Реферат: Методы решения уравнений в странах древнего мира - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Методы решения уравнений в странах древнего мира

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 195 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Методы решения уравнений в странах древнего мира История алге бры уходит своими корнями в древние времена . Задачи , связанные с уравнениями , решались ещё в Древнем Египте и Вавилоне . Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов. В Древнем Египте и Вавилоне использовался метод ложн ого положения (“фальфивое правило” ) Уравнение первой степени с одним неизвестным мо жно привести всегда к виду ах + Ь == с, в котором а , Ь , с — целые числа . По правилам арифметических дейст вий ах = с — b, Если Ь > с, то с — b число отрицательное . Отрицатель ные числа были египтянам и многим другим более позд ним народам неизвестны (равноправно с положитель ными числами их стали употреблять в математике толь ко в семнадцатом веке ). Для решения задач , которые мы теперь решаем урав нениями первой степени , был изобретен метод лож ного положения. В папирусе Ахмеса 15 задач решается этим методом . Решение первой из них позволяет понять , как рассуждал автор. Египтяне имел и особый знак для обозначения неиз вестного числа , который до недавнего прошлого читали “хау” и переводили словом “куча” (“куча” или “неизве стное количество” единиц ). Теперь читают немного ме нее неточно : “ага”. bqt задача № 24 сборника Ахмеса : “Куча . Ее седьмая часть ('подразумевается : “дают в сумме” ) 19. Найти кучу”. Запись задачи нашими знаками : Решение Ахмеса может быть представлено в наших символах в следующих четырех столбцах : Во многих задачах в начале или в конце встречаются слова : “Делай как делается” , другими словами : “Делай , как люди делают”. Смысл решения Ахмеса легко понять. Делается предположение , что . куча ес ть 7; тогда ее часть есть 1. Это записано в первом столбце. Во втором столбце записано , что при предположении х =7 куча и ее часть дали бы 8 вместо 19. Удвоение предположения дает 16. Автор , в уме очевидно , прики дывает , что дальше удваивать предположение нельзя , так как тогда получится больше 19. Он записывает 16, ставит п еред числом две точки для обозначения удвое ния первоначального предположения и отмечает значком (у нас — звездочкой ) результат ; для получения в сумме 19 первоначальное предположение надо умножить -на 2 с некоторым добавлением , так как для получения точ н о го результата , 19, не хватает еще 19 — 16=3. Ахмес находит от 8, получает 4. Так как это больше нехватки 3, то на предположение умножить нельзя . Но от 8 есть 2, от восьми 1. Ахмес видит , что и первона чального результата дают точно те 3 еди ницы , которых не хватало . Отметив и значками , Ахмес убедился , что первоначальное предположение для кучи (7) надо помножить на Умножение числа 7 на см ешанное число Ахмес заменяет умножением смешанного числа на 7. В третьем столб це выписаны : часть искомой кучи есть , удвоенное это число : и учетверенное : . Сумма этих трех чисел , равная числу , есть произведение первоначального предположения 7 на . Итак , куча равна . В последнем столбце Ахмес делает проверку , склады вая полученное значение для кучи и его части . В сумме получается 19, и решение за канчивается обычным для автора заключением : “Будет хорошо”. Способ решения , примененный Ахмесом , называется методом одного ложного положения . При помощи этого метода решаются уравнения вида ах == b . Его применя ли как египтяне , так и вавилоняне. У разных народов применялся метод двух лож ных положений . Арабами этот метод был механи зирован и получил ту форму , в которой он перешел в учебники европейских народов , в том числе в “Арифме тику” Магницкого . Магницкий на зывает способ решения “фальшивым правилом” и пишет о части своей книги , излагающей этот метод : Зело бо хитра есть сия часть, Яко можеши ею все класть (вычислить . — И . Д .) Не токмо что есть во гражданстве, Но и высших наук в пространстве, Яже числятся в сфе ре неба, Якоже мудрым есть потреба. Содержание стихов Магницкого можно вкратце пе редать так : эта часть арифметики весьма хитрая . При помощи ее можно вычислить не только то , что понадо бится в житейской практике , но она решает и вопросы “высшие” , кот орые встают перед “мудрыми”. Магницкий пользуется “фальшивым правилом” в форме , какую ему придали арабы , называя его “арифме тикой двух ошибок” или “методой весов”. Квадратные уравнения в Древнем Вави лоне Необходимость решать уравнения не только первой , но и вто рой степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи , связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера , а также с развитием астрономи и и самой математики . Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н . э . вавилоняне . Применяя современную алгебраическую запись , можно сказать , что в их клинописных текстах встречаются , кроме неполных , и такие , например , полные квадратные уравнения : Правило решения этих уравнений , изложенное в вавилонских текстах , совпадает по существу с современным , однако неизвестно , каким образом дошли вавилон яне до этого правила . Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только за дачи с решениями , изложенными в виде рецептов , без указаний относительно того , каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилон е , • в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений. . Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения , В “Арифметике” Диофанта нет систематического изложения алгебры , однако в ней содержится систематизированный ряд за дач , сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи со ставления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные. Вот , к примеру , одна из его задач. “Найти два чи сла , зная , что их сумма равна 20, а произведение — 96”. Диофант рассуждает следующим образом : из условия задачи вытекает , что искомые числа не равны , так как если бы они были равны , то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким об разом , одно из них будет больше половины их суммы , т . е . 10 + х , другое же меньше , т . е . 10 — х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение или же Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = — 2 для Диофанта не существует , так как греческая матема тика знала только положительные числа. Если мы решим эту задачу , выбирая в качестве неизвестного одно из иско мых чисел , то мы придем к решению уравнения Ясно , что , выбирая в качестве неизвестного полу разность ис комых чисел , Диофант упрощает решение ; ему удается свести за дачу к решению неполног о квадратного уравнения (1). Квадратные уравнения в Индии. Задачи на уравнения встречаются уже в астрономическом трактате “Ариабхаттаим” , составленном в 449 г . индийским математиком и астрономом Арибхаттой . Но это уже раннее средневековье. В Алгебраическом трактате ал-Хорезми даётся классификация линейных и квадратных уравнений. Индий учёные знали решения неопределённых уравнений в целых числах (в том числе и в отрицательных , чего сам Диофант избегал ). Формула р ешений квадратного уравнения . Греческий математик Герон (I или II век нашего летоисчисления ) вывел формулу для решения квадратного равнения ax 2 + bx = c умножением всех членов на а и прибавлением к обеим половинам уравнения : В индии пришли к более простому способу вывода , который встречается в школьных учебниках : они умножали на 4 a и к обеим половинам по b 2 . Это даёт : Индийские математики часто давали задачи в стихах. Задача о лотосе. Над озером тихим , с полмеры над водой, Был виден лотоса цвет. Он рос одиноко , и ветер волной Нагнул его в сторону – и уж нет Цветка над водой. Нашёл его глаз рыбака В двух мерах от места , где рос. Сколько озера здесь вода глубока ? Тебе предложу я вопрос. Ответ : Из истории решения си стемы уравнений , содержащей одно уравнение второй степени и одно линейное В древневавилонских текстах , написанных в III — II тысячеле тиях до н . э ., содержится немало задач , решаемых с помощью составления систем уравнений , в которые входят и уравнения вто ро й степени . Вот одна из них. . “Площади двух своих квадратов я сложил : .Сторона второго квадрата равна стороны первого и еще 5”. Соответствующая система уравнений в современной записи имеет вид : Для решения системы (1) вавилонский автор возводит во втором уравнении у в квадрат и согласно формуле квадрата суммы , ко торая ему , видимо , была известна , получает : Подставляя это значение у в первое из системы уравнений (1), автор приходит к квадратному урав нению : Решая это уравнение по правилу , применяемому нами в настоя щее время , автор находит х, после чего определяет у. Итак , хотя вавилоняне и не имели алгебраической символики , они решал и задачи алгебраическим методом. Диофант , который не имел обозначений для многих неизвест ных , прилагал немало усилий для выбора неизвестного таким об разом , чтобы свести решение системы к решению одного уравнения . Вот один пример из его “Арифметики”. Зада ча 21. “Найти два числа , зная , что их сумма равна 20, а сумма их квадратов — 208”. Эту задачу мы решили бы путем составления системы уравнений : Диофант же , выбирая в качестве неизвестного половину раз ности искомых чисел , получает (в современных обозначениях ): Складывая эти уравнения , а затем вычитая одно из другого (все это Диофант производит устно ), получаем x = 2 + 10; у = 10 — 2. Далее, х 2 + у 2 = (г + lO ) 2 + (10 — г ) 2 == 2 z 2 + 200. Таким образом, 2 z 2 + 200 = 208, откуда z = 2; х = 2 + 10 = 12; у = 10 — 2 = 8. Диофантовы уравнения. Задача Диофанта № 80 (Из II книги его “Арифметики” ) Найти 2 таких числа , чтобы сумма квадра та каждого из них с другим искомым числом дала полный квадрат, Решение Диофанта Пусть первое число (I) будет s. Чтобы квадрат его • при прибавлении второго числа дал квадрат , второе число должно быть 2 s + 1, так как в таком случае вы полняется требование за дачи : квадрат первого числа . сложенный со вторым , дает s 2 + 2 s + 1, то есть полный квадрат ( s + 1) 2 . Квадрат второго числа , сложенный с первым , должен также дать квадрат , то есть число (2 s + I ) 2 + s , равное 4s 2 + 5s + 1 == t 2 Положим , что t = 2s — 2; тогд а t 2 = 4s 2 — 8s + 4. Это выражение должно равняться 4 s 2 + 5 s + 1. Итак , должно быть : 4 s 2 — 8 s + 4 == 4 s 2 + 5 s + l откуда s = Значит , задаче удовлетворяют числа : . Проверка ; Почему Диофант делает предположение , что t ==2 s — 2, он не о бъясняет . Во всех своих задачах (в дошедших до нас шести книгах его их 189 ) он делает то или другое предположение , не давая никакого обоснования . Вообще содержание 6 книг таково : В “Арифметике” 189 задач , каждая снабжена одним или несколькими решениями . З адачи ставятся в общем виде , затем берутся конкретные значения входящих в нее ве личин и даются решения. Задачи книги I в большинстве определенные . В ней имеются и такие , которые решаются с помощью систем двух уравнений с двумя неизвестными , эквивалентных квадратному уравнению . Для его разрешимости Диофант выдвигает условие , чтобы дискриминант был полным квадратом . Так , задача 30 — найти таких два числа , чтобы их разность и произведение были заданными числами,— приводится к системе х — у = а , х = b . Диофант выдвигает “условие формирования” : требуется , чтобы учетверенное произведение чисел , сложенное с квад ратом разности их , было квадратом , т . е . 4 b + а 2 = с 2 . В книге II решаются задачи , связанные с неопределен ными уравнениями и системами таких уравнений с 2, 3, 4, 5, 6 неизвестными степени не выше второй. Диофант применяет различные приемы . Пусть необхо димо решить неопределенное уравнение второй степени с двумя неизвестными f 2 (х , у ) ==0. Если у него есть ра циональное решение ( x 0 , y 0 ), то Диофант вводит подста новку x = x 0 + t , y = y 0 + kt , в которой k рационально . После этого основное уравнение преобразуется в квадратное относительно t , у которого свободный член f 2 ( x 0 , у 0 ) = 0. Из уравнения получается t 1 == 0 (это значение Диофант отбрасывает ), t 2 — р ацио нальное число . Тогда подстановка дает рациональные х и у. В случае , когда задача приводилась к уравнению у 2 = ax 2 + bx + с, очевидно рациональное решение x 0 = О, y 0 =± C . Подстановка Диофанта выглядит так : x = t , y = kt ± c Другим методом при решении зад ач книги II Диофант пользовался , когда они приводили к уравнению у 2 == = a 2 x 2 + bx + с. Он делал подстановку x = t , y = at + k , после чего х и у выражались рационально через параметр k: Диофант , по существу , применял теорему , состоящую в том ,; что если неопределенное уравнение имеет хотя бы одно рациональное решение , то таких решений будет бес численное множество , причем значения х и у могут быть представлены в виде рацио нальных функций некоторого параметра” В книге II есть задачи , решаемые с помощью “двойного неравенства” , т . е . системы ах + b = и 2 , сх + d == v 2 . Диофант рассматривает случай а = с , но впоследствии пишет , что метод можно применить и при а : с = т 2 , Когда а == с , Диофант почленным вычитанием одного ра венства из другого получает и 2 — и 2 = b — d. Затем раз ность b — d раскладывается на множители b — d = п 1 и приравнивает и + v = I, и — v = п, после чего нахо дит и = (I + п )/2, v = (I - n )/2, х - ( l 2 + п 2 / 4a - b + d)/2a. Если задача сводится к системе из двух или трех урав нений второй степени , то Диофант находит такие рацио нальные выражения неизвестных через одно неизвестное и параметры , при которых все уравнения , кроме одного , обращаются в тождества . Из оставшегося уравнения он выражает основное неизвестное через параметры , а затем находит и другие неизвестные. Методы , разработанные в книге II, Диофант применяет к более трудным задачам книги III, связанным с системами трех , четырех и большего числа уравне ний степени не выше второй . Он , кроме того , до формального решения задач проводит исследования и находит условия , которым должны удовлетворять параметры , чтобы решения сущест вовали. В книге IV встречаются определенные и неопределен ные уравнения третьей и более высоких степеней . Здесь дело обстоит значительно сложнее , потому что , вообще говоря , неизвестные невозможно выразить как рациональ ные функции одного параметра . Но , как и раньше , если известны одна или две рациональные точки кубической кривой f з (х, у ) == 0, то можно найти и другие точки . Диофант при решении задач книги IV применяет новые методы” Книга V содержит наиболее сложные задачи ; некоторые из них решаются с помощью уравнений третьей и четвер той степеней от трех и более неизвестных . Есть и та кие , в которых требуется разложить данное целое число на сум му двух , трех или четырех квадратов , причем эти квадра ты должны удовлетворить определенным неравенствам., При решении задач Диофант дважды рассматривает урав нение Пелля ax 2 + 1 = у 2 . Задачи кни ги VI касаются прямоугольных треуголь ников с рациональными сторонами . К условию х 2 + у 2 == z 2 в них добавляются еще условия относительно площа дей , периметров , сторон треугольников. В книге VI доказывается , что если уравнение ax 2 + b == у 2 имеет хотя бы о дно рациональное решение , то их будет бесчисленное множество . Для решения задач книги VI Диофант применяет все употребляемые им спо собы . Кстати , в одном из древних рукописных сборников задач в сти хах ж изнь Диофанта описывается в виде следующей алгебраиче -юй загадки , представляющей надгробную надпись на его могиле Прах Диофанта гробница покоит ; дивись ей— и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век . Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком. И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая , с подругою он обручился. С нею пять лет проведя , сына дождался мудрец ; Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе, Тут и увид ел предел жизни печальной своей. Задача-загадка сводится к составлению и решению уравнения : откуда х = 84 = вот сколько лет жил Диофант . Неопределённое уравнение x 2 + y 2 = z 2 Такое неопределённое уравнение исследовали пиффагорийцы , целые решения которого поэтому называют “пифагоровыми тройками” , они нашли бесконечно много таких троек , имеющих вид : Кубические уравнения Более систематическое исследование задач , эквивалентных кубическим уравнениям , относится только к эпохе эллинизма . Архимед в сочи нении “О шаре и цилиндре” (книга II, предложение 4) свел задачу о рас сечении шара пл оскостью на два сегмента , объемы которых имели бы за данное отношение т : п (т > п ), к нахождению высоты х большего сегмен та из пропорции (1) где а — радиус шара. Архимед обобщает задачу : рассечь заданный отрезок а на две части х и а — х так , чтобы (а — х ) : с = S : х 2 , (2) где с и S — заданные отрезок и площадь. Заметив , что при такой общей постановке задача не всегда разрешима (имеются в виду только положительные действительные решения ), Архи мед приступает к ее исследованию с тем , чтобы наложи ть ограничения на с и S . Он говорит , что изложит полное решение задачи “в конце” , однако соответствующее место не сохранилось . Жившие на столетие позже Архи меда греческие геометры Диокл и Дионисодор уже не знали его . Они предложили собственные , гораздо бо лее сложные решения , но никто из них не сумел провести анализ общего случая. Только в VI в . н . э . комментатор Архимеда Евтокий нашел утраченное место . Архимед решает задачу с помощью двух конических сечений : Параболы (3) и гиперболы (4) (здесь положено S = pb ). Оба уравнения легко получить из пропорции (2). Для выяснения необходимых условий Архимед переходи т от пропорции (2) к кубическому уравнению x 2 ( a - x ) = Sc (5) которое он выражает словесно как соотношение между объемами . Ясно , что уравне ние (5) может иметь положительные корни , если Итак , проблема сводится к нахождению экстремума х 2 (а — х ). Оставим пока в стороне вопрос о методе экстре мумов Архимеда , мы вер немся к этому , когда будем говорить об инфинитезимальных методах древ них . Скажем только , что Архимед полностью исследовал условия сущест вования положительных вещественных корней уравнения (5), а именно : 1) если Sc < 4 3 /27, то на уч астке (0, а ) имеются два таких корня ; 2) если Sc = 4a з /27, то имеется один корень (как сказали бы мы,— двукратный ); 3) если Sc > 4a з /27, то корня нет. Здесь 4а 3 /27 есть максимум х 2 (а — х ) , достигаемый при х = 2а /3 . В конце письма , предпосланного книге “О коноидах и сфероидах” (греки называли сфероидами эллипсоиды вращения , прямоугольными ко ноидами — параболоиды вращения , а тупоугольными коноидами — по лости двуполостных гиперболоидов вращения ), Архимед пишет , что с по мощью доказанных в книге теорем можн о решить ряд задач , как , напри мер : от данного сфероида или коноида отсечь сегмент плоскостью , прове денной параллельно заданной , так , чтобы отсеченный сегмент был равен данному конусу , цилиндру или шару . Перечисленные задачи , так же как и задачи о делении шара , сводятся к кубическим уравнениям , причем в случае тупоугольного коноида уравнение будет иметь вид x 2 ( a + x )= Sc Из текста Архимеда можно заключить , что он проанализировал и решил это уравнение . Таким образом , Архим ед рассмотрел кубические уравне ния вида х 3 + ax + b = 0 при различных значениях a и b и дал метод их решения . Однако исследование кубических уравнений оставалось для греков трудной задачей , с которой , в ее общем виде никто , кроме Архи меда , не мог справит ься . Решение отдельных задач , эквивалентных ку бическим уравнениям , греческие математики получали с помощью нового геометрического аппарата конических сечений . Этот метод впоследствии восприняли математики стран ислама , которые сделали попытку прове сти п о лный анализ всех уравнений третьей степени. Но еще до этого , и притом греческими математиками , был сделан но вый решительный шаг в развитии алгебры : геометрическая оболочка была сброшена , и началось построение буквенной алгебры на основе арифмети ки . Это п роизошло в первые века нашей эры . Литература : 1. “История математики в древности” Э . Кольман. 2. “Решение уравнений в целых числах” Гельфонд. 3. “В мире уравнений” В.А.Никифоровский. 4. “История математики в школе” Г.И.Глейзер. 5. “Рассказы о старой и новой алгебре” И.Депман. 6. “Пифагор : рассказы о математике” Чистаков. 7. “Краткий очерк истории математики” Стройк Д.Я. 8. “Очерки по истории математики” Болгарский Б.В. 9. “История математики” (энциклопедия ) под редакцией Юшкев ича. 10. “Энциклопедический словарь юного математика” под редакцией Гнеденко .
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
— Представляешь, Витька вчера застукал жену с любовником.
— Как?!
— Насмерть…

© Дмитрий Лавренков
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Методы решения уравнений в странах древнего мира", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru