Реферат: Теорема Штурма - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Теорема Штурма

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 29 kb, скачать бесплатно
Обойти Антиплагиат
Повысьте уникальность файла до 80-100% здесь.
Промокод referatbank - cкидка 20%!

Узнайте стоимость написания уникальной работы

 Содержание

Введение…………………………………………………………………………………………3

§1. Предварительные сведения……………………………………5

§2. Основные факты………………………………………………………………8

§3. Теоремы Штурма……………………………………………………………18

Использованная литература…………………………………………27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Тема дипломной работы “Теорема Штурма”, связана с именем французского математика Жака Шарля Франсуа Штурма.

Штурм Жак Шарль Франсуа (Sturm J. Ch. F. – правильное произношение: Стюрм), родился 29 сентября 1803 года в Женеве. Был членом Парижской академии наук с 1836, а также иностранным членом – корреспондентом Петербургской академии наук с того же года. С 1840 года был профессором Политехнической школы в Париже.

Штурм (1824/25) и Раабе (1827) ввели главные формулы сферической тригонометрии при помощи пространственных координат.

Теорему Фурье ( Теорема о числе действительных корней между двумя данными пределами ), математика Жозефа Фурье (Joseph Fourier, 1768-1830), затмила более общая теорема, опубликованная Штурмом в Bull. mathem., 1829. Доказательство сам Штурм представил только в одной премированной работе 1835г. Коши Огюстен (Cauchy Augustin, 1789-1857) распространил теорему Штурма на комплексные корни (1831). Дополнение к ней дал также Сильвестр Джемс Джозеф (Sylvester Y.Y., 1814-1897) в 1839 году и позже.

Основные работы Жана Шарля Штурма относятся к решению краевых задач уравнений математической физики и связанной с этим задачей о разыскивании собственных значений и собственных функций для обыкновенных дифференциальных уравнений. (Задача Штурма-Лиувилля, о нахождении отличных от нуля решений дифференциальных уравнений :

-(p(t)u ? ) ? +q(t)u= l u,

удовлетворяющих граничным условиям вида:

А 1 u(a)+B 1 u ? (a)=0,

A 2 u(b)+B 2 u ? (b)=0,

(так называемых собственных функций), а также о нахождении значений параметра l (собственных значений), при которых существуют такие решения. При некоторых условиях на коэффициенты p(t), q(t) задача Штурма-Лиувилля сводилась к рассмотрению аналогичной задачи для уравнения вида: -u ? ? +q(x)u= l u).

Эта задача была впервые исследована Штурмом и Жозефом Лиувиллем (Joseph Liouville, 1809-1882) в 1837г. и закончена в 1841 г.

Также Жак Штурм дал общий метод для определения числа корней алгебраических уравнений, лежащих на заданном отрезке, названный правилом Штурма, который позволяет находить непересекающиеся интервалы, содержащие каждый по одному действительному корню данного алгебраического многочлена с действительными коэффициентами (уже упоминалось выше).

Ему принадлежат ряд работ по оптике и механике.

Штурм Жак Шарль Франсуа умер 18 декабря 1855года.

 

§ 1. Предварительные сведения

 

Среди дифференциальных уравнений, наиболее часто используемых в математике и физике, следует выделить линейное уравнение второго порядка, имеющее вид

u"+ g(t)u' + f(t)u=h(t) (1.1)

или

(р (t) и')' + q (f) и = h(t) . (1.2)

Как правило, если не оговорено противное, предполагается, что функции (t), g (f), h (f) и р (f) № 0, q (t), входящие в эти уравнения, являются непрерывными (вещественными или комплексными) на некотором t -интервале J , который может быть как ограниченным, так и неограниченным. Причина, по которой предполагается, что р(t) № 0, скоро станет ясной.

Из двух выражений (1.1) и (1.2) последнее является более общим, поскольку уравнение (1.1) может быть записано в виде

(p(t) и')' + р(t) f(t)u= р (t) h (t), (1.3)

если определить p(t) следующим образом:

(1.4)

при некотором a€J . Частичное обращение этого утверждения также верно, поскольку если функция р(t) непрерывно дифференцируема, уравнение (1.2) можно записать в виде

,

а это уравнение имеет вид (1.1).

В случае, если функция р (t) непрерывна, но не имеет непрерывной производной, уравнение (1.2) не может быть записано в виде (1.1). Тогда уравнение (1.2) можно интерпретировать как линейную систему из двух уравнений первого порядка для неизвестного двумерного вектора :

, . (1.5)

Другими словами, решение и = и (t) уравнения (1.2) должно быть такой непрерывно дифференцируемой функцией, что функция р(t) u'(t) имеет непрерывную производную, удовлетворяющую (1.2). Если р(t) № 0 и q(t), h(t) непрерывны, к системе (1.5) , а потому и к уравнению (1.2) применимы стандартные теоремы существования и единственности для линейных систем (Мы можем рассматривать также более общие (т. е. менее гладкие) типы решений, если предполагать, например, только, что функции 1/ p(t), q (t), h (t) локально интегрируемы.)

Частному случаю уравнения (1.2) при соответствует уравнение

и" + q(t) u = h(t). (1.6)

Если функция принимает вещественные значения, уравнение (1.2) может быть приведено к такому виду с помощью замены независимых переменных

, т.е. (1.7)

при некотором a € J. Функция s = s (t) имеет производную и потому строго монотонна. Следовательно, функция s = s ( t) имеет обратную t= t (s), определенную на некотором s -интервале. После введения новой независимой переменной s уравнение (1.2) переходит в уравнение

(1.8)

где аргумент t выражений p(f)q(t) и p(t) h(f ) должен быть заменен функцией t = t(s). Уравнение (1.8) является уравнением типа (1.6).

Если функция g (t) имеет непрерывную производную, то уравнение (1.1) может быть приведено к виду (1.6) с помощью замены неизвестной функции и на z :

(1.9)

при некотором a € J . В самом деле, подстановка (1.9) в (1.1) приводит к уравнению

(1.10)

которое имеет вид (1.6).

В силу сказанного выше, мы можем считать, что рассматриваемые уравнения второго порядка в общем случае имеют вид (1.2) или (1.6). Утверждения, содержащиеся в следующих упражнениях, будут часто использоваться в дальнейшем.

 

 

 

 

§ 2. Основные факты

 

Прежде чем перейти к рассмотрению специальных вопросов, мы получим следствия, касающиеся однородного и неоднородного уравнений

(2.1)

(2.2)

Для этого перепишем скалярные уравнения (2.1) или (2.2) в виде системы двух уравнений

(2.3)

(2.4)

где векторы х= (х 1 , х 2 ), у == (у 1 , y 2 ) совпадают с векторами , , A(t)- матрица второго порядка :

(2.5)

Если не оговорено противное, то предполагается, что , q (t), h (t) и другие коэффициенты являются непрерывными комплексными функциями на t -интервале J (который может быть замкнутым или незамкнутым, ограниченным или неограниченным).

(i) Если и , - произвольные комплексные числа, то задача Коши для уравнения (2.2)

, (2.6)

имеет единственное решение, существующее при всех , см. лемму IV. 1.1.

(ii) В частном случае (2.1) уравнения (2.2) и при соответствующим единственным решением служит функция . Поэтому, если есть решение уравнения (2.1), то нули функции и (t) не могут иметь предельной точки в J.

(iii) Принцип суперпозиции. Если , - решения уравнения (2.1), a , - постоянные, то функция является решением уравнения (2.1). Если - решение уравнения (2.2), то функция также является решением уравнения (2.2) тогда и только тогда, когда функция удовлетворяет уравнению (2.1).

(iv) Если , - решения уравнения (2.1), то соответствующие векторные решения системы (2.3) , линейно независимы (в каждой точке t ) тогда и только тогда, когда функции , линейно

независимы в том смысле, что равенство , где и - постоянные, влечет за собой .

(v) Если , - решения уравнения (2.1), то существует постоянная с, зависящая от и (t) и v (t) и такая, что для их вронскиана W (t) = W (t; и, v) выполняется тождество

. (2.7)

Поскольку матричным решением системы (2.3) является

,

det X(t)=p(t)W(t) и trA( t )=0.

(vi) Тождество Лагранжа. Рассмотрим пару уравнений

, , (2.8)

где f=f(t), g = g (t) - непрерывные функции на J. Если умножить второе уравнение на и, первое-на v и результаты вычесть, мы получим, что

, (2.9)

так как . Соотношение (2.9) называется тождеством Лагранжа. Его интегральная форма

(2.10)

где , называется формулой Грина.

(vii) В частности, из (v) следует, что и(t) и v(t) - линейно независимые решения уравнения (2.1) тогда и только тогда, когда в (2.7) . В этом случае всякое решение уравнения (2.1) является линейной комбинацией функций и(t) и v ( t ) с постоянными коэффициентами.

(viii) Если (например, ), то вронскиан любой пары решений и(t), v(t) уравнения (2.1) равен постоянной .

(ix) В соответствии с результатами общей теории, в случае, когда известно одно решение уравнения (2.1), отыскание других решений v(t) этого уравнения (по крайней мере локально) сводится к решению некоторого скалярного дифференциального уравнения первого порядка. Если на подинтервале , этим уравнением служит уравнение (2.7 ), где и - известная функция, а v - искомая . Если поделить (2.7) на , то это уравнение запишется в виде

, (2.11)

а после интегрирования мы будем иметь

, (2.12)

где а, . Легко проверить, что если , - произвольные постоянные и а, , то функция (2.12) является решением уравнения (2.1), удовлетворяющим (2.7) на любом интервале J', где .

(х) Пусть и(t), v(t) - решения уравнения (2.1), удовлетворяющие (2.7) с . При фиксированном решением уравнения (2.1), удовлетворяющим начальным условиям и (s) = 0, p(s)u'(s) = 1, является . Поэтому решением уравнения (2.2), удовлетворяющим условиям , служит функция

; (2.13)

(проще проверить это непосредственно). Общее решение уравнения (2.2) получается прибавлением к (2.13) общего решения уравнения (2.1), что дает

. (2.14)

Если замкнутый ограниченный интервал [a,b] содержится в J , то, полагая

, , 

мы получаем из (2.14) частное решение

. (2.15)

Оно может быть записано в виде

, (2.16)

где

(2.17)

матрица С (t) зависит от , но не зависит от их производных. В этом случае уравнение (2.1) и эквивалентная ему система (2.3) сводятся к системе

. (2.28)

(xii) Если известно частное решение уравнения (2.27), не равное нулю на J , то мы можем определить линейно независимые решения с помощью квадратур (см. (ix)) и затем найти матрицу, входящую в (2.28). В действительности, тот же результат можно получить более прямым путем. Пусть уравнение (2.27) имеет решение на интервале J . Заменим неизвестную функцию и в (2.1) на z , так что

. (2.29)

Функция z удовлетворяет дифференциальному уравнению

.

Умножая его на , мы получаем, что

(2.30)

или, в силу (2.27) , что

, (2.31)

т. е. подстановка (2.29) приводит уравнение (2.1) к (2.30) или к (2.31 ). Мы могли также начинать не с решения дифференциального уравнения (2.27) , а с функции , имеющей непрерывную производную и такой, что непрерывно дифференцируема. При этом определяется равенством (2.27) , так что . Подстановка (2.29) будет называться также вариацией постоянных.

(xiii) Подстановка Лиувилля. В качестве частного случая рассмотрим (2.1) с р (t) = 1:

и" + q (t) и = 0. (2.32)

Предположим, что функция q (t) имеет непрерывную производную второго порядка, вещественна и не равна нулю, так что

±q (t) > 0, где ± = sgn q (t) (2.33)

не зависит от t. Рассмотрим вариацию постоянных

. (2.34)

Тогда (2.32) сводится к (2.30), где , т. е. к уравнению

(2.35)

Замена независимых переменных , определенная соотношением

, (2.36)

переводит (2.35) в уравнение

(2.37)

где

(2.38)

а аргументом функции q и ее производных служит функция t = t (s), обратная к функции s = s ( f), определяемой из (2.36) с помощью квадратуры; см. (1.7). В этих формулах штрих означает дифференцирование по t , так что q' = dqldt.

Замена переменных (2.34), (2.36) называется подстановкой Лиувилля. Эта подстановка, или повторное применение ее, часто приводит к дифференциальному уравнению типа (2.37), в котором функция f (s) “близка” к постоянной . Простой предельный случай такой подстановки см. в упр. 1.1(с).

(xiv) Уравнения Риккати. В п. (xi), (xii) и (xiii) рассматривались преобразования уравнения (2.1) в различные линейные уравнения второго порядка или в соответствующие линейные системы двух уравнений первого порядка. Иногда удобно преобразовать (2.1) в соответствующее нелинейное уравнение или систему. Для этого чаще всего используется следующий метод. Пусть

, (2.39)

так что . Тогда после деления (2.1) на и результат можно записать в виде

. (2.40)

Это уравнение называется уравнением Риккати , соответствующим (2.1). (В общем случае уравнение вида , где правая часть является квадратичным полиномом от г, называется дифференциальным уравнением Риккати.)

Читателю предоставляется проверка того факта, что если и (t) - решение уравнения (2.1), не равное нулю на t - интервале , то функция (2.39) является решением уравнения (2.40) на J'; обратно, если - решение уравнения (2.40) на t - интервале , то, интегрируя (2.39), мы получаем решение

(2.41)

уравнения (2.1), не равное нулю ни в одной точке из J'.

(xv) Преобразование Прюфера. В случае, когда уравнение (2.1) имеет вещественные коэффициенты, часто используется следующее преобразование . Пусть -вещественное решение уравнения 2.1, и пусть

.

Поскольку и и и' не могут обратиться в нуль одновременно, то, фиксируя соответствующее значение функции в некоторой точке , мы определяем с помощью второго из равенств (2.42) непрерывно дифференцируемую функцию . Соотношения (2.42) переводят уравнение (2.1) в систему

, (2.43)

(2.44)

В уравнение (2.43) входит лишь одна из неизвестных функций . Если решение уравнения (2.43) известно, то соответствующее решение уравнения (2.44) может быть найдено с помощью квадратуры.

Преимущество уравнения (2.43) по сравнению с (2.40) состоит в том, что всякое решение уравнения (2.43) существует на всем интервале J , где непрерывны р и q. Это видно из соотношения, связывающего решения уравнений (2.1) и (2.43).

 

Упражнение 2.1 . Проверьте, что если функция непрерывна на J и имеет локально ограниченную вариацию (т. е. имеет ограниченную вариацию на всех замкнутых ограниченных подин-тервалах из J ) и если - вещественное решение уравнения (2.1), то равенства

(2.45)

при фиксированном значении для некоторого однозначно определяют непрерывные функции , имеющие локально ограниченную вариацию и



Соотношения (2.46) и (2.47) следует понимать так, что интегралы Римана - Стильтьеса от обеих их частей равны. Обратно, (непрерывные) решения системы уравнений (2.46), (2.47) определяют решения уравнения (2.1) с помощью соотношений (2.45). Заметим, что если q (t) > 0, р (t) > 0 и функция q(t) р ( t ) имеет локально ограниченную вариацию, то, полагая , мы получаем q/ , а соотношения (2.45), (2.46) и (2.47) переходят в равенства

(2.48)

(2.49)

. (2.50)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 3 . Теоремы Штурма

В этом параграфе мы будем рассматривать только уравнение вида (2.1) с вещественными непрерывными коэффициентами р (t) > 0, q (t). Под “решением” мы будем понимать “вещественное, нетривиальное (т. е. ) решение”. Нас будет интересовать множество нулей решения u (t) . Для изучения этих нулей часто оказывается полезным преобразование Прюфера (2.42), поскольку тогда и только тогда, когда .

Лемма 3.1. Пусть - вещественное решение уравнения (2.1) при , где и вещественны и непрерывны. Пусть функция и (t) имеет в точности нулей при . Предположим, что - непрерывная функция, определенная равенством (2.42), и . Тогда и при .

 

Доказательство. Заметим, что в той точке t , где u=0 , т. е. где , производная в силу (2.43). Следовательно, функция возрастает в окрестности точек, где для некоторого целого j . Отсюда следует, что если и , то при , а также что если , то при . Тем самым лемма доказана.

В теоремах этого параграфа будут рассматриваться два уравнения



где функции вещественны и непрерывны на интервале J . и

. (3.2)

В этом случае уравнение (3.1) называется мажорантой Штурма для (3.1) на J , а уравнение (3.1) -минорантой Штурма для (3.1). Если дополнительно известно, что соотношения

(3.3 2 )

или

и (3.3 1 )

выполняются в некоторой точке , то уравнение (3.3 2 ) называется строгой мажорантой Штурма для (3.3 1 ) на J.

 

Теорема 3.1 (первая теорема сравнения Штурма). Пусть коэффициенты уравнения непрерывны на интервале J: , и пусть уравнение (3.3 2 ) является мажорантой Штурма для (3.1 1 ) . Предположим, что функция является решением уравнения (3.1 1 ) и имеет точно нулей при ,а функция удовлетворяет уравнению (3.1 2 ) и

(3.4)

при . [Выражение в правой (соответственно левой) части неравенства (3.4) при полагается равным , если (соответственно если ) ; в частности, соотношение (3.4) справедливо при , если .] Тогда имеет при пo крайней мере n нулей. Более того, имеет по крайней мере n нулей при , если при в (3.4) имеет место строгое неравенство или если уравнение (3.1 г) является строгой мажорантой Штурма для (3.1 1 ) при .

 

Доказательство. В силу (3.4) можно определить при пару непрерывных функций с помощью соотношений

(3.5)

Тогда справедливы аналоги соотношения (2.43):

(3.6 j )

Поскольку непрерывные функции , гладким образом зависят от , решения системы (3.6) однозначно определяются своими начальными условиями. Из (3.2) следует, что при и всех . Поэтому последняя часть (3.5) и следствие III.4.2 означают, что

для В частности, из следует, что , и первая часть теоремы вытекает из леммы 3.1.

Чтобы доказать последнюю часть теоремы, предположим вначале, что при в (3.4) имеет место строгое неравенство. Тогда . Обозначим через решение уравнения (3.6 2 ) , удовлетворяющее начальному условию , так что . Поскольку решение уравнения (3.6 2 ) однозначно определяется начальными условиями, при . Неравенство, аналогичное (3.7), означает, что потому . Следовательно, имеет n нулей при .

Рассмотрим теперь тот случай, когда в (3.4) имеет место равенство, но в некоторой точке из выполняется либо (3.3 1 ) , либо (3.3 2 ) . Запишем (3.6 2 ) в виде

,

где



Если доказываемое утверждение неверно, то из уже рассмотренного случая следует, что при .Поэтому и при . Так как только в нулях функции , то отсюда следует, что при и .

Следовательно, если при некотором t , то , т. е. . Если (3.3 1 ) не выполняется ни при каком t из отрезка , то при некотором t имеет место (3.3 2 ) , и потому (3.3 2 ) справедливо на некотором подинтервале из . Но тогда на этом интервале и потому . Однако это противоречит условию . Доказательство закончено.

 

Следствие 3.1 (теорема Штурма о разделении нулей). Пусть уравнение (3.1 2 ) является мажорантой Штурма для (3.1 1 ) на интервале J, и пусть - вещественные решения уравнений, (3.3 j ) . Пусть обращается в нуль в двух точках интервала J. Тогда имеет по крайней мере один нуль на . В частности, если и вещественные линейно независимые решения уравнения (3.1 1 ) (3.1 2 ) . То нули функции разделяют нули функции и разделяются ими.

Заметим, что, последнее утверждение этой теоремы имеет смысл, поскольку нули функций и не имеют на J предельных точек. Кроме того, , не могут иметь общего нуля , так как в противном случае в силу того, что решения уравнения (3.1 1 ) единственны, , где (так что и не являются линейно независимыми).

Упражнение 3.1 . (Другое доказательство теоремы Штурма о разделении нулей, когда p 1 (t) ? p 2 (t)>0, q 2 (t) ? q 1 (t).)

Предположим, что u 1 (t)>0 при t 1 2 3 и утверждение неверно: например, u 2 (t)>0 при t 1 ? t ? t 2 . Умножая (p 1 (t)u ? ) ? +q 1 (t)u=0, где u=u 1 , на u 2 , а (p 2 (t)u ? ) ? +q 2 (t)u=0, где u=u 2 , на u 1 , вычитая и интегрируя по [t 1, t 2 ], получаем:

p(t)(u 1 ? u 2 -u 1 u 2 ? ) ? 0, при t 1 ? t ? t 2 , где p=p 1 =p 2 . Это означает, что (u 1 /u 2 ) ? ? 0; поэтому u 1 /u 2 >0 при t 1 2 , т.е. получается, что u 1 (t 2 )>0 чего быть не может.

Решение:

(p 1 (t)u ? ) ? +q 1 (t)u=0, u=u 1

(p 1 (t)u 1 ? ) ? +q 1 (t)u 1 =0.

Умножим левую часть равенства на u 2 , получим:

u 2 (p 1 (t)u 1 ? ) ? +q 1 (t)u 1 u 2 =0.

Во втором уравнении проделаем соответствующие операции:

(p 2 (t)u ? ) ? +q 2 (t)u=0, u 2 =u

(p 2 (t)u 2 ? ) ? +q 2 (t)u 2 =0.

Умножим левую часть равенства на u 1 , получим:

u 1 (p 2 (t)u 2 ? ) ? +q 2 (t)u 1 u 2 =0.

Вычитаем из первого уравнения второе, получим:

u 2 (p 1 u 1 ? ) ? +q 1 u 1 u 2 -u 1 (p 2 u 2 ? ) ? -q 2 u 1 u 2 =0, p=p 1 =p 2

u 2 (pu 1 ? ) ? +q 1 u 1 u 2 -u 1 (pu 2 ? ) ? -q 2 u 1 u 2 =0

(u 2 (pu 1 ? ) ? -u 1 (pu 2 ? ) ? )+u 1 u 2 (q 1 -q 2 )=0

Упростим это уравнение,

u 2 (p ? u 1 ? +pu 1 ? ? )-u 1 (p ? u 2 ? +pu 2 ? ? )+u 1 u 2 (q 1 -q 2 )=0

Раскроем скобки, получим:

p ? u 1 ? u 2 + pu 1 ? ? u 2 - p ? u 1 u 2 ? -pu 1 u 2 ? ? +u 1 u 2 (q 1 -q 2 )=0.

Сравнивая с формулой (2.2), получаем:

(p(u 1 ? u 2 -u 1 u 2 ? )) ? +u 1 u 2 (q 1 -q 2 )=0

(p(u 1 ? u 2 -u 1 u 2 ? )) ? -u 1 u 2 (q 2 -q 1 )=0

(p(u 1 ? u 2 -u 1 u 2 ? )) ? =u 1 u 2 (q 2 -q 1 )=0.

Проинтегрируем это уравнение по [t 1 ,t], получим:

[p(u 1 ? u 2 -u 2 ? u 1 )] ? dt = u 1 u 2 (q 2 -q 1 )dt, где

u 1 u 2 >0, q 2 -q 1 ? 0. Значит p(u 1 ? u 2 -u 1 u 2 ? ) ? 0.

Т.о. (u 1 /u 2 ) ? ? 0 ? u 1 /u 2 >0.

Упражнение 3.2. с) Проверьте, что вещественные решения u(t) ? 0 уравнения u ? ? + m /t 2 u=0 (1/17) имеет не более одного нуля при t>0, если m ? , и эти решения имеют бесконечно много нулей при t>0, если m > . В последнем случае множество нулей имеет две предельные точки t=0 и t= ? .

Решение: в §1 было рассмотрено упражнение 1.1 с), где показали, что функция u=t l является решением уравнения u ? ? + m /t 2 u=0 тогда и только тогда, когда l удовлетворяет уравнению l ( l -1)+ m =0. Решая его получили : l = ± m .

Если m >1/4, то корни l 1 и l 2 – комплексные, т.е.

u=t 1/2 [cos ( m -1/4 ln t)c 1 +c 2 sin( m -1/4 ln t)]

имеют бесчисленное множество нулей. В частности, если положить:

c 1 =sinu ,c 2 =cosu,

то получим:

u= t 1/2 [sin u cos ( m -1/4 ln t)+cos u sin ( m -1/4 ln t)]=

t 1/2 [sin (u+ m -1/4 ln t)].

Если m <1/4, то решение

u=с 1 t 1/2+ +c 2 t 1/2-

имеют не более одного нуля.

Так же, если m =1/4, то решение

u=c 1 t 1/2 +c 2 t 1/2 ln t

имеют не более одного нуля.

d) Рассмотрим уравнение Бесселя:

v ? ? +v ? /t+(1- m 2 /t 2 )v=0, (3.10)

где m -вещественный параметр. Вариация постоянных u=t 1/2 /v переводит уравнение (3.10) в уравнение:

u ? ? +(1- a /t 2 )u=0, где a = m 2 -1/4 (3.11)

Проверим истинность этого утверждения u=t 1/2 v, следовательно:

v=u/t 1/2 =ut -1/2.

Найдём первую производную:

v ? =(ut -1/2 ) ? =u ? t -1/2 +u(t -1/2 ) ? =u ? t -1/2 -1/2ut -3/2 .

Теперь вторую производную:

v ? ? =(u ? t 1/2 ) ? -1/2(ut -3/2 ) ? =u ? ? t -1/2 +u ? (t -1/2 ) ? -1/2(u ? t -3/2 +u(t -3/2 ) ? )=

=u ? ? t -1/2 –1/2u ? t -3/2 -1/2u ? t -3/2 +3/4uut -5/2 =

=u ? ? t -1/2 -u ? t -3/2 +3/4ut -5/2 .

Подставляя в уравнение (3.10), получим:

v ? ? +v ? /t+(1- m 2 /t 2 )v=0.

u ? ? t -1/2 -u ? t -3/2 +3/4ut -5/2 +1/t(u ? t -1/2 -1/2ut -3/2 )+(1- m 2 /t 2 )ut -1/2 =0

t -1/2 (u ? ? -u ? t -1 +3/4ut -2 +u ? t -1 -1/2ut -2 +u(1- m 2 /t 2 ))=0

u ? ? +1/4ut -2 +u(1- m 2 /t 2 )=0

u ? ? +u- m 2 u/t 2 +1/4ut -2 =0

u ? ? +u-( m 2 u-1/4u)/t 2 =0

u ? ? +u-(( m 2 -1/4)u)/t 2 =0

u ? ? +u- a u/t 2 =0

u ? ? +(1- a /t 2 )u=0, где a = m 2 -1/4.

Покажем, что нули вещественного решения v(t) уравнения (3.10) образуют при t>0 такую последовательность t 1 2 <…, что t n -t n-1 ® p при n ® ? .

Так как в уравнении

u ? ? +(1- a /t 2 )u=0, т.е. уравнение

u ? ? +(1-( m 2 -1/4)/t 2 )u=0

m - постоянное число, то при m ? 1/4 и при t – достаточно большое, то выражение

1-( m 2 -1/4)/t 2 ® 1, т.е. если уравнение

u ? ? +(1-( m 2 -1/4)/t 2 )u=0

сравнить с уравнением u ? ? +u=0, то расстояние между последовательными нулями стремится к p , т.е. t n -t n-1 ® p при n ® ? .

 

Теорема 3.2 (вторая теорема сравнения Штурма). Пусть выполнены условия первой части теоремы 3.1 и функция имеет точно n нулей при . Тогда соотношение (3.4) выполняется при [где выражение в правой (соответственно левой) части (3.4) при полагается равным , если (соответственно, )]. Кроме того, при в (3.4) имеет место строгое неравенство, если выполнены условия последней части теоремы 3.1.

 

Доказательство этого утверждения содержится по существу в доказательстве теоремы 3.1, если заметить, что из предположения о числе нулей функции вытекает последнее неравенство в следующей цепочке: . Аналогично, в предположениях последней части теоремы доказательство теоремы 3.1 дает неравенство .

 

 

 

Использованная литература:

  1. Ф. Хартман. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебн. пособие./ Пер. с англ. И.Х.Сабитова, Ю.В.Егорова; под ред. В.М.Алексеева.-М.: изд.”Мир”, 1970г.-720 с.

  2. В.В.Степанов. Курс дифференциальных уравнений. Гос.изд. “Технико-теор. литер.”-М., 1953г.-468 с.

  3. Большая Советская Энциклопедия. /Под ред. А.М.Прохорова. Изд. 3-е., М., “Советская Энциклопедия”, 1978г., т.29. “Чачан-Эне-ле-Бен.” – 640 с.

  4. Г.Вилейтнер. “История математики от Декарта до середины 19-го столетия.” М., изд. “Наука.”, 1966г. – 508 с.

  5. История математики с древнейших времён до начала 19-го столетия. /Под ред. Юшкевича А.П., т.3 /Математика 18-го столетия/., изд. “Наука.”, М., 1972г. – 496 с.

 

1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
- Папа, а давай купим шалав!
- Купим, сынок, только это лаваш называется.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Теорема Штурма", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2017
Рейтинг@Mail.ru