Реферат: Системы дифференциальных уравнений - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Системы дифференциальных уравнений

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 60 kb, скачать бесплатно
Обойти Антиплагиат
Повысьте уникальность файла до 80-100% здесь.
Промокод referatbank - cкидка 20%!

Узнайте стоимость написания уникальной работы



Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.


При решении многих задач требуется найти функции y1=y1(x), y2=y2(x),…, yn=yn(x), которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих аргумент x, искомые функции y1, y2,,…, yn и их производные.

Рассмотрим систему уравнений первого порядка:

(1)

где y1, y2,,…, yn – искомые функции, x – аргумент.

Такая система, когда в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных, называется нормальной.

Проинтегрировать систему – значит определить функции y1, y2,,…,yn, удовлетворяющие системе уравнений (1) и данным начальным условиям:

(2)

Интегрирование системы вида (1) производится следующим образом.

Дифференцируем по x первое из уравнений (1):

Заменяя производные их выражениями f1, f2,,…, fn из уравнений (1) будем иметь уравнение

Дифференцируя полученное уравнение и поступая аналогично предыдущему, найдем:

.

Продолжая далее, таким же образом получим, наконец, уравнение

Итак, мы получаем следующую систему:

(3)


Из первых n-1 уравнений определим y2, y3,,…,yn, выразив их через x, y1 и производные :

(4)

Подставляя эти выражения в последнее из уравнений (3), получим уравнение n-го порядка для определения y1:

(5)

Решая это уравнение, определим y1:

(6)

Дифференцируя последнее выражение n-1 раз, найдем производные как функции от x, C1, C2,,…,Cn.

Подставляя эти функции в уравнение (4), определяем y2, y3,,…,yn:

(7)

Для того, чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным условиям (2), остается лишь найти из уравнений (6) и (7) соответствующие значения постоянных C1, C2,,…,Cn (подобно тому, как это делалось в случае одного дифференциального уравнения).

Замечание 1. Если система (1) линейна относительно искомых функций, то и уравнение (5) будет линейным.

Замечание 2. В приведенных рассуждениях мы предполагали, что из первых n-1 уравнений системы (3) можно определить функции y2, y3,,…,yn. Может случиться, что переменные y2,y3,,…,yn исключаются не из n, а из меньшего числа уравнений. Тогда для определения y мы получим уравнение, порядок которого ниже n.

В дифференциальные уравнения системы могут входить производные высших порядков. В этом случае получается система дифференциальных уравнений высших порядков.
















Так, например, задача о движении материальной точки под действием силы F сводится к системе трех дифференциальных уравнений второго порядка. Пусть Fx, Fy, Fz – проекции силы F на оси координат. Положение точки в любой момент времени t определяется ее координатами x, y, z. Следовательно, x, y, z являются функциями от t. Проекция вектора скорости точки на оси координат будут

Предположим, что сила F, а следовательно, и ее проекции Fx, Fy, Fz зависят от времени t, положения x, y, z точки и от скорости движения точки, т.е. от

Искомыми функциями в этой задаче являются три функции:

x=x(t), y=y(t), z=z(t).

Эти функции определяются из уравнений динамики (закон Ньютона):

(8)

Получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка. В случае плоского движения, т.е. движения, когда траекторией является плоская кривая (лежащая, например, в плоскости Oxy), получаем систему двух уравнений для определения функций x(t) и y(t):

(9)

. (10)

Решать систему дифференциальных уравнений высших порядков можно путем сведения ее к системе уравнений первого порядка. На примере уравнений (9) и (10) покажем, как это делается. Введем обозначения:

, .

Тогда

, .

Система двух уравнений второго порядка (9), (10) с двумя искомыми функциями x(t) и y(t) заменяется системой четырех уравнений первого порядка с четырьмя искомыми функциями x, y, u, :

, ,

.




Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.



Пусть мы имеем систему дифференциальных уравнений

(1)

где коэффициенты aij суть постоянные. Здесь t – аргумент, x1(t), x2(t),…xn(t) – искомые функции. Система (1) называется системой линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Эту систему можно решить путем сведения к одному уравнению n-го порядка, которое в данном случае будет линейным. Но можно решать систему (1) и другим методом, не сводя к уравнению n-го порядка. Этот метод дает возможность более наглядно анализировать характер решений.

Будем искать частное решение системы в следующем виде:

(2)

Требуется определить постоянные 1,2,,…,n и k так, чтобы функции 1ekt, 2ekt,…,nekt удовлетворяли системе уравнений (1). Подставляя их в систему (1), получим:

Сократим на ekt . Перенося все члены в одну сторону, собирая коэффициенты при 1,2,,…,n , получим систему уравнений

(3)

Выберем 1,2,…,n и k такими, чтобы удовлетворялась система (3). Эта система есть система линейных алгебраических уравнений относительно 1,2,…,n. Cоставим определитель системы (3):

(4)


Если k таково, что определитель  отличен от нуля, то система (3) имеет только нулевые решения 1=2=…=n=0, а следовательно, формулы (2) дают только тривиальные решения:

.


Таким образом, нетривиальные решения (2) мы получим только при таких k, при которых определитель (4) обращается в нуль. Мы приходим к уравнению n-го порядка для определения k:

(5)

Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы (1), его корни называются корнями характеристического уравнения.

Рассмотрим несколько случаев.

  1. Корни характеристического уравнения действительные и различные.

Обозначим через k1, k2,,…,kn корни характеристического уравнения. Для каждого корня ki напишем систему (3) и определим коэффициенты

Можно показать, что один из них произвольный, его можно считать равным единице. Таким образом, получаем:

для корня k1 решение системы (1):

для корня k2 решение системы (1):

для корня kn решение системы (1):

Путем непосредственной подстановки в уравнения, можно убедиться, что система функций

(6)

где C1, C2,,…,Cn – произвольные постоянные, тоже является решением системы дифференциальных уравнений (1). Это есть общее решение системы (1). Легко показать, что можно найти такие значения постоянных, при которых решение будет удовлетворять заданным начальным условиям.

  1. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть

комплексные. Пусть среди корней характеристического уравнения имеется два комплексных сопряженных корня:

Этим корням будут соответствовать решения

(7)

(8)

Коэффициенты и определяются из системы уравнений (3).



Действительные и мнимые части комплексного решения тоже являются решениями. Таким образом, мы получаем два частных решения: (9)

где - действительные числа, определяемые через и .

Соответствующие комбинации функций (9) войдут в общее решение системы.

Аналогичным методом можно находить решения системы линейных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами.

В механике и теории электрических цепей исследуется, например, решение системы дифференциальных уравнений второго порядка

(10)

Снова ищем решение в форме

, .

Подставляя эти выражения в систему (10) и сокращая на ekt , получаем систему уравнений для определения ,  и k:

(11)

Отличные от нуля  и  определяются только в том случае, когда определитель системы будет равен нулю:

(12)

Это есть характеристическое уравнение для системы (10); оно является уравнением 4-го порядка относительно k. Пусть k1, k2 , k3 и k4 – его корни (предполагаем, что корни различны). Для каждого корня ki из системы (11) находим значения  и  . Общее решение, аналогично (6), будет иметь вид

Если среди корней будут комплексные, то каждой паре комплексных корней в общем решении будут соответствовать выражения вида (9).













1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Россия — страна, в которой надо оправдываться, если не пьешь.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Системы дифференциальных уравнений", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2017
Рейтинг@Mail.ru