Реферат: Теорема Ферма: история и доказательства - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Теорема Ферма: история и доказательства

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 23 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

ГОРОДСКОЙ КЛАССИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ РЕФЕРАТ Великая теорема Ферма Подготовил : Петров А . А., 9Б класс (физ-мат ) г . Кемерово - 1998 Содержание 1. Биография Ферма 2. Истори я Большой теоремы Ферма 3. Доказательство леммы 1 (Жермен ) 4. Доказательство леммы 2 (вспомогательной ) 5. Доказательство теоремы Ферма для пока зателя 4 6. Примечания к доказательствам Биография Ферма Пьер Ферма жил с 1601 по 1665 год . Был он сы ном одного из многочисленных торговцев во Фран ции , получил юридическое образование и работа л сначала адвокатом , а впоследствии стал д аже советником парламента . Служебные его обяз анности , далёкие по содержанию от математичес ких наук , оставляли ему достаточ н о досуга , который Ферма и посвящал занятиям математическим и исследованиями . Благодаря своим природным с пособностям и настойчивости , необходимой при работе над вопросами математики , Ферма добился крупных ре зультатов в самых различных её областях . Н о не толь ко математикой был он си лён : в области физики , например , им сформул ирован основной принцип геометрической оптики , известный под названием « П ринципа Ферма ». Ферма своими работами способствовал развитию новых отрасл ей в математике : математического анализа , аналитической геометрии ( одновременно с Декартом ) , теории вероятн остей. Главным вкладом Ферма в алгебру яв илась развитая им теория соединений или , к ак её ещё называют , комбинаторика . Отдельные задачи теории соединений были решены уже в древности греками и индийцами , но научная постановка этих вопросов возникла лишь в XVII веке в работах Ферм а и его современника , знамени того французского философа , математика и физи ка Блеза Паскаля . Исходя из основ комбинаторики , эти два учёных и положили начало новой матема т ической науке , называемой теорией вероят ностей , получившей в XVIII веке значит ельную теоретическую базу , при этом она ст ала получать всё большее распространение и использоваться в различных областях науки и практической деятельности . Прежде всего , она была применима к вопросам страхования , а в дальнейшем область её применения всё расширялась и расширялась. Много внимания Ферма также уделял и вопросу о магических квадратах . Эти к вадраты сначала стали известны индийцам и арабам , и уже только в эпоху средних веков они появились в Западной Европе . Различные математики заинтересовались исследова ниями их свойств , это содействовало развитию некоторых математических теорий . Ещё Мезириак нашёл спос обы составления магических квадратов с нечётн ым числом клеток , а уже Ферма распространил идею составления магических квадратов на пространство , т . е . поставил вопрос о составлении к убов , обладающих свойствами , аналогичными свойства м магических квадратов. Хотя Ферма внёс большой вклад в развитие теор ии алгебраических чисел, доказательства его доводов почти ни в одном случае найд ены не были (доказательство Большой теоремы Ферма для n =4 – исключение , т . к . в рукопи сях оно было ). Некоторые выводы , сделанные Ферма , были и вовсе ошибочными , но теоремы , полные док азательства котор ых , как утверждал Ферма , у него им елись , все впоследствии были доказаны (основно й вклад в доказательство которых внёс Эйлер ). Но было и одно исключение – приятное исключение – это Великая теорема Ферма : История Большой теоремы Ферма Большой известностью во всём мире пользуется « Великая теорема Ферма » (она же – « Большая » или « Последняя » ). Великой теоремой Ферма называется то заключение , которое было сделано им при чтении изданной Мезириаком « Арифметики » Диофанта . На полях этой книги , против того места , г де идёт речь о решении уравнения вида x 2 + y 2 = z 2 , Ферма написал : «Между тем , совершенно невозможно разложить полный куб на сумму кубов , четвёртую степень – на сумму четвёртых степеней , вообще какую-нибу дь степень – на сумму степеней с тем же показателем. Я нашёл поистине уд ивительное доказательство этого предположения , но здесь слишком мало места , чтобы его п оместить » . Это положение Ферма теперь формул ируется как теорема в следующем виде : « Уравнение x n + y n = z n не может быт ь решено в рациональных числах относительно x , y и z при целых значе ниях показателя n , больших 2» (общеизвестно , что при n =2 такие числа суще ствуют , например , 3, 4, 5 – числа , которые , если являются длинами сторон , образ уют знаменитый треугольник Пиф агора ). Справедливость этой теорем ы п одтверждается для многих частных с лучаев (при этом ещё не найдено ни одн ого опровержения ), однако до сих пор она не доказана в общем виде , хотя ей и нтересовались и её пытались доказать многие крупные математики (в « Ис тории теории чисел » Диксона прорефериро вано более трёхсот работ на эту т ему ). В 1907 году в городе Дармштадте в Германии умер м атематик Вольфскель , который завещал 100000 марок тому , кто д аст полное доказательство теоремы . Немедленно сотни и тысячи людей , движимых одним лишь стремлением к нажив е , стали бомбардир овать научные общества и журналы своими р укописями , якобы содержащими доказательство теоремы Ферма . Тольк о в Гёттингенское математическое общество за первые три года после объявления завещания Вольфскеля пришло боле е тысячи «решений» . Но премия эта до сих пор никому не выдана за отсутств ием настоящего доказательства Большой теоремы Ферма . Элементарного доказательства Великой теоремы Ферма не т ни для одного показателя n № 4 . Случай , когда n = 3 , был доказан Эйлером ещё в 1768 году. И тот потребовал ещё много лет , чтобы теория , которой необоснованно пользовался Эйлер при своём доказательстве , была доказана Гауссом . Доказательство теоремы Фер ма для случая , когда n = 5 , предложили в 1825 году почти одновре менно Лежен Дирихле и Лежандр . Своё доказательство Дирихле опубликовал в 1828 г оду , но оно было очень сложным , и в 1912 году его упростил Племель . Для следующего простого показателя n = 7 теорема Ферма была доказана лишь в 1839 году Ламе . Доказательство Ламе было почти сразу же усовершенс тв овано Лебегом . В 1847 году Ламе объявил , что ему удалось найти доказательство теоремы Ферма для всех прос тых показателей n і 3 . Метод Ламе представлял собой весьма далёкое разви тие идей Эйлера и основывался на арифметических свойст вах чисел . Однако сразу же Лиувилль обнаружил в рассуждениях Ламе серьёзный пробел , чем опровергнул это доказательство . Ламе был вынужден признать свою ошибку. На ЭВМ , пользуясь идеями Куммера и Вандивера доказали справедли вость теоремы Ферма для всех простых пока зателей n < 100000. Доказательство леммы 1 (Же рмен ) Если произведение двух взаи мно простых натуральных чисел является n - ой степенью , то каждый из сомножителей также будет n - ой степенью : ab = c n ; НОД (a; b) = 1; a, b О N Доказ ать : a = x n ; b = y n Доказательство : Если разложить c n на простые множи тели , то : c n = d 1 * … * d 1 * d 2 * … * d 2 * … * d m * … * d m , где каждого множителя по n . Если же разложить на простые мно жители числа a и b , то какие-то из чисел d 1 … d m уйдут к a , какие-то – к b , причём одинаковые уйти и туда , и туда не могут в силу того , что НОД ( a ; b ) = 1 , т . е . a есть произведение n -х степеней н еких простых чисел , и b также – произведение n -х степ еней каких-то чисел , следовательно : a = x n ; b = y n . Доказательство леммы 2 (вс помогательной ) x 2 + y 2 = z 2 (1) Если ( x ; y ; z ) – решение , то ( y ; x ; z ) также будет р ешением , потому что x и y симметричны в данном у равнении . Предположим , что z = 2 k , тогда z 2 = 4 k , если же z = 2 k – 1 , то z 2 = (2 k – 1) 2 = 4 k 2 – 4 k + 1 = 4( k 2 – k ) + 1 , следовательно , хотя бы одно из чисел x и y чётно , т . к . если бы оба они были нечётными , то x 2 + y 2 = (2 k – 1) 2 + (2 d – 1) 2 = 4 k 2 – 4 k + 1 + 4 d 2 – 4 d + 1 = 4( k 2 + d 2 – k – d ) + 2 , чего быть не может , т . к . x 2 + y 2 = z 2 . Кроме того ( ± x ; ± y ; ± z ) также является р ешением уравнения , т . к . x 2 = (- x ) 2 ; y 2 = (- y ) 2 ; z 2 = (- z ) 2 . Из этих замечаний непосредств енно следует , что нам достаточно найти лиш ь состоящие из положительных чисел примитивны е решения ( x ; y ; z ) уравнения (1) , т . е . исключим все след ующие решения : ( ± x ; ± y ; ± z ) , кроме ( x ; y ; z ) , ( y , x , z ) , для которых x = 2 a . Лемма 2 : « Любое состоящее из положительных чисел примитивное решение ( x , y , z ) урав нения (1) , для которого x = 2 a , выражается формулами : x = 2 mn ; y = m 2 – n 2 ; z = m 2 + n 2 , где n < m , НОД ( m ; n ) = 1 , m и n – числа разной чётности». Доказательство : Пусть ( x ; y ; z ) – произвольное , состоящее из положительных чисел примитивное решение уравнения (1) , где x = 2 a . Из уравнени я 4 a 2 + y 2 = z 2 следует ( z – y )( z + y ) = 4 k 2 . Чётность чисел z – y и z + y совпадают и произведение их равно 4 k 2 , следовательно , z – y и z + y чётные . Пусть z + y = 2 b ; z – y = 2 c , где b и c положительны , т . к . y < z , исходя из уравнения (1) . Каждый общи й делитель l чисел b и c является также общим делителем z = b + c и y = b – c . НОД ( y ; z ) = 1 , т . к . ( x ; y ; z ) – примитивное р ешение уравнения (1) , следовательно , НОД ( b ; c ) = 1 . С другой стороны 4 a 2 = x 2 = z 2 – y 2 = ( z – y )( z + y ) = 4 bc , т . е . a 2 = bc . Следовательно , согласно лемме 1 , п рименённой к случаю , когд а n = 2 , существуют такие взаимно простые положительные числа разной чётности m и n , что b = m 2 ; c = n 2 . Тогда a 2 = (mn) 2 , т . е . a = mn и x = 2a = 2mn; y = b – c = m 2 – n 2 ; z = b + c = m 2 + n 2 . Для завершения доказательства остаётся лишь добавить , что n < m , т . к . x , y > 0 . Доказательство теоремы Ф ерма для показателя 4 x 4 + y 4 = z 4 Докажем е щё более общий случай : « Уравнение x 4 + y 4 = z 2 (2) не имеет решений в целых отличных от нуля числах ». Доказательство : Предположим , что существует реш ение ура внения (2) в целых отличных от нуля числах . Ясно , что , не теряя общности , мы можем считать , что оно состоит из попарно взаимно простых положительных чисел (если ( x ; y ; z ) являетс я решением уравнения (2) , то , сразу же видно , что ( l x ; l y ; l z ) также я вляет ся его решением ). Так как в любом множе стве натуральных чисел существует наименьшее из них , то среди всех таких решений на йдётся решение ( x ; y ; z ) с наименьшим z . Рассмотрим именно это решение : Так же , как и при доказательстве леммы 2 неме дленно дока зывается , что одно из чисел x и y должно быть чётным . Предположим , что чётно число x . Это предположение также общности не ограничивает. Так как числа x 2 , y 2 и z положительны и взаимно просты , а число x 2 чётно , то , согласно лемме 2 , существуют такие взаимн о простые числа m и n < m разной чётности , что x 2 = 2 mn ; y 2 = m 2 – n 2 ; z 2 = m 2 + n 2 . Е сли m = 2 k и n = 2 f +1 , то y = 4( k 2 – f 2 – f – 1) + 3 , что не возможно , ибо , как выше было уже отмечено , любой квадрат должен иметь вид 4 k + 1 , или 4 k . Следовательно , m – нечётно , а n – чётно. Пусть n = 2 q . Тогда x 2 = 4 mq и потому mq = ( x /2) 2 . Поскольку НОД ( m ; q ) = 1 , а x чётно , то , исходя из леммы 1 , m = z 1 2 ; q = t 2 , где z 1 и t – некоторые целые взаимно простые положительные числа . В частности , уравнение y 2 = m 2 – n 2 то ж е сам ое , что и y 2 = ( z 1 2 ) 2 – (2 t 2 ) 2 , т . е . (2 t 2 ) 2 + y 2 = ( z 1 2 ) 2 . Так как НОД ( t ; z 1 ) = 1 , то к э тому неравенству снова применима лемма 2 . Следовательно , сущес твуют такие положительные взаимно простые чис ла a и b < a различной чётности , что 2 t 2 = 2 ab , т . е . t 2 = ab ; y 2 = a 2 – b 2 ; z 1 2 = a 2 + b 2 . Так как НОД ( a ; b ) = 1 , из равенства t 2 = ab по лемме 1 вытекает , что существу целые числа x 1 и y 1 , для которых a = x 1 2 ; b = y 1 2 . Поэтом у z 1 2 = a 2 + b 2 то же , что и x 1 4 + y 1 4 = z 1 2 . Это означает , что числа x 1 , y 1 , z 1 составляют примитивное решение уравнения (2) , состоящее и з положительных чисел . Поэтому в силу выбо ра решения ( x ; y ; z ) , должно иметь место неравенство z 1 і z , а потому и неравенство z 1 2 і z , т . е ., учитывая , что z = m 2 + n 2 , m і m 2 + n 2 , чего быть не може т , т . к . m , n > 0 . Таким образом , предположение о существовании у записанного выше уравнения (2) целочисленны х решений приводит к противоречию . Следовател ьно , это уравнение не имеет решений в целых отличных от нуля чис лах. Примечания к доказательс твам Доказательство леммы 1 здесь дано не то , кото рое было известно ещё из средневековья , а то , что придумал я сам , основанное в большей степени на логических выводах . Те орема Ферма для показателя 4 (и все прилага ющиеся для её доказательства леммы ) – это единст венная теорема , доказанная здесь , т . к . доказательство её считается элементар ным , т . е . основанным на простых алгебраиче ских преобразованиях чисел , известным ещё индусам . Дока зательство же это было здесь необходимо , т . к . ещё даже у Ферма оно было , толь ко в несколько иной форме. Во Франции не так давно появилась книга , являющаяся , вроде как , полн ым доказательством Великой теор емы Ферма , но в ней испол ьзовано столько новых в математике абстрактны х понятий , что проверить эти труды , кроме автора , никто не мож ет. Список литературы 1.) М . М . Постников « Теорема Ферма» , М ., 1978 2.) Б . В . Болгарский «Очерки по истори и математики» , Минск , 1979 3.) М . Я . Выгодский «Справочник по эле ментарной математике» , М ., 1974. 4.) Сеть Internet
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Судя по качеству прогнозов погоды, Гидрометцентру давно пора обновить кофейную гущу.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Теорема Ферма: история и доказательства", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru