Реферат: Приближенное вычисление корней в уравнениях - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Приближенное вычисление корней в уравнениях

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 20 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Приближенное вычисление корне й в уравнениях Содержание. 1. Приближ ённое решение уравнений : 1.1 Способ хорд (или способ линейной интерполяции ). 1.2 Способ касательных (или способ Нь ютона ). 1.3 Комбинированный способ (комбинированное применение способов хорд и касательных ). 2. Заключение. 3. Список литературы. Приближённ ое решение уравнени й. Если к вадратные уравнения решали уже древние греки , то способы решения алгебраических уравнений третьей и четвёртой степени были открыты лишь в XVI веке . Эти классические способы да ют точные значения корней и выражают их через коэффи циенты уравнения при помощ и радикалов различных степеней . Однако эти способы приводят к громоздким вычислениям и поэтому имеют малую практическую ценность . В отношении алгебраических уравнений пято й и высших степеней доказано , что в об щем случае их решени я не выражаются через коэффициенты при помощи радикалов . Не выражаются в радикалах, например , корни уже такого простого по виду уравнения , как : х ^5-4х -2=0 Сказанное , однако , не означает отсутствия в науке методов решения уравнения высших степеней . Имеется много способов прибли женного решения уравнений - алгебраических и н еалгебраических (или , как их называют , трансцен дентных ), позволяющих вычислять их корни с любой , заранее заданной степенью точности , что для практических целей вполне достаточно . На прост ейших из таких способов мы и остановимся , причём речь будет идт и о вычислении действительных корней . Пусть нужно решить уравнение : f ( x )=0 (1) Если обратиться к рисун ку , то каждый корень уравнения (1) представляет собой абсциссу точки пересечения графика функции y = f (х ) C осью Ох (рисунок № 1) С помощью графика функции и ли каким-нибудь иным способом обычно удаётся установить приблизительные значения ко рн ей . Это позволяет для каждого корня получи ть грубые приближения по недостатку и по избытку . Такого рода грубых приближений в о многих случаях оказывается достаточно , чтоб ы , отправляясь от них , получить все значен ия корня с требуемой точностью . Об этом и п ойдёт речь . Итак , пусть корень Е уравнения (1) "зажат " между двумя его приближениями а и b по недостатку и по и збытку а < E < b . При этом будем пред полагать , что f (х ), f `(х ) , f ``(х ) непрерывны на отрезке [ а , b ], причём f `(х ) и f ``(х ) сохраняют зна к . Со хранение знака у f `(х ) говорит о монотонности f (х ) ( и , следоват ельно , f ( a ) u f ( b ) имеют разные зна ки ). Сохранение же знака у f ``(х ) означае т , что выпуклость кривой y = f (х ) для всех х отрезка [ а , b ] о бращена в одну сторону . На рисунке № 2 и зображены 4 случа я , отвечающих возложенным комбинациям знаков у f `(х ) и f ``(х ) . Способ хорд (или способ линейной интерполяции ). Проведём хорду АВ (рисунок№ 3) и за первое приближённое значение корня примем абсциссу x 1 точки С пересечения хорды с осью Ох. Уравнение хорды и меет вид : y - f ( a )/ f ( b )- f ( a )= x - a / b - a . Поэтому в точке С : -f(a)/f(b)-f(a)= x1-a/b-a откуда : x1=a- (b-a)*f(a)/ f(b)-f(a) Рассмотрение всех четырёх слу чаев , изображённых на рисунке № 2, показывает , что точка x 1 лежит между a и b с той стороны от Е , г де f (х ) имеет знак , противоположный знаку f ``(х ). Остановим внимание на первом случае : f `(х )> 0, f ``(х )> 0 (рисунок № 3), - в остальных случаях рассуждение вполне аналоги чно . В этом первом случае x 1 лежит между a и Е . С отрезком [ x 1, b ] поступаем так же , как мы поступаем с отрезком [ a , b ] (рису нок № 4). При этом для нового приближённого значения корня получаем : x 1 = x 2-( b - x 1)* f ( x 1)/ f ( b )- f ( x 1) ( в формуле (2) заменяем x 1 на x 2 , а на x 1 ); значение x 2 оказывается меж ду x 1 и Е . Рассматриваем отрезок [ x 2, b ] и находим новое приближённое x 3 , заключённое меж ду x 2 и Е и. т . д . В результате получим последовательность а < x 1< x 2< x 3<… < xn <… < E (3) , всё более и более точных приближённых зна чений корня , причём х n +1 через xn выражается формулой : х n +1= xn -( b - xn )* f ( xn )/ f ( b )- f ( xn ) (4) Для оценки погрешности соответс вующих приближений воспользуемся формулой Лагран жа : f ( xn )- f ( E )= f `( c )*( xn - E ) ( xn < c < E ) или , поскольку f ( E )=0: f ( xn )= f `( c )( xn - E ), откуда : xn -Е = f ( xn )/ f `( c ) Если обозначить через m наимень шее значен ие | f `(х )| на рассматриваемом отрезке , то д ля оценки погрешности получим формулу : | xn - E |<| f `( xn )|/ m (5) Эта формула , заметим , совершенно не св язана со способом отыскивания величин xn и , следовательно , приложила к приближённым значениям корня , по лучаемым любым методом . Форм ула (5) позволяет судить о близости xn к Е по величине значения f ( xn ). Однако в большин стве случаев она даёт слишком грубую оцен ку погрешности , т . е . фактическая ошибка ок азывается значительно меньше. Легко доказать , что последо вательност ь приближений : x 1, x 2, x 3,… xn , … (6) для корня Е , получаемых по способу хорд , всегда сходится к Е . Из случая , рассматривающегося выше , мы видим , что посл едовательность (6) - монотонная и ограниченная . Поэтом у она имеет некоторый предел n < E . Переход я к пределу в равен стве (4), в силу непрерывности f ( x ) получим : n=n-(b-n)f(n)/f(b)-f(n) откуда F ( n ) =0. Так как f ( x ) возрастает на отрезке [ a , b ] , то уравнение f (х )=0 имеет единственный корень , и этим корнем по условию явля ется Е . Поэтому n = E , т . е . lim xn = E . Пример № 1. Методом хорд найдём положит ельный корень уравнения х ^ 4-2х -4=0 с точностью до 0,01. Решение : Положительный корень будет находиться в промежудке (1; 1,7), так как f (1)=-5 < 0, а f (1,7)=0,952 > 0 Найдём первое приближённое значение корня по форму ле (2): х 1=1-91,7-1)* f (1)/ f (1,7)- f (1)=1,588; так как f (1,588)=-0,817 <0, то , при меняя вторично способ хорд к промежу т ку (1,588; 1,7), найдём второе приближённое значе ние корня : х 2= 1,588-(1,7-1,588) f (1,588)/ f (1,7)- f (1,588)=1,639; f (1,639)=-0,051 <0. Теперь найдём третье приближённое значени е : х 3=1,639-(1,7-1,639) f (1,639)/ f (1,7)- f (1,639)=1,642; f (1,642)=-0,016 <0. Теперь найдём четвёртое приближённое знач ение : х 4= 1,642 -(1,7-1,642) f (1,642)/ f (1,7)- f (1,642)=1,643; f (1,643)=0,004 > 0 Следовательно , иско мый корень с то чностью до 0,01 равен 1,64. 1.2 Способ касательных (или способ Нью тона ). В том из концов дуги АВ (рисунок № 5), в котором знаки f (х ) и f ``(х ) совпадают , проводим касательную и за пе рвое приближённое значение корня принимаем аб сциссу х 1 ` точ ки Д пересечения этой касат ельной с осью Ох . Обратимся вновь к пе рвому случаю , соответствующему первому рисунку № 2 ( f `( x )>0, f ``( x )>0) , - в остальных случаях рассуждают опять-таки аналогично . Уравнение интересующей н ас касательной имеет вид : y - f ( b )= f `( b )( x - b ), и поэтому в точке Д : - f ( b )= f `( b )( x 1`- b ), откуда : x 1`= b - f ( b )/ f `( b ). Из рисунка видно , что x 1` лежит между Е и b . С отрезком [ a , x 1`] поступаем так же , как с отре зком [ a , b ] ( рисунок № 5), и в результате для нового приближённого значения корня получим : х 2` = x 1`- f ( x 1`)/ f `( x 1`). Значение х 2` оказывается между Е и x 1`. Рассматриваем отрезок [ a , х 2`] и находим новое приближение х 3` и т . д . В результате получим последовательность : b > x 1`> х 2`> х 3`>… > xn `>… > E (7) все более точных приближённых значений ко рня , причём : xn +1`= xn `- f ( xn `)/ f `( xn `) (8) Эта формула справедлива для всех четы рёх случаев , изображённых на рисунке 32. Для оценки погрешностей полученных приближений можно опять воспользоваться формулой (5), как и в первом случае , легко устанавливает ся сходимость последовальности x 1`, х 2`, х 3`,…, xn `,… к значению Е Пример № 2. Методом касательных найдём положительный корень уравнения x ^4-2 x -4=0 с точностью до 0,01. Решение : В этом уравнении f (х )=х ^4-2 x -4, f `(х )=4х ^ 3-2,а f ``(х )=12 x ^2. Так как f (х ) и f `` (х ) при х 0 = 1,7 имеют один и тот же знак , а именно : f (1,7)=0,952> 0 и f ``(1,7)> 0, то применяем формулу : x 1`= х 0- f (х 0)/ f `( х 0), где f `(1,7)=4*1,7^ 3-2=17,652. Тогда x 1=1,7- 0,952/17,652=1,646. П р именяем второй раз способ касательн ы х : х 2= x 1- f ( x 1)/ f ` ( x 1), где f ( x 1)= f (1,646)=0,048, f ` (1,646) =15,838; x ^2=1,646-0,048/15,838=1,643; f (1,643)=0,004, f ` (1,643)=15,740; х 3=1,643-0,004/15,740=1,6427. Следовательно , искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64. 1.3 Комбинированный способ (комбинированное п рименение способов хорд и касательных ). Этот способ состоит в одновременном использовании способ ов хорд и касательных . Остановим своё вним ание опять на случае , отвечающем первому р исунку № 2. Значения x 1 и x 1`, вычисляем по пре жним формулам , т . е . принимаем : x1=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a), (10) x1`=b-f(b)/f`(b), причём : x10 изображён на рисунке № 7. Из этого р исунка видно , что уравнение имеет положительн ый единственный к орень , лежащий на отр езке 1< x <1,1 . Поскольку f `( x ) = 5 x ^4-1, f ``( x )=20 x ^3, постольку на интересующем нас отрезке f `( x 0>0, f ``( x )>0 т. е . знак производных сохраняется . Применяем комбиниро ванный способ : f ( a )= f (1)=-0,2, f ( b )= f (1,1)=0,31051, f `( b )= f `(1,1)=6,3205. Формулы (10) дают : x 1=1+0,1*0,2/0,51051=1,039, x 1`=1,1-0,31051/6,3205=1,051 При этом x 1`- x 1=0,012, т . е . точность недостаточна . Совершаем второй шаг : f (1,039)=-0,0282; f (1,051)=0,0313, f `(1,051)=5, 1005. По формулам (11): х 2=1,039=0,012*0,0282/0,0595=1,04469,х 2`=1,051-0,0313/5,1005=1,04487. При этом х 2`- х 2=0,00018, т . е . точность достаточна . Таким образом : 1,04469

1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Большинство людей, отправляющих SMS на короткий номер, чтобы узнать, что их ждёт - любовь, секс или развод, узнают ещё одно значение слова "развод".
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Приближенное вычисление корней в уравнениях", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru