Реферат: Теорема Ферма: история и доказательства - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Теорема Ферма: история и доказательства

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 23 kb, скачать бесплатно
Обойти Антиплагиат
Повысьте уникальность файла до 80-100% здесь.
Промокод referatbank - cкидка 20%!

Узнайте стоимость написания уникальной работы




ГОРОДСКОЙ КЛАССИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ













РЕФЕРАТ




Великая теорема Ферма












Подготовил:

Петров А. А.,

9Б класс (физ-мат)













г. Кемерово - 1998




Содержание


1. Биография Ферма

2. История Большой теоремы Ферма

3. Доказательство леммы 1 (Жермен)

4. Доказательство леммы 2 (вспомогательной)

5. Доказательство теоремы Ферма для показателя 4

6. Примечания к доказательствам











Биография Ферма


Пьер Ферма жил с 1601 по 1665 год. Был он сыном одного из многочисленных торговцев во Франции, получил юридическое образование и работал сначала адвокатом, а впоследствии стал даже советником парламента. Служебные его обязанности, далёкие по содержанию от математических наук, оставляли ему достаточно досуга, который Ферма и посвящал занятиям математическими исследованиями. Благодаря своим природным способностям и настойчивости, необходимой при работе над вопросами математики, Ферма добился крупных результатов в самых различных её областях. Но не только математикой был он силён: в области физики, например, им сформулирован основной принцип геометрической оптики, известный под названием «Принципа Ферма».

Ферма своими работами способствовал развитию новых отраслей в математике: математического анализа, аналитической геометрии (одновременно с Декартом), теории вероятностей.

Главным вкладом Ферма в алгебру явилась развитая им теория соединений или, как её ещё называют, комбинаторика. Отдельные задачи теории соединений были решены уже в древности греками и индийцами, но научная постановка этих вопросов возникла лишь в XVII веке в работах Ферма и его современника, знаменитого французского философа, математика и физика Блеза Паскаля. Исходя из основ комбинаторики, эти два учёных и положили начало новой математической науке, называемой теорией вероятностей, получившей в XVIII веке значительную теоретическую базу, при этом она стала получать всё большее распространение и использоваться в различных областях науки и практической деятельности. Прежде всего, она была применима к вопросам страхования, а в дальнейшем область её применения всё расширялась и расширялась.

Много внимания Ферма также уделял и вопросу о магических квадратах. Эти квадраты сначала стали известны индийцам и арабам, и уже только в эпоху средних веков они появились в Западной Европе. Различные математики заинтересовались исследованиями их свойств, это содействовало развитию некоторых математических теорий. Ещё Мезириак нашёл способы составления магических квадратов с нечётным числом клеток, а уже Ферма распространил идею составления магических квадратов на пространство, т. е. поставил вопрос о составлении кубов, обладающих свойствами, аналогичными свойствам магических квадратов.

Хотя Ферма внёс большой вклад в развитие теории алгебраических чисел, доказательства его доводов почти ни в одном случае найдены не были (доказательство Большой теоремы Ферма для n=4 – исключение, т. к. в рукописях оно было). Некоторые выводы, сделанные Ферма, были и вовсе ошибочными, но теоремы, полные доказательства которых, как утверждал Ферма, у него имелись, все впоследствии были доказаны (основной вклад в доказательство которых внёс Эйлер). Но было и одно исключение – приятное исключение – это Великая теорема Ферма:


История Большой теоремы Ферма


Большой известностью во всём мире пользуется «Великая теорема Ферма» (она же – «Большая» или «Последняя»).

Великой теоремой Ферма называется то заключение, которое было сделано им при чтении изданной Мезириаком «Арифметики» Диофанта. На полях этой книги, против того места, где идёт речь о решении уравнения вида x2 + y2 = z2, Ферма написал: «Между тем, совершенно невозможно разложить полный куб на сумму кубов, четвёртую степень – на сумму четвёртых степеней, вообще какую-нибудь степень – на сумму степеней с тем же показателем. Я нашёл поистине удивительное доказательство этого предположения, но здесь слишком мало места, чтобы его поместить». Это положение Ферма теперь формулируется как теорема в следующем виде: «Уравнение xn + yn = zn не может быть решено в рациональных числах относительно x, y и z при целых значениях показателя n, больших 2» (общеизвестно, что при n=2 такие числа существуют, например, 3, 4, 5 – числа, которые, если являются длинами сторон, образуют знаменитый треугольник Пифагора). Справедливость этой теоремы подтверждается для многих частных случаев (при этом ещё не найдено ни одного опровержения), однако до сих пор она не доказана в общем виде, хотя ей интересовались и её пытались доказать многие крупные математики (в «Истории теории чисел» Диксона прореферировано более трёхсот работ на эту тему). В 1907 году в городе Дармштадте в Германии умер математик Вольфскель, который завещал 100000 марок тому, кто даст полное доказательство теоремы. Немедленно сотни и тысячи людей, движимых одним лишь стремлением к наживе, стали бомбардировать научные общества и журналы своими рукописями, якобы содержащими доказательство теоремы Ферма. Только в Гёттингенское математическое общество за первые три года после объявления завещания Вольфскеля пришло более тысячи «решений». Но премия эта до сих пор никому не выдана за отсутствием настоящего доказательства Большой теоремы Ферма.

Элементарного доказательства Великой теоремы Ферма нет ни для одного показателя n ? 4.

Случай, когда n = 3, был доказан Эйлером ещё в 1768 году. И тот потребовал ещё много лет, чтобы теория, которой необоснованно пользовался Эйлер при своём доказательстве, была доказана Гауссом.

Доказательство теоремы Ферма для случая, когда n = 5, предложили в 1825 году почти одновременно Лежен Дирихле и Лежандр. Своё доказательство Дирихле опубликовал в 1828 году, но оно было очень сложным, и в 1912 году его упростил Племель.

Для следующего простого показателя n = 7 теорема Ферма была доказана лишь в 1839 году Ламе. Доказательство Ламе было почти сразу же усовершенствовано Лебегом.

В 1847 году Ламе объявил, что ему удалось найти доказательство теоремы Ферма для всех простых показателей n ? 3. Метод Ламе представлял собой весьма далёкое развитие идей Эйлера и основывался на арифметических свойствах чисел. Однако сразу же Лиувилль обнаружил в рассуждениях Ламе серьёзный пробел, чем опровергнул это доказательство. Ламе был вынужден признать свою ошибку.

На ЭВМ, пользуясь идеями Куммера и Вандивера доказали справедливость теоремы Ферма для всех простых показателей n < 100000.


Доказательство леммы 1 (Жермен)


Если произведение двух взаимно простых натуральных чисел является n-ой степенью, то каждый из сомножителей также будет n-ой степенью:

ab = cn; НОД(a; b) = 1; a, b ? N

Доказать: a = xn; b = yn

Доказательство: Если разложить cn на простые множители, то: cn = d1 * … * d1 * d2 * … * d2 * … * dm * … * dm, где каждого множителя по n. Если же разложить на простые множители числа a и b, то какие-то из чисел d1 … dm уйдут к a, какие-то – к b, причём одинаковые уйти и туда, и туда не могут в силу того, что НОД(a; b) = 1, т. е. a есть произведение n-х степеней неких простых чисел, и b также – произведение n-х степеней каких-то чисел, следовательно: a = xn; b = yn.


Доказательство леммы 2 (вспомогательной)


x2 + y2 = z2 (1)

Если (x; y; z) – решение, то (y; x; z) также будет решением, потому что x и y симметричны в данном уравнении. Предположим, что z = 2k, тогда z2 = 4k, если же z = 2k – 1, то z2 = (2k – 1)2 = 4k2 – 4k + 1 = 4(k2 – k) + 1, следовательно, хотя бы одно из чисел x и y чётно, т. к. если бы оба они были нечётными, то x2 + y2 = (2k – 1)2 + (2d – 1)2 = 4k2 – 4k + 1 + 4d2 – 4d + 1 = 4(k2 + d2 – k – d) + 2, чего быть не может, т. к. x2 + y2 = z2. Кроме того (±x; ±y; ±z) также является решением уравнения, т. к. x2 = (-x)2; y2 = (-y)2; z2 = (-z)2.

Из этих замечаний непосредственно следует, что нам достаточно найти лишь состоящие из положительных чисел примитивные решения (x; y; z) уравнения (1), т. е. исключим все следующие решения: (±x; ±y; ±z), кроме (x; y; z), (y, x, z), для которых x = 2a.

Лемма 2: «Любое состоящее из положительных чисел примитивное решение (x, y, z) уравнения (1), для которого x = 2a, выражается формулами:

x = 2mn; y = m2n2; z = m2 + n2,

где n < m, НОД(m; n) = 1, m и n – числа разной чётности».

Доказательство: Пусть (x; y; z) – произвольное, состоящее из положительных чисел примитивное решение уравнения (1), где x = 2a. Из уравнения 4a2 + y2 = z2 следует (z – y)(z + y) = 4k2. Чётность чисел z – y и z + y совпадают и произведение их равно 4k2, следовательно, z – y и z + y чётные. Пусть z + y = 2b; z – y = 2c, где b и c положительны, т. к. y < z, исходя из уравнения (1). Каждый общий делитель l чисел b и c является также общим делителем z = b + c и y = b – c.

НОД(y; z) = 1, т. к. (x; y; z) – примитивное решение уравнения (1), следовательно, НОД(b; c) = 1. С другой стороны 4a2 = x2 = z2 – y2 = (z – y)(z + y) = 4bc, т. е. a2 = bc. Следовательно, согласно лемме 1, применённой к случаю, когда n = 2, существуют такие взаимно простые положительные числа разной чётности m и n, что b = m2; c = n2. Тогда a2 = (mn)2, т. е. a = mn и

x = 2a = 2mn; y = b – c = m2 – n2; z = b + c = m2 + n2.

Для завершения доказательства остаётся лишь добавить, что n < m, т. к. x, y > 0.


Доказательство теоремы Ферма для показателя 4


x4 + y4 = z4

Докажем ещё более общий случай:

«Уравнение

x4 + y4 = z2 (2)

не имеет решений в целых отличных от нуля числах».

Доказательство: Предположим, что существует решение уравнения (2) в целых отличных от нуля числах. Ясно, что, не теряя общности, мы можем считать, что оно состоит из попарно взаимно простых положительных чисел (если (x; y; z) является решением уравнения (2), то, сразу же видно, что (lx; ly; lz) также является его решением). Так как в любом множестве натуральных чисел существует наименьшее из них, то среди всех таких решений найдётся решение (x; y; z) с наименьшим z. Рассмотрим именно это решение:

Так же, как и при доказательстве леммы 2 немедленно доказывается, что одно из чисел x и y должно быть чётным. Предположим, что чётно число x. Это предположение также общности не ограничивает.

Так как числа x2, y2 и z положительны и взаимно просты, а число x2 чётно, то, согласно лемме 2, существуют такие взаимно простые числа m и n < m разной чётности, что x2 = 2mn; y2 = m2 – n2; z2 = m2 + n2. Если m = 2k и n = 2f +1, то y = 4(k2 – f2 – f – 1) + 3, что невозможно, ибо, как выше было уже отмечено, любой квадрат должен иметь вид 4k + 1, или 4k. Следовательно, m – нечётно, а n – чётно.

Пусть n = 2q. Тогда x2 = 4mq и потому mq = (x/2)2. Поскольку НОД(m; q) = 1, а x чётно, то, исходя из леммы 1, m = z12; q = t2, где z1 и t – некоторые целые взаимно простые положительные числа. В частности, уравнение y2 = m2 – n2 то же самое, что и y2 = (z12)2 – (2t2)2, т. е. (2t2)2 + y2 = (z12)2.

Так как НОД(t; z1) = 1, то к этому неравенству снова применима лемма 2. Следовательно, существуют такие положительные взаимно простые числа a и b < a различной чётности, что 2t2 = 2ab, т. е. t2 = ab; y2 = a2 – b2; z12 = a2 + b2. Так как НОД(a; b) = 1, из равенства t2 = ab по лемме 1 вытекает, что существу целые числа x1 и y1, для которых a = x12; b = y12. Поэтому z12 = a2 + b2 то же, что и x14 + y14 = z12. Это означает, что числа x1, y1, z1 составляют примитивное решение уравнения (2), состоящее из положительных чисел. Поэтому в силу выбора решения (x; y; z), должно иметь место неравенство z1 ? z, а потому и неравенство z12 ? z, т. е., учитывая, что z = m2 + n2, m ? m2 + n2, чего быть не может, т. к. m, n > 0.

Таким образом, предположение о существовании у записанного выше уравнения (2) целочисленных решений приводит к противоречию. Следовательно, это уравнение не имеет решений в целых отличных от нуля числах.


Примечания к доказательствам


Доказательство леммы 1 здесь дано не то, которое было известно ещё из средневековья, а то, что придумал я сам, основанное в большей степени на логических выводах. Теорема Ферма для показателя 4 (и все прилагающиеся для её доказательства леммы) – это единственная теорема, доказанная здесь, т. к. доказательство её считается элементарным, т. е. основанным на простых алгебраических преобразованиях чисел, известным ещё индусам. Доказательство же это было здесь необходимо, т. к. ещё даже у Ферма оно было, только в несколько иной форме.

Во Франции не так давно появилась книга, являющаяся, вроде как, полным доказательством Великой теоремы Ферма, но в ней использовано столько новых в математике абстрактных понятий, что проверить эти труды, кроме автора, никто не может.






Список литературы


1.) М. М. Постников «Теорема Ферма», М., 1978

2.) Б. В. Болгарский «Очерки по истории математики», Минск, 1979

3.) М. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике», М., 1974.

4.) Сеть Internet


1Авиация и космонавтика
2Архитектура и строительство
3Астрономия
 
4Безопасность жизнедеятельности
5Биология
 
6Военная кафедра, гражданская оборона
 
7География, экономическая география
8Геология и геодезия
9Государственное регулирование и налоги
 
10Естествознание
 
11Журналистика
 
12Законодательство и право
13Адвокатура
14Административное право
15Арбитражное процессуальное право
16Банковское право
17Государство и право
18Гражданское право и процесс
19Жилищное право
20Законодательство зарубежных стран
21Земельное право
22Конституционное право
23Конституционное право зарубежных стран
24Международное право
25Муниципальное право
26Налоговое право
27Римское право
28Семейное право
29Таможенное право
30Трудовое право
31Уголовное право и процесс
32Финансовое право
33Хозяйственное право
34Экологическое право
35Юриспруденция
36Иностранные языки
37Информатика, информационные технологии
38Базы данных
39Компьютерные сети
40Программирование
41Искусство и культура
42Краеведение
43Культурология
44Музыка
45История
46Биографии
47Историческая личность
 
48Литература
 
49Маркетинг и реклама
50Математика
51Медицина и здоровье
52Менеджмент
53Антикризисное управление
54Делопроизводство и документооборот
55Логистика
 
56Педагогика
57Политология
58Правоохранительные органы
59Криминалистика и криминология
60Прочее
61Психология
62Юридическая психология
 
63Радиоэлектроника
64Религия
 
65Сельское хозяйство и землепользование
66Социология
67Страхование
 
68Технологии
69Материаловедение
70Машиностроение
71Металлургия
72Транспорт
73Туризм
 
74Физика
75Физкультура и спорт
76Философия
 
77Химия
 
78Экология, охрана природы
79Экономика и финансы
80Анализ хозяйственной деятельности
81Банковское дело и кредитование
82Биржевое дело
83Бухгалтерский учет и аудит
84История экономических учений
85Международные отношения
86Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
87Финансы
88Ценные бумаги и фондовый рынок
89Экономика предприятия
90Экономико-математическое моделирование
91Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
В понедельник трахнул Ваню. Сегодня Генку. На вторник договорился с Петей. Не подумайте, что я стал пидарасом! Я просто в Болгарии!!!
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Теорема Ферма: история и доказательства", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2017
Рейтинг@Mail.ru