Курсовая: Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта - текст курсовой. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Курсовая

Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Курсовая работа
Язык курсовой: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 665 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникальной курсовой работы

Узнайте стоимость написания уникальной работы

28 28 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫ Й ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ “ ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ” Кафедра “Системы и Процессы Управления” ОТЧЕТ о научно-исследовательской курсовой работе по численным методам на тему : « РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА » Выполнил студен т гр.И -29 Уханов Е.В. Руководитель работы Д.т.н . проф Бреславский Д.В . Харьков 2001 СОДЕРЖАНИЕ Введение……………………………………………………………………… ..3 1. Постановка задачи ………………………………………………………… 4 2. Методы решения…………… …..………………………………………… 6 2.1. Метод прогноза и коррекции ………………………………………… 6 2.2 Модифицированный метод Гаусса ………………………………… .12 3. Описание алгоритма ……………………………………………………… 14 4. Описание программы …………………………………………………… ..15 5. П римеры расчетов ……………………………………………………… ...17 5.1. Решение одного дифференциального уравнения ………………… ...17 5.2. Решение системы дифференциальных уравнений ………………… .19 Заключение …………………………………………………………………… 20 Список использованной литерат уры ……………………………………… ..21 Приложение 1 ………………………………………………………………… 22 Приложение 2 ………………………………………………………………… 23 Приложение 3 ………………………………………………………………… 24 Приложение 4 ………………………………………………………………… 25 ВВЕДЕНИЕ Во многих областях науки и техники , а также отраслях наукоемкой промышленности , таких как : авиационная , космическая , химическая , энергетическая , - являются весьма распространенные задачи прогно за протекания процессов , с дальнейшей их коррекцией . Решение такого рода задач связано с необходимостью использования численных методов , таких как : метод прогноза и коррекции , метод Адамса-Башфорта , метод Эйлера , метод Рунге-Кута , и др . При этом , стоит задача решения системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка одним из методов интегрирования , на произвольном промежутке времени . Одним из оптимальных методов дающих высокую точность результатов – является пяти точечный метод прог н оза и коррекции Адамса-Башфорта . Для повышения точности метода используется трех точечный метод прогноза и коррекции с автоматическим выбором шага , что приводит к универсальному методу интегрирования систем дифференциальных уравнений произвольного вида н а любом промежутке интегрирования . Разработка программных средств реализующих расчет точного прогноза протекания процессов , является важнейшей вспомогательной научно-технической задачей . Целью данной курсовой работы является разработка алгоритма решен ия систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка пяти точечным методом прогноза и коррекции Адамса-Башфорта . 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим произвольную систему линейных дифференциальных уравнени й первого порядка : (1.1) тогда как : А = (1.2) где А заданная матрица размером N x N . - вектор с N координатами , который подлежит определению ; N – произвольное целое число ; - заданные вектора правых частей с N координатами . С использ ованием метода прогноза и коррекции Адамса-Башфорта пятого порядка , необходимо получить значения неизвестных для заданных временных интервалов . Для стартования метода необходимо использовать метод прогноза и коррекции третьего порядка с переменны м шагом , на заданных временных промежутках .. 2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ 2.1. Метод прогноза и коррекции Метод прогноза и коррекции относится к задачам класса Коши , а именно к численным решениям многошаговыми методами . Рассмотрим задачу Коши : , (2.1.1) Подставим в (2.1.1) точное решен ие y ( x ) , и проинтегрируем это уравнение на отрезке , тогда получим : (2.1.2) где в последнем член предполагаем , что p ( x ) полином , аппрокси мирующий f ( x , y ( x )) . Чтобы построить этот полином , предположим , что - приближения к решению в точках . Будем считать для начала , что узлы X i расположены равномерно с шагом h . тогда f i = f ( x i , y i ), ( i = k , k -1, k -2,…, k - N ) есть приближения к f ( x , y ( x )) в точках и мы в качестве P возьмем интерполяционный полином для выбора данных ( x i , f i ) , ( i = k , k -1, k -2,…, k - N ) . Таким образом , P – полином степени N , удовлетворяющий условиям P ( x i )= f i , ( i = k , k -1, k -2,…, k - N ) . В принципе , можем проинтегрировать этот полином явно , что ведет к следующему методу : (2.1.3) В простейшем случае , когда N =0 , полином P есть константа , равная f k , и (2.1.3) превращается в обычный метод Эйлера : (2.1.4) Если N =1 , то P есть линейная функция , проходящая через точки ( x k -1 , f k -1 ) и ( x k , f k ) , т.е . (2. 1.5 ) интегрируя этот полином от X k до X k +1 , получим следующий метод : (2.1.6) который является двухшаговым , поскольку использует информацию в двух точках x k и x k -1 . Аналогично , если N =2 , т о P - есть кубический интерполяционный полином , а соответствующий метод определяется формулой : (2.1.7) Отметим , что мет од (2.1.6) – есть метод Адамса-Башфорта второго порядка , (2.1.7) – метод Адамса-Башфорта четвертого порядка . Для стартования метода (2.1.7) необходимы сведения о четырех предыдущих точках . Соответственно данный метод требует вычисления ст артующих данных . Воспользуемся для нахождения второй точки одношаговым методом Эйлера , который имеет вид : Таким образом , подставляя начальные условия , мы находим вторую точку . Следует заметить , что степень точности совпадает со степенью точности остальных методов , что является существенным фактором в стартовании метода прогноза и коррекции . Ввиду того , что стартовые методы имеют более низкий порядок , в начале приходится считать с меньшим шагом и с использованием большего промежутка времени . В данном случае метод Эйлера для дальнейшего интегрирования не оправдывает себя . Для этих целей в оспользуемся трехшаговым методом прогноза и коррекции с переменным шагом . Рассуждая также , как для метода Адамса-Башфорта , который излагается в работах : [1],[2],[3] , мы мы приходим к формулам : Прогноз : (2.1.8) Коррекция : (2.1.9) где h - шаг интегрирования , изменяющийся на малом промежутке времени в соответствии с условиями Рунге : , где в свою очередь - малое конкретное значение , при невыполнении услови я которого увеличивается шаг h = h * N а - малое конкретное значение , при невыполнении условия шаг соответственно уменьшается h = h / N , где N - некоторое целое число больше единицы . Оптимально , для вычисления новой точки , с помощью метода прогноза и коррекции , используется формула : (2.1.10) Таким образом , мы воспользовались простым трех шаговым методом прогноза и коррекции , для стартования метода Адамса-Башфорта . Преимущества данного метода заключаются :в его высокой точности , авто подборе шага , что во мног о раз повышает точность самого метода Адамса-Башфорта , и делает его оптимальным для задач такого рода . Метод Адамса-Башфорта использует уже посчитанные значения в точке X k и в предыдущих точках . В принципе , при построении интерполяционного полинома , мы можем использовать и точки X k +1 , X k +2 ,… . Простейший случай при этом состаит в использовании точек X k +1 , X k ,…, X k - N и построения интерполяционного полинома степени N +1 , удовлетворяющего условиям P ( X i )= f i , ( I = k +1, k ,…, k - N ) . При этом возникает класс м етодов , известных как методы Адамса-Моултона . Если N =0 , то p – линейная функция , проходящая через точки ( X k , f k ) и ( X k +1 , f k +1 ) , и соответствующий метод : (2.1.11) является методом Адаиса-Моултона [2] , именно им мы воспользовались в формуле (2.1.9) – коррекции спрогнозированной точки в трех шаговом методе . Если N =2 , то p – кубиче ский полином , построенный по точкам и соответствующий метод : (2.1.12) является методом Адамса-Моултона четвертого порядка . В силу того , что по сути f k +1 – неизвестная , то методы Адамса-Моултона (2.1.11),(2.1.12) называют неявными . В тоже время методы Адамса-Башфорта – называют явными . Теперь воспользовавшись явной формулой (2.1.7) , и неявной формулой (2.1.12) , используя их совместно , мы приходим к методу Адамса-Башфорта четвертого порядка : (2.1.13) Стоит обратить внимание , что в целом этод метод является явным . Сначало по формуле Адамса-Башфорта вычисляется значение , являющееся “прогнозом” . Затем используется для вы числения приближенного значения , которое в свою очередь используется в формуле Адамса-Моултона . Таким образом формула Адамса-Моултона “корректирует” корре ктирует приближение , называемое формулой Адамса-Башфорта . Теперь рассмотрим произвольную систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка : где A = Заданная матрица размером NxN ; - вектор с N координатами , который подлежит определению . В связи с тем , что связь между искомыми неизвестными определяется матрицей коэффициентов A , на каждом шаге по времени , необходимо решить систему относительно н еизвестных скоростей , для её решения воспользуемся модифицированным методом Гаусса , который описан в разделе 2.2 . Далее , интегрируя сначала ранее описанными методами : методом Эйлера на первом шаге , трех точечным методом прогноза и коррекции с а вто подбором шага , на малом промежутке времени и с малым начальным шагом , для повышения точности стартующих методов на оставшемся промежутке времени производим интегрирование с постоянным шагом – пяти точечным методом прогноза и коррекции Адамса-Башфор т а (2.1.13) , [2] , [3] . 2.2 Модифицированный метод Гаусса Как типичный пример решения систем линейных дифференциальных уравнений , рассмотрим систему четырех линейных алгебраических уравнений . Для решения системы чет ырех линейных алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными модифицированным методом Гаусса необходимо Составить систему : (2.2.1) 1) Каждое уравн ение делиться на коэффициент при X 1 2) Теперь образуем нули в первом столбце матрицы системы : вычитаем 2-ое из 1-ого , 3-е из 2-ого , 4-ое из 3-его : (2.2.2) 3) Повторив еще раз эти операции получим систему двух уравнений с двумя неизвестными , решение которой можно получить по формулам Крамера : (2.2.3) Решение же X 1 и X 2 можно получить , подставив в какое-либо из уравнений систем (2.2.1) и (2.2.2) и раз решив эти уравнения относительно соответствующей переменной . 3.ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА Программа начинается с вывода сообщения о программе . После происходит считывание необхо димых исходных данных из файла , для дальнейшей работоспособности алгоритма , а именно – начальных условий и матрицы коэффициентов системы линейных дифференциальных уравнений первого рода , начального шага интегрирования , левого и правого условий Рунге , время интегрирования по трех шаговому методу прогноза и коррекции , время интегрирования по пяти точечному методу Адамса-Башфорта . С помощью метода Эйлера находим дополнительные начальные условия . Решение систем линейных дифференциальных уравнений мы описываем отдельной процедурой , что облегчает дальнейшую алгоритмизацию . Далее составляем цикл , для реализации алгоритма нахождения всех Y k +1 точек на заданном малом промежутке времени , и проверкой на условия Рунге , по трех шаговому методу прогн оза и коррекции с авто подбором шага . После чего мы организовываем цикл , реализующий алгоритм нахождения точек по методу Адамса-Башфота , на заданном большом промежутке времени и с шагом автоматически подобранным предыдущим методом . Вычисленные данные записываем файл , по ним формируем массив данных , которые выводим в сответствии с масштабированием на экран в виде графиков . Блок-схема приведена в Приложении 1 . 4.ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ Программа реализу ющая универсальный алгоритм для решения систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка произвольного вида , - построена по принципам объектно-ориентированного программирования .Основная программа построена на объектной библиотеке VFH , реали зующей возможности реализации гибкого интерфейса между программой и пользователем . Основная программа включает в себя только один модуль PACM , и использует всего два метода объекта TApplPandC , - метод Application - рабочий цикл программы ; деструк тор Done – реализует разрушение таблицы виртуальных методов , и операций , связанных с завершением программы . Модуль PACM включает в себя модули библиотек - реализующих построение интерфейса . Модуль реализующий алгоритм метода Адамса-Башфорта , и по в ычесленным данным строящий график , есть – PACMBtn . Главным родителем всех объектов есть объект – Tobject . Основным рабочим объектом библиотеки VFH есть объект Tform . Рассмотрим потомка являющегося типичным представителем родителя TForm - TApplP andC . Он имеет два виртуалых метода : MouseHandler : Boolean Б – выходным параметром которого есть признак закрытия формы , и метод FormCreate - реализующий построение интерфейса формы . Не виртуальный метод Application - предназначен для созд ания формы , конфигурирования программной среды , и дальнейшего управления программой . Модуль реализующий создание и управления главного и субменю , есть – PACMMenu , позволяющий пользователю изменять параметры и настройки системы , предоставляющий справку о разработчике , а также дает доступ к справочной системе PrandCo M Help System . Данные свойства меню реализуют объекты TMenu , и THelpForm , объектной библиотеки VFH . Теперь рассмотрим модуль PACMBtn – рреализующий алгоритм построения вычисленных данных . Процедура реализующая алгоритм пяти точечного метода прогноза и коррекции Адамса-Башфорта , - MethodAdamsaBashforta ( h , tp , ta : real ; NU : array [1.. N ] of real ) – параметры которой представляют : h - начальный шаг интегрирования ; tp – время интегрирования трех точечным методом прогноза и коррекции , ta – время интегрирования по методу Адамса-Башфорта , NU – массив начальных условий . Данная процедура способна производить решения систем линейных дифференциальных уравнений произв ольного размера , на произвольном промежутке времени интегрирования . Вычисленные данные записываются в файлы prandcom *. df . Метод реализующий алгоритм построения вычисленных данных произвольной степени сложности , с возможностью построения графиков с не линейно изменяющимся шагом , построения одновременно любого количества графиков , - есть объект TCartFile , обладающего всеми свойствами родителей Tform , Tchart . К заключению стоит заметить , что программа PrandCo M version 2.41 - разработан а на языке Borland Pascal под защищенный режим работы процессора и имеет доступ ко всей оперативной памяти компьютера . Реализует гибкий интерфейс , облегчающим работу с программным обеспечением . Позволяет решить систему линейных дифференциальных урав нений первого порядка методом Адамса-Башфорта , с возможность просмотра результатов вычисления в виде графиков . Как показали тестовые программы – разработанный алгоритм предоставляет точность вычислений , погрешность которых не превышает 1% . Тексты пр ограммной оболочки PrandCo M version 2.41 приведены в приложении 4 . 5. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ Для анализа достоверности получаемых результатов рассмотрим следующие примеры : 5.1.Решение одного дифференциального уравнения Первым этапом анализа достоверности была проверка правильности решения одного дифференциального уравнения . Полученное численное решение сравнивается с аналитическим . Пусть требуется решить уравнение : при начальном условии y (0)=1 , 0<= x <=1 , и шаге интегрирования h =0.1 . Это линейное уравнение , имеющее следующее точное решение : которое поможет нам сравнить точность численного решения для случая с постоянным шагом , т.к . точность решений с переменным шагом выше . Результаты расчета представлены в Таблице 1 .Как видно из таблицы , отличие между численными и аналитическими решениями удовлетворительное даже для такого большого шага , и не превышает 2% . Теперь решим этот же пример тем же методом , но с переменным шагом . Получаем любо п ытные зависимости точности от выбора шага , а также шага сходимости , - которые носят периодический характер . Результаты исследования приведены в таблице 2 . Как мы видим , погрешность резко уменьшается с использованием метода с переменным шагом , и пока з ывает очень высокую точность решения для численных методов , не превышающею 1% . Таблица 1 Таблица 2 Начальный шаг Максимальная погрешность Сведение к шагу 0.1 1.683 % 0.0250 0.01 1.163 % 0.0100 0.001 0.744 % 0.0040 0.0001 0.568 % 0.0032 0.00001 0.451 % 0.0025 0.000001 0.723 % 0.0040 0.0000001 0.578 % 0.0032 0.00000001 0.462 % 0.0026 0.000000001 0.740 % 0.0041 0.0000000001 0.592 % 0.0033 0.00000000001 0.473 % 0.0026 Иллюстрация решения данного дифференциального уравнения в виде графика – приведена в Приложении 2 . 5.2.Решение системы дифферен циальных уравнений Вторым этапом анализа достоверности полученных результатов была проверка правильности решения системы линейных дифференциальных уравнений с аналитическим решением . Рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений , которую тре буется решить методом Адамса-Башфорта : Начальными условиями здесь являются : . Возьмем начальный шаг интегрирования h =0.00001 , время интегрирования по трех точечному методу прогноза и коррекции tp =0.1 и время интегрирования по методу Адамса-Башфорта ta =1 . Результаты исследования для разных начальных шагов интегрирования приведены в таблице 2 . Мы приходим к выводу , что точность решения одного уравнения и системы дифференциальных уравнений совпадают . Иллюстрация решения данной системы дифференц иальных уравнений приведены в виде графика в приложении 3 . ЗАКЛЮЧЕНИЕ В данной курсовой научно-исследовательской работе разработан алгоритм и программа решения с истем линейных дифференциальных уравнений первого порядка пяти точечным методом прогноза и коррекции Адамса-Башфорта . Проведены тестовые расчеты , подтвердившие высокую эффективность и точность метода Адамса-Башфорта со стартованием трех точечным методо м прогноза и коррекции с переменным шагом . Проведены ряд исследований решения систем как с постоянным шагом , так и с переменным шагом на сходимость к постоянному шагу . Во всех случаях получены результаты высокой точности . Список используемой литературы 1.Дж.Ортега , У.Пул “Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений ” . Пер.с англ .; под редакцией А.А.Абрамова - М .;Наука.Гл.ред.физ.мат.лит .1986.-288с. 2.Р.В.Хемминг “Численные мет оды для научных работников и инженеров ” : Пер с англ .:Под редакцией Р.С.Гутера .- Гл.ред.физ.мат.лит .1968.-203 с. 3. Т.Шуп. ”Решение инженерных задач наЭВМ . Практическое пособие “ Пер.с англ.-М .Мир .1982.-238с. Приложение 1 : Блок схема Алгоритма - + - + Приложение 2: Решение одного дифференциального уравнения Приложение 3 : Решение системы линейных дифференциальных уравнений 1-ое уравнение 2 – ое уравнение 3 – е уравнение 4 – ое уравнение Приложение 4 : Тексты программ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ | PrandCoM version 2.41 Copiright ( c ) 2001 | | Программа разработана студентом | | Наци онального Технического Университета | | " Харьковский Политехнический Институ " | | группы И - 29 | | Кафедры Автоматического Упра вления Движением | | ( Системы и процессы управления ) | | Ухановым Е.В . | | NetMail ( FidoNet ) 2:461/212.21 | | E-Mail : JVUMailbox@rambler.ru | | | | Программа разработана на основе объектной библиотеки VFH version 4.XX | ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ $M 10000,0,0 (************** **************************************************************) (****** Дата последней разработки : 05.05.2001 **********************) (****************************************************************************) Program Prognoz_and_Correction_Mod ification; (****************************************************************************) Uses PACM; (****************************************************************************) var TPC : TApplPandC; (*********************************************** *****************************) (******************************) begin (*************************************) TPC.Application; TPC.Done; (*******************************) end. (*************************************) (****************************************************************************) ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ | Версия 2.XX | | Программа разработана студентом Национального Технического | | Университета " Харьковский Политехнический Институ " группы И - 29 | | Кафедры Автоматического Упра вления Движением - Ухановым Е.В . | | NetMail ( FidoNet ) 2:461/212.21 | | E-Mail : jvumailbox@rambler.ru | | | | Программа разработана на основе объектной библиотеки VFH version 4.XX | ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ (****************************************************************************) (**** Дата последней разработки модуля : 15.04.2001 *****************) (***************** ***********************************************************) (****************************************************************************) (*******************************) Unit PACM; (*******************************) (*********************************** *****************************************) (*******************************) INTERFACE (********************************) (****************************************************************************) Uses FormObj,MouseObj,PACM Er,PACMMenu,PACMBtn,PACMPnl,PACMPC,PACMCnst; (****************************************************************************) type TApplPandC = object ( TForm ) Function MouseHandler : boolean;Virtual; Procedure FormCreate;Virtual; Procedu re Application; end; (****************************************************************************) (******************************) IMPLEMENTATION (****************************) (************************************************************** **************) Procedure TApplPandC.FormCreate; var Pnl : TPanel; Pnl1 : TPanel; TMenu1 : TCreateMenus; begin Pnl.Init(548,35,619,50,1,7,1,1,1,1,false,false); Pnl.Panel; Pnl1.Init(470,407,630,460,1,7,1,0,1,4,true,f alse); Pnl1.Panel; TPnl1.ToolBarCreate; TPnl1.PanelCreate; TPageControl1.PageControlCreater; TBitBtns.BitBtnCreaters; TMenu1.MenusCreate; end; (********************************) Function TApplPandC.MouseHandler; var TMouse1 : TMouse; b,x,y : word; TMenu1 : TCreateMenus; TSubMenu1 : TCreateMenus; ST1 : TSystemTime; begin MouseHandler:=false; TMouse1.GetMouseState(b,x,y); ST1.Init(549,36,618,49,1,15); S T1.SystemTime; TBitBtns.BitBtnHandlers(b,x,y); MouseHandler:=fExitBtn; TMenu1.MenusVisible(x,y); TMenu1.MenusHandlers(b,x,y); TPageControl1.PageControlHandlers(b,x,y); end; Procedure TApplPandC.Application; var TIEr : TInitErrors; begin TIEr.FatalErrorVFH; TIEr.LoadFont('km_defj8.fnt'); TIEr.FindImEr1('x.bi'); InitObjGraph; if InitMouseJVU then begin TIEr.LfLoad('Lf.sys'); TIEr.ErrorExec('x.bi'); TIEr.FindFile('f1.dat'); TIEr.FindFile('f2.dat'); TIEr.FindFile('f3.dat'); TIEr.FindFile('f4.dat'); TIEr.FindFile('km_defj8.fnt'); TIEr.FindFile('f_nfrj8.fnt'); TIEr.FindFile('t_n frj8.fnt'); TIEr.FindFile('asdf.bi'); TIEr.FindFile('pacm_n1.bi'); TIEr.FindFile('pacm_n2.bi'); TIEr.FindFile('pacm_n3.bi'); TIEr.FindFile('pacm_n4.bi'); TIEr.FindFile('PrandCoM.hlp'); TIEr.FindFile('litj.chr'); TIEr.FindFile('scri.chr'); TIEr.FindFile('trip.chr'); TIEr.FindFile('tscr.chr'); TIEr.FindFile('initm.mtr'); TIEr.FindFile('initnu.mtr'); if not fQuickHalt the n begin TIEr.LoadCFG('PrandCom.cfg'); With HT do begin hx1:=575; hy1:=20; hx2:=637; hy2:=34; hc:=true; hs:=' Закрыть '; end; Init(1,1,639,479,7,1,'Prognoz & Corrections Modifications'); Form; end; end else begin TIEr.ErrorVFH; end ; end; (****************************************************************************) (***********************************) END. (*********************************) (****************************************************************************)
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Салон пластической хирургии "ШАРМ" открыл дочернее предприятие "ШАуРМа".
Теперь проблем с лишними мясными обрезками и откачанным жиром не возникает - всё идёт в дело!
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, курсовая по математике "Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru