Реферат: Математическое выражение музыки - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Математическое выражение музыки

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 42 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

7 Математическое выражение музыки Настоящая н аука и настоящая музыка требуют однородного мыслительного процесса . А . Эйнштейн Нам известен пифагоров строй , т.е . математическое выражение интервальных коэффициентов , лидийской гаммы , ил и , в современной терминологии , строй натуральн ого ма жора : 1 9 81 4 3 27 243 2 8 64 3 2 16 128 до ре ми фа соль ля си до 9 9 256 9 9 9 256 8 8 243 8 8 8 243 Здесь цифры внизу обозначают интервальные коэффициенты соседни х ступеней гаммы ; напомним , что 9 /8 есть тон , а 256/243- полутон . Основные к онсонансные (консонанс - согласованное сочетание дв ух звуков ) интервалы в пределах октавы - кв инта и кварта - являются соответственно средни м арифметическим и средним гармоническ им частот основного тона и октавы . Кроме того , октава , квинта , кварта и тон образу ют геометрическую пропорцию : октава / квинта = кварта / тон. Таким образом , музыкальная гамма разделен а на пропорциональные части : она буквально пронизана пропорциями , а проп орциональность , как мы знаем , является одним из объек тивных критериев красоты . Однако на этом м атематика музыкальной гаммы не кончается , а , скорее , только начинается. Прежде всего , из соотношения в идно , что расстояния между соседними ступеням и пифагорова с троя неодинаковы . Поэтому , во-первых , от ноты до можно было играть только в лидийском ладу , а чтобы сыгр ать от этой ноты , скажем , в дорийском л аду , необходимо было перестраивать почти все струны лиры . Во-вторых , от ноты ре пол учался уже не лидийский , а фр и гийский лад и , вообще , от каждой новой ноты начинался новый лад ( 7 ладов - по одном у на каждую из 7 нот октавы ). Поэтому , чт обы сыграть мелодию в лидийском ладу от другой ноты (чего , безусловно , требовали огр аниченные возможности человеческого голоса : од и н поет выше , другой - ниже ), лир у , также следовало перестраивать . (Конечно , если всю жизнь играть в одном ладу и одной тональности , то семи нот в октаве будет вполне достаточно . До сих пор пре красно обходятся семью звуками некоторые гарм ошки и другие инс т рументы ). Итак , для того , чтобы иметь возможность переходить из лада в лад и из тональности в тональность , строй долже н быть равномерным , т.е . иметь одинаково вы сотные расстояния (интервальные коэффициенты ) межд у звуками . Казалось бы , что проще : нужно разделить каждый тон - интервал пополам на два полутона , т.е . получить еще пять дополнительных звуков , и шкала пифагорова строя станет равномерной . Но вот тут то и таил ась основная трудность. Дело в том , что половина тона ( V 9/8 ~ 1,0607) в точности не равна полутону (256/243 ~ 1,0545). Поэтому если в качестве единого масштаба строя взять полутон V 9/8, т.е . замени ть на него имеющиеся два полутона 256/243, то эти 12 новых полутонов приведут нас не точно в октаву , а чуточку выше : (V9/8) 12=(9/8)6=2,0273. Интервал между октавой , полученной шагами по 12-равн омерным полутонам V 9/8, и чистой октавой равен и наз ывается пифагоровой коммой (коммой в музыкальной акустике называется интервал , не превышающий 1/9 целого тона . Пифагорова комма приблизительно равна 1/9 тона ). Представляя пифагорову комму в виде мы получим ещё один важный результат : 12 квинт с точностью до пифагоровой коммы равны 7 октавам. Но , т.е . новый полутон содержал иррациональное число V2 , которого пифагорейцы боялись , как ог ня . Взять столь “некрасивое” число в качес тве единицы измерения музыкальной гаммы было немыслимым для пифагорейцев : это противоречи ло всей философии целочисленных отношений . По этому пифагорейцы пошли другим путём : в ка честве основы музыкальной гаммы они взяли квинту , красивое число 3/2. Рассмотрим ряд , составленный из степен ей числа 3/2: ... ... Оказывается , с помощью этого красивого симметричного ряда можно получить все ин тервальные коэффициенты пифагорова строя . Начнем с середины ряда и вс е получаемые звуки будем сводить в одну октаву , ум ножая или деля их интервальные коэффициенты на нужные степени числа 2 (интервальный ко эффициент октавы )ю Новые звуки будем обоз начать либо ближайшим снизу основным звуком с добавлением слова “ дие з ” () при д вижении по квинтам вверх , либо ближайшим сверху основн ым звуком с добавлением слова “ бемоль ” () при движени и по квинтам вниз . Это означает соответств енно повышение или понижение основного звука . Итак, соль ре ля Как видим , двигаясь по к винтам вверх и вниз от осн овного тона , мы получили все ступени пифагорова с троя , каждая из которых в свою очередь может быть повышена , понижена , дважды повыше на или понижена и т.д . Процесс этот , к сожалению , бесконечен . Точного октавного повт орения основного тона (до ) мы так и не п олу чим . (Легко видеть , что си-дие з и ре-бемоль-бе моль совпадают с основным то ном (до ) опять же с точностью до пифаго ровой коммы .) Следовательно , и точно разделить октаву на целое число частей этим ме тодом мы не сможем. Таким образом , желая разделить пя ть тонов на по лутона , мы получили , по крайней мере , 10 пром ежуточных звуков. Какие из этих дополнительных звуков взять : с бемолями или с диезами” ? Для музыкантов , игр ающих на инструментах с нефиксированной высотой звуков (скрипачей , на пример ), эта проблема не стоит . Они берут и те , и другие . В результате звучание скрипки становится более выразительным и к онтрастным , так как в ладе обостряются тяг отения неустойчивых зв у ков к усто йчивым . Этим во многом объясняется то “вол шебное пение” скрипки , которое доступно ей одной. Что касается инструментов с фиксирова нной высотой звуков , то введение 10 дополнительн ых звуков на 7 основных слишком бы усложни ло и инструменты , и игр у на них . Тем более , что и это не решщало око нчательно проблему и более тонкие построения требовали всё новых и новых звуков . Н а сегодня в теории музыки известна масса строев с числом ступеней от 17 до 84! Но все они так и остались в кабинетах теоретиков. Практика же , руководствуясь му дрым критерием простоты (и красоты ), оставила только пять дополнительных звуков : по од ному в каждом из целых тонов . Они и стали чёрными клавишами (дополнительными ) форте пиано. Так в октаве стало 12 звуков . Посколь ку ка ждая пара дополнительных звуков отличалась лишь на пифагорову комму (это л егко проверить ), то их попросту приравнивали между собой (до-диез стал равен ре-бемолю и т.д .). Такое приравнивание звуков с оди наковой высотой , но разными названиями в т еории музык и называется энгармонизмом . Тонкости ладов ого звучания были принесены в жертву прос тоте . Инструменты же с числом звуков в октаве , превышающим 12, можно увидеть только в музеях . В московском Музее музыкальной ку льтуры имени М . И . Глинки хранится рояль русск ого писателя , музыканта и музыкове да В . Ф . Одоевского (1804-1869), в каждой октаве которого 17 клавиш. Квинтовая цепь пифагорова строя дала простой способ настройки инструментов с фиксированной высотой звуков : органов , клавесинов , фортепиано . От основн ого тона (сегодн я по общему признанию им является звук ля первой октавы ) откладывалось ? октав - скел ет музыкальной шкалы . Эти октавы заполнялись 12 звуками вверх и вниз . Какие из звуко в взять за дополнительные - повышенные или пониженные , - особого значе н ия не и мело . Важно было другое : пифа горова комма оставалась внутри октавы . Её можно было переместить в л юбое место октавы , но нельзя было сделать только одного : нельзя было от неё изб авиться ! И она продолжала портить кровь му зыкантам на протяжении столетий . Почему ? Если взять пифагоров строй с пониж енными дополнительными звуками : си до р е ми фа соль ля си до 1 . 243 1 256 9 32 81 4 1024 3 128 27 16 243 2 512 256 243 8 27 64 3 729 2 81 16 9 128 243... то в таком строе все к винты будут звучать чисто (иметь интервальный коэффициент 3/2), кроме одной . Квинта си - соль -бемоль будет иметь интервальный коэффициент 1024 / 729 : 243 / 256 ~ 1,4798, а не 1,5! От чистой квинты она отличается на пифагорову комму : 1,5 / 1,4798 ~ 10136. Такая квинта на ор гане издавала пронзительный , неприятный звук , похожий на завывание волка , за что и была прозвана “волчьей квинтой” или просто “волком” . Обращением “волчьей квинты ” является “волчья кварта” соль-бемоль - си , которая т оже отличается от чистой кварты (4/3 = 1,333...) на пи фагорову комму : 243 / 127 : 1024 / 729 ~ 1,3515; 1,3515 / 1,3333 ~ 1,0136. Можно сказать , что вся история ра звития музыкальных строев была историей борьб ы с “волками” . Но об этом - чуть позже. А сейчас обратим внимание на второ й существенный недостаток пифагорова строя . Е го заметил ещё во II веке др евнегреческий уче ный пифагореец Дидим . Дело в том , что п ифагорова терция (81 / 64) при гармоническом , т.е . одн овременном , исполнении обоих тонов , образующих терцию , звучит слишком напряжённо . Дидим пре дложил заменить пифагорову терцию (81 / 64) так назы ва е мой “чистой терцией” (5 /4 = 80 / 64), которая гармонически звучит значительно приятнее , хо тя , как видим , лишь чуть - чуть отличается от пифагоровой терции . Разность пифагоровой и чистой терций (81 / 64 : 80 / 64 = 81 / 80 ~ 1,0125) называется дидимовой ко ммой и приблизительно равна 1 / 10 целого тона. Однако идеи Дидима , как это не раз случалось сучёными Древней Греции , оперед или историю почти на полторы тысячи лет . Они не нашли подходящей почвы для разв ития , увяли , умерли и были воскрешены толь ко в ко нце XV века... ...В XIV веке в Европе получает широкое распро странение орган , ставший официальным инструментом католической церкви . С развитием органа р азвивается и многоголосие , которого не знала ни Древняя Греция , ни раннее средневековь е . В течение с толетий орган настраивал ся в пифагоровом строе . Никакого другого с троя средневековье не знало . Но пифагоровы терции звучали на органе особенно жёстко и не давали покоя музыкантам. В XVI веке выдающийся итальянский композитор и музыкальный теоретик Джоз еффе Царлино (1517-1590) воскресил идеи Дидима . Так родился новый квинтово - терцовый строй , названный чистым строем . Новое всегда с трудом пробивает себе дорогу . Учение Царлино подверглось резким нападкам . Л юбопытно , что среди тех , кто не признавал учения Царлино и вёл с ним непр имиримую борьбу , был Винченцо Галилей - выдающи йся итальянский лютнист и отец великого р еволюционера Галилео Галилея . Чистая терция (5 /4), ставшая наравне с квинтой полноправной хозяйкой нового строя , з вучит приятнее пифагоров ой . Отметим одну поразительную закономерность : интервальный коэфф ициент чистой терции (её называют также бо льшой терцией ) есть среднее арифметическое ин тервальных коэффициентов основного тона (1) и кв инты (3 /2): А дополнение большой терции (5 /4) до квин ты (3 /2) - малая терция (3 /2 : 5 /4 = 6 /5) - является средним гармоническим ос новного тона и квинты : Оба этих интервала дают пр иятное звучание ; таки м образом , закон целочисленных отношений Пифагора расширяется , а внутри музыкальной гаммы появляются ещё дв е пропорции ! Предполагают , что ещё Архит умел в ыражать большую и малую терции как средне е арифметическое и гармоническое тона и к винты . Однако пи сьменное свидетельство эт ому мы находим лишь в объёмном труде “Универсальная гармония” Марена Мерсенна (1588-1648) - мона ха францисканского ордена , французского математик а , теоретика музыки и философа , учившегося в иезуитском колледже Ла Флеш вместе с Ре н е Декартом . Труд Мерсенна - не скончаемое исследование об интервалах , полное всеобъемлющих умозрений . На десяти страницах огромного формата автор глубокомысленно обсуждае т , например , “является ли унисон консонансом” , и попутно решает вопрос , “как бы чело ве к мог поднять землю” , и т.д . Однако , несмотря на чрезвычайную напыщенность , которая , впрочем , была неотъемлемой чертой всех сочинений того времени , работа Мерсенн а содержала интересные идеи и прозрения . В частности , это касалось консонантности и пропорций б ольшой и малой терций . Сегодня большую и малую терции относят к группе несовершенных консонансов. Но вернёмся к работам Царлино . Выд ающейся заслугой его было не только выявл ение консонантности большой терции (5 /4), но и построение “совершенной гармони и” - объедин ение большой терции и квинты в гармоничес кое трезвучие . Это был первый в истории музыки аккорд , а само трезвучие ныне именуется мажорным и является ос новой всего гармонического языка музыки . Кроме того , Царлино обнаружил , что если отложить те же большую терцию и квинту вниз от основного тона , то окраска звуч ания аккорда существенно изменится . Светлые т она мажора подёргиваются пасмурной дымкой ино го звучания - минора . Приводя аккорд 2/3 : 4/5 : 1 к основному тону (умножая на 3/2, т.е . сдви гая вверх на квинту ), получаем минорное тр езвучие Так был открыт закон , известный сегодн я каждому юному музыканту : с мена большой терции на малую переводит ма жорное трезвучие в минорное. Мажорное трезвучие было взято за о снову чистого строя . Обрамляя м ажорное трезвучие 1 : 5/4 : 3/2 такими же трезвучиями сверху и снизу и сводя умножением и делением на 2 построенные звуки в одну октаву , пол учаем чистый строй лидийской гаммы (натуральн ого мажора ) до ре ми фа соль ля си до 1 1 9 5 4 3 5 15 2 8 4 3 2 3 8 9 10 16 9 10 9 16 8 9 15 8 9 8 15 Отмечены тоны , изменившиеся по сравнен ию с пифагоровым строем , цифры внизу обозн ачают интервалы между ступенями. Как видим , числовые характеристики чис того строя более простые . Однако сам строй стал менее равномерным : в нём , кроме полутона 15 /16, появились две разновидности целых тонов 9/8 и 10/9. Знакомые с музыкальной грамот ой , конечно , увидели , что мажорные трезвучия (4:5:6) чистого строя построены на тонике ( до ), субдоминанте (фа ), и доминанте ( соль ). С помощью целых тонов 9/8 и 10/9 и по лутона 16/15 легко построить чистый строй фригийс кой гаммы : 9 6 4 3 5 16 1 8 5 3 2 3 9 2 Теперь стало два деления целых тон ов чистого стр оя . Чистый строй в и стории музыки сыграл короткую , но заметную роль . Его звучание стало намного ярче и богаче по сравнению с пифагоровым строем . Чистый строй способствовал формированию маж орного и минорного ладов , развитию музыкально й гармонии . Но... В месте с достоинствами пришли и недостатки . Всё те же ненавистные музыка нтам “волки” поселились теперь уже не на дополнительных , а на основных ступенях чи стого строя ! Легко проверить , что квинта м ежду II и VI ступенями (ре - ля ) является самым настоящим “во лком” : 5/3:9/8 = 27/20 = 1,35: до ре ми фа соль ля си до 1 ре 1 ..1 9 5 4 3 5 15 2 9 ... 8 4 3 2 3 8 4 Следовательно , настроив орган в чистом строе ноты до , например , органист не мог уже перейти в тональности ре мажор и ре минор , т.е . в те тональности , где “волчья квинта” входит в тоническое трезвучие и встречается наиболее часто . Р азумеется , прихо дилось исключать и те тональности , где эта квинта входила в доми нанту и субдоминанту , которые также являются основными ступенями лада . Таким образом , органист оказывался что называется связанным по рукам : модуляции , т.е . переходы , в другие тональности был и крайне ограничены и опасны , и это лишало музыку значите льной части её выразительных средств. “Волки” продолжали донимать ор ганистов . На фоне “совершенной гармонии” чист ого строя это было особенно невыносимо . За бавный случай рассказывают о французском композиторе и теоретике музыки , страстном приверженце чистого строя , Жане Рамо (1683-1764). Однажды Рамо , желая отказаться от предлагаемо й ему должности церковного органиста , выпусти л из органа столько “волков” , что привёл в ужас святых отцов и убедил их в своей “бесталанности” . Святые отцы поспешили удалиться вместе со своими лес тными предложениями. Однако проблема оставалась . Выгнат ь “волков” из органа , т.е . найти закон построения нового музыкального строя , а значи т , и рецепт новой настройки органа , н аряду с музыкантами безрезультатно пытали сь и математики : Кеплер , Декарт , Лейбниц , Эй лер . О теории гармонии Эйлера шутливо гово рили , что она слишком музыкальна для матем атиков и слишком математична для музыкантов. Но то , что не смог сдел ать изощрённый ум математика , сделала об ыкновенная смекалка простого органиста...
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Мозговые и нервные клетки рождаются и отмирают, а жировые – живут вечно.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Математическое выражение музыки", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru