Реферат: Педальный треугольник - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Педальный треугольник

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 347 kb, скачать бесплатно
Обойти Антиплагиат
Повысьте уникальность файла до 80-100% здесь.
Промокод referatbank - cкидка 20%!

Узнайте стоимость написания уникальной работы




Научно – практическая конференция школьников






Понятия и свойства

педального треугольника





Подготовила Собенина Татьяна

МОУ СОШ №8 10Б класс

Руководитель Мельник Г.И.








Г. Когалым Ханты-Мансийский АО

2005 год



Содержание:


  1. Вступление.




  1. Педальный треугольник: стр.3-14


  1. Определение педального треугольника.

  2. Свойства педального треугольника.

  3. Теоремы о педальном треугольнике.

  4. Вычисление площади педального треугольника.



  1. Ортоцентрический треугольник:

1) Определение ортоцентрического треугольника.

2) Свойства ортоцентрического треугольника.

3) Теоремы об ортоцентрическом треугольнике.

4) Минимальное свойство ортоцентрического треугольника по Г.Шварцу и то же минимальное свойство ортоцентрического треугольника по Л.Фейеру.


  1. Практическая часть. Задачи и упражнения.



  1. Список литературы.


6. Заключение.







ПЕДАЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК


План:

  1. Определение педального треугольника.

  2. Свойства педального треугольника.

  3. Теоремы о педальном треугольнике.

  4. Вычисления площади педального треугольника.

















Педальный треугольник.

Определение.



рис.1



Определение.


Пусть Р - любая точка внутри данного треугольника АВС (рис.1), и пусть перпендикуляры, опущенные из точки Р на стороны ВС, АС, АВ треугольника, будут РА1 ,РВ1 и РС1. Треугольник А 1В1С1 , вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, называется педальным треугольником треугольника АВС для педальной точки Р.




















Свойства педального треугольника.

Свойство1.

Если расстояния от педальной точки до вершин треугольника АВС равны x, y, z, то длины сторон педального треугольника равны

ax , by , cz, где R – радиус описанной окружности.

2R 2R 2R

Доказательство.

Около каждого из полученных четырёхугольников АС1РВ1, ВА1РС1, СВ1РА1 можно описать окружность (рис.1).

рис.2

Прямые углы в точках С1 и В1 указывают на то, что эти точки лежат на окружности с диаметром АР; другими словами, точка Р лежит на окружности, описанной вокруг треугольника АВ1С1. Аналогично, точка Р лежит на окружностях, описанных вокруг треугольников СА1В1, ВС1А1.Опишем окружность около четырёхугольника АВ1РС1; её диаметром будет АР (рис.2). Пусть В1С1=а , тогда на основании теоремы синусов для треугольника С1АВ

а1/sin A= AP (1)

Применив теорему синусов к самому треугольнику АВС, получим

а/sin A= 2R (2)

Разделив почленно равенство (1) на равенство (2):

а1/а= АР/2R; а1=аАР/2R.

Аналогично

b1=bBP/2R; с1= сСР/2R ,

где b1=C1A1 , c1= B1A1.

Если АР= x, ВР= y, СР= z, то длины сторон педального треугольника равны

a1 =ax/2R; b1=by/2R; с1= сz/2R.

Таким образом, свойство доказано.


Замечание.

В частном случае, когда точка Р является центром описанной окружности (x=y=z=R), (рис.3), длины сторон педального треугольника равны:

а1=а/2; b1=b/2; с1=с/2.

рис.3


Свойство2.

Основания перпендикуляров, опущенных из точки на стороны треугольника, лежат на одной прямой, тогда и только тогда , когда эта точка лежит на описанной окружности.


Прямая, содержащая эти основания, известна как прямая Симсона данной точки относительно данного треугольника. Прямая Симсона приписывалась ему, поскольку она казалась типичной для его геометрических идей. Однако историкам не удалось найти её в работах учёного. В действительности она была открыта в 1797 году Вильямом Уоллесом.


Доказательство.

Рассмотрим случай, когда точка Р лежит на описанной окружности(рис.4).

рис.4

Для определения будем считать, что точка Р лежит на дуге СА, не содержащей точку В.

Все остальные случаи могут быть получены преобразованием вершин буквами А, В, С. Так как углы А1, В1 и С1 прямые, то точка Р также находится на окружностях, описанных вокруг треугольников А1ВС1, А1В1С и АВ1С1.Поэтому

^APC= 180°- ^B=^ C1PA1

и, вычитая ^APA1, выводим, что

^A1PC=^C1PA.

Но так как точки А1,С, Р, В1 лежат на окружности , то

^A1PC=^A1B1C,

и так как точки В , А, Р, С лежат на окружности, то

^C1PA=^C1B1A,

Таким образом,

^A1B1C=^C1В1A;

Отсюда следует, что точки А1, В1, С1 лежат на одной прямой, т. е. Педальный треугольник «вырождается».Наоборот, если точка Р расположена так, что педальный треугольник АВС вырождается, то, очевидно. Что точка Р должна лежать внутри одного из углов треугольника АВС и вне противолежащей ему стороны. Переобозначая вершины, если это необходимо, мы можем предположить, что этот «один угол» является углом В и что точка С1 лежит на продолжении стороны ВА за точку А (рис.4). Повторяя проведенные выше рассуждения об углах в обратном порядке, мы получим, что точка Р лежит на описанной окружности.

Следовательно, свойство доказано и справедливо.


Замечание.

Требование, чтобы точка педальная точка находилась внутри треугольника по определению, можно ослабить, запретив лишь этой точке лежать на окружности, описанной вокруг треугольника АВС (рис.4).


Теоремы о педальном треугольнике.

Теорема1.

Если из точки L внутри треугольника АВС опущены перпендикуляры la, lb, lс , соответственно на стороны a, b, c треугольника, то

la/ha + lb/hb + lс /hc =1.

Доказательство.

Соединим точку L с вершинами треугольника. Треугольник АВС разобьётся на три треугольника (рис.5).

рис.5

Назовем площади этих треугольников Sа, Sb, Sc.Имеем:

Sa/S= la /ha; Sb/S =lb/hb; Sc/S=lc/hc.

Сложив левые и правые части равенств, получим

(Sa + Sb + Sc )/ S= la /ha + lb/hb + lc/hc.

Так как Sa + Sb + Sc = S, то la /ha + lb/hb + lc/hc =1.

Теорема доказана.


Следствие.

В равностороннем треугольнике сумма расстояний от произвольной точки, взятой внутри треугольника, до его сторон есть величина постоянная, равная высоте треугольника.


Доказательство.

В равностороннем треугольнике высоты равны, т.е. можно записать такое равенство:

la /h + lb/h + lc/h =1;

(la + lb + lc)/h =1;

la + lb + lc= h.

Следствие доказано.















Теорема2.

Перпендикуляры, опущенные из точки, лежащей в плоскости треугольника, на его стороны, определяют на сторонах шесть отрезков так, что сумма квадратов трёх отрезков, не имеющих общих концов, равна сумме квадратов трёх других.


Доказательство.

Пусть OL, OM, ON- перпендикуляры , опущенные из произвольной точки О соответственно на стороны: АВ, ВС, АС (рис.6).

рис.6

Тогда по теореме Пифагора из треугольников АОL и ВОL следует

АО2 – АL2 = AO2 – BL 2

или

AL2 – BL2 = AO2 – BO2.

Аналогично, из треугольников ВМО и СМО

ВМ2 – СМ2 = ВО2 – СО2,

А из треугольников CON и AON –

CN2 – AN2 = CO2 – AO2 .

Сложив эти равенства, получим:

AL2 – BL2 + BM2 – CM2 + CN2 – AN2 =0

или

AL2+ BM2+ CN2= BL2 + CM2 + AN2.

Теорема доказана.


Обратная теорема.

Если на сторонах треугольника три точки определяют шесть отрезков так. Что сумма квадратов трёх отрезков, не имеющих общих концов, равна сумме квадратов трёх других, то эти три точки можно рассматривать как проекции некоторой точки на стороны треугольника.


Доказательство (метод от противного).

Пусть данное нам утверждение не верно, т.е. если точки L, M, N не являются проекцией точки О на стороны треугольника, то

AL2 – BL2 + BM2 – CM2 + CN2 – AN2?0,

что противоречит условию

AL2+ BM2+ CN2= BL2 + CM2 + AN2.

Теорема доказана.


Следствие 1.

Перпендикуляры, восстановленные из середин сторон треугольника, пересекаются в одной точке.



Следствие 2.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке.


Доказательство.

рис.7

Из треугольников BLC и ALC , выразив сторону CL по теореме Пифагора, имеем:

BL2– АL2 = a2 – b2 .

Аналогично, из треугольников ВАМ и САМ:

CM2 - ВМ2 =b2 – c2 .

Из треугольников СВN и АВN:

AN2 - CN2 = c2– a2 .

Сложив эти равенства, получим:

AL2+ BM2+ CN2= BL2 + CM2 + AN2.

По обратной теореме 2, получим, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Теорема доказана.





















Перейдём к одной очень интересной задаче, с помощью которой можно доказать следующую теорему о педальных треугольниках. В ней рассматриваются педальные треугольники педальных треугольников. Данная задача в то же самое время прекрасно демонстрирует роль воображения в геометрии. Эта задача, по-видимому, впервые появилась в 1892 году, когда она была добавлена редактором Ж. Нейбергом в шестое издание классического труда Джона Кейси «Продолжение первых шести книг Начал Евклида».

рис.8

На рис.8 внутренняя точка Р использована для определения треугольника А1В1С1(первого) педального треугольника АВС. Та же самая педальная точка Р снова использовалась для определения педального треугольника треугольника А1В1С1, который мы обозначим через А2В2С2 и назовём «вторым педальным треугольником» треугольника АВС. Третья операция даёт треугольник А3В3С3– педальный треугольник треугольника А2В2С2, где для «третьего педального треугольника» использовалась та же точка Р. В этих терминах открытие Нейберга можно выразить следующим образом.



Теорема 3.

Третий педальный треугольник подобен исходному.


Доказательство.

Доказательство следует из чертежа (рис.8), стоит лишь соединить точки Р и А.

Если рассмотреть окружности, описанные вокруг треугольников АВ1С1, А2В1С2, А3В3С2, А2В2С1 и А3В2С3, то точка Р принадлежит каждой из них, поэтому

^C1AP = ^C1B1P = ^A2B1P = ^A2C2P = ^ B3C2P = ^B3A3P

и

^PAB1 = ^PC1B1 = ^PC1A2 = ^PB2A2 = ^PB2C3 = ^PA3C3.

Другими словами, две части, на которые прямая АР делит угол А, имеют двойников: одна- при вершине В1, а другая при вершине С1, далее при вершинах С2 и В2 и, наконец, обе- при вершине А3. Следовательно, треугольник АВС и треугольник А3В3С3 имеют равные углы при вершинах А и А .Аналогично, они имеют равные углы В и В3, т. е. по первому признаку подобия треугольники подобны.

Теорема доказана.







Для того, чтобы перейти к следующей теореме, рассмотрим такое понятие, как точки и углы Брокара.

Брокаром в 1875 году была поставлена следующая задача. В треугольнике АВС найти точку Q так, чтобы ^QAB = ^QBC = ^QCA.

Точку Q обычно называют точкой Брокара. Угол ?, равный каждому из углов QAB, QBC, QCA, называется углом Брокара.

Для построения точки Брокара приведём следующий способ:

Построим окружность, проходящую через точки А и С и касающуюся стороны АВ в точке А. Через А проведем АN||ВС. Эта прямая пересечёт окружность в точке N. Точка пересечения прямой NB с окружностью есть искомая точка Q (рис.9).

рис.9

Доказательство.

Обозначим угол QBC через ?, тогда угол ANB также равен ?. Угол QAB, как составленный касательной и хордой, измеряется половиной дуги AQ и поэтому равен ?.

Задача доказана.


Также по рис.9 можно доказать, что расстояние от точки Брокара до вершин треугольника АВС равны:

AQ = 2R*b*sin?/a, BQ = 2R*c*sin?/b, CQ = 2R*a*sin?/c.

А синус угла Брокара вычисляется по следующей формуле:

sin? = a*b*c/2R*? (b2c2 + c2a2 + a2b2)

или, т.к. a*b*c/4S = R,

sin? = 2S/?(b2c2 + c2a2 + a2b2).

Задача доказана.


Теорема 4.

Педальный треугольник точки Брокара подобен исходному.


Доказательство.

рис.10





1 способ.

По свойству 1 педальных треугольников, имеем:

a1 /a*AQ =b1 /b*BQ =c1 /c*CQ =1/2R.

Подставляя значения AQ,BQ,CQ (рис.10) из только что доказанной задачи, имеем:

a1*a/a*b*2R*sin? =b1*b/b* c*2R*sin? =c1*c/c*a*2R*sin? =1/2R,

a1/b= b1/c= c1/a.

Следовательно, педальный треугольник точки Брокара подобен данному по третьему признаку.

Теорема доказана.


2 способ.

Доказательство данной теоремы построено на основе свойств педальных треугольников.

Следствие.

Педальный треугольник точки Брокара и данный треугольник имеют равные углы Брокара.


Доказательство: рис.10.



































Вычисление площади педального треугольника.

Решение.

Пусть М- точка пересечения прямых n, т.е. прямых, делящих стороны треугольника пропорционально n-м степеням прилежащих сторон, и А1С1В1– медальный треугольник точки М (рис.11).

рис.11

Тогда

SА1В1С1= SС1МВ1 + SA1MB1= SA1MC.

Так как данный треугольник и треугольник С1МВ1 отличается тем свойством, что ^A + ^ M = ?,то

SС1МВ1/ S= С1М* МВ1 / c* b;

SС1МВ1 = S*С1М* МВ1 / c* b.

Так как С1М= 2S*сn-1/(an + bn +cn), МВ1= 2S*bn-1/(an + bn +cn), A1M= 2S*an-1/(an + bn +cn),

то SА1В1С1= 4S3 * сn-1* bn-1/(an + bn +cn)2* c* b= 4S3 * сn-2* bn-2/(an + bn +cn)2 .

Определив аналогично площади треугольников A1M В1 и A1M С1 и сложив полученные значения, найдём площадь педального треугольника:

SА1В1С1= 4S3 *(bn-2cn-2 + cn-2an-2 + an-2bn-2)/ (an + bn +cn)2 .

Задача решена.


Рассмотрим три случая, когда педальная точка данного треугольника занимает определённое место в нём, т.е. точку пересечения медиан (центр тяжести), точку пересечения биссектрис (центр вписанной окружности) и точку пересечения высот (ортоцентр).


1. Площадь педального треугольника центра тяжести.

Решение.

рис.12

По определению медиан: АК=КС, следовательно:

АК/ КС=с00,…

т.е. n=0.Тогда

SА1В1С1= 4S3 *(b-2c-2 + c-2a-2 + a-2b-2)/ 9.

SА1В1С1= 4/9S3 * (a2 + b2 + c2)/ a2* b2* c2.

Задача решена.


2. Площадь педального треугольника центра вписанной окружности.

Решение.

рис.13

По свойству биссектрисы в треугольнике:

АК/ КС=с/а,…

т.е. n=1.Тогда

SА1В1С1= 4S3 *(1/bc + 1/ca + 1/ab)/ (a + b +c)2 =4S3 *(a + b + c)/2р*a* b* c=

= 2 S3 *р/ р2*a* b* c=2 S3/ р*a* b* c= 4S2*r/2a* b* c= S*r/2R.

Задача решена.



3.Площадь педального треугольника точки пересечения высот.

Решение.

рис.14

По свойству высот в треугольнике: АВ11С = с22,…

Таким образом, n=2. Тогда

SА1В1С1=4S3 *3/ (a2 + b2 + c2)2= 12 S3/ (a2 + b2 + c2)2.

Задача решена.
























ОРТОЦЕНТРИЧЕСКИЙ

ТРЕУГОЛЬНИК


План:

1) Определение ортоцентрического треугольника.

2) Свойства ортоцентрического треугольника.

3) Теоремы об ортоцентрическом треугольнике.

4) Минимальное свойство ортоцентрического треугольника по Г.Шварцу и то же минимальное свойство ортоцентрического треугольника по Л.Фейеру.



















Ортоцентрический треугольник как

частный случай педального треугольника.



рис.15




Определение.

Пусть Р- точка пересечения высот треугольника АВС, т.е. его ортоцентр, и пусть перпендикуляры, опущенные из точки Р на стороны ВС, СА, АВ треугольника, будут РА1, РВ1, РС1 соответственно. Треугольник А1В1С1, называется ортоцентричеким треугольником относительно данного треугольника АВС.





















Свойства ортоцентрического треугольника.

Свойство1.

Если высоты треугольника АВС пересекаются в точке H, то каждая из четырёх точек А, В, С, H есть ортоцентр треугольника с вершинами в трёх других точках.


Доказательство.


рис.16


Рассмотрим в качестве примера точку А (рис.16). Эта точка есть ортоцентр треугольника BHC, так как BD, HE, CF- его высоты. Прямая, соединяющая две из четырёх точек А, В, С, H, перпендикулярна прямой, соединяющей две другие точки.

Свойство доказано.


Свойство 2.

Шесть дуг описанной окружности, определяемых тремя вершинами остроугольного треугольника и тремя точками пересечения продолжений высот с описанной окружностью, попарно равны.


Доказательство.

рис.17

На рис.17 видно, что треугольники ADC и AFB подобны по первому признаку, так как они прямоугольные и угол А у них общий, поэтому ^ABB1=^ACC1. Аналогично ^BCC1=^DFF1 и ^CAA1=^CBB1.

Из теоремы о том, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, следует, что

?АВ1=?С B1?=1СА? , 1ВА?= 1ВС ? , СВ1.

Свойство доказано.


Свойство 3.

Расстояние от ортоцентра до стороны треугольника равно отрезку от основания высоты до точки пересечения продолжений высоты с описанной окружностью.


Доказательство.


Треугольники AFH и AFB1, ADH и ADC1, BEA1 и BEH равны по катету и острому углу (рис.17). Следовательно, HF= FB1, HE= EA1, HD= DC1.


Свойство доказано.



Свойство 4.

Произведение отрезков, на которые высота остроугольного треугольника делит противоположную сторону, равно произведению высоты на отрезок её ортоцентра до основания высоты.


Доказательство.


Доказательство сводится к следствию из теоремы о том, что произведение отрезков хорды, проходящей через данную точку, есть величина постоянная, т.е. по рис.17:

AD*DB=CD*D C1.

Так как по третьему свойству HD= DC1, то

AD*DB=CD*НD.

Свойство доказано.



Свойство 5.

Произведение отрезков высоты от вершины до ортоцентра и от ортоцентра до основания есть величина постоянная.


Доказательство.


По той же теореме, на которую была ссылка в доказательстве четвёртого свойства, имеем:

ВН*НВ1=АН*НА1= СН*НС1.

Или по третьему свойству:

2ВН*НF=2АН*НE= 2СН*НС1,

таким образом,

ВН*НF=АН*НE= СН*НС1.

Свойство доказано.













Теоремы об ортоцентрическом треугольнике.


Прежде чем сформулировать теоремы, введём следующие понятия:

Определение.

Если на стороне АВ треугольника АВС или на продолжении стороны выбрать произвольную точку D (рис.18) и через неё провести прямую DF так, чтобы ^ADF=^C,то прямая DF антипараллельна стороне ВС.

рис.18

Через произвольную точку D на стороне АВ треугольника АВС можно провести две антипараллели: DF, антипараллельную ВС, и DE, антипараллельную АС.

Если на гипотенузе прямоугольного треугольника выбрать произвольную точку и из этой точки восстановить перпендикуляр к гипотенузе, то этот перпендикуляр антипараллелен катетам. Высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, антипараллельна катетам.


Теорема 1.

Окружность, проведённая через вершины треугольника, пересекает две стороны треугольника в точках D и F так, что DF антипараллельна третьей стороны.


Доказательство.

рис.19

Имеем ^СDF + ^В= ?, как сумма противолежащих углов вписанного четырёхугольника (рис.19).

^CDF + ^FDA= ?.

Отсюда, ^В= ^FDA, тогда по определению DF и CB антипараллельны.

Теорема доказана.


Теорема 2.

Касательная, проведённая в вершине треугольника к окружности, описанной около треугольника, антипараллельна противоположной стороне.


Доказательство.

^EAB измеряется половиной дуги АМВ; ^C измеряется половиной дуги АМВ (рис.20). Следовательно, ^C= ^EAB.


рис.20

Теорема доказана.


Определение.

Треугольник, стороны которого касаются окружности, описанной около данного треугольника, в вершинах этого треугольника, называется тангенциальным треугольником. Треугольник А1В1С1- тангенциальный относительно данного остроугольного треугольника АВС (рис.21).

рис.21.

Выразим углы тангенциального треугольника через углы данного. Угол А1 измеряется полуразностью дуг САВ и ВС:

А1= ?(?САВ – ?ВС)= ?(2?- 2?ВС)= ?- ?ВС = ?- 2^A.

Для углов В1 и С1 получаются аналогичные выражения:

А1= ?- 2^A, В1= ?- 2^В, С1= ?- 2^A.


Теорема 3.

Стороны ортоцентрического треугольника антипараллельны сторонам данного.


Доказательство.

Углы АВ2В и АА2В прямые (рис.21), следовательно, около четырёхугольника АВ2А2В можно описать окружность, т.е. по теореме 1 В2А2 антипараллельна АВ. Аналогично, стороны В2С2 и С2А2 соответственно антипараллельны ВС и СА.


Теорема доказана.


Теорема 4.

В остроугольном треугольнике высоты треугольника являются биссектрисами внутренних углов при вершинах ортоцентрического треугольника.


Доказательство.

Треугольники А2ВА и С2ВС подобны по первому признаку, так как они прямоугольные и угол В у них общий, следовательно,

АВ/СВ= А2В/С2В;


рис.22

таким образом, треугольники А2ВС2 и АВС подобны по второму признаку подобия треугольников (рис.22).

Из подобия треугольников следует, что

^C2A2B= ^A, ^A2C2B= ^C

^AA2C2= ?/2 - ^C2A2B= ?/2 -^A, ^CC2A2= ?/2 - ^C.

Подобным же образом можно получить

^BB2A2= ?/2 -^B, ^CC2B2= ?/2 - ^C.

^AA2B2= ?/2 -^A, ^ BB2C2= ?/2 -^B.

Итак, высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами внутренних углов при вершинах ортоцентрического треугольника.

Теорема доказана.


Следствие.

Ортоцентричекий и тангенциальный треугольники остроугольного треугольника подобны.


Доказательство.

Действительно, углы ортоцентрического треугольника соответственно равны углам тангенциального треугольника (рис.22).

^A1= ?- 2^A, ^B1= ?- 2^B, ^C1= ?- 2^C.

^A2= 2(?/2 -^A) = ?- 2^A, ^B2= ?- 2^B, ^C2= ?- 2^C/

Теорема доказана.


Рассмотрим более обобщающую теорему, т.е. более сильное утверждение.


Теорема 5.

Если в треугольнике АВС две прямые ВМ и СN, исходящие из вершин треугольник, пересекаются на высоте АD, то эта высота есть биссектриса угла МDN.


Доказательство.

Опустим из точек M и N перпендикуляры MF и NH на сторону ВС (рис.23).

рис.23

ВМ?NH= G,CN?MF=E.

Треугольники NOG и EOM подобны, так как ^NOG= ^EOM – как вертикальные углы, ^NGO= ^OME – как внутренние накрест лежащие, т.е. по первому признаку подобию. Следовательно,

NG/ME= NO/OE= HD/DF.

Далее

ME/MF=AO/AD= NG/NH, т.е. NH/MF= NG/ME.

Сравнивая полученные равенства, получаем:

NH/MF= HD/DF.

Следовательно, треугольники NHD и MFD подобны, ^NDH= ^MDF и высота АD делит угол пополам.

(Теорема 4 есть частный случай доказанной теоремы.)

Теорема доказана.


Теорема 6.

Площадь остроугольного треугольника равна среднему геометрическому площадей ортоцентрического и тангенциального треугольников.


Доказательство.

рис.24

Обозначим площади и полупериметры основного, ортоцентрического и тангенциального треугольников соответственно через S, p, Sh, ph, St, pt.Из подобия тангенциального и ортоцентрического треугольников получаем:

St/Sh= pt2/ph2 (1), St= ptR (2).

Площадь S треугольника АВС равна сумме площадей следующих трёх четырёхугольников: АВ2ОС2, А2ОВ2С, А2ОС2В (рис.24). Диагонали этих четырёхугольников взаимно перпендикулярны, так как радиусы ОА, ОВ, ОС соответственно перпендикулярны к прямым В2С2, А2С2, А2В2 (эти прямые параллельны касательным в вершинах треугольника к окружности, описанной около треугольника). Поэтому

S= ?(R* А2С2 + R* А2В2 + R* В2С2) = R*ph (3).

Равенства (2) и (3) дают

St/ S= pt/ph (4).

Сравнивая равенства (1) и (4), получим:

St2/ S2 = St/Sh.

Отсюда, S2 = St*Sh, или S=? St*Sh.

Из равенства (3) следует ph = S/R.

Теорема доказана.


Доказанная нами теорема есть частный случай следующей теоремы.




Теорема 7.

Если в данный треугольник и около данного треугольника описать треугольник так, чтобы их стороны были параллельны, то площадь данного треугольника равна среднему геометрическому между площадями вписанного и описанного треугольников.


Доказательство.

Пусть в треугольник АВС вписан треугольник DEF и около треугольника АВС описан треугольник MNP; стороны треугольника DEF параллельны сторонам треугольника MNP (рисю25).

рис.25

Соединим точку N с точками D, E, F и M с точками D и F.

SABC = SAEF + SEFD + SECD + SBFD.

SAEF = SENF (так как AN||EF)

SBFD = SMFD (так как MP||FD)

SDCE = SDNE (так как NP||DE)

SDEF = SDEF

SABC = SENF + SMFD + SDNE + SBFD = SDNF + SMDF= DF*NK/2 + DF*ML/2 = b1*H/2,

где DF = b1, H- высота треугольника MNP, проведённая из вершины N/

SMNP = b*H/2, где МР = b;

SDEF = b1*H1/2, где Н1- высота треугольника DEF.

Таким образом, имеем:

SMNP/ SDEF = b*H/b1*H1= b/b1;

SABC/ SDEF = H/H1 = b/b1; следовательно, SMNP/ SDEF = SABC/ SDEF.

Теорема доказана.












Минимальное свойство ортоцентрического треугольника по Г.Шварцу и то же минимальное свойство ортоцентрического треугольника по Л. Фейеру.


Теорема.

Из всех треугольников, вписанных в данный остроугольный треугольник АВС, ортоцентрический треугольник имеет наименьший периметр.


Доказательство Г.А. Шварца.

Отразим треугольник АВС от стороны ВС; полученный таким образом треугольник АВС отразим от стороны СА; результат этого второго отражения отразим от стороны А’B’ и после этого произведём ещё три отражения последовательно от сторон B’C’, C’A’ и А”B” (рисю26).

рис.26


Непосредственно видно из чертежа, что положение A”B”C” может быть получено простым параллельным переносом. Чтобы убедиться в этом, проследим, что происходит с треугольником после двух первых отражений. Вместо того, чтобы подвергать его двукратному отражению, можно перевести исходный треугольник в третье положение простым вращением его по часовой стрелке в его плоскости вокруг неподвижной вершины С на угол 2?(?,?,?-углы, соответствующие вершинам А, В и С). Точно так же можно перевести его из этого положения в пятое вращением по часовой стрелке в его плоскости вокруг неподвижной точки B’ на угол 2?, и вращением на угол 2? вокруг неподвижной точки А” можно перевести его в положение седьмое, то есть в конечное положение. В сумме мы повернули бы треугольник АВС по часовой стрелке на угол 2?+2?+2?, то есть на угол равный 2?. В результате, треугольник АВС совершает полный оборот и принимает то же самое положение, что и вначале, оказываясь передвинутым в своей плоскости параллельно самому себе. Следовательно, ВС параллельна B”C”.

Проследим теперь за теми изменениями, которые получит при этих последовательных отражениях ортоцентрический треугольник FEG.

Можно доказать, что ^AFG=^CFE. На основании этого утверждения замечаем, что отрезок EG в своём втором положении и, точно также, в последующих положениях одна из сторон треугольника будет последовательно располагаться на продолжении прямой, проходящей через FE. Поэтому, прямая EE” будет состоять их шести отрезков, из которых два равны FG, два – EG и два – FE; следовательно, она равна удвоенному периметру треугольника WUV.

Проследим точно таким же образом за положениями, которые будет последовательно принимать какой-либо другой треугольник WUV, вписанный в данный треугольник АВС. Так же убедимся, что ломаная линия UV’W’U’V”W”U”, равна удвоенному периметру треугольника WUV. В четырехугольнике EE”U”U противоположные стороны UE и U”E”

параллельны и равны, как соответственные отрезки в различных положениях треугольника АВС. Следовательно, EE”U”U – параллелограмм, а значит, UU’=EE’. Таким образом, UU” также равно данному периметру треугольника FEG.

Но с другой стороны, непосредственно очевидно, что UU” короче проведённой между теми же конечными точками ломаной. Следовательно, периметр треугольника FEG меньше периметра треугольника WUV, что и требовалось доказать.

Теорема доказана.



Доказательство Л. Фейера.


Пусть в данный остроугольный треугольник АВС вписан произвольный треугольник WUV так, что его вершина U лежит на стороне ВС, V – на стороне СА и W – на стороне АВ.

Отобразим зеркально вершину U от двух прямых АС и АВ. Пусть её зеркальными образами будут соответственно точки U’ и U”. В силу основных свойств зеркального отображения, отрезок UV равен отрезку U’V, а отрезок UW равен отрезку U”W. Поэтому периметр треугольника WUV, составленного из отрезков UV, VW и WU, будет равен длине ломаной линии U’VWU” (рис.27).

рис.27

Если оставить точку U на прежнем месте, а точкам V и W придать другое положение, то точки U’ и U”, положения которых определяются лишь только точкой U и данным треугольником АВС, останутся неподвижными. Это означает, что ломаная линия U’VWU”, длина которой всегда равна периметру треугольника WUV, при всех возможных положениях точек V и W останется натянутой между неподвижными концами U’ и U”. Но линия, соединяющая точки U’ и U”, будет кратчайшей лишь в том случае, если она будет прямой. Следовательно, отрезок U’U” даёт величину наименьшего периметра, который может иметь вписанный треугольник с фиксированной вершиной U. Обозначим две остальные вершины такого треугольника с минимальным периметром и фиксированной вершиной U через M и N.

Теперь необходимо сравнить между собой все минимальные треугольники, соответствующие различным положениям вершины U, и выбрать из них тот, периметр которого будет наименьшим периметром из всех возможных вписанных треугольников. Таким образом, вершину U требуется поместить так, чтобы отрезок U’U” был наименьшим. Заметим, что треугольник АU’U” равнобедренный, так как AU=AU’=AU”. Величина угла U’AU” от положения точки U не зависит и определяется заданным треугольником АВС. Действительно,

^UAB=^U”AB,

^UAC=^U’AC;

следовательно,

^U”AU=2^UAB

и

^U’AU=2^UAC,

таким образом,

^U’AU+^U”AU=2^UAB+2^UAC

или

^U’AU”=2^CAB.

Отрезок U’U”, который мы должны сделать наименьшим, является основанием равнобедренного треугольника AU’U”. Так как ^U’AU” от положения U не зависит, то во всех треугольниках AU’U”, полученных при возможных положениях U, углы при вершине совпадают. Из этих треугольников наименьшее основание имеет тот, у которого боковые стороны наименьшие. Но AU=AU’=AU”, следовательно, U’U” будет наименьшим, если точка U будет выбрана так, чтобы расстояние АU было наикратчайшим.

Но отрезок AU соединяет точку А с прямой ВС. Известно, что кратчайшим расстоянием от точки до прямой является перпендикуляр, следовательно, AU – высота треугольника АВС, опущенная из вершины А.

Построим искомый вписанный треугольник EFG наименьшего периметра.

рис.28

Пусть Е- основание перпендикуляра, опущенного из А на ВС. Пусть точка Е’- точка, симметричная точке Е относительно АС, Е”- симметричная точке Е относительно АВ. Тогда отрезок Е’Е” будет равен наименьшему периметру вписанного треугольника. Две другие вершины искомого треугольника определяются точками пересечения F и G прямой Е’Е” со сторонами АС и АВ.

Задача всегда имеет одно решение, так как точка Е – определённая (Е- основание высоты АЕ) и точки G и F при найденной точке Е также являются определёнными.

Точка Е получена как основание высоты, опущенной из вершины А. Вершины G и F получены другим способом. Но можно было бы начать решение задачи с отыскания вершины G, а не Е; тогда для её отыскания пришлось бы провести высоту СG. Так как задача допускает единственное решение, то точки G и F также служат основаниями высот и, следовательно, треугольник наименьшего периметра есть ортоцентрический треугольник.

Теорема доказана.



Замечание.

В доказательстве Шварца требование, чтобы треугольник был остроугольный необходимо, так как только в таком треугольнике его ортоцентрический треугольник целиком лежит внутри исходного треугольника. Это требование выражается в том, что ортоцентрический треугольник уже предполагается вписанным. Если же треугольник является прямоугольным или тупоугольным, то наименьший по периметру вписанный «треугольник» является вырожденным- он представляет собой дважды взятую высоту треугольника, опущенную из наибольшего угла (рис.29, периметр любого вписанного а АВС треугольника больше дважды взятой высоты.).

рис.29

В доказательстве Фейера остроугольность треугольника связана с тем, что угол U’AU” меньше ?, и точки пересечения M и N прямой U’U” с АС и АВ лежат на самих этих сторонах. Точно так же основание высоты АЕ лежит на стороне ВС, а не на её продолжении.













































ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.


ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ.













Задачи и упражнения.

1. Тема: «Педальный треугольник».


Задача 1.

Определить стороны педального треугольника точки J (центра вписанной окружности) относительно треугольника АВС.

Решение.

рис.30

Пусть А1В1С1– педальный треугольник (рис.30), тогда по теореме 1:

В1С1= а1= ;

Из прямоугольного треугольника АВ1J имеем:

АJ2= (p-a)2 + r,

так как АВ1= (р-а), и В1J=r, где р =.

Следовательно, АJ2=(p-a)2+=*(p2–ap+p2–cp+b2)=

*=.

Значит,

АJ=

и

В1С1= а1= = .

Итак,

В1С1= 2(p-a)*.

Аналогично

С1А1= 2 (p-b)* .

A1B1= 2(p-c)* .

Задача решена.



Задача 2.

Определить стороны педального треугольника точки G (центра тяжести треугольника) относительно треугольника АВС.

Решение.

рис.31

Пусть А1В1С1– педальный треугольник. Пусть стороны педального треугольника равны а1, b1, c1(рис.31).

По тереме1:

a1=; b1=; c1= .

Так как AG = , то

а1=;

a1=.

Аналогично,

b1=,

c1=.

Задача решена.


Задача 3.

Две касательные к окружности, касающиеся её в точках В и С, пересекаются в точке А. Пусть А1В1С1– педальный треугольник равнобедренного треугольника АВС для произвольной точки Р на этой окружности. Показать, что |РА1|2 =|РВ1|*|РС1|.

Решение.

рис.32

Проведём отрезки РВ, РС, С1А1, А1В1 (рис32). Вписанные четырёхугольники А1РВ1С и А1ВС1Р дают

^A1B1P= ^A1CP= ^BCP= ^C1BP= ^C1A1P,

^PA1B1 = ^PCB1 = ^PCB= ^PBA1 = ^PC1A1.

Тогда треугольники РА1В1и РС1А1 подобны по первому признаку подобия, то есть по определению |РА1|2 =|РВ1|*|РС1|.

Задача решена.


Задача 4.

Площадь треугольника со сторонами а, b, c равна S. Найдите площадь педального треугольника точки Брокара.

Решение.

По теореме 4, педальный треугольник точки Брокара относительно данного треугольника подобен последнему, причём

a1/b= b1/c= c1/a= sin ?.

Следовательно, отношение площади педального треугольника S1 точки Брокара к площади данного треугольника S равно:

S1/S = sin2?.

Так как

sin2?= =,

то S1/S =,

откуда S1=.

Задача решена.



43



1Авиация и космонавтика
2Архитектура и строительство
3Астрономия
 
4Безопасность жизнедеятельности
5Биология
 
6Военная кафедра, гражданская оборона
 
7География, экономическая география
8Геология и геодезия
9Государственное регулирование и налоги
 
10Естествознание
 
11Журналистика
 
12Законодательство и право
13Адвокатура
14Административное право
15Арбитражное процессуальное право
16Банковское право
17Государство и право
18Гражданское право и процесс
19Жилищное право
20Законодательство зарубежных стран
21Земельное право
22Конституционное право
23Конституционное право зарубежных стран
24Международное право
25Муниципальное право
26Налоговое право
27Римское право
28Семейное право
29Таможенное право
30Трудовое право
31Уголовное право и процесс
32Финансовое право
33Хозяйственное право
34Экологическое право
35Юриспруденция
36Иностранные языки
37Информатика, информационные технологии
38Базы данных
39Компьютерные сети
40Программирование
41Искусство и культура
42Краеведение
43Культурология
44Музыка
45История
46Биографии
47Историческая личность
 
48Литература
 
49Маркетинг и реклама
50Математика
51Медицина и здоровье
52Менеджмент
53Антикризисное управление
54Делопроизводство и документооборот
55Логистика
 
56Педагогика
57Политология
58Правоохранительные органы
59Криминалистика и криминология
60Прочее
61Психология
62Юридическая психология
 
63Радиоэлектроника
64Религия
 
65Сельское хозяйство и землепользование
66Социология
67Страхование
 
68Технологии
69Материаловедение
70Машиностроение
71Металлургия
72Транспорт
73Туризм
 
74Физика
75Физкультура и спорт
76Философия
 
77Химия
 
78Экология, охрана природы
79Экономика и финансы
80Анализ хозяйственной деятельности
81Банковское дело и кредитование
82Биржевое дело
83Бухгалтерский учет и аудит
84История экономических учений
85Международные отношения
86Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
87Финансы
88Ценные бумаги и фондовый рынок
89Экономика предприятия
90Экономико-математическое моделирование
91Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
В ресторане посетитель делает заказ официанту:
- Стакан водки, бокал вина, рюмку коньяка, фужер шампанского, кружку пива и чай. Чай, пожалуйста, не крепкий, у меня сердце слабое.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Педальный треугольник", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2017
Рейтинг@Mail.ru