Реферат: Призма как геометрическое тело - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Призма как геометрическое тело

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 28 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Реферат по геометрии на тему : “Призма” учащейся 2 курса Московского Экстерната Москва 1996 Оглавление 1. Краткий обзор развития геометрии 1.1 Общий исторический обзор 1.2. О развитии геометрии в Древней Гр еции до Евклида 2. Призма 2.1 Площадь поверхности призмы 2.2. Призма и пирамида 2.3. Пирамида и площадь ее поверхности 2.4. Измерение объемов 2.5. О пирамиде и ее объеме 2.6. О призме и параллелепипеде 2.7. Параллелепипед 3. Симметрия в пространстве Призма (чертеж ) Задачи Литература О пределение. Многогранник , две грани которого - одноименные многоугольники , лежащие в параллельных плоскостях , а любые два ребр а , не лежащие в этих плоскостях , параллель ны , называется призмой. 1. Краткий обзор развития геометрии 1.1 Общий исторический обзор Первые геометричес кие понятия возникли в доисторические времена . Разные формы материальных тел наблюдал ч еловек в природе : формы растений и животны х , гор и извилин рек , круга и серпа Луны и т . п . Однако человек не тольк о пассивно наблюдал природу , но прак ти чески осваивал и использовал ее богатства . В процессе практической деятельности он на капливал геометрические сведения . Материальные по требности побуждали людей изготовлять орудия труда , обтесывать камни и строить жилища , лепить глиняную посуду и натягив а ть тетиву на лук . Конечно , десятки и со тни тысяч раз натягивали люди свои луки изготовляли разные предметы с прямыми ребр ами и т . п ., пока постепенно дошли до отвлеченного понятия прямой линии . Примерно то же можно сказать о других основных геометрических понятиях . Практическая деятельность человека служила основой длительного процесса выработ ки отвлеченных понятий , открытия простейших г еометрических зависимостей и соотношений. Начало геометрии было положено в древ ности при решении чисто практических задач. Со временем , когда накопилось большое количество геометрических фактов , у людей п оявилось потребность обобщения , уяснения зависимо сти одних элементов от других , установления логических связей и доказательств . Постепенно создавалась геометрическая наука . П римерно в VI - V вв . до н . э . в Древней Г реции в геометрии начался новый этап разв ития , что объясняется высоким уровнем , которог о достигла общественно-политическая и культурная жизнь в греческих государствах . Произведения , содержащие систематическое излож е ни е геометрии , появились в Греции еще в V до н.э ., но они были вытеснены “Началами” Евклида. Геометрические знания примерно в объеме современного курса средней школы были из ложены еще 2200 лет назад в “Началах” Евклида . Конечно , изложенная в “Началах” наук а геометрия не могла быть создана одним ученым . Известно , что Евклид в своей раб оте опирался на труды десятков предшественник ов , среди которых были Фалес и Пифагор , Демокрит и Гиппократ , Архит , Теэтет , Евдокс и др . Ценой больших усилий , исходя из отдельны х геометрических сведений , накопленных тысячелетиями в практической деятель ности людей , эти великие ученые сумели на протяжении 3 - 4 столетий привести геометрическую науку к высокой ступени совершенства . Истор ическая заслуга Евклида состоит в том , что он, создавая свои “Начала” , объеди нил результаты своих предшественников , упорядочил и привел в одну систему основные гео метрические знания того времени . На протяжени и двух тысячелетий геометрия изучалась в том объеме , порядке и стиле , как она бы ла изложена в “ Началах” Евклида . Многие учебники элементарной геометрии во вс ем мире представляли (а многие и поныне представляют ) собой лишь переработку книги Евклида . “Начала” на протяжении веков были настольной книгой величайших ученых. В XVII в . Декарт благодаря мето ду координат сделал возможным изучение свойств г еометрических фигур с помощью алгебры . С э того времени начала развиваться аналитическая геометрия . В XVII - XVIII вв . зарождается и разрабатывается дифференциальная геометрия , изучающая свойства фигур с помощ ью методов математического анализа . В XVIII- XIX вв . развитие военного дела и архитектуры привело к разработке методов точного изобр ажения пространственных фигур на плоском черт еже , в связи с чем появляются начертательная геометрия , научные основы которой заложил французск ий математик Г . Монж , и п роективная геометрия , основы кото рой были созданы в трудах французских мат ематиков Д.Дезарга и Б.Паскаля (XVII в .). В ее создании важнейшую роль сыграл другой фран цузский математик - Ж . В . Понселе (XIX в .). Коренно й перелом в геометрии впер вые произвел в первой половине Х IХ в . великий русский математик Николай Иванович Лобачевский , который создал новую , неевклидову геометрию , называемую ныне геометрией Лобачевского. Открытие Лобачевского было началом нового периода в развитии геометрии . За ни м последовали новые открытия немецкого матема тика Б . Римана и др. В настоящее время геометрия тесно пер еплетается со многими другими разделами матем атики . Одним из источников развития и обра зования новых понятий в геометрии , как и в других областях математики , являют ся современные задачи естествознания , физики и техники. 1.2. О развитии геометрии в Древней Греции до Евклида Ученые и филос офы Древней Греции восприняли и переработали достижения культуры и науки Древнего Вос тока . Фал ес , Пифагор , Демокрит , Евдокс и др . ездили в Египет и Вавилон для изучения музыки , математики и астрономии . Не случайно зачатки греческой геометрической на уки связаны с именем Фалеса Милетского , основателя ионийской школы . Ионийц ы , населявшие территорию , к оторая граничил а с восточными странами , первыми заимствовали знания Востока и стали их развивать . Ученые ионийской школы впервые подвергли логи ческой обработке и систематизировали математичес кие сведения , позаимствованные у древневосточных народов , в особ е нности у вави лонян . Фалесу , главе этой школы , Прокл и другие историки приписывают немало геометричес ких открытий . Об отношении П ифагора Самосского к геометрии Прокл пишет в своем комментарии к “Нач алам” Евклида следующее : “Он изучал эту на уку (т . е . геомет рию ), исходя от перв ых ее оснований , и старался получать теоре мы при помощи чисто логического мышления” . Прокл приписывает Пифагору , кроме известной теоремы о квадрате гипотенузы , еще построен ие пяти правильных многогранников : 1) тетраэдр , имеющий 4 грани, 4 вершины , 6 ребер (рис . ); 2) куб - 6 граней , 8 вершин , 12 ребер (рис . ); 3) октаэдр - 8 граней , 6 вершин , 12 ребер (рис . ); 4) додекаэдр - 12 граней , 20 вершин , 30 ребер (рис . ); 5) икосаэдр - 20 граней , 12 вершин , 30 ребер (рис . ). Г рани додекаэдра являются правильными пятиугольниками . Диагонали же правильного пя тиугольника образуют так называемый звездчатый пятиугольник (рис . ) - фигуру , которая служила эмблемой , опознавательным знаком для учеников Пифагора . Известно , что пифаго р ейски й союз был одновременно философской школой , политической партией и религиозным братством . Согласно легенде , один пифагореец заболел на чужбине и не мог перед смертью р асплатиться с ухаживавшим за ним хозяином дома . Последний нарисовал на стене своего дома звездчатый пятиугольник . Увидав через несколько лет этот знак , другой странствующий пифагореец осведомился о случивш емся у хозяина и щедро его вознаградил. Достоверных сведений о жизни и научно й деятельности Пифагора не сохранилось . Ему приписывается создание учения о подобии фигур . Он , вероятно , был среди первых ученых , рассматривавших геометрию не как прак тическую и прикладную дисциплину , а как аб страктную логическую науку. В школе Пифагора было открыто существ ование несоизмеримых величин , т . е . таки х , отношение между которыми невозможно выразить никаким целым или дробным числом . Примером может служить отношение длины д иагонали квадрата к длине его стороны , рав ное ? 2. Число это не является рациональным (т . е . целым или отношением двух целых чисел ) и н азывается иррациональным , т.е . нерациональным (от латинского ratio - отношение ). Пифагорейцы не знали других чисел , кро ме рациональных . Построив диагональ квадрата , сторона которого равна 1, они констатировали , чт о она не может быть выражена никаким числом , так как для них не было других чисел , кроме целых и дробных . Этот факт привел в большое смущение пифагорей цев , так как в основе их философии леж ало понятие о числе как основе всех в ещей и явлений природы . Но вот эта вел икая основа - число - не в состоян и и выразить длины простого отрезка в простой фигуре - диагонали квадрата . Вот поч ему открытие несоизмеримых величин явилось бо льшим ударом по учению Пифагора и пифагор ейцы долго его держали в строгой тайне . Согласно преданию , ученик Пифагора , раскрывший пу б лично эту тайну , был наказ ан богами и погиб во время кораблекрушени я . Открытие несоизмеримых величин было важным поворотным пунктом в развитии античной м атематики . Узнав , что существуют отношения вел ичин , не выражаемые никакими рациональными чи слами , древ н егреческие ученые стали представлять величины не арифметически , а г еометрически , не числами , а отрезками . Таким образом , возникла геометрическая алгебра , а потом и теори я отношений Евдокса. 2. Призма Рассмотрим произво льный многоугольник , например , пятиуго льник АВС DЕ (см . чертеж на стр . 25), который лежит в плоскос ти a . Рассмотри м теперь параллельный перенос , определяемый н екоторым ненулевым вектором V , не лежащим в плоскости . О бразом плоскости a будет параллельная ей плоскость b . Образом многоугольн ика Ф б удет многоугольник Ф 1 = A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 , лежащий в плоскости b . Направленные отрезки AA 1 , BB 1 будут паралл ельны , так как каждый из них изображает один и тот же вектор V . Многогранник ABCDEA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 называют призмой. Определение 1. Многогранник , две грани которог о - одноименные многоугольники , лежащие в параллельных плоскостях , а любые два ребра , не лежащие в этих плоскостях , параллельн ы , называется призмой. Многоугольники Ф и Ф 1 , лежащие в параллельных плоск остях , называют основаниями призмы , а остальны е грани - боковыми гранями . Поверхность призмы , таким образом , состоит из двух равных многоугольников (оснований ) и параллелограммов (боковых граней ). Различают призмы треугольные, четырехугольные , пятиугольные и т.д . в зависимости от числа вершин основан ия. Если бо ковое ребро призмы перпенд икулярно плоскости ее основания , то такую призму называют прямой ; если боковое ребро призмы перпенд икулярно плоскости ее основания , то такую призму называют наклонной . У прямой призмы боковые грани - прямоугольники . Перпендикуляр к плоскостям оснований , концы которого принадлежат этим плоскостям , называют высотой призмы . На рис . отрезок A 1 O - высота изображенной призмы. Определение 2. Прямая призма , основанием которой служит правильный многоугольник , называется правильной пр измой. Боковое ребро прямой призмы , в том числе и правильной , есть ее высота . На рисунке изображена правильная шестиугольная п ризма и ее разверстка ; высота этой призмы равна ее боковому ребру . Отрезок , концы которого - две вершины , не принадлежащие одн о й грани призмы , называют ее диагональю . Отрезок B 1 D (см . рис . ) - диагональ призмы . Сечение призмы с плоскостью , проходяще й через два боковых ребра , не лежащих в одной грани , называют диаг ональным сечением призмы. 2.1 Площадь поверх ности призмы Поверх ность многогранника состоит из конеч ного числа многоугольников (граней ). Площадь по верхности многогранника есть сумма площадей в сех его граней . Площадь поверхности призм ( S пр ) равна сумме площадей ее боковых гр аней (площади боковой поверхности S бок ) и площ адей двух оснований (2 S осн ) - равн ых многоугольников : S пр = S бок +2 S осн . Теорема. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра ее перпендикулярног о сечения и длины бокового ребра. Дано : АС 1 - произвольная n -уг ольная призма (на рисунке в качестве примера изображен а четырехугольная призма ), a^ AA 1 , A 2 B 2 C 2 D 2 - перпендикулярное сечение (сечение призмы плоск остью , перпендикулярной боковому ребру ), l - длина бокового ре бра. Доказать : S бок = Р ? l , где Р - периметр перпендикул ярного сечения. Дока зательство. S бок = S AA 1 B 1 B + S BB 1 C 1 C + S CC 1 D 1 D +... 1444442444443 n слагаемых Каждая боковая грань призмы - п араллелограмм , основание которого - боковое ребро призмы , а высота - сторона перпендикулярного сечения. Поэтому S бок = lA 2 B 2 + lB 2 C 2 + lC 2 D 2 +...=( A 2 B 2 + B 2 C 2 + C 2 D 2 +...) l = P ? l . S бок = Р ? l. Теорема доказана. Следствие. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее о снования и высоты. Действительно , у прямой призмы основание можно рассматривать как перпендикулярное сеч ение , а боково е ребро есть высота. 2.2. Призма и п ирамида Подобно тому , к ак треугольник в понимании Евклида не явл яются пустым , т . е . представляет собой часть плоскости , ограниченную тремя неконкурентными (т . е . не пересекающимися в одной точке ) отрезками , так и многогр анник у него не пустой , не полый , а чем-то заполненный (по-нашему - частью прост ранства ). В античной математике , однако , понятия отвлеченного пространства еще не было . Ев клид определяет призму как телесную фигуру , заключенную между двумя равными и паралле л ьными плоскостями (основаниями ) и с боковыми гранями - параллелограммами . Для тог о чтобы это определение было вполне корре ктным , следовало бы , однако , доказать , что п лоскости , проходящие через пары непараллельных сторон оснований , пересекаются по параллел ь ным прямым . Евклид употребляет те рмин “плоскость” как в широком смысле (рас сматривая ее неограниченно продолженной во вс е направления ), так и в смысле конечной , ограниченной ее части , в частности грани , аналогично приме нению им термина “прямая” (в широком смысле - бесконечная прямая и в узком - отрезок ). В XVIII в . Тейлор дал такое опре деление призмы : это многогранник , у которого все грани , кроме двух , параллельны одной прямой. Пирамиду Евклид определяет как телесную фигуру , ограниченную плоскостя ми , которы е от одной плоскости (основа ния ) сходятся в одной точке (вершине ). Эго определение подвергалось крити ке уже в древности , например , Героном , пред ложившим следующее определение пирамиды : это фигура , ограниченная треугольниками , сходящимися в одной точке , и о снованием которой служит многоугольник. Важнейшим недостатком этого определения я вляется использование неопределенного понятия ос нования . Тейлор определил пирамиду как многог ранник , у которого все грани , кроме одной , сходятся в одной точке . Лежандр в “Эл ем ентах геометрии” так определяет пирамид у : “Телесная фигура , образованная треугольниками , сходящимися в одной точке и заканчивающаяс я на различных сторонах плоского основания” . После этой формулировки разъясняется поняти е основания . Определение Лежандра яв л яется явно избыточным , т.е . содержит пр изнаки , которые можно вывести из других . А вот еще одно определение , которое фигурир овало в учебниках Х IХ в .: пирамида - телесный угол , пересеченный плос костью. Еще в древности существовали два пути определения геомет рических понятий . Перв ый вел от фигур высшего порядка к фиг урам низшего . Такой точки зрения придерживалс я , в частности , Евклид , определяющий поверхност ь как границу тела , линию - как границу поверхности , концы же линии - как точки . Второй путь ведет , наобо рот , от фигур низшего измерения к фигурам высшего : движ ением точки образуется линия , аналогично из линий составляется поверхность и т . д . О дним из первых , который соединил обе эти точки зрения , был Герон Александрийский , писавший , что тело ограничивается п о верхностью и вместе с этим может быть рассмотрено как образованное движением поверхн ости . В появившихся позже на протяжении ве ков учебниках геометрии принималась за основу то одна , то другая , а иногда и обе вместе точки зрения. 2.3. Пирамида и площадь ее поверхности Определение. Многогранник , одна и з граней которого - многоугольник , а остальные грани - треугольники с общей вершиной , наз ывается пирамидой. На рисунке изображены пятиугольная пирам ида SABCDE и ее развертка . Треугольники , имеющие общую верш ину , называют боковыми г ранями пирамиды ; общую вершину боковых граней - вершиной пирамиды ; многоугольник , которому не принадлежит эта вершина ,- ос нованием пирамиды ; ребра пирамиды , сходящиеся в ее вершине ,- боковыми ребрами пира-миды . Высота пирамиды - это отрезок перпендикуляра , проведенного через ее вершину к плоскости основания , с концами в вершине и на плоскости ос нования пирамиды . На рисунке отрезок SO - высота пирамиды. Определение. Пирамида , основание которой - прав ильный многоугольник и вершина проектируетс я в его центр , называется правильной. На рисунке изображена правильная шестиуг ольная пирамида. 2.4. Измерение объе мов Объемы зерновых амбаров и других сооружений в виде куб ов , призм и цилиндров египтяне и вавилонян е , китайцы и индийцы вычис ляли путем умножения площади основания на высоту . Од нако древнему Востоку были известны в осн овном только отдельные правила , найденные опы тным путем , которыми пользовались для нахожде ния объемов для площадей фигур . В более позднее время , когда геометрия с ф ормировалась как наука , был найден общ ий подход к вычислению объемов многогранников . Среди замечательных греческих ученых V - IV вв . до н.э ., которые разрабатывали теорию объе мов , были Демокрит из Абдеры и Евдокс Книдский. Евклид не применяет термина “объе м” . Для него термин “куб” , например , означа ет и объем куба . В Х I книге “Начал” изложены среди других и теоремы следующего содержания. 1. Параллелепипеды с одинак овыми высотами и равновеликими основаниями ра вновелики . 2. Отношение объемов двух параллелепипе дов с равными высотами ра вно отношению площадей их оснований . 3. В равновеликих параллеле пипедах площади оснований обратно пропорциональн ы высотам . Теоремы Евклида относятся только к ср авнению объемов , так как непосредственное выч исление объемов тел Евклид , вероятно , счи тал делом практических руководств по геометри и . В произведениях прикладного характера Геро на Александрийского имеются правила для вычис лений объема куба , призмы , параллелепипеда и других пространственных фигур. 2.5. О пирамиде и ее объеме Те рмин “пи рамида” заимствован из греческого “пирамис” и ли “пирамидос” . Греки в свою очередь позаи мствовали это слово , как полагают , из егип етского языка . В папирусе Ахмеса встречается слово “пирамус” в смысле ребра правильно й пирамиды . Другие считают , что т е рмин берет свое начало от форм хл ебцев в Древней Греции “пирос” - рожь ). В связи с тем , что форма пламени иногда напоминает образ пирамиды , некоторые средневеко вые ученые считали , что термин происходит греческого слова “пир” - огонь . Вот почему в некоторы х учебниках геометрии XVI в . пирамида названа “огнеформное тело”. В Древнем Египте гробницы фараонов им ели форму пирамид . В III Тысячелетии до н.э . египтяне сооружали ступенчатые пирамиды , сложе нные из каменных блоков ; позже египетские пирамиды приобрели ге ометрически правильную форму , например пирамида Хеопса , высота к оторой достигает почти 147 м , и др . Внутри пирамид находились погребальные склепы и к оридоры. Согласно Архимеду , еще в V до н.э . Де мокрит из Абдеры установил , что объем пира миды равен одной тр ети объема призмы с тем же основанием и той же выс отой . Полное доказательство этой теоремы дал Евдокс Книдский в IV до н.э. В “Началах” Евклида доказывается , что в равновеликих пирамидах площади оснований об ратно пропорциональны соответствующим высотам . Пе рвое непосредственное вычисление объема п ирамиды , дошедшее до нас , встречается у Ге рона Александрийского. Интересно отметить , что в древних доку ментах встречаются правила для определения об ъема усеченной пирамиды , о нет правил вычи сления объема полной пира миды . В “Моск овском папирусе” имеется задача , озаглавленная “Действия с усеченной пирамидой” , в которой излагается верное вычисление объема одной усеченной пирамиды . В вавилонских клинописных табличках также не встречается вычисление объема пирамиды , но з а то в них есть много примеров вычисления объема усеченной пирамиды. 2.6. О призме и параллелепипеде В памятниках в авилонской и древнеегипетской архитектуры встреч аются такие геометрические фигуры , как куб , параллелепипед , призма . Важнейшей задачей египе тско й и вавилонской геометрии было оп ределение объема различных пространственных фигу р . Эта задача отвечала необходимости строить дома , дворцы , храмы и другие сооружения. Часть геометрии , в которой изучаются с войства куба , призмы , параллелепипеда и других геом етрических тел и пространственных фигур , издавна называется стереометрией ; Слово это греческого происхождения (“стереос” - прос транственный , “метрео” - измеряю ) и встречается еще у знаменитого древнегреческого философа А ристотеля . Стереометрия возникла по з ж е , чем планиметрия . Евклид дает следующее определение призмы : “Призма есть телесная (т.е . пространственная ) фигура , заключ енная между плоскостями , из которых две пр отивоположные равны и параллельны , остальные же - параллелограммы”. Тут , как и во многих др угих местах , Евклид употребляет термин “плоскость” не в смысле безгранично продолженной плоскости , а в смы сле ограниченной ее части , грани , подобно тому как “прямая” означает у него и о трезок прямой. Термин “призма” греческого происхождения и буквально озн ачает “отпиленное” (тело ). Термин “параллелепипедальное тело” встречает ся впервые у Евклида и означает дословно “параллеле-плоскостное тело” . Греческое слово “кубос” употребляется Евклидом в том же смысле , что и наше слово “куб” 2.7. Параллелепипед Опреде ление. Призма , основан ие которой - параллелограмм , называется параллелепи педом. В соответствии с определением параллелепипед - это четырехугольная при зма , все грани которой - параллелограммы (рис . ). Параллелепипеды , как и призм ы , могут быть прямыми и на клонными . На рисунке изображен наклон ный параллелепипед , а на рисунке - прямой параллелепипед. Прямой параллелепипед , основанием которого служит прямоугольник , называют прямоугольным параллелепипедом . У прямоугольного параллелепипеда все грани - пр ямоугольники . Моделями прямоугольного па раллелепипеда служат классная комната , кирпич , спичечная коробка. Длины трех ребер прямоугольного параллеле пипеда , имеющих общий конец , называют его измерениями . Напр имер , имеются спичечные коробки с измерениями 15, 35, 50 мм . Куб - прямоугольный параллелепипед с равными измерениями . Все шесть граней куба - равные квадраты. Рассмотрим некоторые свойства параллелепипед а. Теорема. Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали. Дано : АС 1 (рис . ) - про извольный параллелепипед , В 1 D - его диагональ , точка О - середина этой диагонали. Доказать : Z 0 ( AC 1 ) = AC 1 . Доказательство. Р ассмотрим центральную симметрию Z 0 с центром в точке О . Центральная симметрия - перемещение (сохраняет р асстояния ), отображающее ка ждый луч на противоположный ему луч . Поэтому B 1 = Z 0 ( D ), B 1 C 1 = Z 0 ( DA ), DA = B 1 C 1 , C 1 = Z 0 ( A ). Аналогично можно показать , что точки D 1 и В , А 1 и С также центрально-симметричны . Таким образом , симметрия отображает поверхность параллелепипед а на себя . Внутре нность параллелепипеда также отображает на себя (параллелепипед мо жно рассматривать как пересечение полупространст в , образованных плоскостями его граней , а перемещение отображает пересечение фигур на п ересечение их образов ). Таким образом , центральная симм етрия Z 0 отображает параллелепипед на себя : Z 0 (AC 1 ) = AC 1 . Теорема доказана. Из теоремы непосредственно следуют важные свойства параллелепипеда : 1. Любой отрезок с конц ами , принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонал и , делится ею пополам ; в частности , все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Так , на рисунке A 1 O = OC , B 1 O = OD , D 1 O = OB , AO = OC 1 , а также MO = ON , где M ` A 1 B 1 C 1 D 1 , N ` ABCD , O ` MN . 2. Противолежащие грани пар аллелепипеда пара ллельны и равны. Так , на рисунке AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C , ( AA 1 D 1 ) ? ( BB 1 C 1 ). Рассмотренными свойствами обладает произволь ный параллелепипед . Докажем одно свойство пря моугольного параллелепипеда. Теорема. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадрата т рех его измерений. Дано : АС 1 - прямоугольный параллелепипед , ? AB ?= a , ? AD ? = b , ? AA 1 ? = c - его измерения , ? AC 1 ? = d - длина его диагонали. Доказать : d 2 = a 2 + b 2 + c 2 . Доказательство. Введем систему координат так , к ак показано на рисунке , при няв за ее начало вершину А , за произвольный базис тройку в екторов V , b , c . Тогда вектор AC имеет координаты ( a;b;c ), и , следовательно, e AC ? 2 = d 2 = a 2 + b 2 + c 2 . Теорема доказана. 3. Симметрия в пространстве Теорема , в кото рой утверждается , что все диагонали пара ллелепипеда пересекаются в одной точке О , в которой они делятся пополам (рис ), напоминает аналогичное предложение из планиметрии : диагонали паралл елограмма пересекаются в точке О , являющейся их середино й (рис . ). Точка О - это центр симметрии пар аллелограмм а . Аналогично называют и точку О центром симметрии параллелепипеда , так как вершины А и С 1 , В и D 1 , С и А 1 , D и В 1 симметричны относительно точки О . Впервые понятие центра симметрии встречается в Х VI в . в одной из теорем Клавиуса , гласящей : если параллелепипед рассекается плоскостью , проходящей через цен тр , то он разбивается пополам и , наоборот , если параллелепипед рассекается пополам , то плоскость проходит через центр. Лежандр , который впервые ввел в эле ментарную геометрию элементы учения о симм етрии , говорит только о симметрии отно сительно плоскости и дает следующее определен ие : две точки A и B с имметричны относительно плоскости a , если последняя перпенд икулярна к АВ в середине этого отрезка . Лежандр п оказывает , что у прямого параллелепипеда име ются 3 плоскости симметрии , перпендикулярные к ребрам , а у куба 9 плоскостей симметрии , из которых 3 перпендикулярны к ребрам , а другие 6 проходят через диагонали граней. Призма Задачи Литература 1. Глейзер Г.Д . Геометрия . Учебное пособие для старших класс ов . М ., Просвещение , 1994. 2. Погорелов А.В . Геометрия . Учебное пособи е для 7-11 классов . М ., Просвещение , 1992.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
- А у вас есть рекомендация с прошлой работы?
- Нет.
- Зря не попросили. Без рекомендации сложно найти место.
- С такой было бы вообще невозможно.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Призма как геометрическое тело", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru