Реферат: Системы дифференциальных уравнений - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Системы дифференциальных уравнений

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 60 kb, скачать бесплатно
Обойти Антиплагиат
Повысьте уникальность файла до 80-100% здесь.
Промокод referatbank - cкидка 20%!

Узнайте стоимость написания уникальной работы



Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.


При решении многих задач требуется найти функции y1=y1(x), y2=y2(x),…, yn=yn(x), которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих аргумент x, искомые функции y1, y2,,…, yn и их производные.

Рассмотрим систему уравнений первого порядка:

(1)

где y1, y2,,…, yn – искомые функции, x – аргумент.

Такая система, когда в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных, называется нормальной.

Проинтегрировать систему – значит определить функции y1, y2,,…,yn, удовлетворяющие системе уравнений (1) и данным начальным условиям:

(2)

Интегрирование системы вида (1) производится следующим образом.

Дифференцируем по x первое из уравнений (1):

Заменяя производные их выражениями f1, f2,,…, fn из уравнений (1) будем иметь уравнение

Дифференцируя полученное уравнение и поступая аналогично предыдущему, найдем:

.

Продолжая далее, таким же образом получим, наконец, уравнение

Итак, мы получаем следующую систему:

(3)


Из первых n-1 уравнений определим y2, y3,,…,yn, выразив их через x, y1 и производные :

(4)

Подставляя эти выражения в последнее из уравнений (3), получим уравнение n-го порядка для определения y1:

(5)

Решая это уравнение, определим y1:

(6)

Дифференцируя последнее выражение n-1 раз, найдем производные как функции от x, C1, C2,,…,Cn.

Подставляя эти функции в уравнение (4), определяем y2, y3,,…,yn:

(7)

Для того, чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным условиям (2), остается лишь найти из уравнений (6) и (7) соответствующие значения постоянных C1, C2,,…,Cn (подобно тому, как это делалось в случае одного дифференциального уравнения).

Замечание 1. Если система (1) линейна относительно искомых функций, то и уравнение (5) будет линейным.

Замечание 2. В приведенных рассуждениях мы предполагали, что из первых n-1 уравнений системы (3) можно определить функции y2, y3,,…,yn. Может случиться, что переменные y2,y3,,…,yn исключаются не из n, а из меньшего числа уравнений. Тогда для определения y мы получим уравнение, порядок которого ниже n.

В дифференциальные уравнения системы могут входить производные высших порядков. В этом случае получается система дифференциальных уравнений высших порядков.
















Так, например, задача о движении материальной точки под действием силы F сводится к системе трех дифференциальных уравнений второго порядка. Пусть Fx, Fy, Fz – проекции силы F на оси координат. Положение точки в любой момент времени t определяется ее координатами x, y, z. Следовательно, x, y, z являются функциями от t. Проекция вектора скорости точки на оси координат будут

Предположим, что сила F, а следовательно, и ее проекции Fx, Fy, Fz зависят от времени t, положения x, y, z точки и от скорости движения точки, т.е. от

Искомыми функциями в этой задаче являются три функции:

x=x(t), y=y(t), z=z(t).

Эти функции определяются из уравнений динамики (закон Ньютона):

(8)

Получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка. В случае плоского движения, т.е. движения, когда траекторией является плоская кривая (лежащая, например, в плоскости Oxy), получаем систему двух уравнений для определения функций x(t) и y(t):

(9)

. (10)

Решать систему дифференциальных уравнений высших порядков можно путем сведения ее к системе уравнений первого порядка. На примере уравнений (9) и (10) покажем, как это делается. Введем обозначения:

, .

Тогда

, .

Система двух уравнений второго порядка (9), (10) с двумя искомыми функциями x(t) и y(t) заменяется системой четырех уравнений первого порядка с четырьмя искомыми функциями x, y, u, :

, ,

.




Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.



Пусть мы имеем систему дифференциальных уравнений

(1)

где коэффициенты aij суть постоянные. Здесь t – аргумент, x1(t), x2(t),…xn(t) – искомые функции. Система (1) называется системой линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Эту систему можно решить путем сведения к одному уравнению n-го порядка, которое в данном случае будет линейным. Но можно решать систему (1) и другим методом, не сводя к уравнению n-го порядка. Этот метод дает возможность более наглядно анализировать характер решений.

Будем искать частное решение системы в следующем виде:

(2)

Требуется определить постоянные 1,2,,…,n и k так, чтобы функции 1ekt, 2ekt,…,nekt удовлетворяли системе уравнений (1). Подставляя их в систему (1), получим:

Сократим на ekt . Перенося все члены в одну сторону, собирая коэффициенты при 1,2,,…,n , получим систему уравнений

(3)

Выберем 1,2,…,n и k такими, чтобы удовлетворялась система (3). Эта система есть система линейных алгебраических уравнений относительно 1,2,…,n. Cоставим определитель системы (3):

(4)


Если k таково, что определитель  отличен от нуля, то система (3) имеет только нулевые решения 1=2=…=n=0, а следовательно, формулы (2) дают только тривиальные решения:

.


Таким образом, нетривиальные решения (2) мы получим только при таких k, при которых определитель (4) обращается в нуль. Мы приходим к уравнению n-го порядка для определения k:

(5)

Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы (1), его корни называются корнями характеристического уравнения.

Рассмотрим несколько случаев.

  1. Корни характеристического уравнения действительные и различные.

Обозначим через k1, k2,,…,kn корни характеристического уравнения. Для каждого корня ki напишем систему (3) и определим коэффициенты

Можно показать, что один из них произвольный, его можно считать равным единице. Таким образом, получаем:

для корня k1 решение системы (1):

для корня k2 решение системы (1):

для корня kn решение системы (1):

Путем непосредственной подстановки в уравнения, можно убедиться, что система функций

(6)

где C1, C2,,…,Cn – произвольные постоянные, тоже является решением системы дифференциальных уравнений (1). Это есть общее решение системы (1). Легко показать, что можно найти такие значения постоянных, при которых решение будет удовлетворять заданным начальным условиям.

  1. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть

комплексные. Пусть среди корней характеристического уравнения имеется два комплексных сопряженных корня:

Этим корням будут соответствовать решения

(7)

(8)

Коэффициенты и определяются из системы уравнений (3).



Действительные и мнимые части комплексного решения тоже являются решениями. Таким образом, мы получаем два частных решения: (9)

где - действительные числа, определяемые через и .

Соответствующие комбинации функций (9) войдут в общее решение системы.

Аналогичным методом можно находить решения системы линейных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами.

В механике и теории электрических цепей исследуется, например, решение системы дифференциальных уравнений второго порядка

(10)

Снова ищем решение в форме

, .

Подставляя эти выражения в систему (10) и сокращая на ekt , получаем систему уравнений для определения ,  и k:

(11)

Отличные от нуля  и  определяются только в том случае, когда определитель системы будет равен нулю:

(12)

Это есть характеристическое уравнение для системы (10); оно является уравнением 4-го порядка относительно k. Пусть k1, k2 , k3 и k4 – его корни (предполагаем, что корни различны). Для каждого корня ki из системы (11) находим значения  и  . Общее решение, аналогично (6), будет иметь вид

Если среди корней будут комплексные, то каждой паре комплексных корней в общем решении будут соответствовать выражения вида (9).













1Авиация и космонавтика
2Архитектура и строительство
3Астрономия
 
4Безопасность жизнедеятельности
5Биология
 
6Военная кафедра, гражданская оборона
 
7География, экономическая география
8Геология и геодезия
9Государственное регулирование и налоги
 
10Естествознание
 
11Журналистика
 
12Законодательство и право
13Адвокатура
14Административное право
15Арбитражное процессуальное право
16Банковское право
17Государство и право
18Гражданское право и процесс
19Жилищное право
20Законодательство зарубежных стран
21Земельное право
22Конституционное право
23Конституционное право зарубежных стран
24Международное право
25Муниципальное право
26Налоговое право
27Римское право
28Семейное право
29Таможенное право
30Трудовое право
31Уголовное право и процесс
32Финансовое право
33Хозяйственное право
34Экологическое право
35Юриспруденция
36Иностранные языки
37Информатика, информационные технологии
38Базы данных
39Компьютерные сети
40Программирование
41Искусство и культура
42Краеведение
43Культурология
44Музыка
45История
46Биографии
47Историческая личность
 
48Литература
 
49Маркетинг и реклама
50Математика
51Медицина и здоровье
52Менеджмент
53Антикризисное управление
54Делопроизводство и документооборот
55Логистика
 
56Педагогика
57Политология
58Правоохранительные органы
59Криминалистика и криминология
60Прочее
61Психология
62Юридическая психология
 
63Радиоэлектроника
64Религия
 
65Сельское хозяйство и землепользование
66Социология
67Страхование
 
68Технологии
69Материаловедение
70Машиностроение
71Металлургия
72Транспорт
73Туризм
 
74Физика
75Физкультура и спорт
76Философия
 
77Химия
 
78Экология, охрана природы
79Экономика и финансы
80Анализ хозяйственной деятельности
81Банковское дело и кредитование
82Биржевое дело
83Бухгалтерский учет и аудит
84История экономических учений
85Международные отношения
86Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
87Финансы
88Ценные бумаги и фондовый рынок
89Экономика предприятия
90Экономико-математическое моделирование
91Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Мне лишь оставалось смотреть на их всплывшие тела. Местами было заметно, как внутренности просились наружу. Зрелище было довольно мерзкое, но я понимал - пельмени сварились.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Системы дифференциальных уравнений", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2017
Рейтинг@Mail.ru