Курсовая: Ряды и интеграл Фурье - текст курсовой. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Курсовая

Ряды и интеграл Фурье

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Курсовая работа
Язык курсовой: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 133 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникальной курсовой работы

Узнайте стоимость написания уникальной работы

ГЛАВА 1 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Основные сведения Функция f ( x ) , опр еделенная на всей числовой оси называется периодической , если существует такое число , что при любом значении х выполняется равенство . Число Т называется периодом функции. Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции : 1) Сумма , разность , произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т . 2) Если функция f ( x ) период Т , то функция f ( ax ) имеет период . 3) Если f ( x ) - периодическая функция периода Т , то равны любые два интеграла от этой функции , в зятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует ), т . е . при любых a и b справедливо равенство . Тригонометрический ряд . Ряд Фурье Если f ( x ) разлагается на о трезке в равномерно сходящийся тригонометрический ряд : (1) ,то это разложение ед инственное и коэффициенты определяются по формулам : , где n =1,2, . . . Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье , а коэффициентами ряда Фурье. Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье Точка разрыва функции называют точкой разрыва первого рода , если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке. ТЕОРЕМА 1 (Дирихле ). Если периодическая с периодом функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [ ] и этот отрезок можно разбить н а конечное число частей , в каждом из которых f ( x ) монотонна , то ряд Фурье относительно функции сходится к f ( x ) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется к усочно-монотонной ). ТЕОРЕМА 2. Если f ( x ) периодическая функция с периодом , которая на отрезке [ ] вместе со своей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода , то ряд Фурье функции f ( x ) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой теореме называется кусочно-гладкой ). Ряды Фурье для четных и нечетных функций Пусть f ( x ) - четная функция с периодом 2 L , удовлетворяющая условию f (- x ) = f ( x ) . Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы : = = = 0 , где n =1,2, . . . Таким образом , в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами , и ряд Фурье для четной функции с периодом 2 L выглядит так : Пусть теперь f ( x ) - нечетная функция с периодом 2 L , удовлетворяющая условию f (- x ) = - f ( x ) . Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы : , где n =1,2, . . . Таким образом , в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами , и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2 L выглядит так : Если функция f ( x ) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке то , где , , , Если f ( x ) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0 ,L ], то доопределив заданную функцию f ( x ) соответствующим образом на [- L, 0]; далее периодически продолжив на ( T =2 L ), получим новую функцию , которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье. Для разложения в ряд Фурье непериодической функции , заданной на конечном произвольном промежутке [ a , b ], надо : доопределить на [ b , a +2 L ] и периодически продолжить , либо доопределить на [ b -2 L , a ] и периодическ и продолжить. Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций Последовательность функций непрерывных на отрезке [ a , b ], называется ортогональной системой функции на отрезке [ a , b ], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке , т . е . если Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной ) на отрезке [a,b], если выполняется условие Пусть теперь f ( x ) - любая функция непрерывная на отрезке [ a , b ]. Рядом Фурье такой функции f ( x ) на отрезке [ a , b ] по ортогональной системе называется ряд : коэффициенты которого определяются равенством : n =1,2,... Если ортогональная система функций на отрезке [ a , b ] ортонормированна я , то в этом случаи где n =1,2,... Пусть теперь f ( x ) - любая функция , непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [ a , b ]. Рядом Фурье такой функции f ( x ) на томже отрезке по ортогональной системе называется ряд : , Если ряд Фурье функции f ( x ) по системе (1) сходится к функции f ( x ) в каждой ее точке не прерывности , принадлежащей отрезку [ a , b ]. В этом случае говорят что f ( x ) на отрезке [ a , b ] разлагается в ряд по ортогональной системе (1). Комплексная форма ряда Фурье Выражение называется комплексной формой ряда Фурье функции f ( x ), если определяется равенством , где Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с п омощью формул : ( n =1,2, . . .) Задача о колебании струны Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной l с концами x= 0 и x = l . Предположим , что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания . Будем рассматривать малые колебания струны , происходящие в вертикальной плоскости . При сделанных выше допущениях можно показать , что функция u ( x,t ) , характеризующая положение струны в каждый момент времени t, удовлетворяет уравнению (1) , где а - положительное число. Наша з а д а ч а - найти функцию u ( x,t ) , график которой дает форму струны в любой момент времени t , т . е . найти решение уравнения (1) п ри граничных : (2) и начальных условиях : (3) Сначала будем искать решения у равнения (1), удовлетворяющие граничным условиям (2). Нетрудно увидеть , что u ( x , t ) 0 является решением уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям (2). Будем искать р ешения , не равные тождественно 0, представимые в виде произведения u ( x,t )= X ( x ) T ( t ), (4) , где , . Подстановка выражения (4) в уравнение (1) дает : Из которого наша задача сводится к отысканию решений уравнений : Используя это условие X (0)=0, X ( l )=0, докажем , что отрицательное число , разобрав все случаи. a) Пусть Тогда X ” =0 и его общее решение запишется так : откуда и ,что невозможно , так как мы рассматриваем решения , не обращающиеся тождественно в нуль. б ) Пусть . Тогда решив уравнение получим , и , подчинив , найдем , что в ) Если то Уравнения имеют корни : получим : где -произвольные постоянные . Из начального условия найдем : откуда , т . е. ( n =1,2,...) ( n =1,2,...). Учи тывая это , можно записать : ( n =1,2,...). и , следовательно , ( n =1,2,...), но так как A и B разные для различных значений n то имеем , ( n =1,2,...), где и произвольные постоянные , которые попытаемся определить таким образом , чтобы ряд удовлетворял уравне нию (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3). Итак , подчиним функцию u ( x,t ) начальным условиям , т . е . подберем и так , чтобы выполнялись условия Эти равенства являются соответственно разложениями функций и на отрезки [0, l ] в ряд Фурье по синусам . ( Это значит что коэффициенты будут вычисляться как для нечетной функций ). Таким образом , решение о колебании струны с заданным граничными и начальными условиями дается формулой где ( n =1,2,...) Интеграл Фурье Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье. Для того , чтобы f ( x ) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разр ыва , достаточно : 1) абсолютной интегрируемости на (т.е . интеграл сходится ) 2) на любом конечном отрезке [- L , L ] функция была бы кусочно-гладкой 3) в точках разрыва функции , ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках , а в точках непрерывности к самой функции f ( x ) Интегралом Фурье функции f(x ) называется интеграл вида : , где , . Интеграл Фурье для четной и нечетной функции Пусть f ( x )-четная функция , удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье. Учитывая , что , а также свойство интегралов по симметричному относительно точки x =0 интервалу от четных функций , из равенства (2) получаем : (3) Таким образом , интеграл Фурье четной функции f ( x ) запишется так : , где a ( u ) определяется равенством (3). Рас суждая аналогично , получим , для нечетной функции f ( x ) : (4) и , следовательно , интеграл Фурье нечетной функции имеет вид : , где b ( u ) определяется равенством (4). Комплексная форма интеграла Фурье , (5) где . Выражение в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f ( x ). Если в формуле (5) заменить c ( u ) его выражением , то получим : , где правая часть формулы называется двойным интегралом Фу pье в комплексной форме . Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу в действительной форме и обратно осуществим с помощью ф ормул : Формулы дискретного преобразования Фурье Обратное преобразование Фурье. где n =1,2,... , k =1,2,... Дискретным преобразованием Фурье - называется N -мерный вектор при этом , . ГЛАВА 2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье Исходные данные : (Рис . 1) Функция периодическая с периодом .( f(x+T)=f(x) ) Функция имеет на промежутке конечное число точек разрыва первого рода. Сумма ряда в точках функции сходится к значению самой функции , а в точках разрыва к величине , где -точки разрыва. Рис . 1 Производная также непрерывна везде , кроме конечного числа точек разрыва первого рода . Вывод : функция удовлетворяет условию разложения в ряд Фурье. 1) F(x) - кусочно-непрерывна на интервале . 2) F(x) - кусочно-монотонна. Так как отсутствует симметрия относительно OY, а также центральная симметрия - то рассматриваемая функция произвольна. Предс тавление функции рядом Фурье. Из разложения видим , что при n нечетном принимает значения равные 0 , и дополнительно надо рассмотреть случай когда n=1. Поэтому формулу для можно записать в виде : ( так как ). Отд ельно рассмотрим случай когда n=1: . Подставим найденные коэффициенты в п олучим : и вообще . Найдем первые пять гармоник для найденного ряда : 1-а я гармоника , 2-ая гармоника , 3-ая гармоника , 4-ая гармоника , 5-ая гармоника , и общий график F(x), сумма выше перечисленных гармоник . и сами гармоники. Запишем комплексную форму полученного ряда Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см . теорию ) , но при не существует , поэтому рассмотрим случай когда n =+1 : (т.к . см . разложение выше ) и случай когда n =-1: (т.к . ) И вообще комплексная форма : или или
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
На предстоящих выборах на Украине в урны будут бросать не бюллетени, а самих кандидатов.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, курсовая по математике "Ряды и интеграл Фурье", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru