Типовой расчет по математической статистике

Министерство образования и науки Российской Федерации

Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова

Кафедра высшей математики и математического моделирования

Типовой расчет по математической статистике

(вариант № 12)

Выполнил: ст. гр. ЭУП-41

Козлов А.В.

Проверил: Зайцев В.П.

Барнаул 2006

1. Сформируем выборку объема n = 50 из генеральной совокупности (X, Y), представленной в таблице П4 приложения. Для этого воспользуемся таблицей из 50-ти случайных чисел, полученных с помощью датчика случайных чисел. Эти числа указывают номера элементов, которые будут взяты из генеральной совокупности:

Таблица 1 (таблица случайных чисел)

40	85	57	45	94	84	38	38	17	42
58	67	79	26	78	90	60	28	47	47
71	54	23	54	7	74	46	19	39	59
9	54	16	24	99	83	75	98	52	46
20	46	2	5	85	61	59	19	39	51

Таблица 2 (выборочная совокупность)

xi	yi	xi	yi	xi	yi	xi	yi	xi	yi
65,2	162	65,1	158	56,2	162	61,0	161	51,2	153
65,5	171	61,8	157	54,8	159	54,8	159	55,9	168
51,6	156	56,9	166	70,9	179	60,9	165	55,3	165
60,8	177	71,4	171	54,8	159	57,4	160	57,2	154
71,9	168	63,7	169	60,5	159	63,3	167	65,5	171
75,1	183	62,4	165	60,8	169	60,0	171	61,9	162
68,0	165	63,5	167	55,9	168	58,7	166	67,7	169
68,0	165	59,7	164	62,5	161	50,1	153	62,5	161
62,0	165	69,0	168	60,7	162	52,9	159	60,7	162
67,8	163	69,0	168	67,7	169	55,9	168	60,4	162

2. Составим группированный ряд для величины Х. Для этого определим наибольшее x_max = 75,1 и наименьшее x_min = 50,1 значения величины X, встречающиеся в выборке. Вычислим размах R_x = x_max – x_min = 75,1 – 50,1 = 25. Весь промежуток разобьем на r = 7 интервалов. Тогда шаг разбиения h_x = R_x/r = 25/7 ? 3,571. Для того, чтобы шаг разбиения был удобный, возьмем его равным h_x = 4. Тогда расширение промежутка составит:

(4 – 3,571) ? 7 ? 3,003.

Результаты группировки выборочных значений для Х сведем в таблицу 3:

Таблица 3

Номер интервала i	Интервалы [ai-1, ai)	Середины интервалов xi*	Частоты ni	Относительные частоты ni/n	Накопленные относительные частоты
1	[ 48; 52 )	50	3	0,06	0,06	0,015
2	[ 52; 56 )	54	8	0,16	0,22	0,040
3	[ 56; 60 )	58	6	0,12	0,34	0,030
4	[ 60; 64 )	62	18	0,36	0,70	0,090
5	[ 64; 68 )	66	7	0,14	0,84	0,035
6	[ 68; 72 )	70	7	0,14	0,98	0,035
7	[ 72; 76 ]	74	1	0,02	1,00	0,005

Используя полученные результаты для x_i^* и n_i/n строим полигон относительных частот (рисунок 1); используя столбец 2-й и 7-й строим гистограмму относительных частот (рисунок 2); используя столбец 3-й и 6-й, строим график эмпирической функции распределения (рисунок 3).

Для величины Y аналогичные результаты укажем в окончательном виде. y_min = 153, y_max = 183,

R_y = 30, h_y = R_y/7 ? 4,286. Возьмем h_y = 5. Расширение промежутка разбиения составит (5 – 4,286) ?7 ? 5.

Таблица 4

Номер интервала i	Интервалы [bi-1, bi)	Середины интервалов yi*	Частоты ni	Относительные частоты ni/n	Накопленные относительные частоты
1	[150,5; 155,5)	153	3	0,06	0,06	0,012
2	[155,5; 160,5)	158	9	0,18	0,24	0,036
3	[160,5; 165,5)	163	17	0,34	0,58	0,068
4	[165,5; 170,5)	168	14	0,28	0,86	0,056
5	[170,5; 175,5)	173	4	0,08	0,94	0,016
6	[175,5; 180,5)	178	2	0,04	0,98	0,008
7	[180,5; 185,5]	183	1	0,02	1,00	0,004

На рисунках 4 – 6 изображены полигон, гистограмма относительных частот и график эмпирической функции распределения для величины Y:

3. Точечные оценки , ,

,

вычислим по группированным данным. Для удобства вычислений перейдем к условным вариантам:

,

Составим таблицу 5:

Таблица 5

Номер интервала, i	ui	ni	uini		vi	ni	vini
1	-3	3	-9	27	-3	3	-9	27
2	-2	8	-16	32	-2	9	-18	36
3	-1	6	-6	6	-1	17	-17	17
4	0	18	0	0	0	14	0	0
5	1	7	7	7	1	4	4	4
6	2	7	14	28	2	2	4	8
7	3	1	3	9	3	1	3	9
	–	50	-7	109	–	50	-33	101

Вначале вычислим:

;

;

;

;

Искомые оценки:

= 4

+ 62 = 61,4; = 5

+168 = 164,7

;

s_x = 5,93 s_y = 6,34

4. Проверим с помощью критерия

гипотезу H₀: распределение генеральной совокупности X имеет нормальный закон N(m_x, ?_x).

Здесь k = 2 неизвестных параметра m_x и ?_x (математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение) заменяются соответствующими оценками = 61,4 и s_x= 5,92.

В качестве интервалов возьмем вначале интервалы [a_i-1, a_i], i = 1, … ,7 , приняв

а₀ = –

, а₇ = +

.

Результаты расчетов выборочной величины

приведем в таблице 6:

Таблица 6

i	[ai-1, ai),	ni		Ф(zi)	pi = Ф(zi) – Ф(zi-1)	npi
1	(– ; 52 )	3	-1,59	-0,444	-0,444-(-0,5)=0,056	2,8	0,42
2	[ 52; 56 )	8	-0,91	-0,319	0,125	6,25
3	[ 56; 60 )	6	-0,24	-0,095	0,224	11,2	2,41
4	[ 60; 64 )	18	0,44	0,170	0,265	13,25	1,70
5	[ 64; 68 )	7	1,11	0,367	0,197	9,85	0,82
6	[ 68; 72 )	7	1,79	0,463	0,096	4,8	0,27
7	[ 72; + )	1	+	0,500	0,037	1,85
	–	50	–	–	1	50	= 5,62

Пришлось произвести объединение первых и последних двух интервалов из-за малости теоретических частот.

В итоге число интервалов m = 5, поэтому число степеней свободы для

распределения равно m – k – 1 = 5 – 2 – 1 = 2. По таблице П2 приложения находим

(2) = 5,99.

Вывод: так как

= 5,62<

(2) = 5,99, то гипотеза H₀ о нормальном распределении величины X не противоречит выборочным данным.

Аналогично проверяем гипотезу H₀: распределение генеральной совокупности Y имеет нормальный закон N(m_y, ?_y).

Параметры m_y и ?_y заменяем соответственно оценками = 164,7 и s_y = 6,34. Используя интервалы [b_i-1, b_i) и частоты m_i i = 1, … ,7 из таблицы 4, проведем вычисление

, оформив таблицу 7:

Таблица 7:

i	[bi-1, bi),	mi		Ф(zi)	pi = Ф(zi) – Ф(zi-1)	npi
1	(– ; 155,5)	3	-1,45	-0,427	-0,427 - (-0,5) = 0,073	3,65	0,04
2	[155,5; 160,5)	9	-0,66	-0,245	0,182	9,1
3	[160,5; 165,5)	17	0,13	0,051	0,296	14,8	0,33
4	[165,5; 170,5)	14	0,91	0,319	0,268	13,4	0,03
5	[170,5; 175,5)	4	1,70	0,455	0,136	6,8	0,46
6	[175,5; 180,5)	2	2,49	0,494	0,039	1,95
7	[180,5; + )	1	+	0,500	0,006	0,30
	–	50	–	–	1	50	= 0,86

Здесь объединены два первых и три последних интервала, чтобы выполнялось условие np_i > 5. В итоге получили m = 4 интервалов, поэтому число степеней свободы для

распределения равно m – k – 1 = 4 – 2 – 1 = 1. По таблице П2 приложения определяем

(1) = 3,84.

Вывод: так как

= 0,86 <

(1) = 3,84, то гипотеза H₀ о нормальном распределении величины Y не противоречит выборочным данным.

5. Доверительный интервал для математического ожидания M[X] имеет вид:

Учитывая, что = 61,4, s_x = 5,93, n = 50, ? = 1 – ? = 0,05,

= t _0,975 (49) = 2,01, получим с надежностью ? = 0,95

59,71 < M[X] < 63,09.

Аналогично получим доверительный интервал для математического ожидания M[Y] (учитывая, что = 164,7 , s_y = 6,34):

162,90 < M[Y] < 166,50.

Доверительный интервал для дисперсии D[X] имеет вид:

Так как

= 35,2;

;

, то с надежностью ? = 0,95 получим:

24,16 < D[X] < 53,23.

Аналогично определяется доверительный интервал для дисперсии D[Y] с учетом, что

= 40,25:

27,62 < D[Y] < 60,87.

6. Построим корреляционную таблицу 8 – таблицу с двумя входами. По вертикали расположим интервалы [a_i-1, a_i) для величины Х, а по горизонтали интервалы [b_i-1, b_i), для Y ( i = 1, …, 7, j = 1, …, 7 ). Каждую пару выборочных значений ( x_k, y_k ), k = 1, …, 50 разнесем по полученным клеткам, в результате получим частоты n_ij – количество пар

( x_k, y_k ), таких, что x_k

[a_i-1, a_i) и y_k

[b_i-1, b_i). В угловых скобках <…> указаны значения условных вариант u_i и v_j. В последнем столбце и последней строке вычислены условные средние.

Вычислим выборочный коэффициент r_в, используя условные варианты, по формуле:

,

где

=

=

[(-3) ?(-3) ?2+(-3) ?(-2) ?1+(-2) ?(-2) ?4+(-2) ?(-1) ?1+(-1) ?(-3) ?1+

+(-1) ?(-2) ?1+(-1) ?(-1) ?2+1?(-2) ?1+1?(-1) ?2+1?1?2+2?(-1) ?2+2?1?1+2?2?1+3?3?1] =

=1,16;

= – 0,14 ;

= – 0,66 ; s_u = 1,48 ; s_v = 1,27.

Итак,

Y X	[150,5;155,5) =153 <-3>	[155,5; 160,5) =158 <-2>	[160,5; 165,5) =163 <-1>	[165,5; 170,5) =168 <0>	[170,5; 175,5) =173 <1>	[175,5; 180,5) =178 <2>	[180,5; 185,5] =183 <3>	ni.	( )
[48; 52) = 50 <-3>	.. 2	. 1						3	154,7
[52; 56) = 54 <-2>		…. 4	. 1	… 3				8	162,4
[56; 60) = 58 <-1>	. 1	. 1	.. 2	.. 2				6	162,2
[60; 64) = 62 <0>		.. 2	…… 10 ….	…. 4	. 1	. 1		18	164,4
[64; 68) = 66 <1>		. 1	.. 2	.. 2	.. 2			7	166,6
[68; 72) = 70 <2>			.. 2	… 3	. 1	. 1		7	168,7
[72; 76] = 74 <3>							. 1	1	183,0
n.j	3	9	17	14	4	2	1	?=50
( )	52,7	57,1	62,5	62	66	66	74

Таблица 8

Проверим гипотезу H₀: между X и Y отсутствует корреляционная связь, то есть коэффициент корреляции генеральной совокупности r = 0, при конкурирующей гипотезе H₁: r > 0. Гипотезу H₁ взяли с учетом того, что выборочный коэффициент r_в = 0,57 > 0.

В качестве статистики возьмем величину:

.

При рассматриваемой гипотезе H₁ критическая область будет односторонней

V_кр = (t_1-?(n-2) ; +

) = ( t_0,95 (48) ; +

) = (1,68 ; +

).

Вычислим выборочное значение статистики:

4,81.

Так как t_в(48) = 4,81

V_кр, то H₀ отвергаем, то есть следует считать, что наблюдаемые величины X и Y (вес и рост человека) коррелированные, причем большему значению X в среднем соответствует большее значение величины Y.

7. Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет вид:

.

Подставляя в это уравнение значения

,

, s_x, s_y, r_в, получаем:

или y = 0,61x + 127,28.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии X на Y:

.

Отсюда

или x = 0,53y – 26,41.

Для построения эмпирических линий регрессии Y на X и X на Y найдем условные средние (

) и (

), используя корреляционную таблицу 8:

(

) =

(153?2 + 158?1) = 154,7

(

) =

(158?4 + 163?1 + 168?3) = 162,4

(

) =

(153?1 + 158?1 + 163?2 + 168?2) = 162,2

(

) =

(158?2 + 163?10 + 168?4 + 173?1 + 178?1) = 164,8

(

) =

(158?1 + 163?2 + 168?2 + 173?2) = 166,6

(

) =

(163?2 + 168?3 + 173?1 + 178?1) = 168,7

(

) =

?183?1 = 183,0

(

) =

(50?2 + 58?1) = 52,7

(

) =

(50?1 + 54?4 + 58?1 + 62?2 + 66?1) = 57,1

(

) =

(54?1 + 58?2 + 62?10 + 66?2 + 70?2) = 62,5

(

) =

(54?3 + 58?2 + 62?4 + 66?2 + 70?3) = 62

(

) =

(62?1 + 66?2 + 70?1) = 66

(

) =

(62?1 + 70?1) = 66

(

) =

?74?1 = 74

Итак, получены точки M_i(

,(

)):

M₁ (50; 154,7),

М₂ (54; 162,4),

М₃ (58; 162,2),

М₄ (62; 164,8),

M₅ (66; 166,6),

M₆ (70; 168,7),

M₇ (74; 183)

и точки N_j ((

),

):

N₁ (52,7; 153),

N₂ (57,1; 158),

N₃ (62,5; 163),

N₄ (62; 168);

N₅ (66; 173),

N₆ (66; 178);

N₇ (74; 183).

Ломаная с вершинами в точках M_i(

,(

)) есть эмпирическая линия регрессии Y и X (на рисунке 7 – линия 1), а ломанная с вершинами в точках N_j ((

),

) – эмпирическая линия регрессии X на Y (на рисунке 7 – линия 2).

На рисунке 7 также изображены прямые линии регрессии Y на X (сплошной линией) и X на Y (пунктирной линией). На этом же рисунке отмечены выборочные точки (x_i, y_i),

i = 1, … 50 (диаграмма рассеивания).