Цепи Маркова

Бил. 19. Цепи Маркова. Пусть сущ-ет произвольная последов-ность испытаний, в каждом из к-рых может осуществляться одно и только одно из k несовместных событий: A₁^(S), A₂^(S)…A_k^(S) . Последов-ность испытаний образует цепь Маркова, если условная вероятность в испытании S+1 осуществиться событию зависит от того, какое событие произошло на S-том испытании, и не зависит от того, какие события происх. в более ранних испытаниях. Однородные цепи. Цепь Маркова наз-ся однородной, если событие Aj^S+1 происходит с вероятностью P (Aj^S+1), при условии, что в S-том испытании происходит событие A_i^S с вероятностью P(A_i^S), и эти вероятности не зависят от S и от номера испытаний: A_i^S ? Aj^S+1 (P_ij). Матрица перехода для однородной цепи Маркова.

?₁₌ P₁₁…P_1k ; Найдем ?_n. P_ij(n)=?ⁿ_r=1 P_ir(m)P_ri(n-m);

… ?_n= ?_m*?_n-m если n=2, то ?₂=(?₁)².

P_k1…P_kk если n=3, то ?₃=?₁*?₂=(?₁)³ => ?_n=(?₁)ⁿ.

Свойства матрицы перехода: 1) ?ⁿ P_ij=1; 2) 0?P_ij?1.

^r=1

Случайные величины. Функция распределения случайных величин и ее свойства. Нормальное распределение. Пусть ? (кси) – случайная величина (напр., скорость молекул); пусть х – произвольное действительное число. Вероятность того, что ? примет значение, меньшее х, наз-ся функцией распределения вероятности случайной величины ?. F(x)=P(?

_{x 2 2} где c>0,

(a - постоянные распределения) Ф(х)=c? e ^{-(z-a) /2?} dz; ?>0.

^-f

Свойства функции распределения: 1) вероятность того, что случайная величина лежит в интервале от x₁ до x₂ равна разности функций распределения вероятности величин x₁ и x₂: P(x₁??2)=F(x₁)-F(x₂).

2)Функция распределения любой случайной величины – это неубывающая функция. 3)Функция распределения F(x) для любого x удовлетворяет неравенству 0?F(x)?1. 4)Пусть F(±?)=limF(n), тогда F(+?)=0, F(-?)=1. 5)Функция распр-я ^n?±?непрерывна слева.

Бил.20. Дискретные распределения. Если случайная величина может принимать только конечное множество значений, и при этом эти значения равны P(x)?0 для любого i-? P(z)dz (где P(z)?0 для любого z), то это распределение наз-ся непрерывным, а функция P(z) – функцией плотности вероятности величины ?(кси). Свойства плотности вероятности: 1) P(z)>0 для любого z. 2)для любого x₁, x₂ вероятность того, что x₁??2 определяется интегралом от x₁ до x₂: ? P(z)dz. 3)вероятность, что ? принадлежит отрезку (-?;+?) равна 1, и равна интегралу от -? до +?: ? P(z)dz. Числовые характеристики случайных величин. Мат. ожидание. Пусть x₁, x₂,…x_n – возможные значения дискретной величины ?, а P₁, P₂,…P_n – соответствующие им вероятности. Тогда, если ряд ? ^? x_n P_n сходится абсолютно, то его сумма наз-ся ⁿ⁼¹мат. ожиданием случайной величины ? и обозначается M?. Если случайная величина ? непрерывна, а P(x) - плотность ее вероятности, то мат. ожидание ? равно интегралу от -? до +?: M?=?xP(x)dx в тех случаях, когда существует интеграл от -? до +?: ? ?x? P(x)dx. Дисперсия. Дисперсией случайной величины ? называется мат. ожидание квадрата отклонения случайной величины ? от ее мат. ожидания m?: D?=M(? - m?)², также D?=M(?²)-(m?)². Моменты. Моментом k-того порядка наз-ся мат. ожидание: ?_k=M(?–a)^k. Если а=0, то момент наз-ся начальным, если а=M?, то момент наз-ся центральным. 1) если k–четное, то M(?–a)^k=?(z-a)^kdF?(z); 2)если k–нечетное, то момент равен интегралу от -? до +?: M(?–a)^k=?(x-a)^kdF?(x).

Бил.21 Теоремы о мат. ожидании и дисперсии. 1)мат. ожидание постоянной равно самой постоянной: M?=?. 2)мат. ожидание суммы независимых случ. величин (? и ?) равно сумме их мат. ожиданий: M(?+?)=M?+M?. Следствие: M(?₁+?₂+…+?_n)=M?₁+M?₂+…+M?_n.3)M(?*?)=M?*M?; следствие: MC?=CM?. 4)дисперсия постоянной величины равна нулю: D?=0. 5)если C-постоянная, то DC?=C²D?. 6) D(?+?)=D?+D?; следствие: D(?₁+ ?₂+…+?_n)= D?₁+ D?₂+…+ D?_n. 7) если F(x) -функция распределения величины ?, а f(x)-непрерывная функция, то мат. ожидание функции f(x) равно:

Mf(x)=?f(x)dF(x). Связь между центральным и начальным моментом. Моментом k-того порядка наз-ся мат. ожидание: ?_k=M(?–a)^k. Если а=0, то момент наз-ся начальным (?_k), если а=M?, то момент наз-ся центральным (?_k). ?₁=M(?–m?)=M?–m?=0; ?₂= M(? - m?)²= D?. ?_n=M(?–a)ⁿ=?ⁿ C^k

^k=0