Реферат: Автоколебания системы с одной степенью свободы - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Автоколебания системы с одной степенью свободы

Банк рефератов / Технологии

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 130 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

11 Автоколебания системы с одной степенью свободы Введение и краткое резюме Настоящая работа посвящена исследованию движений автоколебаний системы с одной степенью свободы под действием внешней периодической силы . Такие движения представляют интерес для радиотелеграфии (например , к исследованию таких движений сводится теори я регенеративного приемника ). Особенно замечательно здесь явления так называемого "захватывания ". Это явление заключается в том , что , когда период внешней силы достаточно близок к периоду автоколебаний системы , биения пропадают ; внешняя сила как бы "захв а тывает " автоколебания . Колебания системы начинают совершаться с периодом внешнего сигнала , хотя их амплитуда весьма сильно зависит от амплитуды "исчезнувших " автоколебаний . Интервал захватывания зависит от интенсивности сигнала и от автоколебательной сис т емы. Теоретически этот вопрос уже разбирался , однако методами математически недостаточно строгими ; кроме того , бралась характеристика весьма частного вида - кубическая парабола . Поэтому мы будем рассматривать случай произвольной характеристики при колеба ниях близких к синусоидальных. В этой работе мы рассмотрим периодические решения с периодом , равным периоду внешней силы , и их устойчивость при малых отклонениях . Мы оставим в стороне другие стационарные движения , возможные в исследуемой системы , например периодические решения с периодом , кратным периоду внешней силе , или квазипериодические решения . Мы оставим в стороне важный вопрос об устойчивости при больших отклонениях Для отыскания периодических решений воспользуемся методом Пуанкаре , которые позволяют быстро решить задачу для случая колебаний , достаточно близких к синусоидальным . С этой целью введем в наше уравнение параметр таким образом , чтобы при = 0 уравнение превращалось в линейное и колебания делались синусоидальными . Этот параметр , который мы предполагать достаточно малым , может иметь различный смысл в зависимости от выбора системы. Для решения вопроса об устойчивости найденного решения при малых откло нениях воспользуемся методами Ляпунова , требуя , чтобы искомые решения обладали "устойчивостью по Ляпунову ". В настоящей работе мы не будем вычислять радиусы сходимости тех рядов , с которыми нам придется иметь дело ; грубая оценка может быть сделана по Пу анкаре. В § 1 и 2 рассматривается область достаточно сильной расстройки ; § 3 и 4 посвящены рассмотрению области резонанса ; в § 5 показывается , как общие формулы для амплитуд и для устойчивости , полученные в § 1- 4, могут быть применены в конкретных случаях , причем в качестве примера рассматривается случай Ван дер Поля . Результаты применения общих формул совпадают с теми , которые получил нестрогим путем Ван дер Поль. § 1 Отыскание периодического решения в случае достаточно сильной расстройки. Уравнение , кот орое нас будет интересовать : При = 0 это уравнение имеет единственное периодическое решение Рассмотрим случай , когда бесконечно мало . Согласно Пуанкаре мы будем искать решение (1) в следующем виде : Начальные условия выберем так : F 2 - степенной ряд по 1 2 , начинающийся с членов второго порядка . Подставим (3) в (1): Сравнивая коэффициенты при 1 2 , пол учим уравнение для А , В , С . Начальные условия можно получить для них , подставив (4) в (3). Решая задачи Коши , получим : Для того , чтобы (3) представляли периодические решения необходимо и достаточно , чтобы Введем обозначения ; для остальных функций аналогично . Тогда (6) запишется в виде : Если в этой сис теме можно 1 2 представить в виде функции так , чтобы 1 2 , исчезли из с истемы (7) , то (3) - периодическое решение уравнения (1). Иначе Х - не периодично . Достаточным условием существования периодического решения при малых служит неравенство 0 Якобиана . В нашем случае : Т.е . мы всегда имеем периодические решения при малых и любых f . Искомое периодическое решение может быть найдено в виде . § 2 Исследование устойчивости периодического решения Составим уравнения первого приближения , порождаемое решением (8). Сделаем замену : x = Ф ( t ) + ; в уравнении (1) при этом отброси м члены , содержащие квадраты и высшие степени и ' . Воспользуемся тем фактом , что Ф ( t ) - решение уравнения . Получим уравнение первого приближения : Это линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами . Его решение мы будем искать в виде функции времени Удовлетворяют тому же уравнению , что и , то есть (10). Начальные условия для них определены следующим образом. ; аналогичным образом можно показать , что (11). Представим правую часть уравнения в виде степенного ряда по . будем искать в виде : (12). Подставим (12) в (10) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях , получим : Начальные условия для А о , В о , … . Следует выбрать так , чтобы выполнялись условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях , получим Для В ' о и В о аналогично . Для остальных же как видно из уравнений условия будут нулевые . Итак : (14) Решение (13) можно найти при помощи квадратур : (15) Е сли вспомнить общую теорию линейных диффуров с периодическими коэффициентами , то общее решение (10) имеет вид : S 1 , S 2 - периодические функции с тем же периодом , что и Ф ( t ). 1 , 2 - характеристические показатели. Если все , т.е . колебания затухают , то в этом случае выполняе тся теорема , доказанная Ляпуновым , относительно того , что периодическое решение уравнения первого приближения вполне устойчиво . Согласно Пуанкаре характеристические показатели можно определить из следующего уравнения : =0 (16) Полагаем ; Тогда определитель будет : Вопрос об устойчивости , как сказано выше , решается знаком R e ( ) , или что все равно . Если < 1 имеет место устойчивость = 1 этот случай для нашей задачи не представляет интереса . > 1 име ет место неустойчивость. При рассмотрении (18) имеют место 2 случая q > р 2 ; q < р 2 ; В первом случае -комплексные ; 2 =q ; (20) если q<1 ; устойчивость q> 1 - неустойчивость. Случай второй - - действительные : ; (21) устойчивость соответствует p и q нетрудно получить в виде рядов по степени из формул (19) (12). (22) Если принять во внимание (15) (22 a ) (23) Мы видим , что при достаточно малом и n; n Z вопрос об устойчивости решается величиной q и следовательно знаком b, если b < 0 - имеет место устойчивость , b > 0 - неустойчивость. В нашем случае b имеет вид : (23 a ) § 3 Отыскание периодического решения в области резонанса. Тогд а о ; 2 = 1+ a о , (24) ( a о , - расстройк а , реальный физический резонанс наступает при a о 0). Тогда исследуемое уравнение имеет вид : (25) При = 0 периодическое решение будет иметь вид : (26) Следуя Пуанкаре , мы можем предположить периодическое решение в виде : (27); Начальные условия возьмем как и раньше : Аналогично тому , как мы это делали в предыдущих параграфах . Подставляем (27) в (25) и , сравнивая коэффициенты при 1 2 , и других интересующих нас величинах , получим уравнение , которым удовлетворяет A, B, C, D, E, F. Начальные условия для этих ур авнений определим , если подставим (28) в (27). (29) Запишем условия периодичности для (27): Делим на : ( 30a ) Необходимым условием существования периодического решения явл яется : Эти уравнения определяют P и Q решения (26), в близости к которому устанавливается периодическое решение . Они могут быть записаны в раскрытой форме : (31) Для существования искомого периодического решения достаточно неравенство 0 детерминанта : (см . § 1). D , Е и их производные найдутся из (29) при помощи формул аналогичных (15). Заметим , что (30) мы можем определить 1, 2 , в виде рядов по степе ням . Таким образом , мы можем (27) как и в § 1 представить в виде ряда. (33) P,Q- определяются формулами (31) (32). § 4 Исследование уст ойчивости периодических решений в области резонанса Аналогично тому , как мы это делали в § 2, составим уравнение первого приближения , порожденное решением (33). Решен ие опять будем искать в виде . Однако нет необходимости проделывать все выкладки заново . Воспользуемся результатами § 2, приняв : Из формул (22) (34) , тогда - тот же Якобиан , что и (32). Распишем его : (36) ; Тогда , зная функцию f , мы можем вычислить в виде функции P, Q и a о . Заме тим , что равенство (23 а ) в нашем случае имеет вид : ; (37) Опираясь на результаты исследования , полученных в § 2, нужно рассмотреть при исследовании устойчивости два случая : (при достаточно малых ) 1) p 2 - q < 0 2) p 2 - q > 0 В первом случае устойчивость характеризуется условием q< 1 или , что то же самое b< 0. Во втором случае (*) последн ее может быть выполнено только , если b < 0, а > 0. Нетрудно видеть , что необходимым достаточным условием в обоих случаях является b < 0, > 0. (Это можно получить из неравенства (*) ). § 5 Применение общих формул , полученных в предыдущих параграфах , к теории захватывания в регенеративном приемнике для случая , когда характеристика - кубическая парабола . Мы рассмотрим простой регенеративный приемник с колебательным контуром в цепи сетки , на к оторый действует внешняя сила Р о sin 1 t . Дифференциальное уравнение колебаний данного контура следующее : (39) Считая , что анодный ток зависит только от сеточного напряжения , а также , что характеристикой является кубическая парабола : (40) S -крутизна характеристики , К - напряжение насыщения . Далее , вводя обозначения : Получим дифференциальное уравнение для х : (41) А : (случай далекий от резонанса ). Для него применяем результаты § 1, полагая . Исходное решение в не посредственной близости , к которому устанавливается искомое решение следующее : Если > 1, т.е . о > 1 , то разность фаз равна 0, если < 1, то разность фаз равна . В этом отношении все происходит в первом приближении также , как и при обычном линейном резонансе . Устойчивость определяется знаком b ( b < 0) . (42). Т.е . те решения , для которых выполняется это условие , устойчивы. В : (область резонанса , § 3, 4). В качестве исходного периодического решения , в непосредственной близости к которому устанавливается иск омое , будет решение следующего вида : x = P sin t + Q cos t (P, Q - const). Запишем уравнение , определяющее эти P и Q, т.е . соотношение (31) для нашего случая . Или преобразовав их , получим следующее : Полагая Р = R sin ; Q = R cos . Далее найдем для амплитуды R и фазы для того исходного периодического решения , в близости к которому устанавливается рассматриваемое периодическое решение , соотношения связывающие их : Первая формула дает "резонансную поверхность " для амплитуды . Вторая - для фазы . По (38) условия устойчивости имеют вид b < 0, > 0. Считаем b и через формулы (35-37). (46) Т.е . решение является устойчивым , если удовлетворяется условие (**). В зак лючение выпишем формулы для вычисления a о, соответствующего ширине захватывания для рассматриваемого случая . 1) a 0 - является общим корнем уравнений 2) Сама ширина , отсчитанная от одной границы захватывания до другой выражается следующим образом : = a о 2 о (MS - c r). Можно дать простые формулы для вычисления ширины захватывания в следующи х случаях : а ) 2 о << 1; = о Р о / V о g . б ) для очень сильных сигналов ( V о g - амплитуда сеточного напряжения при отсутствии внешней силы ). Список литературы 1. Андронов А.А . Собрание трудов , издательство "Академии наук СССР ", 1956. 2. Андронов А.А ., Витт А . К теории захватывания Ван дер Поля . . С обрание трудов , издательство "Академии наук СССР ", 1956. 3. Ляпунов А . Общая задача об устойчивости движения , Харьков , 1892.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Вниманию Донецкой, Харьковской и прочих областей!!!
Украине МВФ дает 15 миллиардов долларов в кредит...
Если вы не хотите отдавать этот кредит за свой счет, то вы знаете, что делать...
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru