Реферат: Педальный треугольник - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Педальный треугольник

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 347 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

31 Научно – практическая конференция школьников Понятия и свойства педального треугольника Подготовила Собенина Татьяна МОУ СОШ №8 10Б класс Руководитель Мельник Г.И. Г. Когалым Ханты-Мансийский АО 2005 год Содержание: 1. Вступление . 2. Педальный треугольник: стр.3-14 1) Определение педального треугольника. 2) Свойства педального треугольника. 3) Теоремы о педальном треугольнике. 4) Вычисление площади педального треугольника. 3. Ортоцентрический треугольник: 1) Определение ортоцентрического треугольника. 2) Свойства ортоцентрического треугольника. 3) Теоремы об ортоцентрическом треугольнике. 4) Минимальное свойство ортоцентрического треугольника по Г.Шварцу и то же минимальное свойство ортоцентрического треугольника по Л.Фейеру. 4. Практическая часть. Задачи и упражнения. 5. Список литературы. 6. Заключение. ПЕДАЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК План: 1) Определение педального треугольника. 2) Свойства педального треугольника. 3) Теоремы о педальном треугольнике. 4) Вычисления площади педального треугольника. Педальный треугольник. Определение. рис.1 Определение. Пусть Р - любая точка внутри данного треугольника АВС (рис.1) , и пусть перпендикуляры, опущенные из точки Р на стороны ВС, АС, АВ треугольника, будут РА 1 ,РВ 1 и РС 1 . Треугольник А 1 В 1 С 1 , вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, называется педальным треугольником треугольника АВС для педальной точки Р. Свойства педального треугольника. Свойство1. Если расстояния от педальной точки до вершин треугольника АВС равны x , y , z , то длины сторон педального треугольника равны ax , by , cz , где R – радиус описанной окружности. 2R 2R 2R Доказательство. Около каждого из полученных четырёхугольников АС 1 РВ 1 , ВА 1 РС 1 , СВ 1 РА 1 можно описать окружность (рис.1). рис.2 П рямые углы в точках С 1 и В 1 указывают на то, что эти точки лежат на окружности с диаметром АР; другими словами, точка Р лежит на окружности, описанной вокруг треугольника АВ 1 С 1 . Аналогично, точка Р лежит на окружностях, оп исанных вокруг треугольников СА 1 В 1 , ВС 1 А 1 .Опишем окружность около четырёхугольника АВ 1 РС 1 ; её диаметром будет АР (рис.2 ). Пусть В 1 С 1 =а , тогда на основании тео ремы синусов для треугольника С 1 АВ а 1 / sin A = AP (1) Применив теорему синусов к самому треугольнику АВС, получим а / sin A = 2 R (2) Разделив почленно равенство (1) на равенство (2): а 1 /а= АР/2 R ; а 1 =аАР/2 R . Аналогично b 1 = bBP /2 R ; с 1 = сСР/2 R , где b 1 =C 1 A 1 , c 1 = B 1 A 1 . Если АР= x , ВР= y , СР= z , то длины сторон педального треугольника равны a 1 =ax/2R ; b 1 =by/2R ; с 1 = с z /2 R . Таким образом, свойство доказано . Замечание . В частном случае, когда точка Р является центром описанной окружности ( x = y = z = R ) , (рис.3 ) , длины сторон педального треугольника равны : а 1 =а/2; b 1 = b /2 ; с 1 =с/2. рис.3 Свойство2. Основания перпендикуляров, опущенных из точки на стороны треугольника, лежат на одной прямой, тогда и только тогда , когда эта точка лежит на описанной окружности. Прямая, содержащая эти основания, известна как прямая Симсона данной точки относительно данного треугольника. Прямая Симсона приписывалась ему, поскольку она казалась типичной для его геометрических идей. Однако историкам не удалось найти её в работах учёного. В действительности она была открыта в 1797 году Вильямом Уоллесом. Доказательство. Рассмотрим случай, когда точка Р леж ит на описанной окружности(рис.4 ). рис.4 Для определения будем считать, что точка Р лежит на дуге СА, не содержащей точку В. Все остальные случаи могут быть получены преобразованием вершин буквами А, В, С. Так как углы А 1 , В 1 и С 1 прямые, то точка Р также находится на окружностях, описанных вокруг треугольников А 1 ВС 1 , А 1 В 1 С и АВ 1 С 1 .Поэтому ^APC= 180°- ^B=^ C 1 PA 1 и, вычитая ^ APA 1 , выводим, что ^ A 1 PC =^ C 1 P A . Но так как точки А 1 ,С, Р, В 1 лежат на окружности , то ^ A 1 PC=^A 1 B 1 C, и так как точки В , А, Р, С лежат на окружности, то ^ C 1 PA =^ C 1 B 1 A , Таким образом, ^A 1 B 1 C=^C 1 В 1 A; Отсюда следует, что точки А 1 , В 1 , С 1 лежат на одной прямой, т. е. Педальный треугольник «вырождается».Наоборот, если точка Р расположена так, что педальный треугольник АВС вырождается, то, очевидно. Что точка Р должна лежать внутри одного из углов треугольника АВС и вне противолежащей ему стороны. Переобозначая вершины, если это необходимо, мы можем предположить, что этот «один угол» является углом В и что точка С 1 лежит на продолже нии стороны ВА за точку А (рис.4 ). Повторяя проведенные выше рассуждения об углах в обратном порядке, мы получим, что точка Р лежит на описанной окружности. Следовательно, свойство доказано и справедливо . Замечание. Требование, чтоб ы точка педальная точка находилась внутри треугольника по определению, можно ослабить, запретив лишь этой точке лежать на окружности, описанной вокруг треугольника АВС (рис.4 ). Теоремы о педальном треугольнике. Теорема1. Если из точки L внутри треугольника АВС опущены перпендикуляры l a , l b , l с , соответственно на стороны a , b , c треугольника, то l a / h a + l b /h b + l с /h c = 1 . Доказательство. Соединим точку L с вершинами треугольника. Треугольник АВС разобьётся на три треу гольника (рис.5 ). рис.5 Назовем площади этих треугольников S а , S b , S c . Имеем: S a /S= l a /h a ; S b /S = l b /h b ; S c /S= l c /h c . Сложив левые и правые части равенств, получим ( S a + S b + S c )/ S = l a /h a + l b /h b + l c /h c . Так как S a + S b + S c = S , то l a /h a + l b /h b + l c /h c =1. Теорема доказана. Следствие. В равностороннем треугольнике сумма расстояний от произвольной точки, взятой внутри треугольника, до его сторон есть величина постоянная, равная высоте треугольника. Доказательство. В равностороннем треугольнике высоты равны, т.е. можно записать такое равенство: l a /h + l b /h + l c /h =1; ( l a + l b + l c )/ h =1 ; l a + l b + l c = h . Следствие доказано. Теорема2. Перпендикуляры, опущенные из точки, лежащей в плоскости треугольника, на его стороны, определяют на сторонах шесть отрезков так, что сумма квадратов трёх отрезков, не имеющих общих концов, равна сумме квадратов трёх других. Доказательство. Пусть OL , OM , ON - перпендикуляры , опущенные из произвольной точки О соответственно на сторо ны: АВ, ВС, АС (рис.6 ). рис.6 Тогда по теореме Пифагора из треугольников АО L и ВО L следует АО 2 – А L 2 = AO 2 – BL 2 или AL 2 – BL 2 = AO 2 – BO 2 . Аналогично, из треугольников ВМО и СМО ВМ 2 – СМ 2 = ВО 2 – СО 2 , А из треугольников CON и AON – CN 2 – AN 2 = CO 2 – AO 2 . Сложив эти равенства, получим: AL 2 – BL 2 + BM 2 – CM 2 + CN 2 – AN 2 =0 или AL 2 + BM 2 + CN 2 = BL 2 + CM 2 + AN 2 . Теорема доказана. Обратная теорема. Если на сторонах треугольника три точки определяют шесть отрезков так. Что сумма квадратов трёх отрезков, не имеющих общих концов, равна сумме квадратов трёх других, то эти три точки можно рассматривать как проекции некоторой точки на стороны треугольника. Доказательство (метод от противного). Пусть данное нам утверждение не верно, т.е. если точки L , M , N не являются проекцией точки О на стороны треугольника, то AL 2 – BL 2 + BM 2 – CM 2 + CN 2 – AN 2
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Эпилептик Степан принял ванну с пеной, хотя вообще-то не планировал.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Педальный треугольник", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru