа оказалась необычайно успешной . Однак о на протяжении всей истории западной мысли неоднократно возникал один и тот же вопрос : как следует п онимать новое , играющее центральную роль , в мире , управляемом детерминистическими законами ? Впервые этот вопрос возник задолго до рождения современной наук и . Ещё Плато н связывал разум и истину с доступом к "бытию ", неизменной реальностью , стоящей за "становлением ". Становление , поток воспринимаемых нами явлений , относится к сфере "чистого мнения ". Однако Платон сознавал парадоксальност ь такой позиции , поско л ьку она принижала жизнь и мысль , которые представал и как неотделимые от процесса становления . В "Софисте " Платон приходит к заключению , что нам необходимы и бытие , и становлен ие. С той же трудностью столкнулись и атомисты . Чтобы допустить возникновение нов ого , Лукрецию пришлось ввести "клинамен ", возмущающий детерминистическое падение атомов в пустоте . Обращение к клинамену часто по двергалось критике как введение чужеродного э лемента в схему атомистического описания . Но и через два тысячелетия мы встречаем аналогичное утверждение в работе Эйнштейна , посвящённой самопроизвольному испусканию света возбуждённым атомом , где говорится , чт о "время и направление элементарных процессов определены случайным образом " [6, с .386] И клинамен , и спонтанное испускание св ет а относятся к событиям , соответствующим вероятностному описанию . События и вероятнос ти требуются и для эволюционного описания , будь то дарвиновская теория эволюции или история человечества . Встаёт вопрос : можно л и пойти дальше , чем Лукреций и Эйнштейн , "д о бавившие " события к детерминисти ческим законам ? Можно ли видоизменить само понятие физических законов так , чтобы включ ить в фундаментальное описание природы необра тимость , события и стрелу времени ? Для ответа на этот вопрос обратимся сначала к той области физики , которая имеет дело с "наиболее необратимыми " из встречающихся в повседневной жизни системами – а именно , к термодинамике и статисти ческой физике. 2.2 Роль необратимости в статистической м еханике . Потоки корреляций Теория ансамблей Гиббса и Эйншт ей на предназначалась главным образом для достиж ения лучшего понимания равновесной термодинамики в терминах равновесных ансамблей . Коль ск оро равновесное распределение задано , мы може м вычислить все термодинамические свойства : д авление , удельную теплоёмкос т ь и т .д . Мы можем даже выйти за рамки микрос копической термодинамики , поскольку ничто не мешает нам вычислять флуктуации равновесных в еличин . По общему мнению , в обширной облас ти равновесной "статистической " термодинамики не осталось каких-либо концептуал ь ных трудностей , вычислительные же легко снимаются численным моделированием . Таким образом , применени е теории ансамблей к равновесным распределени ям оказалось весьма успешным . Но термодинамические величины , "соответствующи е " необратимому характеру времени – так ие , как энтропия – обладают фундаментально важными свойствами и вне равновесия . Встаёт вопрос : как можно понять в терминах т еории ансамблей приближение к равновесию ? При описании равновесного состояния основ ной величиной является распределение скорост ей f(v,t) . М икроскопическим аналогом энтропии Больцман объяв ил знаменитую H- функцию : Больцман по казал , что для разрежённых газов распределени е скоростей эволюциониру ет до тех пор , пока не достигает равновесного распределени я скоростей Максвелла-Больцмана , при этом H(t) монотонно убы вает. Компьютерное моделирование и численные эк сперименты подтверждают утверждение Больцмана [1, с .167], то есть наличие необратимых проце с сов на микроскопическом уровне . Однако такая проверка не может нас полностью удовлетв орить : всегда можно списать появляющуюся необ ратимость на счёт неточности вычислений (анал огично потере информации при сдвиге Бернулли , рассмотренном выше ). Теорема Больц мана подвергалась критик е (в частности , со стороны Лошмидта ) на том основании , что она противоречит обратимым во времени законам динамики . Лошмидт выдв инул возражение , основанное на том , что об ращение всех скоростей означало бы , что дл я каждой "больцманов с кой " эволюции к равновесию существовала бы другая эволюция , уменьшающая энтропию. Вероятно , Лошмидт был прав . На то е сть серьёзные основания , лежащие в основе той самой гамильтоновой механики , на базе которой строилась классическая статистическая ме ханика. Дело в том , что интегрируемые системы не могут приближаться к равновесию , поскольку для таких систем все переменны е действия J 1, ..., J s являются инвариан тами движения : если первоначально есть функция только переменных дейс твия , то эта функция остаётся постоянной во времени и не может эволюционировать в функцию только энергии , как должно быть дл я равновесного состояния . Пытаясь увязать детерминизм поведения дин амических систем с необратимостью систем стат истических , Максвел л и Больцман ввели понятие эргодичности – то есть свойства системы с течением времени сколь угодно б лизко подходить к любой точке на энергети ческой поверхности . При этом в пределе , пр и больших временах , средние от динамических свойств по времени совпадают со средними по ансамблю . Эргодическая теория и различные её обобщения позволяют делать заключения о поведении динамических систем пр и больших временах (при этом безразлично , t или t – ), но не дают никакой информации относительно поведения системы пр и конечных временах . Кроме того , интегрируемые системы , вообще говоря , неэргодичны. Между тем , именно пов едение систем на конечных временах является центральной математической проблемой необратимости . Нужна о бобщённая спектральная теория , включающая в с пектр такие диссипативные свойства , как време на жизни , времена релаксации и т.д . (Брюссел ьская школа как ра з и предлагае т такое комплексное спектральное представление для неустойчивых динамических систем – об этом сказано в следующих разделах данной работы ). После возражений Лошмидта для описания различия между "больцмановскими " и "антибольцман овскими " начальным и состояниями была пред принята попытка воспользоваться корреляциями в скоростях частиц , возникающими в результате межчастичных столкновений . Последовательные столкн овения порождают парные , тройные ,..., n – арные корреляции межд у частицами . Обращение скорости привело бы к столкновениям , разрушающим корреляции. В терминах функций распределения это можно выразить так : проинтегрируем по координ атам функцию ( q 1 , ..., q n , ..., p 1 , ..., p n ,, t ). Получим в результате функцию 0 ( p 1 , ..., p n ,, t ), завис ящую только от импульсов . В ней не сод ержится никакой информации о положении частиц в пространстве , поэтому её можно назвать вакуумом корреляций . Можно также определить функцию , содержащую информацию о положении одной i- й частицы , функцию 2 ( q i .,q j ,, p 1 , ..., p n ,, t ), описывающую две частицы и т.д . Функция 2 содержит уже инф ормацию о парных столкновениях , 3 – о тройных , ... В результате , мы можем разложить на вакуум корреляций 0 и на состояния корреляц ий . Отличие в квантовой механ ике , как обычно , связано с числом независи мых переменных . Матрице плотности со ответ ствует матричное представление – например , в терминах импульсов – (p 1 ,...,p n ,p 1 ',...,p n ') . Мы имеем диагональные элементы с p 1 =p 1 ', p 2 =p 2 ', ... и недиагональные , у которых по крайней мере одно из этих соотношений нарушено . В квантовой механике вакууму корреляций 0 соответствует диагональным элементам матрицы , а – н едиагональным элементам , в которых переменных p 1 , p 2 , ..., p не равны соответственно p 1 ', p 2 ', ..., p ' . В результате взаимодействий различные состояния корреляций переходят друг в друга . (С точки зрения операторного формализма на матрицы p i действует супероператор Лиувилля – см . ниже ). Когда частица , уже коррелированная с другой частицей , сталкивае тся с третьей , возникает тройная корреляция , и т.д. Теперь нетрудно установить связь между потоком к орреляций и теоремой Пуанкаре . Интегрируемые системы – это системы , в которых мы можем исключить взаимодействие , поэтому исключается и поток корреляций . Сле довательно , если эволюция интегрируемой системы начинается с вакуума корреляций , в ходе эволюции ни к огда не возникнут двойные , тройные и т.д . корреляции . Потока к орреляций в интегрируемых системах не существ ует. В отличие от интегрируемых систем , в неинтегрируемых системах Пуанкаре существует непрерывный процесс рождения корреляций . Неинте грируемость озн ачает , что мы не можем исключить поток корреляций с помощью люб ого (канонического ) преобразования . Поток корреляци й , как и все необратимые процессы , носит внутренний характер. Кроме того , в неинтегрируемых системах вакуум корреляций становится зависящим от времени . Таким образом , делается заключе ние , что кинетические уравнения типа уравнени й Больцмана могут выполняться только для " неинтегрируемых " систем , как классических , так и квантовых. 2.3 Проблема н есводимого описания Эволюция во времени плотности ра спределения вероятно сти определяется уравнением Лиувилля , которое следует из классической гамильтоновой динамики . В операторной записи оно имеет вид при этом явный в ид оператора Лиувилля L может быть выведе н из гамильтониана . Следует отметить , что как и операторы квантовой механики , оператор Лиувилля эрмитов. Теория анса мблей Гиббса обобщается на случай квантовой теории с той лишь разницей , что в квантовой теории гиль бертово пространство содержит лишь половину переменных , входящих в классическое описание . Место плотности вероятности занимает матрица плотности , эволюция её во времени описывает ся уравнением Лиувилля– фон Неймана . Так как новый оператор Л иувилля действует не на волновые функции , а на матрицу плотности , которая сама по себе оператор , L обычно называют супероператором . Оператор L – эрмит ов , а пространство матриц плотности – гил ьбертово . [5] Использование операторного формализма позвол яет в статистической механике применять к классическим системам методы , разработанные для квантовых систе м : определение собственны х функций и собственных значений для опер атора Лиувилля. Как и в квантовой механике , мы мож ем рассмотреть задачу на собственные значения : Пр и этом , поскольку L – эрмитов оператор , его собственные значения l n действительны . Кроме того , из функций n > можно составить полную ортонормированную систему , по которой раскла дывается любая фу нкция распределения : . Эволюция же распределения во времени определяется соотношением (t)=U(t) (0)=e – iLt (0). Как и в квантовой механике , U(t) – унитарный опера тор , и поэтому . Таким образом , распределение вероятности разлагается в сумму не зависимо развивающи хся во времени мод , каждая из которых входит с весом c n , постоянным во вр емени . Поскольку собственные значения вещественны , каждая мода "вращается " в фазовом простра нстве . Единственное отличие от квантовой меха ники состоит в том , что в д анном случае каждая мода вносит свой вклад н епосредственно в вероятность , а не в амплитуду вероятности , как в квантовой механике. Проблема состоит в том , что решение уравнения Лиувилля для мат рицы плотнос ти в гильбертовом пространстве не описывает приближения к равновесию [1, с .166]. Мы сталкиваемся здесь с основной труд ностью теории необратимых процессов . Вращение по фазе сохраняет симметрию во времени . Ч тобы получить нарушение симметрии во вр емени , было бы необходимо иметь компле ксные собственные значения l n = l n ' + il n '' , тогда exp( – il n t)=exp( – il n 't)exp( – l n ''t) , и второй множитель порождает экспоненциальное затухание . Но это невозможно , поскольку мы имеем дело с э рмитовым оператором и испол ьзуем формализ м гильбертова пространства. Одна из возможностей , к принятию котор ой склоняются многие авторы , состоит в утв ерждении , что поскольку уравнение Лиувилля об ратимо во времени , необратимость возникает в результате грубой зернистости , то есть пр ибл ижённого описания . Но на микроскопичес ком уровне мы снова возвращаемся к парадо ксу времени . Решить его можно только двумя способами : выбрать в качестве исходных но вые уравнения движения , с самого начала со держащие необратимость , или отказаться от гил ьберт о ва пространства . Концепция Приг ожина реализует вторую возможность. Для интегрируемых классических систем решение задачи на собственные значе ния оператора L приводит к траекториям . В квантовой теории ансамблей ситуация аналогична . Если задача на собственные значения для гамильтониан а H решена , то мы можем решить её и для L и представить решен ие в терминах волновых функций . Для кванто вых систем с дискретным спектром никаких трудностей при этом не возникает , но при переходе к большим системам Пуанкаре (с непре рывным спектром и непрерывными множествами резонансов ) не существует уже кон структивного метода решения задачи ни для H , ни для L [1, с .164]. Отличие статистического описания , даваемого школой Пригожина , от классического эйнштейновск о-гиббсовского именно в том , что оно несводимо . Оно неприменимо к отдельной траектории . Это утв ерждение представляет собой строгий математическ ий результат , полученный в результате примене ния к анализу хаоса методов современного функционального анализа . Кроме того , в таком необр атимом вероятностном описании прошлое и будущее играют различные роли . Хаос приводит к включению стрелы времени в фундаментальное динамическое описание. Легко показать , что хаос , определяемый как обычно , приводит к несводимому вероятност ному описанию . Приг ожин обращает это у тверждение и выдвигает новое определение : все системы , допускающие несводимое вероятностное описание , по определению считаются хаотическими [1, с .9]. 3. БРЮССЕЛЬСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Э.Шрёдингер 3.1 Альтернативные интерпретации квантовой ме ханики Вероятно , квантовая механика – одна и з немногих , если не единственная работающая физическая теория , по поводу интерпретации которой н а фундаментальном уровне до сих пор ведутся содержательные споры . Данная работа посвящена краткому изложению позиции и сле дствий только одной из интерпретаций , однако автору кажется невозможным при этом не упомянуть самые распространённые альтернативные и н терпретации . (Более подробно – см .[2]). Наиболее известны следующие подходы к квантовой механике : – копенга генская интерпретация ; – статистическая интерпретация ; – "неоклассические " интерпретации со скры тыми параметрами ; – многомировая интерпретация ; – брю ссельская интерпретация , развив аемая школой Пригожина. Остановимся вкратце на каждой из этих интерпретаций . а ) Копенгагенская интерпретация является наиболее распространённой , но в то же врем я представляет (в силу исторических причин ) собой скорее конгло мерат различных под ходов , нежели монолитную концепцию . Двумя важн ейшими принципами являются общефилософский принц ип дополнительности Бора и постулат редукции волнового пакета. Принцип дополнительности первоначально возни к как истолкование соотношения неопр еделё нностей Гейзенберга . В дальнейшем Бор развил этот принцип как общенаучный и призывал к его применению в биологии , психологии и гуманитарных науках . Содержание его при мерно таково : никакая классически непротиворечива я система понятий не может описать р еальность , всегда существуют различные , в заимоисключающие и взаимодополняющие подходы , каж дый из которых отрицает другой . Только сов местное рассмотрение этих описаний может дать нам полную картину происходящих в мире событий. Постулат редукции волнового па кета описывает процесс наблюдения квантовой системы внешним наблюдателем и утверждает , что в таком процессе происходит переход волновой функции квантового объекта в одно из собственных состояний – то есть система переходит из смешанного состояния в чистое, и переход этот необратим . Собственно , в копенгагенской интерпретации этот постулат и является тем "примечанием ", вносящем нео братимость времени (см . раздел 2.1) в теорию . С постулатом редукции волнового пакета связано много дискуссий и парадоксов . Копенг а генская интерпретация квантовой механики неоднократно подвергалась критике за необходимос ть присутствия в ней наряду с квантовыми объектами сугубо классического внешнего набл юдателя. б ) Статистическая интерпретация , или интер претация статистических ансамбл ей , основана на предположении , что волновая функция кван товой системы описывает не индивидуальный объ ект , а ансамбль одинаковым образом приготовле нных объектов . При этом признаётся фундамента льный характер вероятностных предсказаний в к вантовой механике , и в этом смысле квантовомеханическое описание реальности считае тся полным . Вероятности того или иного рез ультата естественным образом даётся относительно- частотное толкование . С точки зрения статисти ческой интерпретации квантовая механика вообще не описыва е т индивидуальные кванто вые объекты. Нужно заметить , что в рамках статистич еской интерпретации вводится постулат о том , что в процессе измерения макроприбор выд еляет из статистического ансамбля некоторый п одансамбль , соответствующий данному результату из мер ения . Этот постулат фактически занимае т место постулата редукции в копенгагенской интерпретации. в )Неоклассические интерпретации квантовой механики исходят из того , что квантовомехан ическое описание в действительности не являет ся полным . Следовательно , дол жна существов ать более общая теория , обеспечивающая наличи е детерминизма классического образца . По отно шению к такой теории квантовая механика б ыла бы некоторым статистическим приближением . Наиболее распространены неоклассические теории с о скрытыми параме т рами . В них предполагается , что волновая функция > не полностью опре деляет состояние системы . Наряду с ней сущ ествуют скрытые параметры , такие , что их точное зн ание могло бы дать возможность предсказания результатов измере ния любой физической величины . При этом са ми параметры являются статистически распределённ ыми по некоторому закону , и мы не може м на практике точно определить значение . Поэтому сохраняются все следствия квантовой механики , в том числе невозможность одновременного точного измерения некоммутирующих величин . Прин ципиальным в такой неоклассической интерпретации является факт , что существует описание со стояния систем ы ( >, ), позволяющее избежать недетерминированности в предсказании результато в измерений. Вопрос об обратимости времени в интер претации со скрытыми параметрами не явл яется ключевым , и остаётся столь же открыт ым , сколь и в копенгагенской интерпретации (особенно если из последней "удалось бы изъять " принцип редукции волновой функции ). г ) Многомировая интерпретация квантовой механики (концепция Эверетта ) исходит из принципа реальности волновой функции . При этом постулируется , что существует т акая функция сразу для всей Вселенной , и нет необходимости в мистическом "внешнем наблюдателе ", отвечающем , например , за квантовые эффекты в момент её рождения . В многоми ровой и н терпретации место постулата редукции волнового пакета занимает понятие "ветвления волновой функции Вселенной ", которо е можно толковать либо образно – как появление "параллельных квантовых миров ", либо чисто математически , как процедуру дефакторизац ии волн о вой функции наблюдаемого объекта [2, с .29]. При этом возникают свои матем атические тонкости , связанные с предпочтительным выбором базиса собственных состояний для каждого объекта во Вселенной , исключающего " лишние " ветвления для ненаблюдающихся в конкр етн о м эксперименте объектов (своебраз ное применение хорошо известной "бритвы Оккам а "). Наконец , брюссельская интерпретация ограничив ает применимость чистых состояний (то есть точек в фазовом пространстве классической механики и волновых функций в квантовой м ех анике ) введением некоего нового принцип а , который можно назвать "микроскопическим вто рым началом термодинамики ". При этом отвергает ся представление как о реальности волновой функции в старом смысле этого слова , та к и о "классическом идеале " – в пользу нов о й концепции , в основе кот орой лежит необратимость времени. 3.2 Неунитарная эволюция и несводимое опи сание Необратимость , выражаемая стрелой времени – свойство статистическое . Она не может быть введена на уровне отдельных траектори й (или волновых функций ) и поэтому тр ебует радиального отхода от ньютоновской меха ники или ортодоксальной квантовой механики , в основе которых лежат понятия траектории или отдельной волновой функции . Ещё Больцман понял , что необходим подход на основе ансамблей . Школа Пригожина р еализует эту программу с необходимой математической строгостью. Неустойчивость и хаос вынуждают отказатьс я от описания классической механики в тер минах траекторий и перейти к описанию в терминах распределения вероятности . Примером мо жет служить рассмотренн ое ранее отображен ие сдвига Бернулли . В разделе 1.1 был привед ён явный вид оператора с дискретным време нем , описывающего эволюцию плотности вероятности для сдвига Бернулли (применительно к отоб ражениям подобный оператор называется оператором Перрона– Фроб е ниуса ). В статистическо й механике оператор эволюции имеет вид U(t) = e – iLt , а в квантовой механике U(t) = e – iHt . Два последних оператора унитарны , то есть сохраняют скалярное произведение , и в гильбертовом пространстве имеют собственные значения , по модул ю равные 1 – то есть приводят к периодическим функциям от времени типа exp( – iE n t) . В отличие от них оператор эволюции хао тических систем должен описывать приближение к равновесию и , следовательно , содержать время релаксации . Для этого требуются комплексные спектральные представления. Оказалось , что для сдвига Бернулли в гильбертовом пространстве спектрального разложе ния отображения не существует . Собственные фу нкции этого оператора не удовлетворяют услови ю квадратичной интегрируемости , поэтому вместо гильбе ртова пространства требуется перейти к так называемому обобщённому пространству , включающему наряду с квадратично интегрируе мыми функциями , например , ещё и - функции типа дираковской . Собственные значения для построенных в это м пространстве собств енных функций оказываются напрямую связанными с временем Ляпунова в хаотической системе. На языке распределений вероятности отдель ная траектория для сдвига Бернулли представля ется функцией n = (x – x n ) , сдвиг Бернулли преобразует её в n+1 = (x – x n+1 )= (x – 2x n ) при x n <1/2 и в n+1 = (x – x n+1 )= (x+1 – 2x n ) при 1/2 = ). Нетрудно пока зать , что он имеет вид : Можно также показать , что оператор U + – изометрический , то есть сохраняет скалярное произведение (однако в отличие от унитарного изометрический опера тор не допускает обратного , из чего следуе т , что сдвиг Бернулли – не обратимое отображение ). Задача на собственные значения U + f(x)= f(x) не имеет других решений в классе непрерывных функций , кро ме постоянной . Таким образом , сдвиг Бернулли не имеет спектрального представления в гил ьбертовом пространстве . Однако U + имее т собственные функции и собственные значения в обобщённых пространствах . Например : U + [ (x – 1) – (x)]=1/2 [ (x – 1) – (x)], следовательно , м ы имеем собственную функцию оператора U + , которая принадлежит к классу обо бщённых функций и имеет такое же собствен ное значение , какое первый многочлен Бернулли имеет для оператора U . Обозначим поэтому найденную фу нкцию B (1) (x) . Существует целое семейство обобщенных функций B (n) (x) , которые являются собственными функциями оператора U + и соответствуют собственным значениям 1/2 n . Эти функции не имеют конечной нормы , что вынуждает к переходу в обобщённое пространство . Их семе йство , однако , обладает свойствами ортогонал ьности и полноты. Таким образом , как и в квантовой м еханике , мы можем разложить вероятность (x) по биортонормированному семейству фу нкций : . Распространяя скалярное произведение на о бобщённые функции , необходимо сделать некоторые существенные замечания . Основное свойство - функции состоит в том , что при интегрировании с обычной непрерывн ой функции он а "вырезает " её значение в точке x=x 0 . Для корректности скалярного произ ведения , где f – обобщённ ая функция , необходимо , чтобы g была подходящей функцией , об еспечивающей сходимость скалярного произведения . Она , очевидно , не должна принимать бесконечн ых значений – во всяком случае , в точке x=x 0 . Назовём такие функции пробными . Мы можем определить действие оператора A на обобщённ ую функцию f с помощью соотношения < Af|g >=< f|A + g > – но такое соотношение вполне определено тольк о при том условии , что A + g ост аё тся пробной функцией . Задача на собственные значения A|f> = | f > также имеет см ысл только в том случае , если пользоваться пробными функциями g такими , что = . Возвращаясь к спектрал ьному представл ению эволюции при сдвиге Бернулли , делаем вывод : так как B (n) – обобщённые функции , (x) должна б ыть пробной функцией , так как в противном случае ей бы соответствовала - функция , дл я которой скалярное произведение с B (n) расходится. Спектральные теории Пригожина применимы т олько для ансамблей траекторий – это фун даментальный результат . Для хаотических систем , а сдвиг Бернулли – простейший из прим еров таких систем , вероятностное описа ние следует строить не в гильбертовом , а в обобщённом пространстве , и оно несводимо . В этом – принципиальное отличие брюссельского подхода от подхода на основе теории ансамблей Гиббса– Эйнштейна : их описание было сводимо , поскольку могло быть разложено на о писания отдельных траекторий. Мы подходим к важному вопросу : что означает действие оператора эволюции U(t) на обобщённую фу нкцию ? Это соотношение имеет вполне определён ный смысл , если U + (t)g остаётся пробной функцией . Для хаотических систем это условие , ка к правило , не выполняется и при t>0 , и при t<0 . Пробные функции для прошлого отл ичаются от пробных функций для будущего . Э тот факт приводит к нарушению симметрии в о времени и лежит в основе решения па радокса времени , предлагаемого брюссельской школо й. Расс мотренное выше отображение пекаря также допускает спектральное представление в гильбертовом пространстве , однако собственные значения его оператора Перрона– Фробениуса не имеют при этом отношения к времени Л япунова – таким образом , хаотические свойств а ост а ются "за кадром ". Оказывается всё-таки , что некоторые хаотические системы – и преобразование пекаря в частности – допускают дополнительные спектральные предста вления . Помимо спектрального представления операт ора эволюции в гильбертовом пространстве можн о п остроить новое представление в обобщённом гильбертовом пространстве , которое с вязывает эволюцию во времени с временем Л япунова. Может возникнуть вопрос – так какое же представление правильное ? С математическо й точки зрения они оба вполне корректны . Однако комплексные представления в обобщ ённом пространстве позволяют продвинуться значит ельно дальше , так как включают в спектр оператора эволюции время Ляпунова , которое характеризует временной горизонт хаотических сис тем . Новые представления позволяют описыват ь приближение к равновесию , явно описывают нарушение симметрии во времени и включают необратимость на фундаментальном ур овне описания. Весьма важно , что новые представления несводимы . Неоднократно утверждалось , что хаос , связанный с чувствительностью к нача ль ным условиям , приводит к "невычислимым " траекто риям . Казалось , что это чисто техническая трудность . Как теперь понятно , причина гораздо более глубокая . Существует своего рода со отношение дополнительности в боровском смысле между необратимостью на уровне стат истических ансамблей , с одной стороны , и т раекторий – с другой. На простейших хаотических примерах мы проиллюстрировали , как в концепции Пригожина возникает необходимость несводимого описания и как в этом несводимом описании проявляет ся стрела времени. Обратимся теперь к выводам , которые аналогичный подход даёт в квантовой теории (объём настоящей работы не позволяет подробно описать математические особенности применения этого подхода ). Приведём только один пример. В операторе эволюции U(t)=e – iHt будущее и прошлое играют одну и ту же роль , так как независимо от того , каки е знаки имеют t 1 и t 2 выпол няется свойство U(t 1 +t 2 ) = U(t 1 ) + U(t 2 ) . Принято говорить , что оператор эволюции U(t) образует динам ическую группу . Пробные функции же принадлежа т двум различ ным классам в зависимост и от того , какую эволюцию – прямую (в будущее ) или обратную (в прошлое ) – м ы рассматриваем . Это означает , что динамическа я группа , порождаемая оператором эволюции U(t) , распадается н а две полугруппы – одну для оператора U(+t) , другу ю – для U( – t) . Введение стрелы времени позволяет сделать шаг вперёд в рассмотрении уже упоминавши хся больших систем Пуанкаре – например , в задаче рассеяния . Возникающие в теории во змущений малые знаменатели вида регуляризуются введением малой мнимо й добавки : при . Это устраня ет расходимость – но такая добавка есть не что иное , как введение хронологическог о упорядочения на микроскопическом уровне ! В результате симметричное во времени уравнение Шрёдингера порождает два класса решений , одно из которых соответствует прямому . а другое – обратному рассеянию . Решение ур авнений обладает меньшей симметрией , чем урав нения движения. Аналогичный подход в квантовой статистиче ской теории – решение задачи на собствен ные значения супероператора Лиувилля – та кже приводит к необходимости мнимой д обавки в знаменатель , и собственные функции супероператора Лиувилля перестают быть произве дениями волновых функций . Получающиеся уравнения Лиувилля– фон Неймана не могут быть выве дены из уравнения Шрёдингера . В этом смы с ле концепция Пригожина приводит к альтернативной квантовой теории. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В концепции И.Пригожина необратимость процессов во време ни вводится на микроскопическом уровне . В квантовой теории это достигается рассмотрением пространства обобщённых функций вместо о бычного гильбертова пространства , при этом оп ератор эволюции системы перестаёт быть унитар ным , а его собственные значения становятся комплексными . Мнимая часть этих собственных значений после подстановки в уравнение Шрё дингера отвечает за затухан и е , что соответствует необратимости времени. Другая важная черта квантовой теории в концепции Пригожина – принципиальная несво димость получаемых решений к волновым функция м отдельных частиц . Статистическое описание с использованием матрицы плотности станови тся необходимым с самого начала , мы больше не можем рассуждать иначе , как в терм инах ансамблей. В отличие от копенгагенской интерпретации квантовой механики , не требуется постулата о редукции волнового пакета и существовани я внешнего наблюдателя с классиче ским прибором . В этом есть некоторое сходство с многомировой интерпретацией Эверетта , так как можно вводить понятие волновой функции Вселенной . Однако , математический аппарат тео рии Пригожина не требует введения процесса дефакторизации волновой функции и с ложных процедур выбора базиса , связанного с объектом. Введение вероятностей в концепции Пригожи на вполне совместимо с физическим реализмом , и его не требуется объяснять неполнотой нашего знания . Наблюдатель более не играе т активной роли в эволюции природы – по крайней мере , играет роль не бол ьшую , чем в классической физике . Эта роль крайне далека от роли демиурга , которой копенгагенская интерпретация квантовой физики наделяет наблюдателей , считая их ответственными за переход от потенциальной возможности пр и роды к актуальности. Самым же , вероятно , важным , является то , что одна и та же математическая стру ктура , включающая в себя хаос , позволяет р ешить и парадокс времени , и квантовый пара докс – две проблемы , которые омрачали гор изонты физики на протяжении многи х-многих лет. ЛИТЕРАТУРА 1. Пригожин И ., Стенгерс И . Время , хаос , квант – М .: Прогресс , 1994 2. Барвинский А.О ., Каменщик А.Ю ., Пономарёв В.Н . Фундаментальные проблемы интерпретации к вантовой механики . Современный подход – М .: Изд-во МГПИ , 1988 3. Ландау Л.Д ., Лифшиц Е.М . Теоретическ ая физика . Т .1, Механика – М .: Наука , 1988 4. Ландау Л.Д ., Лифшиц Е.М . Теоретическая физика . Т .3, Квантовая механика . Нерелятивистская теория – М .: Наука , 1990 5. Ландау Л.Д ., Лифшиц Е.М . Теоретическая физика . Т .5, Статистичес кая физика . Часть 1 – М .: Наука , 1988 6. Эйнштейн А . Собрание сочинений в че тырёх томах , т .3 – ст . Испускание и пог лощение излучения по квантовой теории – М .: Наука , 1966
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Тупые иностранцы! Как можно не понимать азбучных истин безопасности!
Второй унитаз в тулете олимпийской деревни - ЗАПАСНОЙ - НА СЛУЧАЙ ОТКАЗА ОСНОВНОГО!!!
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru