Реферат: Теория множеств с парадоксами - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Теория множеств с парадоксами

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 52 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

15 17 Элементы теории множеств Аннотация Реферат написан по одному из основных разделов математики, «тео рии множеств». В работе рассматриваются основные понятия изучаемой тео рии, их взаимосвязь. Также представлены основные законы теории множеств . Работа снабжена иллюстрациями и пояснениями к ним. Приведена краткая и стория развития данной теории, рассмотрены некоторые ученые, занимающи еся разработками в этой сфере. Кроме того, в реферате указаны основные пр отиворечия теории множеств (парадоксы). Содержание Введение……………………………… ………………………………… 3 1 Краткая история развития т еории множеств…………………. 4 2 Понятия т еории множеств………………………………………….. 6 3 Пустое мн ожество…………………………………………………….. 9 4 Мощность множеств…………………………………………… ……. 10 5 Алгебра м ножеств…………………………………………………….. 11 6 Парадокс ы………………………………………………………………. 12 7 Аксиома в ыбора………………………………………………………. 14 Заключени е…………………………………………………………….. 15 Литератур а……………………………………………………………… 16 Введение Теория множеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических ди сциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой матем атики. «Множества» окружают нас повсюду. Люди, студенты, звезды, понятия — все э ти предметы, мыслимые вместе, образуют множества. Коллектив, созвездие, п олк — это тоже множества людей или звезд. Таким образом, любые объекты, которые мы мыслим вместе и котор ые мы можем объединить либо списком, либо при помощи общего признака, буд ут составлять множество. Несмотря на основополагающий характер данной теории и достаточ ную давность ее исследования, в этой области существует большое количес тво неточностей, противоречий и парадоксов. В настоящее время теория множеств широко используется при решении зада ч на компьютере. Она значительно облегчает запись на различных языках пр ограммирования. Рассмотрение теории множеств дает ключ к дальнейшему более глубокому п онимаю всех отраслей математики. Целью данной работы является рассмотрение основ теории множеств, выявл ение ее составляющих, а также определение современной степени ее развит ия. Краткая история развития теории множеств Наивная теория множеств До второй половины 19-го века понятие "множества" не рас сматривалось в качестве математического ("множество книг на полке", "множ ество человеческих добродетелей" и т. д. - всё это чисто бытовые обороты ре чи). Положение изменилось, когда немецкий математик Георг Кантор разрабо тал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой ма тематический объект должен был оказываться тем или иным "множеством". На пример, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множе ство, состоящее из единственного элемента другого множества, называемо го "натуральным рядом" - который, в свою очередь, сам представляет собой мн ожество, удовлетворяющее так называемым аксиомам Пеано. При этом общему понятию "множества", рассматривавшемуся им в качестве центрального для м атематики, Кантор давал мало что определяющие определения вроде "множес тво есть многое, мыслимое как единое", и т. д. Это вполне соответствовало ум онастроению самого Кантора, подчёркнуто называвшего свою программу не " теорией множеств" (этот термин появился много позднее), а учением о множеств ах (Mengenlehre). Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современн ых ему крупных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объекта ми могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственн о сводится (известна его фраза о том, что "бог создал натуральные числа, а в сё прочее - дело рук человеческих"). Тем не менее, некоторые другие математ ики - в частности, Готлоб Фреге и Давид Гильберт - поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык. Однако вскоре выяснилось, что установка Кантора на неогра ниченный произвол при оперировании с множествами (выраженный им самим в принципе "сущность математики состоит в её свободе") является изначально порочной. А именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий : оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлен ий некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицани ями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть "доказано" абсолютно любое утверждение). Антиномии ознаменовали соб ой полный провал программы Кантора. Аксиоматическая теория множеств В начале 20-го века Бертран Рассел, изучая наивную теорию множеств, пришел к парадоксу (с тех пор изве стному как парадокс Рассела). Таким образом, была продемонстрирована нес остоятельность наивной теории множеств и связанной с ней канторовской программы стандартизации математики. После обнаружения антиномии Рассела часть математиков (напр имер, Л. Э. Я. Брауэр и его школа) решила полностью отказаться от использова ния теоретико-множественных представлений. Другая же часть математико в, возглавленная Д. Гильбертом, предприняла ряд попыток обосновать ту ча сть теоретико-множественных представлений, которая казалась им наимен ее ответственной за возникновение антиномий, на основе заведомо надёжн ой финитной математики. С этой целью были разработаны различные аксиома тизации теории множеств. Особенностью аксиоматического подхода является отказ от лежащего в ос нове программы Кантора представления о действительном существовании м ножеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий мно жества "существуют" исключительно формальным образом, и их "свойства" мог ут существенно зависеть от выбора аксиоматики. Этот факт всегда являлся мишенью для критики со стороны тех математиков, которые не соглашались ( как на том настаивал Гильберт) признать математику лишённой всякого сод ержания игрой в символы. В частности, Н. Н. Лузин писал, что "мощность контин уума, если только мыслить его как множество точек, есть единая некая реал ьность", место которой в ряду кардинальных чисел не может зависеть от тог о, признаётся ли в качестве аксиомы континуум-гипотеза, или же её отрицан ие. В настоящее время наиболее распространённой аксима тической теорией множеств является ZFC - теория Цермело— Френкеля с аксио мой выбора. Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более - о сущест вовании модели для неё) остаётся нерешенным. Понятия теории множеств Теория множеств составляет основу построения всей современ ной математики. Сама она базируется на двух очень простых понятиях: на по нятии множества и понятии элемента . Понятие множества является одни м из наиболее общих и наиболее важных математических понятий . Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором (1845-1918).Следуя Кантору , понятие "множество " мо жно определить как совокупность объектов , обладающих определенным свойством , объединенных в единое целое . Т. о . Под множеством принято понимать любую с овокупность объектов , которые по какой-либо пр ичине необходимо сгруппировать вмест е. Объекты, составляющие множество, называются элементами множ ества. Множество A и его элемент a находятся в отношении принадлежности: a A . Эта запись расшифров ывается так: элемент a принадле жит множеству A , а множество A содержит в себе элемент a . Выделим из множества A какую-нибудь часть его элементов. Эту выделенную часть можно трактовать как самостоятельное множество B . Тот факт, что B яв ляется частью A , обозначают так : B A . При этом говорят, что B есть подмножество множества A . Надо четко различать две записи a О A B М A Знак включения М связывает два множества, а знак принадлежности О связывает мно жество с его элементом. Составляя множество B , мы могли включить в него все элементы из A . Тогда получится B = A . Но даже в этом крайнем случае B можно тр актовать как часть A . То есть B М A не исключает возможности совпадения B = A . Желая обозначить подмножество B , не совпадающее с A , будем писать В А. Другой крайний случай B М A возникает, к огда B не содержит ни одного эле мента. Такое множество называют пустым множеством и обозначают специал ьным значком B Ж A . Пустое множество можно рассматривать к ак подмножество для любого множества A , т. е. Ж М A . Пусть A и B - два произвольных множества. Некоторые из элементов этих двух множеств могут быть общими: c О A и c О B . Из таких элементов формируется отдельное множество C , которое называют пересечением множ еств A и B . Его обозначают так: C = A З B . Если A З B Ж , то говорят, что м ножества A и B пересекаются. Если же, наоборот, A З B = Ж , то говорят, что эти множества не пе ресекаются. Пусть вно вь A и B - два произвольных множества. Соберем в одно множеств о C все элементы из A и B . Полученное множество в этом случае называют объединением мн ожеств A и B . Его обозначают так: C = A И B . Элементы, составляющие множество A И B , разбиваются на три группы (на три подмножества). Это: · элементы, принадлежащие множеству A и множеству B одновременно; · элементы, принадлежащие множеству A, но не принадлежащие множ еству B; · элементы, принадлежащие множеству B, но не принадлежащие множеству A. Первая группа элементов составляет пересечение A З B . Вторая группа эле ментов составляет множество, которое называют разностью множеств A и B . Его обозначают A \ B . Очевидно, что третья группа элементов, составляет множество, которое является разностью B \ A . Множества A З B , A \ B и B \ A не пересекаются друг с другом. При этом их объединение совпад ает с объединением A и B : A И B = ( A З B ) И ( A \ B ) И ( B \ A ). Дополнением множества А в В называется разность А\В, если В являе тся подмножеством множества А. Дополнение множества обозначается СА. Пустое множество Среди множеств выделяют особое множество - пустое множество. Пустое множество- множество, не содержащее ни одного элемента. Вот что говорит о пустом множестве П.С.Александров : «Пустое множество, по определению, не содержит элементов; число элементо в пустого множества есть нуль. Необходимость рассмотрения пустого множ ества видна из того, что когда мы определяем тем или иным способом множес тво, то мы можем и не знать заранее, содержит ли оно хотя бы один элемент. На пример, вероятно, множество страусов, находящихся в данный момент за Пол ярным кругом, пусто; однако мы не можем этого утверждать с уверенностью, т. к., может быть, какой-нибудь капитан и завез какого-нибудь страуса за Поляр ный круг». Пустое множество является частью любого множества. Множество считается определенным, если указаны все его элементы. Эти эле менты могут быть указаны с помощью некоторого общего признака или с помо щью некоторого списка, где обозначены все элементы. Последний способ возможен только в том случае, если множество имеет коне чное число элементов. Конечное множество- множество, состоящее из конечного числа элементов. Основной характеристикой конечного множества является число его элеме нтов. Теория конечных множеств изучает правила: как, зная количество эле ментов некоторых множеств, вычислить количество элементов других множ еств, которые составлены из первых с помощью некоторых операций. Бесконечное множество - непустое множество, не являющееся конечным. Пример: Множество натуральных чисел является беск онечным. Упорядоченное множество - множество, каждому элементу которого поставлено в соответствие некоторое число (номер этого элемента) от 1 до n, где n - число элементов множества, так что различным элементам соответств уют различные числа. Каждое конечное множество можно сделать упорядоче нным, если, например, переписать все элементы в некоторый список (a, b, c, d,...), а за тем поставить в соответствие каждому элементу номер места, на котором он стоит в списке. Мощность множеств Первым вопросом, возникшим в применении к бесконечным множеств ам, был вопрос о возможности их количественного сравнения между собой. О твет на этот и близкие вопросы дал в конце 70-ых годов 19 века ученый Г.Кантор, основавший теорию множеств как математическую науку. Возможность срав нительной количественной оценки множеств опирается на понятие взаимно однозначного соответствия между двумя множествами. Пусть каждому элем енту множества А поставлен в соответствие в силу какого бы то ни было правила или закона некоторый определенный эл емент множества В ; если при этом каждый эле мент множества В оказывается поставленны м в соответствие одному и только одному элементу множества А , то говорят, что между множествами А и В установлено взаимно одноз начное соответствие. Очевидно, что между конечными множествами можно ус тановить взаимно однозначное соответствие тогда и только тогда, когда о ба множества состоят из одного и того же числа элементов. Два множества называются равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Еще до создания теории множеств чешский ученый Б.Больцано владел, с одно й стороны, вполне точно формулированным понятием взаимно однозначного соответствия, а с другой стороны, считал несомненным существование беск онечностей различных ступеней; однако, он не только не сделал взаимно од нозначное соответствие основой установления количественной равносил ьности множеств, но решительно возражал против этого. Б.Больцано останав ливало только то, что бесконечное множество может находиться во взаимно однозначном соответствии со своей правильной частью. Вместо того, чтобы в применении к бесконечным множествам отказаться от а ксиомы: часть меньше целого, Б.Больцано отказался от взаимной критерия р авномощности, и таким образом, остался вне основной линии развития теори и множеств. В каждом бесконечном множестве имеется (как легко доказывает ся) правильная часть, равномощная всему М , тогда как ни в одном конечном множестве такой правильной час ти найти нельзя. Поэтому наличие правильной части, равномощной целому, м ожно принять за определение бесконечного множества. Для двух бесконечных множеств А и В возможны следую щие три случая: либо А есть прав ильная часть, равномощная В , но в В нет правильной части, равно мощной А ; либо, наоборот, в В есть правильная часть, равномощн ая А , а в А нет правильной части, равномощной В ; либо в А есть правильная часть, равномощная в, и в В есть правильная часть, равномощная А . Доказано, что в третьем случае А и В равномощны. В первом случае говорят, что мощность множества а больше мощности мно жества В , во втором - что мощность множества В больше мощности множества А . Множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называется сч етным множеством. Мощность счетных множеств есть наименьшая мощность, к оторую может иметь бесконечное множество; всякое бесконечное множеств о содержит счетную правильную часть. Г.Кантор доказал, что множество все х рациональных и даже всех алгебраических чисел счетно, тогда как множес тво всех действительных чисел - несчетное множество. Тем самым было дано новое доказательство существования трансцендентных чисел. Мощность мн ожества всех действительных чисел называется мощностью континуума. Г.К антор высказал гипотезу (континуум-гипотезу): всякое множество, состоящее из действительных чисел, либо конечно, либо счетно, либо равномощно множеству всех действительных чис ел. Алгебра множеств Алгебра множеств — это совокупность тождеств справедливых нез ависимо от того, какое универсальное множество V и какие именно его подмн ожества входят в эти тождества. Законы алгебры множеств: 1) Коммутативный (переместительный): А
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
- Так ты, Вадик, говоришь, что не хочешь жениться? А вот если ты встретишь кого-то, кто будет почти идеален и готов потакать всем твоим капризам?
- Тогда, Люся, я скажу, что отечественная робототехника сильно шагнула вперёд!
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Теория множеств с парадоксами", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru