Реферат: Прямая Эйлера - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Прямая Эйлера

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 185 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Прямая Эйлера Содержание. Введение. Деление отрезка в данном отно шении. Теорема о пересечении медиан треугольника в одной точке. Теорема о высотах произвольного треугольника. Прямая Эйлера. Медианы тетраэдра. Высоты тетраэдра. Прямая Эйлера тетраэдра. Использованные источники информации. Вступление. Свойства треугольни ка были хорошо изучены еще древними греками. В знаменитых “Началах” Евклида доказывается , что центром окружности , описанной около треугольника , является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам . Архимед , определяя положение центра тяжести однородной треугольной пластинки , установил , что он лежит на каждой из трех медиан . Точку пересечения медиан треугольника называют центром тяжести или центроидом треугольника. Позднее было доказано , что три высоты треугольника также пересекаютс я в одной точке , которая называется его ортоцентром . Закономерность в расположении этих трех замечательных точек треугольника – центра O описанной окружности , центроид а G , ортоцентра H – впервые обнаружил знаменитый математик Леонард Эйлер (1707-1783). Рассмотрим сначала один частный случай : прямоугольный треугол ьник ABC (рис .1). Середина O гипотенузы AB является центром описанной около него окружности . Центроид G делит медиану CO в отношении 1:2, считая от вершины C . Катеты AC и BC являются высотами треугольника , поэтому вершина C прямого угла совпадает с ортоцен тром H треугольника . Таким образом , точки O , G , H лежат на одной прямой , причем OH =3 OG . Пользуясь методом координат , Эйлер доказал , что такая же связь существует между тремя указанными точками любого треугольника . Мы докажем этот факт с помощью векторов. Де ление отрезка в данном отношении. Пусть A , B , O – данные точки плоскости , и известно , что точка G делит отрезок AB в отношении k : ------- = k (рис .2). Выразим вектор OG через векторы OA и OB . Для этого подставим в равенство AG = k * GB выражения всех векторов через OG , OA и OB : OG - OA = k ( OB - OG ). Решая это уравнение относительно OG , получим : OG = ------------- . (1) Например, если G – середина отрезка AB , то k =1 и OG = -- ( OA + OB ). Теорема о пересечении медиан треугольника в одной точке. Здесь мы попутно получим одно векторное равенство , которое понадобится нам в дальнейшем. Теорема 1. М едианы треугольника АВС пересекаются в одной точке G и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины , причем 3 PG = PA + PB + PC , (2) где P – любая точка плоскости или пространства . Доказательство . Возьмем на медиане CD треугольника ABC точку G , определяемую соотношением | CG |:| GD |=2:1 (рис . 3). Согласно фор муле (1), PD = -- ( PA + PB ), откуда PG = -- ( PA + PB + PC ). Вычисляя вектор PG ’ с концом в точке G ’ , делящей любую из двух других медиан треугольника в отношении 2:1 (считая от вершины ), мы получим то же самое выражение : PG ’ = -- ( PA + PB + PC ), Поэтому PG ’ = PG , и точка G ’ совпадает с точкой G . Следовательно , все три медианы треугольника пересекаются в одной точке G , определяемой соотношением (2). Теорема о высотах произвольного треугольника. Теорема 2. Высоты треугольника АВС пересека ются в одной точке Н , причем OH = OA + OB + OC , (3) где О – центр окружности описанной около треугольника. Доказательство . Пусть АВС – треугольник , отличный от прямоугольного (рис .4). -3- Найдем сумму векторов OA и OB . Для этого построим точку M , симметричную О относительно стороны AB , тогда OM = OA + OB . Затем построим точку Н, для котор ой OH = OM + OC = OA + OB +OC, и докажем , что точка H и есть ортоцентр треугольника АВС . Действительно , по построению прямые CH и OM параллельны , OM – серединный перпендикуляр к отрезку АВ , следовательно , прямая СН также перпендикулярна к прямой AB , и точка H лежит на высоте треугольника ABC , проведенной из вершины C . Если повторить построение , начиная с векторов OA и OC , то получится та же точка H , но те же рассуждения показывают , что теперь точка H лежит на высоте треугольника , проведенной из в ершины B . Аналогично получим , что точка H лежит на высоте , проведенной из вершины A . Следовательно , высоты треугольника ABC пересекаются в точке H , определяемой соотношением (3). Легко проверить , что теорема 2 справедлива и для прямоугольного треуго льника . Прямая Эйлера. Из доказанных теорем 1 и 2 вытекает интересующее нас свойство замечательных точек треугольника. Теорема 3. Центр О описанной окружности , центроид G и ортоцентр H любого треугольника лежат на одной прямой , причем точка G лежи т между точками О и Н и OG : GH = 1:2. Доказательство . По теореме 1 3 OG = OA + OB + OC . Сравнивая это равенство с равенством (3), получим OH = 3 OG . Следовательно , векторы OH и OG , имеющие общее начало O , расположены на одной прямой и | OG | : | GH | = 1 : 2 . Прямая , на которой лежат точки O , G и H , называется прямой Эйлера. В стереометрии простейший многогранник – тетраэдр играет ту же роль , что и треугольник в планиметрии . Свойства треугольника и тетраэдра во многом схожи . Попробуем распространить свойство замечательных точек треугольника на тетраэдр. Сфера , описанная около тетраэдра. Известно , что около всякого тетраэдра можно описать сферу , её центр O лежит на перпендикулярах к граням тетраэдра , восстановленных в центрах окружностей , описанных око ло граней. Медианы тетраэдра. Отрезок , соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противоположной грани , называется медианой тетраэдра . Свойства медиан тетраэдра аналогичны свойствам медиан треугольника. Теорема 4. Четыре медианы тетраэдра ABCD пер есекаются в одной точке G , которая делит каждую из них в отношении 3:1, считая от вершины тетраэдра , причем 4PG = PA + PB +PC +PD, (4) где P – любая точка пространства. Доказательство. Возьмем на медиане DG ’ тетраэдра ABCD точку G , определяемую соотношением DG : GG ’ = 3 : 1 ( рис 5). Согласно формуле (1), PG = ---------------. Учитывая , что центроид G ’ треугольника ABC удовлетворяет соотношению 3 PG = PA + PB + PC , получим PG = -- ( PA + PB + PC + PD ). Вычисляя вектор PG ’ ’ с концом в точке G ’ ’ , делящей любую из трех других медиан тетраэдра в отношении 3 : 1 (считая от вершины ), получим то же самое выражение . А это означает , что все четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке G , удовлетворяющей соотношению (4). Точка G , называется -5- центром тяжести (или центроидом ) тетраэдра . Высоты тетраэдра. Высоты треугольника все гда пересекаются в одной точке . По аналогии можно предположить , что высоты любого тетраэдра также пересекаются в одной точке . Однако это не так . Для примера ра ссмотрим тетраэдр ABCD с прямым двугранным углом при ребре AB , в котором AC = BC , но AD = BD (рис . 6). Высоты CE и DF тетраэдра лежат соответственно в гранях ABC и ABD , но точка E – середина AB , а F – нет . Если бы длины ребер DA и DB были равны , то основан ия E и F совпадали бы , но две другие высоты тетраэдра не могут проходить через точку E . Таким образом , даже две высоты тетраэдра могут не иметь общей точки. Тем не менее существуют и тетраэдры , все четыре высоты которых пересекаются в одной точке . Т аким будет , например , тетраэдр ABCD с прямыми плоскими углами при вершине D . Ребра DA , DB и DC являются его высотами , а вершина D – ортоцентром (точкой пересечения всех четырех высот ). Попробуем найти все тетраэдры , у которых высоты пересекаются в одно й точке. Пусть высоты тетраэдра ABCD , проведенные из вершин C и D , пересекаются в точке H -6- ( рис . 7). Тогда CH ’ __ AB и DH ’ ’ __ AB , т.е . прямая AB пер пендикулярна к двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости CDH , следовательно , AB __ BC . Аналогично доказывается , что если две другие высоты тетраэдра ABCD проходят через ту же точку H , то AC __ BD и AD __ BC . Итак , если все высоты тетраэдра пересекаются в од ной точке , то противоположные ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны . Такой тетраэдр называется ортоцентрическим. Теорема 5. Четыре высоты ортоцентрического тетраэдра ABCD пересекается в одной точке H , причем если O – центр сферы , описанной около тетра эдра , то OH = ---(OA + OB + OC + OD). (5) Доказательство . Пусть ABCD – ортоцентрический тетраэдр , DG ’ – ег о медиана , DH ’ – его высота (рис .8). Тогда G ’ центроид , а H ’ - ортоцентр треугольника ABC , причем точки O ’ ( центр окружности , описанной около треугольника ABC ), G ’ и H ’ лежат на одной прямой . Заметим , что центр O сферы , описанной около тетраэдра ABCD , лежит на перпендикуляре к плоскости треугольника ABC , восстановленном в точке O ’ . Будем доказывать теорему тем же способом , что и теорему 2 для треугольника : строить разными способами точку H , удовлетворяющую соотношению (5). Вначале сложим векторы OA , OB и OC : OM = OA + OB + OC . По теореме 1 OG ’ = -- ( OA + OB + OC ), поэтому OM = 3 OG ’ -7- или G ’ M = 2 OG ’ . Точки O ’ , G ’ , H ’ , лежат на прямой Эйлера треугольника ABC , причем H ’ G ’ = 2 G ’ O ’ . Следовательно, H ’ M = H ’ G ’ + G ’ M ’ =2( G ’ O ’ + OG ’ )=2( OG ’ + G ’ O ’ )=2 OO ’ . Отсюда вытекае т , что прямые H ’ M и OO ’ параллельны , а так как прямая OO ’ перпендикулярна к плоскости ABC , то и прямая H ’ M перпендикулярна к этой плоскости . Следовательно , точка M ’ лежит на прямой DH ’ ( если точки O и O ’ совпадают , то точки M и H ’ тоже совпадают ). Пусть теперь OH = --- ( OM + OD )= ---( OA + OB + OC + OD ). Из левого равенства следует , что точка H является серединой отрезка DM , т.е . точка H лежит на DH ’ тетраэдра. Аналогично строится точка N : ON = OA + OB + OD и та же точка H : OH = --( ON + OC ) и доказывается , что точка H лежит на высоте тетраэдра , проведенной из вершины C , и т.д. Следовательно , высоты ортоцентрического тетраэдра пересекаются в одной точке H , определяемой соотношением (5). Прямая Эйлера тетраэдра. Теорема 6. Центр О описанной сферы , центроид G и о ртоцентр Н ортоцентрического тетраэдра ABCD лежат на одной прямой , причем точки О и Н симметричны относительно точки G . Доказательство . По формулам (4) и (5) OH = -- ( OA + OB + OC + OD ), OG= -- (OA + OB + OC + OD), откуда OH =2 OG . Полученное равенс тво означает , что точки O , G , H лежат на одной прямой , причем точки О и Н симметричны относительно точки G . Прямую , на которой лежат точки O , G , H , можно назвать прямой Эйлера ортоцентрического тетраэдра. В данном реферате собран материал необходимый дл я выявления прямой Эйлера и прямой Эйлера тетраэдра . Использованные источники информации : 1. “ Прямая Эйлера ” ( Э . Готман ) . 2. Международная информационная сеть Internet ( URL : http://www.referat.ru; http://dlc.miem.edu.ru/referat ). -9-
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
- Что бы кто ни говорил, а люди везде одинаковые, - причмокивал каннибал, разделывая на ужин очередную жертву.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Прямая Эйлера", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru