Реферат: Минимизация ФАЛ - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Минимизация ФАЛ

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 168 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Минимизация ФАЛ Совершенно нормальные формы хотя и дают однозначны е представления функции , но являются очень громоздкими . Реализация СНФ программно или схемотехнически является избыточной , что ведет к увеличению программного кода , поэтому существуют методы упрощения логической записи – минимизации. Определение : Преобразо вание логических функций с целью упрощения их аналитического представления называются минимизацией. Существуют два направления минимизации : 1. Кратчайшая форма записи (цель – минимизировать ранг каждого терма ). При этом получаются кратчайшие формы КДНФ , КК НФ , КПНФ. 2. Получение минимальной формы записи (цель – получение минимального числа символов для записи всей функции сразу ). При этом следует учесть , что ни один из способов минимизации не универсален ! Существуют различные методы минимизации : 1. Метод неп осредственных преобразований логических функций. (1.1) При применении данного метода : а ) Записываются ДСНФ логических функций б ) Форма преобразуется и упрощается с использованием аксиом алгебры логики . При этом , в частности , выявляются в исходном ДСНФ так называемые соседние min -термы , в которых есть по одной не совпадающей переменной. По отношению к соседним min -термам применяется закон склейки , значит ранг min -терма п онижается на единицу . Определение : Min -термы , образованные при склеивании называются импликантами . Полученные после склейки импликанты по возможности склеивают до тех пор , пока склеивание становится невозможным. Определение : Несклеивающиеся импликанты наз ываются прослойками. Определение : Формула , состоящая из простых импликант – тупиковая. Пример : 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 Если в процессе склейки образует ся форма R , содержащая члены вида и то для нее справедливо выражение , что позволяет добавить к исходной форме R несколько членов вида пар и и после этого продолжить минимизацию. Пример : Мы получили минимальную СНФ. Метод неопределенных коэффициентов. (1.2) Суть метода состоит в преобразовании ДСН Ф в МДНФ. На основании теоремы Жигалкина любую ФАЛ можно представить в виде (рассмотрим на примере трех переменных ) : Алгоритм определения коэффициентов : 1. Исходное ура внение разбить на систему уравнений , равных числу строк в таблице истинности. 2. Напротив каждого выражения поставить соответствующее значение функции. 3. Выбрать строку , в которой значение функции и приравнять все к нулю. 4. Просмотреть строки , где функция имеет единичное значение , и вычеркнуть все коэффициенты , встречающиеся в нулев ых строках. 5. Проанализировать оставшиеся коэффициенты в единичных строках. 6. Используя правило , что дизъюнкция равна 1 если хотя бы один из , выбрать min -термы минима льного ранга . Причем отдавать предпочтение коэффициентам , встречающимся в нескольких уравнениях одновременно. 7. Записать исходный вид функции. Метод неопределенных коэффициентов применим для дизъюнктивной формы и непригоден для конъюнктивной. Пример : 0 0 0 0 00 00 00 000 1 1 0 0 1 00 01 01 001 0 2 0 1 0 01 00 10 010 1 3 0 1 1 01 01 11 011 0 4 1 0 0 10 10 00 100 1 5 1 0 1 10 11 01 101 0 6 1 1 0 11 10 10 110 0 7 1 1 1 11 11 11 111 1 Итак , получим Метод Квайна (1.3) Суть метода сводится к тому , чтобы преобразовать ДСНФ в МДНФ . Задачи минимизаци и по методу Квайна состоит в попарном сравнении импликант , входящих в ДСНФ с целью выявления возможности склеивания по какой-то пременной так : Таким образом , можно пони зить ранг термов . Процедура производится до тех пор , пока не остается ни одного терма , допускающего склейки с другим . Причем склеивающиеся термы помечаются *. Определение : Непомеченные термы называются первичными импликантами. Полученное логическое выраже ние не всегда оказывается минимальным , поэтому исследуется возможность дальнейшего упрощения . Для этого : 1. Составляются таблицы , в строках которых пишутся найденные первичные импликанты , а в столбцах указываются термы первичной ФАЛ. 2. Клетки этой таблиц ы отмечаются в том случае , если первичная импликанта входит в состав какого-нибудь первичного терма. 3. Задача упрощения сводится к нахождению такого минимального количества импликант , которые покрывают все столбцы. Алгоритм метода Квайна (шаги ) : 1. Нахожд ение первичных импликант. Исходные термы из ДНФ записывают в столбик и склеиваю сверху вниз . Непомеченные импликанты переходят в функции на этом шаге. 2. Расстановка меток избыточности. Составляем таблицу , в которой строки – первичные импликанты , столбцы – исходные термы . Если некоторый min -терм содержит первичный импликант , то на пересечении строки и столбца ставим метку. 3. Нахождение существенных импликант. Если в каком-либо столбце есть только одна метка , то первичный импликант соответствующей строк и является существенным. 4. Строка , содержащая существенный импликант и соответствующие столбцы вычеркиваются. Если в результате вычеркивания столбцов появятся строки первичных импликант , которые не содержат метки или содержат одинаковые метки в строках , т о такие первичные импликанты вычеркиваются . В последнем случае оставляем одну меньшего ранга. 5. Выбор минимального покрытия. Из таблицы , полученной на шаге 3 выбирают такую совокупность первичных импликант , которая включает метки во всех столбцах по крайн ей мере по одной метке в каждом . При нескольких возможных вариантах отдается предпочтение покрытию с минимальным суммарным числом элементов в импликантах , образующих покрытие. 6. Далее результат записывается в виде функции. Пример : Шаг 1. Термы 4го ранга Термы 3го ранга Термы 2го ранга * 1 * 3 * 4 * 1 * 2 * 2 * 3 * 4 * 1 * 2 * 2 * 1 Шаг 2. V V V V V V V V V V V V V V Шаг 4 пропускаем. Шаг 5. Выбираем те min -термы , при записи которых , МДНФ функции минимальна. Шаг 6. Недостаток метода Квайна – необходимость полного по парного сравнения всех min -термов на этапе нахождения первичных импликант. Идея модификации метода Квайна – метод Квайна-Мак-Класки. (1.4) 1. Каждая конъюнкция в ДСНФ представляется своим двоичным набором. 2. Вся совокупность номеров наборов разбивается на группы в зависимости от числа единиц , имеющихся в номерах наборов (0-группа , 1-группа , 2-группа и.т.д .). 3. Сравниваются две группы , отличающиеся н а одну единицу. 4. В результате сравнения в номере набора , имеющего большее число единиц на позиции , где обнаружится разница на одну единицу ставится прочерк. 5. В процессе преобразования возникают новые сочетания ( n -группы ). 6. Процесс преобразования длит ся до тех пор , пока возможна операция склеивания. 7. Элементы преобразованных групп являются первичными импликантами , которые вместе с номерами исходных наборов образуют таблицы разметок. 8. В остальном эти методы совпадают с единственным уточнением – если в результате таблицы разметок ни одна из строк не покрывает единицу столбца , то надо выбрать номер столбца набора из предыдущей группы преобразований. Определение : n - группа – это такой набор аргументов функции , что число всех аргументов равных единице рав но n , причем значении функции равно 1 . Пример : Составим таблицу истинности : 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 Запишем n -группы : 0- Группа : 0000 1-Группа : 0001, 0010, 0100, 1000 2-Группа : 0011, 0101, 0110, 1001 3-Группа : 0111,1011 4-Группа : 1111 Теперь сравним группы с номерами n и n +1: 0- Группа : 000-, 00-0, 0-00, -000 1- Группа : 00-1, 0-01, -001, 001-, 0-10, 010-,01-0, 100- 2-Группа : 0-11, -011, 01-1, 011-, 10-1 3-Группа : -111, 1-11 Еще раз сравним (при этом прочерки должны быть на одинаковых позициях ): 0- Группа : 00--, 0-0-, -00- 1-Группа : 0--1, -0-1, 0-1-, 01 — 2-Группа : --11 И е ще раз сравним : 0-Группа : 0--- Запишем таблицу исходных min - термов , где функция равна 1 : 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1011 1111 V V V V V V V V 0--- Выделим минимальное число групп , покрывающих Для проверки составим таблицу ис тинности 1000 1001 1011 1111 -00- V V -0-1 V V -111 V V Метод минимизирующих карт (для ДСНФ и КСНФ ). (1.5) Одним из способов графического представления булевых функций от небольшого числа переменных являются карты Карно . Их разновидность – ка рты Вейча , которые строятся как развертки кубов на плоскости , при этом вершины куба представляются клетками карты , координаты которых совпадают с координатами соответствующих вершин куба. Для ДСНФ единицы ставятся в клетке , соответствующей номеру набора , н а котором значение функции равно единице , а ноль не ставится , а для КСНФ – наоборот. Диаграмма для двух логических переменных (для ДСНФ ) : Для трех переменных : Карты Карно используются для ручной минимизации функций алгебры логики при небольшом количестве переменных . Правило минимизации : склеиванию подвергаются 2,4,8,16, клеток и клетки , лежащие на границе карты. При числе переменных 5 и больше отобразить графически функцию в виде единой плоской карты невозможно . Тогда строят комбинированные карты , состоящие из совокупности более простых карт . Процедура минимизации заключается тогда в том , что сначала находится минимальная форма 4-х мерных кубов (карт ), а затем , расширяя понятие соседних клеток , отыскивают min -термы для совокупности карт . Причем со седними клетками являются клетки , совпадающие при совмещении карт поворотом вокруг общего ребра. Пример : Минимизировать ФАЛ от двух переменных : 1 1 1 Минимизировать функцию : 1 1 1 1 Минимизация логических функций , заданных в базисе . Метод неопределенных коэфициентов применим для минимизации фун кций , заданных в различных базисах . Пусть функция является ПСНФ , операция имеет особенности , отличающие ее от операции дизъюнкции. 1) 2) 3) Минимизация при этом усложняется , так как ее основными критериями являются минимальные ранги каждого терма и их минимальное количество , при этом в ходе минимизации в базисе нецелесообразно приравнивать к нулю все коэффициенты на наборах где , т.к . в набор ах , где функция могут остаться термы высокого ранга . Поэтому особой разницы между выбором нулевого или единичного значения функции нет. Количество коэффициентов , остающ ихся в нулевых строках должно быть четным , а в единичных – нечетным . Лучше всего рассматривать единичные строки и оставлять те коэффициенты минимального ранга , которые чаще всего повторяются в этих строках . В общем случае для получения минимальной формы в ы полняют следующие действия : 1) Подсчитывают , сколько раз в единичных строках встречаются термы первого ранга и оставляют из них те , которые встречаются максимальное число раз. 2) Находят нулевые строки , в которых встречаются оставленные в первом шаге термы и их не обнуляют. 3) Рассматривая нулевую строку , в которой остался одни единичные термы и находят в ней еще единичный терм , встречающийся максимальное число раз в единичных строках , в которых еще не было оставлено ни одного терма и.т.д. Метод Квайна-Мак- Класки может быть применим при минимизации этого базиса , при этом кроме эффективных значений функции , где включаются некоторые min -термы , где . Метод Квайна-Мак-Класки применим для минимизации базисов стрелки пирса и штриха Шеффера. Не полностью определенные ФАЛ (1.6) Определение : не полностью определенные ФАЛ от n переменных называ ется функции , заданные на множестве наборов меньше чем . Если количество неопределенных наборов равно m то путем различных доопределений можно получить различных функций. Пример : д оопределить функцию Где символ * означает "может быть ". Доопределим *=0 1) Доопределим *=1 2) Если доопределять *=0 или *=1 то получим минимальный вариант : 3) Пример показывает , что доопределение функции существенн о влияет на конечный результат минимизации . При доопределении можно руководствоваться правилом : МДНФ не полностью определенных функций получается как дизъюнкция наибол ее коротких по числу букв импликант функции на всех наборах и функциях , которые в совокупности покрывают все импликативные СНФ , и на всех наборах , где функция не определена . Пример : найти минимальную форму для Составим таблицу истинности : 0 0 0 0 1 0 0 0 1 * 0 0 1 0 * 0 0 1 1 0 0 1 0 0 * 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 * 1 0 0 0 * 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 * 1 1 0 0 0 1 1 0 1 * 1 1 1 0 1 1 1 1 1 * 1) доопрделим *=1 и получим минимальный вид функции Доопрделим *=0 Оптимальное доопрделение функций соответствующее минимальному покрытию может быть найдено по методу Квайна. V V V V V V В результате получится минимальный вид функции вида : ее таблица единичных значений тогда будет : Временные булевы функции. (1.7) Определение : Временная булева функция – логическая функция вида , принимающая зн ачение единицы при , где s – дискретное целочисленное значение , называемое автоматическим временем. Утверждение : число различных временных булевых функций равно . Доказательство : если функция времени принимает n значений и на каждом интервале време ни t соответствует единичных наборов , то всего получится наборов , значит число временных булевых функций равно . Любая временная булева функция может быть представлена в виде Где - конъюнктивный или дизъюнктивный терм , а равно 0 или 1 в зависимости от времени t . Форма представления временных булевых функций позволяет применить все метды минимизации. Пример : 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 2 0 0 1 2 0 1 0 2 1 1 1 2 1 Временные булевы функции применяются для описания работы схем с памятью. Определение : Производной первого порядка от булевой функции по переменной называется выражение : Где первая - единичная остаточная функция , а вторая - нулевая остаточная функция. Пример : после минимизации получим : производная первого порядка по переменной оп ределяет условие , при котором эта функция изменяет свое значение при перемене значения с 0 на 1. Для данной функции получим схему : --- Смешанные производные k -го порядка. Определение : смешанной производной k -го порядка называется выражение вида : При этом порядок фиксированной переменной не имеет значения . Производная k - го порядка определяет условия , при которых эта функция изменяет свое значение при одновремен ном изменении значений . Согласно Бохману , производная k -го порядка вычисляется по формуле : Пример : определить условия переключения выходного канала функции при переключении каждого канала , первого и второго канала , всех каналов одновременно. 1) Понятие производной от булевых функций используется для синтеза логических схем , а также в теории надежности . Приложение алгебры логики . (1.8) 1) Для решения логических задач , - суть в том , что имея конкретные условия логической задачи стараются записать их в виде ФАЛ , которые затем минимизируют . Простейший вид фор муды , как правило , приводят к ответу на задачу. Задача : По подозрению в преступлению задержаны : Браун , Джон и Смит . Один – старик , другой – чиновник , третий – мошенник ). Все они дали показания , причем : старик всегда говорил правду , мошенник всегда лгал , а чиновник иногда лгал , а иногда говорил правду. Показания : Браун – Я совершил это , Джон не виноват. Джон – Браун не виноват , это сделал Смит. Смит – я не виноват , виновен Браун. На основании этого условия определить , кто из них совершил преступление , и кто старик , кто мошенник и кто чиновник. Обозначим буквами : Б - виноват Браун Д – виноват Джон С – виноват Смит Тогда показания запишутся в виде : Тогда запишем функцию : Запишем ее таблицу истинности и вычеркнем некоторые не подходящие наборы (2 преступника одновременно и.т.д .) Б Д С L 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 0 1 0 1 3 0 1 0 0 0 0 0 4 0 1 1 0 1 0 1 5 1 0 0 1 0 1 1 6 1 0 1 1 0 0 1 7 1 1 0 0 0 1 1 8 1 1 1 0 0 0 0 Значит Браун – чиновник , Джон – старик , Смит – мошенник , он же преступник. 2) Среди технических средств автоматизации (релейно-контактные системы ). Значительн ое место занимают РКС , используемые в вычислительной технике . РКС – переключательные схемы . В 1910 г . физик Эрнфест указал на возможность применения алгебры логики при исследовании РКС . Его идея заключается в том , что каждой схеме можно сопоставить ФАЛ и н аоборот . Это позволяет выявить возможности схемы , изучая соответствующую формулу , а упрощение схемы свести к упрощению ФАЛ – анализ переключательной схемы. Синтез переключательной схемы (до построения схемы можно описать ее работу с помощью логической функ ции ). Рассмотрим связь между переключательными схемами и ФАЛ. (1.8.1) Определение : переключательная схема – схемотехническое изображение устройства , состоящее из следующих элементов : 1) переключатель (может быть разомкнут или замкнут ) 2) проводники 3) вход в схему и выход из нее Примеры : а ) А В б ) Дизъюнкция : А В в ) Импликация : А В г ) Тождественно ложно : А В д ) Тождественно истинно : А В Из схем а,б,в можно получить функцию алгебры логики. А Б После упрощения получим : А B Синтез логической схемы. (1.8.2) В зависимости от выходного сигнала , все электрич еские схемы можно разбить на две группы : 1) 1-го рода – содержит комбинаторные схемы (выход зависит от входа ) 2) 2-го рода – накапливающие схемы (элементы памяти , выход зависит от входа в данный момент времени и в предыдущий момент времени ). По количеству входов и выходов делятся на : 1) 1+1 – 1 вход и 1 выход 2) n +1 – n входов и 1 выход 3) 1+ n – 1 вход и n выходов 4) n + m – n входов и m выходов Любая ЭВМ состоит из комбинации схем 1-го и 2-го порядков. Определение : логический оператор схемы – это элементарна я логическая функция , с помощью которой описывается работа схемы в целом . Анализ схемы производят в два этапа : 1) Из вспомогательной схемы удаляются все вспомогательные элементы , не влияющие на логику работы системы. 2) Через логические операторы выражают все элементы схемы , получая логическое уравнение , являющееся моделью функции , выполняемой схемой , затем ее упрощают и переходят к схематическому изображению. Примеры : Простейшие логические схемы : После упрощения получим : Синтез электронных схем (1.8.3) Задачу синтеза электронных схем можно сформулировать следующим образом : при заданных входных переменных и известной выходной функции , спроектировать логическое устрой ство , которое реализует эту функцию . При этом могут быть наложены дополнительные ограничения либо в виде системы логических элементов , либо по количеству логических операторов и.т.д . Обычно , решая задачи анализа и синтеза , используют полные базисы функций. При этом , любую логическую функцию , входящую в базис , сопоставляют с некоторым физическим элементом , в результате логическую схему можно заменить принципиальной схемой , состоящей из физических элементов . Таким образом удается соединить математическую зад а чу синтеза логической схемы с инженерной задачей проектирования электронной схемы . При разработке электронной схемы за основные критерии принимают минимум аппаратуры , минимум типов применяемых элементов и максимум надежности . С точки зрения математической логики , задачи синтеза решаются при обеспечении минимального числа логических операторов , минимального количества типов логических операторов . В общем случае при синтезе электронной схемы соблюдается следующая последовательность : 1) сопоставление математич еского описания , адекватно отображающего процессы , происходящие в схеме (система логических уравнений ). 2) анализ логических уравнений и получение минимальной формы для каждого из них в заданном базисе. 3) переход от логических уравнений к логической схеме , посредством применения логических операторов. Электронные схемы с одним выходом. Это наиболее простые схемы , основная сложность при синтезе этих схем – найти выражение для выходной функции в заданном базисе. Пример : Типы логических элементов Надо привести в базис импликации Т.к . , то Тогда получим схему : Задача синтеза , как правило , имеет различные решения в зависимост и от выбора системы логических элементов . Однако , для любой заданной ФАЛ почти всегда можно синтезировать схему , соответствующую этой функции . Получение схемы с минимальным количеством логических связок требует нахождения минимальной формы для ФАЛ . Некото р ые , более сложные схемы , имеющие несколько выходов , могут быть сведены в частном случае к набору схем с одним выходом , тогда синтез осуществляется путем декомпозиции для каждой выделенной схемы. Пример : синтезировать схему одноразрядного двоичного сумматор а методом декомпозиции в базисе Составим таблицу истинности : 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 Где - переменные , - сумма в -ом разряде , - пе ренос из младшего разряда в старший , - перенос из старшего разряда. Составим ДСНФ : 1 1 1 1 1 1 1 1 Тогда Ci П i Такой способ не очень хорош , так как не всегда оптимален. Электронные схемы с несколькими выходами (1.8.4) Пусть n входов и k выходов. Классический пример таких схем – дешифратор Входы Выходы 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 Причем , например , а и.т.д. y 0 y 7 Несложно убедиться , что такой подход не является оптимальным , поэтому рассмотрим следующие моменты синтеза схем : 1) Классический основан на выделении простых импликант заданной системы функций , подобно тому , как это делается в методе минимизации Квайна-Мак-Класки , а затем ищется покрытие заданной функции этими импликантами. При этом требуется : 1) найти простые импликанты заданной системы функций 2) выразить каждую функцию через простые импликанты 3) синтезировать схему , включающую только эти импли канты и связи между ними Пример : синтезировать схему в базисе , функции которой на выходе имеют следующий вид : Решение : разобьем на группы , соответствующие по к оличеству единиц : y2 y1 Метод каскадов (1.8.5) Этот метод основан на разложении ФАЛ на k переменных : Где k n Эта формула попеременно применяется к заданной функции столько раз , чтобы получить простое логическое выражение , которое легко синтезировать. . и.т.д. Построен ная на основе этих выражений логическая схема на каждом этапе образует последний каскад искомой комбинационной схемы.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
- Простите, молодой человек, как ваша фамилия?
- Беспутин.
- Н-да... Однако весьма революционная у вас фамилия.
- Ага. Мне друзья даже предложили дочку Россией назвать...
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Минимизация ФАЛ", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru