Реферат: Основы дефференцирования - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Основы дефференцирования

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 136 kb, скачать бесплатно
Обойти Антиплагиат
Повысьте уникальность файла до 80-100% здесь.
Промокод referatbank - cкидка 20%!

Узнайте стоимость написания уникальной работы







САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА


по дисциплине: «Математика»

по теме: «Правила Дефферинцирования»












Содержание:

Основные правила дифференцирования…………………………………….3

Логарифмическое дифференцирование……………………………………..4

Показательно-степенная функция и ее дифференцирование………………5

Таблица производных…………………………………………………………6

Производная обратных функций……………………………………………..8

Понятие дифференциала функции. Связь между дифференциалом и производной……………………………………………………………………9

Геометрический смысл дифференциала……………………………………11

Теорема об инвариантности дифференциала………………………………12

Применение дифференциала к приближенным вычислениям…………….13

Список литературы…………………………………………………………...15



Основные правила дифференцирования


Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.


1) (u ? v)? = u? ? v?

2) (u?v)? = u?v? + u??v

3), если v ? 0


Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

Производные основных элементарных функций:


1)С? = 0; 9) 

2)(xm)? = mxm-1; 10) 

3)  11) 

4)  12) 

5)  13) 

6)  14) 

7) 15) 

8)  16) 


Логарифмическое дифференцирование


Дифференцирование многих функций упрощается, если их предварительно прологарифмировать. Для этого поступают следующим образом. Если требуется найти y' из уравнения y=f(x), то можно:

  1. Прологарифмировать обе части уравнения (по основанию е) ln y = ln f(x) = j(x).

  2. Продифференцировать обе части равенства, считая ln y сложной функцией от переменной x: .

  3. Выразить y' = y·j'(x) = f(x)·(lnx)'.

Примеры.

  1. y = xa – степенная функция с произвольным показателем.


.

  1. 













Показательно-степенная функция и ее дифференцирование


Показательно-степенной функцией называется функция вида y = uv, где u=u(x), v=v(x).

Логарифмическое дифференцирование применяется для нахождения производной от показательно-степенной функции.






Примеры


  1. 

  2. .














Таблица производных


Объединим в одну таблицу все основные формулы и правили дифференцирования, выведенные ранее. Всюду будем полагать u=u(x), v=v(x), С=const. Для производных основных элементарных функций будем пользоваться теоремой о производной сложной функции.

  1. .

  2. .

  3. .

  4. .

  5. .

а).

б) .

  1. .

  2. .

.

  1. 

  2. .

  3. .

  4. .

  5. .

  6. .

  7. .

  8. .

  9. .

  10. .


Примеры


  1. 

  2. 

  3. . Найти y'(–1).






Производная обратных функций


Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.

Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:




т.к. g?(y) ? 0 





т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.

Пример. Найти формулу для производной функции arctg.

Функция arctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:



Известно, что 

По приведенной выше формуле получаем:




Т.к.  то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:



Понятие дифференциала функции. Связь между дифференциалом и производной

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [a; b]. Производная этой функции в некоторой точке х0 ? [a; b] определяется равенством



Следовательно, по свойству предела



Умножая все члены полученного равенства на ?x, получим:

?y = f '(x0)·?x + a·?x.

Итак, бесконечно малое приращение ?y дифференцируемой функции y=f(x) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых, из которых первое есть (при f '(х0) ? 0) главная часть приращения, линейная относительно ?x, а второе – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем ?x. Главную часть приращения функции, т.е. f '(х0)·?x называют дифференциалом функции в точке х0 и обозначают через dy.

Таким образом, если функция y=f(x) имеет производную f '(x) в точке x, то произведение производной f '(x) на приращение ?x аргумента называют дифференциалом функции и обозначают:

dy = f '(x)·?x

(1)


Найдем дифференциал функции y= x. В этом случае y' = (x)' = 1 и, следовательно, dy=dx=?x. Таким образом, дифференциал dxнезависимой переменной xсовпадает с ее приращением ?x. Поэтому формулу (1) мы можем записать так:


dy = f '(x)dx


Но из этого соотношения следует, что . Следовательно, производную f '(x) можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

Ранее мы показали, что из дифференцируемости функции в точке следует существование дифференциала в этой точке.

Справедливо и обратное утверждение.

Если для данного значения x приращение функции ?y = f(x+?x) – f(x) можно представить в виде ?y = A·?x + ?, где ? – бесконечно малая величина, удовлетворяющая условию , т.е. если для функции y=f(x) существует дифференциал dy=A·dx в некоторой точке x, то эта функция имеет производную в точке x и f '(x)=А.

Действительно, имеем , и так как при ?x?0, то .

Таким образом, между дифференцируемостью функции и существованием дифференциала имеется очень тесная связь, оба понятия равносильны.

Примеры. Найти дифференциалы функций:

  1. 

  2. .





Геометрический смысл дифференциала



Рассмотрим функцию y=f(x) и соответствующую ей кривую. Возьмем на кривой произвольную точку M(x; y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через ? угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox. Дадим независимой переменной x приращение ?x, тогда функция получит приращение ?y = NM1. Значениям x+?x и y+?y на кривой y = f(x) будет соответствовать точка

M1(x+?x; y+?y).

Из ?MNT находим NT=MN·tg ?. Т.к. tg ? = f '(x), а MN = ?x, то NT = f '(x)·?x. Но по определению дифференциала dy=f '(x)·?x, поэтому dy = NT.

Таким образом, дифференциал функции f(x), соответствующей данным значениям x и ?x, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точке х.


Теорема об инвариантности дифференциала


Ранее мы видели, что если u является независимой переменной, то дифференциал функции y=f '(u) имеет вид dy = f '(u)du.

Покажем, что эта форма сохраняется и в том случае, когда u является не независимой переменной, а функцией, т.е. найдем выражение для дифференциала сложной функции. Пусть y=f(u), u=g(x) или y = f(g(x)). Тогда по правилу дифференцирования сложной функции:


.


Следовательно, по определению


,


но g'(x)dx= du, поэтому dy= f'(u)du.

Мы доказали следующую теорему.

Теорема. Дифференциал сложной функции y=f(u), для которой u=g(x), имеет тот же вид dy=f'(u)du, какой он имел бы, если бы промежуточный аргумент u был независимой переменной.

Иначе говоря, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала называется инвариантностью формы дифференциала.

Пример. . Найти dy.

Учитывая свойство инвариантности дифференциала, находим


.


Применение дифференциала к приближенным вычислениям


Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.

Как мы уже выяснили приращение функции ?yможно представить в виде суммы ?y=dy+?·?x, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых ?x вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством ?y?dyили ?y»f'(x0)·?x.

Т.к., по определению, ?y = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)?f'(x0)·?x.

Откуда


f(x) ? f(x0) + f'(x0)·?x


Примеры:

  1. y = x2 – 2x. Найти приближенно, с помощью дифференциала, изменение y (т.е. ?y), когда x изменяется от 3 до 3,01.

Имеем ?y?dy=f'(x)·?x.

f'(x)=2x – 2 ,f'(3)=4, ?x=0,01.

Поэтому ?y ? 4·0,01 = 0,04.

  1. Вычислить приближенно значение функции в точке x = 17.

Пусть x0= 16.

Тогда ?x = x – x0= 17 – 16 = 1,


,

.

Таким образом, .

  1. Вычислить ln 0,99.

Будем рассматривать это значение как частное значение функции y=lnx при х=0,99.

Положим x0 = 1. Тогда ?x = – 0,01, f(x0)=0.

, f '(1)=1.Поэтому f(0,99) ? 0 – 0,01 = – 0,01.


Список Литератутры

  1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике.  М.: Джангар, 2000.  864 с.

  2. Гордон В.А., Шмаркова Л.И. Краткий курс математики / Учебное пособие. – Орёл: ОрёлГТУ, 2000. – 96 с.

  3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: М.: Наука, 1996.

  4. Мордкович А.Г Алгебра 7-11. 2001-2003г




1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
- Маш, а что лучше - давать или получать?
- Лучше всего получать за давание!
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Основы дефференцирования", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2017
Рейтинг@Mail.ru