Курсовая: Содержание и значение математической символики - текст курсовой. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Курсовая

Содержание и значение математической символики

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Курсовая работа
Язык курсовой: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 632 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникальной курсовой работы

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Российский государственный педагогический университет им . А.И . Герце на Курсовая работа по теме : Содержание и значение математической символики Выполнила студентка факультета математики 4 курс 4 группа Клочанова Ольга Михайловна Лопачев В.А. Проверил : Санкт-Петербург 2002 Содержание. Введение ……………………………………………………………………………………..… 1 § 1. Введение нуля и развитие позиционной десятичной системы счисления…………..… 3 § 2. Символика Виета и Декарта и развитие алгебры………………………………….. ….… 6 2.1 Развитие алгебры до Ф . Виета……………………………..…………………….… 6 2.1.1 Алгебра греков…………………………………………………………..… ...6 2.1.2 Алгебра Диофанта……………………………………………………….… ..7 2.1.3 Алгебра индусов……… ………………………………………………….… .8 2.1.4 Алгебра арабов……………………………………………………………… .9 2.1.5 Развитие алгебры в Европе……………………………………………..… ..10 2.2 Символика Виета и развитие алгебры………………………………………….… ..14 2.3 Симв олика Декарта и развитие алгебры…………………………………….…… ..18 § 3. Обозначение производной и интеграла у Лейбница и развитие анализа………...…… ..22 § 4. Язык кванторов и основания математической логики………………………...………… 27 4.1 Алгебра высказываний…………………………………………………….… … ..27 4.1.1 Определения основных логических связок………………………...…… .27 4.1.2 Высказывания и булевы функции……………………..………………… ..30 4.1.3 Задания для учащихся………………………………….….……………… .32 4.2 Предикаты и кванторы………………………….…………… ………………… … .32 4.2.1 Предикаты………………………………………….……………………… .32 4.2.2 Кванторы……………………………………………...…………………… .35 4.2.3 Задания для учащихся……………………………….…………………… .38 § 5 Методические рекомендации к теме «Введение нул я и развитие позиционной десятичной системы счисления»…………………………………….………………… .39 Список литературы………………………………………………………………….………… 43 Введение. История науки показывает , что логическая структура и рост каждой математической теории , начиная с определ енного этапа ее развития , становятся все в большую зависимость от исполь зования математической символики и ее усовершенствования. Когда индийцы в V веке н . э . ввели знак нуля , они смогли оставить поразрядную систему счисления и развить абсолютную позицион ную десятичную систему счисления , превосходство ко торой при счете если и не осознают , то повседневно используют сотни миллионов людей . Алгебра и аналитическая геометрия обязаны многим тому , что Виет и Декарт разработали основы алгебраического исчисления. Введенные Лейбницем обозначе ния производной и интеграла помогли развить дифференциаль ное и интегральное исчисление ; задачи на вычисление площа дей , объемов , работы силы и т . п ., решение которых раньше бы ло доступно только первоклассным математикам , ста л и решаться почти автоматически . Благодаря этому обозначения Лейбница получили широкое распространение и проникли во все разделы науки , где используется математический анализ. Пример с обозначением производной и интеграла особенно ярко подтверждает правильн ость замечания Л . Карно , что в математике «символы не являются только записью мысли , средством ее изображения и закрепления , – нет , они воздействуют на самую мысль , они , до известной степени , направляют ее , и бывает достаточно переместить их на бумаге , со г ласно извест ным очень простым правилам , для того , чтобы безошибочно до стигнуть новых истин». В чем заключено объективное содержание математической символики ? Чем объясняется значение символики в математике ? Математические знаки служат в первую очередь дл я точной (однозначно определенной ) записи математических понятий и предложений . Их совокупность – в реальных условиях их при менения математиками – составляет то , что называется математическим языком. Использование знаков позволяет формулировать законы ал гебры , а также и других математических теорий в общем виде . Примером могут послужить формулы той же алгебры : ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 х 1,2 = и т.п. Математические знаки позволяют записывать в компакт ной и легкообозримой форме предложения , выражение которых на обычном языке было бы крайне громоздким . Это способствует более глубокому осознанию их со держания , облегчает его запоминание. Математич еские знаки используются в математике эф фективно и без ошибок , когда они выражают точно определенные понятия , относящиеся к объектам изучения математических тео рий . Поэтому , прежде чем использовать в рассуждениях и в записях те или иные знаки , математик старается сказать , что каждый из них обозначает . В противном случае его могут не понять. В связи со сказанным необходимо подчеркнуть следующее . Математики не всегда могут сказать сразу , что отражает тот или иной символ , введенный ими для развития какой-либ о математи ческой теории , средствами которой можно решать практически важные задачи . Сотни лет математики оперировали отрицатель ными и комплексными числами и получали с их помощью перво классные результаты . Однако объективный смысл этих чисел и действий с ними удалось раскрыть лишь в конце XVIII и в на чале XIX века . Лейбниц ввел символы dx и dy , развил диффе ренциальное исчисление и с помощью правил последнего пока зал исключительную оперативную силу этих символов . Однако Лейбниц не выявил объективного см ысла знаков dx и dy ; это сделали математики XIX века. Знаки и системы знаков играют в математике роль , весьма сходную с той , какая в более широких сферах познания и прак тической деятельности людей принадлежит обычному разговор ному языку . Подобно обычному языку , язык математических знаков позволяет обмениваться установленными математически ми истинами , налаживать контакт ученых в совместной научной работе. Решающим , однако , является то , что язык математичес ких знаков без обычного языка существовать не мож ет . Обычный (естественный ) язык содержательнее языка математических знаков ; он необходим для построения и развития языка математических знаков . Язык математических знаков только вспомогательное средство , присоединяемое к обыч ному языку и используемое в м а тематике и в областях , где при меняются ее методы. Возможность использования языка знаков в математике обус ловлена особенностями предмета ее исследований – тем , что она изучает формы и отношения объектов реального мира , в извест ных границах безразличные к их материальному содержанию . Существенна при этом и специфика математических доказа тельств . Математическое доказательство состоит в построении цепи высказываний , начальным звеном которой являются истин ные исходные предложения , конечным – доказываемое у тверж дение . Промежуточные звенья цепи получаются в конечном счете из начального и соединяются с ним и конечным звеном с по мощью законов логики и правил логического вывода . Если исход ные утверждения записаны в символической форме , то доказа тельство сво д ится к их «механическим» видоизменениям. Целесообразность , а в наше время и необходимость – ис пользования языка знаков в математике обусловлена тем , что при его помощи можно не только кратко и ясно записывать по нятия и предложения математических теорий , но и развивать в них исчисления и алгоритмы – самое главное для разработки ме тодов математики и ее приложений . Достичь этого при помощи обычного языка если и возможно , то только в принципе , но не в практике. Достаточная оперативность символики математичес кой тео рии существенно зависит от полноты символики . Это требование состоит в том , что символика должна содержать обозначения всех объектов , их отношений и связей , необходимые для разработки алгоритмов теории , позволяющих решать любые задачи из клас сов о днотипных задач , рассматриваемых в этой теории . Оперирование математическими знаками есть идеализирован ный эксперимент : он в чистом виде описывает то , что имеет место или может быть (приближенно или точно ) реализовано в дейст вительности . Только поэтому оперирование математическими знаками способно служить открытию новых математических истин. Решающей силой развития математической символики явля ется не «свободная воля» математиков , а требования практики математических исследований . Именно реальные матема тические исследования помогают математикам в конце концов выяснить , какая система знаков наилучшим образом отображает структуру рассматриваемых количественных отношений , в силу чего может быть эффективным орудием их дальнейшего изучения. § 1. Введен ие нуля и развитие позиционной десятичной системы счисления. Интуитивное представление о числе , по - видимому , так же старо , как и само человечество , хотя с достоверностью проследить все ранние этапы его развития в принципе невозможно . Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения чисел , он , несомненно , владел наглядным , интуитивным представлением о числе , позволявшим ему различать одного человека и двух людей или двух и многих людей . Названия чисел , выражающие весьма абстрактные идеи , появились , несомненно , позже , чем первые грубые символы для обозначения числа объектов в некоторой совокупности . В глубокой древности примитивные числовые записи делались в виде зарубок на палке , узлов на веревке , выложенных в ряд камешков , причем подразумевалось , что между пересчитываемыми элементами множества и символами числовой записи существует взаимно однозначное соответствие . Но для чтения таких числовых записей названия чисел непосредственно не использовались . Ныне мы с первого взгляда распознаем совокупности из двух , трех и четырех элементов ; несколько труднее распознаются на взгляд наборы , состоящие из пяти , шести или семи элементов . А за этой границей установить на глаз их число практически уже невозможно , и нужен анализ либо в форме счета , либо в определенном структурировании элементов . Счет на бирках , по - видимому , был первым приемом , который использовался в подобных случаях : зарубки на бирках располагались определенными группами . Очень широко был распространен счет на пальцах , и вполне возможно , что названия некоторых чисел берут свое начало именно от этого способа подсчета . Важная особенность счета заключается в связи названий чисел с определенной схемой счета . Например , слово «двадцать три» – не просто термин , означающий вполне определенную ( по числу элементов ) группу объектов ; это термин составной , означающий «два раза по десять и три» . Здесь отчетливо видна роль числа десять как коллективной единицы или основания ; и действительно , многие считают десятками , потому что , как отметил еще Аристотель , у нас по десять пальцев на руках и на ногах . Система счисления , которой мы в основном пользуемся сегодня , десятичная позиционная . Десятичная , так как ее основание 10. Основанием позиционной системы счисления называется возводимое в степень целое чи сло , которое равно количеству цифр , используемых для изображения чисел в данной системе счисления . Основание показывает также , во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию . В позиционных системах счисления количественный эквивалент (значение ) цифры зависит от ее места (позиции ) в записи числа Десятичная система характеризуется тем , что в ней 10 единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего старшего разряда . Другими словами , единицы различных разряд ов представляют собой различные степени числа 10. Десятичной позиционной предшествовали другие , основанные на различных принципах , системы счисления . Так примером непозиционной системы (то есть такой системы , где количественный эквивалент каждой цифры н е зависит от ее положения (места , позиции ) в записи числа ) может служить нумерация , используемая древними греками . Эта система относится к числу алфавитных . Первыми восемью буквами греческого алфавита (с добавлением «архаичной» буквы =вау , имевшей значение 6 обозначались числа от единицы до девяти , следующими восемью с добавлением =коппы , имевшей значение 90, - десятки от 10 до 90, следующими восемью с добавлением =сампи , означавшей 900, - сотни от 100 до 900, наконец , тысячи от 1000 до 9000 обозначались так же , как единицы , но со штрихом внизу : , означала 1000. Для того чтобы отличать числа от слов , над ними ставилась черточка . Так , число 1305 греки записывали , . От греческой нумерации ведет свое происхождение древнерусская . Пример другой непозиционной системы дает употребляемая поныне римская нумерация. Мы пользуемся ею для обозначен ия юбилейных дат , для нумерации некоторых страниц книги (например , страниц предисловия ), глав в книгах , строф в стихотворениях и т . д . В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так : I=1; V=5; X=10; L=50; С =100; D=500; M=1000. О происхождении римских ц ифр достоверных сведений нет . Цифра V могла первоначально служить изображением кисти руки , а цифра Х могла составиться из двух пятерок . Точно так же знак для 1000 мог составиться из удвоения знака для 500 (или наоборот ). Все целые числа (до 5000) записыва ются с помощью повторения вышеприведенных цифр . При этом если большая цифра стоит перед меньшей , то они складываются , если же меньшая стоит перед большей (в этом случае она не может повторяться ), то меньшая вычитается из большей . Например , VI=6, т.е . 5+1, IV=4, т.е . 5-1, XL=40, т е . 50-10, LX=60, т.е . 50+10. Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз : LXX=70; LXXX=80; число 90 записывается ХС (а не LXXXX). Первые 12 чисел записываются в римских цифрах так : I , II , III , IV , V , VI , VII , VIII . IX , X , XI , XII . Примеры : XXVIII=28; ХХХ I Х =39; CCCXCVII=397; MDCCCXVIII=1818. Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно . Тем не менее римская нумерация преобладала в Италии до 13 века , а в других странах Западной Евр опы - до 16 века. Д ревние египтяне использовали десятичную непозиционную систему счисления . Единицу обозначали одной вертикальной чертой , а для обозначения чисел , меньших 10, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов . Чтобы записанные таким образом числа было легко узнавать , вертикальные штрихи иногда объединялись в группы из трех или четырех черт . Для обозначения числа 10, основания системы , египтяне вместо десяти вертикальных черт ввели новый коллективный символ , напоминающий по своим очертаниям подкову или крокетную дужку . Множество из десяти подковообразных символов , т . е . число 100, они заменили другим новым символом , напоминающим силки ; десять силков , т . е . число 1000, египтяне обозначили стилизованным изображением лотоса . Продолжая в том же духе , египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем , десять согнутых пальцев – волнистой линией и десять волнистых линий – фигуркой удивленного человека . В итоге древние египтяне могли представлять числа до миллиона . Так , например , с помощью коллективных символов и повторений уже введенных символов число 6789 в иероглифических обозначениях можно было бы записать как Самые древние из дошедших до нас математических записей высечены на камне , но наиболее важные свидетельства древнеегипетской математической деятельности запечатлены на гораздо более хрупком и недолговечном материале – папирусе . Два таких документа – папирус Ринда , или египетского писца Ахмеса ( ок . 1650 до н . э .) и московский папирус , или папирус Голенищева ( ок . 1850 до н . э .) – служат для нас основными источниками сведений о древнеегипетских арифметике и геометрии . В этих папирусах более древнее иероглифическое письмо уступило место скорописному иератическому письму , и это изменение сопровождалось использованием нового принципа обозначения чисел . Группа одинаковых символов заменялись более простой по начертанию пометой или знаком , например , девять записывалось как вместо , а семьсот как вместо . В этой записи число 6789 имело вид , причем знаки более высокого порядка располагались справа , а не слева . Введение египтянами цифровых обозначений ознаменовало один из важных этапов в развитии систем счисления , так как дало возможность существенно сократить записи . Основные недостатки непозиционных систем нумерации - трудности с изображением произвольн о больших чисел и , главное , более сложный , чем в позиционных системах , процесс вычислений . (Последнее , правда , облегчалось употреблением счетных досок – абаков , так что изображение чисел было необходимо лишь для конечного результата ). Крупным шагом впере д , оказавшим колоссальное влияние на все развитие математики было создание позиционных систем счисления . Первой такой системой стала вавилонская шестидесятеричная система счисления , в которой появился знак , указывающий на отсутствие разряда , выполняющего роль нашего нуля . Концевой нуль , который позволял различать , например , обозначения для 1 и 60, у вавилонян отсутствовал . Удобство вычислений в шестидесяте ричной системе сделало ее популярной у греческих астрономов . К . Птолемей ( II в . н.э .) при вычислениях в шестидесятеричной системе пользуется знаком «0» для обозначения отсутствующих разрядов как в середине , так и в конце числа (0, омикрон – первая буква г реческого слова ovden -ничто ). О вавилонской шестидесятеричной системе нам напоминает деление часа на 60 минут и минуты на 60 секунд , а также деление угла равного четырем прямым , на 360 градусов . Неудобство шестидесятеричной системы счисления в сравнении с десятичной – необходимость большого количества знаков для обозначения индивидуальных цифр (от 0 до 59), более громоздкая таблица умножения. Создание десятичной позиционной системы счисления , одного из выдающихся достижений средневековой науки , - заслуга и ндийских математиков . Позиционные десятичные записи чисел встречаются в Индии с VI в . Так , в дарственной записи 595 года встречается запись числа 346 цифрами брахми ( -3, -4, -6). Первую достоверную запись нуля в виде кружочка мы находим в изображении числа 270 в настенной записи из Гвалиора , относя щейся к 876г . Иногда ноль обозначался точкой . Неясно , был ли нуль собственным изобретением индийцев ; возможно , они познакомились с ним по сочинениям александрийских астрономов. Вот какова эволюция написания индийских цифр. § 2. Символика Виета и Декарта и развитие алгебры. 2.1 Развитие алгебры до Ф . Виета. 2.1.1 Алгебра греков. Считается , что эллины заимствовали первые сведения по геометрии у египтян , по алгебре - у вавил онян . В древнейших египетских источниках папирусе Райнда и Московском папирусе - находим задачи на «аха» (термин «аха» означает «куча» , «груда» ). Имеется в виду некоторое количество , неизвестная величина , подлежащая определению ) соответствующие современ ным линейным урав нениям , а также квадратным вида ах 2 = b . В вавилон ских клинописных текстах имеется большое число задач , решаемых с помощью уравнений и систем первой и второй степеней , которые записаны без символов , но в специфической терминологии . В эти х текстах решаются задачи , при водящие к трехчленным квадратным уравнениям вида ах 2 - b х = с или х 2 - рх = q . В задачах на «аха» можно обнаружить зачатки алгебры как науки о решении урав нений. Но если вавилоняне за два тысячелетия до нашей эры умели число вым путем решать задачи , связанные с урав нениями первой и второй степеней , то развитие алгебры в трудах Евклида (365 - ок. 300 гг . до н . э .), Архимеда (287-212 гг . до н . э .) и Аполлония (ок . 260-170 гг . до н . э .) носило совершенно иной характер : греки опе риро вали отрезками , площадями , объемами , а не числами . Их алгебра строилась на основе геометрии и выросла из проблем геометрии . В XIX в . совокупность приемов древних получила название геометрической алгебры. В качестве примера геометрической алгебры греко в рассмотрим решение уравнения х 2 + ax = b 2 . Античные математики решали эту задачу построением и строили искомый отрезок так , как показано на рисунке. На заданном отрезке АВ (равном a ) строили прямоуголь ник AM со сторонами (а + х ) и x , равновеликий данному квадрату ( b 2 ), таким образом , чтобы избыточная над пря моугольником AL (равная ах ) площадь ВМ была квадратом , по площади равны м х 2 . Сторона этого квадрата и да вала искомую величину х . Такое построение называли гиперболическим приложением площади. Далее , полагая задачу решенной , делили АВ пополам точкой С , на отрезке LM строили прямоугольник MG , равный прямоугольнику ЕС . Тогда пр ямоугольник AM будет разностью квадратов DF и LF . Эта разность и квад рат LF известны , поэтому по теореме Пифагора можно получить квадрат DF. После этого находили величину DC (равную Ѕ a + x ) и DB (равную х ). Геометрическое построение в точности соотве тствует преобразованию , с помощью которого в современных обо значениях решается уравнение указанного типа : b 2 = ax + х 2 = – Конечно же , при таких построениях отыскивались только положительные корни уравнений : отрицательные числа появились в математике значительно позже. С помощью геометрии древним удавалось также до казывать многие алгебраические тождества . Но каковы эти доказательства ! Они безупречны в отношении логики и слишком громоздки . Вот как формулирует Евклид тео рему , выражающую тождество (а + b ) 2 = a 2 + 2а b + b 2 . Если отрезок ( ) разделен в точке ( ) на два отрезка , то квадрат , построенный на ( ), равен двум квадратам на отрезках ( , ) вместе с удвоенным прямоугольником на ( , ). Естественно , связывая число с геометрическим образом (линией , поверхностью , телом ), древние оперировали только однородными вели чинами ; так , равенство было возможно для величин оди накового измерения. Такое построение математики позволило античны м уче ным достигнуть существенных результатов в обоснова нии теорем и правил алгебры , но в дальнейшем оно стало сковывать развитие науки. Приведенные примеры могут создать ощущение , что математика древних греков примитивна . Но это не так : созданная ими мат ематика по своему идейному содержа нию глубока и питала идеями и методами математику вплоть до XVII в . - века научной революции ; многие идеи древних получили дальнейшее развитие в новой матема тике , созданной усилиями выдающихся умов XVI — XVII вв. Накоплен ные в странах Древнего Востока знания со стояли из набора разрозненных математических фактов , рецептур для решения некоторых конкретных задач и не могли обладать достаточной строгостью и достоверностью . Создание основ математики в том виде , к которому мы п ри выкли при изучении этой науки в школе , выпало на долю греков и относится к VI — V вв . до н . э . С этого времени начала развиваться дедуктивная математика , построенная на строгих логических доказательствах. 2.1.2 Алгебра Диофанта. Новый подъем античной мат ематики относится к III в . н . э ., он связан с творчеством великого математика Диофанта . Диофант возродил и развил числовую алгебру вавилонян , освободив ее от геометрических построений , которыми пользовались греки. У Диофанта впервые появляется буквенная си мволика . Он ввел обозначения : неизвестной , квадрата ), куба , четвертой (квадратоквадрат ), пятой ( квадратокуб ) и шестой степеней ее , а также первых шести отрицательных степеней , т . е . рассматривал , величины , записываемые нами в виде x 6 , x 5 , x 4 , x 3 , x 2 , x , x -1 , x -2 , x -3 , x -4 , x -5 , x -6 . Диофант при менял знак равенства (символ ) и знак для обозначения вычитания. Диофант сформулировал правила алгебраических оп e раций со степенями неизвестной , соотв етствующие нашим умножению и делению степеней с натуральными показателями (для m + n 6), и правила знаков при умножении . Это дало возможность компактно запис ывать многочлены , производить умножение их , оперировать с уравнениями . Он указал также правила переноса отрицательных членов уравнения в другую часть его с обратными заиками , взаимного уничтожения одинаковых членов в обеих частях уравнения. «Арифметика» по священа проблеме решения неопределенных уравнений . И хотя Диофант считает число собранием (а это означает , что рассматриваются только натуральные числа ), при решении неопределенных урав нений он не ограничивается натуральными числами , а отыскивает и полож и тельные рациональные решения. Неопределенными уравнениями до Диофанта занима лись математики школы Пифагора в связи с пифагоровой теоремой . Они искали тройки целых положительных чи сел , удовлетворяющих уравнению x 2 + y 2 = z 2 . Диофант поставил задачу устано вить разрешимость (в рациональных числах ) и в случае разрешимости найти рациональные решения уравнения F (х , у ) = 0 , где левая часть – многочлен с целыми или рациональ ными коэффициентами . Он исследовал неопределенные уравнения второй , третьей и четвертой степеней и системы неопределенных уравнений . Во второй книге «Арифметики» он так исследует , на пример , уравнение второго порядка F (х , у ) = 0. Это уравнение задает коническое сечение . Всякому рациональному решению уравнения соответствует точка кривой с рациональными координатами . Пусть a , b – такие координаты , т . е . F ( a , b ) = 0. Диофант делает подстановку у = b + k (х – а ) , или y = b + kt , х = а + t . Тогда F ( а + t, b + kt) = F (a, b) + tA ( а , b) + ktB ( а , b) + t 2 C (a, b, k) = 0. Но F ( a , b ) = 0, по этому t = – . Это означает , что каждому рациональному значению параметра k соответствует рациональное же значение t, а значит , рациональная точка кривой . Очевид ен геометрический смысл решения : через рациональную точку кривой ( a , b ) проводится прямая y – b = k ( x – a ) и находятся вторая точка ее пересечения с кривой. Методы Диофанта впоследствии применяли и развива ли арабские ученые , Виет (1540 — 1603), Ферма , Эйле р (1707 — 1783), Якоби (1804 — 1851), Пуанкаре (1854 — 1912). Оценивая творчество Диофанта , Цейтен отмечает су щественную деталь : «Наконец , мы желаем здесь вкратце указать на важную роль , сыгранную впоследствии сочи нениями Диофанта . Благодаря тому , что определе нные уравнения первой и второй степени были облечены у него в численную оболочку они оказались гораздо более доступными для людей , не посвященных еще в культуру греческой математики ; более доступными , чем те абст рактные геометрические формы , которые прин и мают у Евклида уравнения второй степени и которые мы встре чаем в сохранившихся до нас трудах других геометров для выражения уравнений первых двух степеней . Поэтому Диофант и явился главным посредником в процессе ус воения греческой алгебры арабами , благо д аря которым , в свою очередь она проникла в Европу в эпоху возрож дения наук». 2.1.3 Алгебра индусов. Начиная с V в . центр математической культуры пере местился на восток - к индусам и арабам . Математика индусов резко отличалась от математики греков она бы ла числовой . Индусы не были озабочены строгостью эллинов в доказательствах и обосновании геометрии . Они довольствовались чертежами , на которых у греков осно вывалось доказательство , сопровождая их указанием : «Смотри !» . Предполагается , что благодаря числов ы м выкладкам и практическому эм пиризму индусам удалось постичь теоремы и методы греков , теоретического обоснования которых они , возможно , по-настоящему не понимали. Основные достижения индусов состоят в том , что они ввели в обращение цифры , называемые нами арабскими , и позиционную систему записи чисел , обнаружили двойственность корней квадратного уравнения , двузначность квадратного корня и ввели отрицательные числа. Индусы рассматривали числа безотносительно к гео метрии . В этом их алгебра имеет сходство с алгеброй Дио фанта . Они распространили правила действия над рацио нальными числами на числа иррациональные , производя над ними непосредственные выкладки , а не прибегая к построениям , как это делали греки . Например , им было известно , что Греки , не знавшие отрицательных чисел , решая уравнения , преобразовывали их так , чтобы обе части уравнения при значении неизвестной , удовлетворяющей этому урав нению , были поло жительными . Если этого не происходи ло , то менялись условия задачи . Индусы в аналогичных ситуациях не были стеснены в своих действиях : они либо отбрасывали получающиеся отрицательные решения , ли бо интерпретировали их как долг , задолженность . Отсю да сдел а н был естественный шаг к установлению правил действий над величинами при любом выборе знаков этих величин , а также к выявлению наличия двух корней у квадратных уравнений и двузначности квадратного кор ня . Индусами был сделан шаг вперед по сравнению с Дио ф антом и в совершенствовании алгебраической символики : они ввели обозначения нескольких различных неизвест ных и их степеней , которые были , как у Диофанта , по сути дела сокращениями слов . Кроме того , они искали ре шения неопределенных уравнений не в рацион а льных , а в целых числах. 2.1.4 Алгебра арабов. Дальнейшее развитие математика получила у арабов , завоевавших в VII в . Переднюю Азию , Северную Африку и Испанию . Создались благоприятные условия для слия ния двух культур – восточной и западной , для усвое ния арабами богатого математического наследия эллинов и индусской арифметики и алгебры . Но еще до того как началось усиленное изучение ара бами трудов древних математиков , в 820 г ., вышел трак тат по алгебре «Краткая книга об исчислении ал-джабра и ал-мукаба лы» Мухаммеда ибн Муса ал-Хорезми (т . е . из Хорезма, 787 – ок . 850г . н . э .), где давались числовое и геометрическое решения уравнений первой и второй степеней. Название трактата соответствует операциям при решении уравнений : «ал-джабр» (восстанавливать ) о зна чает восстановление отрицательного члена в одной части уравнения в виде положительного в другой . Например , преобразовав уравнение 2х 2 + Зх -2 = 2х к виду 2х 2 + Зх = 2х + 2, мы произвели операцию ал-джабр. «Ал-мукабала» означает сопоставление подобных членов , приведение их к одному ; в нашем уравнении подобные члены Зх и 2х , поэтому получим 2 x 2 + x = 2. Модификация слова ал-джабр породила более позднее алгебра . Аналогично , слово алгорифм (алгоритм ) про изошло от ал-Хорезми. Основное внимание в трактате ал-Хорезми обращает на решение уравнений вида ax 2 = bx , ax 2 = c , ax 2 + bx = c , ax 2 + c = bx , bx + c = ax 2 , bx = c , которые формулирует словесно , например , так : «квадраты и корни равны числу» (ах 2 + b х = с ). Он высказыв ает правила , дающие только поло жительные решения уравнений , определяет условия , при кото рых эти решения существуют . Обоснование правил ал-Хорез ми дает в духе геометрической алгебры древних. От арабов Европа получила следующий способ решения уравнения х 2 + ах = b . Построим квадрат х 2 , к его сто ронам приложим четырехуголь ники длины х + 2а /4 = х + а /2 и ширины а /4 . Тогда площадь получен ного квадрата = x 2 + ax + . Значит , x 2 + ax + = = b + , = b + . Величины b и а известны , поэтому можно построить , откуда х + = - . Впрочем , ал-Хорезми , приведший в своем сочинении этот метод , уравнению ах 2 + с = b х приписывал два корня. В трактате приведены некоторые сведения о действиях над алгебраическими выражениями , примеры решения треугольников много задач о разделе наследства п риводящих к уравнениям первой степени . Таким образом , трак тат ал-Хорезми не содержал ничего нового по сравнению с тем , что было у греческих авторов и индусов , но он заслуживает внимания потому , что в течение длительного времени был руководством , по котор о му велось обучение в Европе. 2.1.5 Развитие алгебры в Европе. Каково же было состояние математики в это время в Европе . Об этом наука располагает крайне скудными сведениями . В XII – XIII вв . в Европе интенсивно переводились в арабского языка как труды с амих арабов , так и работы древних греков , переведенные на арабский язык . Первым европейским математиком , которому удалось осветить многие вопросы и внести в математику свой вклад , был Леонардо Пизанский (Фибоначчи , 1180 – 1240), написавший «Книгу абака» . В ней рассмотрены различные задачи , указаны методы их решения , причем арифметика и алгебра линейных и квадратных уравнений изложены с небывалой до этого времени точностью и полнотой . Существо задачи Леонардо излагает словесно ; неизвестную он называет res (в ещь ) или radix (корень ); квадрат неизвестной – census (имущество ) или quadratus (квадрат ); данное число – numerus . Все это латинские пероводы соответствующих латинских слов . Современник Леонардо , Иордан Неморарий ( XIII в ), употреблял буквенные обозначения более систематично и решал задачи с применением линейных и квадратных уравнений , сначала в общем виде , а затем иллюстрировал их числовыми примерами. Французский епископ Николь Орем (1323-1382) рассматривал «дробно – рациональные отношения» , соответствующ е современным степеням a Ѕ , a ј , a 3/2 и т.д ., сформулировал правила операций с этими отношениями типа , , , , Орем вплотную подошел к понятию иррационального показателя . Он доказал расходимость гармонического ряда 1 + + + +… Выдающимся алгебраистом своего времени стал мо нах-францисканец Лука Пачоли (ок . 1445 – ок .1514) близ кий друг Леонардо да Винчи , работав ший профессором Математики в университетах и различ ных учебных заведениях Рима , Болоньи , Неаполя , Фло ренции , Милана и других городов. Он ввел «алгебраические буквы» ( caratteri algebraici ) , дал обозначения квадратному и кубическому корням , корню четвертой степени ; неизвестную х он обозначал со ( cosa – вещь ), х 2 – се (censo - квадрат , от латинского census ), х 3 – cu ( cubo ), x 4 – се . се . (censo de censo), x 5 – р ° г ° (primo relato – « первое relato» , x 6 – р ° г ° х – се . cu. (c enso de « второе relato» ), х 8 – ce. ce. ce. (de censo), x 9 – cu. cu. (cubo de cubo), x 10 – ce. p° r° (censo de primo relato), x 13 – 3° r (tersio relato - « третье relato» ) и т . д .; свободный член уравнения – n (numero – число ). Как видим , некоторые степени Пачоли получал мультипликативным способом с по мощью показателей 2 и 3 (х 4 = х 2 2 , х 6 = х 2 3 , х 9 = х 3 3 и т . д .), а в случаях , когда так не получалось , пользовался словом relato (например , при образовании х 5 , х 7 , х 11 и т . д .). Специальными символами Пачоли обозначил вто рую неизвестную и ее степени . Для обозначения операции сложения он воспользовался з наком ( plus – больше ), для обозначения вычитания – знаком ( minus – мень ше ). Он сформулировал правила умножения чисел , перед которыми стоят знаки и . Раздел «Суммы» , посвященный алгебраическим урав нениям , Пачоли закончил замечанием о том , что для ре шения кубических уравнений х 3 + ах = b и х 3 + b = ах «искусство алгебры еще не дало способа , как не дан еще способ квадратуры круга» . Некоторый шаг в совершенствовании алгебраической символики сделал бакалавр медицины Н . Шюке (ум . ок. 1500 г .), который в книге «Наука о числах в трех час тях» изложил правила действий с рациональными и иррациональными числами и теорию уравнений . Д ля сло жения и вычитания он вслед за Пачоли пользовался зна ками и , причем , знак служил и для обозначения от рицательного числа . Неизвестную величину он называл premier («первое число» ), а ее степени – вторыми , третьи ми и т . д , числами . Записи степеней неизвестной у Шюке лаконичны . Например , современные символы 5, 5ж, 5х , 5х 2 , 5х 3 у него выглядели бы так : 5°, 5 1 , 5 2 , 5 3 . Вместо равенства 8х 3 7х -1 = 56х 2 Шюке писал : « 8 3 , умноженное на 7 1 , дает 56 2 » . Таким образом , он рассматривал и отрицатель ные показатели . Относительно свободных членов уравнения Шюке указывал , что эти числа «имеют имя нуль». Значительного успеха в совершенствовании «алгебраических букв» Луки Пачоли достигли немецкие алгебраисты – «коссисты» . Они вместо и ввели знаки + и – , знаки для неизвестной , и ее степеней , свободного члена . XVI в . в алгебре ознаменовался величайшим открытием – решением в общем виде уравнений третьей и четвертой степеней . Спицион дель Ферро в 1506 г . нашел решение кубического уравнения вида x 3 + ax = b a,b >0. (1) Чуть позже Тарталья указал решение этого же уравнения в виде х = - , где u – v = b , uv = , откуда u и v находятся как корни квадратного уравнения . Также он нашел решение уравнения x 3 = ax + b a , b >0 (2) в виде х = + , где u + v = b , uv = . Уравнение же x 3 + b = ax a , b >0 можно решить с помощью уравнения (2). В те времена предпочитали избегать отрицательных корней и задачи , сводящиеся к отрицательным корням уравнения (2), преобразовывали так , чтобы они приводили к положит ельным корням уравнения (3). Лишь Кардано позже осознал выгоду рассмотрения отрицательных корней . Почему рассматривались только уравнения вида (1) и (2)? На этот вопрос ответ дал Кардано . Чтобы разобраться в нем , рассмотрим полное уравнение третьей степен и. y 3 + ay 2 + by + c = 0. Не следует думать , что Тарталья и Кардано писали такие уравнения . Нет , так стали поступать гораздо позже . Записывать все члены уравнения в одной части , приравнивая к одной части , начал Декарт . Да и символики не было , пользовались прообразами символов и словами . Уравнение x 3 + ax = b записывалось примерно так : «куб» (х 3 ) некоторое количество (а ) «вещей» (х ) равно данному «числу» ( b ). По нять можно , но оперировать сложно . Полное уравнение можно преобразовать в неполное , не содержащее члена с квадратом неизвестной . Сделаем замену y = x + a и подставим в уравнение ; получим х 3 + (3 + а )х 2 + (3 2 + 2 а + b ) x + ( 3 + a 2 + b + c ) = 0. Положим 3 + а = 0. Найдем отсюда = - а /3 и подставим в выражения p = 3 2 + 2 а + b , q = 3 + а 2 + b + c . Тогда уравне ние примет вид х 3 + px + q = 0. В нашей символике это уравнение соответствует уравнениям (1), (2), которые решал Тарталья. Кардано узнал способ решения уравнений третьей степени , предложенный Тартальи , опубликовал его . Формула же стала носить название «фор мулы Кардано». Выведем теперь ее . Рассмотрим уравнение х 3 + px + q = 0. Введем новые неизвестные x = u + v и подставим их в исходное уравнение ; получим u 3 + v 3 + (3 uv + p )( u + v ) + q = 0. Приравняем 3 uv + p к нулю : 3 uv + p = 0. Уравнение примет вид u 3 + v 3 + q = 0. Тогда uv = – , u 3 v 3 = – , u 3 + v 3 = - q . Выражен ия u 3 и v 3 можно принять за корни квадратного уравнения z 2 + qz – = 0. Решая его , получим z 1 = – + , z 2 = – – . Таким образом , x = u + v = + , x = + . Это и есть формула Кардано . Не лишне заметить , что в таком виде Кардано ее не искал : он формулировал решение уравнений (1) и (2) и рассматривал связь между уравнениями (2) и (3). В сл учае , когда + <0, под квадратным корнем получается отрицательн ое число и корень дает мнимость . Этот случай получил название неприводимого , так как решение уравнения третьей степени не приводится к решению квадратного уравнения . Как уже говорилось , с ним не справились ни Тарталья , ни Кардано . Его с помощью тригономет р ии разобрал Виет . Чтобы получить представление о символике Кардано , приведем пример записи корня кубического уравнения x 3 + 6 x = 20. Выражение записывалось т ак R x . u . cu . R x .108 10 R x . u . cu . R x .108 10. Здесь R x – знак корня ( Radix ), R x . u . cu означает корень кубический из всего выражения до вертикальной черты или после нее , и - сокращения слов plus и minus . Кардано показал , что легко можно решить уравнение x 4 ax = bx 2 + . Он привел его к виду x 4 = b ( x ) 2 , а затем извлечением корня получил квадратное уравнение . Аналогично он рассматривал и некоторые други е виды уравнений. Однако уравнение x 4 + 6 x 2 + 36 = 60 x , предложенное да Кои Кардано не сумел решить . Открыл метод решения уравнений четвертой степени 23 – летний ученик Кардано – Луиджи Феррари . После того , как были исследованы уравнения третьей степени, задача об уравнениях четвертой степени стала более легкой . Феррари рассматривал уравнение , не содержащее члена с x 3 , т.е . уравнение вида x 4 + ax 2 + bx + c = 0. Он преобразовывал его так , чтобы в левой части был полный квадрат , а в правой – выражение не вы ше второй степени относительно x . Выделением полного квадрата получалось = x 4 + ax + = - bx – c + , = - bx – c + . Теперь следовало выполнить такие преобразования , чтобы из левой и правой частей можно был о извлечь корень . С этой целью Феррари вводил новую переменную t и прибавлял к обеим частям выражение 2 t + t 2 . Это дает = 2tx 2 – bx – c + at + + t 2 , = 2tx 2 – bx + ( – c + + at + t 2 ). Нужно , чтобы правая часть была полным квадратом . Вспомним , как обстоит дело с трехчленом ax 2 + bx + c . Выделим в нем полный квадрат : ax 2 + bx + c = а ( x 2 + x + ) = = a ( x 2 + 2 x + - + ) = a ( x 2 + 2 x + + ) = a ( x + ) 2 + . Трехчлен будет полным квадратом , когда 4 ac – b 2 = 0. В нашем случае роль коэффициента при x 2 играет 2 t , а роль свобо дного члена - выражение в скобках правой части уравнения . Тогда выражению 4 ac – b 2 = 0 соответствует 4 2 t ( t 2 + at + - c ) – b 2 = 0, b 2 = 2 t (4 t 2 + 4 at + a 2 - 4 c ). Таким образом , нахождение t свелось к решению кубического уравнения , а x находится з квадратного уравнения после извлечения корня из левой и правой частей , т.е . из уравнения x 2 + + t 0 = . Кардано отмечает , что таким же приемом можно решать уравнения , в которых отсутствует член не с т ретьей степенью х , а с первой . В этом случае делается подстановка х = k / y . Открытия , сделанные итальянцами в алгебре и систематически изложенные Кардано , стали доступны математикам других стран и дали импульс развитию науки . Дальнейшее развит ие алгебры было связано с совершенствованием символики и разработкой общих методов решения уравнений . В этом преуспел Франсуа Виета. 2.2 Символика В иета и развитие алгебры. Виет считается одним из основоположников алгебры . Но его интерес к алгебре первоначально связан с возмож ными приложениями к тригонометрии и геометрии . А задачи тригонометрии и геометрии , в свою очередь , приво дили Виета к важным а лгебраическим обобщениям . Так было , например , с решением уравнений третьей степени в неприводимом случае и с исследованием некоторых клас сов разрешимых алгебраических уравнений высших сте пеней. Свою алгебру Виет ценил очень высоко . Он не пользовался слов ом «алгебра» , эту науку он зазывал «искусством анализа» . Виет раз личал видовую логистику и числовую логистику . Термин «логистика» озна чает совокупность арифметических приемов вычислений , «вид» имел смысл символа. Видовая логистика Виета после внесенных и м в сим волику усовершенствований представляла собой буквен ное исчисление . Ее объектами служат геометрические и псевдогеометрические образы , связанные между собой раз личными соотношениями . Виет был последователем древ них : он оперировал такими величинам и , как сторона , квадрат , куб , квадратоквадрат , квадратокуб , и т . д ., образующими своеобразную лестницу скаляров . Дейст вия над скалярами у Виета , как и у древних геометров , подчинены «закону однородности» : составленные из не известных и известных величин у равнения должны быть однородными относительно всех их вместе взятых . Умно жению чисел у Виета соответствует образование нового скаляра , размерность которого равна сумме размернос тей множителей . Операция , соответствующая делению чисел , дает новую величину, размерность которой равна разности размерностей. Виет разработал символику , в которой наравне с обоз начением неизвестных впервые появились знаки для про извольных величин , называемых в настоящее время параметрами . Для обозначения скаляров он предложил по льзоваться прописными буквами : «искомые величины будут обозначены буквой А или другой гласной Е, I , О , U , Y , а данные – буквами B , D, G или другими сог ласными» Слово «коэффициент» введено Виетом . Рассматривая выражение (А + В ) 2 + D ( A + В ), он назвал велич ину D , участвующую с А + В в образовании площади , longitude ciefficiens , т . е . содействующей длиной. Из знаков Виет употреблял +, — и дробную черту . Современные скобки у него заменяла общая черта на всем выражением. Символика Виета страдала недостатками , в некоторых отношениях она была менее совершенна , чем у его пред шественников и современников . Виет для записи дейст вий употреблял слова : in у него означало умножение , aequatur заменяло знак равенства . Словами же выражались степени различных величин . Для трех низших сте пеней он взял названия из геометрии , например , А 3 на зывал A cubus . Высшим степеням он давал геометричес кие наименования , происходящие от низших : А 9 , напри мер,— A cubo - cubo - cubus . Известная величина В пред ставлялась как величина девятой степени записью solido - solido - solidum . Если сторона ( latus ) умножается на неизвестную величину , то она называется содействующей ) ( coefficiens ) при образовании площади. Уравнение А 3 + 3ВА = D Виет записывал так : А cubus + В planum in 43 aequatur D solid o , а уравнение ВА n – А m + n = Z так : В parabola in А gradum — А potestate aequatur Z homogenae (В, умноженное на градус А, минус А в степени равняется однородной Z), Обозначения в числовой логистике выглядели проще : N – первая степень , Q – квадрат , С – куб и т . д . Урав нение x 3 - 3 x = 1 записывалось в виде 1С – 3 N aequatur 1» Неудобства символики Виета связаны и с требованием однородности . Как и древние греки , Виет считал , что сторону можно складывать только со стороной , квадрат – с квадратом , куб – с кубом и т . д . В связи с этим возни кал законный вопрос : имеют ли право на существование уравнения выше третьей степени , поскольку в простран ственном мире четвертая , пятая и т . д . степени аналогов не имеют. Для придания уравнению однородности Виет после входящих в него параметров писал planum (плоскость ), solidum (тело ) и т . д . Вот как выглядит в записи Виета уравнение х 3 + ЗВ 2 х = 2 z 3 : A cubus + В plano 3 in A aequari Z solido 2. Правило Тартальи для решения уравнения третьей степени у Виета имело вид : . Символики Виета придерживался впоследствии П . Ферма . От «тирани и» однородности просто и остро умно сумел освободиться Декарт (об этом будет сказано дальше ). Может показаться , что Виет ввел в символику алгеб ры совсем немного . Буквами для обозначения отрезков пользовались еще Евклид и Архимед , их успешно приме няли Лео нардо Пизанский , Иордан Неморарий , Николай Орем , Лука Пачоли , Кардано , Бомбелли и многие дру гие математики . Но сделал существенный шаг вперед Виет . Его символика позволила не только решать кон кретные задачи , но и находить общие закономерности и полность ю обосновывать их . Это , в свою очередь , способ ствовало выделению алгебры в самостоятельную ветвь математики , не зависящую от геометрии . «Это нововведение (обозначение буквами данных и искомых ) и особенно применение буквенных коэффициентов положило начало к оренному перелому в развитии алгебры : только теперь ста ло возможным алгебраическое исчисление как система фор мул , как оперативный алгоритм» . Сказанное , легко подтвердить примерами . Пусть х 1 , x 2 – корни квадратного уравнения . Перемножим разнос ти x – x 1 и х – х 2 : ( x – x 1 )(х – х 2 )=х 2 – (х 1 + х 2 )х + х 1 х 2 . Обозначим ( x – x 1 )(х – х 2 ) = х 2 + px + q , сравни вая с предыдущим , получим p = – (х 1 + х 2 ), q = x 1 x 2 . Выполним то же самое для кубического уравнения : ( x – x 1 )(х – х 2 )(x – x 3 )= x 3 – (х 1 + х 2 + x 3 ) x 2 + ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) x – x 1 x 2 x 3 . Сравним результат с выражением ( x – x 1 )(х – х 2 )(x – x 3 ) = x 3 + a 1 x 2 + a 2 x + a 3 . Это дает a 1 = – ( x 1 + x 2 + x 3 ) a 2 = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 a 3 = – x 1 x 2 x 3 . Такой результат для кв адратного уравнения был из вестен Кардано (в случае положительных корней – еще и раньше ); Кардано отметил свойство корней кубического уравнения относительно коэффициента при х 2 . Но ника кого обоснования в общем виде дать он не мог ; это сделал Виет для урав нений до пятой степени включительно. Преимущества символики предоставили Виету воз можность не только получить новые результаты , но и бо лее полно и обоснованно изложить все известное ранее . И если предшественники Виета высказывали некоторые правила , реце птуры для решений конкретных задач и ил люстрировали их примерами , то Виет дал полное изло жение вопросов , связанных с решением уравнений первых четырех степеней. Рассмотрим ход рассуждений Виета при решении куби ческого уравнения . Возьмем уравнение x 3 + 3 ax = 2 b . Положим a = t 2 + xt . Найдем отсюда х = и подставим в исходное уравнение . Получим + 3 a = 2 b , откуда для определения t наводим квадратное уравнение относительно t 3 : (t 3 ) 2 + 2 bt 3 – а 3 == 0. Отсюда определится t, а затем и х . Заметим еще , что подстановка а = t 2 + xt приводит исходное уравнение к виду (х + t ) 3 – t 3 = 2 b , которое вместе с уравнением (х + t ) t = a , (х + t ) 3 t 3 = a 3 дало бы возможность применить метод Тартальи и дель Ферро . Но Виет таким путем не п ошел. Рассмотрим теперь пример . Найдем методом Виета действительный корень уравнения х 3 + 24 x =56. Здесь а =8, b = 28. Запишем уравнение относительно t : ( t 3 ) 2 + 56 t 3 - 8 3 - 0. Решим его : t 3 = – 28 = – 28 36 t 1 = = 2 t 2 = = – 4. Найдем теперь х : x 1 = = – 2 , x 2 = = 2 = x 1 . При изложении метода Феррари для решения уравне ния четвертой степени Виет провел аналитически выклад ки , указанные выше , и получил уравнение , содержащее основную неизвестную А и вспомогательную Е (х и t у Феррари ). Виет , ве рный последователь древних , оперировал толь ко рациональными положительными числами , которые он обозначал буквами . Если в результате подстановки в урав нение значений параметров неизвестное оказывалось ир рациональным , он давал этому случаю особое обоснов а ние . В качестве примера такого обоснования приведем «геометрическое» решение кубического уравнения по спо собу дель Ферро – Тартальи. В записи Виета уравнение имело вид A 3 + 3 BA = D . Известное решение : А является разностью «сторон» которые образуют площ адь В и разность кубов которых равна D . Если обозначить «стороны» буквами u и v , то uv = B , u 3 – u 3 = D , A = u – v . Виет придавал решению «геометрическое» толкование ; он вместо D solidum записывал произведение В planum на D, т . е . получал уравнение A 3 + 3В A = BD . Затем он определял четыре величины , образующие «геометрический ряд» , так , чтобы прямоугольник , постро енный на средних или на крайних , по площади равнялся В , а разность крайних была D. Тогда A будет разностью средних. Поясним сказанное . Обозначим эти ч етыре величины через z , u , v и t . Тогда можно записать z:u = u:v = v:t, zt = uv = B, z – t = D, A = u – v. Если в решении Тартальи D заменить на BD , то оба решения совпадут. Способ Виета означает замену кубического корня двумя ср едними геометрическими , что полностью соответствует духу древних греков. Из получившихся пропорций найдем u 3 = z 2 t, v 3 = zt u 3 – v 3 = zt(z – t) = BD Виет особо рассматривал трехчленные уравнения раз личных степеней и в первую очередь интересо вался коли чеством их корней , имея в виду только положительные корни . Отрицательные корни он определял как корни уравнения , в котором неизвестное х заменено на – у . Виет , получал трехчленные уравнения из квадратных ; он посту пал так , чтобы число положитель ных корней оставалось прежним . При этом он пользовался подстановкой х = ky m или специальными приемами. Один из приемов Виета выглядит так . Пусть дано урав нение x 2 + ах = b , а , b > 0. Для получения уравнения четвертой степени возведем левую и правую части уравнения в квадрат : ( х 2 + ах - b ) 3 = x 4 + a 2 x 2 + b 2 + 2ax 3 – 2bx 2 – 2abx = 0 Полученное уравнение можно переписать : x 4 + 2ах 3 + 2а 2 x 2 – а 2 x 2 + b 2 – 2 b х 2 – 2abx = 0. Исключим 2ах 3 + 2 a 2 x 2 , воспользовавшись тем , что b = х 2 + ax : 2ах (х 2 + а x ) = b 2а x , 2ах 3 + 2 a 2 x = 2 abx . Тогда x 4 + 2 abx – а 2 x 2 + b 2 – 2 bx 2 – 2 abx = 0, x 4 – a 2 x 2 + b 2 – 2 bx 2 = 0. Теперь осталось исключить x 2 ; из исходного уравне ния найдем : x 2 = b – ax и подставим в последнее : x 4 – (a 2 + 2b)x 2 + b 2 = 0, x 4 – (a 2 + 2b)(b – ax) + b 2 = 0, x 4 + (2ab + a 3 )x = b 2 + a 2 b Полученное уравнение четвертой степени имеет те и только те положительные корни , которые были у исход ного квадратного. Для нахождения трехчленного уравнения третьей сте пени Виет в качестве исходного брал урав нение ax – x 2 = ab и умножал его левую и правую части на х + b ; это при водило к уравнению (а – b )х 2 – х 3 = ab 2 с теми же положительными корнями , которые были у квад ратного. И еще один частный вопрос рассмотрел Виет . В урав нении ах m – x m + n = b имеющем по условию два корня , он определил коэффициен ты , при которых корни уравнения имели бы заданные значения . Пусть эти корни у и z. Тогда a = , b = Ту же задачу он решил относительно уравнения x m + n + ax m = b , где m + n – число четное , m – нечетное . Чрезвычайно важно то , что Виет распространил извест ные ранее ча стные преобразования на все алгебраичес кие уравнения . Подстановку х = у + k , применявшуюся Кардано для исключения из кубического уравнения члена второй степени , он применил к уравнениям любой степе ни . Также известную Кардано обратную подстановку х = k / y Виет употреблял , чтобы освободиться в некоторых случаях от отрицательных коэффициентов и иррациональностей . Например , уравнение х 4 – 8х = подстановкой х = он преобразовал к виду y 4 + 8у 3 = 80. Подстановкой х = y Виет п реобразовывал уравнение n -й степе ни так , что коэффициент при члене ( n - 1)-й степени ( a ) становился равным b , в то время как старший коэффи циент оставался равным единице . Подстановку х = ky он применял , чтобы избавиться от дробных коэффициен тов. Особый и нтерес представляет исследование Виета по составлению уравнений из линейных множителей и по установлению связей между корнями уравнения и его коэффициентами . Первоначальные сведения и по тому , и по другому вопросу были у Кардано. Кардано в ту пору , когда е ще не знал метода дель Ферро и Тартальи , решал некоторые уравнения третьей степени разложением на множители . В уравнении 2х 3 + 4 x 2 + 25 = l 6 x + 55 с этой целью он прибавлял к обеим частям 2 x 2 + 10x + 5. Затем преобразовывал его к виду (2х + 6) (х 2 + 5) = (х + 10) (2х + 6), сокращал на 2х + 6 и получал квадратное уравнение. Кардано же при нахождении положительного корня уравнения х 3 + b = ах складывал его почленно с уравне нием у 3 = ay + b , получал из них квадратное уравнение делением на х минус известный отри цательный корень х – ( – у ). Такое преобразование позволило Кардано установить , что коэффициент при члене второй степени в правой части кубического уравнения равен сумме его кор ней . Это был первый шаг к установлению зависимости меж ду корнями и коэффициента ми алгебраического уравнения. Виет составил полные уравнения с заданными положи тельными корнями вплоть до пятой степени и показал , как образуются коэффициенты при x n -1 , x n -2 , x n -3 , ... Он установил , что эти коэффициенты при условии , что старший коэффициен т равен 1 или – 1 (свободный член в правой части должен был стоять со знаком +), представляют собой взятые с чередующимися знаками суммы : самих корней , парных произведений их , произведений корней , взятых по три , и т . д . Работа , в которой Виет подробно рассм отрел это утверждение , до нас не дошла . Неизвестно , как он поступал в том случае , когда уравнение имеет и отрицательные корни . Но , скорее всего , это не представляло для Виета особых трудностей : достаточно было сделать в уравнении замену х = – у и можно опер ировать с положительными корнями нового уравнения . Такие примеры в его работах встречались . Если уравнение х 3 + q = рх имеет два по ложительных корня х 1 и х 2 , то уравнение y 3 = ру + q – один положительный корень у 1 = – х 3 причем у 1 = х 1 + х 2 (это знал Кард ано ), x 1 2 + x 2 2 + x 1 x 2 = p , x 1 x 2 ( x 1 + x 2 ) = q . Как видим , в исследованиях Виета встречались начала теории симметрических функций и разложения многочле нов на линейные множители , что вскоре привело к откры тию основной теоремы алгебры о числе корней уравне ния произвольной степени . Эти исследования Виета продолжи ли математики следующего поколения Т . Гарриот (1560 — 1621), А.Жирар (1595-1632), Р . Декарт (1596-1650). 2.3 Символика Декарта и развитие алгебры. В сочинении «Исчисление г . Декарта» неизвестный авт ор изложил арифметические основы математики Декарта . Они писал : «Эта новая арифметика состоит из букв a , b , c и т.д ., а также из цифр 1, 2, 3 и т.д . Если цифры стоят перед буквами , например , 2а , 3 b , 1/4с , то это означает , что величина а берется двойной , ве личина b – тройной , а от величины с берется четверть . Но если они находятся позади букв , например , а 3 , b 4 , c 5 , то это означает , что величина а умножается сама на себя три раза , вели чина b – четыре раза , а величина с – пять раз» . «Сложение производится с п омощью такого знака +. Так , чтобы сложить а и b , я пишу а + b . Вычитание про изводится с помощью такого знака – . Так , чтобы вычесть а из b , я пишу b – a и т . д . Если в вычитаемом выражении есть несколько частей , то у них в нем изменя ются лишь знаки . Так , если из d требуется вычесть а – b + с , то останется d – а + b – – с . Точно так же при вычитании а 2 – b 2 из с 2 – d 2 останется с 2 – d 2 – а 2 + b 2 . Но если имеются присоединенные цифры и члены одина кового вида , то их следует подписывать друг под другом и произ водить их сложение и вычитание как в обыкно венной арифметике. .. Если требуется умножить одну букву на другую , то их следует лишь соединить вместе , но если имеются присоединенные , числа , то они следуют законам обыкновенной арифметики . Что касается знаков , то известно , что + на + дает в произведении + и что – , умноженный на – , также дает в произведении +. Но + на – или же – , умноженный на +, дает в произ ведении – » . Точно так же определялись действие деления , операции с дробями «по правилам обыкновенной ариф метики» . Вот рассуждение о корне : «Когда корень извлечь из квад рата нельзя , его квадрат помещают под связку , чтобы отметить , что его следует рассматривать ка к корень , и тогда его корень называют иррациональной величиной». Из всего этого видно , как далеко зашла формализация алгебраических действий по сравнению с тем , что было у древних греков и у предшественников Декарта ; видно также , что надобности в геометрич еской интерпретации алгебры уже нет. Формализации алгебры (и всей математики ) чрезвы чайно способствовало то , что Декарт усовершенствовал буквенную символику . Он обозначал известные величины буквами а, b , с, . . ., неизвестные («неопределенные» ) – буквами x , y , z , .... Он ввел обозначения степеней : a 2 , a 3 , х 3 , . . . Правда , квадраты величин он выражал и с помощью символов аа , хх . Обозначение корня несколько отличается от современного . Так , выражение означает один из кубических корней , входящих в формулу Кардано. Все буквы в формулах Декарта считались положитель ными величинами ; для обозначения отрицательных ве личин ставился знак минус ; если знак коэффициента про изволен , перед ним ставилось многоточие . Знак равенства имел необычный вид . Вот как , например , выглядело уравнение с произвольными коэффициентами : +x 4 … px 3 … qx… 0. И еще один символ применял Декарт : он ставил звез дочки , чтобы показать отсутствующие члены уравнения , например : x 5 *** – b 0. Другие математики того времени тоже пользовались символикой , близкой к разработанной Декартом , а древние греки излагали свои мысли вообще без сим волики . Ферма построил аналитическую геометрию , располагая запасом употребляемых до него алгебраических средств . «...все это может побудить нас недооценить те успехи , которые поставлены здесь во главу всей математической деятельности Декарта . Значение эти х успехов становится , однако , понятным , если мы примем во внимание , как часто мы должны были для изложения идей более ранних авторов прибегать к пользованию алгебраической формой Декарта ; без нее мы вряд ли смогли бы это сделать сколь-нибудь сжато и нагляд н о . Мы смогли воспользоваться этой алгебраической формой , с одной стороны , потому что декартова трактовка алгебры благодаря своим преи муществам получила ныне широкое распространение , и знакомство с ней происходит уже в школе . С другой сто роны , она уже са м а по себе в большой мере расчистила путь многому , что раньше могло быть изложено лишь весьма громоздким образом и было поэтому доступно лишь очень способным математикам» (Цейтен Г . Г , История математики в XVI и XVII веках , с. 202) Иными словами , разработка и введение алгебраиче ской символики сделали математику более демократичной. Уравнения , по утверждению Декарта , представляют собой равные друг другу суммы известных и неизвестных членов или же , если рассматривать эти суммы вместе , равны «ничему» (нулю ). Д екарт указал , что «уравнения часто удобно рассматривать именно последним образом» , т . е . в виде Р (х ) = 0. Для теоретических построений Декарта такая запись уравнений играла важную роль. Этой формой он пользовался при установлении числа корней алгебраиче ского уравнения , что привело к формулировке основной теоремы алгебры : число корней уравнения (положительных - «истинных» , отрицатель ных - «ложных» и мнимых - «воображаемых» ) равно числу единиц в наивысшем показателе степени входящей в уравнение неизв естной величины . Справедливость тео ремы он аргументировал тем , что при перемножении n двучленов вида х – а получается многочлен степени n . Недостающие «воображаемые» корни , природу которых Декарт не разъясняет , можно примыслить. Если все корни положительн ы , то , по словам Декарта , дело обстоит так : «Знайте , что всякое уравнение может иметь столько же различных корней или же значений неизвестной величины , сколько последняя имеет измерений ; ибо если , например , принять х равным 2, или же х – 2 равным ничему , а также х = 3 или же х – 3 = 0, то , перемножив оба эти уравнения x – 2 = 0 и x – 3 = 0, мы получим хх – 5х + 6 = 0, или же хх = 5 x – 6, уравнение , в котором величина х имеет значение 2 и вме сте с тем значение 3. Если принять еще , что х – 4 = 0 и умножи ть это выражение на хх – 5 x + 6 = 0, то мы получим х 3 – 9хх + 2бх – 24 = 0, другое уравнение , в котором х , обладая тремя измерениями , имеет вместе с тем три значения , а именно 2, 3 и 4» Если же «х выражает собой также недостаток какой-нибудь величины , ска жем 5, то мы получим х + 5 = 0» . Умножив х + 5 на левую часть предыдущего уравнения и приравняв результат нулю , получим x 4 – 4 x 3 – 19 xx + 10бх – 120 = 0, (1) «уравнение , у которого четыре корня , именно три истин ных 2, 3, 4 и один ложный – 5». Построение левой части уравнения в виде произведе ния двучленов приводит к тому , что степень уравнения можно понизить , разделив левую часть его на х – a , где а – корень уравнения . С другой стороны , если такое деление невозможно , то число а не будет корнем уравне ния . Левую часть уравнения (1), например , можно раз делить на х – 2, х – 3, х – 4, х + 5 и нельзя разделить на любой другой двучлен х – а ; «это показывает , что оно может иметь лишь четыре корня : 2, 3, 4 и – 5». Декарт сформулировал правило знаков , д ающее воз можность установить число положительных и отрицатель ных корней уравнения : «Истинных корней может быть столько , сколько раз в нем изменяются знаки + и – , а ложных столько , сколько раз встречаются подряд два знака + или два знака – » . Впоследствии он внес уточ нение : при наличии мнимых («невозможных» ) корней уравнения число положительных корней может (а не должно ) быть равным числу перемен знаков . Декарт высказал правила и на примерах показал , какие следует выполнять преобразования , чтобы изменить з на ки корней уравнения , увеличить или уменьшить корни , получить уравнение , не содержащее второго члена , и т . д . «Легко , далее , сделать так , чтобы все корни одного и того же уравнения , бывшие ложными , стали истинными , и вместе с тем все бывшие истинными ст а ли ложными ; именно это можно сделать , изменив на обратные все зна ки + или – , стоящие на втором , четвертом , шестом и других , обозначенных четными местах , не изменяя знаки первого , третьего , пятого и им подобных , обозна ченных нечетными числами мест». Приме нив такое преобразование к уравнению (1), получим уравнение х 4 + 4 x 3 - 19хх – 106 x - 120 = 0 , (2) имеющее один положительный корень 5 и три отрицатель ных : – 2, – 3, – 4. Можно , не зная корней уравнения , увеличить или уменьшить их на каку ю-либо величину , для чего необ ходимо сделать соответствующую замену . Например , уравнение (2) после замены х = у – 3 преобразуется к виду y 3 – 8у 2 – у + 8 == 0; его положительный корень 8 превышает положительный корень уравнения (2) на 3. Декарт заметил , ч то , «увеличивая истинные корни , мы уменьшаем ложные и наоборот» , при этом он имел в виду абсолютные величины корней. Правило исключения второго члена уравнения , известное еще Виету , Декарт иллюстрировал примерами. Так , уравнение y 4 + 16 y 3 + 71 y 2 – 4 y – 120 = 0 подстановкой z – 4 = у он сводил к z 4 – 25 z 2 – 60 z – 36 = 0; его корни – 3, -2, -1, 6. Второй член уравнения x 4 - 2ах 3 + х 2 (2а 2 - с 2 ) - 2a з x + а 4 = 0 он исключал подстановкой х = z + a его к виду z 4 + z 2 ( a 2 – c 2 ) – z ( a 3 + ac 2 ) + a 4 – a 2 c 2 = 0. Декарт говорил , что можно также «сделать , чтобы все ложные корни уравнения стали истинными , но ист инные не стали ложными» . Он утверждал , что легко приблизительно оценить величину неизвестных отрицательных корней уравнения . В этом можно усмотреть постановку вопроса о границах действительных корней уравнения , которому впоследствии уделил большое вниман и е Ньютон. Для умножения и деления неизвестных корней урав нения на число , приведения дробных и иррациональных коэффициентов к целым Декарт пользовался теми же подстановками , которые были известны и Виету . Рассмот рим пример. Если положить у = х и z = 3у , то уравнение x 3 – x 2 + x – = 0 преобразуется последовательно в уравнение y 3 – 3 y 2 + y – = 0, а затем в z 3 – 9 z 2 + 26 z – 24 = 0. Корни око нчательного уравнения 2, 3, 4; предыдущего – , 1, ; первого – , , . О «воображаемых» (мнимых ) корнях уравнения Декарт писал : «Как истинные , так и ложные корни не всегда бы вают действительными , оказываясь иногда лишь вообра жаемыми . Другими словами , хотя всегда можно вообра зить себе у каждого уравнения столько корней , сколько я сказал , н о иногда не существует ни одной величины , которая соответствует этим воображаемым корням . Так , например , хотя у уравнения х 3 – 6 xx + 13 x – 10 = 0 можно вообразить себе три корня , но на самом деле оно имеет только один действительный , и менно 2. Что каса ется двух других корней , то сколько бы их ни увеличивать , уменьшать или умножать так , как я только что объяснил , все равно их не удастся сделать иными , чем воображае мыми». Еще одна чрезвычайно важная задача алгебры была поставлена Декарт ом – задача приводимости уравнений , т . е . представления целого многочлена с ра циональными (целыми ) коэффициентами в виде произве дения многочленов низших степеней . Декарт установил , что корни уравнения третьей степени с целыми коэффи циентами и старшим ко эффициентом , равным единице , строятся с помощью циркуля и линейки (иначе говоря , уравнение разрешимо в квадратных радикалах ) тогда и только тогда , когда уравнение имеет целый корень (т . е . левая часть его может быть представлена в виде произведения множит е лей первой и второй степеней ). Для уравнения четвертой степени он также указал условие разрешимости ; оно состоит в разрешимости его кубической резольвенты , т . е . соответствующего урав нения шестой степени , кубического относительно у 2 . Декарт не показал , ка к он получил окончательный результат . Ф . Схоотен вывел резольвенту с помощью ме тода неопределенных коэффициентов . Он представил многочлен четвертой степени в виде x 4 – px 2 – qx + r = ( x 2 + yx + z )( x 2 – yx + v ), откуда получил уравнения для нахождения у , z , у : z – y 2 + v = – p , – zy + vy = – q , vz = r . Разрешающее уравнение (резольвента ) имеет вид у 6 – 2ру 4 + (р 2 – 4г )y 2 – q 2 = 0. В конце третьей книги «Геометрии» Декарт графически решал уравнения третьей , четвертой , пятой и ше стой степеней , отыскивая их корни как пересечение не которых линий. Вклад Декарта в математику не ограничивается одной «Геометрией» : в его переписке содержатся решения мно гих задач , в том числе связанных с бесконечно малыми . § 3 Обозначение производной и интеграла у Лейбниц а и развитие анализа. Лейбниц внес большой вклад в развитие математического анализа . Ему принадлежит создание многих символов , которые мы используем сейчас , например , dx , ddx ,… , d 2 x , d 3 x , , . Но символы эти появились у Лейбница не сразу . Первоначально выражение = х u (1) у него выглядело следующим образом : omn . xw = ult . х omn . w – omn . omn . w . При этом он еще не употреблял привычного нам знака равенства. В этом выражении omn . – начальные буквы латинского слова omnia , т . е . все , – обозначает объединение , суммирование «всех» бесконечно малых элементов , стоящих под этим зна ком , х обозначает абсциссу точки на кривой , исходящей из начала координат , w в этих выкладках Лейбница обозна чает то элемент дуги ( ds ), то дифференциал ординаты ( dy ), ult . – начальные буквы латинского слова ultima (т . е . последняя ) – относится к абсциссе. Для Лейбница в данном случае его omn . w выступает в роли новой функции , которая сама стано вится объектом операции , обозначенной omn . Как это обстоятельство , так и то , что он рассматривает резуль тат многократного применения преобразования вида (1) и полу чает выражения , в которых операция omn . наслаи вается несколько раз , заставило его искать более удоб ное обозначение , и в записи от 29 октября мы читаем : полезно писать вместо omn ., так что будет вме сто omn . ( - это начальная буква слова summa и Лейбниц называет этот знак суммой ). И для нового исчисления , как в той же запи си выражается Лейбниц , имеем , , = , . Первое из этих соотношений соответствует преобра зованию (1), а , b - постоянные , черта сверху играет роль скобки , и она , собственно , лишняя , да и Лейбниц не всегда ее пишет , но ее , пус ть несистематическое , появле ние характерно : так , в записи х мы видим , что пишуще му кажется необходимым дополнительно указать , что на х действительно умножаю тся все , собранные в сумму зна ком . Лейбниц далее записыва ет (по поводу формул (2) и их вариантов ): «Это достаточно ново и примечательно , по скольку указывает на новый вид исчисления» , и пере ходит к обратному исчислению ( contrario calculo ), вводя символ d , который «уменьшает измерение так , как уве личивает » , но пишет его в знаменателе (не dy , a y / d ). Тут же читаем : обозна чает сумму , d - разность . Не сколькими днями позже , в рукописи , помеченной 10 нояб ря , Лейбниц записывает : « dx — то же самое , что x / d , то есть разность между двумя ближайшими». Замечательно то , что Лейбниц сразу , введя новое обо значение , начинает с ни м обращаться как с символом опе рации , отделяя его от объекта операций : он сразу отме тил , что его «сумма» от (двух ) слагаемых равна сумме «сумм» слагаемых и что постоянный множитель или дели тель можно выносить за знак «суммы» . В записях после ду ю щих дней (от 1, 10, 11 ноября ) он отмечает такие же свойства операции , обозначенной через d . За эти дни Лейбниц убедился , что d ( xy ) не то же самое , что dx dy , и что d ( x / y ) dx / dy , но н е вывел еще соответствующих формул . Отметил он и что , конечно , не то же самое , что . Он уже систематически использует обратность действий и d , например , после равенства он пишет : или wz = y 2 /2 d (тут d еще в знаменателе ). Отме чены им уже формулы для производной степенной функ ции при целых показателях степени , например , «из квад ратуры треугольника ясно , что y 2 /2 d = у ; = из квадратуры параболы». А в том , что он открывает здесь нечто весьма сущест венное , Лейбниц , вероятно , окончательно убедился , когда смог использовать пока как бы нащупываемый им алго ритм при решении задач на обратный метод касательных . Он писал : «Еще в прошлом году я поставил перед со бой вопрос , который можно отнести к труднейшим во всей геометрии , поскольку распространенные до сих пор методы здесь почти ничего не дают . Сегодня я нашел его решение и я приведу его анализ». Свою задачу Лейбниц формулирует как определение кривой , у которой поднормали обратно пропорциональны ординатам . Такая задача сводится , в современных обозна чениях , к решению дифференциального уравнения ydy / dx = k / y , где k - постоянна я . Решение Лейбница состоит по сути в составлении такого уравнения и последующем его интегрировании с помощью разделения переменных . Он получил , таким образом , уравнение искомой кривой , и она оказалась кубической параболой. По записям Лейбница видно , что к середине 1676 г . он , располагая уже всеми основными правилами дифференцирования и интегрирования , решил еще не сколько задач на обратный метод касательных , в том числе знаменитую в XVII в . задачу де Бона , предложен ную в свое время Декарту , который не смо г получить ее общее решение . И это результат вполне самостоятельного хода мыслей . То , что Лейбниц знал к тому времени от носительно результатов Ньютона и Грегори , никак не могло помочь ему пройти избранный им путь . Операцион ный подход Лейбница к проблеме и его поиски рациональной символики для нового исчисления , в чем наибо лее полно выразилась творческая индивидуальность Лейб ница , были в достаточной мере чужды его английским соперникам. Примерно через год после открытий 1675 г ., во время поездки по Голла ндии и после встречи там с Гудде , Лейб ниц составил заметку , озаглавленную «Дифференциальное исчисление касательных» . Она начинается записями : d = 1, d = 2 x , d = Зх 2 и т . д. d = – , d = – , d = – и т . д . d = и т . д. Отсюда выводится общее правило для разностей и сумм простых степеней : d = ex e -1 и , напротив , = (горизонтальная черта сверху означает взятие в скобки ). Как видно , здесь знак d обозначает операцию вычисле ния производной . Но Лейбниц еще не вполне выработал к тому времени свою символику и чуть ниже можно прочитать , что «общее правило устанавливается так : и , наоборот , » . Такая редакция общего правила следует за замечанием : «пусть у = x 2 , тогда бу дет = 2 x , следовательно , = 2 x » . И на полях , вероятно , позже , Лейбниц написал , что это отличное за мечание к его исчислению ра зностей : «если by + + etc . = 0, то b + = 0, и так с осталь ными» . Здесь он начинает свободно обращаться с дифференциалами , как это ему удобно при решении дифферен циальных уравнений , не предопределяя , какое из пере менных независимое , какое функция. Дальше в том же наброске следует замечание , что вот , «возьмем какое-либо уравнение (но берется уравне ние алгебраической кривой , притом второго порядка ) ... и напишем у + dy вместо у и подобным образом x + dx вместо х , тогда , опустив то , что опуст ить над лежит , получим другое уравнение» (т . е . оставляются только слагаемые первого порядка относительно диффе ренциалов , и это показано на примере ). Отсюда вытекает правило , обнародованное Слюзом , продолжает Лейбниц , и это , конечно , верно . Тут же он доба вляет , что «мы бесконечно расширим это правило : пусть букв будет сколько угодно и из них составлена формула , например , из трех букв...» . И Лейбниц сопостав ляет уравнение алгебраической поверхности опять-таки второго порядка и небезупречно составленное пу т ем диф ференцирования соотношение между дифференциалами , чтобы заявить без дополнительного обоснования : «Отсю да явствует , что по такому методу получаем касатель ные плоскости поверхностей , и не имеет значения при этом , существует ли еще иное соотношение м ежду теми же буквами х , у , z , его ведь можно будет подставить позже». Конечно , указание на то , как определить касатель ную плоскость к поверхности , следовало еще развить , что в рассматриваемом отрывке отсутствует , но мы ви дим здесь пример того , как Лейбниц постепенно , по раз ным поводам , возвращается к своему исчислению , расши ряет область его применения , наряду с новыми резуль татами получает с его помощью известные старые . В 1678 г . Чирнгаус заявил Лейбницу , что надо по возможности избег ать новых обозначений , ибо это только затрудняет доступ к науке . Вот Виет заслуживает похвалы за то , что обходится буквенными обозначениями , не вводя новых чудовищных знаков . Лейбниц , возражая подчеркивал , что надо искать обозначения , которые кратко выраж а ют сокровенную сущность предмета , облегчая путь к открытиям и значительно уменьшая затрату умственного труда . И таковы , продолжал Лейбниц , использованные мною знаки – я часто с их помощью в несколько строк решаю самые трудные задачи. В 1684 г . в «Лейпцигск их ученых заметках» появилась одна из самых знаменитых математических работ : «Новый метод максимумов и минимумов , а также касательных , для которого не являются препятствием ни дробные , ни иррациональные величины , и особый для этого род исчисления» . В этой небольшой статье даны основы дифференциального исчисления . Правила дифференцирования приводятся без доказательств , хотя есть указания на то , что здесь все можно обосновать , рассматривая дифференциалы как бесконечно малые разности . Определение дифференциал а функции дано как произведение производной (но производная задается геометрически как отношение ординаты к подкасательной ) на дифференциал аргумента . Последний можно задавать произвольно . Еще не вводится определенное соглашение относительно выбора знака д л я длин отрезков , которыми оперирует Лейбниц , поэтому он привод некоторые формулы с двумя знаками . В статье были опечатки , затруднявшие чтение , были и ошибочные утверждения (относительно определения точек перегиба ). Но в ней были и эффективные примеры при м енения нового алгоритма , и автор , приведя их , имел право заявить : «Во всех таких и много более сложных случаях наш метод обладает одной и той же поразительной и прямо беспримерной легкостью . Но это лишь начала некой более высокой Геометрии , которая распро с траняется на труднейшие и прекраснейшие задачи прикладной математики , и едва ли кому-нибудь удастся заняться с той же легкостью такими вещами , не пользуясь нашим дифференциальным исчислением или ему подобным». Год 1690-й отмечает новый этап : начинается пер еписка и многолетнее научное общение Лейбница с Яковом Бернулли , а затем и его младшим братом Иоганном , напечатана первая работа по анализу старшего из братьев , и оба они , математики первого ранга , отныне все усилия приложат для развития нового исчисления. Через посредство И . Бернулли с новым исчислением знакомится и становится его приверженцем самый значительный французский механик тех лет П . Вариньон. На Лейбница появление приверженцев его метода и умножение примеров , показывающих плодотворность созданно го им исчисления , действовало стимулирующе. Новые результаты Лейбница достаточно разнообраз ны . Некоторые из них относятся к технике дифферен цирования . Так , в «Новом методе...» 1684 г . дифферен цируются только алгебраические функции , рациональные и ирраци ональные , и , в неявном виде , логарифм , а в 90-е годы Лейбниц , можно сказать , мимоходом в раз личных работах указывает дифференциалы синуса и арк синуса , функции вида u v , где основание и пока затель степени — функции независимого переменного , вводит диффере нцирование по параметру . Позже Лейбниц дает носящую его имя формулу для дифференциала лю бого порядка от произведения функций . Можно сказать , что на этой стадии операция дифференцирования у Лейб ница охватила весь запас известных тогда функций. Другая груп па результатов Лейбница относится к диф ференциальной геометрии . Один из наиболее существен ных – введение огибающей семейства плоских кривых , зависящих от некоторого параметра . В третью группу можно объединить результаты по интегральному исчислению . Кром е формул , представляю щих собой обращение упомянутых формул дифференци рования , Лейбниц дал две работы об интегрировании ра циональных дробей (1701 и 1703 гг .). В первой из них он допустил ошибку , сделав вывод , что при наличии комп лексных корней у знамен а теля рациональной дроби с дей ствительными коэффициентами интегрирование должно ввести новые трансцендентные функции , кроме обратных круговых и логарифмов . Когда же И . Бернулли указал правильный результат , Лейбниц с ним не согласился и повторил свое ошибо ч ное заключение во второй работе . Эта ошибка Лейбница – не только математический недо смотр , она имеет любопытные корни . Утверждение , что интегралы вида , дают новые трансцендентные функции казалось ему и привлекательным и правдоподобным еще потому , что это соответствовало лейбницевой метафизике . Если бы все ин тегралы такого вида сводились , как выражается Лейбниц , только к квадратуре гиперболы (т . е . логарифмам ) и к квадратуре круга (к обратным круговым функциям ), то все было бы единообразно . «Но природа , мать вечного разнообразия , или, лучше сказать , божественный дух слишком цепко оберегает свою прекрасную многоликость , чтобы допустить слияние всего в одну породу . И таким образом он находит изящный и удивительный выход в этом чуде анализа , этом побочном порождении мира иде й , двойственном существе как бы между бытием и небыти ем , что мы называем мнимым корнем . И посему всякий раз , когда знаменатель рациональной дроби имеет мнимые корни , что может получиться бесконечно многими спосо бами , будет мнимой и гипербола , квадратура к оторой нам нужна , и ее никоим образом нельзя будет построить» . От Лейбница не ускользнуло и то , что интеграл мож но рассматривать как дифференциал с показателем – 1, и это привело его к введению дифференциалов любых отрицательных и дробных порядков с помощью беско нечных рядов . Теорию интегралов и производных дробно го порядка развивали в XVIII в . Эйлер , в XIX в. – Лиувилъ , Риман , Летников , в XX в. – Г . Вейль , М . Рис и др ., и сейчас она составляет один из разделов анализа . Лейбниц же первый в пе чати указал на то , что операция ин тегрирования вводит произвольную постоянную и на связь между определением первообразной функции и квадра турой . Он указал также , как интегрировать некоторые типы обыкновенных дифференциальных уравнений . Су щественно то , ч то Лейбниц отчетливо определил взаимо отношение интегрирования дифференциальных уравнений и интегрирования функций (первое следует считать вы полненным , если оно сведено ко второму ), и , аналогич но , интегрирования функций и алгебраических операций (наприм е р , определение корней знаменателя подынте гральной рациональной дроби считается при интегрирова нии задачей решенной ). Лейбниц много занимался также интегрированием иррациональностей (в конечном виде , как стали позже вы ражаться ) и глубоко проник в суть эт ой проблемы . Заслугой Лейбница является и применение к интегри рованию и функций и дифференциальных уравнений бес конечных рядов с использованием метода неопределен ных коэффициентов (последний метод восходит к Декар ту ). Немалое значение для успехов ново го анализа име ло достаточно общее введение такого понятия , как функ ция , и систематические выступления Лейбница против ограничения (по Декарту ) предмета геометрии изучением алгебраических кривых . Наконец , Лейбниц на деле д оказал достоинства своего исчисл ения , с успехом участвуя в конкурсах на решение таких трудных для то го времени задач , как задача Галилея о цепной линии и задача И . Бернулли о брахистрохроне . Историческое значение математического творчества Лейбница огромно . Оно длилось около сорока лет , и за такой сравнительно небольшой срок математика преобразилась . Наука , в которую вступил Лейбниц , и наука , которую он оставил , принадлежит разным эпохам , и это плод главным образом его трудов и трудов его школы . До Лейбница в обширную область неведомо г о пытались проникнуть то тут , то там , наскоками , пусть порою очень удачными , не имея общего плана . Благодаря Лейбницу разрозненные прежде усилия были подчинены общей программе , прояснились и близкие и далекие цели , средства для их достижения оказались в р а споряжении не только сверходаренных одиночек и значительно выиграли в эффективности . § 4. Язык кванторов и основания математической логики. В связи с тем , что элементы логики представляют собой неотъемлемую составную часть школьного обу чения математике , они должны изучаться в единстве с собственно математическим материалом на всех этапах обучения . Соответствующий язык необходимо вводить постепенно для обозначения уже разъясненных математических и логических понятий , чтобы в дальнейшем о н становился необходимым компонентом обиходного математического языка . 4.1 Алгебра высказываний. Эта тема важна для школьной математики . Не овладев ее основными действиями , нельзя понять последующие темы , как , не овладев таблицами сложения и умножения , н ельзя научиться арифметике и тем более алгебре. Исходные объекты алгебры высказываний – это простые высказывания . Их будем обозначать строчными латинскими буквами a , b , c , … , x , y , z . Предполагается , что всякое простое высказывание обладает одним и только одним из двух свойств : либо оно истинно , либо ложно . Будем пользоваться почти повсеместно принятой терминологией : свойства истинности (и ) и ложности (л ) мы будем называть значениями истинности высказываний . При такой терминологии значение истинности сложн ого высказывания есть функция от значений истинности простых высказываний ; такая функция называется логической связкой. 4.1.1 Определения основных логических связок а ) Отрицание (знак ). Если а – высказывание , то а (чита ется : «не а» ) также высказывание ; оно истинно или ложно в зави симости от того , ложно или истинно высказывание а. Таким образом , операция отрицания описывается следующей таблицей : a a и л л и Мы видим , что операция в теории высказываний вполне со ответствует понятию отрицания в обыденном смысле слова . Если , например , а – высказывание «Число три делит число шесть» , то отрицанием а этого высказывания будет «Число три не делит число шесть» . Высказывание а при этом истинно , высказывание а , – ложно. Если же в качестве высказывания а взять какое-нибудь ложное высказывание , например «Число три делит число пять» , то его отрицание а будет высказывание «Число три не делит число пять» - истинное высказывание. б ) Конъюнкция . В качестве знака для конъюнкции мы будем употреблять знак (можно такж е &). Если а и b - высказывания , то а b (читается : «а и b » ) – но вое высказывание ; оно истинно тогда и только тогда , когда а истин но и b истинно. В отличие от операции отрицания , зависящей от одного эле ментарного высказыва ния , конъюнкция , как и все последующие приводимые нами связки , зависит от двух элементарных высказы ваний , поэтому они называются двуместными связками , отрица ние же - связка одноместная. Для задания двуместных связок удобно записывать матрицы истинности в виде таблиц с двумя входами : строки соответствуют значениям истинности одного элементарного высказывания , столб цы – значениям другого элементарного высказывания , а в клетке пересечения столбца и строки помещается значение истинности соответствующего сло ж ного высказывания. Значение истинности сложного высказывания а b задается матрицей b a и л и и л л л л Как видно , определение операции конъюнкции вполне соответ ствует обыденному значению союза «и» : в ) Дизъюнк ция. В качестве знака для дизъюнкции мы будем употреблять знак . Если а и b – высказывания , то а b (читается : «а или b » ) – новое высказывание , оно ложное , если а и b ложны ; во всех осталь ных с лучаях а b истинно. Таким образом , матрица истинности для операции дизъюнкции выглядит так : b a и л и и и л и л Операция дизъюнкции довольно хорошо соответствует обыден ному значению союза «или» . Примеры. «Т ри делит пять или три больше шести» ложно ; «Три делит шесть или три больше шести» истинно ; «Три делит шесть или три меньше шести» истинно. г ) Импликация . В качестве знака для импликации будем упот реблять знак . Если а и b – два высказывания , то а b (читается : «а импли цирует b » ) – новое высказывание ; оно всегда истинно , кроме того случая , когда а истинно , а b ложно. Матрица истинности операции импликации следующая : b a и л и и л л и и В импликации а b первый член а называется антецедентом , второй b – консеквентом. Операция описывает в некоторой мере то , что в обыденной речи выражается словами «Если а , то b » , «И з а следует b » , «а – достаточное условие для b » , но на этой аналогии не следует слишком настаивать . Действительно , учитывая определение импликации , данное выше , и интерпретируя выражение а b как «если а , то b » , мы получаем : «Если дважды два – четыре , то трижды три – девять» – истинное высказывание ; «Если дважды два – пять , то трижды три – восемь» – истинное высказывание и только вы сказывание типа «Если дважды два – четыре , то трижды три – восемь» ложно. По определению имплик ации сложное высказывание а всегда истинно , если консеквент истинный или если антецедент ложный , что в очень малой мере отражает обыденное значение вы ражения «Если а , то b » или «Из а следует b » . Ни в какой мере не следует р ассматривать высказывание импликации как означающее , что антецедент является причиной , а консеквент — следствием в том смысле , как это понижается в естественных науках. Несколько позже мы убедимся , что операция импликации доста точно точно выражает понятие логического следования в той форме , как оно употребляется в математике. д ) Эквиваленция . Для этой операции мы будем употреблять знак . Операция эквиваленции определяется так : если а и b – два высказывания , то а b (читается : «а эквивалентно b » ; со ответствует словесному выражению «...тогда и только тогда , когда...» ) – новое высказывание , которое истинно , если либо оба высказывания истинны , либо оба – ложны. Из это го определения связки следует , что ее матрица истин ности выглядит так : b a и л и и л л л и Введенными пятью связками ( , , , , ) мы ограничимся. С помощью уже введенных связок мы можем строить слож ные высказывания , зависящие не только от двух , но и от любого числа элементарных высказываний. Отметим в этой св язи , что так называемое нестрогое неравенство а b (читается : a меньше или равно b » ) представляет собой дизъюнкцию (а < b ) ( a = b ); оно истинно , если истинно по меньшей мере одно из входя щих в него простых высказываний . Хорошими примерами сложных выска зываний , встречающихся в школьной практике , являются так называемые двойные неравенства . Так , формула а < b < с означает (а < b ) ( b < с ), а , например , а < b c означает сложное высказывание (а < b ) (( b < c ) ( b = c )). Построение сложных высказываний делается аналогично тому , как в элементарной алгебре с помощью операций сло жения , вычитания , умножения и деления строятся сколь угодно сложные рациональные выражения . А имен но , предположим , что мы уже построили два каких-нибудь слож ных высказывания , которые мы ради удобства сокращенно обозначим большими латинскими буквами А и В (при этом мы ус ловимся , что элементарные высказывания следует рассматривать как частный случай сложных ). Тогда новые высказывания можно получить , соединив А и В одним из знаков , , , или же построив высказывание А и заключив результат в скобки . Слож ными высказываниями будут , например , высказывания следую щего вида : ((а b ) (с а )); ((а b ) (с а )). При этом предполагается , чт о встречающиеся здесь буквы являют ся сокращенными обозначениями каких-либо высказываний. Таким образом , в принципе зная эти высказывания , можно было бы построить русские фразы , выражающие эти сложные выска зывания . Только словесное описание сложных высказ ываний бы стро становится малообозримым , и именно введение целесообраз ной символики позволяет проводить более глубокое и точное ис следование логических связей между различными высказываниями . Располагая значением истинности простых высказываний , легко подсчитать на основании определения связок значение истин ности сложного высказывания . Пусть , например , дано сложное высказывание ((b с ) (b a)) и пусть входящие в него элементарные высказывания имеют сле дующие значения истинности : а = л , b = и , с = и . Тогда b с = и , b a = л , так что (( b с ) ( b а )), т . е . рассматриваемое высказывание ложно. 4.1.2 Высказывания и булевы функции Одной из основных задач алгебры высказываний является уста новление значения истинности сложных высказываний в зависи мости от значе ния истинности входящих в них простых высказыва ний . Для этого целесообразно рассматривать сложные высказыва ния как функции входящих в них простых высказываний . С другой стороны , так как значение истинности (и или л ) сложного высказы вания зависит по опр е делению логических связок не от самих простых высказываний , а лишь от их значения истинности , то можно считать , что любое сложное высказывание определяет функ цию , аргументы которой независимо друг от друга принимают значения и или л , а значение самой фун к ции также принадлежит множеству и , л (конечно , существенно не то , что речь идет о функциях от нескольких аргументов из множества и , л в множество и , л , а лишь то , что данные мно жества двухэлементны . Эти множества зачастую обозначают не через и, л , а , например , через 0, 1 , считая , что 1 означает «истину» , а 0 – «ложь» ). Такие функции называются булевыми функциями (по имени Д . Буля ). Например , формула F (а , b , с ) = (а b ) (с а ) описывает , учитывая определение входящих в нее связок , булеву функцию , задаваемую следующей таблицей : а b с F(a, b, с ) а b с F(a, b, с ) и и и и л и и и и и л л л и л и и л и и л л и и и л л и л л л и Заметим , что булевых функ ций от n аргументов имеется лишь конечное число , а именно столь ко , сколько возможно функциональных таблиц . Число возмож ных наборов аргументов равно 2 n , а каждому набору аргументов можно независимо друг от друга сопоставлять одно из значений и или л. Таким образом , число всевозможных булевых функций от n аргументов равно – Оно очень быстро растет с ростом n . Изуче ние свойств булевых функций имеет больше е значение как для алгебры и математической логики , так и для их приложений в кибернетике и теории автоматов . Естест венно распространить определение высказывательных связок , так как мы их определили выше , на булевы функции . Мы ограничимся рассмотрением л и шь связок , , называемых булевыми связ ками (или булевыми операциями ). Такое ограничение оправдано тем , что , как легко проверить , связки и могут быть выражены через другие булевы связки . При помощи таблиц истинности , приведенных выше , легко проверяются следующие тождества : a b ( a) b; a b (a b) ( a b), которые позволяют повсеместно заменить связки , на , , . Если мы теперь имеем булевы функции F ( x l , х 2 , ..., х n ), G (х 1 , х 2 , ..., х n ) от n переменных , то действие связок над ними определяется естественным образом : F ( x l , x 2 , ..., х n ) G (х 1 , x 2 , ..., х n ), F ( x l , x 2 , ...,х n ) G ( x l , x 2 , ..., х n ), F ( x l , x 2 , ..., х n ) – это такие булевы функции , которые принимают значения , предписы ваемые соответствующими таблицами для каждого возможного зна чения арг ументов . Кратко : булевы операции так переносятся на бу левы функции , как действия арифметики переносятся на обычные функции числовых аргументов . Вообще имеет место далеко идущая аналогия между обычной алгеброй чисел и числовыми функциями , с одной стороны, и высказываниями и булевыми функциями – с другой . При этом можно отметить , что в одном определенном смысле алгебра булевых функций проще алгебры числовых функ ций : если рассматривать лишь функции некоторого конечного числа аргументов , то таких функций лиш ь конечное число . Поэтому выкладки с булевыми функциями вполне доступны пониманию школьников старших классов. Естественно , закономерности булевой алгебры менее привычны и вызывают удивление и недоверие : это судьба всякого новшества. Выпишем законы булевой алгебры . Большими латинскими бук вами А , В , ..., X , Y , Z мы обозначим объекты , над которыми осу ществляются булевы операции , , . Для определенности будем считать, что эти объекты – булевы функции некоторого фик сированного числа переменных . Среди них есть два особых элемен та : 1, 0. Это соответственно функции , принимающие для всех ар гументов значения 0 и 1 (постоянные функции – нуль и единица ). Тогда А В = В А , A B = B A A (В C ) = (А В ) C A (В C ) = (А В ) C A A = A A A = A A 1 = A A 1 = A A 0 = 0 A 0 = A (A B) = A B (A B) = A B A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) A = A Если , как это обычно делают , булевы операции , , считать аналогом сложения , умножения и перехода к противоположно му числу , то некоторые из вышеприведенных законов те же , что для числового сложения и умножения , другие же существенно отличаются от привычных. 4.1.3 Задания для учащихся. 1. Верно ли высказывание : (205 кратно 5); 7 7; (8>10); 1 3 3. 2. А – множество точек треугольника и В – множество точек четырехугольника. Верно ли в ысказывание : C A C B; K B K A; S B S A; (S A) S B? 3. Известно , что А =и , В =и , Х =л , Y =л . Найдите значение высказыван ия : А Х ; Y A; A X; ( В Y); (A B) X; (X B) Y; (X A) (Y B); (A X) (Y X). 4. Составьте таблицу истинности высказываний : Х Х ; (Х Y ) Y ; ( X Y ) X ; X Y ; ( X Y ) Y . 5. Используя переменные X , Y , Z , запишите сочетательное свойство операции «и». 6. Проверьте равенство ( X Y ) Z ( X Z ) ( Y Z ) и ( X Y ) Z ( X Z ) ( Y Z ), составляя таблицы истинности для левой и правой части. 4.2 Предикаты и кванторы. 4.2.1 Предикаты. Алгебра пр едикатов – тот раздел математической логики , который непосредственно надстраивается над алгеброй высказываний. Как мы видели , одной из основных задач алгебры высказыва ний является изучение истинности или ложности высказываний в зависимости от истинности или ложности входящих в них высказы ваний . Несмотря на большую важность этой области логики , она оказывается слишком бедной для описания и для изучения даже простейших заключений науки и практики . В рамки алгебры вы сказываний не укладываются ни простейши е заключения арифметики и геометрии , не говоря уже о довольно сложных логических выводах , с которыми мы сталкиваемся в других науках и в повседневной жизни. Действительно , рассмотрим следующие простейшие заключения. Из истинных высказываний « 3 меньше 5» и « 5 меньше 7» мы за ключаем , что « 3 меньше 7» . Из истинных высказываний «Все птицы – животные» и «Все воробьи – птицы» мы делаем заключение : «Все воробьи – животные» . Из высказываний «Петр – сын Ивана» и «Павел – сын Петра» мы заключаем : «Павел – внук Ивана » и т . д. Заметим , что во всех рассмотренных примерах истинность за ключения зависит не только от истинности посылок , но и от их содержания . Если изменить вид посылок , то может оказаться , что заключение будет неверным . Так (в первом примере ) из истинных выс казываний « 3 меньше 5» и « 5 не равно 7» нельзя делать заключе ние (которое оказывается истинным ), что « 3 меньше 7» , или , из менив немного второй пример , из истинных высказываний «Все птицы – животные» и «Никакие рыбы не птицы» нельзя выводить ни ложное вы с казывание «Никакие рыбы не животные» , ни истин ное высказывание «Все рыбы – животные» . Наконец , видоизменив последний пример , из истинных высказываний «Петр – сын Ивана» и «Павел – родственник Петра» мы не имеем права делать заклю чение (которое в действи т ельности может быть как истинным , так и ложным ), что «Павел – внук Ивана» (но можем вывести истин ное заключение : «Павел – родственник Ивана» ). Чтобы построить систему правил , позволяющую логически выво дить правильные заключения , учитывающие в какой-то ме ре содер жание посылок , мы должны проанализировать строение простых высказываний . И здесь нам опять кое-что может подсказать грам матика . Следуя по такому пути , мы придем к разделу логики , называемому алгеброй предикатов . Она предполагает алгебру высказы в аний уже известной , но идет дальше : простые высказывания , из которых состоят сложные , в свою очередь расчленяются . Теория предикатов исходит из следующей установки . Простые высказывания выражают , что некоторые объекты обладают неко торыми свойствами или н аходятся между собой в некоторых отно шениях. При этом понятия «свойство» и «отношение» рассматриваются как частные случаи общего понятия «предиката» . Объекты , о кото рых говорится в высказываниях , называются «термами» . Постараем ся выяснить смысл этих пон ятий на примерах. Рассмотрим сначала некоторое число простых предложений – высказываний , выражающих , что некоторый объект обладает не которым свойством : «Сократ – грек» ; «Платон – ученик Сократа» ; «Три – простое число» ; «Василий – студент» и т . д . , Все пр иведенные примеры – простые предложения , С точки зрения грамматики они состоят из подлежащего («Сократ» , «Платон» , «три» , «Москва» , «Василий» ) и сказуемого («есть грек» , «есть ученик Сократа» , «есть простое число» ). Подлежащее является наименованием некот о рого объек та – конкретного или абстрактного , сказуемое выражает некото рое свойство . В латинской грамматике сказуемое называется пре дикатом , и этим термином принято теперь пользоваться в матема тической логике в рассматриваемых ситуациях . Основным для а л гебры предикатов является второй член предложения – сказуе мое-свойство . Как же алгебра предикатов трактует понятие «свой ство» ? Она рассматривает его как некоторую функцию следующим образом. Возьмем первый пример : «Сократ есть грек». Вместо человека Сокра т мы можем подставить имена всевоз можных людей и будем получать всегда осмысленные предложения . Одни предложения будут истинными , другие – ложными : «Сократ есть грек» – истинно ; «Платон есть грек» – истинно ; «Наполеон есть грек» – ложно ; «Ньютон есть гре к» – ложно и т . д. Более обще можно рассматривать выражение вида « X есть грек» , где буква X указывает место , на которое нужно подставить имя некоторого человека , чтобы получить высказывание — истин ное или ложное . Но , как нам уже известно , существенным сво йст вом высказывания является его значение истинности и или л . Становясь на эту точку зрения , логика предикатов считает выра жение « X есть грек» функцией , аргумент которой X пробегает класс всех людей , а сама функция принимает в качестве значений и или л . Если мы будем , как это принято в математике , « X есть грек» записывать сокращенно , например в виде Гр ( X ), то для зна чения X = Сократ получим Гр (Сократ ) – и , а скажем Гр (Напо леон ) – л и т . д . Относительно других приведенных примеров можно дословно повто рить все то , что было сказано относительно первого. Таким образом , предикатом или , лучше , предикатом-свойством будем считать функцию , определенную на некотором универсальном множестве и принимающую значения и и л . Те элементы , для кото рых значение предика та «истинно» , обладают данным свойством , остальные не обладают. Отсюда сразу видно , что в действительности всякий предикат-свойство вполне определяется подмножеством тех объектов , на которых данная функция принимает значение «истинно» . Полезно привести при меры предикатов-свойств из области арифметики . Такими будут , например , свойства натуральных чисел «быть прос тым числом» , «быть четным числом» , «быть квадратом» и т . д. Остановимся на примере «три есть простое число» и на соответ ствующем предикате-свойств е «быть простым числом» . Введем для этого свойства сокращенное обозначение Пр ( X ). Предикат Пр ( X ) определен на множестве натуральных чисел . Имеем Пр (1) = л (поскольку 1 не принято рассматривать как простое число ). Пр (2) = и , Пр (3) = и , Пр (4) = л , ..., Пр (10) = л , Пр (11) = и и т . д . Подобно приведенным предикатам-свойствам , математиче ская логика рассматривает более общее понятие предиката-отно шения . В зависимости от того , между каким числом объектов уста навливается отношение , мы различаем двухмест ные (бинарные ), трехместные (тернарные ) и т . д ., в общем случае – n -местные от ношения . Рассмотренные выше предикаты-свойства считаются унар ными предикатами . Наконец , оказывается удобным в понятие пре диката-отношения как частный случай включить и высказы вания в качестве « 0 – местных предикатов». Все математические дисциплины имеют дело с предикатами-отношениями , причем самыми распространенными являются бинарные отношения . Они описываются , различными словами : «равны» , «не равны» , «больше» , «меньше» , «делит ь» , «пер пендикулярны» , «параллельны» и т . д. По аналогии с предикатом-свойством двухместным предикатом считается опять функция , на этот раз от двух аргументов , опре деленных на некотором универсальном множестве , принимающая значение и (истинно ) и л (ложно ): те пары элементов , для которых функция принимает значение и , находятся в рассматриваемом отно шении , остальные пары в этом отношении не находятся. Рассмотрим пример бинарного отношения , определенного на множестве натуральных чисел , а именно отношение , о писываемое словом «больше» . Если рассматривать это отношение как функцию от двух переменных X и Y (на множестве натуральных чисел ), принимающую значения и или л в зависимости от того , будет ли соответствующее отношение выполняться или нет , то эта функция о пределяет предикат , который обозначим через > ( X , Y ). Тогда имеем , например , > (3, 2) = и , > (1, 3) = л , > (7, 5) = и и т . д . Более полно и обозримо двухместный предикаты >(Х , Y ). 1 2 3 4 5 … 1 л и и и и … 2 л л и и и … 3 л л л и и … 4 л л л л и … 5 л л л л л … … … … … … … … Конечно , совсем нетрудно указать в элементарной математике при меры трехместных предикатов и предикатов от еще большего числа аргументов . Так , трехместным предикатом является в геометрии отношение , описываемое словом «между» : « Точка Y лежит между точками X и Z » . В арифметике хорошо известны понятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух целых чисел : фраза «Число d является наибольшим общим делителем чисел а и b » описывает трехместный предикат . Трехместные пре дикаты на множестве действительных чисел задают действия сло жения , вычитания , умножения и деления : X + Y = Z , X – У = Z , X • Y = Z , X : Y = Z . Примером четырехместного предиката может служить отношение между членами пропорции X : Y = Z : W Ознакомив шись с понятием предиката , мы переходим теперь к рассмотрению операций , позволяющих из некоторых исходных предикатов строить новые . Начнем изучение с простейшего случая одноместных предикатов . Пусть Р ( X ) и Q ( X ) – два одномест ных предиката , определенных на некотором множестве М . С помощью операций алгебры высказываний мы можем строить новые предикаты на множестве М . Конъюнкция Р ( X ) Q ( X ) – это пре дикат R 1 ( X ) = Р ( X ) Q ( X ), который истинен для тех объек тов а из М , для которых оба предиката Р ( X ) и Q ( X ) истинны . Аналогично определяется дизъюнкция Р ( X ) Q ( X ): R 2 ( X ) = Р ( X ) Q ( X ) – это предикат на М , который истинен в точ ности для тех а М , для которых истинен по меньшей мере один из предикатов Р ( X ) и Q ( X ). Так же определяется отрицание Р ( X ): R 3 ( X ) = Р ( X ) – предикат на М , истинный для тех и только тех а М , для которых Р ( X ) ложен. 4.2.2 Кванторы. В алгебре предикатов наряду с операциями логики высказываний важнейшую роль играют операции , называемые кв антора ми . Именно употребление кванторов делает алгебру предикатов значительно более богатой , чем алгебру высказываний . Кванторы соответствуют по смыслу тому , что на обычном языке выражается словами «все» («для каждого» , «для всех» и т . п .) и «существует» («некоторый» , «найдется» и т . п .). Понятие , обозначаемое словом «все» , лежит в основе квантора всеобщности (или квантора общности ). Если через Гр ( X ) обозна чен предикат « X есть грек» , определенный на множестве М всех людей , то из этого предиката с помощью слова «все» мы можем построить высказывание «Все люди – греки» (конечно , ложное высказывание ). Это пример применения квантора всеобщности. Вообще же квантор всеобщности определяется так . Пусть Р ( X ) – какой-нибудь предикат . Тогда квантор всеобщности – это операция , которая сопоставляет Р ( X ) высказывание «Все X обладают свойством Р ( X )» . (*) Для этой операции («все» ) употребляется знак (перевернутая латинская буква А , напоминающая о немецком слове « alle » или английском « all » – все ). Высказывание (*) записыва ется так : ( X ) P ( X ) (читается : «д ля всех X Р от X » ). В соответствии со смыслом слова «все» ( X )Р ( X ) – ложное высказывание , кроме того единствен ного случая , когда Р ( X ) тождественно-истинный п редикат. Наряду с квантором всеобщности в логике предикатов рас сматривается другой квантор – «двойственный» ему квантор су ществования , обозначаемый знаком ( это перевернутая латинская буква E , напоминающая немецкое слово « existieren » или английское « exist » — существовать ): (Х )Р (Х ) (читается : «суще ствует такое X , что Р от X » ) – высказывание , которое истинно тогда и только тогда , когда Р истинно по меньшей мере для одного объекта а из области определения М . Тем самым ( X )Р ( X ) – истинное высказывание для всех предикатов Р ( X ), кроме одного – тождественно-ложного. Между кванторами и имеют место отношения равносиль ности , позволяющие сводить любой из этих кванторов к другому : ( X ) P ( X ) ( X ) P ( X ) («Неверно , что все X обладают свойством Р ( X )» равносильно тому , что «Существует такой объект X , для которого истинно не Р ( X )» ). Отсюда имеем : ( X ) ( X ) P ( X ). Аналогично , имеет место двойственный закон : ( X ) P ( X ) ( X ) P ( X ). («Неверно , что существует X , обладающее свойством Р ( X )» равно сильно «Все X обладают свойством не Р ( X )» ). Отсюда ( X )Р ( X ) ( X ) P ( X ). Эти равносильности называют правилами де Моргана для кван торов. С помощью квантора существования легко выражается сужде ние типа «Некоторые Р суть Q » (например , «Некоторые англичане курят» , «Некоторые нечетные числа – простые» и т . п .), т . е . что по крайней мере один объект а , обладающий свойством Р , обладает также свойством Q . Этот факт записывается формулой ( X )(Р ( X ) Q ( X )) («Существует такой X , что Р от X и Q от X » ). Аналогично с помощью кванторов записывается ряд других от ношений между одноместными предикатами. Гораздо более богатые возможности открывает применение кванторов к многом естным предикатам . Остановимся вкратце на этом вопросе. Пусть А ( X , Y ) – некоторый двухместный предикат , определен ный на некотором множестве М . Квантор всеобщности и квантор существования можно применять к нему как для переменной X , так и для переменной Y : ( X )А ( X , У ); ( Y )А ( X , Y ); ( X )А (Х, Y ); ( Y ) A ( X , Y ). Переменная , к которой применен квантор , называется связанной , другая переменная – свободной . Все четыре приведенных выражения являются записями одноместных предикатов от соответствующей свободной переменной . ( X )А ( X , Y ) (чит ается : «для всех X , A от X и Y » ) – одноместный предикат от переменной Y : ( X )А ( X , Y )= F (У ), Он истинен в точности для тех b М , дл я которых одноместный предикат А ( X , b ) исти нен для всех X . Если представить предикат А ( X , Y ) его таблицей , то предикат F ( Y ) = ( X ) ( X , Y ) истинен для тех b , для кото рых столбец с входом b содержит исключительно букву и. Применение квантора к одной из переменных двухместного пре диката превращает его в одноместный . В случае трехместных пре дикатов применение квантора приводит к двухместному предикату . Аналог ично и для предикатов с большим числом мест применение квантора превращает n -местный предикат в ( n – 1)-местный . К свободной переменной X одноместного предиката (У )А ( X , Y ) в свою очередь можно применять квантор всеобщности или кван тор существования . Получаются выражения ( X )( (У )А ( X ,У )); ( X )( ( Y )А ( X ,У )), которые , опуская скобки , принято записывать несколько проще : ( X ) (У )А ( X ,У ); ( X ) ( Y )А ( X ,У ), Это – высказывания . Первое истинно , если все строки , а тем са мым и вся таблица предикатов , содержат только букву и , второе истинно , если соответствующая матрица содержит по меньшей мере одну тождественно-истинную строку . Три другие предиката ( X )А ( X ,У ), (У )А ( X , У ) и ( X )А ( X ,У ) также допускают квантифик ацию , так что в общей сложности мы получаем из одного предиката восемь формально различных высказываний : ( X ) (У )А ( X , У ); ( X ) (У )А ( X ,У ); ( X ) (У )А ( X , У ); ( X ) (У )А ( X , У ); (У ) ( X ) А ( X , У ); (У ) ( X )А ( X , У ); (У ) ( X )А ( X , У ); ( Y ) ( X ) А ( X , У ). Нетрудно убедиться в том , что четыре высказывания , содержащие одинаковые кванторы , попарно эквивалентны : ( X ) (У )А ( X ,У ) (У ) ( X )А ( X , У ); ( X ) (У )А ( X , У ) ( Y ) ( X )А ( X , У ). ( X ) (У )А ( X ,У ) так же как и (У ) ( X )А ( X , У ), истинно тогда и только тогда , когда А ( X , У ) – тождественно-истинный пред икат , ( X ) (У )А ( X , У ) и ( Y ) ( X )А ( X ,У ) оба истин ны во всех случаях , кроме одного , когда А ( X ,У ) – тождественно-ложный предикат . Все остальные высказывания существенно раз личны . Особенно следует помнить , что порядок следования разн оименных кванторов очень важен . Я считаю , что к окончанию школы ученики должны овладеть кванторами , но введение их должно быть постепенным и начинаться в простых ситуациях . Учащиеся должны хорошо понимать , что от перестановки кванторов может меняться смыс л утверждения. Например , Пусть I =(а, b ) – некоторый интервал . Тогда «Для всякого х I существует такой у , что у = f (х )» ( ( x ) (у ) (у = f (х ))), означает , что функция f (х ) всюду определена на I . Напротив , «Существует такое у , что для всякого х у = f (х )» ( (у ) (х )(у = f (х ))) означает , что функция f ( x ) принимает для всех х некоторое фиксированное зна чение у , т . е . постоянна. Приведем еще один пример . Корректное о пределение периодичности всюду определенной функции f (х ) выглядит с использованием кванторов так : ( c ) ( x ) ( c 0 f ( x + c ) = f ( x )), между тем если переставить кванторы и сформулировать утвержде ние «Для каждого х существует такое с , что с 0 и что f (х + с ) = f ( x )» : ( c ) ( x ) ( c 0 f ( x + c ) = f ( x )), то это означает лишь , что функция принимает каждо е значение больше чем один раз , т . е . нечто совсем иное. В математическом анализе часто приходится сталкиваться с кванторами. Определение предела последовательности из учебника «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов сформулировано так «Число А являет ся пределом последовательности а n , если для любого >0 существует номер N , такой , что при всех n > N верно неравенство » . В кванторном обозначении это определение записывается так : ( >0) (N N ) (n N )((n>N) Переставлять кванторы нельзя : именно тот факт , что N под кван тором существования следует за выражением ( > 0), указы вает на зависимость N от выбранного . Как выразить утверждение , что последовательность (х n ) схо дится ? Надо указать на то , что предел A существует . С помощью кванторов это утверждение формулируется так : (A) ( > 0) (N N ) (n N )((n > N) ( )). Такая запись имеет еще и то преимущество , что она почти автома тически позволяет формулировать отрицан ие существования преде ла , означающее свойство расходимости . Для этого достаточно нес колько раз применить правило де Моргана для кванторов : (х n ) расходится ( ( A ) ( > 0) ( N N ) ( n N )(( n > N ) ( )) ( A ) ( > 0) ( N N ) ( n N )(( n > N ) ). Задания для учащихся. 1) Установите , какие из следующих высказываний истинны . x ( x + 1 = x ); x ( x 2 + x + 1> 0); x ( x 2 - 5 x + 6>0); x ( x 2 -6 x +8 0 x 2 -4 x +3>0); x ( x 2 - 5 x + 6 0 x 2 + 5 x + 6 < 0) 2) При к аких а R истинны следующие высказывания : х ( x 2 + x + а >0); x ( x 2 + x + а >0); х ( x 2 + ax + 1>0); 3) Пусть P ( x ) = «х – простое число» E ( x ) = «х – четное число» Z ( x ) = «х – целое число» D ( x , y ) = « y делится на х» G ( x , y ) = «х > y » Расшифруйте следующие высказывания и выясните , какие из них истинны : P(x) E(x); x (E(x) D(x,6)); x(P(x) E(x); x(P(x) E(x)); x y(D(x,y) G(y,x )); x y(Z(x) Z(y) D(x,y)); x y(Z(x) Z(y) D(x,y)). 4) Запишите с помощью кванторов определение предела функции : число b называется пределом функции f (х ) при х , стремящемся к а , если для любого положительного числа найдется такое поло жительное число , что при всех х а , удовлетв оряющих нера венству х – а <0, будет выполнено неравенство f (х ) – b < . § 5 Методические рекомендации к теме «Введение нуля и развитие позиционной десятичной системы счисления». В 5 классе уже возможно обсуждение с учащимися этой темы . Можно вспо мнить с ними , что счет у нас ведется десятками : десять единиц образуют один десяток , десять десятков – одну сотню и т.д ., иными словами : десять единиц первого разряда образуют одну единицу второго разряда , десять единиц второго разряда – одну единицу трет ь его разряда и т.д . Такой способ счета , группами в десять , которым мы пользуемся , называется десятичной системой счисления . Число десять называется основанием десятичной системы счисления . Строго определения десятичной системы давать не стоит. Затем , нужно обсудить , почему мы считаем именно десятками , то есть как возникла десятичная система счисления ? Люди на первых ступенях развития общества считали с помощью десяти пальцев рук . Сейчас иногда говорят : «Перечесть по пальцам» . Далее следует поговорить о том , что были племена и народы , которые при счете пользовались лишь пятью пальцами одной руки , считали пятками , поэтому и использовали они пятеричную систему счисления , в которой основой служит число 5. Существуют и другие системы счисления : двоичная , двадца теричная (следы ее сохранились до сих пор во французском языке – они говорят вместо «восьмидесяти» - «четырежды двадцать» ). Двадцатеричная система возникла у народов , считавших не только с помощью пальцев рук , но и пальцев ног . Древние вавилоняне пользова л ись шестидесятеричной системой счисления . Можно обсудить , сколько цифр используется в каждой из перечисленных систем счисления для изображения чисел . Также полезно для учащихся будет ознакомиться с римской нумерацией , обсудить где она применяется . Учащие ся должны научиться записывать арабские числа с помощью римских . Тут же можно предложить им пару занимательных задач , где используют римские цифры с целью привлечения их внимания. Больше никакие алфавитные системы не стоит затрагивать , а только продемонстр ировать табличку с алфавитными нумерациями , а также числовые знаки различных народов (см . дальше ). После этого учащимся можно сообщить вкратце о происхождении знака 0. Нужно отметить , что сейчас нуль это не просто знак для отделения разрядов , а число , ко торое можно складывать , вычитать , умножать и делить , как и другие числа . Единственное ограничение – делить на 0 нельзя. Возможно вынесение этого материала на факультативные занятие , где обсуждению различных систем счисления можно отвести больше времени. С учащимися 7-8 классов возможно более полное рассмотрение этой темы . Начать следует с рассказа о том , что существуют позиционные и непозиционные системы счисления . Дать определения одной и другой системы счисления , попросить учащихся привести примеры . За тем можно обсудить двоичную систему . Учащиеся должны научиться переводить числа из двоичной системы счисления в десятичную , и наоборот . После этого подобные действия проделать с другой системой счисления , например , пятеричной . Можно научить учащихся склад ы вать и умножать числа в различных системах счисления , отличных от десятичной . Далее , я считаю , что нужно рассмотреть десятичную непозиционную систему (например , древних египтян ). Учащиеся должны понять , насколько тяжело изображать большие числа в непозици о нных системах счисления . Только тогда они смогут по достоинству оценить заслугу индийских математиков , которые создали десятичную позиционную систему счисления. Прежде чем начать рассказ о происхождение знака нуля можно предложить учащимся записать число с то три тысячи двести пятьдесят с помощью цифр , но не используя знака нуля . Обсудить как они это сделали , далее предложить сложить это число с числом двадцать тысяч семьсот восемьдесят девять , опять таки записанного с помощью цифр , но без знака нуля . У уча щ ихся возникнут некоторые затруднения . После этого будет целесообразно рассказать им о заслуге индийцев. Если кто-то из учащихся заинтересуется нумерациями различных народов , то можно предложить им для самостоятельного изучения книгу Э . Кольмана «История м атематики в древности». Список литературы : 1. Алексеев Б . Т . Философские проблемы формализации знания . Издательство ленинградского университета . 1981. 2. Бурбаки Н . Очерки по истории математики . М ., издательство иностранной литературы . 1963. 3. Вилейтнер Г . История математики от Декарта до середины XIX столетия . М ., «Наука» . 1966. 4. Выгодский М.Я . Арифметика и алгебра в древнем мире . М ., «Наука» . 1967. 5. Глейзер Г.И . История математики в школе . Пособие для учителей . Под ред . В.Н . Мол одшего . М ., «Просвещение» , 1964. 6. Калужнин Л.А . Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики . Пособие для учителей . М ., «Просвещение» , 1978. 88с. 7. Нешков К.И . И др . Множества . Отношения . Числа . Величины . Пособие для учит елей . М . «Просвещение» , 1978. 63 с. 8. Марков С.Н . Курс истории математики : Учебное пособие . – Иркутск : Издательство иркутского университета , 1995. – 248с. 9. Молодший В.Н . Очерки по истории математики . М. 10. Никифоровский В.А . Из истории алгебры XVI - XVII вв .. М ., «Наука» . 1979. 11. Петров Ю.А . Философские проблемы математики . М ., «Знание» , 1973. 12. Погребысский И.Б . Гольфрид Вильгельм Лейбниц . М ., «Наука» . 1971. 13. Рыбников К.А . История математики . Издательство московского университета . 1974. 14. Таварк иладзе Р.К . О языке школьного курса математики . «Математика в школе». 15. Хрестоматия по истории математики . Арифметика и алгебра . Теория чисел . Геометрия . Пособие для студентов физ.-мат . фак . пед . институтов . Под ред . А.П . Юшкевича . М ., «Просвещение» , 19 76. 16. Энциклопедический словарь юного математика . М ., «Педагогика» . 1989.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Весь мир театр, а люди в нем охреневают от цен на билеты.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, курсовая по математике "Содержание и значение математической символики", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru