Курсовая: Моделирование значений случайных векторов - текст курсовой. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Курсовая

Моделирование значений случайных векторов

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Курсовая работа
Язык курсовой: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 226 kb, скачать бесплатно
Обойти Антиплагиат
Повысьте уникальность файла до 80-100% здесь.
Промокод referatbank - cкидка 20%!

Узнайте стоимость написания уникальной работы



МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(технический университет)












Курсовой проект

на тему: «Моделирование значений случайных векторов»







Студент: Барбот А. В.

Группа: А9-01

Руководитель: Власов В. А.


















Москва 2002 г.

Содержание.







стр.







1. Аннотация.





3

2. Введение.



4

3. Необходимые сведения.



6

4. Исходные данные и обозначения



7

5. Вывод неизвестных коэффициентов системы уравнений.



8

6. Реализация программы в среде Matlab.



11

7. Примеры работы программы.



13

8. Заключение.



19

9. Список литературы.



20






















  1. Аннотация.


Решение многих прикладных задач требует моделирования случайных векторов.

В работе приводится метод моделирования случайных векторов с одинаковым для всех координат одномерным законом распределения, заданной матрицей ковариации и математическим ожиданием составляющих. Для решения этой задачи используется система алгебраических уравнений с неизвестными коэффициентами. По соответствующему алгоритму разработана программа имитации значений векторов по заданной ковариационной матрице и математическим ожиданиям составляющих с треугольной матрицей преобразования. Изучена возможность покоординатных преобразований. Проведена проверка датчика псевдослучайных чисел системы MATLAB.









































2. Введение.


Решение многих прикладных задач, таких как проведение модельных (машинных) экспериментов с помощью математического моделирования требует моделирования случайных векторов.

Предполагая определенные свойства объекта исследования и характеристики измерительной аппаратуры, исследователь имитирует результаты измерений, обрабатывает их тем или иным способом и сравнивает результат с заложенными ранее характеристиками объекта. Особенно необходимы такие эксперименты при решении некорректных обратных задач. При этом необходимо моделировать не только закономерное влияние на результат измерения свойств объекта исследования и аппаратные искажения, но и случайные погрешности измерений, т.е. случайные величины (вектора) с заданным законом распределения. Результат эксперимента, как правило, представляет собой массив отсчетов (вольтамперная характеристика, спектр излучения источника света, пространственное распределение яркости в изображении и т.п.).
Если отсчеты считать независимыми случайными величинами (их средние значения отражают какие-то закономерности, но к средним прибавлена случайная погрешность), то задача сводится к генерации значений независимых случайных величин (погрешностей) с нулевым средним и заданным законом распределения. В общем случае эту задачу легко решить с помощью генератора случайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0,1), который встроен практически во все языки программирования высокого уровня.
Однако в реальных экспериментах, особенно если они выполняются быстро с помощью автоматизированных измерительных систем, погрешности измерения в различных экспериментальных точках могут быть коррелированны.

Ниже описывается метод моделирования случайных векторов с одинаковым для всех координат одномерным законом распределения, заданной матрицей ковариации и математическим ожиданием составляющих. Для решения этой задачи предлагается использовать систему алгебраических уравнений с неизвестными коэффициентами.

Алгоритм получения очередного случайного вектора заключается в следующем:

— по заданным ковариационным матрицам и математическим ожиданиям составляющих случайных векторов вычисляются значения неизвестных коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений;

— моделируется случайный вектор , координаты которого независимы и имеют заданное одномерное распределение;

— с помощью указанной системы алгебраических уравнений получается случайный вектор .

Доказано, что при выполнении условий реализуемости системы линейных алгебраических уравнений закон распределения координат совпадает с одномерным законом распределения координат , а значения коэффициентов ковариации любой пары равны соответствующим элементам заданной матрицы коэффициентов ковариации.

Моделирующая программа, использующая предложенный метод, определяет значения коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений и проверяет выполнение условий реализуемости этой системы. В случае невыполнения условий реализуемости программа указывает на необходимость корректировки задаваемой матрицы коэффициентов ковариации.
Если указанные условия реализуемости выполнены, то программа позволяет выбрать количество (объем выборки) и размерность моделируемых векторов.

По окончании моделирования программа проверяет соответствие параметров закона распределения координат исходным требованиям, а также находит оценки для полученных в результате моделирования коэффициентов ковариации координат.
Программа реализована в вычислительной среде MATLAB.























3. Необходимые сведения.


Ниже приводятся необходимые сведения и определения из линейной алгебры и теории вероятности.


Математическое ожидание случайной величины обладает следующими свойствами.


  1. Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной, т.е.

, .

  1. Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, т.е.

.

  1. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т.е.

.

  1. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.

.


Можно доказать, что для случайных величин и для независимых случайных величин .


Дисперсия случайной величины обладает следующими свойствами.


  1. Дисперсия постоянной величины равно нулю, т.е.

, .

  1. Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии возведя его в квадрат, т.е.

.

  1. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равно сумме их дисперсий, т.е.

.


Можно доказать, что для случайных независимых величин




Линейное преобразование случайных векторов. Предположим, что

- случайный - мерный вектор с математическим ожиданием и корреляционной матрицей . Введем матрицу преобразования размером и сформируем мерный вектор

Можно показать справедливость следующих выражений

, .

- вектор математического ожидания

Если - случайный - мерный вектор, координаты которого являются центрированными случайными величинами, то для выражения

справедливо .


4. Исходные данные и обозначения.


Исходными данными для поставленной задачи являются характеристики моделируемого случайного – мерного вектора :


- ковариационная матрица, , ,

- вектор математического ожидания, .


В качестве вектора берется случайный вектор, координаты которого распределены по нормальному закону с параметрами:


- нулевой вектор математического ожидания, центрированная случайная величина равна самой случайной величине ,


- дисперсия, - ковариационная матрица.

То есть координаты вектора независимы (отсутствует корреляция между компонентами вектора).


Вектор задается с помощью генератора случайных чисел, встроенного в систему MATLAB, для этих целей подходит функция


,


которая формирует массив, соразмерный с матрицей , элементами которого являются случайные величины, распределенные по нормальному закону с математическим ожиданием 0 и среднеквадратическим отклонением 1.



5. Вывод неизвестных коэффициентов системы линейных уравнений.


Координаты выходного вектора могут быть получены из нормально распределенных независимых случайных величин - координат вектор следующим образом:


или


.



Можно переписать систему линейных уравнений в матричном виде:


,


где , , , .


Найдем элементы матрицы , выразив их через элементы матриц , , ,.


Так как , поэтому будем рассматривать

центрированные случайные величины, прибавив к которым соответствующие математические ожидания, получим искомые координаты выходного вектора.

Для этого рассмотрим ковариацию двух случайных величин

.


Так как

,


аналогично


,



используя приведенные выше свойства математического ожидания, и учитывая, что из исходных данных , получим


.


т.к. ,


таким образом, между элементами ковариационных матриц ,, и элементами матрицы линейного преобразования установлена следующая связь

,

или как было рассмотрено выше выражение в матричном виде


.


Так как нижнетреугольная матрица () и , то



.

Эти рекуррентные соотношения позволяют найти элементы матрицы

по элементам ковариационных матриц, , .


Рассмотрим двумерный массив , где каждый столбец рассматривается как переменная, а каждая строка – как наблюдение. Тогда выборочная матрица ковариации определяется следующим образом:



В системе MATLAB, присутствует функция , которая вычисляет матрицу ковариаций измерений (или выборочную матрицу ковариации).

Выборочная ковариационная матрица позволяет оценить соответствие моделируемых случайных векторов поставленной задачи.


6. Реализация программы в среде Matlab.


clear all;


n=3; % размерность случайного вектора

N=100; % количество наблюдений (объем выборки)


U=randn(n,N); % генерация случайного вектора

cov_u = eye(n,n); % ковариационная матрица


%cov_ksi = 4*eye(n,n);

cov_ksi=[4 2 3 ; 2 9 6 ; 3 6 16]; % ввод ковариационной матрицы


M_ksi=[-10; 0; 10]; % ввод матрицы

%M_ksi=zeros(n,1);


A=zeros(n,n);


% проверка размерности и

if (size(cov_ksi) ~= n) | (size(M_ksi) ~= n)

error('Размерность матрицы сov_ksi или M_ksi не совпадает с n');

end

% проверка корректности

for i=1:n,

if det(cov_ksi(1:i,1:i)) <= 0

error('Матрица сov_ksi не положительно определенна');

end

end



% вычисление элементов матрицы

for i=1:n,

for j=1:i,

sum=0;

for k=1:(j-1),

sum=sum+A(i,k)*A(j,k)*cov_u(k,k);

end

if i==j

A(i,j)=sqrt((cov_ksi(i,j)-sum)/cov_u(j,j));

else

A(i,j)=(cov_ksi(i,j)-sum)/(A(j,j)*cov_u(j,j));

end

end

end


% построение случайного вектора

for i=1:N,

ksi(:,i)=A*U(:,i)+M_ksi;

end

% транспонирование матрицы случайных векторов

ksi_t=ksi';

% вывод транспонированной матрицы в файл out.txt

save out.txt ksi_t –ASCII

disp('Матрица преобразований A');

A

disp('Выборка входных векторов U');

U

disp('Выходные векторы ksi');

ksi

disp('Исходн. матрица cov_ksi');

cov_ksi


% построение выборочной ковариационной матрицы

disp('Выборочн. ков. матрица cov_ksi');

test_cov_ksi=cov(ksi_t)


% проверка правильности преобразований

disp('Матрица cov_ksi (проверка правильности преобразований)');

A*cov_u*A'



% построение гистограмм для входных и выходных векторов

figure(1);

hist(U',20);

xlabel('Интервалы');

ylabel(sprintf('Количество из %g',N));


figure(2);

hist(ksi',50);

xlabel('Интервалы');

ylabel(sprintf('Количество из %g',N));figure(1);



7. Примеры работы программы.



№ 1.


Входные данные:


размерность вектора ,

объем выборки ,


, , , ,.











Гистограмма нормального распределения всех координат


Гистограмма распределения всех координат

№ 2.


Входные данные:


размерность вектора ,

объем выборки ,


, , , .


Выходные данные:


,


Как видно из полученных данных объем выборки недостаточен для оценки с помощью выборочной ковариационной матрицы полученного закона распределения координат, так как ковариационная матрица измерений значительно отличается от заданной. Поэтому увеличим объем выборки.




















Гистограмма распределения координат для выборки



Гистограмма распределения координат для выборки

№ 3.


Входные данные:


размерность вектора ,

объем выборки ,


, , , .


Выходные данные:


,


C увеличением объема выборок до элементы выборочной ковариационной матрицы отличаются от желаемых не более чем на 5%.






















Гистограмма распределения координат для выборки



Гистограмма распределения координат для выборки


Заключение.


Итогом курсовой работы по теме «Моделирование значений случайных векторов» явилась разработка алгоритма моделирования значений случайных векторов, с одинаковым для всех координат одномерным законом распределения, заданной матрицей ковариаций и математическим ожиданием составляющих. Для достижения поставленной цели была изучена система MatLab, с помощью которой была создана моделирующая программа, позволяющая моделировать вектора по заданным параметрам. В программе присутствуют средства проверки соответствия полученных данных условиям поставленной задачи. Результаты работы программы представлены в виде графических данных и в виде сохранения массива полученных векторов в файл.































Список литературы.


1. Гусак А.А.

Высшая математика. В 2-х т. Т. 2.:Учеб. Пособие для студентов вузов. –

Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 448 с.



2. Лазарев Ю.Ф.

MatLAB 5.x – К.: Издательская группа BHV, 2000. – 384 с.



3. Потемкин В.Г.

Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.x. В 2-х т. Т. 2 – М.:

ДИАЛОГ-МИФИ, 1999. – 303 с.



4. Вентцель Е.С.

Теория вероятностия. – М.: Государственное издательство физико-

математической литературы, 1962. – 564 с.


Моделирование значений случайных векторов


Система линейных уравнений:

,


или в матричной форме ,

Примеры работы программы.

Входные данные:


размерность вектора ,

объем выборки ,

,,,.


Выходные данные:


,

Объем выборки недостаточен для оценки полученных распределений координат, так как ковариационная матрица измерений значительно отличается от заданной. Поэтому увеличим объем выборки.

где , , ,,

.

Рассматривая ковариацию случайных величин , получаем выражение для элементов ковариационной матрицы ,причем справедливо выражение

Далее выражаем неизвестные коэффициенты:

Эти рекуррентные соотношения позволяют найти элементы матрицы

по элементам ковариационных матриц, , .

Выборочная ковариационная матрица определятся выражением

Гистограмма распределения координат для

Гистограмма распределения координат для


Входные данные:


размерность вектора ,

объем выборки ,

,,, .


Выходные данные:


,


C увеличением объема выборок до элементы выборочной ковариационной матрицы отличаются от заданных

не более чем на 5%.


Гистограмма распределения координат для


Гистограмма распределения координат для




Документация по программе MonteCarlo.m



Входные данные:


N – количество моделируемых случайных векторов.

cov_ksi – ковариационная матрица элементов моделируемых случайных векторов.

M_ksi – матрица математического ожидания выходных векторов

n – размерность случайных векторов (вычисляется в программе по заданной ковариационной матрице).


Выходные данные:


ksi – матрица размерности , столбцами которой являются моделируемые случайные векторы.


out.txt – файл – распечатка случайных векторов ksi (сохраняется в той же директории, что и программа).






1Авиация и космонавтика
2Архитектура и строительство
3Астрономия
 
4Безопасность жизнедеятельности
5Биология
 
6Военная кафедра, гражданская оборона
 
7География, экономическая география
8Геология и геодезия
9Государственное регулирование и налоги
 
10Естествознание
 
11Журналистика
 
12Законодательство и право
13Адвокатура
14Административное право
15Арбитражное процессуальное право
16Банковское право
17Государство и право
18Гражданское право и процесс
19Жилищное право
20Законодательство зарубежных стран
21Земельное право
22Конституционное право
23Конституционное право зарубежных стран
24Международное право
25Муниципальное право
26Налоговое право
27Римское право
28Семейное право
29Таможенное право
30Трудовое право
31Уголовное право и процесс
32Финансовое право
33Хозяйственное право
34Экологическое право
35Юриспруденция
36Иностранные языки
37Информатика, информационные технологии
38Базы данных
39Компьютерные сети
40Программирование
41Искусство и культура
42Краеведение
43Культурология
44Музыка
45История
46Биографии
47Историческая личность
 
48Литература
 
49Маркетинг и реклама
50Математика
51Медицина и здоровье
52Менеджмент
53Антикризисное управление
54Делопроизводство и документооборот
55Логистика
 
56Педагогика
57Политология
58Правоохранительные органы
59Криминалистика и криминология
60Прочее
61Психология
62Юридическая психология
 
63Радиоэлектроника
64Религия
 
65Сельское хозяйство и землепользование
66Социология
67Страхование
 
68Технологии
69Материаловедение
70Машиностроение
71Металлургия
72Транспорт
73Туризм
 
74Физика
75Физкультура и спорт
76Философия
 
77Химия
 
78Экология, охрана природы
79Экономика и финансы
80Анализ хозяйственной деятельности
81Банковское дело и кредитование
82Биржевое дело
83Бухгалтерский учет и аудит
84История экономических учений
85Международные отношения
86Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
87Финансы
88Ценные бумаги и фондовый рынок
89Экономика предприятия
90Экономико-математическое моделирование
91Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Религия — это уздечка, за которую лошадку ведут в рай, попутно цепляя к ней то телегу, то плуг, то сани.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, курсовая по математике "Моделирование значений случайных векторов", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2017
Рейтинг@Mail.ru