Реферат: Экстремумы функций - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Экстремумы функций

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 87 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

28 Экстремумы функций Содержание. 1. Введение 2. Историческая справка 3. Экстремумы функций одной переменной. 3.1. Необходимое условие 3.2.1. Достаточное условие . Первый признак 3.2.2. Достаточное условие . Второй признак 3.3. Использование высших производных 4. Экстремумы функций трех переменных. 4.1. Не обходимое условие 4.2. Достаточное условие 5. Экстремумы функций многих переменных. 5.1. Необходимое условие 5.2. Достаточное условие 5.3. Метод вычисления критериев Сильвестера 5.4. Замечание об экстремумах на множествах 6. Условный эк стремум. 6.1. Постановка вопроса 6.2. Понятие условного экстремума 6.3. Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума 6.4. Стационарные точки функции Лагранжа 6.5. Достаточное условие 7. Заключение 8. Библиография Цель данного дипломномного проекта заключается в рассмотрении экстремумов функции одной и многих переменных и подробном описании методов их нахождения. Задача состоит в формулировании необходимых и достаточных условий существования максимума и минимума фу нкции , выборе метода нахожденя экстремумов и их полном математическом обосновании. Гипотезой дипломного проекта является рассмотрение и описание экстремумов функции трёх переменных , формулировании необходимого и достаточного условия их существования , а так же рассмотрение метода вычисления критериев Сильвестера. В качестве объекта для исследования и описания использовались функции одной и многих переменных . 1.Введение. Вмире не происходит ничего , в чем бы не был виден Смысл какого-нибудь максимума или минимума. Л.Эйлер. В математике изучение задач на нахождение максимума и минимума началось очень давно . Но только лишь в эпоху формирования математического анализа были созданы первые методы решения и исследования задач на экстремум. Потребности практической жизни , особенно в области экономики и техники , в последнее время выдвинули такие новые задачи , которые старыми методами решить не удавалось . Надо было идти дальше. Потребности техники , в частности космической , выдвинули серию задач , которые также не поддавались средствам вариационного исчисления . Необходимость решать их привела к созданию новой теории , получившей название теории оптимального управления . Основной метод в теории оптимально управления был разработан в пятидесятые – шестидесятые годы советскими математиками – Л.С . Понтрягиным и его учениками . Это привело к тому , что теория экстремальных задач получила новый мощный толчок к дальнейшим исследованиям. Цель дипломного проекта – рассмотрение и описание функций одной и многих переменных , а также в рассмотрении методов , используемых при этом . Данный дипломный проект рассчитан на абитуриентов высших учебных за ведений . На вопрос - можно ли ввести рассмотрение этой темы в старших классах школы – ответ будет дан в последней главе дипломного проекта , после рассмотрения задач и возможных методов их решения. В дипломном проекте с большей логической стройностью и без повторений приведено изложение темы – функции одной и многих переменных , сообщены сведения из математического анализа , необходимые при изучении физики и ряда инженерных дисциплин . 2.Историческая справка. В жизни постоянно приходится сталкиваться с необхо димостью принять наилучшее возможное (иногда говорят - оптимальное ) решение . Огромное число подобных проблем возникает в экономике и технике . При этом часто случается так , что полезно прибегнуть к математике. В математике исследование задач на максимум и м инимум началось очень давно – двадцать пять веков назад , Долгое время к задачам на отыскание экстремумов не было сколько – нибудь единых подходов . Но примерно триста лет назад – в эпоху формирования математического анализа – были созданы первые общие мето д ы решения и исследования задач на экстремум. Накопление методов дифференциального исчисления приняло наиболее явную форму у Ферма . В 1638 году он сообщил в письме Декарту , что решил задачу определения экстремальных значений функции f(x) . Ферма составлял ур авнение (f(x+h)-f(x))/h=0 и после преобразований в левой части полагал h=0 , вопреки мнению позднейших исследователей , которые видели в этой идеи исчисления бесконечно малых . В действительности , Ферма нашел это условие и аналогичное (f(y)-f(x))/(y-x)=0 при y=x ещё алгебраическими путями. Рассуждения при нахождении экстремума функции f(x) следующие . Пусть для некоторого x функция достигает максимума . Тогда f(x h)f(x 0 )) Иными словами , точка x 0 доставляет функции f (x) максимум (минимум ), если значение f(x 0 ) оказывается наибольшим (наименьшим ) из значений , принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой ) окрестности этой точки . Отметим , что самое определение максимума (минимума ) предполагает , что функция задана по об е стороны от точки x 0 . Если существует такая окрестность , в пределах которой (при x=x 0 ) выполняется строгое неравенство f(x)f(x 0 ) то говорят , что функция имеет в точке x 0 собственный максимум (минимум ), в противном случае – несобственный. Если функция имеет максимумы в точках x 0 и x 1 , то , применяя к промежутку [ x 0 ,x 1 ] вторую теорему Вейерштрасса , видим , что наименьшего своего значения в этом промежутке функция достигает в некоторой точке x 2 между x 0 и x 1 и имеет там минимум . Аналогично , м ежду двумя минимумами непременно найдется максимум . В том простейшем (и на практике – важнейшим ) случае , когда функция имеет вообще лишь конечное число максимумов и минимумов , они просто чередуются. Заметим , что для обозначения максимума или минимума сущес твует и объединяющий их термин – экстремум. Понятия максимум (max f(x)) и минимум (min f(x)) являются локальными свойствами функции и имеют место в определенной точке х 0 . Понятия наибольшего (sup f(x)) и наименьшего (inf f(x)) значений относятся к конечном у отрезку [a,b] и являются глобальными свойствами функции на отрезке. Из рисунка 1 видно , что в точках х 1 и х 3 локальные максимумы , а в точках х 2 и х 4 – локальные минимумы . Однако , наименьшего значения функция достигает в точке х =а , а наибольшего – в точке х =b. Поставим задачу о разыскании всех значений аргумента , доставляющих функции экстремум . При решении ее основную роль будет играть производная. Предположим сначала , что для фунции f(x) в промежутке (a,b) существует конечная производная . Если в точке х 0 функция имеет экстремум , то , применяя к промежутку (х 0 - ,х 0 + ), о которой была речь выше , теорему Ферма , заключаем , что f (x)=0 этом состоит необходимое условие экстремума . Экстремум следует искать только в тех точках , где производная равна н улю. Не следует , думать , однако , что каждая точка , в которой производная равна нулю , доставляет функции экстремум : указанное только что необходимое условие неявляется достаточным. 3.2.1.Достаточное услоие.Первый признак. Дополним , что точки , где производ ная равна нулю , называются стационарными ; а точки , где производная не существует называются критическими. Итак , если точка х 0 есть стационарная точка для функции f(x) или если в этой точке не существует для неё двусторонней конечной производной , то точка х 0 представляется , так сказать лишь “подозрительной” по экстремуму и подлежит дальнейшему испытанию. Это испытание состоит а проверке достаточных условий для существования экстремума , которые мы сейчас утановим. Предположим , что в некоторой окрестности (х- ,х + ) точки х 0 (по крайней мере , для х =х 0 ) существует конечная производная и как слева от х 0 , так и справа от х 0 (в отдельности ) сохраняет определенный знак . Тогда возможны следующие три случая : I f ’ (x)>0 при х <х 0 и f ’ (x)<0 при х >х 0 , т . е . производная f ’ (x) при переходе через точку х 0 меняет знак плюс на минус . В этом случае , в промежутке [х 0 - ,х 0 ] функция f(x) возрастает , a в промежутке [х 0 ,х 0 + ] убывает , так что значение f(x) будет наибольшим в промежутке [х 0 - ,х 0 + ] , т . е . в точке х 0 функция имеет с обственный максимум. II f ’ (x)<0 при х <х 0 и f ’ (x)>0 при х >х 0 , т . е . производная f ’ (x) при переходе через точку х 0 меняет знак минус на плюс . В этом случае аналогично убеждаемся , что в точке х 0 функция имеет собственный минимум. III f ’ (x)>0 как при х <х 0 так и при х >х 0 либо же f ’ (x) и слева и справа от х 0 , т . е . при переходе через х 0 , не меняет знака . Тогда функция либо всё время возрастает , либо всё время убывает ; в любой юлизости от х 0 с одной стороны найдутся точки х , в которых f(x)f(x 0 ) так что в точке х 0 никакого экстремума нет. Итак , мы получаем правило для испытания “подозрительного” значения х 0 : подставляя в производную f ’ (x) сначала х <х 0 , а затем х >х 0 , устанавливаем знак производной вблизи от точки х 0 с лева и справа от неё ; если при этом производная f ’ (x) меняет знак плюс на минус , то налицо максимум , если меняет знак с минуса на плюс , то – минимум ; если же знака не меняет , то экстремума вовсе нет. Это правило полностью решает вопрос в том случае , когд а в промежутке (а ,b), как это обычно бывает , всего лишь конечное число стационарных точек или точек , где отсутствует конечная производная : a<х 1 <х 2 <… <х k <х k+1 <… <х n 0 , то функция имеет в точке х 0 минимум. Доказательство : По о пределению второй производной (f ’ (x)-f ’ (x 0 ) f ’ ’ (x 0 )=lim------------- x-x 0 По условию теоремы f ’ (x)=0. Поэтому f ’ (x) f ’ ’ =lim---------- x-x 0 Допустим , что f ’ ’ (x)<0. Тогда по теореме о пределах функции найдётся такой интервал (x 0 -,x 0 +), в котором переменная величина f ’ (x)/(x-x 0 ) сохраняет знак своего предела , т . е . выполняется неравенство f ’ (x) ----------<0 (x 0 - 0 , если х-х 0 <0, или х >х 0 , и f ’ (x)<0, если х-х 0 >0, или х >х 0 . На оснавании первого достаточного признака существования экстремума заключаем , что в точке х 0 функция f (x) имеет максимум . Аналогично показывается , что условие f ’ ’ (x)>0 обеспечивает минимум функции f(x). ч.т.д. Таким образом получаем правило нахождения экстремумов (для дважды дифференцируемых функций ): 1.Вычи сляем первую производную f ’ (x) и из уравнения f ’ (x)=0 находим стационарные точки функции f(x). 2.Вычсляем вторую производную , и каждую стационарную точку х 0 подвергаем испытанию : - если f ’ ’ (x)>0, то х 0 – точка м инимума функции ; - если f ’ ’ (x)<0, то х 0 – точка максимума функции. Замечание 1 : если f ’ ’ (x)=0 ,то это правило теряет силу и нужно воспользоваться первым признаком нахождения экстремумов . При этом экстремум может существовать , а может и не существовать . Однако в случае своей применимости второй признак окаывается весьма удобным : вместо рассмотрения знака функции f ’ (x) в точках , отличных от предполагаемой точки экстремума , он позволяет дать ответ по знаку функции f ’ ’ (x) в той же точке. 3.3.Использование высших производных. В случае , когда f ’ ’ (x)=0 (f ’ (x)=0) экстремум может быть , а может и не быть . Рассмотрим общий случай. Теорема 3.2:Пусть функция f:U(x 0 ) R, определенная в окрестности U(x 0 ) точки х 0 , имеем в х 0 производные до порядка n включительно (n>1). Если f ’ (x 0 )=… =f (n-1) (x 0 )=0 и f (n) (x 0 )=0 , то при n нечетном в х 0 экстремума нет , а при n четном экстремум есть , причем это строгий локальный минимум , если f (n) (x 0 )>0 , и строгий локальный максимум , если f (n) (x 0 ). Доказательство :Используя локальную фурм улу Тейлора f(x)-f(x 0 )=f (n) (x 0 )(x-x 0 ) n + (x)(x-x 0 ) n (3.2) где (x) 0 при x x 0 ,будем рассуждать так же , как при доказательстве леммы Ферма . Перепишем (2) в виде f(x)-f(x 0 )=(f (n) (x 0 )+ (x))(x-x 0 ) n (3.3) Поскольку f (n) (x 0 )=0,а (x) 0 при x x 0 , сумма имеет знак f n (x 0 ),когда х достаточно близок к х 0 . Если n нечетно , то при переходе через х 0 скобка (х-х 0 ) n меняет знак и тогда изменяется знак всей правой , а следовательно , и левой части равенства (3.3). Значит , при n=2k+1 экстремума нет. Если n четно , то (x-x 0 ) n >0 при x=x 0 и,следовательно , а малой окрестности точки х 0 знак разности f(x)-f(x 0 ), как видно из равенства (3.3), совпадает со знаком f (n) (x 0 ) : - пусть f (n) (x 0 ),тогда в окрестности точки х 0 f(x)>f(x 0 ), т . е . в точке х 0 – локальный миним ум ; - пусть f (n) (x 0 )>0,тогда f(x)>f(x 0 ) ,т . е . в точке х 0 локальный минимум . ч.т.д . 4.Экстремумы функций трех переменных. 4.1.Необходимые условия экстремума. Пусть функция v=f(x,y,z) определена в области D и (x 0 ,y 0 ,z 0 ) будет внутренней точкой этой области. Говорят , что функция v=f(x,y,z) в точке (x 0 ,y 0 ,z 0 ) имеет максимум (минимум ), если её можно окружить такой окрестностью (x 0 - ,x 0 + , y 0 - ,y 0 + ,z 0 - ,z 0 + ) что бы для всех точе к этой окрестности выполнялось неравенство f(x,y,z)) Если эту окрестность взять настлько малой , что бы знак равенства был исключён , т . е . чтобы в каждой её точке , кроме самой точки (x 0 ,y 0 ,z 0 ) выполнялось строгое неравенство f(x,y,z)) то говорят , что в точке (x 0 ,y 0 ,z 0 ) имеет место собственный максимум (минимум ), в противном случае максимум (миним ум ) называют несобственным. Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной ) употребляется общий термин – экстремум. Предположим , что наша функция в некоторой точке (x 0 ,y 0 ,z 0 ) имеет экстремум, Покажем , что если в этой точке существую т (конечные ) частные производные f x ’ (x 0 ,y 0 ,z 0 ), f y ’ (x 0 ,y 0 ,z 0 ) ,f z ’ (x 0 ,y 0 ,z 0 ) то все эти частные производные равны нулю , так что обращение в нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием существования экстремума. С этой целью положим y= y 0 ,z= z 0 сохраняя х переменным ; тогда у нас получится функция от одной переменной х : v=f(x, y 0 ,z 0 ) Так как мы предположили , что в точке (x 0 ,y 0 ,z 0 ) существует экстремум (для определенности - пу cть это будет максимум ), то , в частности , отсюда следует, что в некоторой окрестности (x 0 - ,x 0 + ) точки x=x 0 , необходимо должно выполняться неравенство f(x, y 0 ,z 0 )0, a 21 a 22 , a 21 a 22 a 23 >0, a 31 a 32 a 33 Так как определенная отрицательная форма с изменением знака всех её членов переходит в определенню положительную , и обратно , то отсюда легко найти и характеристику отицательной формы : она дается цепью неравенств , которая получается из написанной выше изменением смысла неравенств через одно (начиная с первого ). a 11 a 12 a 11 a 12 a 13 a 11 >0, a 21 a 22 a 21 a 22 a 23 >0 a 31 a 32 a 33 Следовательно , чтобы исследовать точку М (x 0 ,y 0 ,z 0 ) на экстремум , надо исследовать квадратичную форму ( 4.5). Сформулируем полученный результат в виде теоремы. Теорема : Пусть в некоторой области , содержащей точку М (x 0 ,y 0 ,z 0 ), функция f(x,y,z) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно ; пусть кроме того , точка М (x 0 ,y 0 ,z 0 ) является критической точкой функции f(x,y,z) , т.е . f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) --------------- =0, ---------------=0, ---------------=0 x y z Тогда при x=x 0 ,y=y 0 ,z=z 0 : 1) f(x,y,z) имеет максимум , если 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 --------------- <0 , -------------------------------- - --------------- >0 x 2 x 2 y 2 x y 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 --------------- -------------------------------- - --------------- -- x 2 x 2 z 2 y z 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) -- --------------- -------------------------------- -- x y x y z 2 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) -- --------------------------------- + x z y z 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) + --------------- -------------------------------- -- x z x y y z 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) -- ------------------------------- >0 x z y 2 2) f(x,y,z) имеет минимум , если 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 --------------- >0 , -------------------------------- - --------------- >0 x 2 x 2 y 2 x y 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 --------------- -------------------------------- - --------------- -- x 2 x 2 z 2 y z 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) -- --------------- -------------------------------- -- x y x y z 2 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) -- --------------------------------- + x z y z 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) + --------------- -------------------------------- -- x z x y y z 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) -- ------------------------------- >0 x z y 2 3)если 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 --------------- ---------------------- ---------- - --------------- -- x 2 x 2 z 2 y z 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) -- --------------- -------------------------------- -- x y x y z 2 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) -- --------------------------------- + x z y z 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) + --------------- -------------------------------- -- x z x y y z 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 2 f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) -- ------------------------------- =0 x z y 2 то экстремум может быть , а может и не быть (в этом случае требуется дальнейшее исследование ) 4) во всех остальных случаях f(x,y,z) не имеет ни макси мума , ни минимума . 5.Экстремумы функций многих переменных. 5.1.Необходимые условия экстремума. Пусть функция u=f(x 1 ,x 2 ,… ,x n ) определена в области D и (x 1 0 ,x 2 0 ,… ,x n 0 ) будет внутренней точкой этой области. Говорят , что функция u=f(x 1 ,x 2 ,… ,x n ) в точке (x 1 0 ,x 2 0 ,… ,x n 0 ) имеет максимум (минимум ), если её можно окружить такой окрестностью (x 1 0 x 1 0 x 2 0 x 2 0 x n 0 x n 0 ) что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство f(x 1 ,x 2 ,… ,x n )) Если эту окрестность взять настлько малой , что бы знак равенства был исключён , т . е . чтобы в каждой её точке , кроме самой точки (x 1 0 ,x 2 0 ,… ,x n 0 ) выполнялось строгое неравенство f(x 1 ,x 2 ,… ,x n )) то говорят , что в точке (x 1 0 ,x 2 0 ,… ,x n 0 ) имеет место собственный максимум (минимум ), в противном случае максимум (минимум ) называют несобственным. Для обозначения максимума и минимума (как и в случае о дной переменной ) употребляется общий термин – экстремум. Предположим , что наша функция в некоторой точке (x 1 0 ,x 2 0 ,… ,x n 0 ) имеет экстремум, Покажем , что если в этой точке существуют (конечные ) частные производные f x1 ’ (x 1 0 ,x 2 0 ,… ,x n 0 ) ,… , f ’ xn (x 1 0 ,x 2 0 ,… ,x n 0 ) то все эти частные производные равны нулю , так что обращение в нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием существования экстремума. С этой целью положим x 2 = x 2 0 ,… ,x n = x n 0 сохраняя x 1 переменным ; тогда у нас получится функция от одной переменной x 1 : u=f(x 1 , x 2 0 ,… ,x n 0 ) Так как мы предположили , что в точке (x 1 0 ,x 2 0 ,… ,x n 0 ) существует экстремум (для определенности - пу cть это будет максимум ), то , в частности , отсюда следует , что в некоторой окрестности (x 1 0 - , x 1 0 + ) точки x 1 = x 1 0 , необходимо должно выполняться неравенство f(x 1 , x 2 0 ,… ,x n 0 )< f(x 1 0 ,x 2 0 ,… ,x n 0 ) так что упомянутая выше функция одной переменной в точке x 1 = =x 1 0 будет иметь максимум , а отсюда по теореме Ферма следует , что f x1 ’ (x 1 0 ,x 2 0 ,… ,x n 0 )=0 Таким образом можно показать , что в точке (x 1 0 ,x 2 0 ,… ,x n 0 ) и остальные частные производные равны нулю. Итак , “подозрительными” на экстремум являются те точки , в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль : их координаты можно найти , решив систему уравнений f x1 ’ (x 1 0 ,x 2 0 ,… ,x n 0 )=0 …………………… . (5.1) f ’ xn (x 1 0 ,x 2 0 ,… ,x n 0 )=0 Как и в случае функции одной переменной , подобные точки называются стационарными. Замечения :Необходимое условие существования экстремума в случае диффер енцируемой функции кратко можно записать так : d f(x 1 ,x 2 ,… ,x n )=0 так как , если f x1 ’ = f x2 ’ =… = f ’ xn , то каковы бы ни были d x 1 ,d x 2 ,… ,dx n всегда f(x 1 ,x 2 d ,… ,x n )= f x1 ’ d x 1 + f x2 ’ d x 2 +… + f ’ xn dx n =0 И обратно : если в данной точке тождественно выполняется это условие , то ввиду произвольности d x 1 ,d x 2 ,… ,dx n производные f x1 ’ , f x2 ’ ,… , f ’ xn порознь равны нулю. Обычно , рассматриваемая функция f(x 1 ,x 2 ,… ,x n ) имеет (конечные ) частные производные во всей области , и тогда точки , доставляющие функции экстреммы , следует и скать лишь среди стационарных точек . Однако встречаются случаи , когда в отдельных точках некоторые частные производные имеют бесконечные значения или вовсе не существуют (в то время как остальные равны нулю ). Подобные точки , собственно , тоже следует причи с лить к “подозрительным” по экстремуму , наряду со стационарными. Иногда дается и не прибегая к достаточным условиям выяснить характер стационарной точки функции . Так , если из условия задачи непременно следует , что рассматриваемая функция имеет где-то максим ум или минимум и при этом системе уравнений (5.1) удовлетворяет только одна точка , то ясно , что эта точка и будет искомой точкой экстремума функции. Заметим , наконец , что точками экстремума непрерывной функции могут быть точки , в которых функция недифферен цируема (им соответствуюя , например , острия поверхности – графика функции ). 5.2.Достаточные условия экстремума. Так же как и для функции одной переменной , необходимый признак экстремума в случае многих переменных не является достаточным . Это значит , что и з равенства нулю частных производных в данной точке вовсе не следует , что этаточка обязательно является точкой эксремума. Достаточные условия экстремума для функций нескольких переменных носит значительно более сложный характер , чем для функции одной перем енной. Пусть функция f(x 1 ,x 2 ,… ,x n ) определена , непрерывна и имеет непрерывные производные первого и второго порядковокрестности некоторой стационарной точки (x 1 0 ,x 2 0 ,… ,x n 0 ) .Разлагая разность = f(x 1 ,x 2 ,… ,x n )-f(x 1 0 ,x 2 0 ,… ,x n 0 ) по форм yле Тейлора , получим = f x ’ ’ x 1 2 +f x ’ ’ x 2 2 +… +f x ’ ’ x n 2 +2f x1x2 ’ ’ x 1 x 2 + +2f x1x3 ’ ’ x 1 x 3 +… +2f xn-1xn ’ ’ x n-1 x n = f xixj ’ ’ x i x j где x= x i -x i 0 ; производные все вычеслены в некоторой точке ( x 1 0 +0 x 1 , x 2 0 +0 x 2 ,… , x n 0 +0 x n ) (0<0<1) Введём и здесь значения f xixj ’ ’ (x 1 0 ,x 2 0 ,… ,x n 0 )=a ik (i,k=1,2,… ,n) (5.2) так что f xixj ’ ’ ( x 1 0 +0 x 1 , x 2 0 +0 x 2 ,… , x n 0 +0 x n )= a ik + ik и ik 0 при x 1 0,… , x n 0 (5.3) Теперь интеесующее нас выражение можно написать в виде : = a ik x i x k + ik x i x k (5.4) На первом месте в скобках здесь стоит второй дифференциал функции f в рассматриваемой точке : он представляет собой однородный одночлен второй степени или , как говорят , квадратичную форму от пер еменных x 1 ,…, x n . От свойств этой квадратичной формы , как мы увидим , и зависит решение интересующего нас вопроса. В высшей алгебре квадратичную форму a ik y i y k ( a ik = a ki ) (5.5) от переменных y 1 ,… ,y n назы вают определенной положительно (отрицательно ), если она имеет положительные (отрицательные ) значения при всех значениях аргументов , не равных одновременно нулю. Необходимое и достаточное условие для того , чтобы форма (5.5) была определенной и положительной принадлежит ,как было уже сказано выше , Сильвестеру (J.J.Sylvester). Оно выражается цепью неравенств : a 11 a 12 a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 … a 1n a 11 >0, a 21 a 22 , a 21 a 22 a 23 >0,… , a 21 a 22 … a 2n a 31 a 32 a 33 ………………… a n1 a n2 … a nn Так как определенная отрицательная форма с изменением знака всех её членов переходит в определенню положительную , и обратно , то отсюда легко найти и характеристику отицательной формы : она дается цепью неравенств , которая получается из написанной выше изменением смысла неравенств через одно (начиная с первого ). Пользуясь этими по нятиями . Сформулируем достаточные для существования экстремума условия : Если второй дифференциал,т . е . квадратичная форма a ik x i x k (5.6) со значениями (5.2) коэффициентов – оказывается определенной положитель ной (отрицательной ) формой , то в используемой точке (x 1 0 ,x 2 0 ,… , x n 0 ) будет собственный минимум (максимум ). Для доказательства введем расстояние = x 1 2 +… + x n 2 между точками (x 1 0 ,x 2 0 ,… ,x n 0 ) и (x 1 ,x 2 ,… ,x n ) . Вынося в (5.5) за скобку и полагая x i (i=1,2,… ,n) перепишем выражение для в виде = a ik E i E k + ik E i E k (5.7) Числа E i зараз не обращаются в нуль , поэтому , если форма (5.7) – положительная , первая сумма в скобках в формуле (5.7) иммет всегда положительный знак . Больше того , так как E i =1 (5.8) то найдется такое постоянное положительное число m, что при всех возможных значениях E i будет a ik E i E k >m Действительно, эта сумма представляет собой непрерывную функцию от аргументов E i во всем пространстве,в частности же и в множестве М тех точек (E 1 ,… , E n ), которые удовлетворяют соотношению (5.8) (“сферическая поверхность” ). Но множество это , как нетрудно видеть , замкнуто , т . е . содержит все свои точки сгущения ; а тогда , по теореме Вейерштрасса , названная сумма будет иметь в М наименьшее значение , необходимо положительное (как и все ее значения в М ). С другой стороны , ввиду (5.3) вторая сумма в (5.7) для достаточно малых ,очевидно , будет по абсолютной величине уже меньше m, так что вся скобка окажется положительной . Итак , в достаточно малой сфере , с центром в точке (x 1 0 ,x 2 0 ,… ,x n 0 ) разность будет положительна , откуда и явствует , что в названной точке функция f(x 1 ,x 2 , … ,x n ) имеет собственный минимум. Аналогично исчерпывается и случай , когда форма (5.6) будет определенной , но отрицательной . Для того , чтобы квадратичная форма (5.6) была отрицательно определенной , необходимо и достаточно , чтобы a 11 a 12 a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 … a 1n a 11 <0, a 21 a 22 , a 21 a 22 a 23 <0,… ,(-1) n a 21 a 22 … a 2n a 31 a 32 a 33 ………………… a n1 a n2 … a nn 5.3.Метод вычисления критериев Сильвестера. Применение критерия Сильвестера для определения экстремума функции многих переменных требует вычисления определителей порядка . Рассмотрим один из возможных методов диагонализации матриц и соответственно получения треугольных определителей.Метод основан на последовательном понижении порядка определителя . При этом : 1.На каждом этапе понижения поряд ка определителя , удобная для применения вычислительной техники. 2.Получаемые в результате диагональные элементыопределителей являются элементами критерия Сильвестера и позволяют , так сказать , в “ходе вычисления” вести контроль знакоопределенности квадратич ной формы. В основу алгоритма вычислений положины два свойства определителей. 1.Известно , что a 11 a 12 a 21 a 22 Впредь замена любого определителя второго порядка элементом a 11 назовем “сверткой” определителя. 2.Определитель порядка не изменится , если э лементы какой-либо строки умножить (разделить ) на какое-либо число , не равное нулю , и сложить (вычесть ) с элементами другой строки. Итак , рассмотрим определитель n-го порядка , составленный из вторых частных производных некоторой функции n – переменных f(x 1 ,x 2 ,… ,x n ) . Положим a ik = f xixk ’ ’ .Имеем a 11 a 12 … a 1n ………………… (5.9) a n1 a n2 … a nn Умножим в (5.9) элементы первой строки на a 21/ a 11 и вычтем их из элементов второй строки. Умножим в (5.9) элементы первой строки на a 31/ a 11 и вычтем их из элементов тр етьей строки . … Умножим в (5.9) элементы первой строки на a n1/ a 11 и вычтем их из элементов последней строки. Выполнив последовательно эти операции , получим a 11 a 12 … a 1n 0 a 22 - a 12 a 21/ a 11 … a 2n - a 1n a n1/ a 11 ……………………………………………………… (5.10) 0 a n2 - a 12 a n1/ a 11 … a nn - a 1n a n1/ a 11 Умножим каждую строку в (5.10), начиная со второй на a 11 ,при этом определитель (5.10) умножится на a 11 n-2 1 ----------- (5.11) a 11 n-2 где a 11 a 22 - a 12 a 21 a 11 a 23 - a 13 a 21 … a 11 a 2n - a 1n a 21 a 11 a 32 - a 12 a 31 a 11 a 33 - a 13 a 31 … a 11 a 13n - a 1n a 31 ………………………………………………… (5.12) a 11 a n2 - a 12 a n1 a 11 a n3 - a 13 a n1 … a 11 a nn - a 1n a n1 Рассмотрим более внимательно элементы (5.12). Перепишем (5.12) в виде a 11 a 12 … a 1n-1 a 21 a 22 … a 2n-1 ………………… (5.13) a n-11 a n-12 … a n-1n-1 Из сравнения (5.12) и (5.13) видно , что a 11 – есть свертка определителя a 11 a 12 a 21 a 22 a 12 – есть свертка определителя a 11 a 13 a 21 a 23 ………………………………………………….. a 1n-1 – есть свертка определителя a 11 a 1n a 21 a 2n . Таким образом , первая строка 1n-1 является сверткой элементов первых двух строк определителя n . Более наглядно это можно сфрмклировать так : последовательно каждый “прямоугольник” элементов первой и второй строк зам еняется его сверткой ; причем первые элементы двух строк “участвуют” во всех прямоугольниках этих строк. a 11 a 12 a 13 … a 1n a 11 a 12 a 1n-1 a 21 a 22 a 23 … a 2n Аналогично вторая строка определителя n-1 является сверт кой элементов первой и третьей строк исходного определителя. a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 2n-1 a 31 a 32 a 33 … a 3n Наконец для последней строки n-1 имеем a 11 a 12 a 13 … a 1n a n-1 1 a n-1 2 a n-1n-1 a n1 a n2 a n3 … a nn Если теперь применить те же опервции к определителю n-1 , т . е . к (5.13), получим 1 …… a 11 n-3 (5.14) г де a 11 a 12 … a 1 n-2 a 21 a 22 … a 2 n-2 ………………… ………….. a n-2 1 a n-2 2 … a n-2 n-2 а элементы a ik являются сверткой соответствующих определителей – прямоугольников. Очевидно , повторяя эту операцию n – 1 раз , получим следующую формулу , предварительно введя более простые обозначения : a 11 = a 1 – левый угловой верхний элемент a 11 = a 2 – левый угловой верхний элемент a 11 = a 3 – левый угловой верхний элемент ………………………………………… a 11 = a n – левый угловой верхний элемент. С учетом этого a n ……………………….. a 1 n-2 a 2 n-3 … a n-1 (5.15) n>2 Пример № 1. 2 1 5 3 0 4 7 2 1 2*4-1*0 2*7-5*0 2*2-3*0 1 8 14 4 5 6 3 1 2 2 2*6-5*1 2*3-5*5 2*1-5*3 2 2 7 – 19 -13 0 2 1 3 2*2-0*1 2*1-5*0 2*3-3*0 4 2 6 4 7 2 7 – 19 – 13 1 4*(-19)-7*7 4*(-13)-2*7 1 -72-49 -52-14 2 3 1 4 4*1-2*7 4*3-2*2 4 -10 8 1 -121 -66 1 -121 -66 1 4 -10 8 2 -5 4 2 (-121*4-66*5)= -121*2-33*5= = -242 – 165= -407 Пример № 2. 3 0 2 1 5 0 4 1 3 6 1 3*4-0*0 3*1-2*0 3*3-0*1 3*6-5*0 1 2 3 5 1 3 3 3*2-5*0 3*3-5*2 3*5-5*1 3*1-5*5 0 3 4 0 6 3*3-2*0 3*4-2*2 3*0-2*1 3*6-2*5 1 2 3 4 5 3*2-1*0 3*3-1*2 3*4-1*1 3*5-1*5 12 3 9 18 -30 66 -264-108 1 6 – 1 10 -22 1 69 -105 96-162 3 3 9 8 -2 8 3 3 *12 2 66 78 120-108 6 7 11 10 -30 66 -372 30*105-66*69 30*66+69*372 1 69 -105 -66 1 -30*78-66*66 -30*12+66*372 3 3 *12 2 66 78 12 3 3 *12 2 *(-30) 1 3150-4554 1980+25668 1 -1404 27648 3 3 *12 2 *(-30) -2340-4356 -360+24552 3 3 *12 2 *(-30) – 6696 24192 -1404*24192+6696*27648 33965568-182476800-2654208 3 3 *12 2 *(-30) 3 3 *12 2 *30 31311360-182476800 15116544 15116544 3 3 *12 2 *30 3 3 *12 2 3888 =3888 Вычесленные в порядке получения определителий n , n-1 , … , 2 их верхние левые угловые элементы a 1 ,a 2 ,… ,a n являются критерием Сильвестера в части знаков , т.е. sign a 11 =sign a 1 sign a 11 =sign a 2 =sign a 11 a 12 a 21 a 22 ……… a 11 … a 1n sign a 11 =sign a n =sign ……….. a n1 … a nn По сути метод дает возможность вычисления определителей . Однак о нас интересуют лишь знаки определителей.Это существенно упрощает задачу. Рассмотрим функцию f(x 1 ,x 2 ,… ,x n ) . имеющую экстремум,а именно максимум в точке М 0 ( x 1 0 ,x 2 0 ,… ,x n 0 ).Это значит,что все коэффициенты a 1 , a 2 ,… , a n должны быть положительными . Поэтому проц есс определения максимума функции в точке М 0 заканчивается на любом этапе понижения определителя ,если после положительных a 1 , a 2 ,… , a k коэффициент а k+1 стал отрицательным или нулевым. Если же в точке М 0 – минимум , то коффициенты a 1 , a 2 ,… , a n образуют зн акочередующуюся последоватнльность , а именно a 1 <0, a 2 >0, a 3 <0,… Аналогично процесс прекращается , если нарушается эта знакопеременность. Итак , общая схема выглядит следующим образом : 1.Определяются стационарные точки функции , в которых 2.Определяются коэфф ициенты а ik в этих точках 2 f x i x r 3.Выясняем знак первого диагонального элемента а 11 =а 1 а ) если а 11 >0, то все последующие элементы а 2 ,а 3 ,…,а n должны быть положительными,если в точке М 0 действительно максимум б )если а 11 <0, то знаки последующ их элементов а 2 ,а 3 ,…,а n должны чередоваться , если в точке М 0 действительно минимум. 4.При нарушении какой-либо из закономерностей в п .3 процесс прекращается и формулируется вывод о том,что в точке М 0 экстремума нет. Наконец отметим следующее важное обстоят ельство . Так как коэффициенты а ik являются частными производными второго порядка и для дифференцируемой функции с непрерывными 2 f / x i x r в соответствии с теоремой Шварца эти частные производные не зависят от порядка дифференцирования , то а ik = а ki . Это важное свойство приводит к тому , что матрица (а ik ) является симметрической вместе со своим определителем а ik Покажем , что учет этого факта сокращант объем вычислений по крайней мере вдвое . Во-первых , покажем , что определитель n-1 также остает ся симметрическим,т . е . применяется операция понижения порядка инварианта и сохраняет это свойство при переходе от n-1 к n и т.д . Диагональные элементы любого определителя , очевидно , равны сами себе. Рассмотрим произвольный элемент а ik в определител е n-1 , i=k, i,k=1,2,… ,n-1. а ik = а ik – а 1 k а 1i / а 11 (*) Если переставить индексы i,k ,то a ki = а ki – а 1 i а 1k / а 11 (**) Сравнивая (*) и (**) видим , что из того , что а ik = а ki следует , что а ik = а ki . Этим доказано , что из того , что n - симм етрический определитель , определитель n-1 также симметрический.Что это дает для вычисления n-1 ? Пусть вычислена первая строка коэффициентов а 1k (k=1,2,… ,n-1) определителя n-1 , т.е . а 11 , а 12 , а 13 ,…, а 1n-1 Теперь вычислим первый столбец , он имеет вид а 11 а 21 а 31 ….. а n-1 1 Но ввиду симметричности коэффициентов , этот столбец совпадает со строкой . Другими словами , сосчитав элементы первой строки , первый столбец уже считать нет необходимости , его нужно просто записать . Для наглядности запишем a 11 a 12 … a 1 n-1 a 21 a 22 … a 2 n-1 …………………. a n1 a n2 … a n-1 n-1 Вычислим теперь элем енты второй строки , начиная с а 22 ,т.е . а 22 , а 23 , а 24 ,… , а 2 n-1 .Эта строка полностью совпадает со вторым столбцом , начиная с а 22 ,т.е. а 22 а 31 ….. а n-1 2 Итак , второй столбец автоматически заполняется элементами второй строки.Т.е . иммем a 11 a 12 а 13 … a 1 n-1 a 21 a 22 а 23 … a 2 n-1 n-1 = a 31 a 32 а 33 … a 3 n-1 ………………………….. a n-1 1 a n-1 2 a n-1 3 … a n-1 n-1 И т.д. Общий вывод : необходимо расчитать лишь правую тр еугольную часть элементов . Нижняя же левая часть определителя заполняется автоматически . Формально ее можно вообще не заполнять , т.е . оставлять в виде a 11 a 12 а 13 … a 1 n-1 a 22 а 23 … a 2 n-1 n-1 = а 33 … a 3 n-1 (5.16) ………….. a n-1 n-1 Отсюда для получения следующегоопределителя можно применить правило , условно назовем , треугольника. a 11 = a 11 a 22 - a 12 2 a 22 = a 11 a 33 - a 13 2 и т.д. Для недиа гоналных элементов схема несколько сложнее a 12 = a 11 a 23 - a 13 a 12 a 11 a 12 а 13 а 23 и т.д. Пример № 3. Исследова ть на экстремум функцию z=x 3 +y 3 -3xy 1.Находим z z ---- и ---- y x z ---- = 3x 2 -3y y z ---- = 3y 2 -3x x 2.Находим стационарные точки , решая систему 3x 2 -3y=0 3y 2 -3x=0 Получили две стационарные точкм (0;0) и (1;1). 3.Находим 2 z 2 z 2 z ------- --------- -------- x 2 y 2 x y 2 z 2 z 2 z ------- =6x --------- =6y -------- = -3 x 2 y 2 x y 4.Для точки (0;0) имеем a 11 =0 a 22 =0 a 12 = a 21 = - 3 Для точки (1;1) иммем b 11 =6 b 22 =6 a 12 = a 21 = -3 5.Находим a 11 a 12 0 -3 a 21 a 22 -3 0 b 11 b 12 6 -3 b 21 b 22 -3 6 Так как <0 , то в точке (0 ;0) экстремума нет. Так как >0 и a 11 >0 , то (1;1) – точка минимма функции , причем z min = -1. Пример № 4. Исследовать на экстремум функцию w=x 2/3 +y 2/3 +z 2/3 Ищем критические точки 2 2 2 w` x = ------ w` y = --------- w` z = ---------- 3 3 x 3 3 y 3 3 z Эти частные производные не обращаются в нуль ни при каких значениях x, y, z; они не сужествуют (обращаются в бесконечность ) в точке P 0 (0;0;0). Точка P 0 лежит внутри области определения функции w, которая представляет совокупность всех точек (x;y;z) пространства . Поэтому P 0 критическая точка. Исследуя знак разности w(P)-w(P 0 )= x 2/3 +y 2/3 +z 2/3 вблизи точки P 0 , убеждаемся , что при любых отли чных от нуля значениях x,y,z она сохраняет положительный знак . Поэтому P 0 есть точка минимума , w min =w(P 0 )=0 5.4.Экстремумы на множествах. Следует обратить внимание на то , что мы указали необходимые и достаточные условия экстремума функции лишь во внутренн ей точке области определения . Таким образом , при отыскании абсолютного максимума или минимума функции необходимо наряду с внутренними критическими точками функции исследовать также точки границы области определения , поскрльку максимальное или минимальное з начение функция может принять в одной из таких граничных точек. Пусть функция f дифференцируема на открытом ограниченом G и непрерывна на его замыкании G. Пусть требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на множестве G. Для этого можно , напр имер , найти все стационарные точки функции f в G, вычислить в них значения функции и выбрать , если , конечно это возможно (а теоретически возможно это , например , когда число стационарных точек конечно ), точки , в которых функция принимает наибольшее и наиме н ьшее значения из всех значений в стационарных точках . После этого следует сравнивать эти значения со значениями , которые функция принимает на границе открытого множества G, например , найдя , если это удается сделать , наибольшее и наименьшее значения функци и f на границе области G. Сравнив наибольшее и наименьшее значения в стационарных точках с наибольшим и наименьшим значениями на границе множества G, мы можем , очевидно , найти искомый максимум и минимум f на G. В случае , когда G – плоская область и ее грани ца является кривой , заданной некоторым представлением x=x(t), y=y(t), 0, что при всех 0 0<0<0 0 , куб Q n = x: x i -x i (0) <0,i=1,2,… ,n лежит в G и , следовательно , на нем определены все функции f 0 , f 1 , f 2 ,… , f m . Зафиксируем x m+2 = x (0) m+2 ,… , x n =x n (0) и введем обозначения x * =( x 1 ,x 2 ,… ,x m+1 ) Q m+1 = x * : x i -x i (0) <0,i=1,2,… ,m+1 Очевидно , функции f j ( x 1 ,x 2 ,… ,x m+1 ,x (0) m+2 ,… ,x n (0) ) j=1,2,… ,m определены и непрерывно дифференцируемы всюду в Q m+1 .Рассмотрим отображение Ф : Q m+1 R m+1 , задаваемое формулами y 1 = f 0 ( x 1 ,x 2 ,… ,x m+1 ,x (0) m+2 ,… ,x n (0) ) y 2 = f 1 ( x 1 ,x 2 ,… ,x m+1 ,x (0) m+2 ,… ,x n (0) ) …………………………………… (6.15) y m+1 = f m ( x 1 ,x 2 ,… ,x m+1 ,x (0) m+2 ,… ,x n (0) ) В силу (6.15) для точки x *(0) = (x 1 (0) ,x 2 (0) ,… ,x n (0) ) имеем (y 1 , y 2 ,… , y m+1 ) (f 0 , f 1 , f 2 ,… , f m ) ( x 1 ,x 2 ,… ,x m+1 ) x * = x *(0) ( x 1 ,x 2 ,… ,x m+1 ) x=x (0) а в силу (6.13) Ф (x *(0) )=(f 0 ( x (0) ,0,… ,0) .Поэтому (в силу теремы о локальной обратимости непрерывно дифференцируемого отображения в точке , в которой его якобиан не равен нулю , существует такое число >0 , что на окрестности V= y=(y 1 , y 2 ,… , y m+1 ) : y 1 - f 0 ( x (0) ) < , y j < ,j=2,3,… ,m В ч астности , поскольку при любом n,0 f( x (0) ) , f k (x`)=0, k=1,2,… ,n , x` Q n и f 0 (x``)= f 0 ( x (0) )- n> f( x (0) ) , f k (x``)=0, k=1,2,… ,n , x`` Q n В силу произвольности 0>0,0<0<0 , это и означает , что x (0) не является точкой условного экстремума. ч.т.д. Доказательство следствея . Если векторы f 1 , f 2 ,… , f m линейно независимы , то в равенстве (6.8) имеем 0 =0 так как в случае 0 =0 указанные векторы в силу (6.8) оказались бы линейно зависимыми .Разделив обе части на 0 получим равенство вида (6.9). ч.т.д. Пример № 5. Пусть требуется найти экстремум функции u=xyzt при условии x+y+z+t=4c ; область изменения переменных определяетссся неравенствовами x>0, y>0, t>0, z>0 . Применяя к этой зада че метод Лагранжа , введем вспомогательную функцию Ф =xyzt+ (x+y+z+t) И составим условия Ф x =yzt+ =0 Ф y =xzt+ =0 Ф z =yxt+ =0 Ф t =yzx+ =0 откуда yzt=xzt=xyt=xyz так что x=y=z=t=c . 6.4.Стационарные точки функции Лагранжа. В этом пункте будет дано оп исаие стационарных точек функции Лагранжа (6.10) посредством фукции 0( x m+1 ,x m+2 ,… ,x n ) , введенной в пункте 6.2 (см .(6.8)).Предварительно докажем одну простую лемму из линейной алгебры. Пусть задана система линейных однородных уравнений a i1 x 1 +… + a in x n =0 i=1 ,2,… ,m (6.16) и еще одно линейное однродное уравнение b 1 x 1 +… + b n x n =0 (6.17) Cистему уравнений , полученную присоединением к системе (6.16) уравнения (6.17), будем называть расширенной систем ой (6.16)-(6.17). Лемма : Для того чтобы расширенная система (6.16)-(6.17) была равносильна основной системе (6.16) необходимо и достаточно , чтобы уравнение (6.17) являлось линейной комбинацией уравнений системы (6.16). Следствие :Для того чтобы уравнение ( 6.17) было линейной комбинацией уранений (6.16) или , что то же самое , чтобы вектор b==(b 1 ,… ,b n ) (6.18) был линейной комбинацией векторов a i ==(a i1 ,… ,a in ) i=1,2,… ,m (6. 19) необходимо и достаточно , чтобы каждое решение системы (6.16) являлось решением уравнения (6.17). Доказательство леммы . Пусть ранг матрицы (a ij ) коэффициентов системы (6.16) равен m 0 . Очевидно , что m 0 0 выполняется неравенство d 2 F(x (0) ) >0 (соответственно d 2 F(x (0) ) <0) Пусть точка x (0) удовлетворяет уравнениям связи (6.3) и является стационарной для функции Лагранжа (6.11) и пусть второй дифференциал функци и Лагранжа в этой точке является положительно (отрицательно ) определенной квадратичной формой переменных dx 1 ,… ,dx n , при условии , что они удовлетворяют системе уравнений (6.35).Тогда из (6.36) и (6.37) следует , что x (0) является стационарной точкой для фун кции g(x) и что второй дифференциал этой функции в точке x (0) является положительно (отрицательно ) определенной квадратичной формой переменных dx m+1 ,… ,dx n , и , следовательно , функция имеет в точке x (0) строгий минимум (максимум ) , а значит , функция f 0 (x) и меет в точке x (0) условный строгий минимум (максимум ) относительно уравнений связи (6.3). Сформулируем полученный результат в виде теоремы. Теорема 6.3: Если x (0) удовлетворяет уравнениям связи (6.3) и является стационарной точкой для функции Лагранжа (6.1 1) и если второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке является положительно (отрицательно ) определенной квадратичной формой переменных dx 1 ,… ,dx n при условии , что они удовлетворяют системе уравнений (6.29), то x (0) является точкой строгого минимума (м аксимума ) для функции f относительно уравнений связи (6.3). Таким образом , чтобы исследовать стационарную точку функции Лагранжа (6.11) на условный экстремум , надо исследовать на определенность квадратичную форму (6.37), т.е . второй дифференциал функции Ла гранжа в этой точке при выполнении условий связи (6.3) (когда дифференциалы dx i , i=1,2,… ,n связаны соотношениями (6.29)).При этом следует иметь в виду , что если второй дифференциал функции Лагранжа в рассматриваемой точке окажнтся положительно (отрицательн о ) определенным и без выполнения условий связи , то он будет и таковым , конечно , и при их выплнении. 7.Заключение. Математический анализ это совершенно естественная , простая и элементарная наука , ничуть не более заумная , сложная или “высшая” , чем , скажем, “элементарная” геометрия . Многие теоремы , традиционно входившие в курс геометрии , куда сложнее , чем основополагающие теоремы классического анализа . Ныне противопоставление элементарной математики и анализа непродуктивно , и вовсе необязательно проявлять б е здну остроумия только лишь из боязни использовать свойства производной. Привнесение элементов математического анализа в школьные программы неизбежно приведет к перестройке и других областей математического образования – изменится содержание конкурсных зада ч , кружковой работы , математических олимпиад и многого другого . Теперь уже невозможно не учитывввать , что школьник должен знать нечто из ранее недоступной ему высшей математики. При этом следует иметь в виду , что если освоены лишь самые основы математическ ого анализа , можно уже делать попытки подобраться ко многим современным проблемам. При рассмотрении данной темы дипломного проекта теоритические сведения подтвердились практическим доказательством и математическим обоснованием. 8. Библиография. 1.А.Ф.Берм ант , И.Г.Араманович Краткий курс математического анализа.-М .: Наука , 1973. 2.И.Е.Жак Дифференциальное исчисление.-М .:Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР , 1960. 3.Г.И.Запорожец Руководство к решению задач по м атематическому анализу.-М .: Высшая школа ,1966. 4.В.А.Зорич Математический анализ.-М .: Наука , 1981. 5.А.П.Картышев , Б.Л.Рождественский Математический анализ.-М .: Наука , 1984. 6.А.Н.Колмогоров , С.В.Фомин Элементы теории функций и функционального анализа.-М .: Наука , 1981. 7.Л.Д.Кудрявцев Курс математического анализа.-М .: Высшая школа , 1981. 8.А.Г.Моркович , А.С.Солодовников Математический анализ.-М .: Высшая школа , 1990. 9.Н.С.Пискунов Дифференциальное и интегральное исчисление . т .1.-М .: Наука , 1978. 10.К.А.Рыбн иков История математики.-М .:Издательство Московского университета , 1994. 11.В.М.Тихомиров Рассказы о максимумах и минимумах.-М .:Наука , 1986. 12.Г.М.Фихтенгольц Основы математического анализа . т .2.-М .: Наука , 1968. 13.Г.М.Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления . т .1.-М .: Наука , 1969.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Теперь немного о вечном… Вечно я во что-то вляпаюсь!
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Экстремумы функций", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru