Реферат: Теория игр и принятие решений - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Теория игр и принятие решений

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 102 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

12 Теория игр и принятие решений. В зависимости от условий внешней с реды и степени информативности лица принимающего решение (ЛПР ) производится следующая классификация задач принятия решений : а ) в условиях риска ; б ) в условиях неопределённости ; в ) в условиях конфликта или противодействия (активного противника ). Часть 1. Теория полезности и принятия решений. Глава 1. Принятие решений в условиях риска. 1. Критерий ожидаемого значения. Использование критерия ожидаемого значения обусловлено стремлением максимизировать ожидаемую при быль (или минимизировать ожидаемые затраты ). Использование ожидаемых величин предполагает возможность многократного решения одной и той же задачи , пока не будут получены достаточно точные расчётные формулы . Математически это выглядит так : пусть Х случайная величина с математическим ожиданием MX и дисперсией DX . Если x 1 ,x 2 ,...,x n значения случайной величины (с.в .) X , то среднее арифметическое их (выборочное среднее ) значений имеет дисперсию . Таким образом , когда n 0 и MX . Другими словами при достаточно большом объёме выборки разница между средним арифметическим и математическим ожиданием стремится к нулю (так называемая пр едельная теорема теории вероятности ). Следовательно , использование критерия ожидаемое значение справедливо только в случае , когда одно и тоже решение приходится применять достаточно большое число раз . Верно и обратное : ориентация на ожидания будет приводи т ь к неверным результатам , для решений , которые приходится принимать небольшое число раз. Пример 1 . Требуется принять решение о том , когда необходимо проводить профилактический ремонт ПЭВМ , чтобы минимизировать потери из-за неисправности . В случае если рем онт будет производится слишком часто , затраты на обслуживание будут большими при малых потерях из-за случайных поломок. Так как невозможно предсказать заранее , когда возникнет неисправность , необходимо найти вероятность того , что ПЭВМ выйдет из строя в пер иод времени t . В этом и состоит элемент риска . Математически это выглядит так : ПЭВМ ремонтируется индивидуально , если она остановилась из-за поломки . Через T интервал ов времени выполняется профилактический ремонт всех n ПЭВМ . Необходимо определить оптимальное значение Т , при котором минимизируются общие затраты на ремонт неисправных ПЭВМ и проведение профилактического ремонта в расчёте на один интервал времени. Пусть р t вероятность выхода из строя одной ПЭВМ в момент t , а n t случайная величина , равная числу всех вышедших из строя ПЭВМ в тот же момент . Пусть далее С 1 затраты на ремонт неисправной ПЭВМ и С 2 затраты на профилактический ремонт одной машины . Применение критерия ожидаемого значения в данном случае оправдано , если ПЭВМ работают в течени е большого периода времени . При этом ожидаемые затраты на один интервал составят ОЗ = , где M(n t ) ма тематическое ожидание числа вышедших из строя ПЭВМ в момент t . Так как n t имеет биномиальное распределение с параметрами ( n, p t ) , то M(n t ) = np t . Таким образом ОЗ = Н еобходимые условия оптимальности T * имеют вид : ОЗ (T * - 1) ОЗ (T * ) , ОЗ (T * +1) ОЗ (T * ). Следовательно , начиная с малого значения T , вычисляют ОЗ (T) , пока не будут удовлетворены необходим ые условия оптимальности. Пусть С 1 = 100; С 2 = 10; n = 50. Значения p t имеют вид : T р t ОЗ (Т ) 1 0.05 0 2 0.07 0.05 375 3 0.10 0.12 366.7 4 0.13 0.22 400 5 0.18 0.35 450 T * 3 , ОЗ (Т * ) 366.7 Следовательно профилактический ремонт не обходимо делать через T * = 3 интервала времени. 2. Критерий ожидаемое значение дисперсия . К ри терий ожидаемого значения можно модифицировать так , что его можно будет применить и для редко повторяющихся ситуаций . Если х с . в . с дисперсией DX , то среднее арифметическое имеет дисперсию , где n число слогаемых в . Следовательно , если D X уменьшается , и вероятность того , что близко к MX , увеличивается . Следовательно , цел есообразно ввести критерий , в котором максимизация ожидаемого значения прибыли сочетается с минимизацией её дисперсии. Пример 2 . Применим критерий ожидаемое значение дисперс ия для примера 1. Для этого необходимо найти дисперсию затрат за один интервал времени , т.е . дисперсию з Т = Т.к . n t , t = с.в ., то з Т также с.в . С.в . n t имеет биномиальное ра спределение с M(n t ) = np t и D ( n t ) = np t (1 p t ) . Следовательно, D(з Т ) = D = D ( ) = = = = n , где С 2 n = const . Из п римера 1 следует , что М (з Т ) = М (з (Т )). Следовательно искомым критерием будет минимум выражения М (з (Т )) + к D(з Т ). Замечание . Константу к можно рассматривать как уровень не с клонности к риску , т.к . к определяет степень возможности дисперсии Д (з Т ) по отношению к матем атическому ожиданию . Например , если предприниматель , особенно остро реагирует на большие отрицательные отклонения прибыли вниз от М (з (Т )), то он может выбрать к много больше 1 . Это придаёт больший вес дисперсии и приводит к решению , уменьшающему вероятность больших потерь прибыли. П ри к =1 получаем задачу П о данным из примера 1 можно составить следующую таблицу Т p t p t 2 М (з (Т ))+D(з (Т )) 1 0 .05 0.0025 0 0 500.00 2 0.07 0.0049 0.05 0.0025 6312.50 3 0.10 0.0100 0.12 0.0074 6622.22 4 0.13 0.0169 0.22 0.0174 6731.25 5 0.18 0.0324 0.35 0.0343 6764.00 И з таблицы видно , что профилактический ремонт необходимо делать в течение каждого интервала Т * = 1. 3. Критерий предельного уровня. К ри терий предельного уровня не дает оптимального решения , максимизирующего , например , прибыль или минимизирующего затраты . Скорее он соответствует определению приемлемого способа действий. Пример 3 . Предположим , что величина спроса x в единицу времени (инте нсивность спроса ) на некоторый товар задаётся непрерывной функцией распределения f(x) . Если запасы в начальный момент невелики , в дальнейшем возможен дефицит товара . В противном случае к концу рассматриваемого периода запасы нереализованного товара могут о казаться очень большими . В обоих случаях возможны потери. Т.к . определить потери от дефицита очень трудно , ЛПР может установить необходимый уровень запасов таким образом , чтобы величина ожидаемого дефицита не превышала А 1 единиц , а величина ожидаемых излиш ков не превышала А 2 единиц . Иными словами , пусть I искомый уровень запасов . Тогда ожидаемый дефицит = , ожидаемые излишки = . П ри произвольном выборе А 1 и А 2 указанные условия могут оказаться противоречивыми . В этом случае необходимо ослабить одно из ограничений , чтобы обеспечить допустимость. П усть , например, Тогда = = 20( ln + 1) = = 20( ln + 1) Применение критерия предельного уровня приводит к неравенствам ln I ln 20 1 = 1 .996 ln I ln 10 1 = 1 .302 Предельные значения А 1 и А 2 должны быть выбраны так , что бы оба неравенства выполнялись хотя бы для одного значения I . Например , если А 1 = 2 и А 2 = 4, неравенства принимают вид ln I 1.896 ln I 1.102 Значение I должно находиться между 10 и 20, т.к . именно в этих пределах изменяется спрос . Из таблицы видно , что оба условия выполняются для I , из интервала (13,17) I 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ln I 1.8 1.84 1.88 1.91 1.94 1.96 1.97 1.98 1.99 1.99 1.99 ln I 1.3 1.29 1.28 1.26 1.24 1.21 1.17 1.13 1.09 1.04 0.99 Любое из этих значений удовлетворяет условиям задачи. Глава 2 . П ринятие решений в условиях неопределённости. Будем предполагать , что лицу , принимающему решение не противостоит разумный противник. Данные , необходимо для принятия решения в условии неопределенности , обычно задаются в форме матрицы , строки которой соответ ствуют возможным действиям , а столбцы возможным состояниям системы. Пусть , например , из некоторого материала требуется изготовить изделие , долговечность которого при допустимых затратах невозможно определить . Нагруз ки считаются известными . Требуется решить , какие размеры должно иметь изделие из данного материала. Варианты решения таковы : Е 1 выбор размеров из соображений максимальной долгов ечности ; Е m выбор размеров из соображений минимальной долговечности ; E i промежуточные решения. Условия требующие рассмотрения таковы : F 1 условия , обеспечивающие максимальной долговечность ; F n условия , обеспечивающие min долговечность ; F i промежуточные условия. Под результатом решения e ij = е (E i ; F j ) здесь можно понимать оценку , соответствующую варианту E i и условиям F j и характеризующие прибыль , полезность или надёжность . Обычно мы будем называть такой результат полезностью решения . Тогда семейство (матрица ) решений имеет вид : F 1 F 2 . . . F n E 1 e 11 e 12 . . . e 1n E 2 e 21 e 22 . . . e 2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E m e m1 e m2 . . . e mn Чтобы прийти к однозначному и по возможности наивыгоднейшему вар ианту решению необходимо ввести оценочную (целевую ) функцию . При этом матрица решений сводится к одному столбцу . Каждому варианту E i приписывается , т.о ., некоторый рез ультат e ir , характеризующий , в целом , все последствия этого решения . Такой результат мы будем в дальнейшем обозначать тем же символом e ir . 1. Классические критерии принятия решений . 1 о . Минимаксный критери й . Правило выбора решения в соответствии с минимаксным критерием (ММ-критерием ) можно интерпретировать следующим образом : матрица решений дополняется ещё одним столбцом из наименьших результатов e ir каждой строки . Необходимо выбрать те варианты в строк ах которых стоят наибольшее значение e ir этого столбца. Выбранные т.о . варианты полностью исключают риск . Это означает , что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом , чем тот , на который он ориентируется . Это свойство позволяет считать ММ-критерий одним из фундаментальных. Применение ММ-критерия бывает оправдано , если ситуация , в которой принимается решение следующая : 1 o . О возможности появления внешних состояний F j ничего не известно ; 2 o . Приходится считаться с появлением различных внеш них состояний F j ; 3 o . Решение реализуется только один раз ; 4 o . Необходимо исключить какой бы то ни было риск. 2 o . Критерий Байеса Лапласа. Обозначим через q i вероятность появления внешнего состояния F j . Соответствующее правило выбора можно интерпретировать следующим образом : матрица решений дополняется ещё одним столбцом содержащим мате матическое ожидание значений каждой из строк . Выбираются те варианты , в строках которых стоит наибольшее значение e ir этого столбца. При этом предполагается , что ситуация , в которой принимается решение , характеризуется следующими обстоятельствами : 1 о . Ве роятности появления состояния F j известны и не зависят от времени. 2 о . Решение реализуется (теоретически ) бесконечно много раз. 3 о . Для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск. При достаточно большом количестве реализаций среднее зна чение постепенно стабилизируется . Поэтому при полной (бесконечной ) реализации какой-либо риск практически исключён. Т.о . критерий Байеса-Лапласа (B-L- критерий ) более оптимистичен , чем минимаксный критерий , однако он предполагает большую информированность и достаточно длительную реализацию. 3 о . Критерий Сэвиджа. Величину a ij можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш , который достигается , если в состояни и F j вместо варианта E i выбирать другой , оптимальный для этого внешнего состояния вариант . Величину a ij можно интерпретировать и как потери (штрафы ) возникающие в состоянии F j при замене оптимального для него варианта на вариант E i . В последнем случае e ir представляет собой максимально возможные (по всем внешним состояниям F j , j = ) потери в случае выбора варианта E i . Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора тепе рь трактуется так : 1). Каждый элемент матрицы решений вычитается из наибольшего результата max e ij соответствующего столбца. 2). Разности a ij образуют матрицу остатков . Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей e ir . Выбирают те варианты , в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение. Требования , предъявляе мые к ситуации , в которой принимается решение , совпадают с требованием к ММ-критерию. 4 о . Пример и выводы. Из требований , предъявляемых к рассмотренным критериям становится ясно , что в следствии их жёстких исходных позиций они применимы только для идеал изированных практических решений . В случае , когда возможна слишком сильная идеализация , можно применять одновременно поочерёдно различные критерии . После этого среди нескольких вариантов ЛПР волевым методом выбирает окончательное решение . Такой подход поз в оляет , во-первых , лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы принятия решений и , во-вторых , ослабляет влияние субъективного фактора. Пример . При работе ЭВМ необходимо периодически приостанавливать обработку информации и проверять ЭВМ на наличие в н ей вирусов . Приостановка в обработке информации приводит к определённым экономическим издержкам . В случае же если вирус вовремя обнаружен не будет , возможна потеря и некоторой части информации , что приведёт и ещё к большим убыткам. Варианты решения таковы : Е 1 полная проверка ; Е 2 минимальная проверка ; Е 3 отказ от проверки. ЭВМ может находиться в следующих состояниях : F 1 вирус отсутствует ; F 2 вирус есть , но он не успел повредить информацию ; F 3 есть файлы , нуждающиеся в восстановлении. Результаты , включающие затра ты на поиск вируса и его ликвидацию , а также затраты , связанные с восстановлением информации имеют вид : Таблица 1. ММ-к ритерий критерий B-L F 1 F 2 F 3 e ir = e ij e ir e ir = e ir E 1 -20 .0 -22.0 -25.0 -25.0 -25.0 -22.33 E 2 -14.0 -23.0 -31.0 -31 .0 -22.67 E 3 0 -24.0 -40.0 -40.0 -21.33 -21.33 Согласно ММ-критерию следует проводить полну ю проверку . Критерий Байеса-Лапласа , в предположении , что все состояния машины равновероятны . P(F j ) = q j = 0.33 , рекомендуется отказаться от проверки . Матрица остатков для этого примера и их оценка (в тысячах ) согласно критерию Сэвиджа имеет вид : К ритерий Сэвиджа F 1 F 2 F 3 e ir = a ij e ir E 1 +20.0 0 0 +20.0 E 2 +14.0 +1.0 +6.0 +14.0 +14.0 E 3 0 +2.0 +15.0 +15.0 Пример специально подобран так , что каждый критерий предлагает новое решение . Неопределённость состояния , в котором проверка застаёт ЭВМ , превращается в неясность , какому критерию следовать. Поскольку различные критерии связаны с различными условиями , в которых принимается решение , лучшее всего для сравнительной оценки рекомендации тех или иных критериев получить дополнительную информацию о самой ситуации . В частности , если принимаемое решение относится к сотням машин с одинаковыми параметрами , то рекомендуется применять критерий Ба й еса-Лапласа . Если же число машин не велико , лучше пользоваться критериями минимакса или Севиджа. 2. Производные критерии. 1 о . Критерий Гурвица. Стараясь занять наиболее уравновешенную позицию , Гурвиц предположил о ценочную функцию , которая находится где-то между точкой зрения крайнего оптимизма и крайнего пессимизма : e ir = C e ij + (1- C) e ij , где С весовой множитель. Правило выбора согласно критерию Гурвица , формируется следующим образом : матрица решений дополняется столбцом , содержащим среднее в звешенное наименьшего и наибольшего результатов для каждой строки . Выбираются только те варианты , в строках которых стоят наибольшие элементы e ir этого столбца. При С =1 критерий Гурвица превращается в ММ-критерий . При С = 0 он превращается в критерий азартного игрока e ir = e ij , т.е . мы становимся на точку зрения азартного игрока , делающего ставку на то , что “выпадет” наивыгоднейший случай. В технических приложениях сл ожно выбрать весовой множитель С , т.к . трудно найти количественную характеристику для тех долей оптимизма и пессимизма , которые присутствуют при принятии решения . Поэтому чаще всего С := 1 / 2 . Критерий Гурвица применяется в случае , когда : 1) о вероятнос тях появления состояния F j ничего не известно ; 2) с появлением состояния F j необходимо считаться ; 3) реализуется только малое количество решений ; 4) допускается некоторый риск. 2 о . Критерий Ходжа Лемана. Э тот критерий опирается одновременно на ММ-критерий и критерий Баеса-Лапласа . С помощью параметра выражается степень доверия к используемому распределений вероятностей . Если доверие велико , то доминирует критерий Баеса-Лапла са , в противном случае ММ-критерий , т.е . мы ищем e ir = + (1- ) e ir , 0 1. Правило выбора , соответствующее критерию Ходжа-Лемана формируется следующим образом : матрица решений дополняется столбцом , составленным из средних взвешенных (с весом const ) математическое ожиданиями и наименьшего результата каждой строки (*). Отбираются те варианты решен ий в строках которого стоит набольшее значение этого столбца. При = 1 критерий Ходжа-Лемана переходит в критерий Байеса-Лапласа , а при = 0 становится минимаксным. Выбор субъективен т . к . Степень достоверности какой-либо функции распределения дело тёмное. Для применения критерия Ходжа-Лемана желательно , чтобы ситуация в которой принимается решение , удовлетворяла свойствам : 1) вероятности появления состояния F j неизвестны , но некоторые предположения о распределении вероятностей возможны ; 2) принятое решение теоретически допускает бесконечно много реализаций ; 3) при малых числах реализации допускается некот орый риск. 3 о . Критерий Гермейера. Этот критерий ориентирован на величину потерь , т.е . на отрицательные значения всех e ij . При этом e ir = e ij q j . Т.к . в хозяйственных задачах преимущественно имеют дело с ценами и затратами , условие e ij 0 обычно выполняется . В случае же , когда среди величин e ij встречаются и положительные значения , можно перейти к строго отрицательным значениям с помощью преобразования e ij - a при подходящем образом подобранном a 0. При этом оптимальный вариант решения зависит от а . Правило выбора согласно критерию Гермейера формулируется следующим образом : матрица решений до полняется ещё одним столбцом содержащим в каждой строке наименьшее произведение имеющегося в ней результата на вероятность соответствующего состояния F j . Выбираются те варианты в строках которых находится наибольшее значение e ij этого столбца. В каком-то с мысле критерий Гермейера обобщает ММ-критерий : в случае равномерного распределения q j = , j = , они становятся идентичными. Условия его применимости таковы : 1) вероятности появления состояния F j неи звестны ; 2) с появлением тех или иных состояний , отдельно или в комплексе , необходимо считаться ; 3) допускается некоторый риск ; 4) решение может реализоваться один или несколько раз. Если функция распределения известна не очень надёжно , а числа ре ализации малы , то , следуя критерию Гермейера , получают , вообще говоря , неоправданно большой риск. 4 о . BL (MM) - критерий. Стремление получить критерии , которые бы лучше приспосабливались к имеющейся ситуации , чем все до сих пор рассмотренные , привело к построению так называемых составных критериев . В качестве примера рассмотрим критерий , полученный путем объединения критериев Байеса-Лапласа и минимакса. Правило выбора для этого критерия формулируется следующим образом : матрица решений дополняется еще тремя столбцами . В первом из них записываются математические ожидания каждой из строк , во втором - разность между опорным значением и наименьшим значением соответствующей строки . В третьем столбце помещаются разности между наиболь шим значением каждой строки и наибольшим значением той строки , в которой наход ится значение . Выбираются те варианты , строки которых (при соблюдении приводимых ниже соотношений между элементами второго и третьего столбцов ) дают наибольшее мате матическое ожидание . А именно , соответствующее значение из второго столбца должно быть или равно некоторому заранее заданному уровню риска . Значение же из третьего столбца должно быть больше значения из второго столбца. Применение этого критерия обусловлено следующими признаками ситуации , в которой принимается решение : 1) вероятн ости появления состояний F j неизвестны , однако имеется некоторая априорная информация в пользу какого-либо определенного распределения ; 2) необходимо считаться с появлением различных состояний как по отдельности , так и в комплексе ; 3) допускается огр аниченный риск ; 4) принятое решение реализуется один раз или многократно. BL(MM) -критерий хорошо приспособлен для построения практических решений прежде всего в области техники и может считаться достаточно надежным . Однако заданные границы риска и , соответственно , оценок риска не учитывает ни число применения решения , ни иную подобную информацию . Влияние субъективного фактора хотя и ослаблено , но не исключено полностью. Условие существенно в тех случаях , когда решение реализуется только один или малое число раз . В этих условиях недостаточно ориентироваться на риск , связанный только с невыгодными внешними состояниями и средним и значениями . Из-за этого , правда , можно понести некоторые потери в удачных внешних состояниях . При большом числе реализаций это условие перестает быть таким уж важным . Оно даже допускает разумные альтернативы . При этом не известно , однако , четких количес т венных указаний , в каких случаях это условие следовало бы опускать . 5 о . Критерий произведений. e ir : = e ij Правило выбора в этом случае формулируется так : Матрица решений дополняется новым столбцом , содержащим произведения всех результатов каждой строки . Выбираются те варианты , в строках которых находятся наибольшие значения этого столбца. Применение этого критерия обу словлено следующими обстоятельствами : 1) вероятности появления состояния F j неизвестны ; 2) с появлением каждого из состояний F j по отдельности необходимо считаться ; 3) критерий применим и при малом числе реализаций решения ; 4) некоторый риск д опускается. Критерий произведений приспособлен в первую очередь для случаев , когда все e ij положительны . Если условие положительности нарушается , то следует выполнять некоторый сдвиг e ij + а с некоторой константой а e ij . Результат при этом будет , естественно зависеть от а. На практике чаще всего а := e ij +1. Если же никакая константа не может быть признана имеющей смысл , то критерий произведений не применим. 5 о . Пример. Рассмотрим тот же пример (табл . 1). Построение оптимального решения д ля матрицы решений о проверках по критерию Гурвица имеет вид (при С =0.5, в 10 3 ): С e ij (1-С ) e ij e ir e ir -20.0 -22.0 -25.0 -12.5 -10.0 -22.5 -14.0 -23.0 -31.0 -15.5 -7.0 -22.5 0 -24.0 -40.0 -20.0 0 -20.0 -20.0 В данном примере у решения имеется поворотная точка относительно весового множителя С : до С = 0.57 в качестве оптимального выбирается Е 3 , а при больших значениях Е 1 . Применение критерия Ходжа-Лемана ( q = 0.33, = 0.5, в 10 3 ) : e ij (1- ) e ij e ir e ir -22.33 -25.0 -11.17 -12.5 -23.67 -23.67 -22.67 -31.0 -11.34 -15.5 -26.84 -21.33 -40.0 -10.67 -20.0 -30.76 Критерий Ходжа-Лемана рекомендует вариант Е 1 (полная проверка ) так же как и ММ-к ритерий . Смена рекомендуемого варианта происходит только при = 0.94. Поэтому равномерное распределение состояний рассматриваемой машины должно распознаваться с очень высокой вероятностью , чтобы его можно было выбрать по боль шему математическому ожиданию . При этом число реализаций решения всегда остаётся произвольным. Критерий Гермейера при q j = 0.33 даёт следующий результат (в ): e ir = e ij q j e ir -20 .0 -22.0 -25.0 -6.67 -7.33 -8.33 -8.33 -8.33 -14.0 -23.0 -31.0 -4.67 -7.67 -10.33 -10.33 0 -24.0 -40.0 0 -8.0 -13.33 -13.33 В качестве оптимального выбирается вариант Е 1 . Сравнение вариантов с помощью величин e ir показывает , что способ действия критерия Гермейера является даже более гибким , чем у ММ-критерия. В таблице , приведенной ниже , решение вы бирается в соответствии с BL(MM) -критерием при q 1 =q 2 =q 3 = 1 / 2 (данные в 10 3 ). -20.0 -22.0 -25.0 -23.33 0 -20.0 0 -14.0 -23.0 -31.0 -22.67 +6.0 -14.0 +6.0 0 -24.0 -40.0 -21.33 +15.0 0 +20.0 Вариант Е 3 (отказ от проверки ) принимается этим критерием только тогда , когда риск приближается к . В противном случае оптимальным оказывается Е 1 . Во многих т ехнических и хозяйственных задачах допустимый риск бывает намного ниже , составляя обычно только незначительный процент от общих затрат . В подобных случаях бывает особенно ценно , если неточное значение распределения вероятностей сказывается не очень сильно. Если при этом оказывается невозможным установить допустимый риск заранее , не зависимо от принимаемого решения , то помочь может вычисление ожидаемого риска . Тогда становится возможным подумать , оправдан ли подобный риск . Такое исследование обычно дается легче. Результаты применения критерия произведения при а = 41 10 3 и а = 200 10 3 имеют вид : e ir = e ij e ir +21 +19 +16 6384 6384 а =41 +27 +18 +10 4860 +41 +17 +1 697 +180 +178 +175 5607 а =200 +186 +177 +169 5563 +200 +176 +160 5632 5632 Условие e ij 0 для данной матрицы не выполнимо . Поэтому к элементам матрицы добавляется (по внешнему произволу ) сначала а = 41 10 3 , а затем а = 200 10 3 . Для а = 41 10 3 оптимальным оказывается вариант Е 1 , а для а = 200 10 3 вариант Е 3 , так что зависимость оптимального вариа нта от а очевидна.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
За многие годы работы с компьютерами главное, чему я от них научился - это вовремя переходить в спящий режим.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Теория игр и принятие решений", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru