Реферат: Теорема Штурма - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Теорема Штурма

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 29 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Содержание Введение…………………… ……………………………………………………………………3 §1. Предварительные сведения……………………………………5 §2. Основные факты………………………………………………………………8 §3. Теоремы Штурма……………………………………………………………18 Использованная литература…………………………………………27 Введение Тема дипломной раб оты “Теорема Штурма”, связана с именем французского математика Жака Шар ля Франсуа Штурма. Штурм Жак Шарль Франсуа (Sturm J. Ch. F. – правильное произношение: Стюрм), родился 29 сентября 1803 года в Женеве. Был членом Парижской академии н аук с 1836, а также иностранным членом – корреспондентом Петербургской ака демии наук с того же года. С 1840 года был профессором Политехнической школы в Париже. Штурм (1824/25) и Раабе (1827) ввели главные формулы сферической три гонометрии при помощи пространственных координат. Теорему Фурье ( Теорема о числе действительных корней меж ду двумя данными пределами ), математика Жозефа Фурье (Joseph Fourier, 1768-1830), затмила бо лее общая теорема, опубликованная Штурмом в Bull. mathem., 1829. Доказательство сам Шт урм представил только в одной премированной работе 1835г. Коши Огюстен (Cauchy Augustin, 1789-1857) распространил теорему Штурма на комплексные корни (1831). Дополнен ие к ней дал также Сильвестр Джемс Джозеф (Sylvester Y.Y., 1814-1897) в 1839 году и позже. Основные работы Жана Шарля Штурма относятся к решению кр аевых задач уравнений математической физики и связанной с этим задачей о разыскивании собственных значений и собственных функций для обыкнов енных дифференциальных уравнений. (Задача Штурма-Лиувилля, о нахождении отличных от нуля решений дифференциальных уравнений : -(p(t)u ў ) ў +q(t)u= l u, удовлетворяющих г раничным условиям вида: А 1 u(a)+B 1 u ў (a)=0, A 2 u(b)+B 2 u ў (b)=0, (так называемых со бственных функций), а также о нахождении значений параметра l (собственны х значений), при которых существуют такие решения. При некоторых условия х на коэффициенты p(t), q(t) задача Штурма-Лиувилля сводилась к рассмотрению а налогичной задачи для уравнения вида: -u ў ў +q(x)u= l u). Эта задача была впервые исследована Штурмом и Жозефом Ли увиллем (Joseph Liouville, 1809-1882) в 1837г. и закончена в 1841 г . Также Жак Штурм дал общий метод для определения числа корней алгебраиче ских уравнений, лежащих на заданном отрезке, названный правилом Штурма, который позволяет находить непересекающиеся интервалы, содержащие каж дый по одному действительному корню данного алгебраического многочлен а с действительными коэффициентами (уже упоминалось выше). Ему принадлежат ряд работ по оптике и механике. Штурм Жак Шарль Франсуа умер 18 декабря 1855года. § 1. Предварительные сведения Среди дифференциальных уравнений, наиболее часто используемых в матем атике и физике, следует выделить линейное уравнение второго порядка, име ющее вид u"+ g(t)u' + f(t)u=h(t) (1.1) или (р (t) и')' + q (f) и = h(t) . (1.2) Как правило, есл и не оговорено противное, предполагается, что функции (t), g (f), h (f) и р (f) № 0, q (t), входящие в эти уравнения, являются непрерывными (вещественными и ли комплексными) на некотором t -инте рвале J , который может быть как огра ниченным, так и неограниченным. Причина, по которой предполагается, что р(t) № 0, скоро станет ясной. Из двух выражений (1.1) и (1.2) последнее является более общим, поскольку уравне ние (1.1) может быть записано в виде (p(t) и')' + р(t) f(t)u= р (t) h (t), (1.3) если определит ь p(t) следующим образом: (1.4) при некотором a?J . Частичное обращение этого утвер ждения также верно, поскольку если функция р(t) непрерывно дифференцируема, уравнение (1.2) можно записать в вид е , а это уравнение имеет вид (1.1). В случае, если функция р (t) непрерывн а, но не имеет непрерывной производной, уравнение (1.2) не может быть записан о в виде (1.1). Тогда уравнение (1.2) можно интерпретировать как линейную систем у из двух уравнений первого порядка для неизвестного двумерного вектор а : , . (1.5) Другими словам и, решение и = и (t) уравнения (1.2) должно быть такой непрерывно дифференцир уемой функцией, что функция р(t) u'(t) име ет непрерывную производную, удовлетворяющую (1.2). Если р(t) № 0 и q(t), h(t) непреры вны, к системе (1.5) , а потому и к уравнению (1.2) применимы стандартные теоремы с уществования и единственности для линейных систем (Мы можем рассматрив ать также более общие (т. е. менее гладкие) типы решений, если предполагать, например, только, что функции 1/ p(t), q (t), h (t) локально интегрируемы.) Частному случаю уравнения (1.2) при соответствует уравнение и" + q(t) u = h(t). (1.6) Если функция принимает вещественные зн ачения, уравнение (1.2) может быть приведено к такому виду с помощью замены н езависимых переменных , т.е. (1.7) при некотором a ? J. Функция s = s (t) имеет производную и потому строго монотонна. Следовательно, функция s = s ( t) имеет обратную t= t (s), определенную на некотором s -интервале. После введения новой н езависимой переменной s уравнение (1.2) переходит в уравнение (1.8) где аргумент t выражений p(f)q(t) и p(t) h(f ) должен быть з аменен функцией t = t(s). Уравнение (1.8) явл яется уравнением типа (1.6). Если функция g (t) имеет непрерывную п роизводную, то уравнение (1.1) может быть приведено к виду (1.6) с помощью замены неизвестной функции и на z : (1.9) при некотором a ? J . В самом деле, подстановка (1.9) в (1.1) пр иводит к уравнению (1.10) которое имеет в ид (1.6). В силу сказанного выше, мы можем считать, что рассматриваемые уравнения второго порядка в общем случае имеют вид (1.2) или (1.6). Утверждения, содержащие ся в следующих упражнениях, будут часто использоваться в дальнейшем. § 2. Основные факты Прежде чем перейти к рассмотрению специальных вопрос ов, мы получим следствия, касающиеся однородного и неоднородного уравне ний (2.1) (2.2) Для этого переп ишем скалярные уравнения (2.1) или (2.2) в виде системы двух уравнений (2.3) (2.4) где векторы х= (х 1 , х 2 ), у == (у 1 , y 2 ) сов падают с векторами , , A(t)- матрица второго порядка : (2.5) Если не оговоре но противное, то предполагается, что , q (t), h (t) и другие коэффициенты я вляются непрерывными комплексными функциями на t -интервале J (котор ый может быть замкнутым или незамкнутым, ограниченным или неограниченн ым). (i) Если и , - произв ольные комплексные числа, то задача Коши для уравнения (2.2) , (2.6) имеет единстве нное решение, существующее при всех , см. лемм у IV. 1.1. (ii) В частном случае (2.1) уравнения (2.2) и п ри соответствующим единстве нным решением служит функция . Поэтому, если есть решение уравнения (2.1), то нули функции и (t) не могут иметь предельной точки в J. (iii) Принцип суперпозиции. Если , - решени я уравнения (2.1), a , - постоянные, то функция является решением уравнен ия (2.1). Если - решение уравнения (2.2), то функция также является решением ур авнения (2.2) тогда и только тогда, когда функция удовлетворяет уравнению (2.1). (iv) Если , - решени я уравнения (2.1), то соответствующие векторные решения системы (2.3) , линейно независимы (в каждой точке t ) тогда и только тогда, когда функции , линейно независимы в том смысле, что равенство , где и - постоянные, влечет за собо й . (v) Если , - решения уравнения (2.1), то сущ ествует постоянная с, зависящая от и (t) и v (t) и такая, что для их вронскиана W (t) = W (t; и, v) выполняется тождество . (2.7) Поскольку матр ичным решением системы (2.3) является , det X(t)=p(t)W(t) и trA( t )=0. (vi) Тождество Лагранжа. Рассмотрим пару уравнений , , (2.8) где f=f(t), g = g (t) - неп рерывные функции на J. Если умножить второе уравнение на и, первое-на v и результаты вычесть, мы получим, чт о , (2.9) так как . Соотно шение (2.9) называется тождеством Лагранжа. Его интегральная форма (2.10) где , называ ется формулой Грина. (vii) В частности, из (v) следует, что и(t) и v(t) - линейно независимые решения уравнения (2.1) тогда и только тогда, ко гда в (2.7) . В этом случае всякое р ешение уравнения (2.1) является линейной комбинацией функций и(t) и v ( t ) с постоянными коэффициентами. (viii) Если (например, ), то вронскиан любой пары ре шений и(t), v(t) уравнения (2.1) равен постоя нной . (ix) В соответствии с результатами об щей теории, в случае, когда известно одно решение уравнения (2.1), отыскание дру гих решений v(t) этого уравнения (по кр айней мере локально) сводится к решению некоторого скалярного дифферен циального уравнения первого порядка. Если на подинтервале , этим ур авнением служит уравнение (2.7 ), где и - известная функция, а v - искомая . Если поделить (2.7) на , то это уравнение запишется в виде , (2.11) а после интегри рования мы будем иметь , (2.12) где а, . Легко провери ть, что если , - произв ольные постоянные и а, , то функ ция (2.12) является решением уравнения (2.1), удовлетворяющим (2.7) на любом интерва ле J', где . (х) Пусть и(t), v(t) - решения уравнения (2.1), удовлетворяющие (2.7) с . При фиксированном решением уравнения (2.1), удов летворяющим начальным условиям и (s) = 0, p(s)u'(s) = 1, является . Поэтому решением уравнени я (2.2), удовлетворяющим условиям , служит функция ; (2.13) (проще проверит ь это непосредственно). Общее решение уравнения (2.2) получается прибавлени ем к (2.13) общего решения уравнен ия (2.1), что дает . (2.14) Если замкнутый ограниченный интервал [a,b] содержится в J , то, полагая , , мы получаем из (2.14) частное решение . (2.15) Оно может быть з аписано в виде , (2.16) где (2.17) матрица С (t) зав исит от , но не зависит от их пр оизводных. В этом случае уравнение (2.1) и эквивалентная е му система (2.3) сводятся к системе . (2.28) (xii) Если известно частное решение уравнения (2.27), не равное нулю на J , то мы можем определить линейно независимые решения с помощью квадратур (см. (ix)) и затем найти матрицу, вход ящую в (2.28). В действительности, тот же результат можно получить более прямы м путем. Пусть уравнение (2.27) имеет решение на интервале J . Заменим неизвестную функцию и в (2.1) на z , т ак что . (2.29) Функция z удовле творяет дифференциальному уравнению . Умножая его на , мы получаем, что (2.30) или, в силу (2.27) , чт о , (2.31) т. е. подстановк а (2.29) приводит уравнение (2.1) к (2.30) или к (2.31 ). Мы могли также начинать не с решения дифференциального уравне ния (2.27) , а с функции , имеющей не прерывную производную и так ой, что непрерывно дифференци руема. При этом определяется равенством (2.27) , так что . Подстановка (2.29) будет называться также вариацией постоянных. (xiii) Подстановка Лиувилля. В качестве частного случая рассмотрим (2.1) с р (t) = 1: и" + q (t) и = 0. (2.32) Предположим, чт о функция q (t) имеет непрерывную прои зводную второго порядка, вещественна и не равна нулю, так что ±q (t) > 0, где ± = sgn q (t) (2.33) не зависит от t. Рассмотрим вариацию постоянных . (2.34) Тогда (2.32) сводит ся к (2.30), где , т. е. к уравнени ю (2.35) Замена независ имых переменных , определен ная соотношением , (2.36) переводит (2.35) в у равнение (2.37) где (2.38) а аргументом фу нкции q и ее производных служит функ ция t = t (s), обратная к функции s = s ( f), определяемой из (2.36) с помощью квадрату ры; см. (1.7). В этих формулах штрих означает дифференцирование по t , так что q' = dqldt. Замена переменных (2.34), (2.36) называется подстановкой Лиувилля. Эта подстановка, или повторное применение ее, часто приводит к дифференциальному уравнению типа (2.37), в ко тором функция f (s) “близка” к постоян ной . Простой предельный случай такой подстановки см. в упр. 1.1(с). (xiv) Уравнения Риккати. В п. (xi), (xii) и (xiii) рассматривались преобразования уравнения (2.1) в различн ые линейные уравнения второго порядка или в соответствующие линейные с истемы двух уравнений первого порядка. Иногда удобно преобразовать (2.1) в соответствующее нелинейное уравн ение или систему. Для этого чаще всего используется следующий метод. Пус ть , (2.39) так что . Тогда п осле деления (2.1) на и результат можно записать в виде . (2.40) Это уравнение н азывается уравнением Риккати , соо тветствующим (2.1). (В общем случае уравнение вида , где пра вая часть является квадратичным полиномом от г, называется дифференциальным уравнени ем Риккати.) Читателю предоставляется проверка того факта, что есл и и (t) - решение уравнения (2.1), не равное нулю на t - интервале , то функ ция (2.39) является решением уравнения (2.40) на J'; обратно, если - решени е уравнения (2.40) на t - интервале , то, инте грируя (2.39), мы получаем решение (2.41) уравнения (2.1), не равное нулю ни в одной точке из J'. (xv) Преобразование Прюфера. В случае, когда уравнение (2.1) имеет вещественные коэффициенты, часто используется следующее преобразование . Пусть -вещественное решение урав нения 2.1, и пусть . Поскольку и и и' не могут обратиться в нуль одновременно, то, фиксируя соответств ующее значение функции в нек оторой точке , мы определяем с помощью второго из равенств (2.42) непрерывно диффер енцируемую функцию . Соотно шения (2.42) переводят уравнение (2.1) в систему , (2.43) (2.44) В уравнение (2.43) в ходит лишь одна из неизвестных функций . Если решение уравнения (2.43) известно, то со ответствующее решение уравнения (2.44) может быть найдено с помощью квадрат уры. Преимущество уравнения (2.43) по сравнению с (2.40) состоит в том, что всякое реше ние уравнения (2.43) существует на всем интервале J , где непрерывны р и q. Это видно из соотношения, связываю щего решения уравнений (2.1) и (2.43). Упражнение 2.1 . П роверьте, что если функция н епрерывна на J и имеет локально огра ниченную вариацию (т. е. имеет ограниченную вариацию на всех замкнутых ог раниченных подин-тервалах из J ) и ес ли - вещественное решение уравнения (2.1), то равенства (2.45) при фиксирован ном значении для некоторог о однозначно определяют неп рерывные функции , имеющие локально ограниченную вариацию и Соотношения (2.46) и (2.47) следует понимать так, что интегралы Римана - Стильтьеса от обеих их ча стей равны. Обратно, (непрерывные) решения системы уравнений (2.46), (2.47) определ яют решения уравнения (2.1) с помощью соотношений (2.45). Заметим, что если q (t) > 0, р (t) > 0 и функция q(t) р ( t ) имеет локально ограниченную вариацию, то, пол агая , мы получаем q/ , а соотношения (2.45), (2.46) и (2.47) переходят в равенства (2.48) (2.49) . (2.50) § 3 . Теоремы Шту рма В этом параграфе мы будем рассматривать только уравнение вида (2.1) с вещественными непрерывными коэффициентами р (t) > 0, q (t). Под “решением” мы будем понимать “вещественное, нетривиальное (т. е. ) решение”. Нас будет интере совать множество нулей решения u (t) . Д ля изучения этих нулей часто оказывается полезным преобразование Прюф ера (2.42), поскольку тогда и тол ько тогда, когда . Лемма 3.1. Пусть - вещественное решение ур авнения (2.1) при , где и вещественны и непрерывны . Пусть функция и (t) имеет в точности нулей при . Предположим, что - непрерывная функция, опр еделенная равенством (2.42), и . Тогда и при . Доказательство. Заметим, что в той точке t , где u=0 , т. е. где , производная в силу (2.43). Следовательно, фун кция возрастает в окрестно сти точек, где для некоторог о целого j . Отсюда следует, что если и , то при , а также что если , то при . Тем самым лемма доказана. В теоремах этого параграфа будут рассматриваться два ура внения где функции вещественны и непрерывны н а интервале J . и . (3.2) В этом случае ур авнение (3.1) называется мажорантой Штурма для (3.1) на J , а уравнение (3.1) -минорантой Штурма для (3.1). Если дополнит ельно известно, что соотношения (3.3 2 ) или и (3.3 1 ) выполняются в н екоторой точке , то уравнение (3.3 2 ) называется строгой мажорантой Штурма для (3.3 1 ) на J. Теорема 3.1 (первая теорема сравнения Штурма). Пусть коэффициенты уравнения непрерывны на интервале J: , и пусть уравнение (3.3 2 ) яв ляется мажорантой Штурма для (3.1 1 ) . Предположим, что функция является решением уравне ния (3.1 1 ) и имеет точно нулей при ,а функция удовлетворяет уравнению (3.1 2 ) и (3.4) при . [Выражение в правой (соотв етственно левой) части неравенства (3.4) при полагается р авным , ес ли (соответственно если ) ; в частности, соотношение (3.4) справедливо при , ес ли .] Тогда имеет при пo крайней мере n нулей. Бол ее того, имеет по крайней мер е n нулей при , если при в (3.4) имеет место строгое неравенство или если уравнение (3.1 г) является строгой мажорантой Штурма для (3.1 1 ) при . Доказательство. В силу (3.4) можно опре делить при пару непрерыв ных функций с помощью соот ношений (3.5) Тогда справедливы аналоги соотношения (2.43): (3.6 j ) Поскольку непр ерывные функции , гладким об разом зависят от , решения си стемы (3.6) однозначно определяются своими начальными условиями. Из (3.2) след ует, что при и всех . Поэтому последняя часть (3.5) и следствие III.4.2 означают, что для В частности, из следует, что , и перва я часть теоремы вытекает из леммы 3.1. Чтобы доказать последнюю часть теоремы, предположим внач але, что при в (3.4) имеет место строгое неравенство. Тогда . Обозначим через решение ур авнения (3.6 2 ) , удовлетворяющее нача льному условию , так что . Поскольку решение уравнен ия (3.6 2 ) однозначно определяется нача льными условиями, при . Неравенство, аналогичное (3.7), означает, что потому . Следовательно, имеет n нулей при . Рассмотрим теперь тот случай, когда в (3.4) имеет место равенс тво, но в некоторой точке из в ыполняется либо (3.3 1 ) , либо (3.3 2 ) . Запишем (3.6 2 ) в виде , где Если доказывае мое утверждение неверно, то из уже рассмотренного случая следует, что при .Поэтому и при . Так как только в нулях функции , то отсюда следует, что при и . Следовательно, если при неко тором t , то , т. е. . Если (3.3 1 ) не выполняется ни при каком t из отрезка , то при некотором t име ет место (3.3 2 ) , и потому (3.3 2 ) справедливо на некотором подинтервале из . Но тогда на этом интервале и потому . Однако это противоречит условию . Доказательство закончено. Следствие 3.1 (теорема Штурма о разде лении нулей). Пусть уравнение (3.1 2 ) является мажорант ой Штурма для (3.1 1 ) на интервале J, и пусть - вещест венные решения уравнений, (3.3 j ) . Пусть обращается в нуль в двух точках интервала J. Тогда имеет по крайней мере один нуль на . В частности, если и вещественные линейно нез ависимые решения уравнения (3.1 1 ) (3.1 2 ) . То нули функции разделяют нули функции и разделяются ими. Заметим, что, последнее утверждение этой теоремы имеет смысл, поскольку нули функций и не имеют на J предельных точек. Кроме того, , не могут иметь общего нуля , так как в противном случае в силу того, что решения уравнения (3.1 1 ) единственны, , где (так что и не являются линейно независимыми). Упражнение 3.1 . ( Другое доказательство теоремы Штурма о разделении нулей, когда p 1 (t) є p 2 (t)>0, q 2 (t) і q 1 (t).) Предположим, что u 1 (t)>0 при t 1 0 при t 1 Ј t Ј t 2 . Умножая (p 1 (t)u ў ) ў +q 1 (t)u=0, где u=u 1 , на u 2 , а (p 2 (t)u ў ) ў +q 2 (t)u=0, где u=u 2 , на u 1 , вычитая и интегрируя по [t 1, t 2 ], получаем: p(t)(u 1 ў u 2 -u 1 u 2 ў ) і 0, при t 1 Ј t Ј t 2 , где p=p 1 =p 2 . Это означает, ч то (u 1 /u 2 ) ў і 0; поэтому u 1 /u 2 >0 при t 1 0 чего быть не может. Решение: (p 1 (t)u ў ) ў +q 1 (t)u=0, u=u 1 (p 1 (t)u 1 ў ) ў +q 1 (t)u 1 =0. Умножим левую ч асть равенства на u 2 , получим: u 2 (p 1 (t)u 1 ў ) ў +q 1 (t)u 1 u 2 =0. Во втором уравн ении проделаем соответствующие операции: (p 2 (t)u ў ) ў +q 2 (t)u=0, u 2 =u (p 2 (t)u 2 ў ) ў +q 2 (t)u 2 =0. Умножим левую ч асть равенства на u 1 , получим: u 1 (p 2 (t)u 2 ў ) ў +q 2 (t)u 1 u 2 =0. Вычитаем из пер вого уравнения второе, получим: u 2 (p 1 u 1 ў ) ў +q 1 u 1 u 2 -u 1 (p 2 u 2 ў ) ў -q 2 u 1 u 2 =0, p=p 1 =p 2 u 2 (pu 1 ў ) ў +q 1 u 1 u 2 -u 1 (pu 2 ў ) ў -q 2 u 1 u 2 =0 (u 2 (pu 1 ў ) ў -u 1 (pu 2 ў ) ў )+u 1 u 2 (q 1 -q 2 )=0 Упростим это ур авнение, u 2 (p ў u 1 ў +pu 1 ў ў )-u 1 (p ў u 2 ў +pu 2 ў ў )+u 1 u 2 (q 1 -q 2 )=0 Раскроем скобк и, получим: p ў u 1 ў u 2 + pu 1 ў ў u 2 - p ў u 1 u 2 ў -pu 1 u 2 ў ў +u 1 u 2 (q 1 -q 2 )=0. Сравнивая с фор мулой (2.2), получаем: (p(u 1 ў u 2 -u 1 u 2 ў )) ў +u 1 u 2 (q 1 -q 2 )=0 (p(u 1 ў u 2 -u 1 u 2 ў )) ў -u 1 u 2 (q 2 -q 1 )=0 (p(u 1 ў u 2 -u 1 u 2 ў )) ў =u 1 u 2 (q 2 -q 1 )=0. Проинтегрируе м это уравнение по [t 1 ,t], получим: [p(u 1 ў u 2 -u 2 ў u 1 )] ў dt = u 1 u 2 (q 2 -q 1 )dt, где u 1 u 2 >0, q 2 -q 1 і 0. Значит p(u 1 ў u 2 -u 1 u 2 ў ) і 0. Т.о. (u 1 /u 2 ) ў і 0 Ю u 1 /u 2 >0. Упражнение 3.2. с) Проверьте, что веще ственные решения u(t) № 0 уравнения u ў ў + m /t 2 u=0 (1/17) имеет не бол ее одного нуля при t>0, если m Ј , и эти решения имеют бесконечно много нулей при t>0, если m > . В последнем случае множес тво нулей имеет две предельные точки t=0 и t = Ґ . Решение: в §1 было рассмотрено упражнение 1.1 с), где показа ли, что функция u=t l является решением уравнения u ў ў + m /t 2 u=0 тогда и только тогда, когда l удовл етворяет уравнению l ( l -1)+ m =0. Решая его получили : l = ± m . Если m >1/4, то корни l 1 и l 2 – комплексные, т.е. u=t 1/2 [cos ( m -1/4 ln t)c 1 +c 2 sin( m -1/4 ln t)] имеют бесчисле нное множество нулей. В частности, если положить: c 1 =sinu ,c 2 =cosu, то получим: u= t 1/2 [sin u cos ( m -1/4 ln t)+cos u sin ( m -1/4 ln t)]= t 1/2 [sin (u+ m -1/4 ln t)]. Если m <1/4, то решен ие u=с 1 t 1/2+ +c 2 t 1/2- имеют не более о дного нуля. Так же, если m =1/4, то решение u=c 1 t 1/2 +c 2 t 1/2 ln t имеют не более о дного нуля. d) Рассмотрим уравнение Бесселя: v ў ў +v ў /t+(1- m 2 /t 2 )v=0, (3.10) где m -веществен ный параметр. Вариация постоянных u=t 1/2 /v переводит уравнение (3.10) в уравнение: u ў ў +(1- a /t 2 )u=0, где a = m 2 -1/4 (3.11) Проверим истин ность этого утверждения u=t 1/2 v, следов ательно: v=u/t 1/2 =ut -1/2. Найдём первую п роизводную: v ў =(ut -1/2 ) ў =u ў t -1/2 +u(t -1/2 ) ў =u ў t -1/2 -1/2ut -3/2 . Теперь вторую п роизводную: v ў ў =(u ў t 1/2 ) ў -1/2(ut -3/2 ) ў =u ў ў t -1/2 +u ў (t -1/2 ) ў -1/2(u ў t -3/2 +u(t -3/2 ) ў )= =u ў ў t -1/2 – 1/2u ў t -3/2 -1/2u ў t -3/2 +3/4uut -5/2 = =u ў ў t -1/2 -u ў t -3/2 +3/4ut -5/2 . Подставляя в ур авнение (3.10), получим: v ў ў +v ў /t+(1- m 2 /t 2 )v=0. u ў ў t -1/2 -u ў t -3/2 +3/4ut -5/2 +1/t(u ў t -1/2 -1/2ut -3/2 )+(1- m 2 /t 2 )ut -1/2 =0 t -1/2 (u ў ў -u ў t -1 +3/4ut -2 +u ў t -1 -1/2ut -2 +u(1- m 2 /t 2 ))=0 u ў ў +1/4ut -2 +u(1- m 2 /t 2 )=0 u ў ў +u- m 2 u/t 2 +1/4ut -2 =0 u ў ў +u-( m 2 u-1/4u)/t 2 =0 u ў ў +u-(( m 2 -1/4)u)/t 2 =0 u ў ў +u- a u/t 2 =0 u ў ў +(1- a /t 2 )u=0, где a = m 2 -1/4. Покажем, что нул и вещественного решения v(t) уравнения (3.10) образуют при t>0 такую последовател ьность t 1
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
- Сёма, ты не знаешь, сколько людей погибло в США от урагана "Сэнди"?
- Судя по новостям наших телеканалов, практически все.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Теорема Штурма", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru