Реферат: Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 27 kb, скачать бесплатно
Обойти Антиплагиат
Повысьте уникальность файла до 80-100% здесь.
Промокод referatbank - cкидка 20%!

Узнайте стоимость написания уникальной работы





Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности



1. Введение

Представляется соблазнительным попытаться измерить длину кривой с помощью измерительного циркуля, последовательно уменьшая его раствор, или измерить площадь поверхности с помощью все более и более мелкой триангуляции. Для обычных кривых такая процедура дает хороший результат. В то же время известно, что уже для обычных поверхностей (например, для цилиндра) возникают аномалии; основная аномалия проявляется в так называемом парадоксе площадей Шварца, который заслуживает широкой известности и будет обсуждаться ниже. Для самоподобных кривых эта процедура снова приводит к фрактальной размерности. Попытаемся использовать такую процедуру для самоаффинных фракталов и покажем, что размерности, к которым она приводит, отличаются от массовой и клеточной размерностей.

2. Измерение длины самоаффинных фрактальных кривых, являющихся графиками функций

2.1. Измерение длины с использованием «сосиски» Минковского дает локальную и глобальную размерности, совпадающие с DML и DMG

Следуя Минковскому и Булигану, определим приближенную длину кривой В(), используя «сосиску» Минковского, содержащую все точки на расстоянии, меньшем чем, от данной точки кривой. Для обычной спрямляемой кривой и при << 1 В() = (2)-1 (площадь сосиски). Для самоподобной кривой (см. [2], с. 36) B()~1-D, для самоаффинной кривой площадь сосиски при малых ведет себя как N()-2 ~ H, и поэтому локальная размерность равна 2—Н. Глобальная размерность равна 1. Оба этих значения встречались в части I данной статьи.

2.2. Нахождение длины с помощью измерительного циркуля при фиксации последнего выхода кривой дает локальную и глобальную размерности, совпадающие с DML и DMG

В одном из многих методов нахождения длины спрямляемой кривой используется измерительный циркуль, перемещающийся вдоль кривой. На кривой могут быть узлы, т. е. кратные точки произвольного порядка; достаточно, чтобы точки кривой были упорядочены, например «во времени». Начнем с исходной точки р0. Первая точка Р1 будет первым выходом кривой из круга с центром в ро и радиусом и т. д. Если обозначить через L() длину возникающей ломаной линии, приближенно описывающей нашу кривую, то длина кривой будет lim 0 L().

Можно выбрать в качестве P1 точку последнего, а не первого выхода вдоль кривой. И можно также двигаться назад.

Для самоподобной кривой находим L() ~ 1-D, и снова по желанию можно отмечать либо первый, либо последний выход кривой.

Для наших самоаффинных кривых ситуация оказывается совершенно иная. Кроме локальной размерности при 0 имеется также глобальная размерность, которая, как мы увидим, равна 1. И локальная размерность, полученная при помощи измерительного циркуля, имеет два совершенно различных значения, одно для последних, а другое для первых выходов. Прежде чем двигаться дальше, заметим, что для самоподобных функций рассмотрение становится проще (а результаты не меняются), если круг с центром в точке Pk заменить квадратом.

Если воспользоваться этим обстоятельством, то рассмотрение последних выходов становится простым. Покроем нашу кривую (b''k)2-H квадратами со стороной (b")k<<1; это дает D>2—H. Далее добавим кольцо из 8 таких же квадратов вокруг каждой ячейки и тем самым увеличим сторону втрое. Ясно, что (b"k)2-H шагов циркуля с раствором 3(b")-k достаточно, чтобы пройти вдоль кривой, поэтому размерность, полученная с помощью измерительного циркуля, меньше 2—Н. Следовательно, она равна 2-H.

2.3. Нахождение длины с помощью измерительного циркуля при фиксации первых выходов дает «аномальные размерности». Локальное значение размерности при малых равно 1/Н. Эта величина совпадает с фрактальной размерностью фрактального следа, связанного с функцией. Для больших п размерность равна 1

В этом разделе приведены результаты, полученные в работе [I].

При >> tс (например, когда единица измерения ВH достаточно мала) график по сути дела близок к горизонтальной линии. При передвижении измерительного циркуля вдоль кривой

он в основном остается параллельным оси t, и L() слабо меняется с изменением. Если считать, что L()~1-D, тогда то обстоятельство, что L() является константой, дает для глобальной размерности значение 1 независимо от Н.

Если, наоборот, << tc (например, когда единица измерения ВH велика), то ситуация оказываетя иной: измеритель, передвигающийся вдоль кривой, в основном остается параллельным оси В. В результате получаем размерность, равную 1/Н.

Это чрезвычайно странное значение может превышать 2 и является аномальным вдвойне: оно противоречит значению 2-Н, которое получалось при других локальных определениях фрактальной размерности. С другой стороны, те, кто знакомы с фрактальным броуновским движением, могут отождествить 1/Н с фрактальной размерностью следа (в некотором E-мерном евклидовом пространстве RE при Е > 1/Н) движения, для которого координаты Е представляют собой независимые реализации Вн(t).

В этом случае попытка использовать необычный путь для измерения фрактальной размерности для одного множества в действительности заканчивается измерением значения, которое все пути дают для некоторого другого множества.

2.4. Размерности, связанные с покрытием аффинными прямоугольниками

В утом разделе мы хотим связать измерение длины с вопросами, обсуждавшимися в разд. 8, части I статьи. В обоих предельных случаях >> 1 или << 1 число шагов измерителя L()/для всех практических случаев равно числу прямоугольных ячеек высотой =(b"}k и шириной (b')-k, используемых для покрытия фрактала. При обычном определении размерности фрактала выбираются квадратные ячейки, и число ячеек находится как функция их диаметра. Аналогичную формулировку можно применить и для величины Z.()/, если в качестве диаметра прямоугольной ячейки выбрать ее большую сторону. В локальном случае наибольшей стороной является вертикальная, и мы приходим, как и в разд. 2.3, к размерности 1/Н. В глобальном случае наибольшей стороной является горизонтальная, так что размерность равна 1.

3. Измерение длины других самоаффинных кривых, в частности следов движения Пеано

К этому интересному случаю могут быть применены аргументы, аналогичные использованным в разд. 2.3.

 

Локальное значение. Использование измерительного циркуля раствором (b")-k << 1 потребует Nk шагов, и поэтому показатель для приближенного значения длины равен logb"(b"N-1)=1 -logb"N, так что размерность равна logb" N. В частности, в случае Пеано N = b'b" и размерность равна 1 + 1/H.

Глобальная размерность. Она равна logb'N и в случае Пеано принимает значение 1+ Н.

4. Парадокс площадей Шварца

Триангуляция обычных поверхностей оказывается делом гораздо более сложным, чем можно было бы ожидать. В частности, в конце XIX в. Герман Амандус Шварц показал, что для случая цилиндра единичного радиуса и единичной высоты безобидный на первый взгляд метод триангуляции может дать для площади боковой поверхности любую величину: от истинного значения 2 до бесконечности!

Поступим следующим образом: разделим цилиндр по высоте на п слоев плоскостями z=р/п (р—целое число больше нуля) и выделим на окружностях с четным номером уровня точки = (2q+1) /m (q—целое), а на окружностях с нечетным номером уровня — точки = 2q/m. Соединим каждую точку (z,) с точками (z 1/n, /m). Таким образом, боковая поверхность единичного цилиндра приближенно представлена 2mn равными треугольниками. Теперь, чтобы получить истинную площадь, кажется естественным сложить площади этих треугольников и затем произвольным образом независимо устремить n, m .

Прямое вычисление показывает, что для больших m эта площадь приближенно равна 2sqrt( [1 + (4/4)n2/m4] ). Если т , но n/m2 0, то это приближенное выражение действительно сходится к величине 2. Однако, если т и п = m2 (= const > 0), мы получим произвольное конечное значение, превышающее 2! И мы можем сказать, кроме того, что, выбирая п ~ m, > 2, можно добиться, чтобы приближенное значение площади возрастало как произвольная степень либо 1/т, либо 1/п, либо площади треугольника, пропорциональной 1/тп. Цилиндр оказывается похожим на фрактал! Его площадь неограниченно возрастает при таком способе измерения.

Причиной такого поведения является следующее обстоятельство: при переходе к пределу т/п мы используем треугольники, которые а) становятся все более и более узкими, т. е. имеют хотя бы один угол, стремящийся к нулю, и б) лежат в плоскостях, стремящихся стать перпендикулярно боковой поверхности цилиндра. При этом возникающая поверхность становится все более и более «волнистой» и все больше удаляется от истинной поверхности.

Реакция прагматика была бы следующей — избегать узких треугольников. Ответ математика: «парадокс площадей Шварца» относился к числу проблем, способствовавших .развитию современной математики. В частности, этот парадокс стимулировал Минковского дать корректные определения длины и площади через объемы все более тонких «сосисок» Минковского для кривых и все более тонких «шарфов» Минковского для поверхностей. Эти множества состоят из всех точек внутри -окрестности некоторой точки кривой или поверхности. Так, Минковский определяет площадь обычной поверхности как


lim (1/2) x (объем -шарфа).



 0


 

В отличие от треугольников все интервалы подобны друг другу, и поэтому для обычной кривой в плоскости аналога парадокса Шварца не существует. Его не существует также и для самоподобных фрактальных кривых; действительно, в [2] отмечено, что измерения длины с переменной точностью е могут быть проведены многими различными путями, но во всех случаях длина меняется по одному и тому же закону: пропорционально е1-0. Но для самоаффинных кривых, как показано в разд. 2.1—2.3, ситуация более сложная. Здесь длина растет как 1-D, но D = DBL при подходе Минковского и D = DCL > DBL при использовании измерительного циркуля. Может ли размерность D принимать значения, отличающиеся от этих двух величин?

5. Измерение площади самоаффинных фрактальных поверхностей, полученных из графиков функций

5.1. Площадь фрактального рельефа ВH (х, у), найденная с помощью «шарфа» Минковского

Мы возвращаемся к размерностям DBL и DBG.

 

5.2. Определение площади фрактального рельефа с помощью триангуляции

Выберем квадратные плитки с х=у = 1/b. Четыре вершины каждой плитки определяют четыре значения ВH и дают два способа аппроксимации небольшой части поверхности двумя «треугольниками-близнецами». Возьмем среднее из этих двух приближений для каждой ячейки и, кроме того, проведем усреднение по b2 ячейкам.

 

Грубая триангуляция. Если пренебречь деталями с размерами, меньшими чем критическое значение xc = ус, то в этом приближении моя броуновская модель рельефа Земли имеет

вполне определенную площадь, ненамного превышающую площадь проекции рельефа на идеализированную плоскость (или сферу).

Эта ситуация резко отличается от той, которая имела место для береговой линии.

Рассмотрим в качестве примера два негауссовских ландшафта (см. [2], вклейка С 13). Они получены из одного и того же гауссовского ландшафта с помощью нелинейных преобразований, в которых предполагалось, что величина tc очень мала для долины на верхнем рисунке С 13 и для плато на нижнем рисунке С 13, и в то же время величина tc очень велика для горной цепи на верхнем рисунке С 13 и в каньоне на нижнем рисунке. Далее, я уже указывал в своих лекциях, что хорошие взлетные полосы аэропортов неровны в той же степени, что и Гималаи, только их вертикальный масштаб значительно меньше. Теперь мы видим, что эти количественные различия приводят к качественным эффектам. Прежде всего, как подсказывают обычные наблюдения и здравый смысл, у аэропорта имеется вполне определенная площадь, даже при измерении самой точной линейкой. В Гималаях же обычные фотографии, снятые издалека, показывают, что «средний наклон» порядка /4. Это в свою очередь показывает, что в области переходного масштаба имеется ряд интересных деталей; поэтому различные измерения площади, полученные с различными линейками, меньшими чем tc, должны дать кривую, график которой в двойном логарифмическом масштабе будет заведомо отличаться от прямой.

 

Тонкая триангуляция. В этом случае площадь наверняка может быть произвольно большой, но как быстро она будет расти с уменьшением размера треугольников? Каждый из треугольников-близнецов в ячейке имеет длину ~ b-Hk и высоту ~b-k, он очень узкий, и его площадь ~b-(H+1)k. Полное число треугольников b2k = -2/(H+1) и приближенное значение площади () ~ 1-2/(H+1). Это соотношение аналогично выражению для длины кривой L() ~ 1-1-H, но здесь аномальная размерность равна 2/(H+1), а не 1/H.

Следующая сетка, которую мы рассмотрим, самоаффинна и включает (b'b'')k прямоугольников шириной b' -k я высотой b" -k, причем b' > b". Площадь каждого из треугольников теперь ~ ((b")-1(b')1-H)k, а аномальная размерность равна log(b'b")/log(b"b'H). Она может принимать значение между 2/(H+1) и 1/H,и это есть фрактальная форма парадокса площадей Шварца.


1Авиация и космонавтика
2Архитектура и строительство
3Астрономия
 
4Безопасность жизнедеятельности
5Биология
 
6Военная кафедра, гражданская оборона
 
7География, экономическая география
8Геология и геодезия
9Государственное регулирование и налоги
 
10Естествознание
 
11Журналистика
 
12Законодательство и право
13Адвокатура
14Административное право
15Арбитражное процессуальное право
16Банковское право
17Государство и право
18Гражданское право и процесс
19Жилищное право
20Законодательство зарубежных стран
21Земельное право
22Конституционное право
23Конституционное право зарубежных стран
24Международное право
25Муниципальное право
26Налоговое право
27Римское право
28Семейное право
29Таможенное право
30Трудовое право
31Уголовное право и процесс
32Финансовое право
33Хозяйственное право
34Экологическое право
35Юриспруденция
36Иностранные языки
37Информатика, информационные технологии
38Базы данных
39Компьютерные сети
40Программирование
41Искусство и культура
42Краеведение
43Культурология
44Музыка
45История
46Биографии
47Историческая личность
 
48Литература
 
49Маркетинг и реклама
50Математика
51Медицина и здоровье
52Менеджмент
53Антикризисное управление
54Делопроизводство и документооборот
55Логистика
 
56Педагогика
57Политология
58Правоохранительные органы
59Криминалистика и криминология
60Прочее
61Психология
62Юридическая психология
 
63Радиоэлектроника
64Религия
 
65Сельское хозяйство и землепользование
66Социология
67Страхование
 
68Технологии
69Материаловедение
70Машиностроение
71Металлургия
72Транспорт
73Туризм
 
74Физика
75Физкультура и спорт
76Философия
 
77Химия
 
78Экология, охрана природы
79Экономика и финансы
80Анализ хозяйственной деятельности
81Банковское дело и кредитование
82Биржевое дело
83Бухгалтерский учет и аудит
84История экономических учений
85Международные отношения
86Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
87Финансы
88Ценные бумаги и фондовый рынок
89Экономика предприятия
90Экономико-математическое моделирование
91Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Звонит Натаха в 5 утра и кричит: "Ленка блядь… я беременная!!!" …и вот так всегда … Она беременная, а я блядь!!!
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2017
Рейтинг@Mail.ru