Методические указания

министерство образования рф

орловский государственный технический

университет

факультет электроники и приборостроения

кафедра «высшая математика»

Т.А. Павлова

методические указания

к выполнению типового расчета

по высшей математике

дифференциальные уравнения

Орел 2003

Автор: ассистент кафедры «высшая математика» Т.А. Павлова

Рецензент: профессор, д.т.н. В.А. Гордон

аннотация

Методические указания по выполнению типового расчета, проведению практических занятий и самостоятельной работе студентов по теме: «Дифференциальные уравнения», предназначены для студентов I курса ОрелГТУ всех специальностей, выполняющих во втором семестре типовой расчет «Дифференциальные уравнения» и контрольную работу «Дифференциальные уравнения первого порядка».

Автором рассмотрены уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные уравнения, уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах и уравнения высших порядков; указаны основные методы их решений.

Редактор

Инженер по маркетированию и верстке

Подписано к печати . Формат 60х84 1/16.

Печать офсетная. Усл. печ. л. . Тираж экз. Заказ №

Отпечатано с готового оригинала – макета

На полиграфической базе ОрелГТУ,

г. Орел, ул. Московская, 65.

ОрелГТУ, 2003-02-22

Павлова Т.А.

содержание

уравнения с разделяющимися переменными 4

однородные уравнения 1-го порядка 4

линейные уравнения 1-го порядка 6

уравнение Бернулли 9

уравнения в полных дифференциалах 10

метод изоклин 11

геометрические задачи, приводящие к решению

дифференциальных уравнений 1-го порядка 12

дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 13

линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 15

метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) 18

литература 20

уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения вида:

(1)

называются уравнениями с разделяющимися переменными. Решая такие уравнения, необходимо преобразовать их так, чтобы одна часть уравнения содержала только переменную у, а другая - только х, а затем проинтегрировать обе части (по у и по х соответственно).

Например, уравнение (1) надо разделить на , тогда получим . Проинтегрировав обе части, найдем общий интеграл:

. (2)

Кроме найденного общего интеграла (2) уравнению (1) могут также удовлетворять решения, получаемые из уравнения . Если эти решения не входят в общий интеграл (2), то они будут особыми решениями уравнения (1).

Приведем примеры решения конкретного уравнения этого типа.

Задача №1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения (ответ представить в виде (х, у)=с).

1.31 .

Решение. Уравнение представлено в дифференциальной форме. Для разделения переменных перенесем все слагаемые в одну часть уравнения и сгруппируем содержащие dx и dy:

Разделим обе части уравнения на , получим

.

Почленно интегрируя, получим искомый общий интеграл:

.

В первообразных модули можно опустить, т.к. 1+х² и 4+у² величины всегда неотрицательные.

Умножая обе части уравнения на 2 и учитывая свойства логарифма, получим

.

В нашем примере уравнение представлено в дифференциальной форме. Возможны случаи, когда уравнение разрешено относительно производной, т.е. оно имеет вид и, когда не разрешено относительно производной - .

Например, для первого случая . В таких задачах нужно учитывать, что . Тогда, .

Пример ко второму случаю: . Уравнение можно разрешить относительно производной и, таким образом, придем к первому случаю.

однородные уравнения первого порядка

Уравнение первого порядка называется однородным, если f(x,y) можно представить как функцию только одного отношения переменных , т.е. уравнение вида .

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными посредством замены функции у (или х) новой функцией t по формуле y=tx (x=ty), причем .

Дифференциальное уравнение типа:

приводится к однородному с помощью переноса начала координат в точку (х₀,у₀) пересечения прямых , т.е. замена переменных Х=х-х₀, У=у-у₀.

Если эти прямые не пересекаются, то , и рассматриваемое уравнение сводится к виду , которое приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой , тогда

Задача №2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

2.31 .

Решение. Данное уравнение первого порядка уже разрешено относительно производной. Установим, что она является функцией только отношения переменных , т.е. установим, что данное уравнение является однородным. Для этого числитель и знаменатель дроби разделим на x². (Другими словами, сократим дробь на x².)

.

Далее вводим новую функцию . Отсюда, . После подстановки данное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными . Разделим переменные: и, интегрируя, найдем

Возвращаясь к старым переменным, получим

Ответ:

Задача №3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

3.31

Решение. Также как и в задаче №2 это тоже однородное дифференциальное уравнение. Докажем это, найдя точку пересечения прямых, стоящих в числителе и знаменателе и сделав соответствующую замену переменных.

Из последней системы легко видеть, что . Подставим найденные х и у в исходное уравнение, получим

.

Далее решаем полученное однородное уравнение путем замены.

Возвращаясь к старым переменным, получим:

,

что и является ответом.

линейные уравнения первого порядка

Линейным уравнением первого порядка называется дифференциальное уравнение первого порядка линейное относительно y и y^/ т.е.

(3)

1).Если в (3) Q(x)=0, то (3)называется однородным:

Уравнение (5) является общим решением уравнения (4).

2). Будем считать произвольную постоянную с неизвестной функцией с(х), т.е.

Полученные выражения для y и y^/ подставим в (3) и найдем с (х):

Решение уравнения (3) запишется в виде (подставим в (5))

Рассмотренный способ называется методом вариации произвольной постоянной.

Уравнение (3) можно решить с помощью подстановки: y=UV, где U=U(x), V=V(x). Тогда .

Подставим и в (3):

Во многих примерах необходимо решить задачу Коши (например, в задачах №4, №5, №6,№11).Процесс решения сводится к отысканию частного интеграла дифференциального уравнения n-го порядка (n=1,2,3,...),удовлетворяющего n начальным условиям вида

.

.

Т.е. ищут общее решение дифференциального уравнения, а затем, воспользовавшись начальными условиями, находят значения всех n произвольных постоянных c₁, c₂,..., c_n, входящих в общий интеграл уравнения.

Задача №4. найти решение задачи Коши:

4.31 .

Решение. Перед нами линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Решим его двумя способами.

I-способ. Решение уравнения ищется в виде произведения двух функций U=U(X) и V=V(X), т.е. y=UV, одна из которых выбирается произвольным образом; . Подставляя в исходное уравнение, получим

.

Исходя из того, что одну из функций ищут произвольным образом, полученное уравнение разбивают на два следующим способом:

.

Выпишем первое уравнение из системы и решим его:

Мы можем воспользоваться частным случаем функции V, например, когда c=1, V=x (значение для c берут таким образом, чтобы функция V не оказалась тождественно равной нулю, в противном случае невозможно будет искать функцию U). Подставим найденное значение для V во второе уравнение системы и найдем функцию U: .

Следовательно, функция .

Таким образом, найдено общее решение исходного уравнения. Подставляя начальное условие, найдем c: c=0.

Т.е. решением задачи Коши, удовлетворяющем данному начальному условию является , что и будет ответом.

II-способ. Метод вариации произвольной постоянной.

Составим и решим соответствующее однородное уравнение:

.

Теперь предположим, что константа c является функцией от переменной x, т.е. c=c(x), тогда y=xc(x). Найдем и подставим в исходное уравнение:

.

Интегрируя обе части уравнения, получим

.

Тогда - общее решение исходного дифференциального уравнения. Подставляя начальное условие, найдем, что c=0 и - частное решение.

Задача №5 .Решить задачу Коши

Решение. Так же как и в задаче№4 это линейное уравнение 1-го порядка, если рассматривать x как функцию от y. Преобразуем уравнение:

Решим его методом вариации произвольной постоянной.

1)

2)

3)

Подставляя 2) и 3) в исходное уравнение, получим

(Интегрировать уравнение (*) удобнее, если преобразовать правую часть, воспользовавшись тригонометрическими формулами.)

Тогда

- общее решение исходного уравнения.

Подставляя начальное условие, найдем, что c=-2. Тогда решением задачи Коши будет

уравнение Бернулли

Уравнение вида , (6)

где ? - любое действительное число (??0,? ?1) называется уравнением Бернулли.

Преобразование уравнения в линейное будем проводить в следующей последовательности:

1. умножим обе части уравнения на ;

2. введем подстановку , отсюда и ;

3. решаем получившееся линейное уравнение;

4. возвращаемся к искомой функции, заменяя на .

Задача №6. Найти решение задачи Коши:

6.31 .

Решение. Поделив обе части уравнения на , увидим, что это уравнение Бернулли:

.

Введем новую переменную . Тогда, или . Наше уравнение примет вид - линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Решая его любым способом, рассмотренным в задаче №5, получим или . Тогда - общее решение исходного дифференциального уравнения.

Определим произвольную постоянную c используя начальное условие:

.

Решением задачи Коши будет являться

.

Замечание. В начале нашего решения мы обе части уравнения делили на x?0 и могли, таким образом, потерять решение уравнения. Подставляя x=0 в исходное уравнение, убеждаемся, что оно не является его решением.

уравнения в полных дифференциалах

Уравнение , в котором левая часть является полным дифференциалом функции U(x,y), т.е.

(7)

(8)

называется уравнением в полных дифференциалах.

Это имеет место в том и только в том случае, когда выполняется равенство:

.

Тогда .

Интегрируем уравнение (7) по x:

(9).

Уравнение (9) продифференцируем по y:

(10).

Сравнивая (10) и(8):

.

Отсюда

.

Подставляя найденную функцию в (9) найдем U(x,y).

Задача №7. найти общий интеграл дифференциального уравнения.

.

Решение. Сгруппируем слагаемые содержащие dx и dy

.

Докажем, что это уравнение в полных дифференциалах.

Пусть , а . Т.е., необходимо показать, что .

и .

Теперь наша задача заключается в том, чтобы найти функцию U(x,y)=c, такую чтобы ее полный дифференциал был таким же, как левая часть нашего дифференциального уравнения.

Пусть (1), а (2).

Проинтегрируем уравнение (1) по переменной x, а вместо произвольной постоянной прибавим функцию, зависящую от y, т.е. (это необходимо, т.к. функция U зависит от двух переменных, а интегрируем мы только по одной).

(3).

Продифференцируем уравнение (3) по переменной y, получим

(4).

Сравнивая уравнения (2) и (4),получим

,

.

Подставим найденную функцию ?(y) в уравнение (3):

.

Т.к., решение уравнения мы искали в виде U(x,y)=c,то ,

что и будет являться ответом.

Замечание. Уравнения в полных дифференциалах можно решать и другим способом. Заключается он в следующем. Ищут интегралы от M(x,y) и от N(x,y) по dx и dy соответственно. Затем ко всем известным членам из первого результата дописывают недостающие члены из второго, получают функцию U(x,y).

метод изоклин

Задача№8 для данного дифференциального уравнения построить интегральную кривую, проходящую через точку М.

.

Для решения подобной задачи можно также применить метод изоклин. Изоклиной уравнения называется всякая кривая, определяемая уравнением f(x,y)=k при фиксированном k, где k=tg?=y^’.

Решение. Для приближенного (графического) решения нашего уравнения построим на плоскости изоклины для нескольких значений k. (Существование и единственность заданного дифференциального уравнения следует из того, что f(x,y)=x+2y и непрерывны всюду на плоскости XOY).

Т.к. поле направлений исходного уравнения:

Тогда уравнения изоклин будут

.

Исследуем вид правой части заданного уравнения:

1. найдем линию экстремумов.

, отсюда .

Полученная прямая является линией экстремумов. (Непосредственной подстановкой убеждаемся, что она не является решением нашего уравнения).

когда . Значит интегральные кривые убывают до пересечения с прямой . когда . Следовательно, кривые возрастают после пересечения с прямой .

Значит, сама прямая является линией минимумов.

2. Найдем линию перегибов.

, т.е. или . Тогда . Отсюда .

Но, т.к. эта прямая является решением исходного уравнения, то она не может быть линией перегибов. А из того, что если и если следует, что вогнутые интегральные кривые расположены выше этой прямой, а выпуклые – ниже.

Составим таблицу.

k	-1/2	0	1	4	5
Изоклины
		0		arctg4	arctg5

На поле направлений совпадает с самой прямой. Точка М(1,2) принадлежит изоклине . (Читателю будет полезно сравнить приближенное решение с точным, решив дифференциальное уравнение самостоятельно.)

геометрические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка

В задачах геометрии, в которых требуется найти уравнение кривой по заданному свойству ее касательной, нормали или площади криволинейной трапеции, используется геометрическое истолкование производной (угловой коэффициент касательной) и следующие общие формулы для определения длин отрезков касательной t, нормали n, подкасательной S_t и поднормали S_n:

При решении таких задач с помощью дифференциальных уравнений рекомендуется следующая последовательность действий:

1. выполнить чертеж и ввести обозначения;

2. отделить условия, имеющие место в произвольной точке искомой линии, от условий, выполняющихся лишь в отдельных точках (начальных условиях);

3. выразить все упомянутые в задаче величины через координаты произвольной точки и через значения производной;

4. по условию задачи составить дифференциальное уравнение, для которого искомая кривая является интегральной кривой.

Задача№9. Найти линию, проходящую через точку M₀ и обладающую тем свойством, что в любой ее точке M касательный вектор

с концом на оси OY имеет проекцию на ось OY, равную a.

M₀(e,0), a=1.

Решение. Ищем функцию y=y(x). Воспользуемся геометрическим свойством производной: y^/ представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции (с положительным направлением оси OX), т.е.. Найдем

.

С другой стороны (из треугольника AMN):

.

Тогда

.

Решая это уравнение, найдем, что

.

Подставим M₀(e;0) и a=1: 0=-1+c, отсюда c=1. Тогда линия, проходящая через точку M₀ удовлетворяющая условиям нашей задачи, будет иметь вид

.

дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Первый тип. Уравнения, содержащие только производную порядка n и независимую переменную

Это уравнения вида . Если удается разделить их относительно , то . Общее решение последнего уравнения имеет вид:

.

Т.е. решение получается путем n-кратного интегрирования.

Второй тип. Уравнения, не содержащие искомой функции

Такое уравнение имеет вид: . Порядок его может быть понижен с помощью подстановки: , где - новая искомая функция.

Если уравнение имеет вид , то подстановка понижает порядок на k единиц.

Третий тип. Уравнения, не содержащие независимой переменной

.

Понижение порядка на единицу достигается подстановкой , где – новая искомая функция.

Частный случай. Если уравнение имеет вид , и его удается решить относительно так, что , то интегрирование можно привести так. Умножим обе части на :

.

Т.к. и , то . Отсюда,

и

.

Задача №10. найти общее решение дифференциального уравнения.

10.31. .

Решение. Имеем неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка не содержащее искомой функции y. Порядок его может быть понижен с помощью подстановки , где - новая искомая функция. Эта подстановка приводит к уравнению:

.

Это линейное уравнение относительно z и z^/. Разделим его обе части на коэффициент при z^/ и получим

.

Решением этого уравнения является функция . (Способы решения см. в задаче№4). Но , а потому .

Пришли к случаю, когда уравнение содержит только производную и независимую переменную, т.е. . Такие уравнения решаются путем интегрирования n-раз обеих частей уравнения, причем общее решение должно содержать в себе n констант. В нашем случае n=1.

- общее решение.

Уравнение действительных решений не имеет, поэтому нет и особых решений.

Задача №11. Найти решение задачи Коши.

11.31. .

Решение. Уравнение не содержит независимой переменной x. Понижение порядка на единицу достигается подстановкой , где P(y) – новая искомая функция.

Уравнение перепишется так:

.

Тогда . Но .

Для облегчения решения этого уравнения найдем c_1, воспользовавшись начальными условиями, т.е. . Подставляя их в последнее уравнение, получим c₁=0.

Тогда - уравнение с разделяющимися переменными, решением которого будет .

Подставляя начальные условия, установим, что .

Ответ. .

Существует и второй способ решения этого уравнения. Если разрешить его относительно y^//, т.е. и умножить обе части на , то .

Левая часть этого уравнения ,а в правой - , поэтому последнее уравнение перепишется так:

.

Отсюда следует, что.

Последнее уравнение допускает разделение переменных. Предварительно с помощью начальных условий можно установить, что c₁=0,а . С помощью начальных условий найдем, что . Таким образом, пришли к тому же результату, что и в I способе.

линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

(11)

можно решить с помощью метода неопределенных коэффициентов и метода вариации произвольных постоянных.

метод неопределенных коэффициентов

I. Т.к. уравнение (11) неоднородное, его общее решение будет состоять из суммы общего однородного и частного неоднородного уравнений, т.е.

.

Составляем соответствующее однородное уравнение

(12)

Его характеристическое уравнение

(13)

структура фундаментальной системы решений зависит от вида корней характеристического уравнения (13).

Различают 3 случая.

а). Все корни характеристического уравнения (13) различны и вещественны. Обозначим их . Фундаментальная система решений:

,

а общее решение имеет вид:

.

б). Все корни характеристического уравнения (13) различны, но среди них имеются комплексные. Пусть - комплексный корень уравнения (13). Тогда - тоже является корнем этого уравнения. Этим корням соответствуют два линейно независимых частных решения:

.

Если и то частные решения будут иметь вид

.

Написав линейно независимые частные решения, соответствующие другим сопряженным парам комплексных корней и всем вещественным корням и составив линейную комбинацию из этих решений с произвольными постоянными коэффициентами, получим обще решение уравнения (12).

в). Среди корней характеристического уравнения имеются кратные. Пусть k₁ вещественный r-кратный корень. Тогда ему соответствуют r линейно независимых частных решений вида:

.

Если - комплексные корни уравнения (13) кратности r, то им соответствует 2r линейно независимых частных решений вида:

Написав линейно независимые частные решения указанного вида, соответствующие всем простым и кратным вещественным корням, а также сопряженным парам простых и кратных комплексных корней, получим фундаментальную систему решений.

II. По виду правой части уравнения (11) подбирают частное решение неоднородного уравнения.

Возможны случаи.

1). , где P(x) – многочлен от x степени n.

а). Если число 0 не является корнем характеристического уравнения (13), то частное решение неоднородного уравнения (11) можно найти в виде , где Q(x) – многочлен от x той же степени n, что и P(x) в общем, виде (т.е. с неопределенными коэффициентами).

Например,

б). Если же 0-корень характеристического уравнения кратности r, то

.

2)..

а). Если число ? не является корнем характеристического уравнения (13), то

.

3) , где - многочлены степени m и n соответственно (один из многочленов может быть тождественно равен нулю);

а) если не является корнем уравнения (13), то

,

где - многочлены степени .

б) если является корнем характеристического уравнения кратности r, то

.

4) где - функции вида, рассмотренного 1), 2), 3). Если являются частными решениями, которые соответствуют функциям , то

.

Задача 12. найти общее решение дифференциального уравнения.

12.31 .

Решение. Это неоднородное дифференциальное уравнение 3-го порядка, которое не содержит искомой функции y. Данное уравнение может быть разрешено как минимум еще двумя способами: методом вариации произвольных постоянных и методом неопределенных коэффициентов для определения частного решения неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим второй способ.

Составим соответствующее однородное уравнение

.

Характеристическое уравнение имеет корни: (случай Iа). Частные решения однородного уравнения:

.

Соответственно обще однородного .

Теперь рассмотрим правую часть исходного уравнения: - многочлен второй степени (случай II1). По его виду составим частное решение неоднородного уравнения: .

Множитель x появляется исходя из того, что x=0 является корнем характеристического уравнения. Находя и подставляя найденное в исходное уравнение, получим

.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему

,

из которой A=1/3, B=1, C=1/2. Подставляя эти значения в общий вид частного решения, получим

.

Учитывая, что общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего однородного и частного неоднородного, имеем

.

Задача 13. найти общее решение дифференциального уравнения.

13.31 .

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Характеристическое уравнение имеет корни: (случай Iа). Поэтому .

По виду правой части составим общий вид частного решения неоднородного уравнения, учитывая, что =2 – является корнем характеристического уравнения (случай II2б): .

Дифференцируя последнее 3 раза и подставляя в исходное уравнение, найдем, что A=1, B=0. Тогда частным решением исходного уравнения будет функция .

Следовательно, общее решение исходного дифференциального уравнения

.

Задача 14. найти общее решение дифференциального уравнения.

.

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

.

Характеристическое уравнение имеет двукратный корень k=2 (Iв). Поэтому .

По виду правой части легко составить в общем виде частное решение исходного уравнения: , т.к. 2-6i не является корнем характеристического уравнения (II3а). Для этой функции ищут y^/ и y^// и подставляют в данное нам уравнение. Таким образом, определяют, что B=0 и A=-1/36.

Тогда, - частное решение нашего неоднородного уравнения, а искомое решение имеет вид:

.

Задача 15. найти общее решение дифференциального уравнения.

15.31 .

Решение. Т.к. корни характеристического уравнения , то - общее решение однородного уравнения. Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

.

Функция составлена по виду правой части, с учетом того, что x=0 является корнем характеристического уравнения, а 10i – нет.

Подставляя эту функцию в исходное уравнение, найдем, что

Тогда, общим решением дифференциального уравнения будет являться функция:

.

метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

1. Для уравнения (11) составляют соответствующее однородное уравнение (12) и находят его общее решение y_о.о.:

. (14)

2. В уравнении (14) полагают константы функциями от x, т.е. . Эти функции находят из системы:

Решают эту систему методом Крамера. Определитель этой системы – определитель Вронского (он будет отличен от нуля для линейно независимых функций).

.

Тогда: . Отсюда

.

Подставляя эти значения в (14), получим общее решение уравнения (11):

.

Задача 16. Найти решение задачи Коши

.

Решение. Воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. (Следует иметь в виду, что метод имеет место, когда коэффициент при старшей производной равен единице!)

Найдем общее решение уравнения ; т.к. корнями характеристического уравнения являются числа , то .

Предполагая, что с₁ и с₂ – есть функции от x, будем искать решение исходного уравнения в виде , где c₁(x) и c₂(x) найдем из системы:

Составим определитель этой системы – определитель Вронского:

.

(Т.к. определитель отличен от нуля, система имеет решение и при том единственное.)

.

Тогда . Отсюда, интегрированием находим

.

Таким образом, общее решение исходного уравнения будет выглядеть так:

.

Для решения задачи Коши найдем y^/:

.

Подставляя начальные условия в у и у^/ найдем, что с₁=1, с₂=0. Тогда - частное решение.

литература

Учебники:

1. Шипачев В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 1990.

2. Берман А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для ВТУЗов. – М.: Изд. «Наука». Гл.ред. физ.-мат. лит.,1967.

Пособия по решению задач:

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах – М.: Высшая школа, 1986.

2. Запорожец Г.И. руководство по решению задач по математическому анализу – М.: Высшая школа, 1964.

3. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике – Харьков: Изд. ХГУ им. М.Горького, 1965.

Методическая литература:

1.Скорик А.И., Шевердинская В.П. Методические указания по выполнению ТР – 2 и контрольной работы «Дифференциальные уравнения». Часть I. – Орел, 1990.

2.Скорик А.И., Шевердинская В.П. Методические указания к выполнению ТР и для индивидуальной работы студентов. Дифференциальные уравнения высших порядков. – Орел, 1992.

Задачники:

1. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Специальные разделы математического анализа. Под. ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П. – М: «Наука», Гл.ред. физ. – мат. лит., 1986.

2. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) – М.: Высшая школа, 1983.

Справочники:

1.Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. – М.: Наука, Гл.ред. физ. – мат. лит., 1986.