Реферат: Типовой расчет графов - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Типовой расчет графов

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 275 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Типовой расчет графов Данная работа является типовым расчетом N2 по курсу "Дискретная математика " по теме "Графы ", предлагаемая студентам МГТУ им . Баумана . (Вариант N 17). Сразу хочу сказать для своих коллег : Граждане ! Имейте терпение и совесть , поймите , что я это делаю для Вас с целью помочь разобраться в этой теме , а не просто свалить очередной предмет . Мне известно , как непросто сейчас с литературой , и с информацией вообще . Поиски неизвестно какой книги занимают много времени , поэтому в конце я привел небольшой список литературы , составленный мной из р азличных источников в дополнение к списку , написанному ранее в работе по графам (о постановке лаб . работ по алгоритму Прима и Дейкстра ), которая , я надеюсь , есть в сети. Содержание работы : Типовой расчет состоит из 11-ти задач : 1, 2 и 3 задачи относятся к способам задания графов и опредению их характеристик , таких как диаметр , радиус и т.д. 4 и 5 задачи соответственно на алгоритм Прима и Дейкстра . Здесь я снова отсылаю Вас к более ранней работе (см. выше ). 6-я задача о поиске максим ального потока в сети (метод Форда-Фалкерсона ). 7-я задача - Эйлерова цепь (задача о почтальоне ). 8-я задача - Гамильтонова цепь. 9-я задача - метод ветвей и границ применительно к задаче о коммивояжере. 10-я задача - задача о назначениях ; венгерский алгоритм. 11-я зад ача - тоже методом ветвей и границ. G ор (V,X) Рис . 1 Задача 1 Для неориентированного графа G, ассоциированного с графом G ор выписать (перенумеровав вершины ) : а ) множество вершин V и мн ожество ребер X, G(V,X); б ) списки смежности ; в ) матрицу инцидентности ; г ) матрицу весов. д ) Для графа G ор выписать матрицу смежности. Нумерация вершин - см . Рис 1 а ) V= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 X= 0,1 , 0,2 , 0,3 , 1,2 , 1,4 , 1,5 , 1,6 , 1,7 , 2,3 , 2,5 , 3,8 , 3,9 , 4,5 , 4,6 , 5,3 , 5,6 , 5,8 , 6,9 , 7,8 , 7,9 , 8,9 В дальнейшем ребра будут обозначаться номерами в указанном порядке начиная с нуля. б ) Г 0= 1,2,3 ; Г 1= 0,2,4,5,6,7 ; Г 2= 0,1,3,5 ; Г 3= 0,2,5,8,9 ; Г 4= 1,5,6 ; Г 5= 1,2,3,4,6,8 ; Г 6= 1,4,5,9 ; Г 7= 1,8,9 ; Г 8= 1,3,5,7,9 ; Г 9= 3,6,7,8 ; в ) Нумерация вершин и ребер соответственно п . а ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 г ) Показана верхняя половина матрицы , т.к . матрица весов неориентированного графа симметрична относительно главной диагонали. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 8 3 5 1 1 2 2 4 5 2 2 5 3 1 1 6 4 4 2 5 2 1 6 2 7 1 1 8 6 9 д ) Матрица смежности для графа G ор . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 1 2 -1 -1 1 1 3 -1 -1 -1 1 1 4 -1 1 1 5 -1 -1 1 -1 1 1 6 -1 -1 -1 1 7 -1 1 1 8 -1 -1 -1 1 9 -1 -1 -1 -1 Задача 2 Найти диаметр D(G), радиус R(G), количество центров Z(G) для графа G ; указать вершины , являющиеся центрами г рафа G. D(G)=2 R(G)=2 Z(G)=10 Все вершины графа G(V,X) являются центрами. Задача 3 Перенумеровать вершины графа G, используя алгоритмы : а ) "поиска в глубину "; б ) "поиска в ширину ". Исходная вершина - . а ) б ) Задача 4 Используя алгоритм Прима найти остов минимального веса графа G. выписать код укладки на плоскости найденного дерева , приняв за корневую вершину . Вес найденного дерева - 14. Код укладки дерева : 000011000001111111. Задача 5 Используя алгоритм Дейкстра найти дерво кратчайших путей из вершины графа G. Вес найденного пути - 8. Задача 6 Используя алгоритм Форда - Фалкерсона , найти максимальный поток во взвешенной двуполюсной ориентированной сети G ор , , w . Указать разрез минималь ного веса. Последовательность насыщения сети (насыщенные ребра отмечены кружечками ): 1-й шаг 2-й шаг 3-й шаг 4-й шаг 5-й шаг 6-й шаг 7-й шаг Окончательно имеем : Как видно из рисунка , ребра 6,9 , 7,9 , 3,9 , питающие вершину , насыщенны , а оставшееся ребро 8,9 , питающееся от вершины 8, не может получить большее значение весовой функци и , так как насыщенны все ребра , питающие вершину 8. Другими словами - если отбросить все насыщенные ребра , то вершина недостижима , что является признаком максимального потока в сети. Максимальный поток в сети раве н 12. Минимальный разрез сети по числу ребер : 0,1 , 0,2 , 0,3 . Его пропускная способность равна 16 Минимальный разрез сети по пропускной способности : 6,9 , 7,9 , 3,9 , 3,8 , 5,8 , 7,8 . Его пропускная способность равна 12. Задача 7 (Задача о почтальоне ) Выписать степенную последовательность вершин графа G. а ) Указать в графе G Эйлерову цепь . Если таковой цепи не существует , то в графе G добавить наименьшее число ребер таким образом , чтобы в новом графе можно было указать Эйлерову цепь. б ) Ук азать в графе G Эйлеров цикл . Если такого цикла не существует , то в графе G добавить наименьшее число ребер таким образом , чтобы в новом графе можно было указать Эйлеров цикл. Степенная последовательность вершин графа G: (3,6,4,5,3,6,4,3,4,4) а ) Для сущ ествования Эйлеровой цепи допустимо только две вершины с нечетными степенями , поэтому необходимо добавить одно ребро , скажем между вершинами 4 и 7. Полученная Эйлерова цепь : 0,3,2,0,1,2,5,1,4,5,6,1,7,4,6,9,7,8,9,3,8,5,3. Схема Эйлеровой цепи (добавленное ребро показано пунктиром ): б ) Аналогично пункту а ) добавляем ребро 3,0 , замыкая Эйлерову цепь (при этом выполняя условие существования Эйлерова цикла - четность степеней всех вершин ). Ребро 3,0 кратное , что не противоречит заданию , но при необходимости можно ввести ребра 0,7 и 4,3 вместо ранее введенных. Полученный Эйлеров цикл : 0,3,2,0,1,2,5,1,4,5,6,1,7,4,6,9,7,8,9,3,8,5,3,0. Схема Эйлерова цикла (добавленные ребра показаны пу нктиром ): Задача 8 а ) Указать в графе G ор Гамильтонов путь . Если такой путь не существует , то в графе G ор изменить ориентацию наименьшего числа ребер таким образом , чтобы в новом графе Гамильтонов путь можно было указать. б ) Указать в графе G ор Гамильтонов цикл . Если такой цикл не существует , то в графе G ор изменить ориентацию наименьшего числа ребер таким образом , чтобы в новом графе Гамильтонов цикл можно было указать. а ) Гамильтонов путь (ребра с измененной ориентацией показаны пунктиром ): б ) Гамильтонов цикл (ребра с измененной ориентацией показаны пунктиром ): Задача 9 (Задача о коммивояжере ) Дан полный ориентированный симметрический граф с вершинами x 1 , x 2 ,...x n .Вес дуги x i x j задан элементами V ij матрицы весов . Используя алгоритм метода ветвей и границ , найти Гамильтонов контур минимального (максимального ) веса . Зада чу на максимальное значение Гамильтонова контура свести к задаче на минимальное значение , рассмотрев матрицу с элементами ,где . Выполнить рисунок. Исходная таблица. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 1 3 7 2 11 x 2 8 0 6 4 3 x 3 6 0 5 7 2 x 4 6 13 5 x 5 3 3 3 4 5 x 6 8 6 2 2 Таблица Е 14 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 1 1 5 0 1 7 2 x 2 8 0 1 4 1 x 3 6 0 0 7 0 0 x 4 1 8 0 1 5 x 5 0 1 0 0 0 0 1 0 0 3 x 6 6 4 0 0 0 0 2 2 Дробим по переходу x 2 -x 3 : Таблица 23 =14+0=14 x 1 x 2 x 4 x 5 x 6 x 1 1 0 1 7 x 3 6 7 0 6 x 4 1 0 1 x 5 0 1 0 1 1 0 0 x 6 6 4 0 0 0 0 Таблица 23 =14+1=15 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 1 1 5 0 1 7 x 2 7 3 0 3 1 x 3 6 0 0 7 0 0 x 4 1 8 0 1 x 5 0 1 0 0 0 5 1 0 0 x 6 6 4 0 0 0 0 Продолжае м по 23. Дробим по переходу x 3 -x 6 : Таблица 23E36 =14+0= 14 x 1 x 2 x 4 x 5 x 1 1 0 1 x 4 1 0 1 x 5 0 1 0 1 1 x 6 6 0 0 0 0 Таблица 23 36 =14+6=20 x 1 x 2 x 4 x 5 x 6 x 1 1 0 1 7 x 3 0 1 1 6 x 4 1 0 1 x 5 0 0 0 1 1 0 7 x 6 6 4 0 0 0 0 Продолжаем по 23 36. Дробим по переходу x 4 -x 5 : Таблица 23E36 45 =14+0=14 x 1 x 2 x 4 x 1 1 0 1 x 5 0 1 0 1 1 x 6 6 0 0 Таблица 23 36 45 =14+1=15 x 1 x 2 x 4 x 5 x 1 1 0 1 x 4 0 0 1 x 5 0 1 0 1 1 x 6 6 0 0 0 0 Продолжаем по 23 36 45. Дробим по переходу x 5 -x 1 : Таблица 23 36 45 51 =14+1=15 x 2 x 4 x 1 1 1 x 6 0 0 Таблица 23 36 45 51 =14+6=20 x 1 x 2 x 4 x 1 1 0 1 x 5 0 1 x 6 0 0 0 6 Окончательно имеем Гамильтонов контур : 2,3,6,4,5,1,2. Прадерево разбиений : Задача 10 (Задача о назначениях ) Дан полный двудольный граф K nn с вершинами первой доли x 1 , x 2 ,...x n .и вершинами другой доли y 1 , y 2 ,...y n ..Вес ребра xi , y j задается элементами v ij матрицы весов . Используя венгерский алгоритм , найти совершенное паросочетание минимального (максимального веса ). Выполнить рисунок. Матрица весов двудольного графа K 55 : y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1 2 0 0 0 0 x 2 0 7 9 8 6 x 3 0 1 3 2 2 x 4 0 8 7 6 4 x 5 0 7 6 8 3 Первый этап - получение нулей не нужен , т . к . нули уже есть во всех строк и столбцах. Второй этап - нахождение полного паросочетания. y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1 2 0 0 0 0 x 2 0 7 9 8 6 x 3 0 1 3 2 2 x 4 0 8 7 6 4 x 5 0 7 6 8 3 Третий этап - нахождение максимального паросочетания. y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1 2 0 0 0 0 X x 2 0 7 9 8 6 X x 3 0 1 3 2 2 x 4 0 8 7 6 4 x 5 0 7 6 8 3 X X Четвертый этап - нахождение минимальной опоры. y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1 2 0 0 0 0 x 2 0 7 9 8 6 5 x 3 0 1 3 2 2 1 x 4 0 8 7 6 4 2 x 5 0 7 6 8 3 3 4 Пятый этап - возможная перестановка некоторых нулей. y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1 3 0 0 0 0 x 2 0 6 8 7 5 5 x 3 0 0 2 1 1 1 x 4 0 7 6 5 3 2 x 5 0 6 5 7 2 3 4 Решен ие с ненулевым значением . Переход ко второму этапу. Полное паросочетание : y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1 3 0 0 0 0 x 2 0 6 8 7 5 x 3 0 0 2 1 1 x 4 0 7 6 5 3 x 5 0 6 5 7 2 Максимальное паросочетание : y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1 3 0 0 0 0 X x 2 0 6 8 7 5 X x 3 0 0 2 1 1 x 4 0 7 6 5 3 x 5 0 6 5 7 2 X X Минимальная опора : y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1 3 0 0 0 0 6 x 2 0 6 8 7 5 7 x 3 0 0 2 1 1 1 x 4 0 7 6 5 3 2 x 5 0 6 5 7 2 3 4 5 Перестановка нулей : y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1 3 0 0 0 0 6 x 2 0 6 8 7 5 7 x 3 0 0 2 1 1 1 x 4 0 7 6 5 3 2 x 5 0 6 5 7 2 3 4 5 Полное паросочетание : y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1 3 0 0 0 0 6 x 2 0 6 8 7 5 7 x 3 0 0 2 1 1 1 x 4 0 7 6 5 3 2 x 5 0 6 5 7 2 3 4 5 Максимальное паросочетание : y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1 3 0 0 0 0 X x 2 0 6 8 7 5 x 3 0 0 2 1 1 X x 4 0 7 6 5 3 X x 5 0 6 5 7 2 X X X Минимальная опора : y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1 3 0 0 0 0 x 2 0 6 8 7 5 1 x 3 0 0 2 1 1 x 4 0 7 6 5 3 x 5 0 6 5 7 2 2 3 Перестановка нулей : y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1 5 0 0 0 0 x 2 0 4 6 5 3 1 x 3 2 0 2 1 1 x 4 2 7 6 5 3 x 5 0 4 3 5 0 2 3 Полное паросочетание : y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1 5 0 0 0 0 x 2 0 4 6 5 3 x 3 2 0 2 1 1 x 4 2 7 6 5 3 x 5 0 4 3 5 0 Максимальное паросочетание : y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1 5 0 0 0 0 X x 2 0 4 6 5 3 X x 3 2 0 2 1 1 X x 4 2 7 6 5 3 x 5 0 4 3 5 0 X X X X X Минимальная опора : y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1 5 0 0 0 0 x 2 0 4 6 5 3 x 3 2 0 2 1 1 x 4 2 7 6 5 3 1 x 5 0 4 3 5 0 Перестановка нулей : y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1 5 0 0 0 0 x 2 0 4 6 5 3 x 3 2 0 2 1 1 x 4 0 5 4 3 1 1 x 5 0 4 3 5 0 Полное паросочетание : y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1 5 0 0 0 0 x 2 0 4 6 5 3 x 3 2 0 2 1 1 x 4 0 5 4 3 1 1 x 5 0 4 3 5 0 Максимальное паросочетание : y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1 5 0 0 0 0 X x 2 0 4 6 5 3 X x 3 2 0 2 1 1 X x 4 0 5 4 3 1 x 5 0 4 3 5 0 X X X X X Минимальная опора : y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1 5 0 0 0 0 x 2 0 4 6 5 3 3 x 3 2 0 2 1 1 x 4 0 5 4 3 1 1 x 5 0 4 3 5 0 2 Перестановка нулей : y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1 6 0 0 0 0 x 2 0 3 5 4 2 3 x 3 3 0 2 1 1 x 4 0 4 3 2 0 1 x 5 1 4 3 5 0 2 Полное паросочетание : y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1 6 0 0 0 0 x 2 0 3 5 4 2 3 x 3 3 0 2 1 1 x 4 0 4 3 2 0 1 x 5 1 4 3 5 0 2 Максимальное паросочетание : y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1 6 0 0 0 0 X x 2 0 3 5 4 2 X x 3 3 0 2 1 1 X x 4 0 4 3 2 0 x 5 1 4 3 5 0 X X X X X Минимальная опора : y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1 6 0 0 0 0 x 2 0 3 5 4 2 4 x 3 3 0 2 1 1 x 4 0 4 3 2 0 1 x 5 1 4 3 5 0 5 2 3 В результате имеем : y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 x 1 6 0 0 0 0 x 2 0 1 3 2 2 4 x 3 3 0 2 1 1 x 4 0 2 1 0 0 1 x 5 1 4 3 5 0 5 2 3 Исходный граф Полученный граф : Вес найденного совершенного паросочетания = 12. Задача 11 Решить задачу 10, используя алгоритм ветвей и границ (отождествив вершины x i и y j ). Таблица Е (исходная ). Строки - x i , столбцы - y j . =0 1 2 3 4 5 1 2 0 1 0 3 0 2 0 2 2 0 6 7 9 8 6 3 0 1 1 3 2 2 4 0 4 8 7 6 4 5 0 3 7 6 8 3 Дробим по переходу x 2 - y 1 : Таблица Е 21 =0+8=8 2 3 4 5 1 0 0 0 2 0 1 0 0 3 0 1 2 1 1 1 4 4 3 2 0 2 4 5 4 3 5 0 3 3 Таблица 21 =0+6=6 1 2 3 4 5 1 2 0 1 0 3 0 2 0 0 2 1 3 2 0 1 6 3 0 1 1 3 2 2 4 0 4 8 7 6 4 5 0 3 7 6 8 3 Продолжаем по 21: Дробим по переходу x 4 - y 1 : Таблица 21Е 41 =6+4=10 2 3 4 5 1 0 0 0 2 0 1 0 0 2 1 3 2 0 1 3 0 1 2 1 1 1 5 4 3 5 0 3 3 Таблица 21 41 =6+4=10 1 2 3 4 5 1 2 0 1 0 3 0 2 0 0 2 1 3 2 0 1 3 0 1 1 3 2 2 4 4 3 2 0 2 4 5 0 3 7 6 8 3 Продолжаем по Е 21: Дробим по переходу x 5 - y 5 : Таблица Е 21Е 55 =8+2=10 2 3 4 1 0 0 0 1 0 0 3 0 1 2 1 4 2 1 0 1 2 Таблица Е 21 55 =8+3=11 2 3 4 5 1 0 0 0 2 0 1 0 0 3 0 1 2 1 1 4 4 3 2 0 2 5 1 0 1 2 3 Продолжаем по Е 21Е 55: Дробим по переходу x 3 - y 2 : Таб лица Е 21Е 55Е 32 =10+0=10 3 4 1 0 1 0 0 4 1 0 1 Далее решение очевидно : x 1 - y 3 и x 4 - y 4 . Это не увеличит оценку. В итоге имеем совершенное паросочетание с минимальным весом : Прадерево разбиений : Литература 1. Грешилов А.А . Как принять наилучшее решение в реальных условиях :-М .:Радио и с вязь , 1991.-320с .:ил. 2. Беллман Р . Динамическое программирование : Пер . с англ ./Под ред . Н.Н . Воробьева.-М .: ИЛ , 1960.-400 с. 3. Беллман Р ., Дрейфус С . Прикладные задачи динамического программирования : Пер с англ ./Под ред . А.А . Первозванског о.-М .: Наука , 1965.-458 с. 4. Вентцель Е.С . Исследование операций.-М .: Сов . радио , 1972.-551 с. 5. Вильямс Н.Н . Параметрическое программирование в экономике (методы оптимальных решений ):-М .:Статистика , 1976.-96с. 6. Гольштейн Е.Г ., Юдин Д.Б. Новые направления в линейном программировании :-М .: Сов радио , 1966.- 524 с. 7. Зангвилл У.И . Нелинейное программирование : Пер . с англ ./Под ред . Е.Г . Гольштейна.-М .: Сов радио , 1973.- 312 с. 8. Зуховицкий С.И ., Авдеева Л.И . Линейное и выпук лое программирование (справочное руководство ).-М .: Наука , 1964.-348 с. 9. Исследование операций . Методологические основы и математические методы : Пер . с англ ./ Под ред . И.М . Макарова , И.М . Бескровного.-М .: Мир , 1981.- Т .1.-712 с. 10. Исследован ие операций . Модели и применение : Пер . с англ ./ Под ред . И.М . Макарова , И.М . Бескровного.-М .: Мир , 1981.- Т .1.-712 с. 11. Лазарев В.Г ., Лазарев Ю.В . Динамическое управление потоками информации в сетях связи.-М .: Радио и связь , 1983.- 216 с. 12. Мартин Дж . Системный анализ передачи данных .: Пер с англ ./ Под ред . В.С . Лапина.-М .: Мир , 1975.- М .2.- 431 с. 13. Монаков В.М ., Беляева Э.С ., Краснер Н.Я . Методы оптимизации . Пособие для учителя.-М .: Просвещение , 1978.- 175с. 14. Муртаф Б . Современное линейное программирование : Теория и практика . Пер . с англ ./Под ред . И.А . Станевичуса .- М .: Мир , 1984.- 224 с. 15. Рокафеллор Р . Выпуклый анализ : Пер . с англ ./Под ред . А.Д . Иоффе , В.М . Тихомирова.-М .: Мир , 1973.- 469 с. 16. Суха рев А.Г ., Тимохов А.В ., Федоров В.В . Курс методов оптимизации .- М .:- Наука , Физматгиз , 1986.- 326 с. 17. Ху Т . Целочисленное программирование и потоки в сетях : Пер . с англ ./Под ред . А.А . Фридмана .- М .: Мир , 1974.-419 с. 18. Фиакко А ., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование . Методы последовательной безусловной минимизации : Пер . с англ ./Под ред . Е.Г . Гольштейна . -М .:- Мир , 1972.- 240 с. 19. Филлипс Д ., Гарсиа-Диас А . Методы анализа сетей : Пер . с англ ./ Под ред . Б.Г . Сушкова .- М .: Мир , 1984.- 496 с. 20. Юдин Д.Б ., Гольштейн Е.Г . Линейное программирование . Теория и конечные методы ,- М .:- Физматгиз , 1963.- 775 с.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Английский эксперт осматривает противотанковый ров на украинской границе:
- Несомненно, этот ров является серьезным препятствием для одиночного танка.
Но ... , по моему скромному разумению, - танковый прорыв все же предотвратить не удастся!
- Как?! Почему?!
- Элементарно! Мы имеем дело с Россией, не так ли?
- Да ... Вы очень проницательны, сэр ...
- Тогда очевидно, что танки быстро наполнят ров и он перестанет представлять для них преграду!
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Типовой расчет графов", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru