Реферат: Разностные уравнения - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Разностные уравнения

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 67 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

1.Разностные уравнения Уравнение вида: (1.1) где k -фиксированное, а n - произвольное натуральное число, -члены некоторой числовой последовательности, называется разностным уравнением k -го порядка . Решить разностное уравнение означает найти все после довательности , удовлетворяющие уравнению (1.1). Разностное уравнение часто ис пользуются в моделях экономической динамики с дискретным временем, а та кже для приближенного решения дифференциальных уравнений. Разностное уравнение вида: (1.2) где , K – некоторые фу нкции от n ,называется линейным разностным уравнением k - порядка . В случае, когда коэффициенты являются константами, методы решения данного класса уравнений в о многом аналогичны решению линейных дифференциальных уравнений с пос тоянными коэффициентами. Продемонстрируем это для разностных уравнени й 2-го порядка: (1.3) также как для линейных д ифференциальных уравнений, общее решение уравнения (1.3) определяется по ф ормуле: (1.4) где x ( n ) – некоторое частное решение (1.3), X ( n ) – общее решение соответствующее однородному уравнению (случай К=0). Для нахожден ия общего решения однородного уравнения необходимо вначале решить хар актеристическое уравнение: (1.5) после этого могут возни кнуть 3 варианта. 1. Оба корня и действительны и различны. Тогда общее решение находится по форм уле: (1.6) где и - произвольные константы. 2. Оба корня действитель ны и равны ( ), тогда (1.7) 3. В случае комплексно со пряженных корней (1.8) Пример. Найдем частное решение этого уравнения. Воспользуемся для этого методом не определенных коэффициентов. Будем искать частное реш ение в виде . По дставляя это выражение в наше уравнение, получим Следовательно, p =2, а значит, Решая характеристическое уравнение находим . Таки м образом, общее решение уравнения имеет вид: 2.Динамическая модель Кейнса Рассмотрим простейшую балансовую модель, включающую в себя о сновные компоненты динамики расходной и доходной частей экономики. Пус ть Y ( t ), F ( t ), S ( t ), I ( t ) – соответственно нац иональный доход, государственные расходы, потребление и инвестиции. Все эти величины рассматриваются, как функции времени t . Тогда справедливы следующие соотношени я (2.1) где a ( t ) – коэффициент склонности к потреблению (0< a ( t )<1); b ( t ) – автономное (конечное) потребление; k ( t ) – норма акселерации. Все функции, нах одящиеся в уравнении (1.9) положительны. Поясним смысл уравнения (1.9). Сумма всех расходов должна быть равной нацио нальному доходу – этот баланс отражен в первом уравнении. Общее потребл ение состоит из внутреннего потребления, некоторой части национальног о дохода в народном хозяйстве, плюс конечное потребление – эти составля ющие показаны во втором уравнении. Наконец, размер инвестиций не может б ыть произвольным: он определяется произведением нормы акселерации, вел ичина которой характеризуется уровнем технологий и инфраструктуры дан ного государства, на определенный национальный доход. Будем полагать, что функции a ( t ), b ( t ), k ( t ), и E ( t ) заданы – они я вляются характеристиками функционирования и эволюции данного государ ства. Требуется найти динамику национального дохода или Y как функцию времени t . Подставим выражение для S ( t ) из второго уравнения и I ( t ) из третьего уравнение в первое уравнение. После приве дения подобных получаем дифференциальное неоднородное линейное уравн ение первого порядка для функции Y(t) : (2.2) Т.к. существуют достаточ но сложная и простая формы решения этого уравнения, поэтому мы проанализ ируем более простой случай, полагая основные параметры a , b , k постоянными чи слами. Тогда уравнение (2.2) упрощается до случая линейного дифференциальн ого уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами: (2.3) (2.4) обозначим , в результате подучим (2.5) отсюда, (2.6) Нетрудно видеть, что эта величина положительна. Используя формулу : (2.7) получим общее решение одн ородного уравнения (2.8) (2.9) (2.10) в результате общее имее т вид (2.11) Как известно, общее решение неоднородного уравнения есть сумма ка кого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однор одного уравнения. В качестве частного решения уравнения (2.3) возьмем так н азываемое равновесное решение, когда , т.е. (2.12) (2.13) 3.Модель Самуэльсона-Хикса Модель делового цикла Самуэльсона-Хикса (динамическая модель Кейнса) являет ся примером линейного разностного уравнения. В этой модели используетс я так называемый принцип акселерации, т.е. предположение, что масштабы инвестирования прямо пропорцион альны приросту национального дохода. Данное предположение характеризу ется следующим уравнением (3.1) где коэффициент - фактор акселерации, - величина инвестиций в период , , - величины национального дохода соответственно в -м и -м периодах. Предполагается также, что потребление на данном этап е зависит от величины национального дохода на предыдущем этапе, т.е., что (3.2) условие равенства спро са и предложения имеет вид: (3.3) Подставляя в (3.3) выражени е для из (3.1) и выражение для из (3.2), находим: (3.4) Уравнение (3.4) известно ка к уравнение Хикса . Оно представляе т собой линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с п остоянными коэффициентами (если предположить, что на протяжении рассма триваемых периодов величины a и V постоянны ). Замечание. Мы можем легко найти частное решение уравнения (3.4), если положим, чт о (3.5) т.е. использовав в качест ве частного решение равновесное решение . Из (3.4) в силу (3.5) имеем (3.6) откуда (3.7) заметим также, что выраж ение в формуле (3.7) носи т название мультипликатор Кейнса и является одномерным аналогом матрица полных затра т. Пример. Рассмотрим модель Самуэл ьсона-Хикса при условии, что ; ; . В этом случае уравнение (3.4) принимает вид: (3.8) его частным решением будет (3.9) найдем корни характери стического уравнения имеем Таким образом, общим решением соответствующего однородного урав нения является где и - произвольные константы. Следовательно, общим решением урав нения будет Замечание. В зависимости от значений a и V возможны 4 типа ди намики. Она может быть растущей или затухающей и при этом иметь или не име ть колебательный характер. Так, в рассмотренном выше примере динамика но сила колебательный характер с возрастающей амплитудой. Пример : запишем характеристиче ское уравнение 4.Модельрынка с запаздыванием сбыта В реальности часто складывается такая рыночная ситуация, что цикл произ водства продукции отстает от цикла ее реализации. Это характерно, наприм ер, для сельского хозяйства. Да и в промышленном производстве предложени е формируется на основе цены в предшествующий период. Таким образом, фун кция предложения сдвинута S сдвинута по времени относительно цены P , т.е. будем полагать , что S ( t )= S ( P ( t -1)), в то время как функция спроса D одномоментно отвечает цене: D ( t )= D ( P ( t )). Для просто ты рассмотрим линейные зависимости спроса и предложения от цены: (4.1) Условие равновесия пре дполагает равенство предлагаемого и востребованного товара : D ( t )= S ( t ), откуда с учетом(4.1) имеем: (4.2) Поделим обе части этого равенства на b и перейдем, дл я удобства на шаг вперед по времени, получаем линейное неоднородное разн остное уравнения первого порядка относительно цены P с постоянными коэффициентами: (4.3) Характеристическое ура внение имеет вид и имеет единственный корень, равный – b / d . Частное же решение уравнения (4.3) удобно искать в виде постоянн ой величины; после подстановки в это уравнение оно легко определяется: (4.4) Величина является равновесной ценой. Общее решение уравнения (4.3) опред еляется формулой (4.5) где C – произвольн ая постоянная. Пусть в начальный момент времени известна цена (задача Коши), тогда подстановкой в равенство (4.5) находим , так что в окончательном виде получаем (4.6). Проанализируем получен ное решение. В зависимости от входных параметров задачи b , d , формул (4.3) д инамика цены во времени мажет быть разной. Здесь возможны 3 варианта : а) >1 – текущая цена расходится с ра вновесной ценой с увеличением размаха колебаний вокруг нее. б) <1 – текущая цена стремится к рав новесной с колебаниями около нее. в) =1 – две точки равновесия : в зависимости от четности t имеет место колебание от одной точки к другой. 5. Модель рынка с запа сами В этой модели предполагаются запасы товара как разность между предложе нием S и спросом D . Примем следующие допущения. 1. Спрос D ( t ) и предложение S(t) представляют собой линейные функции от теку щей цены P ( t ): (5.1) 2. Цена, устанавливаемая на рынке, зависит от объема запаса продукции на предшествующий период, п ричем разница в ценах во времени пропорциональна отрицательной величи не запаса с некоторым коэффициентом k (при наличии запаса цена на товар в последующий период падает): (5.2) где - за пасы товара. Подстановка соотношений (5.1) в (5.2) приводит к линейному разностному уравне нию первого порядка с постоянными коэффициентами относительно цены P ( t ): (5.3) (5.4) Пусть - значение цены в начальный момент времени t =0 , тогда решение этого уравнения имеет вид (5.5) где - равновесная цена, или стационарное решение уравнения (5.3). Сходимость P ( t ) во времени к значению P * существенно зави сит от величины и знака основания степени в (5.5) . Расс мотрим все возможные случаи сочетания этих параметров задачи. а) , откуда - монотонная сходимость P ( t ) к равнов есному значению P * б) =0 ,откуда , т.е. P ( t )= P * в) , откуда - сходимость цены P ( t ) к равновесному зна чению P * с колебаниями около него г) =-1, т.е. - две точки равновесия: P * и P 0 на каждом шаге по времени цена “перескаки вает” с одного значения на другое д) , т.е. - цена P ( t ) расходится с увеличением а мплитуды колебаний. Все указанные случаи приведены на рисунке в виде соответствующих серий дискретных отрезков. 6. Уравнение снабжени я (логистики) Пример : известно, что рост количества бактерий в с осуде удовлетворяет уравнению логистики, с постоянным k =0.2 . Пусть в начал ьный момент времени количество бактерий составляло 1% от максимально воз можного значения m . За какое время количество бактерий достигнет 80% от максимума. Решение : воспользуемся фо рмулой : при t =0 y =0.01 m подставляя это выражение получ им 7.Продуктивная модель Леонтьева Приведены данные по балансу за некоторый период между 5-ю отраслям и промышленности. Найти варианты конечного потребления м валового выпу ска, а также матрицу коэффициентов прямых затрат и определить является ли она продуктивной. удовлетворяет первому условию продуктивности : т.е. первое увеличится на 52,2%, второе га 35,8%, а третье на 85% соответственно. 8.Динамичкская модел ь Леонтьева В параграфе 7 была рассмо трена продуктивная модель межотраслевого баланса безотносительно ко в ремени, т.е. все ее компоненты полагались осредненными за некоторый врем енной интервал. В реальности продукт, предназначенный для внутреннего и конечного потребления в период t , определяется не текущим выпуском, а выпуском в последний период t+1 . Эта задержка производств а обусловлена многими факторами, в частности инерцией планирования и пе рестройки, мобилизации внутренних ресурсов и изменением транспорта сы рья и т.д. С учетом этого система уравнений баланса в предложении о постоянстве до ли внутреннего потребления каждой отраслью, будем иметь следующий вид рассчитать вариант вал ового выпуска на момент времени t =2, если все компоненты конечного потребления уве личить на 30% за каждый период. Решение : Таким образом, при указанном темпе роста продуктивность конечног о потребления необходимо через 2 временных цикла повысить компоненты ва лового выпуска соответственно на 12, 18, и 6% по сравнению с их величинами на на чальный момент времени. 9,Паутинные модели р ынка
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Он так себя любит, что даже молится перед зеркалом!
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Разностные уравнения", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru