Реферат: Интерполяция - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Интерполяция

Банк рефератов / Технологии

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 44 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Введение Если задана функция y ( x ), то это озн ачает , что любому допу стимому значению х сопоставлено значение у . Но нередко о казывается , что нахождение этого значения оче нь трудоёмко . Например , у (х ) может быть определено как решение сложной задачи , в которой х играет роль параметра или у (х ) измеряется в дорогостоящем экспе р именте . При этом можно вычислить небол ьшую таблицу значений функции , но прямое н ахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно . Функ ция у (х ) может участвовать в каких-либо физико -технических или чисто математических р а счётах , где её приходится многокр атно вычислять . В этом случае выгодно заме нить функцию у (х ) приближённой формулой , т о есть подобрать некоторую функцию (х ), которая близка в некотором смысле к у (х ) и просто вычисляется . Затем при всех значениях аргумента полагают у (х ) (х ). Большая часть классического численного ан ализа основывается на приближении многочленами , так как с ними легко работать . Однако для многих целей ис пользуются и др угие классы функций. Выбрав узловые точки и класс приближа ющих функций , мы должны ещё выбрать одну определённую функцию из этого класса пос редством некоторого критерия — некоторой мер ы приближения или «согласия» . Прежде чем н ачать вычисления , мы должны решить также , какую точность мы хотим иметь в отве те и какой критерий мы изберём для из мерения этой точности. Всё изложенное можно сформулировать в виде четырёх вопросов : 1. Какие узлы мы будем использовать ? 2. Какой класс приближающих фу нкций мы будем использо вать ? 3. Какой критерий согласия мы применим ? 4. Какую точность мы хотим ? Существуют 3 клас са или группы функций , широко применяемых в численном анализе . Первая группа включает в себя линейные комбинации функций 1, х , х 2 , … , х n , что совпа дает с классом всех многочленов степени n (или мень ше ). Второй класс образуют функции cos a i x , sin a i x . Этот класс имеет отношение к рядам Фурье и интегр алу Фурье . Третья группа образуется функциями e - az . Эти функции встречаются в реальных ситуа циях . К ним , например , приводят задачи накопления и распада. Что касается критерия согласия , то кла ссическим критерием согласия является «точное совпадение в узловых точках» . Этот критерий имеет преимущество простоты теории и вып олнения вычислений , но такж е неудобство из-за игнорирования шума (погрешности , возникающ ей при измерении или вычислении значений в узловых точках ). Другой относительно хороший критерий — это «наименьшие квадраты» . Он означает , что сумма квадратов отклонений в узловых точках должна б ыть на именьшей возможной или , другими словами , миним изирована . Этот критерий использует ошибочную информацию , чтобы получить некоторое сглаживание шума . Третий критерий связывается с имене м Чебышева . Основная идея его состоит в том , чтобы уменьшить максим а льное отклонение до минимума . Очевидно , возможны и другие критерии. Более конкретно ответить на поставленные 4 вопроса можно лишь исходя из условий и цели каждой отдельной задачи. Интерполяция многочленами Цель задачи о приближении ( интерполяции ): данную функцию у (х ) требуе тся приблизительно заменить некоторой функцией (х ), с войства которой нам известны так , чтобы от клонение в заданной области было наименьшим . интерполяционные формулы применяются , прежде всего , при замене гра фически заданной функции аналитической , а также для интерпол яции в таблицах. Методы интерполяции Лагранжа и Ньютона Один из подходов к задаче интерполяции — метод Лагранжа . Основная идея этого метода состоит в том , чтобы прежде всего найти многочлен , кото рый принимает значение 1 в одной узловой точке и 0 во всех других . Легко видеть , сто функция является требуемым многочленом степени n ; он равен 1, если x = x j и 0, к огд а x = x i , i j . Многочлен L j ( x ) y j принимает значения y i в i -й узловой точке и равен 0 во всех других узлах . Из этого следует , что есть многочлен ст епени n , п роходящий через n +1 точку ( x i , y i ). Другой подход — метод Ньютона (метод разделённых разностей ). Этот метод позволяет получить аппроксимирующие значения функции б ез построения в явном виде аппроксимирующего п олинома . В результате получаем форму лу для полинома P n , аппроксимирую щую функцию f ( x ): P(x)=P(x 0 )+(x-x 0 )P(x 0 ,x 1 )+(x-x 0 )(x-x 1 )P(x 0 ,x 1 ,x 2 )+… + (x-x 0 )(x-x 1 ) … (x-x n )P(x 0 ,x 1 ,… ,x n ); — разделённая разность 1-го по рядка ; — разделённая раз ность 2-го порядка и т.д. Значения P n ( x ) в узлах со впадают со значениями f ( x ) Фактически формулы Лагранж а и Нью тона порождают один и тот же полином , разница только в алгоритме его построения. Сплайн-аппроксимация Другой метод аппроксимации — сплайн-аппроксимация — отличается от полино миальной аппроксимации Лагранжем и Ньютоном . Сплайном называется функция , которая вместе с несколькими производными непрерывна на отрезке [ a , b ], а на каждом частном интервале этого отрез ка [ x i , x i +1 ] в отдельности являются некоторым многочленом невысокой степени . В настоящее вр емя применяют кубический сплайн , то есть н а каждом локальном интервале функция пр иближается к полиному 3-го порядка . Трудности такой аппроксимации связаны с низкой степе нью полинома , поэтому сплайн плохо аппроксими руется с большой первой производной . Сплайнов ая интерполяция напоминает лагранжевую тем , ч то требует только значения в узлах , но не её производных. Метод наименьших квадратов Предположим , что требуется заме нить некоторую величину и делается n измерений , резу льтаты которых равны x i = x + i ( i =1, 2, … , n ), где i — это ошибки (или шум ) измерен ий , а х — истинное значение . Метод наи меньших квадратов утверждает , что наилучшее п риближённое значение есть такое число , для которого минимальна сумма квадратов отклонений от : Один из наиболее общих случаев применения этого метода состоит в том , что имеющиеся n наблюдений ( x i , y i ) ( i =1, 2, … , n ) требуется приблизить многочленом степени m < n y(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +… +a m x m Вычисленная кривая у (х ) в некотором смысле даёт сложное множество зн ачений у i . М етод наименьших квадратов утвержд ает , что следует выбирать многочлен , минимизир ующий функцию. Для нахождения минимума дифф еренцируе м по каждой из неизвестных a k . В результате получим : Определитель этой системы отличен от нуля и задача имеет единственное решени е . Но система степеней не ортогональна , и при больших значениях n задача плохо обусловлен а . Эту трудность можно обойти , используя м ногочлены ортогональные с заданным весом на заданной системе точек , но к этому пр ибегают только в задачах , связанных с особенно тщательной статической обработкой экс перимента. Полиномы Чебышева Критерии согласия данного мето да — минимизация максимальной ошибки. Полиномы Чебышева определяются следующим образом : T n ( x )= cos ( n arccos ( x )) Например : T 0 ( x )= cos (0)=1, T 1 ( x )= cos ( )= x , T 2 (x)=cos(2 )=cos 2 ( )-sin 2 ( )=2x 2 -1. Можно было бы и дальше использовать тригонометрические соотнош ения для нахождения полиномов Чебышева любого поря дка , но будет лучше установить для них рекурентное соотношение , связывающее T n +1 ( x ), T n ( x ) и T n -1 ( x ): T n+1 (x)=cos(n + )=cos(n )cos( )-sin(n )sin( ), T n-1 (x)=cos(n - )=cos(n )cos( )-sin(n )sin( ). Складывая эти неравенства , полу чим : T n +1 ( x )+ T n -1 ( x )=2 cos ( n ) cos ( )=2 xT n ( x ); T n+1 (x)=2xT n (x )-T n-1 (x). Применяя полу ченные формулы можно найти любой полином Чебышева . Например , Т 3 ( x )=2 xT 2 ( x )- T 1 ( x ). Подставляя значения T 2 (х ) и Т 1 (х ) имеем Т 3 (х )=2х (2х 2 -1)-х =4х 3 -3х . Графически первые 10 полиномов Чебыш ева изображены ниже . Последующие полиномы по-прежнему колеблются между +1 и -1, причём п ериод колебания уменьшаются с ростом порядка полинома. Преобразования = arccos ( x ) можно рассматривать как проекцию перес ечения полукруга с множеством прямых , им еющих равные углы между собой (рис .1). Таким образом , множество точек x j , на котором система чебышевских многочленов T n ( x ) ортогональна , таково : , ( j =0, 1, 2, …, N -1) Так как T n ( x ) есть , по су ществу , cos ( n ), то они являются равн околеблющимеся функциями , и так как они мн огочлены , то обладают всеми свойствами ортого нальных многочленов. Чебышев показал , что из всех многоч ленов Р n ( x ) степени n старшим коэффициентом 1, у многочлена точная верхняя грань абсолютных значений на интервале -1 x 1 наименьшая . Так как в ерхняя грань T n ( x )=1, указанная вер хняя грань равна . Практическое задание На практике нам нужно было изучить приближение нашей функ ции по линомами Тейлора. Как уже упоминалось выше , многочлены Т ейлора легко вычислять , а так же превращат ь в степенные ряды . В этом мы и уб едились на практике. Ниже представлена таблица коэффициенты пе рвых 12-и полиномов Чебышева , а также таблиц а коэффициен тов перед полиномами Чебышева , выражающие первые 12 степеней х. Эти данные мы получили , используя прог раммы на страницах В этих программах использовались следующи е алгоритмы : I. Преобразование коэффициентов полинома Чебышева в коэффициенты традиционно го многочлена. 1) Вводим коэффиц иенты a 0 , a 1 , … , a n многочлена T ( x ) и образуем массив a i . 2) Для j =2, 3, … , n и k = n , n -1, … , j в первом с лучае поднимаясь , а во втором спускаясь , п роводим преобразование коэффициентов по следующи м формулам : а ) a k-1 =a k-2 -a k б ) a k =2a k В результате получаем коэффици енты полинома P n ( x ) II. Преобразование коэффициентов полинома P n ( x ) в коэффициенты полинома T n ( x ) 1) Вводим коэффиц иенты полинома P n ( x ) — а i 2) Для j = n , n -1, … , 2 и k = j , j +1, … , n в первом с лучае спуска ясь , а во втором поднимаяс ь , проводим преобразование коэффициентов по с ледующим формулам : а ) a k =a k /2 б ) a k-2 =a k-2 +a k с ) a 0 =2 a 0 В результате получим коэффициенты полинома Т n ( x ). Любопытно был о бы узнать , какую ошибку мы получаем при разложении степенной фун кции по п олиномам Чебышева . Для этого , используя выше описанные алгоритмы , я сначала представлял функцию y = x n (где n брал от 1 до 10) через полиномы Чебышева ( T n ), а затем ч тобы оценить ошибку чебышевское разложение сн ова превращал в многочлен . Выполнив э т и операции , я получил достаточно интересные результаты . Для нечётных n ошибка настолько мала , что её едва можно различить на графика х (стр . ). Для чётных же степеней мы набл юдаем смещение графика , полученного в результ ате преобразования , вниз относительно оригин ала . Это можно объяснить следующим образом . За смещение графика несёт ответственность коэффициент перед x 0 . Вспомним алгоритмы , они построены так , что каждый предыдущий коэф фициент вычисляется через последующий . То ест ь в результате накапливающаяся ошибка в ычисления больше всего влияет на коэффициент при x 0 . Следствием этого является смещени е графиков чётных степеней , так как в их разложении присутствует этот коэффициент . Заметим также , что смещение при разложении функции y = x 2 больше , чем при разложе нии функции y = x 10 . Этот тоже легко объ яснить , так как при увеличении степени вкл ад T 0 в разложении степенной функции ум еньшается . Что же касается нечётных степеней , то мы получили такое хорошее совпадение так как чётные коэффициенты в разложении нечётных с тепеней равны 0, а коэффицие нты при всех степенях x , кроме нулевой влияют лишь на отклонение ветвей . Подтверждением э того служат графики на странице . Следующим этапом работы являлось приближе ние полиномами Чебышева произвольной функции . В качестве исходн ой функции я взял функцию y = sin (4 x /3). Использу емая в работе программа представлена на с транице . Для её написания был использован следующий алгоритм : I. Приближение фу нкции f ( x ) по Чебыш еву. 1) Задаём степень n многоч лена T n ( x ) и пределы [ a ; b ] из менения аргумента функ ции f ( x ). 2) Для i =0, 1, … , n на отрезке [-1; 1] формируем сетку оптимальных значений аргумен та в узлах чебышевской интерполяции : . Переводим в отрезок [ a ; b ]: и вычисляем f(x i ) 3) Для k =0, 1, … , n и i =0, 1, … , n выч исляем : . В результате получаем коэффициенты a 0 , a 1 , … , a n многочлена T ( ), приближающего функцию f ( x ). II. Вычисление зна чений T ( x ) выполняется по следующему алгоритму : 1) Считая заданн ым массив a k , задаём память под массив из n +2 вспомогательных коэффициентов b k . Пол агаем b n+2 =0, b n+1 =0 . 2) Задаём значен ия x на [ a ; b ] и переводим их в отрезок [-1; 1] с помощью преобразований : . 3) Для k = n , n -1, … , 1 вычисляем b k = a k - b k +2 +2 xb k +1 . 4) Находим T( )=a 0 /2 - b 2 +xb 1 Также в пр ограмме было использовано разложение в ряд Тейлора для сравнения с разложением по полиномам Чебышева . Прежде всего я расс мотрел приближение на интервале [-1; 1]. Наложи в на график sin (4 x /3) график его приближения полиномами Чеб ышева и график , построенный с помощью разл ожения в ряд Тейлора , я получил очень точное совпадение . Визуально нельзя различить три кривых . Рассмотрим г рафик ошибок . В соответствии с теорией ошибка Чебышева знакопеременна и распределена более или менее равномерно по всему интервалу . Ошибка же Тейлора небольшая около 0 и сильно увелич ивается при приближении к 1 (заметим , что в этом и в других случаях ряд Т ейлора содержит те же степени x , но с други ми коэффициентами ). Интереснее рассмотреть приближ ение на более длинных интервалах . На интер вале [-1; 1] приближение полиномами Чебышева 7-й сте пени достаточно хорошее , но уже на интерва ле [-10; 10] приближение эт ой же степенью оч ень плохое (стр . ). Рассмотрим приближение на этом же интервале полиномом более высокой степени ( T 11 ). Получим неплохое прибл ижение , причём на графике очень чётко видн о , что ошибка распределена равномерно . Здесь опять хотелось бы сравнить с разложен ием в ряд Тейлора . Если посмотреть на графики на странице , мы увидим , что прибли жение с помощью рядов Тейлора очень хорош ее в середине интервала , но сильно отклоня ется от эталона на концах . Сравним ошибки чебышевского приближения и приближени я с помощью рядов Тейлора . При этом сравнении ясно проявляются свойства полиномов Чебышева — максимальная ошибка меньше , ч ем при использовании ряда Тейлора. Итак , мы получили , что на большом и нтервале хорошее приближение можно построить только используя дос таточно большие степе ни . Действительно , трудно представить себе при ближение нескольких периодов синуса с помощью полиномов 3-й , 4-й , 5-й степеней и уж совсем невозможно 1-й и 2-й. Полиномы Чебышева дают очень хорошее приближение функции в том смысле , что м аксимальная ошибка этого приближения мала , но эти приближения довольно сложно вычис лять . Обычно относительно малое уменьшение ош ибки не стоит того труда , который приходит ся тратить на нахождение этого приближения . Поэтому полиномы Чебышева используют для к орректировки разложения в ряд Те йлора . Нахождение исправленных коэффициентов не представляет большой сложности , поэтому этот метод , называемый экономизацией степенного ряда может применяться для повседневного программ ирования.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
- Когда я с тобой, мне не хочется думать ни о работе, ни о карьере...
- Карьер сам себя не выкопает! Петрович, не выёживайся! Попробуй ещё раз экскаватор завести!
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru