Курсовая: Свойства конических сечений - текст курсовой. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Курсовая

Свойства конических сечений

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Курсовая работа
Язык курсовой: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 197 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникальной курсовой работы

Узнайте стоимость написания уникальной работы

20 Введение Основной задачей данной курсовой работы является изучение , нахождение и доказате льство свойств конических сечений . Но не одно из свойств , по моему мнению , не является существенным , если оно не находит применения либо в доказательстве более важных теорем , либо не имеет практического значения в других дисциплинах . Поэтому второй , но н е менее важной для меня задачей , было нахождение применения вышеуказанных свойств . Этим я хотела показать актуальность темы данной курсовой работы , т.е . то , что свойства конических сечений имеют большое значение не только в математике , но и для развития др у гих дисциплин. Курсовая работа состоит из введения , шести параграфов и заключения. В первом параграфе приводится краткая история происхождения названий эллипса , гиперболы и параболы. Во втором параграфе даётся общее понятие конического сечения и доказательство того утверждения , что эллипс , гипербола и парабола являются коническими сечениями с помощью сфер Данделена. В третьем , четвёртом и пятом параграфах приводятся определения эллипса , гиперболы и параболы соответственно , а также даются ос новные понятия , связанные с ними . Далее доказываются свойства данных конических сечений . В шестом параграфе показывается практическое значение вышеуказанных свойств , а также их применение. § 1. Происхождение названий эллипса , гиперболы и парабо лы Назовём главной хордой эллипса , гиперболы и параболы ту хорду , которая проходит через фокус перпендикулярно к фокальной оси . У эллипса и гиперболы , в отличие от параболы , по дв е главные хорды . Длину половины главной хорды будем обозначать буквой р и называть фокальным параметром конического сечения. Для любой точки М конического сечения построим прямоугольник АВС D (высота которого равна главной хорде ) и квадрат NMEH (рис . 1,2,3). Ниже , мы увидим , что для эллипса квадрат имеет меньшую площадь , чем прямоугольник , т.е . этот квадрат имеет недостаток ( elleipsis ). Для гиперболы же квадрат имеет большую площадь , чем прямоугольник , т.е . имеет избыток ( hyperbole ). Для параболы эти прямоугольник и квадрат имеют одинаковую площадь , а построение прямоугольника с заданной стороной , равновеликого данному квадрат у , древние греки называли "прикладыванием данного отрезка к квадрату ". Слово "прикладывание " по-гречески – parabole – отсюда и происхождение названия кривой . Эти факты , известные ещё Аполлонию , послужили основой для названий данных кривых. § 2. Эллипс , гипербола и парабола как конические сечения . Древнегреческий математик Менехм , открывший эллипс , гиперболу и параболу , определял их как сечения кругового конуса плоскостью , перпендикулярной к одной из образующих . Он назвал полученные кривые сечениями остроугольного , прямоугольного и тупоугольного конусов , в зависимости от осевого угла конуса . Перво е , как мы увидим ниже , представляет собой эллипс , второе – параболу , третье – одну ветвь гиперболы . Названия "эллипс ", "гипербола " и "парабола " были введены Аполлонием . До нас дошло почти полностью (7 из 8 книг ) сочинение Аполлония "О конических сечениях ". В этом сочинении Аполлоний рассматривает обе полы конуса и пересекает конус плоскостями , не обязательно перпендикулярными к одной из образующей. Теорема. Сечением любого прямого круглого конуса плоскостью (не проходящей через его вершину ) определяется кривая , которая может быть лишь гиперболой (рис . 4), параболой (рис . 5) или эллипсом (рис . 6). При этом , если плоскость пересекает только одну плоскость конуса и по замкнутой кривой , то эта кривая есть эллипс ; если плоскость пересекает только одну плоск о сть по незамкнутой кривой, то эта кривая – парабола ; если секущая плоскость пересекает обе плоскости конуса , то в сечении образуется гипербола. Изящное доказательство этой теоремы было предложено в 1822 году бельгийским инженером Данделеном , использов авшим сферы , которые принято теперь называть сферами Данделена . Рассмотрим это доказательство применительно к эллипсу (случай с гиперболой и параболой доказывается аналоги чно ). Впишем в конус две сферы , касающиеся плоскости сечения П с разных сторон (рис . 7). Обозначим через F1 и F2 точки касания этой плоскости со сферами . Возьмём на линии сечения конуса плоскостью П произвольную точку М . Отметим на образующей конуса , п роходящей через М , точки Р 1 и Р 2, лежащие на окружности к 1 и к 2, по которым сферы касаются конуса . Ясно , что М F1=МР 1 как отрезки двух касательных к первой сфере , выходящих из М ; аналогично , М F2=МР 2. Следовательно , М F1+М F2=МР 1+МР 2=Р 1Р 2. Длина отрезка Р 1Р 2 – одна и та же для всех точек М нашего сечения : это – образующая усечённого конуса , ограниченного параллельными плоскостями 1 и 11, в которых лежат окружности к 1 и к 2. Следовательно , линия сечения конуса плоскостью П – эллипс с фокусами F1 и F2. С праведливость этой теоремы также можно установить исходя из того общего положения , что пересечение поверхности второго порядка плоскостью , есть линия второго порядка § 3. Эллипс , его определение , основные понятия и свойства Эллипсом называют геометри ческое место точек , для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости , называемых фокусами , есть постоянная величина ; требуется , чтобы эта постоянная была больше расстояния между фокусами (см . рис . 8.). Если М – произвольная точка эллипса с фокусами F 1 и F 2, то отрезки F 1 M и F 2 M (также как и длины этих отрезков ) называют фокальными радиусами точки М . Постоянную сумму фокальных радиусов принято обозначать через 2а . Таким образом , для любой точки М эллипса имеем : F1М +F2М =2а Расстояние F1F2 между фокусами обозначают через 2с . Так как F1М +F2М >F1F2, то 2а >2с , т.е . а > c . Каноническое уравнение эллипса имеет вид : (1) , где , а и b – бо льшая и малая полуоси эллипса (а >0, b >0), х и у – текущие координаты точек эллипса. Каноническое уравнение эллипса есть уравнение второй степени ; таким образом , эллипс есть линия второго порядка. Эллипс , определяемый уравнением (1), симметричен как относительно оси Ох , так и относительно оси Оу . В самом деле , если М (х , у ) – какая-нибудь точка этого эллипса , т.е . числа х , у удовлетворяют уравнению (1), то числа х , -у также удовлетворяют уравнению (1), следовательно , точка М 1(х , -у ) также лежит на эт о м эллипсе . Но точка М 1(х , -у ) симметрична точке М (х , у ) относительно оси Ох . А это означает , что эллипс симметричен относительно данной оси . Симметричность рассматриваемого эллипса относительно оси Оу доказывается совершенно аналогично (на основании тог о , что числа х , у удовлетворяют уравнению (1), то ему удовлетворяют и числа -х , у ). Также выводится то , что эллипс симметричен относительно начала координат ( на основании того , что если числа х , у удовлетворяют уравнению (1), то ему удовлетворяют числа – х , -у ; и что если числа – х , у удовлетворяют уравнению (1), то ему удовлетворяют и числа х , -у ). Оси симметрии эллипса обычно называют его осями , а точку пересечения осей центром эллипса . Точки , в которых эллипс пересекает свои оси , называют его верши нами (на рис . 8 точки А 1(а ,0), А 2(-а ,0), В 1(0, b ), В 2(0,- b ) – вершины эллипса ). В частном случае , когда b =а , уравнение (1) примет вид : х 2 +у 2 =а 2 ; такое уравнение определяет окружность радиуса а (с центром в начале координат ). В соответствии с этим окружн ость рассматривается как частный случай эллипса . Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси , обозначив эксцентриситет буквой Е , получим : Так как с <а , то Е <1, т.е . эксцентриситет любого эллипса меньше единицы. Заметим , что ; поэтому , отсюда и . Следовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эллипса , а отношение осей в свою очередь , определяется эксцентриситетом . Таким образом , эксцентриситет характеризует форму эллипса . Чем ближе эксцентриситет к 1, тем меньше 1-Е 2 , тем меньше , следовательно , отнош ение ; значит , чем больше эксцентриситет , тем более эллипс вытянут . В случае окружности b =а и Е =0. Предположим , что рассматриваемый эллипс не является окружностью , т.е., что и , следовательно , . Предположим ещё , что этот эллипс вытянут в направлении ос и Ох , т . е ., что а > b . Две прямые , перпендикулярные большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него называются директриса ми. Уравнения директрис : и . (на рис . 8 это d 1 и d 2). Свойство 1. (Оптическое свойство эллипса ). Всякая касательная к эллипсу образует равные углы с фокальными радиусами , проведёнными в точку касания . Это утвержде ние означает , что на рис . 9 угол F 1 BT 1 равен углу F 2 BT 2 (или , все лучи , выходящие из фокуса F1, отражаясь от эллипса , соберутся в другом его фокусе F2). Для доказательства построим зеркальное изображение точки F2 относительно касательной и обозначим его F2'. Прямая F1F2', которая пересекается с касательной в некоторой точке В 1, есть кратчайшее расстояние от F1 и F2'. Следовательно , F1В 1F2 есть кратчайший путь от F1 к F2, имеющий общую точку с касательной , ибо для всякой иной точки В 2 касательной F 1 B 2F2=F1В 2F2' будет больше , чем F1 B 1F2=F1В 1F2'. С другой стороны кратчайший путь между F1 и F2, имеющий общую точку с касательной , образуют фокальные радиусы , проведённые в точку кас ания В , ибо всякая другая точка касательной , как расположенная вне эллипса , имеет большую сумму расстояний от фокусов , чем точка В эллипса ; значит , точки В и В 1 совпадают, а отсюда вытекает искомое утверждение , т.к . треугольник F2ВТ 0 равен треугольнику F2'ВТ 0 по двум катетам (т.к . F2 и F2' расположены симметрично относительно прямой Т 1Т 2, значит ВТ 0F2=90 о и ВТ 0F2'=90 о , Т 0F2= Т 0F2', ВТ 0 – общая сторона ), а угол F 1 BT 1 есть вертикальный угол для угла F2'В F2, в итоге получаем , что угол F 1 BT 1 равен углу F 2 ' BT 2 и равен углу F 2 BT 2 . Свойство доказано. Свойство 2 . Если r – расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса , d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы , то отношение есть постоянная величина и равна эксцентриситету Е . (рис . 10). Доказательство . Предположим для определённости , что речь идёт о правом фокусе и правой директрисе . Пусть точка М (х,у ) – произвольная точка эллипса . Расстояние от точки М до правой директрисы выражается равенством : (2) , которое легко рассматривается из чертежа . Расстояние от точки М до правого фокуса задаётся как r = Ex - a (3). Из соотно шений (2) и (3) имеем : Свойство доказано. Свойство 3. Если d – прямая , содержащая большую полуось эллипса , то при равномерном сжатии к прямой d , данный эллипс преобразуется в новый , с эксцентриситетом Е ', причём Е '>Е и Е '= , где к – коэффициент сжатия (т.е . 0<к <1). Доказательство. Рассмотрим два эллипса (рис . 11) и найдём зависимость их эксцентриситетов от степени сжатия . , с 2 =а 2 – в 2 , откуда и (4). А так как сжатие происходит к прямой d , то b '=к b и а '=а , следственно с 2' =а 2 – ( k * b ) 2 и ' (5) . Но 0<к <1, поэтому , а , откуда и следственно получаем , что Е '>Е. Теперь найдём зависимость Е ' от Е . Из уравнения (4) найдём и , подставив данное значение в уравнение (5), вычислим значение Е ': ' . Свойство доказано. § 4. Гипербола , её определение , основные понятия и свойства Гиперболой называется множество точек плоскости , абсолютное значение разности расстояний каждой из которых до данных точек F1 и F2 равно 2а , причём 2а а , то Е >1, т.е . эксцентриситет кажд ой гиперболы больше единицы , заметив , что с 2 = а 2 + b 2 , находим , отсюда и Следовательно , эксцентриситет определяется отношением осей эллипса , а отношение осей в свою очередь , определяется эксцентриситетом . Таким образом , эксцентриситет гиперболы характеризует форму её основного прямоугольника , а значит и форму самой гиперболы . Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше Е 2 -1, тем меньше , следовательно , отношение ; значит , чем меньше эксцентриситет гиперболы , тем более вытянут её основной прямоугольник (в направлении оси , соединяющей вершины ). В случае равносторонней гиперболы b =а и Е = . и - директрисы гиперболы. Фокальные радиусы точки М гиперболы r 1 и r 2 выражаются через абсциссу точки М (х,у ) гиперболы : 1) при x >0: r 1= Ex – a r 2= Ex + a правая ветвь. 2) при x <0: r 1= - Ex + a r 2= - Ex - a левая ветвь. Займёмся исследованием гиперболы , определённой уравнением : (6) Так как уравнение (6) содержит члены только с чётными степенями каждой из текущих координат х , у , то определяемая ими гипербола симметрична относительно каждой из коо рдинатных осей . Оси симметрии гиперболы называют обычно просто её осями , точку пересечения осей – центром гиперболы . Прямоугольник со сторонами 2а и 2 b , расположенный симметрично осей гиперболы и касающийся её в вершинах , мы будем называть основным прямоуг ольником гиперболы . Диагонали основного прямоугольника совпадают с её асимптотами. Рассмотрим другое уравнение гиперболы : ( 7) При помощи перестановки букв х и у , а и в оно сводится к уравнению (6). Отсюда ясно , что уравнение (7) определяет гиперболу , расположенную так , как показано на рис . 13 (её вершины В 1 и В 2 лежат на оси Оу ). Уравнение (7) также называют каноническим уравнением гиперболы . А две гиперболы , которые определяются уравнениями (6) и (7) в одной и той же сист е ме координат и при одних и тех же значениях а и в называют сопряжёнными друг с другом. Гипербола с равными полуосями (а = b ) называется равносторонней . Её каноническое уравнение имеет вид : х 2 – у 2 =а 2 . Очевидно , что основной прямоугольник равносторонн ей гиперболы есть квадрат ; отсюда ясно , что асимптоты равносторонней гиперболы перпендикулярны друг другу. Свойство 1. (Оптическое свойство гиперболы ). Всякая касательная к гиперболе составляет равные углы с фокальными радиусами в точке касания (или, лучи , выходящие из одного фокуса , отражаясь от гиперболы , будут расходиться таким образом , что кажутся выходящими из второго фокуса ).(рис . 14) Доказательство . Возьмём на гиперболе две очень близкие точки М и М 1, и пусть Р – точка пересечения прямых F1 М и F2М 1, Q – точка пересечения прямых F1М 1 и F2М . Рассмотрим четырёхугольник М 1РМ Q (рис . 15). Мы можем считать (приблизительно ), что |РМ 1| || |М Q | и |РМ | || |М 1 Q |, так как точки F1 и F2 находятся очень далеко – сравнительно с размерами четырёхугол ьника М 1РМ Q . Итак , будем считать (приближённо ), что М 1РМ Q параллелограмм . Проведём теперь окружности с центрами F1 и F2, проходящие через точку М 1. Вблизи рассматриваемого параллелограмма ду ги этих окружностей будут представляться прямыми М 1К и М 1 L , перпендикулярными сторонами параллелограмма . Мы имеем : |F1М |-|F2М |=(|F1К |+|КМ |)-(|F2 L |+| LM |)=(|F1 M 1|+| KM |)-(|F2 M 1|+| LM |)=(|F1 M 1|-|F2 M 1|)+(| KM |-| LM |). Но так как обе точки М и М 1 лежат на гиперболе , то |F1 M |-|F2 M |=|F1 M 1|-|F2 M 1|, и поэтому | KM |=| LM |. Полученное равенство означает , что прямоугольные треугольники КММ 1 и LMM 1 равны (по гипотенузе и катету ), и , следовательно , угол 1 равен углу 2. Свойство доказано. Свойство 2. Директриса гиперболы проходит через основание перпендикуляра , опущенного из соответствующего фокуса на асимптоту гиперболы (рис . 16). Дока зательство . Рассмотрим одну ветвь гиперболы (если свойство справедливо для одной ветви , то оно справедливо и для другой , по свойству симметричности гиперболы относительно оси Оу ). F1 – соответствующий ей фокус , d – директриса . И докажем , что директриса п роходит через точку S . Найдём уравнение отре зка F1 S как уравнение прямой , заданной точкой F1(с ,0) и вектором нормали (как вектор нормали возьмём соответствующую асимптоту , т.к . по условию свойства F1 S перпендикуляр к асимптоте ). А т.к . асимптота имеет уравнение , то в формуле А (х- х 0)+В (у-у 0)=0, А =а , и В = b . Получим уравнение отрезка F1 S : а (х-с )+ b (у -0)=0 или . Далее найдём точку пересечения отрезка F1 S и асимптоты , для этого приравняем уравнение данного отрезка к уравнению асимптоты : , но как знаменатель , тогда получим , но для гиперболы Получаем , что точка пересечения F1 S и асимптоты имеет абсциссу , но директрисса имеет тоже уравнение , получаем что директриса проходит через точку S , т.е . она проходит через основание перпендикуляра , опущенного из фокуса гиперболы на соответствующую асимптоту . Свойство доказано. Свойство 3. Отрезок асимптоты , заключённый между центром гиперболы и соответствующей директрисой равен действительной полуоси , а расстояние от фокуса гиперболы до её асимптоты равно мнимой полуоси (т.е ., что на рис . 17 F1S= b и О S=а ). Доказательство . Докажем для начала первую гипотезу (т.е ., что F1S=а ). Точка S имеет абсциссу ( по доказанному в свойстве 2), теперь найдём её ордин ату. Т.к . S принадлежит асимптоте , то её ордината удовлетворяет её уравнению : получаем , что точка S имеет координаты ( , ). По формуле расстояния между двумя точками найдём длину отрезка О S: Но а >0 поэтому О S=а. Отрезок F1S можно найти как катет прямоугольного треугольника О SF1 (угол О SF1 равен 90 градусам т.к . SF1 – перпендикуляр к асимптоте , к которой принадлежит отрезок О S), т.е . F1S 2 = О F1 2 - О S 2 =с 2 -а 2 = b 2 , откуда F1S= b . Или же по аналогии с вышедоказанным по формуле нахождения длины отрезка : Но т.к . расчёты ведутся по поиску длины отрезка , а длина отрезка всегда неотрицательна , то F1S= b . Свойство доказано. § 5. Парабола , её определение , основные понятия и свойства Параболой называется геометрическое место точек , для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости , называемой фокусом , равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой , называемой директрисой (предполагается , что эта прямая не проходит через фокус ). Фокус параболы принято обозначать буквой F (рис . 18), расстояние от фокуса до директрисы – буквой р . Величину р называют параметром параболы. Возьмём на плоскости произвольную точку М и обозначим её координаты через х и у . Обозначим далее через r расстояние от точки М до фокуса ( r = FM ), через d – расстояние от точки М до директр исы . Точка М будет находится на (данной ) параболе в том и только в том случае , когда r = d . (8) Заметим , ч то фокус F имеет координаты ( ;0). Ка ноническое уравнение параболы имеет вид : у 2 =2рх . (9) у = и у =- (10) Уравнение (9), определяющее параболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат , есть уравнение второ й степени ; таким образом , парабола есть линия второго порядка. Так как уравнение (9) включает у только в чётной степени , то парабола , которую оно определяет , симметрична относительно оси Ох . Ось симметрии параболы называется просто её осью (в данном с лучае она совмещена с осью Ох ). Точка , в котрой парабола пересекает свою ось называется её вершиной (в данном случае вершина совпадает с началом координат ). Число р , т.е . параметр параболы , выражает расстояние от фокуса до директрисы . Чем больше р , тем больше удаляется парабола от оси своей симметрии . Для построения параболы надо найти 4 вспомогательные точки : 1)х = , у 2 =2р =р 2 , следовательно у =р и у = - р . Получаем две точки М 1 ( ;р ) и М 1'( ; - р ); 2)х =2р , у 2 =4р 2 , следовательно у =2р и у = - 2р.Получаем две точки М 2 (2р ;2р ) и М 2'(2р ; - 2р ); При отрицательных значениях х уравнение (10) даёт мнимые значения у . Следовательно , левее оси Оу ни одной точки параболы нет . При х =0 получаем у =0. Таким образром , начало координат лежит на параболе и является самой "левой " её точкой. Директориальное свойст вопараболы заключается в том , что расстояния от произвольной точки до фокуса и до директрисы равны ( это можно увидеть из уравнения (8)), поэтому их отношение всегда равно 1. А значит и эксцентриситет параболы всегда равен 1, т.е . Е =1. Уравнение у 2 =-2р х (11) (при положительном р ) сводится к уравнению у 2 =2рх путём замены х на – х . Отсюда следует , что уравнение (11) также определяет параболу , ось которой совмещена с осью Ох , а вершина с началом координат (см рис . 19). По аналогии с предыдущим , мы можем утверждать , что каждое из уравнений х 2 =2ру и х 2 =-2ру , где (р >0), определяет параболу с вершиной в начале координат , расположенную симметрично относительно оси Оу (эти уравнения , как и у равнения (9) и (11), называют каноническими ). Параболу , определяемую уравнением х 2 =2ру , мы будем называть восходящей (рис . 20), определяемую уравнением х 2 =-2ру , - нисходящей (рис . 21). Свойс тво 1. (Фокальное свойство параболы ). Расстояние от любой точки параболы до середины главной хорды равно её расстоянию до директрисы. Доказательство . Точка F – точка пересечения прямой QR и главной хорды (см рис . 22). Эта точка лежит на оси симметрии Оу . Действительно , треугольники RNQ и ROF равны , как прямоугольные треугольники с раными катетами ( NQ = OF , OR = RN ). Поэтому какую бы точку N мы не взяли , построенная по ней прямая QR пересечёт главную хорду в её середине F . Теперь ясно , что треугольник FMQ – равнобедренный . Действительно , отрезок MR является одновременно и медианой и высотой этого треугольника . Отсюда следует , что MF = MQ . Свойство 2. (Оптическое свойство параболы ). Всякая касательная к параболе составляет равные углы с фокальным радиусом , проведённым в точку касания , и лучом , прходящим из точки касания и сонаправленным с осью (или , лучи , выходящие из единственного фокуса , отражаясь от параболы , пойдут п араллельно оси (рис .23)). Доказательство. Для точки N , лежащей на самой параболе справедливо равенство |F N |=| NH |, а для точки N ', лежащей во внутренней области параболы , |F N '|<| N ' H '|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК , то для любой отличной от М точки M ' прямой l найдём : |F M '|=| M ' K '|>| M ' K '|, то есть точка M ' лежит во внешней области параболы . Итак , вся прямая l , кроме точки М , лежит во внешней области , то есть внутренняя область параболы лежит по одну сторону от l , а это означает , что l – к асательная к параболе . Это даёт доказательство оптического свойства параболы : угол 1 равен углу 2, так как l – биссектриса угла FМК. § 6. Практическое применение свойств конических сечений Теперь рассмотрим не которые оптичекие и механические интрепретации оптических свойств конических сечений . Предположим , что эллипс представляет собой (зеркальную кривую ), от которой луч света отражается по звакону "угол падения равен углу отражения ". Если в одном фокусе таког о зеркального эллипса помещен точечный источник света , то после отражения от стенок эллипса все лучи пройдут через второй фокус , - это является непосрдественным следствием оптического свойства (рис . 24).Описанное явление можно наблюдать реально , в трехмерн ом пространстве . Для этого нужно взять поверхность , получающуюся вращенеием эллипса вокруг прямой , проходящей через его фокусы . Если такую поверхность , называемую эллипсоидом вращения , покрыть изнутри зеральным слоем , а в одном из фокусов поместить точе ч еный источник света ("солнце "), то наблюдатель , находящийся внутри эллипсоида , увидит два "солнца ". В самом деле , обратив взгляд к первому фокусу , наблюдатель непосредственно увидит размещённое там "солнце ". Но и , посмотрев в направлении второго фокуса ( г де в действительности ничего нет ), он также увидит "солнце ". И как бы не перемещался наблюдатель внутри зеркального эллипсоида , на него почти везде будут светить два "солнца ". Аналогичную картину можно наблюдать внутри зеркального гиперболоида вращения ил и параболоида вращения. Но вот наблюдатель , находящийся внутри зеркального эллипсоида , решил принять меры , которые избавят его от "мнимого солнца ", поместил во втором фокусе небольшое непрозрачное тело ("экран "), преграждающее путь отражённым лучам . Рез ультат оказывается несколько неожиданным : теперь все лучи , исходящие от "солнца " F2, после отражения от зеркального эллипсоида собираются и ("фокусируются ") на "экране " F1, и это может вызвать интенсивный его разогрев . И заметьте,для такой фокусировки не обязательно иметь целый зеркальный эллипсоид , а можно использывать лишь часть его поверхности . А что увидит "несгораемый " наблюдатель , оказавшийся во втором фокусе F1 зеркального эллипсоида , если в первый его фокус F2 поместить источник света ? Все лучи , в ы ходящие из точки F2 и отражающиеся от эллипсоида , попадают в точку F1. Таким образом , для наблюдателя весь эллипсоид будет светиться. Если , например , изготовить зеркальный эллиптический торажатель , в одном фокусе которого находится Солнце , а в другом – котёл с водой , то можно добиться кипения воды в котле за счёт сфокусированного отражателем излучения Солнца. Удивительного в этом ничего нет : ведь отражатель имеет большую площадь , и со всей его поверхности солнечная энергия направляется на обогрев котла . Такие солнечные установки уже сейчас имеют применение . А в будущем , может быть , удасться , построив огромный зеркальный отражатель , использовать энергию тех лучей , которые проходят мимо Земли (рис . 25). Если считать солнечные лучи пр иблизительно паралельными , то для их фокусировки можно использовать оптическое свойство параболы. Применяются параболические рефлекторы (отражатели ) и в современных телескопах . Конечно , в этом случае свет далёкой заезды фокусируют не с целью разогрева, а для того , чтобы звезду можно было увидеть (например , чтобы собранного рефлектором света было достаточно для воздействия на фотоплёнку ). Если в солнечных установках и телескопах свет , идущий от далёкого источника (практически "из бесконечности "), со бирается в фокусе , то в прожекторе – наоборот : свет от мощной лампы , помещённой в фокусе , после отражения от параболического рефлектора уходит паралельным пучком лучей . Если же лампу чуть отдалить от зеркала , то рефлектор действует наподобие эллиптическо г о – получается "почти " сходящийся пучок лучей . Приближение же лампы к зеркалу даёт примерно такую же картину лучей , что в гиперболическом отражателе : лучи расходятся . Такие рефлекторы используются не только в прожекторах и автомобильных фарах , но и в прое к ционных аппаратах , обогревательных приборах , медицинских установках (лампах синего света , кварцевые ламп и др .). Наконец , укажем ещё одно – на этот раз механическое – применение оптического свойства . На рис . 26 изображён эллипс Е 1 и симметричный ему относительно касательной l эллипс Е 2. Из чертежа видно , что точки А , М и С лежат на одной пряиой , причём АС =АМ +МС =АМ +МВ , то есть расстояние между точками А и С равно большой оси эллипса . Закрепим теперь эллипсы в точ ках А и С так , чтобы они могли вращаться вокруг этих точек . Если вращать эллипс Е 1 вокруг точки А , то для каждого его положения существует точка М , в котрой эллипс пересекает отрезок АС ; проведя в точке М касательную , найдём единственное соответствующее п оложение эллипса Е 2. Иными словами , эллипс Е 2 будет также вращаться (вокруг точки С ), увлекаемый эллипсом Е 1. На этом основано устройство эллиптической зубчатой передачи : она преобразует равномерное вращение эллипса Е 1 вокруг точки А в неравномерное враще н ие эллипса Е 2 вокруг точки С. Приложение гиперболы в военном деле . Требуется определить на карте , как нужно направить орудие , чтобы поразить неприрывно звечащую цель, например , стреляющее оружие противника (рис . 27). По обе стороны орудия О располагают симметрично два пункта F1 и F2, в которых фиксируется время дошедшего до них звука выстрела вражеского орудия М . Пусть этот звук слышан в пункте F1 в момент t 1, а в пенкте F2 – в момен т t 2. Если t1= t 2, то , очевидно , F1М =F2М и орудие о следует направлять по перпендикуляру ОК к F1F2. Если же , то есть , где v – скорость звука в воздухе , а 2а – разность расстояний от пунктов F1 и F2. Значит орудие находится на одной ветви гиперболы с фокусным расстоянием F1F2=2с и расстоянием между вершинами 2а = v , именно – на той ветви , которая ближе к пункту , где звук выстрела услышан раньше . Асимптоты этой гиперболы легко построить на карте : угол между асимптотой и прямой F1F2 имеет к осинус : . Так как далёкая точка М близка к асимптоте , мы можем практически принять cos L ( MOF 2)= и направить орудие под углом к F1F2. Нельзя не с казать о законе Кеплера для движения небесных тел – планет , комет и спетников . Если материальная точка М движется в пространстве только под действием притяжения другой материальной точки С (которую будем считать неподвижной ),причём сила притяжения подч и няется закону Нютона F=а / r 2 (где r – расстояние между С и М , а - постоянная ), то траектория движения является коническим сечением с фокусом в точке С (либо же точка М движется по прямой , проходящей через С ). Кеплер пришёл к этому закону эмпирически , изучая наблюдения Тихо Браге ; математически закон был доказан впоследствии Ньютоном . Планеты и естественные их спутники движутся по эллипсам , кометы – по эллипсам , гиперболам и параболам (небольшая дуга сильно вытянутого эллипса , близкая по фокусу , плохо отличи м а от аналогичной дуги гиперболы и параболы (Е близко к 1).Из-за этого возникают трудности при определении орбиты кометы – вернётся она или не вернётся ?). Космическим кораблям можно придать любую из этих траекторий. Литература 1. Атанасян Л.С ., Атанасян В.А.Сборник задач по геометрии (часть 1) / Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов . - М : Просвещение , 1973. 2. Базылев В.Т . и др . Геометрия : учебное пособие. 3. Болтянский В.Г . Оптически е свойства эллипса , гиперболы и параболы . // Квант . – 1975. - № 12. – с . 19 – 23. 4. Бронштейн И.Н . Общие свойства конических сечений . // Квант . – 1975. - № 5. – с . 31 – 40. 5. Бронштейн И.Н . Парабола . // Квант . – 1975. - № 4. – с . 9 – 16. 6. Брон штейн И.Н . Гипербола . // Квант . – 1975. - № 3. – с . 16 – 24. 7. Бронштейн И.Н . Эллипс . // Квант . – 1975. - № 1. – с . 5 – 13. 8. Гильберт Д ., Кон – Фоссен С . Наглядная геометрия / пер . с нем . – Л : Государственное издательство технико-теоретической лит ературы , 1951. – 355. 9. Ефремов Н.В . Краткий курс аналитической геометрии . – М : Наука , 6-ое издание , 1967. – 267 с. 10. Клетник Д.В . Сборник задач по аналитической геометрии. 11. "Методические рекомендации по подготовке к практическим заняти ям по курсу Геометрия ". Часть 2. Аналитическая геометрия , 2 – ое издание , переработанное и дополненное . – Глазов . - 1995. 12. Погорелов А.В . Геометрия : учебное пособие для ВУЗов. 13. Сборник задач по геометрии . Под ред . Атанасяна Л.С. 14. Сборни к задач по геометрии . Под ред . Базылева В.Т.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
В последнюю неделю жители Крыма называют новорожденных девочек Светами.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, курсовая по математике "Свойства конических сечений", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru