Метод золотого сечения

13 Содержание. Введение . … ……… ………………………………………. . 4 стр . I . Методы одномерной оптимизации ……………….. 6 стр. II. Метод золотого сечения … ………………… … … … 7 стр. Заключение. Сравнение методов одномерного поиска . 10 стр. Приложение Приложение 1 . Листинг программы …………………….. 1 1 стр. Приложение 2 . Результат работы программы ………….. 12 стр. Список используемых источников ………………... 1 3 стр. Введение. Несмотря на то, что безусловная оптимизация функции одной переменной наиболее простой тип оптимизационных задач, она занимает центральное место в теории оптимизации как с теоретической, так и с практической точек зрения. Это связано с тем, что задачи однопараметрической оптимизации достаточно часто встречаются в инженерной практике и, кроме того, находят свое применение при реализации более сложных итеративных процедур многопараметрической оптимизации. На первый взгляд кажется, что задача минимизации функции одного переменного является довольно элементарной. В самом деле, если функция (целевая функция) , которую нужно минимизировать на отрезке , дифференцируема, то достаточно найти нули производной, присоединить к ним концы отрезка, выделить из этих точек локальные минимумы и, наконец, среди последних найти ту точку, в которой достигается абсолютный минимум. Однако для широкого класса функций эта задача не так уж проста. Во-первых, задача решения уравнения может оказаться весьма сложной. С другой стороны, в практических задачах часто не известно, является ли дифференцируемой функцией. В силу этого существенное значение приобретают методы минимизации, не требующие вычисления производной. Задачу одномерной оптимизации можно поставить следующим образом. Значения искомого параметра x должны быть заключены в интервале . Назовем этот интервал интервалом неопределенности. В начале процесса оптимизации этот интервал имеет длину . Вычисляя последовательно значения функции в крайних точках, интервал сужают. Таким образом, большинство детерминированных методов состоит в построении последовательность отрезков , стягивающихся к точке . Однако всегда можно указать такую непрерывную функцию , что для любого конечного номера отрезок , построенный любым методом, не будет содержать точку , даже если известен отрезок , которому принадлежит . В связи с этим гарантировать принадлежность точки отрезку можно лишь для определенных классов минимизируемых функций. Обычно ограничиваются классов строго унимодальных функций. Непрерывную функцию называют строго унимодальной , если существует единственная точка ее минимума и для любых , для любых . Таким образом, с возрастанием x функция слева от точки минимума монотонно убывает, а справа от этой точки монотонно возрастает. Длина интервала неопределенности при известном экспериментов, дающего номер , и самих , выбранных их тех или иных соображений, то есть ( ). Чтобы определить рациональную стратегию (или ее начальную фазу) заранее, не приступая к экспериментам, достаточно рассмотреть следующие условия: если выбраны и тем самым задан ряд интервалов , то какой-то из них имеет наибольшую (по сравнению с остальными) длину . Приняв в качестве в качестве характеристики выбранной совокупности , можно быть уверенным в том, что реальный результат поиска при этих , оцениваемый величиной , будет лучше (или по крайней мере не хуже) . Очевидно, , заданная как , является функцией только (принятая ориентация на худший случай дает гарантию от непредвиденных осложнений, которые могут возникнуть в ходе проведения экспериментов) . Если теперь рассмотреть множество стратегий с показателями , то лучшей из них следует признать ту, которой соответствует наименьшая величина (преимущество такого выбора в том, что, во-первых, сохраняется гарантия получить реальную длину интервала неопределенности, не превышающую , и во-вторых, эта гарантированная длина минимальна). Обозначив рассматриваемый минимум как , получим Величина определяет единственную стратегию, называемую минимаксной. Всякое отклонение от нее приведет лишь к опасности ухудшения результат будущего поиска. Большое преимущество использования критерия заключается в возможности априорного выбора оптимального поиска экстремума. I. Методы одномерной оптимизации Правила, по которым ведется поиск экстремума функции, называются стратегиями. Поскольку в рамках одной и той же задачи можно применять различные стратегии поиска, естественно попытаться найти ту из них, которая является наилучшей в смысле уменьшения объема необходимы вычислений, поэтому наряду с главным требованием – найти точку экстремума – возникает дополнительно (но не менее важное) требование выбора стратегии поиска, обладающее нужными свойствами. Существует два вида стратегий: пассивные, в которых еще до начала эксперимента назначены все , и активные, в которых выбор очередных значений зависит от результатов предшествующих экспериментов (имеет место накопление и активное использование информации о свойствах целевой функции). Всякая стратегия, предусматривающая последовательно (пошаговое) проведение опытов и оценку возникающих ситуаций, представляется более прогрессивной, так как позволяет экономить средства и время, с расходованием которых неизбежно связана постановка эксперимента. Именно это характерно для активных стратегий, рассматриваемых в данном разделе. Простейш ей и наиболее трудоемк ой активной стратегией является метод общего поиска, согласно которому интервал делят на несколько равных частей с последующим вычислением значений целевой функции в узлах полученной сетки. Ясно, ч то эффективность метода при уменьшении интервала неопределенности быстро падает. В методе дихотомии (половинного деления) выбираются два эксперимента и размещаются на исходном интервале неопределенности наилучшим образом (симметрично относительно середины отрезка на расстояниях от нее). В результате сравнения полученных величин и становится возможным указать новый интервал неопределенности. Применяя к новому интервалу вышеописанную процедуру, процесс продолжают до тех пор, пока длина требуемого интервала не будет меньше заданной величины . Метод прост, однако требуемых вычислений функции можно проводить меньшее количество раз. К методам, в которых при ограничениях на количество вычислений значений достигается в определенном смысле наилучшая точность, относятся метод Фибоначчи и метод золотого сечения. II . Метод золотого сечения. В методе золотого сечения на ка ж дой итерации вычисляется только одно значение целевой функции. Сущность этого метода состоит в следующем. Интервал неопределенности делится на две равные части так, что отношение длины большого отрезка к длине всего интервала равно отношению длины меньшего отрезка к длине большего отрезка. На рисунке 1.1 точки отстоят от граничных точек интервала на расстоянии . При таком симметричном расположении точек длина остающегося после исключения интервала всегда равна независимо от того, какие из знач е ний функции в пробных точках оказались меньшим. Предположим, что исключается правый подынтервал. На рис 1.2 показано, что оставшийся подынтервал длины содержит одну пробную точку, расположенную на расстоянии (1- ) от л е вой граничной точки. Отношение длин отрезков определяется правилом золотого сечения: Решая это квадратное уравнение, пол у чаем откуда положительное решение =0.61803…. Таким образом , деление интервала неопределенности в этом отношении позволяют уменьшить его в раза . Начиная с , при ходят в конце концов к интервалу неопределенности: Алгоритм поиска с помощью данного метода выглядит следующим обр а зом. Шаг 1. Положить x 0= a , x 3= b . Шаг 2. Положить x 1 = x 0 + t 1