Реферат: Построение математических моделей при решении задач оптимизации - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Построение математических моделей при решении задач оптимизации

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 43 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

9 Построение математических моделей при реш ении задач оптимизации Пл ан 1. Введение 2. Математические модели и их свойства. 3. Практические задачи , приводящие к иссл едованию линейной функции. 4. Использование свойств квадратичной функци и при решении экстремальных задач . 5. Применение методов дифференциального исчи сления п ри решении прикладных задач. 6. Заключение. 7. Список литературы. Введение Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего т.е . оп тимального решения поставленной задачи . Как , р асполагая определенными ресурсами , добиваться наи более высокого жизненного уровня , наивысшей производительности труда , наименьших потерь , максимальной прибыли , минимальной затраты времени – так ставятся вопросы , над которыми приходится думать каждому члену общества. Математикам удалось разработать м етоды решения задач на наибольшее и наименьшее значение , или , как их еще назыв ают , задач на оптимизацию ( от латинского “ оптимум” – наилучший ). Многие задачи , поиска оптимальных решений , могут быть решены толь ко с использованием методов дифференциального исчисления . Ряд зада ч такого типа решается с помощью специальных методов л инейного программирования , но существуют и та кие экстремальные задачи , которые решаются ср едствами элементарной математики. Следует различать также два вида задач на оптимизацию . В задачах первого вида у лучшение достигается за счет коренных качественных изменений : выбор новых конструктивных решений , переход на новую те хнологию изготовления . В задачах второго рода качественная сторона дела остается неизменн ой , но меняются количественные показатели . В д а нной работе рассмотрены задачи только второго типа . В таких задачах ищ утся наибольшее и наименьшее значения функций , зависящих от одной или нескольких переме нных. 1. Математические модели и их свойства Прежде чем решать какую – либо жизненную задачу , чел овек стараетс я взвесить имеющуюся у него информацию , вы брать из нее существенную . И только потом , когда станет более или менее ясно , из чего исходить и на какой результата рассчитывать , он приступает к решению задачи . Иногда описанный процесс называют “у я снением задачи” , фактически же это за мена исходной жизненной задачи ее моделью . В осмыслении простейшей жизненной ситуации присутствует модельный подход , хотя человек обычно не замечает своей деятельности по созданию моделей – настолько она для него естес т венна . Иное дело , если возникающая задача затрагивает ключевые моме нты жизни одного человека или какого – либо сообщества людей . Разнообразие информацион ных аспектов в каждой такой задаче настол ько велико , что бывает сложно из всего многообразия информаци и об изучаемом явлении или объекте выбрать наиболее сущ ественные . В таких случаях необходимо сделать упрощающее предположение , чтобы выделить исх одные данные , определить , что будет служить результатом и какова связь между исходными данными и результатом . В с е эт о – предположения , исходные данные , результат ы , связи между ними – их называют мод елью задачи. Если построенная модель дает удовлетворит ельные результаты при решении жизненных задач , то говорят , что модель адекватна рассмат риваемому объекту (процессу и ли явлению ). Нередко для решения модельной задачи требу ется некоторый инструментарий . Этот инструментари й обычно организуется в виде единого объе кта , называемого исполнителем . Чтобы исполнитель мог получить ответ , ему нужны указания , что и как делать . Так и е указан ия часто представляются в виде алгоритма , в котором задаются математические соотношения , связывающие исходные данные и результат . В этом случае говорят о построении математ ической модели задачи. Обычно модель возникает как необходимый этап решения конкретной задачи . Однако в дельнейшем может происходить обособление модели от задачи , и модель начинает ж ить самостоятельно . Примером может служить сю жет движения с постоянной скоростью , который возникал в человеческой деятельности столь часто , что в кон ц е концов обособился от задач и стал составляющей физического знания , называемого “равномерное пр ямолинейное движение” . Теперь при необходимости решить какую – либо задачу , связанную с равномерным движением пользуются этой готов ой моделью процесса . В одних задач ах результатом может оказаться время , в др угих – пройденный путь , в третьих скорост ь . Остальные параметры модели процесса станут исходными данными. Если же в задаче фигурирует н е равномерное движение , а равноускоренное , то физика и здесь предложит го товую модель в виде формулы : S = V 0 t + at 2 2 Соответственно говоря , все естественные науки , использующие математику , можно считать математическ ими моделями явлений . Например , гидродинамика явл яется моделью движения жидкости , математическая экономика – моделью процессов экономики и т.д . До появления ЭВМ математическое моде лирование сводилось к построению аналитической теории явления . Не всегда ма т ем атическую теорию явления удавалось доводить д о возможности вывода формул . Природа оказывал ась сложнее возможностей аналитических методов математики . Приходилось вносить значительные уп рощения в модель явления , а тем самым обеднять выводы . В этом веке ма т ематика пополнилась мощным математическим методом исследования : моделированием сложных си стем на ЭВМ . Теперь исследователь ставит п еред собой не ту цель , что раньше – вывод расчетной формулы . Теперь он стремитс я вычислять те или иные параметры , характе риз у ющие явление . Таким путем были исследованы сложные вопросы , связанные с термоядерными реакциями , поведением самолетов в критических ситуациях , влиянием различных факто ров на экологические системы , распространением эпидемий и пр. В настоящее время широко ис пользу ется математическое моделирование и тогда , ко гда о физической структуре процесса известно крайне мало . В этом случае строится г ипотетическая модель и на ее основе вывод ятся следствия уже доступные наблюдению . Если такие модели не оправдываются опыто м , то они живут недолго и отмирают , уступив место другим моделям , позволяющим п ознать природу вещей точнее . История науки показывает , сколь большую роль сыграли науч ные гипотезы и построенные на их основе математические модели явлений. Математический аппара т , применяемый п ри построении моделей , весьма разнообразен . Кр оме классических разделов математического анализ а (дифференциальное и интегральное исчисление ) широко используются современные разделы математи ки , в которых изучаются методы , позволяющие находи т ь оптимальные решения : линей ное , нелинейное и динамическое программирование . Для анализа многих операций применяют аппа рат теории вероятностей . Это вызвано тем , что исследования проводятся в условиях , опред еленных не полностью , зависящих от случайных прич и н . В тех случаях , когда в центре внимания находятся вопросы дина мики явлений , широко применяют аппарат диффер енциальных уравнений , а в более сложных сл учаях используется метод статистического моделир ования. 2. Практические задачи , приводящие к исследованию линейной функции Задача 1 . Расстояние между двумя шахтами А и В по шоссейной дороге 60 км . На ш ахте А добывается 200 т руды в сутки , на шахте В – 100 т в сутки . Где нужно построить завод по переработке руды , чтоб ы для ее перевозки коли чество тонно-ки лометров было наименьшим ? Выясняем , что суммарное количество тонно-километров изменяется в зависимости от места нахождения завода , вычислив его , на пример , для случаев , когда завод находится от пункта А на расстоянии 30 км , 20 км , 10 км . Дале е приступаем к решению задачи , обозначив расстояние от завода С до ша хты А через х : х 60 - х A _____________________________ B АС = х ВС = 60 - х Количество тонно-километров , пройденных трансп орто м от А до С за каждый ден ь , составляет 200 х т /км , а от В до С – 100 (60 – х ) т /км . Суммарное количес тво тонно-километров выразится функцией у = 200х + 100 (60 – х ) = 100х + 6000, которая определена на с егменте [0; 60]. Ясно , что это уравнение может иметь бесконечно много решений . Естественно з десь поставить вопрос – найти дешевый ва риант перевозок. Исследуя функцию у = 100х + 6000 на сегменте [0; 60], получим у min = 6000. Эта линейная функция будет иметь мини мальное значение при х = 0, у min = 6000 т /км . Завод надо строить возле шахты А. Для лучшего понимания этой задачи цел есообразно дополнительно выяснить вопрос , где нужно бы построить завод , если бы : а ) в шахте А добывалось 100 т , а в шахте В – 200 т руды ; б ) в шахте А – 200 т , а в шах те В – 190 т ; в ) в шахте А и шахте В – по 200 т руды ; Чтобы решить этот вопрос , нужно найти на сегменте [0; 60] минимум функции : а ) у = 100х + 200(60 – х ) = - 100х + 12000; б ) у = 200х + 190(60 – х ) = 10х + 11400; в ) у = 200х + 200(60 – х ) = 12000. Из всего этого можно сдел ать такой вывод : если в шахте А добывается руды больше , чем в шахте В , то завод надо строить возле шахты А ; если же количество руды в этих шахтах одинаковое , то завод можно строить в любом месте вблизи шоссейной дороги между шахтами А и В. Задача 2. На ко л хозной ферме нужно провести водопровод длиной 167 м . Имеются трубы длиной 5 м и 7 м . С колько нужно использовать тех и других тр уб , чтобы сделать наименьшее количество соеди нений (трубы не резать )? Учитывая , что количество как одних , та к и других труб мож ет изменяться , количество 7 – метровых труб обозначим через х , а 5 – метровых – через у. Тогда 7х – длина 7-метровых тр уб , 5у – длина 5-метровых труб . Отсюда п олучаем неопределенное уравнение 7х + 5у = 167 Выразив , например , переменную у через переменну ю х , пол учим : Так как х , у Є Z, то методом перебора легко найти соответствующие пары значений х и у , которые удовлетворяю т уравнение 7х + 5у = 167. (1; 32), (6; 25), (11; 18), (16; 11), (21; 4). Из этих решений наиболее выгодное пос леднее , т.е . х = 21 , у = 4. Задача 3 . Для изготовлени я двух видов изделий Аи В завод расхо дует в качестве сырья сталь и цветные металлы , запас которых ограничен . На изготов ление указанных изделий заняты токарные и фрезерные станки в количестве , указанном в таблице. Таблица Затраты на одно изделие А В Ресурсы Материалы Сталь (кг ) 10 70 320 Матери алы Цветные метал лы (кг ) 20 50 420 Оборудование Токарные станки (станко-ч ) 300 400 6200 Оборудовани е Фрезерные станки (станко-ч ) 200 100 3400 Прибыль на одно изделие (в тыс.ру б .) 3 8 Необходимо определить план в ыпуска продукции , при котором будет достигнут а максимальная прибыль , если время работы фрезерных станков используется полностью. Решение. Посмотрим математическую модель з адачи . Обозначим через х число изделий вида А , а через у – число изделий вида В . На изготовление всей продукции уйдет (10 х +70у )кг стали и (20 х +50у ) кг цветных металлов . Так как запасы стали не превышают 320 кг , а цветных металлов – 420 кг , то 10х +70у 320 20х + 50у 420 (300х +400у ) ч – время обработки всех изделий на ток арных станках : 300х + 400 6200 Учитывая , что фрезерные станки используются максимально , имее м : 200х +100у = 3400 Итак, сист ема ограничений этой задачи есть : 10х + 70у 320 20х + 50у 420 300х + 400у 6200 (1) 200х + 100у = 3400 х 0, у 0. Общая прибыль фабрики может быть выражена целевой функцией F = 3х + 8у . (2) Выразим у ч ерез x из уравнения 200х + 100у = 3400 и подставим полученное выражение вместо у в неравенства и ц елевую функцию : х +7(34 – 2х ) 32 2х + 5( 34 – 2х ) 42 3х + 4( 43 – 2х ) 62 у = 43 – 2х (3) х 0 34 – 2х 0, F = 3х + 8(34 – 2х ) = -13+272 (4) Преобразуем сис тему ограничений (3): 11 13х 206 х 5 13 8х 218 х 16 4 5х 174 х 4 5 16 х 17 5х 74 0 х 17 у = 34 – 2х 0 х 17 у =34 - 2х у = 34 – 2х Очевидно , что F =272 – 3х принимает наибольшее зна чение , если х =16. F наиб = 272 – 13 16 – 64 (тыс . руб .) Отдельно следует остановиться на случаях использования ЭВМ при решении задач оптимизации . Рассмотрим это на примере реше ния следующей задачи : Задача 4. В обработку поступила партия из 150 досок длиной по 7.5 м . каждая , для изготовления комплектов из 4-х дет алей . Комплект состоит из : · 1 детали длиной 3 м. · 2-х деталей длиной 2 м. · 1 детали длиной 1.5 м Как распилить все доски , получив наибольшее возможное чис ло комплектов ? Решение. Для решения этой задачи воспользуемся редактором электронных таблиц EXCEL Вводим в ячейки B 3: D 10 варианты возможного рас пила одной доски . В ячейках E 3: E 10 ставим по умолчанию количес тво досок по одной . В ячейках F 3: H 10 суммируем пол учившиеся распиленные детали. Способы 3м 2м 1,5м Количество 3м 2м 1,5м 1 2 0 1 1 2 0 1 2 0 3 1 1 0 3 1 3 0 0 5 1 0 0 5 4 1 0 3 1 1 0 3 5 1 2 0 1 1 2 0 6 0 2 2 1 0 2 2 7 1 1 1 1 1 1 1 8 0 1 3 1 0 1 3 8 5 9 16 1 23 11 В ячейках E 11: H 11 суммируем количество досок и деталей. Вводим формулы : G 11 - ABS (2* F 11- G 11) G12 - ABS(G11-2*H11) G13 - ABS(F11-H11) Входи м во встроенную функцию EXCEL Поиск Решения Устанавливаем Целевую ячейку E 11 Ставим ограничения : E 3: E 10=>0 E 3: E 10= ЦЕЛЫЕ G 12<=1 G 13<=1 G 14<=1 Даем команду Выполнить Машина выдает разультаты Способы 3м 2м 1,5м Количество 3м 2м 1,5м 1 2 0 1 34 68 0 34 2 0 3 1 33 0 99 33 3 0 0 5 0 0 0 0 4 1 0 3 0 0 0 0 5 1 2 0 47 47 94 0 6 0 2 2 24 0 48 48 7 1 1 1 12 12 12 12 8 0 1 3 0 0 0 0 150 127 253 127 1 1 Видно , что для полных 127 комплектов не хватает одной двухметрово й детали. То есть максимальное число комплектов – 126. Остаток – по одной детали всех типов. Ответ : максимальное число комплектов – 126 3. Использование свойств квадратичной функции при решении экст ремальных задач Задача 5. Окно имеет форму прямоугольника ,завершенного полукругом . Периметр фигуры равен 6м .Каковы должны быть размеры окна,чтобы окно пропускало наибо льшее количество света ? Решение. Окно будет обладать наибольшей пропускной способностью,если при заданном периметре буд ет иметь максимальную пло щадь. Пусть AB = x , AD = y , тогда P=AB+BC+AD+ DMC P=x+2y+0,5 x (1) S=AB*BC+ x /8 S=xy+ x /8 (2) Из (1),(2) следует , что S ( x )=-( /8 +1/2) x +3 x Известно,что квадратный трехчлен принимает наибольшее значение при x =- b /2 a ,т.е . x = 12/( +4), y = 6/ ( +4) . Ответ.Размеры окна 6/( +4),12/( +4). Задача 6. На учебном полигоне произведен выстрел из зенитного ору дия в вертикальном направлении не разрывающим ся снарядом . Требуется определить наибольшую высоту подъема снаряда , если начальная ск орость снаряда н 0 = 300 м /с . Сопротивлением воздуха пренебречь. Решение. Из курса физики известно , что путь s , п ройденный телом при равноускоренном движении , изменяется в зависимости от времени по закону s = s 0 + н 0 t + at 2 / 2, где s 0 – начальный путь , н 0 – начальная скорость , a – ускорение , t – время . В рассматриваемом случае s =0, v =300 м /с , а =-5 м /с , значит, S ( t ) = 300 t – 5 t 2 . Функц ия S ( t ) принимает наибольшее значение при S (30)= 300*30-5*30 2 =4500( м ) Наибольшая выс ота подъема снаряда равна 4500 м. Как видно из примеров , решение экстремальных задач дает возможность установит ь более тесную межпредметную связ ь ал гебры , геометрии и физики . При их решении можно приобрести не только математическую информацию , но и знания из курса физики . Решение физических задач поучительно с точк и зрения математики , так как можно показат ь тонкости тех или иных математических пр иемов в действии , в их практическом приложении. В частности , эти задачи помогают осозн ать , что функция , заданная аналитической форму лой , может выражать зависимости между реальны ми величинами в самых различных явлениях и процессах Задача 7. Арка моста им еет форму параболы (высота 4 м , наибол ьшая ширина 20 м ). Составьте уравнение этой параболы. Решение . Уравнение параболы в данном случае имеет вид y = ax 2 + c . Для определения a и c подставим в этом уравнение координаты точек B и C (рис . 1), т.е. 4 = c c = 4 c = 4, 0 = 100 a + c 100 a = -4 a = - 0,04 Парабола имеет вид : y = - 0,04 x 2 + 4. 4.Применение методов дифференциального исчисления при решении прикладных задач. Зад ача 8. Проектируется канал оросительной сис темы с прямоугольным сечением в 4,5 м 2 . Каковы должны бы ть размеры сечения , чтобы для облицовки ст енок и дна пошло наименьшее количество ма териала ? Решение. Пусть стенки канала имеют длину x м ., а дно канала – y м. Тогда : x * y =4,5 y =4,5/ x S= L*(2x+y) S=L*(2x+4,5/x) Найдем производную. Так как S ’ =0, и L (длина канала )-положительное число,то x =1,5 Легко убеди ться , что при данном x значение S минимально Ответ : x =1,5 м . y =3 м. Задача 9. Какова должна быть скорость паро хода,чтобы общая сумма ра сходов на од ин км . пути была наименьшей , если расходы на топливо за один час пропорциональна квадрату скорости. Решение. Расходы на 1км пути на эксплуатацию парохода состоят из расходов на топливо и других расходов (содержание команды , аморт изация ). Ясно , что чем быстрее движется пароход , тем больше расход топлива . Остальн ые расходы от скорости движения не завися т . Обозначим через S -сумму расходов в час , V - скорость судна Расходы на 1км выразится формулой S / V По условию имеем S = KV 2 + b , где K - коэффиц иен т пропорциональности , b - расходы , кроме расходов на топ ливо. Y=S/V Y=(KV 2 +b)/V=KV+b/V Надо найти значение V , при котором функция Y = KV + b / V имеет наименьш ее значение. Y = K = b / V 2 Y =0 V = b / V Таким образом общая сумма расходов на 1 км . пути будет наименьшей при V = b / V . Значение коэффициентов b и K определяются из опыта эксплуатации парохода. Задача 10. Над центром к руглого стола радиусом r висит лампа . На како й высоте h следует повесить эту лампу , чтобы н а краях стола получить наибольшую освещенност ь ? Из физики известна формула E = k * sin /( h 2 + r 2 ) sin = h / ( h 2 + r 2 ) Для упрощения решения задачи вместо функции E = k * sin /( h 2+ r 2 )= k * h /( h 2 + r 2 ) 3/2 возьмем функцию T =1/ k 2 * E 2 = h 2 /( h 2 + r 2 ), для упрощения фо рмулы заменим h 2 = z тогда : T = z /( z + r 2 ) 3 T = (( z + r 2 ) 3 - z *3*( z + r 2 ) 2 )/ ( z + r 2 ) 6 =( z + r 2 -3* r )/ (( z + r 2 ) 4 T =0 r 2 -2* r =0 z = r 2 /2 h = r / 2 Ответ . Освещенность максимальная , если h = r / 2 Задача 11. Нахождение гидр авлически наиболее выгодного трапециидального се чения русла. Из всех сечен ий русла , представляю щих собою равнобедренную трапецию , имеющих од инаковую площадь и уклон i , найти то , которое будет пропускать наибольший расход Q . Пояснение : 1. Расход Q – это количество воды , проходящее через поперечное сечение русла в единиц у времени 2. Расход Q определяется по формуле : Q = * c r * j -площадьсе чения c -коэ ффициент r -гид равлический радиус i -уклон дна русла 3. Гидравлический радиус есть отношени е площади сечения к смоченному периметру : r = / 4. Смоченный периметр есть линия соприко сновения жидкости с поверхностью канал а. 5. Крутизна 1/ m откоса есть отношение высоты отко са к заложению (АО ). Решение . Расход Q зависит от r , и он будет наибольш им при r max , что будет тогда , когда min Крутизна откоса 1/ m = h /АО , то АО = h * m Тогда =1/2*( b +2* m * h + b ) h =( b + m * h )* h =b+2*h 1+m 2 т . е . =( /h-m*h)+2*h 1+m 2 (h)=(- /h 2 -m)+2 1+m 2 (h)=-(b+m*h)/h-m+2 1+m 2 (h)=-b/h+2( (1+m 2 )-m) (h)=0 при b/h=2( (1+m 2 )-m) ( h ) >0 при h = b /2( (1+ m 2 )- m ) Ответ . имеет наименьшее зна чение при условии h = b /2( (1+ m 2 )- m ) Заключение. В настоящее время получило все общее признание то , что успех развития мно гих областей науки и техники существенно зависит от разви тия многих направлений математики . Математика становится средством реш ения проблем организации производства , поисков оптимальных решений и , в конечном счете , содействует повышению производительности труда и устойчивому поступательному развитию народно го х о зяйства. Использование экстремальных задач при изучении математики оправдано тем , что они с достаточной полнотой закладывают пон имание того , как человек ищет , постоянно д обивается решения жизненных задач , чтобы полу чающиеся результаты его деятельности были как можно лучше . Решая задачи указанного типа , наблюдаем , с одной стороны , абстрактны й характер математических понятий , а с дру гой – большую эффективную их применимость к решению жизненных практических задач . Экстремальные задачи помогают ознакомиться с некоторыми идеями и прикладными мет одами школьного курса математики , которые час то применяются в трудовой деятельности , в познании окружающей действительности. Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению наших математических знаний . Ч ерез задачи мы знакомимся с экстремальными свойствами изучаемых функций , с некоторыми свойствами неравенств . Эти зад ачи могут серьезно повлиять на содержание учебного материала , на аспекты применения п оложений изучаемой теории на практике. Список литерату ры 1. Башмаков М . И . Алгебра и начал а анализа 10-11. М .: Просвещение , 1992. 2. Беляева Э . С ., Монахов В.М . Экстремальные задачи . М .: Просвещение , 1997. 3. Виленкин Н . Л . Функ ции в природе и технике . – М .: Просвещ ение , 1978 4. Возняк Г . М ., Гусев В . А. Прикладные задачи на экстремум ы . М .: Просвещение , 1985. 5. Гейн А . Г . Земля Информатика . – Екатеринбург : Издательство Урал ьского университета , 1997 6. Гнеденко Б . В . Введ ение в специальность математика . – М : Нау ка , 1991 7. Гнеденко Б . В . Математика в с овременном мире . М : Просвещение , 1980. 8. Перельман Я . И . Зан имательная алгебра . М : АО “Столетие” , 1994 9. Хургин Я . И . Ну и что ? (Разговоры математика с биологами и радистами , врачами и технологами… о м атематике и ее связях с другими науками ). М .: Молод ая гвардия , 1967. 10. Шибасов Л . П ., Ши басова З . Ф . За страницами учебника матема тики . – М .: Просвещение , 1997
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
- А зачем белке кисточки на ушах?
- Дупло красить!
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Построение математических моделей при решении задач оптимизации", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru