Функция, и её свойства

Функция, и её свойства:

• Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

• Переменная х - независимая переменная или аргумент.

• Переменная у - зависимая переменная

• Значение функции - значение у, соответствующее заданному

• значению х.

• Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.

• Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.

• Функция является четной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)

• Функция является нечетной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)

• Возрастающая функция - если для любых х₁ и х₂, таких, что х₁< х₂, выполняется неравенство f(х₁)2)

• Убывающая функция - если для любых х₁ и х₂, таких, что х₁< х₂, выполняется неравенство f(х₁)>f(х₂)

Способы задания функции:

• Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x), где f(x) - заданная функция с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

• На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.

Элементарные функций и их свойства:

1) Постоянная функция- функция, заданная формулой у=b, где b-некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат

2) Прямая пропорциональность - функция, заданная формулой у=kx, где к0. Число k называется коэффициентом пропорциональности.

Cвойства функции y=kx:

1. Область определения функции - множество всех действительных чисел

2. y=kx - нечетная функция

3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

3) Линейная функция - функция, которая задана формулой y=kx+b, где k и b-действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.

Свойства функции y=kx+b:

1. Область определения - множество всех действительных чисел

2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.

3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

Графиком функции является прямая .

4) Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k/х, где k0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства функции y=k/x:

1. Область определения - множество всех действительных чисел кроме нуля

2. y=k/x- нечетная функция

3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+) и на промежутке (-;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-;0) и на промежутке (0;+).

Графиком функции является гипербола.

5) Функция y=x²

Свойства функции y=x²:

1. Область определения - вся числовая прямая

2. y=x² - четная функция

3. На промежутке [0;+) функция возрастает

4. На промежутке (-;0] функция убывает

Графиком функции является парабола.

6) Функция y=x³

Свойства функции y=x³:

1. Область определения - вся числовая прямая

2. y=x³ -нечетная функция

3. Функция возрастает на всей числовой прямой

Графиком функции является кубическая парабола

7) Степенная функция с натуральным показателем - функция, заданная формулой y=xⁿ, где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x²; y=x³. Их свойства рассмотрены выше.

Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция y=xⁿ обладает теми же свойствами, что и функция y=x². График функции напоминает параболу y=x², только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем «теснее прижимаются» к оси Х, чем больше n.

Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае функция y=xⁿ обладает теми же свойствами, что и функция y=x³. График функции напоминает кубическую параболу.

8) Степенная функция с целым отрицательным показателем - функция, заданная формулой y=x^-n, где n- натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.

Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x^-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.

Пусть n- четное число, например n=2.

Свойства функции y=x^-2:

1. Функция определена при всех x0

2. y=x^-2 - четная функция

3. Функция убывает на (0;+) и возрастает на (-;0).

Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

9) Функция y=х

Свойства функции y=х:

1. Область определения - луч [0;+).

2. Функция y=х - общего вида

3. Функция возрастает на луче [0;+).

10) Функция y=^3х

Свойства функции y=^3х:

1. Область определения - вся числовая прямая

2. Функция y=^3х нечетна.

3. Функция возрастает на всей числовой прямой.

11) Функция y=^nх

При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y=х. При нечетном n функция y=^nх обладает теми же свойствами, что и функция y=^3х.

12) Степенная функция с положительным дробным показателем - функция, заданная формулой y=x^r, где r- положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x^r:

1. Область определения- луч [0;+).

2. Функция общего вида

3. Функция возрастает на [0;+).

13) Степенная функция с отрицательным дробным показателем - функция, заданная формулой y=x^-r, где r- положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x^-r:

1. Обл. определения - промежуток (0;+)

2. Функция общего вида

3. Функция убывает на (0;+)

14) Квадратичная функция - функция, заданная формулой y=ax ² + bx + c

где a  0 , a, b, c – некоторые числа, x – переменная.

Свойства функции y=ax ² + bx + c:

1. D(y) = R.

2. Если b  0, c  0, то функция y=ax ² + bx + c ни четная, ни нечетная.

3. Точки пересечения с осями координат:

с осью Ox: если y = 0, то ax ² + bx + c = 0, откуда x₁ и x₂ – корни квадратного уравнения.

с осью Oy: если x = 0, то y = c

1. Функция убывает на (-;x_b], возрастает на [x_b;+) если ax ² + bx + c > 0

Функция убывает на [x_b;+), возрастает на (-;x_b] если ax ² + bx + c > 0

5. Наибольшее заначение функции y=ax ² + bx + c, a < 0 достигается в вершине

и равно y_b , наименьшего нет.

6. Наименьшее заначение функции y=ax ² + bx + c, a > 0 достигается в вершине

и равно y_b , наибольшего нет.

7. Графиком функции является парабола.

15) Свойства функции у = sinx и ее график:

Свойства:

1. D(y)=R.

2. Е(у)=[-1;1].

3. Функция у = sinx - нечетная, так как по определению синуса тригонометрического угла sin(-x) = - y/R = -sinx, где R - радиус окружности, у - ордината точки (рис).

4. Т = 2л - наименьший положительный период. Действительно,

sin(x+) = sinx.

5. Точки пересечения с осями коор­динат:

с осью Ох: sinx = 0; х = n, nZ;

с осью Oy: если х = 0, то у = 0,

6. Промежутки знакопостоянства:

sinx > 0, если x(2n;  + 2n), nZ;

sinx < 0, если х(  + 2n; 2+n), nZ.

Знаки синуса в четвертях

у > 0 для углов а первой и второй четвертей.

у < 0 для углов ее третьей и четвер­той четвертей.

7. Промежутки монотонноти:

y = sinx возрастает на каждом из промежутков [-/2 + 2n; /2 + 2n],

nz и убывает на каждом из промежутков [/2 + 2n; 3/2 + 2n], nz .

8. Точки экстремума и экстремумы функции:

x_max = /2 + 2n, nz; y_max = 1;

y_max = -/2 + 2n, nz; y_min = -1.

9. Графиком является синусоида (рис)

16) Свойства функции у = cosx и ее график:

Свойства:

1. D(y) = R.

2. Е(у)=[-1;1].

3. Функция у = cosx - четная, так как по определению косинуса три­гонометрического угла cos(-a) = x/R = cosa на тригонометричес­ком круге (рис)

4.Т = 2 - наименьший положительный период. Действительно,

cos(x+2n) = cosx.

5. Точки пересечения с осями координат:

с осью Ох: cosx = 0;

х = /2 + n, nZ;

с осью Оу: если х = 0,

то у = 1.

6. Промежутки знакопостоянства:

cosx > 0, если х(-/2+2n; /2 + 2n), nZ;

cosx < 0, если х(/2 + 2n; 3/2 + 2n), nZ.

Доказывается это на тригонометрическом круге (рис).

Знаки косинуса в четвертях:

x > 0 для углов  первой и четвертой четвертей.

x < 0 для углов  второй и третей четвертей.

7. Промежутки монотонноти:

y = cosx возрастает на каждом из промежутков [- + 2n; 2n],

nz и убывает на каждом из промежутков [2n;  + 2n], nz .

8. Точки экстремума и экстремумы функции:

x_max = 2n, nz; y_max = 1;

y_max =  + 2n, nz; y_min = -1.

9. Графиком функции является синусоида, которая полученна сдвигом гра-фика y = sinx вдоль оси Ox на /2 влево т.к y = cosx = sinx(x + /2) (рис).

17) Свойства функции у = tgx и ее график:

Свойства:

1. D(y) = (xR, x  /2 + n, nZ).

2. E(y)=R.

3. Функция y = tgx - нечетная

4. Т =  - наименьший положительный период.

5. Промежутки знакопостоянства:

tgx > 0 при х(n; /2 + n;), nZ;

tgx < 0 при x(-/2 + n; n), nZ.

Знаки тангенса по четвертям смотри на рисунке.

6. Промежутки монотонноти:

y = tgx возрастает на каждом из промежутков (-/2 + n; /2 + n),

nz .

7. Точки экстремума и экстремумы функции:

нет.

8. x = /2 + n, nz – вертикальные асимптоты

9. Графиком y = tgx является тангенсоида (рис).

17) Свойства функции у = ctgx и ее график:

Свойства:

1. D(y) = (xR, x  n, nZ)

2. E(y)=R.

3. Функция y = ctgx – нечетная.

4. Т =  - наименьший положительный период.

5. Промежутки знакопостоянства:

ctgx > 0 при х(n; /2 + n;), nZ;

ctgx < 0 при х(-/2 + n; n), nZ. Знаки котангенса по четвертям смотри на рисунке.

6. Функция у = ctgx возрастает на каждом из промежутков (n;  + n), nZ.

7. Точек экстремума и экстремумов у функции у = ctgx нет.

8. Графиком функции у = ctgx является тангенсоида, полученная сдвигом графика y= tgx вдоль оси Ох влево на /2 и умножением на (-1) (рис)

Литераура:

“Справочник по математике” И. Бронштейн, К. Семендяев 1948 г.

(стр. 122 – 25, 288)

“Математика” Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман, 2000 г.

(стр. 30 - 34)

“Алгебра начала анализа 10-11” А . Н . Колмогоров,

А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын, Б . М . Ивлев,

С . И . Шварцбурд, 1993 г.

(стр. 20 - 27)