Реферат: Числовые системы - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Числовые системы

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 100 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

8 ТЕМА IV. ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ 1. Множество натуральных чисел Определение : Множество называется числовым , если е г о элементами являются числа. Известны следующие числовые системы : N - множество натуральных чисел ; Z - множество целых чисел ; Q - множество рациональных чисел ; R - множество действительных чисел ; С - множество комплексных чисел. Между этими множествами установлены следующие отношения : N Z Q R C . В основе расширения числовых множеств лежат следующие принципы : если множество А расширяется до множества В , то : 1) А B ; 2) операции и отношения между элементами , выполнимые во множестве А , сохраняются и для элементов множества В ; 3) во множестве В выполняются операции , не выполнимы е или частично выпол нимые во множестве А ; 4) множество В является минимальным расширением мно ж ества А , обладающим свойствами 1 ) – 3). Множество натуральных чисел N строго определяется с помощью аксиом Пеано. 1. Существует натуральное число 1, не следующее ни за каким натуральным числом (натуральный ряд начинается с 1). 2. Каждое натуральное число следует только за одним и только одним натуральным числом (в натуральном ряду нет повторений ). 3. За каждым натуральным числом следует одно и только одно натуральное число (натуральный ряд бесконечен ). 4. Аксиома индукции . Пусть М N . Если : 1) 1 М ; 2) а М множеству М принадлежит и следующий за а элемент а 1 то множество М совпадает с множеством натуральных чисел. Итак , множество N = 1, 2, 3, 4,... . На аксиоме 4 основан метод математической ин дукции . Доказательство различных утверждений этим методом проводится от частного к общему , а затем делается вывод о справедливости данного утверждения. П р и м е р . Доказать методом математической индукции следующее равенство : Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Проверим справедливость данного утверждения для n = 1: , т.е. 1 = 1. 2. Предп оложим , что данное равенство выполняется для k слагаемых , т.е . при n = k : 3. На основании предположения 2 докажем справедливость данного равенства д л я n = k + 1 : Ho , а потому , а так как , следовательно Теперь можно сделать вывод о том , что данное равенство справедливо n N . 2. Множество целых чисел Во множестве натуральных чисел выполняются операции сложе н ия и умножения , но не всегда выполняется операция вычитания . Расширяя множество N так , чтобы эта операция была выполнима , мы получаем множество целых чисел Z . Поэтому Z = N 0, -1, -2,... или Z = . ..-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... , т.е . множество целых чисел Z содержит множество натуральных чисел , число нуль и числа , противоположные натуральным. Основную роль во всей теории целых чисел играют следующие факты. Т е о р е м а о д е л е н и и с о с т а т к о м . Для любого целого а и b > 0 существуют и притом единственные целые q и r , такие , что а = bq + r, 0 r < | b |. О п р е д е л е н и е . Натурал ь ное число р называется прос тым , если р > 1 и р не имеет положительных делителей , отличных от 1 и р. О с н о в н а я т е о р е м а а р и ф м е т и к и . Для каждого натурального числа n > 1 существует единственное разложение на простые множители : , где p 1 , p 2 , ..., p k – простые числа , а - натуральные числа . Разложение называется каноническим. О п р е д е л е н и е. 1) Общим делителем целых чисел а 1 , а 2 , ..., а n называется целое число d , такое , что a 1 : d, а 2 : d, ..., а n : d. 2) Наибольшим общим д е лителем целых чисел а 1 , а 2 , ..., а n называется такой положител ьный общий делитель чисел а 1 , а 2 , ..., а n , который д е лится на любой другой общий дел и т е ль этих чисел. Обознача ет ся : d = ( а 1 , а 2 , ..., а n ). Наибольший общий делитель целых чисел а и b может быть найден с помощью алгоритма Евклида , в основе которого лежит теорема о делении с остатком . Последний , отличный от нуля , остаток и будет наибольшим общим делителем чисе л а и b . П р и м е р . Найти НОД чисел 1173 и 323. Последовательным делением находим : 1173 = 323 3 + 204; 323=204 1+119; 204=119 1+85; 119=85 1+34; 85=34 2 + 17; 34=17 2; так что (1173, 323) = 17. О п р е д е л е н и е . Наименьшим общим кратным целых чис е л а 1 , а 2 , ..., а n , отличных от нуля , назы в ается наименьшее положител ь ное число , кратное всем этим числам. Обозначают : m = [ а 1 , а 2 , ..., а n ]. Пусть а и b целые числа , тогда П р и м е р . Найти HOK чисел 1173 и 323. Т . к . (1173, 323) = 17, то [1173, 323] = 3. Множество рациональных чисел . Система действительных чисел Во множестве целых чисел выполняются операции сложения , вычитания и умножения , но не всегда выполняется операция деления . Расширяя множество Z так , чтобы эта операция была выполнима , получаем н овое числовое множество - множество рациональных чисел Q , т.е. Q = r | r= , m, n Z, n 0 . Множество рациональ ных чисел можно еще определить как множество бесконечных периодических десятичных дробей. Если же число нельзя представить в виде отношения двух целых чисел , то его называют иррациональным числом. К необходимости введения понятия иррационального числа приводит рассмотрение многих задач , в частности - задачи измерения некоторых отрезков (например , длины диагонали квадрата со стороной , равной единице ). Иррациональное число представляется непериодиче ской бесконечной десятичной дробью . Например , рациональные числа и представляются следующими десятичными дробями : = 0,75; = 0,333 ... = 0,(3). Иррациональные числа и представляются непериодическими бесконечными дробями : = 1,414...; = 3,14159.... Множество , состоящее из всех рациональных и всех иррациональных чисел , называется множеством действительных чис ел R . Геометрически действительные числа изображаются точками числовой прямой . Отметим , что между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой установлено взаимно однозначное соответствие. 4. Система комплексных чисел Однако действите льных чисел недостаточно для того , чтобы решить любое квадратное уравнение с действительными коэффициентами . Например , уравнение вида х 2 + 1= 0 действительных корней не имеет . А это означает , что система действительных чисел нуждается в расширении. О п р е д е л е н и е . Множество чисел вида а + bi, а , b R , i 2 = - 1, называется системой комплексных чисел С . а - действительная часть комплексного числа , bi - мнимая часть комплексного числа, i = - мнимая единица , b - коэффициент при мнимой единице . Запись числа в виде z = а + bi называется алгебраической . Комплексное число z = а + bi равно нулю тогда и только тогда , когда а = 0 и b = 0. Два ко мплексных числа z 1 = а 1 + b 1 i и z 2 = а 2 + b 2 i называются равными , если а 1 = a 2 , и b 1 = b 2 , в этом случае п ишут : z 1 = z 2 . Число = а - bi называется сопряженным для числа z = а + bi , при этом числа z и называются взаимно сопряженными . Наприм ер , числа z = 2 + i и z = 2 - i ; z = -5 - i и z = -5 + i , z = i и z = -i буд ут взаимно сопряженными. Арифметические действия над комплексными числами проводятся по следующим правилам . Пусть z 1 = а 1 +b 1 i z 2 = а 2 + b 2 i . Тогда : ; ; . Таким образом , видим , что если z= a+bi и =a-bi , то z = a 2 +b 2 . П р и м е р ы . Выполнить действия : 1 . (2 + 3 i ) + (8 - 5 i ) = 10 - 2 i . 2. (-1 - i ) - (2 + 3 i ) = -3 - 4 i . 3. (10 - i )(2 + i ) = 21+8 i . 4. . Геометрически комплексные числа можно изображать точками плоскости , абсциссами которых служат действительные части , а ординатами - коэффициенты при мнимой единице . Таким образом , если z= a+bi , то на плоскости ХОУ это будет точка М ( а , b ). Так как любой вектор плоскости с началом в точке O (0,0) определяется координатами конца , то компле ксные числа также изображают радиус – векторами (рис. 1). Рис. 1 Кроме алгебраической формы комплексное число может быть записано с помощью тригонометрической формы . Введем следующие опред еления. О п р е д е л е н и е . Модулем комплексного числа z = а + b i называется арифметический квадратный корень из суммы квадратов его действительной части и коэффициента при мнимой единице : |z| = r = . О п р е д е л е н и е . Аргументом комплексного числа z = а + bi называется число , для которого . Возьмем на плоскости точку М (а , b ) , пусть ей соответствует комплексное число z = а + bi . Обозначим через угол , который образует радиус – вектор ОМ с положительным направлением оси ОХ . Из ОМА (рис .2) AO = OM cos , AM = ОМ sin , но ОМ = = г , ОА =а ; AM =b ; тогда z = а + bi = rcos + ir sin = r(cos + isin ). Запись чи сла z = r(cos + isin ) называется тригонометрической формой комплексного числа. С геометрической точки зрения , модуль комплексного числа представляет собой длину радиус-вектора , который это число изображает , а аргумент - это угол , который образует данный радиус-вектор с положительным направлением оси ОХ . П р и м е р . Найти модуль , аргумент и записать число z = 1- i в тригонометрической форме. Имеем r = = ; cos = ; sin = ; тогда = и . Используя тригонометрическую форму комплексного числа , умножение и деление комплексных чисел можно выполнять т ак : если , , то z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos ( 1 + 2 ) + i sin ( 1 + 2 ) ], . Операции же возведения в целую степень и извлечения корня удобнее проводить в тригонометрической форме . Так , для возведения в целую степень n комплексного числа z = r( cos + i sin ) известна формула Муавра : z n = r n ( cos n + i sin n ). П р и м е р . Найти (2 + 2 i ) 5 . Если z = 2 +2i , то r = , cos = , sin = , = . Тогда , а . Для извлечения корня степени n N из комплексного чис ла z = = r (cos + isin ) используется следующая формула : , k = 0, 1, 2, ..., n-1. П р и м e p. Найти . Найдем тригонометрическую форму подкоренного выражения : ; ; ; ; . , k = 0, 1, 2, 3. ; ; ; . КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Дайте определение числового множества. 2. Какие числовы е системы вам известны ? 3. Какие принципы лежат в основе расширения числовых множеств ? 4. Как определяется множество натуральных чисел ? 5. Что собой представляет метод математической индукции ? 6. Дайте определение множества целых чисел. 7. Сформулируйте ос новные факты теории целых чисел. 8. Как определяется множество рациональных чисел ? 9. Дайте определение множества действительных чисел. 10. Дайте определение системы комплексных чисел. 11. Какие формы употребляются для записи комплексных чисел ? 12. Какова геометрическая интерпретация комплексного числа , его модуля и аргумента ? 13. Расскажите об умножении , делении и возведении в степень комплексных чисел , заданных в тригонометрической форме. 14. Как извлечь корень n -й степени из комплексного числа ? ЗАДАЧИ 1. Доказать ММИ : a) ; б ) ; в ) . 2. По делимому а и остатку r найти делители b и соответствующие частные q , если : а ) a = 100; r = 6; б ) а = 158; r = 37; в ) a = 497; r = 16. 3. Найти наибольшее целое число , дающее при делении на b = 13 частное q = 17. 4. Найти НОД каждой из следующих систем чисел : а ) (120; 144); б ) (424; 477); в ) (299; 391; 667). 5. Найти НОК каждой из следующих систем чисел : а ) [120; 96]; б ) [75; 114]; в ) [118; 177;413]. 6. Каким числом , рациональным или иррациональным , является значен ие выражения 8 - 5 х при х = 0,6; 1,2; -3,4? 7.Среди чисел ; 0; 0,(25); ; 3,14; ; 0,81 8118111811118... укажите рациональные и иррациональные. 8. Выполнить указанные действия : а ) (2 + 3 i ) (4 - 5 i ) + (2 - 3 i ) (4 + 5 i ); б ) . 9. Построить множество точек , из ображающих комплексные числах , удовлетворяющие соответствующим условиям : a) | z - (1 + i )| > 2 ; б ) | z + 2 - i | 1 ; в ) l | z | 2, 0 < arg z ; г ) 3 | z - 3 + 2 i | 4; < arg z . 10. Найти тригонометрическую форму комплексного числа : а ) i; б ) -2; в ) 1 + i ; г ) . 11. Вычислить : а ) ; б ) ; в ) . 12. Извлечь корн и : a) ; б ) ; в ) ; г ) ; д ) . 13. Упростить : а ) ; б ) .
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Коварная вещь — культура общения: присутствие её незаметно, зато отсутствие замечаешь сразу.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Числовые системы", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru