Разностные уравнения

1.Разностные уравнения

Уравнение вида:

(1.1)

где k -фиксированное, а n - произвольное натуральное число, -члены некоторой числовой последовательности, называется разностным уравнением k-го порядка.

Решить разностное уравнение означает найти все последовательности {}, удовлетворяющие уравнению (1.1). Разностное уравнение часто используются в моделях экономической динамики с дискретным временем, а также для приближенного решения дифференциальных уравнений.

Разностное уравнение вида:

(1.2)

где , K – некоторые функции от n ,называется линейным разностным уравнением k- порядка .

В случае, когда коэффициенты являются константами, методы решения данного класса уравнений во многом аналогичны решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Продемонстрируем это для разностных уравнений 2-го порядка:

(1.3)

также как для линейных дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (1.3) определяется по формуле:

(1.4)

где x(n) – некоторое частное решение (1.3), X(n) – общее решение соответствующее однородному уравнению (случай К=0). Для нахождения общего решения однородного уравнения необходимо вначале решить характеристическое уравнение:

(1.5)

после этого могут возникнуть 3 варианта.

1. Оба корня и действительны и различны. Тогда общее решение находится по формуле:

(1.6)

где и - произвольные константы.

1. Оба корня действительны и равны (), тогда

(1.7)

1. В случае комплексно сопряженных корней

(1.8)

Пример.

Найдем частное решение этого уравнения. Воспользуемся для этого методом неопределенных коэффициентов. Будем искать частное решение в виде . Подставляя это выражение в наше уравнение, получим

Следовательно, p=2, а значит,

Решая характеристическое уравнение

находим . Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:

2.Динамическая модель Кейнса

Рассмотрим простейшую балансовую модель, включающую в себя основные компоненты динамики расходной и доходной частей экономики. Пусть Y(t), F(t), S(t), I(t) – соответственно национальный доход, государственные расходы, потребление и инвестиции. Все эти величины рассматриваются, как функции времени t. Тогда справедливы следующие соотношения

(2.1)

где a(t) –коэффициент склонности к потреблению (0< a(t)<1); b(t) – автономное (конечное) потребление; k(t) – норма акселерации. Все функции, находящиеся в уравнении (1.9) положительны.

Поясним смысл уравнения (1.9). Сумма всех расходов должна быть равной национальному доходу – этот баланс отражен в первом уравнении. Общее потребление состоит из внутреннего потребления, некоторой части национального дохода в народном хозяйстве, плюс конечное потребление – эти составляющие показаны во втором уравнении. Наконец, размер инвестиций не может быть произвольным: он определяется произведением нормы акселерации, величина которой характеризуется уровнем технологий и инфраструктуры данного государства, на определенный национальный доход.

Будем полагать, что функции a(t), b(t), k(t), и E(t) заданы – они являются характеристиками функционирования и эволюции данного государства. Требуется найти динамику национального дохода или Y как функцию времени t.

Подставим выражение для S(t) из второго уравнения и I(t) из третьего уравнение в первое уравнение. После приведения подобных получаем дифференциальное неоднородное линейное уравнение первого порядка для функции Y(t) :

(2.2)

Т.к. существуют достаточно сложная и простая формы решения этого уравнения, поэтому мы проанализируем более простой случай, полагая основные параметры a,b,k постоянными числами. Тогда уравнение (2.2) упрощается до случая линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами:

(2.3)

(2.4)

обозначим , в результате подучим

(2.5)

отсюда,

(2.6)

Нетрудно видеть, что эта величина положительна. Используя формулу:

(2.7)

получим общее решение однородного уравнения

(2.8)

(2.9)

(2.10)

в результате общее имеет вид

(2.11)

Как известно, общее решение неоднородного уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения. В качестве частного решения уравнения (2.3) возьмем так называемое равновесное решение, когда , т.е.

(2.12)

(2.13)

3.Модель Самуэльсона-Хикса

Модель делового цикла Самуэльсона-Хикса (динамическая модель Кейнса) является примером линейного разностного уравнения. В этой модели используется так называемый принцип акселерации, т.е. предположение, что масштабы инвестирования прямо пропорциональны приросту национального дохода. Данное предположение характеризуется следующим уравнением

(3.1)

где коэффициент - фактор акселерации, - величина инвестиций в период , , - величины национального дохода соответственно в -м и -м периодах. Предполагается также, что потребление на данном этапе зависит от величины национального дохода на предыдущем этапе, т.е., что

(3.2)

условие равенства спроса и предложения имеет вид:

(3.3)

Подставляя в (3.3) выражение для из (3.1) и выражение для из (3.2), находим:

(3.4)

Уравнение (3.4) известно как уравнение Хикса. Оно представляет собой линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (если предположить, что на протяжении рассматриваемых периодов величины a и V постоянны ).

Замечание. Мы можем легко найти частное решение уравнения (3.4), если положим, что

(3.5)

т.е. использовав в качестве частного решение равновесное решение . Из (3.4) в силу (3.5) имеем

(3.6)

откуда

(3.7)

заметим также, что выражение в формуле (3.7) носит название мультипликатор Кейнса и является одномерным аналогом матрица полных затрат.

Пример. Рассмотрим модель Самуэльсона-Хикса при условии, что ; ; . В этом случае уравнение (3.4) принимает вид:

(3.8)

его частным решением будет

(3.9)

найдем корни характеристического уравнения

имеем

Таким образом, общим решением соответствующего однородного уравнения является

где и - произвольные константы. Следовательно, общим решением уравнения будет

Замечание. В зависимости от значений a и V возможны 4 типа динамики. Она может быть растущей или затухающей и при этом иметь или не иметь колебательный характер. Так, в рассмотренном выше примере динамика носила колебательный характер с возрастающей амплитудой.

Пример:

запишем характеристическое уравнение

4.Модельрынка с запаздыванием сбыта

В реальности часто складывается такая рыночная ситуация, что цикл производства продукции отстает от цикла ее реализации. Это характерно, например, для сельского хозяйства. Да и в промышленном производстве предложение формируется на основе цены в предшествующий период. Таким образом, функция предложения сдвинута S сдвинута по времени относительно цены P, т.е. будем полагать , что S(t)=S(P(t-1)), в то время как функция спроса D одномоментно отвечает цене: D(t)=D(P(t)). Для простоты рассмотрим линейные зависимости спроса и предложения от цены:

(4.1)

Условие равновесия предполагает равенство предлагаемого и востребованного товара : D(t)=S(t), откуда с учетом(4.1) имеем:

(4.2)

Поделим обе части этого равенства на b и перейдем, для удобства на шаг вперед по времени, получаем линейное неоднородное разностное уравнения первого порядка относительно цены P с постоянными коэффициентами:

(4.3)

Характеристическое уравнение имеет вид и имеет единственный корень, равный –b/d. Частное же решение уравнения (4.3) удобно искать в виде постоянной величины; после подстановки в это уравнение оно легко определяется:

(4.4)

Величина является равновесной ценой. Общее решение уравнения (4.3) определяется формулой

(4.5)

где C – произвольная постоянная. Пусть в начальный момент времени известна цена (задача Коши), тогда подстановкой в равенство (4.5) находим , так что в окончательном виде получаем

(4.6).

Проанализируем полученное решение. В зависимости от входных параметров задачи b,d , формул (4.3) динамика цены во времени мажет быть разной. Здесь возможны 3 варианта:

а) >1 – текущая цена расходится с равновесной ценой с увеличением размаха колебаний вокруг нее.

б) <1 – текущая цена стремится к равновесной с колебаниями около нее.

в) =1 – две точки равновесия: в зависимости от четности t имеет место колебание от одной точки к другой.

5. Модель рынка с запасами

В этой модели предполагаются запасы товара как разность между предложением S и спросом D. Примем следующие допущения.

1. Спрос D(t) и предложение S(t) представляют собой линейные функции от текущей цены P(t):

(5.1)

1. Цена, устанавливаемая на рынке, зависит от объема запаса продукции на предшествующий период, причем разница в ценах во времени пропорциональна отрицательной величине запаса с некоторым коэффициентом k (при наличии запаса цена на товар в последующий период падает):

(5.2)

где - запасы товара.

Подстановка соотношений (5.1) в (5.2) приводит к линейному разностному уравнению первого порядка с постоянными коэффициентами относительно цены P(t):

(5.3)

(5.4)

Пусть - значение цены в начальный момент времени t=0 , тогда решение этого уравнения имеет вид

(5.5)

где - равновесная цена, или стационарное решение уравнения (5.3).

Сходимость P(t) во времени к значению P_* существенно зависит от величины и знака основания степени в (5.5). Рассмотрим все возможные случаи сочетания этих параметров задачи.

а) , откуда - монотонная сходимость P(t) к равновесному значению P_*

б) =0 ,откуда , т.е. P(t)= P_*

в) , откуда - сходимость цены P(t) к равновесному значению P_* с колебаниями около него

г) =-1, т.е. - две точки равновесия: P_* и P₀ на каждом шаге по времени цена “перескакивает” с одного значения на другое

д) , т.е. - цена P(t) расходится с увеличением амплитуды колебаний.

Все указанные случаи приведены на рисунке в виде соответствующих серий дискретных отрезков.

6. Уравнение снабжения (логистики)

Пример: известно, что рост количества бактерий в сосуде удовлетворяет уравнению логистики, с постоянным k=0.2. Пусть в начальный момент времени количество бактерий составляло 1% от максимально возможного значения m. За какое время количество бактерий достигнет 80% от максимума.

Решение: воспользуемся формулой:

при t=0 y=0.01m подставляя это выражение получим

7.Продуктивная модель Леонтьева

Приведены данные по балансу за некоторый период между 5-ю отраслями промышленности. Найти варианты конечного потребления м валового выпуска, а также матрицу коэффициентов прямых затрат и определить является ли она продуктивной.

удовлетворяет первому условию продуктивности:

т.е. первое увеличится на 52,2%, второе га 35,8%, а третье на 85% соответственно.

8.Динамичкская модель Леонтьева

В параграфе 7 была рассмотрена продуктивная модель межотраслевого баланса безотносительно ко времени, т.е. все ее компоненты полагались осредненными за некоторый временной интервал. В реальности продукт, предназначенный для внутреннего и конечного потребления в период t, определяется не текущим выпуском, а выпуском в последний период t+1. Эта задержка производства обусловлена многими факторами, в частности инерцией планирования и перестройки, мобилизации внутренних ресурсов и изменением транспорта сырья и т.д.

С учетом этого система уравнений баланса в предложении о постоянстве доли внутреннего потребления каждой отраслью, будем иметь следующий вид

рассчитать вариант валового выпуска на момент времени t=2, если все компоненты конечного потребления увеличить на 30% за каждый период.

Решение:

Таким образом, при указанном темпе роста продуктивность конечного потребления необходимо через 2 временных цикла повысить компоненты валового выпуска соответственно на 12, 18, и 6% по сравнению с их величинами на начальный момент времени.

9,Паутинные модели рынка