Реферат: Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 27 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Самоаффинные фрактальные множества II. Размерно сти длины и поверхно сти 1. Введение Представляется соб лазнительным попытаться измерить длину кривой с помощью измерительного циркуля , последователь но уменьшая его раствор , или измерить площ адь поверхности с помощью все более и более мелкой триангуляции . Для обычных крив ых та кая процедура дает хороший резул ьтат . В то же время известно , что уже для обычных поверхностей (например , для ц илиндра ) возникают аномалии ; основная аномалия проявляется в так называемом парадоксе пло щадей Шварца , который заслуживает широкой изв естности и будет обсуждаться ниже . Для самоподобных кривых эта процедура снова приводит к фрактальной размерности . Попытаем ся использовать такую процедуру для самоаффин ных фракталов и покажем , что размерности , к которым она приводит , отличаются от масс овой и клеточн о й размерностей. 2. Измерение дл ины самоаффинных фрактальных кривых , являющихся графиками функций 2.1. Измерение длин ы с использованием «сосиски» Минковского дает локальную и глобальную размерности , совпадаю щие с D ML и D MG Следуя Минковскому и Булигану , опр еделим приближенную дл ину кривой В ( ), используя «сосиску» М инковского , с одержащую все точки на ра сстоянии , меньшем чем , от данной точки кривой . Д ля обычной спрямляемой кривой и при << 1 В ( ) = (2 ) -1 (площадь сосиски ). Для самоподобной кривой (см . [2], с . 36) B( )~ 1-D , для самоаффинной кр ивой площадь сосиски при малых ведет с ебя как N ( ) -2 ~ H , и поэтому локальная размерность равна 2 — Н. Глобальная размерность ра вна 1. Оба этих значения встречались в част и I данной статьи. 2.2. Нахождение длины с помощью измерительного циркуля при фиксации по следнего выхода кривой дает локальную и глобальную размерн ости , совпадающие с D ML и D MG В одном из многих методов нахождения длины спрямляемой к ривой используется измерительный циркуль , перемещ ающийся вдоль кривой . На кривой могут быть узлы , т . е . кратные точки произвольно го порядка ; достаточно , чтобы точки кривой были упорядочены , например «во времени» . Начне м с исходной точки р 0 . Первая точка Р 1 будет первым выходом кривой из круга с центром в ро и радиусом и т . д . Если обозначить через L( ) длину возникающей ломан ой линии , приближенно описывающей нашу кривую , то длина кривой будет lim 0 L( ). Можно выбрать в качестве P 1 точку последнего , а не первого выхода вдоль кривой . И можно также двигаться назад. Для самоподобной кривой находим L( ) ~ 1-D , и снов а по желанию можно отмечать либо первый , либо последний выход кривой. Для наших самоаффинных кривых ситуация оказывается совершенно иная . Кроме локальной размерности при 0 имеется также глобальная размерность , которая , как мы увидим , равна 1. И локальная размерность , полученная при помо щи измерительного циркуля , имеет два совершен но различных значения , одно для последних , а другое для первых выходо в . Прежде чем двигаться дальше , заметим , что для с амоподобных функций рассмотрение становится прощ е (а результаты не меняются ), если круг с центром в точке P k заменить квадратом. Если воспользоваться этим обстоятельством , то рассмотрение последних выходов станов ится простым . Покроем нашу кривую (b'' k ) 2-H квадратами со стороной (b") k < <1; это дает D>2 — H. Далее добавим кольцо из 8 таких же квадратов вокруг каждой ячейки и те м самым увеличим сторону втрое . Ясно , что (b" k ) 2-H шагов циркуля с растворо м 3(b") -k до статочно , чтобы пройти вдоль кривой , поэтому размерность , полученная с помо щью измерительного циркуля , меньше 2 — Н. Следовательно , она ра вна 2-H. 2.3. Нахождение дли ны с помощью измерительного циркуля при ф иксации первых выходов дает «аномальные разме рности » . Локальное значение размерности п ри малых равно 1/Н . Эта величина совпа дает с фракталь ной размерностью фрактального следа , связанного с функцией . Для больших п размерность р авна 1 В этом разделе приведены результаты , полученные в работе [I]. При >> t с (напри мер , когда единица измерения В H достаточно мала ) график по сути дела близок к горизон тальной линии . При передвижении измерительного циркуля в доль кривой он в основном остается параллельным о си t, и L( ) слабо меняе тся с изменением . Если считать , что L( )~ 1-D , тогда то обстоятель ство , что L( ) является константой , дает для глоб альной размерности значение 1 независимо от Н. Если , наоборот , << t c (например , когда един ица измерения В H велика ), то ситуация оказываетя иной : измеритель , передвигающийся вдоль криво й , в основном остается параллельным оси В. В результате по лучаем р азмерность , равную 1 /Н. Это чрезвычайно странное значение может превышать 2 и является аномальным вдвойне : оно противоречит значению 2- Н, которое получалось при других л окальных определениях фрактальной размерности . С другой стороны , те , кто знакомы с фрак тальным броуновским движением , могут отож дествить 1/Н с фрактальной размерностью следа (в некотором E-м ерном евклидовом пространстве R E при Е > 1/Н ) движения , для которого координаты Е представляют соб ой независимые реализации В н (t). В этом случае попытка использовать необычный путь для измерения фрактальной размерности для одного множества в действи тельности заканчивается измерением значения , кото рое все пути дают для некоторого другого множества. 2.4. Размерности , св язанные с покрытием аффинными прямоугол ьн иками В утом разделе мы хотим связать измерение длины с в опросами , обсуждавшимися в разд . 8, части I статьи . В обоих предельных случаях >> 1 или << 1 число шагов измерите ля L( )/ для всех практических случаев равно числу прямоугольных ячеек высотой =(b" k и шириной ( b') -k , используемых для покрытия фрактала . При обычном определении размерност и фрактала выбираю тся квадратные ячейки , и число ячеек находится как функция их диаметра . Аналогичную формулировку можно п рименить и для величины Z.( )/ , если в качестве диаметра прямоугол ьной ячейки выбрать ее большую сторону . В локальном случае наибольшей стороной являетс я вертикальная , и мы приходим , как и в разд . 2.3, к размерности 1 /Н . В глобальном случае наибольшей стороной является горизонтальная , так ч то размерность равна 1. 3. Измерение дл ины других самоаффинных кривых , в частности следов движения Пеано К этому интерес ному случаю могут быть применены аргументы , аналогичные использованным в разд . 2.3. Локальное значение. Исполь зование измерительного циркуля раствором (b") -k << 1 потребует N k шагов , и поэтому показатель для приближенного значен ия длины равен l og b" (b"N -1 )=1 - logb"N, так что размерность равна log b" N. В ча стности , в случае Пеано N = b 'b" и размернос ть равна 1 + 1/H. Глобальная размерность. Она равна log b' N и в случае Пеано принимает значение 1+ Н. 4. Парадокс пло щадей Шварца Триангуляция обычн ых поверхностей оказывается делом гораздо бол ее сложным , чем можно было бы ожидать . В частности , в конце XIX в . Герман Аманд ус Шварц показал , что для случая цилиндра единичного радиуса и единичной высоты бе зобидный на первый взгляд метод триангуляции может дать для площади боковой поверхнос ти любую величину : от истинного значения 2 до бесконечности ! Поступим следующим образом : разделим цили ндр по высоте на п слоев плоскостями z =р / п (р — целое число больше нуля ) и выделим на окружностях с четн ым номером уровня точки = (2q+1) /m (q — целое ), а на окружностях с н ечетным номером уровня — точки = 2q /m. Соединим каждую точк у (z, ) с точками (z 1 /n, /m). Таким образом , боковая поверхность единичного цилиндра приближенно представлена 2mn равными треугольникам и . Теперь , чтобы получить истинную площадь , кажется естественным сложить пл ощади эти х треугольников и затем произвольным образом независимо устремить n , m . Прямое вычисление показывает , что для больших m эта площадь приближенно равна 2 sqrt( [1 + ( 4 /4)n 2 /m 4 ] ). Если т , но n/m 2 0, то это приближенное выражение дей ствительно сходится к величине 2 . Однако , если т и п = m 2 ( = const > 0), мы получим произвол ьное конечное значение , превышающее 2 ! И мы можем сказат ь , кроме того , что , выбирая п ~ m , > 2 , можно добиться , чтобы приближе нное значение площади возрастало как произвол ьная степень либо 1 /т, либо 1 /п, либо площади треугольника , пропорциональной 1 /тп. Цилиндр о казывается похожим на фрактал ! Его площадь неограниченно возрастает при таком способе и змерения. Причиной такого поведения является следую щее обстоятельство : при переходе к пределу т /п мы используем треугольники , которые а ) стан овятся все более и более узк ими , т . е . имеют хотя бы один угол , стремящийся к нулю , и б ) лежат в плоско стях , стремящихся стать перпендикулярно боковой поверхности цилиндра . При этом возникающая поверхность становится все более и более «волнистой» и все бо л ьше удаляетс я от истинной поверхности. Реакция прагматика была бы следующей — избегать узких треугольников . Ответ матема тика : «парадокс площадей Шварца» относился к числу проблем , способствовавших .развитию сов ременной математики . В частности , этот парадок с стимулировал Минковского дать корректны е определения длины и площади через объем ы все более тонких «сосисок» Минковского для кривых и все более тонких «шарфов» Минковского для поверхностей . Эти множества состоят из всех точек внутри -окрестности некоторой точки кривой и ли поверхности . Так , Минковский определяет пло щадь обы чной поверхности как lim (1/2 ) x (объем -шарфа ). 0 В отлич ие от треугольников все интервалы подобны друг другу , и поэтому для обычной криво й в плоскости аналога парадокса Шварца не существует . Его не существует также и для самоподобных фрактальных кривых ; дейс твительно , в [2] отмечено , что измерения длины с переменной точностью е могут быть пр оведены многими различными путями , но во в сех случаях длина меняется по одному и тому же закону : пропорциональ н о е 1 - 0 . Но для самоаффинных кривых , как пок азано в разд . 2.1 — 2.3, ситуация более сложная . Здесь длина растет как 1-D , но D = D BL при подходе Минковского и D = D CL > D BL при использовании измерит ельного циркуля . Может ли размерность D принимать значения , от личающиеся от этих двух величин ? 5. Измерение пл ощади самоаффинных фра ктальных поверхностей , полученных из графиков функций 5.1. Площадь фракта льного рельефа В H (х , у ), на йденная с помощью «шарфа» Минковского Мы возвращаемся к размерностям D BL и D BG . 5.2. Определение пл ощади фрактального рельефа с помощью триангул яции Выбе рем квадратные плитки с х = у = 1/b. Чет ыре вершины каждой плитки опред еляют четыре значени я В H и дают два способа аппроксимации н ебольшой част и поверхности двумя «треугол ьниками-близнецами». Возьмем среднее из этих двух приближений д ля каждой ячейки и , кроме того , проведем усреднение по b 2 ячейкам. Грубая триангуляция. Если пр енебречь деталями с размерами , меньшими чем критическое значение x c = у с , то в этом приближ ении моя броуновская модель рельефа Земли имеет вполне определенную площадь , ненамного пр евышающую площадь проекции рельефа на идеализ ированную плоскость (или сферу ). Эта ситуация резко отличается от той , которая имела место для бере говой линии. Рассмотрим в качестве примера два нег ауссовских ландшафта (см . [2], вклейка С 13). Они получены из одного и того же гауссовского ландшафта с помощью нелинейных преобразовани й , в которых предполагалось , что величина t c очень мала для долины на верхнем рисунке С 13 и для плато на нижнем рису нке С 13, и в то же время величина t c о чень велика для горной цепи на верхнем рисунке С 13 и в каньоне на нижнем ри сунке . Далее , я уже указывал в своих ле кциях , что хорошие взлетные полосы аэропортов неровны в той же степени , что и Гималаи , только их вертикальный масштаб з начительно меньше . Теперь мы видим , что эт и количественные различия приводят к качестве нным эффектам . Прежде всего , как подсказывают обычные наблюдения и здравый смысл , у аэропорта имеется вп о лне определен ная площадь , даже при измерении самой точн ой линейкой . В Гималаях же обычные фотогра фии , снятые издалека , показывают , что «средний наклон» порядка /4. Это в свою очередь показывает , что в области переходного масштаба имеется ряд интересных деталей ; поэтому различные и змерения площади , полученные с различными лин ейк ами , меньшими чем t c , должны дать кривую , график которой в двойном лога рифмическом масштабе будет заведомо отличаться от прямой. Тонкая триангуляция. В этом случае площадь наверняка может быть прои звольно большой , но как быстро она будет расти с уменьшен ием размера треуголь ников ? Каждый из треугольников-близнецов в яче йке имеет длину ~ b -Hk и высоту ~b -k , он очень узкий , и его площадь ~b -(H+1)k . Полное число треугольников b 2k = -2/(H+1) и приближенное зна чение площади ( ) ~ 1-2/(H+1) . Это соотношение ан алогично выражению для длины кривой L( ) ~ 1-1-H , но здесь аномальная размерность равна 2/(H+1), а не 1/ H. Следующая сетка , которую мы рассмотрим , самоаффинна и включает (b'b'') k прямоугольников шириной b' -k я высотой b" -k , причем b' > b". П лощадь каждого из треугольников теперь ~ ((b") -1 (b') 1-H ) k , а аномальная размерность равна log(b'b")/log(b"b' H ). Она м ожет принимать значение м ежду 2/(H+1) и 1/H,и это есть фрактальная форма парадокса площадей Шварца.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
- Что ты со своей девушкой разошёлся?
- Полная дура она. Знала же, у меня пена для бритья заканчивается и носки дырявые. А на 23 февраля подарила ноутбук.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru