Реферат: Теория колец - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Теория колец

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 90 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Теория колец Множества с двумя алгебраическими операциями . Кольца и поля. Пусть на множестве R определены две алгебраические операции , которые мы будем называть сложением и умножением и обозначать соответственно + и *. Говорят , что умножение обладает свойством (правой ) дистрибутивности относительно сложения , ес ли . (1) Аналогично определяется свойство левой дистрибутивности . Разумеется , если операция умножения коммутативна , эти сво йства равнозначны . В общем случае говоря о свойстве дистрибутивности мы будем подразумевать двустороннюю дистрибутивность. Предположим , что операция ’ + ’ на R имеет нейтральный элемент , обозначаемый 0. Положив в равенстве (1) y = z = 0 , получим : x *0 = x *0 + x *0, откуда , при наличии свойства сокращения для операции ’ + ’ , получаем , что x *0 = 0 . Если для элемента y имеется противоположный элемент ( - y ), то взяв в том же равенстве z = - y , получим : 0 = x *0 = x * y + x *(- y ) и , значит , x *(- y ) = - x * y . Определени е. Множество с двумя алгебраическими операциями R (+,*) называется кольцом , если 1. ( R , +) - абелева группа ( аддитивная группа кольца R ). 2. Умножение в R дистрибутивно относительно сложения. Дополнительные свойства операции умножения отмечаются с помо щью соответствующих прилагательных перед словом кольцо . Так ассоциативное кольцо - это кольцо , в котором операция умножения обладает свойством ассоциативности . Аналогичный смысл имеет термин коммутативное кольцо . Наличие нейтрального элемента для операции умножения выражают термином кольцо с единицей ( этот нейтральный элемент называют единицей и обозначают или просто e ); При этом дополнительно предполагается , что кро ме свойств 1 и 2 выполнено 3. 0. Элементы такого кольца R , имеющие обратн ые относительно операции умножения , называются обратимыми , а их множество обозначается через . Отметим , что для ассоциативного кольца с единицей множество является группой по умножению , называемой мультипликативной группой кольца R . Поскольку в кольце R с единицей x *0 = 0 e , элемент 0 из R необратим . В случае ассоциативного кольца не будет обратим и такой элемент y 0, для которого можно найти такое z 0, что y * z = 0 . Такой элемент y называется (левым ) делителем нуля. Опред еление. Полем называется такое ассоциативное коммутативное кольцо с единицей k , в котором всякий ненулевой элемент обратим : . Таким образом , по определению в поле отсутствуют делители нуля. Примеры колец и полей. 1. Хорошо известными примерами полей являются , конечно , поля R , Q , и C соответственно вещественных , рациональн ых и комплексных чисел . Отметим , что любое поле содержит по крайней мере 2 элемента - 0 и e . Этот “минимальный” запас элементов и достаточен для образования поля : операции определяются очевидным образом ( отметим только , что e + e =0) . Построенное поле из дв ух элементов обозначается GF (2) ( по причинам , которые будут ясны в дальнейшем ). Напомним также , что если p - простое число , то все вычеты по модулю p , кроме 0, обратимы относительно операции умножения . Значит , рассматривая группу с дополнительной операцией умножения , мы получаем поле из p элементов , которое обозначается GF ( p ) . 2. Множество Z целых чисел с операциями сложения и умножения дает важный пример ассоциативн ого коммутативного кольца с единицей . Аддитивная группа этого кольца - хорошо известная нам бесконечная циклическая группа . Мультипликативная группа содержит всего 2 эл емента 1 и -1 и потому изоморфна . Элементы , не входящие в необратимы , хотя и не являются делителями нуля. 3. Пусть R - любое ассоциативное коммутативное кольцо . Множество - квадратных матриц порядка n с элементами из кольца R образует кольцо относительно операций сложения и умножения матриц . Отметим , что кольцо матриц ассоциативно , но , вообще говоря , не коммутативно . Если R содержит единицу , то матрица Е = diag ( , ,..., ) , будет единицей кольца матриц . Заметим , что для любой матрицы имеет смысл понятие определителя det ( A ) R , причем det ( AB )= det ( A ) det ( B ). Если det ( A ) обратимый элемент кольца R , то матрица A обратима в кольце матриц : , где - присоединенная к А матрица (то есть транспонированная матрица из алгебраических дополнений ). Таким образом , = - группа матриц порядка n с обратимым определителем . В случае поля R это означает , что det ( A ) 0 , то есть матрица невырождена . С другой стороны , в этом случае любая вырожденная матрица будет делителем нуля . В самом деле , из det ( A ) = 0 следует , что столбцы А линейно зависимы : , причем не все коэффициенты нулевые . Построим ненулевую матрицу В , взяв в качестве ее первого столбца и считая прочие элементы В нулевыми . Тогда А *В = 0 и значит А - делитель нуля. 4. Пусть снова R любое ассоциативное коммутативное кольцо и x - некоторый символ . Формальная сумма вида p = , где называется многочленом над кольцом R . Если , то число n называется степенью этого мног очлена и обозначается deg ( p ) . Нулевой многочлен не имеет степени . Многочлены над R можно складывать и перемножать по обычным правилам и они образуют кольцо R [ x ] . Если кольцо R имеет единицу е , то многочлен нулевой степени p = e будет единицей кольца R [ x ] . Ес ли R не имеет делителей нуля , то deg ( pq )= deg ( p )+ deg ( q ) и потому R [ x ] также не имеет делителей нуля . В то же время обратимыми элементами кольца многочленов будут в точности обратимые элементы R , рассматриваемые как многочлены нулевой степени . Отметим , что эта конструкция позволяет рассматривать и многочлены от нескольких переменных : по определению , R [ x , y ] = R [ x ][ y ] (= R [ y ][ x ]) . Определение. Подмножество называется подкол ьцом , если оно является кольцом относительно тех же операций , которые определены в R . Это означает , что К является подгруппой аддитивной группы R и замкнуто относительно умножения : . Отметим , что если R обладает свойством ассоциативности , коммутативности или отсутствием делителей нуля , то и К обладает теми же свойствами . В то же время , подкольцо кольца с единицей может не иметь единицы . Например , подкольцо четных чисе л 2 Z Z не имеет единицы . Более того , может случиться , что и R и K имеют единицы , но они не равны друг другу . Так будет , например , для подкольца , состоящего из матриц с нулевой последней строкой и последним столбцом ; = diag (1,1,...,1,0) = diag (1,1,...,1) . Определение. Гомоморфизмом колец называется отображение , сохраняющее обе кольцевые операции : и . Изоморфизм - это взаимно однозначный гомоморфизм. Ядро гомоморфизма - это ядро группового гомоморфизма аддитивных групп , то есть множество всех элементов из R , которые отображаются в . Пусть снова - некоторое подкольцо . Поскольку (К ,+) - подгруппа коммутативной группы ( R ,+) , можно образовать факторгруппу R / K , элементами которой являются смежные классы r + K . Посколь ку К *К К , для произведения двух смежных классов имеет место включение : ( r + K )*( s + K ) r * s + r * K + K * s + K . Определение. Подкольцо К называется идеалом кольца R , если : x * K K и K * y K . Мы вид им , что если К является идеалом в R , произведение смежных классов ( r + K )*( s + K ) содержится в смежном классе r * s + K . Значит в факторгруппе R / K определена операция умножения , превращающая ее в кольцо , называемое факторкольцом кольца R по идеалу К . Примеры. 1. Подкольцо nZ является идеалом кольца Z , поскольку для любого целого m m ( n Z ) n Z . Факторкольцо Z / n Z - это множество вычетов по модулю n с операциями сложения и ум ножения . Отметим , что если число n не является простым , то Z / n Z имеет делители нуля. 2. Пусть I R [ x ] - множество всех многочленов , у которых =0. Удобно записать : I = x R [ x ] . Поскольку p * I =( p * x ) R [ x ] I , мы имеем идеал кольца многочленов . Каждый смежный класс q + I содержит элемент . Значит , ( q + I )*( s + I ) = ( + I )*( + I ) = * + I . 3. В развитие предыдущего примера рассмотрим некоторое ассоциативное коммутативное кольцо S . Если любой е го элемент , то множество I = x * S является идеалом кольца S , называемым главным идеалом с образующим элементом x . Этот идеал обозначается ( x ) . Если S кольцо с единицей и элемент x обратим , то ( x )= S . 4. Если кольцо S является полем , то всякий ненулевой ид еал I в S совпадает со всем полем . В самом деле , если , x 0, то для всякого имеем : , откуда . 5. Пусть I идеал кольца R . Сопоставляя каждому элементу смежный класс r + I , получаем сюръективный гомоморфизм . Этот гомоморфизм называется естественным гомоморфизмом кольца на факто ркольцо. Замечание. Свойства ассоциативности , коммутативности и наличия единицы очевидно сохраняются при переходе к факторкольцу . Напротив , отсутствие в R делителей нуля еще не гарантирует их отсутствие в факторкольце (см . пример 1). Теорема об ядре. Ядро гомоморфизма колец является идеалом. Доказательство. Пусть - гомоморфизм колец , I = Ker , - любой элемент . Тогда , ( x * I ) = ( x )* ( I ) = ( x )*0 =0 . Значит , x * I Ker = I . Аналогично проверяется , что I * x I . Теорема о гомоморфизме для колец . Пусть - сюръективный гомоморфизм колец . Тогда S изоморфно факторкольцу R / Ker . Если эти изоморфные кольца отождествить , то отождествляется с естественным гомоморфизмом кольца R на свое факторкольцо . Доказательство этой теоремы аналогично доказательству соответствующей теоремы для групп и мы его опускаем. Пример. Пусть K - кольцо многочленов R [ x ] , : K C - гомоморфизм , сопоставляющий каждому многочлену p его значение в точке i : ( p ) = p ( i ) . Ядро этого гомоморфизма составляют многочлены , представимые в виде : ( +1)* q ( x ) , где q - любой многочлен . Можно записать : Ker = ( +1). По теореме о гомоморфизме . Кольцо многочленов над полем. Кольцо многочленов над полем (в отличие от случая многочленов над кольцом ) обладает рядом специфических свойств , близких к свойствам кольца целых чисел Z . I. Делимость многочленов. Хорошо известный дл я многочленов над полем R способ деления “ углом ” использует только арифметические действия над коэффициентами и потому применим к многочленам над любым полем k . Он дает возможность для двух ненулевых многочленов p , s k [ x ] построить такие многочлены q ( неполное частное ) и r ( остаток ), что p = q * s + r , причем либо r =0 , либо deg ( r )< deg ( s ) . Если r =0 , то говорят , что s делит p (или является делителем p ) и обознач ают это так : s | p . Будем называть многочлен унитарным ( или приведенным ), если его старший коэффициент равен 1. Определение. Общим наибольшим делителем ненулевых многочленов p и s называется такой унитарный многочлен ОНД ( p , s ) , что 1. ОНД ( p, s) | p; ОНД ( p, s) | s . 2. q | p, q | s q | ОНД ( p, s) . По определению , для ненулевого многочлена р со старшим коэффициентом а ОНД (р , 0) = ОНД (0, р ) = р /а ; ОНД (0, 0)=0. Аналогично определяется ОНД любого числа многочленов. Единственность ОНД двух многочленов непосредственно вытекает из определения . Существование его следует из следующего утверждения. Основная теорема теории делимости ( для многочленов ). Для любы х двух ненулевых многочленов p и q над полем k можно найти такие многочлены u и v над тем же полем , что ОНД ( p , q )= u * p + v * q . Доказательство этой теоремы очень похоже на приведенное в лекции доказательство аналогичной теоремы над Z . Все же наметим основ ные его шаги . Выберем такие многочлены u и v чтобы сумма w = u * p + v * q имела возможно меньшую степень ( но была ненулевой !). Можно при этом считать w унитарным многочленом . Проверим , что w | p . Выполняя деление с остатком , получаем : p = s * w + r . Подставляя это равенство в исходное , находим : r = p - s * w = p - s *( u * p + v * q ) = (1- s * u )* p +(- s * v ) q = U * p + V * q . Если при этом r 0 , то deg ( r )< deg ( w ) , что противоречит выбору w . Значит , r =0 . Аналогично проверяется , что w | q . Обозначим : W = ОНД ( p , q ) . По определению w | W . С другой стороны , W | p , W | q W | w . Остается заметить , что оба многочлена w и W унитарные и значит W = w . Замечание. Используя индукцию , можно доказать , что для любого числа многочленов ОНД для подходящих многочленов . Более того , эта формула сохраняется даже для бесконечного множества многочленов , поскольку их ОНД в действительности является ОНД некоторого их конечного подмножества. Следствие. Всякий идеал в кольце многочленов над полем является главным. В самом деле , пусть p - ОНД всех многочленов , входящих в идеал I. Тогда , где . По определению идеала отсюда вытекает , что , а значит , I =(p). II. Разложение на множители. Пусть k некоторое поле, p , q , s - многочлены над k . Если p = q * s , причем оба многочлена q и s имеют степень меньшую , чем p , то многочлен p называется приводимым (над полем k ). В противном случае p неприводим . Неприводимый многочлен в кольце k [ x ] является аналогом простого числа в кольце Z . Ясно , что каждый ненулевой многочлен p = можно раз ложить в произведение : p = * , где все многочлены неприводимы над k и имеют старший коэффициент равный 1. Можно доказать , что такое разложение единственно с точностью до порядка сомножителей . Разумеется среди этих множителей могут быть одинаковые ; так ие множители называются кратными . Объединяя кратные множители можно то же разложение записать в виде : p = . Примеры. 1. . Заметим , что многочлены первой степени по определению неприводимы над любым полем . Множитель x является кратным , остальные - простые. 2. Многочлен неприводим над полем Q рациональных чисел . В самом деле , если ( )=( x - a ) * q , то подставляя в это равенство x = a , полу чаем : , что невозможно ни для какого рационального числа a . Тот же многочлен над полем R вещественных чисел приводим : , причем второй множитель имеет отрицательный дискриминант и потому далее не разложим над R . Наконец , над полем C комплексных чисел имеем : , где = - кубический корень из 1. На этом примере мы видим , что понятие приводимости существенно зависит от того над каким полем рассматривается многочлен. Свойства неприводимых многочленов. 1 .Если p- неприводимый многочлен и d =ОНД (p, q) 1, то p | q. В самом деле , p = d*s и если deg(s )>0, то это противоречит неприводимости p, а если deg(s )=0, то d | q p | q. 2. Если p | и p неприводим , то либо p | либо p | . Действительно , в противном случае НОД (p, ) = НОД (p, ) =1 и потому по основной теореме теории делимости ; , откуда : и значит , , то есть НОД (p, )=1 и , следовательно , deg (p )=0. III. Корни многочленов . Производная и кратные корни. Пусть p = некоторый многочлен над k и . Элемент поля k, равный , называется значением многочлена p в точке a и обозначается p(a). Соответствие является гомоморфизмом Ядро этого гомоморфизма состоит из всех многочленов , для которых p(a) = 0, то есть a является их корнем . Поскольку ядро I - идеал , содержащий (x-a) и не совпадающий с k [ x ] ( x - a + ) , а каждый идеал в k[x] - главный , то I =(x-a). Мы приходим таким образом к теореме Безу : элемент будет корнем многочлена p тогда и только тогда , когда (x - a) | p. Отсюда непосредственно вытекает , что неприводимый многочлен степени больше 1 не имеет корней . Если | p , то a называется корнем кратности не ниже n. Введем понятие производной многочлена p. По определению это многочлен . Имеют место обычные правила вычисления производной : ; . Отсюда следует , что и потому наличие у многочлена корня a кратности не ниже n влечет наличие у его производной того же корня кратности не ниже ( n -1) . В частности , если p ( a ) = 0, но , то к орень a - простой (то есть не кратный ). Если | p , но не делит p , то число n называется кратностью корня a . Пусть - множество всех корней многочлена p с указанными кр атностями . Поскольку при a b НОД ( , ) =1, многочлен p делится на и потому deg ( p ) . Итак , многочлен степени n имеет не более n к орней с учетом их кратности .
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Вот говорят, у меня душонка мелкая. А мне хорошо - никому мне в душу плюнуть не удаётся - не попадают.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Теория колец", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru