Реферат: Математические методы исследования экономики - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Математические методы исследования экономики

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 106 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Математические методы исследования экономики Всегда и во всех сфер ах своей деятельности чел овек принимал решения . Важная область приняти я решений связана с производством . Чем бо льше объем производства , тем труднее принять решение и , следовательно , легче допусить ошибку . Возниает естественный вопрос : нельзя л и во избежание таких ошибок использовать ЭВМ ? Ответ на этот вопрос дает наука , называемая кибернетика . Кибернетика (произошло от греческого "kybernetike" - искусство управления ) - наука об общих законах получения , хранения , пе редачи и перерабо тки информации . Важнейшей отраслю кибернетики является экономическая кибернетика - наука , занимающаяся приложением идей и методов кибернетики к экономическим системам . Экономическая кибернетика использует совок упность методов исследования процес сов у правления в экономике , включая экономико - математические методы . В настоящее время применение ЭВМ в управлении производством достигло больших м асштабов . Однако , в большинстве случаев с помощью ЭВМ решают так называемые рутинные задачи , то е сть задачи , связанные с обработкой различных данных , которые до применения ЭВМ решались так же , но вручну ю . Другой класс задач , которые могут быть решены с помощью ЭВМ - это задачи при нятия решений . Чтобы использовать ЭВМ для принятия решени й , необходимо составить математическую модель . Так ли необходимо применение ЭВМ при принятии решений ? Возмо жности человека достаточно разнообразны . Если их упорядочить , Так уж устроен человек , что того , чем он обладает , ему мало . И начина е тся бесконечный процесс увеличения его возможностей . Чтобы больше под нять , появляется одно из первых изобретений - рычаг , чтобы легче перемещать груз - колесо . В этих орудиях пока еще используется только энергия самого человека . Со времене м начи н ается применение внешних и сточников энергии : пороха , пара , электричества , атомной энергии . Невозможно оценить , насколько используемая энергия внешних источников пре вышает сегодня физические возможности человека . Что же касается умственных сп о собностей человека , то , как говорится , каждый недоволен своим состоянием , но доволен с воим умом . А можно ли сделать человека умнее , чем он есть ? Чтобы ответить на этот вопрос , следует уточнить , что вся интеллектуальная деятельность че л овека может быть подразделена на формализуемую и неформализуемую . Формализуемой называют такую деятельность , которую выполняют по определенным правилам . Например , выполнение расчетов , поиск в с правочниках , графическаие работы , несомненно мо гут быть поручены ЭВМ . И как все , что может делать ЭВМ , она это делает лучше , то есть быстрее и качественнее , чем человек . Неформализуемой называют такую деятельност ь , которая происходит с применением каких-либ о неизвестныхы нам правил . М ышление , соображение , интуиция , здравый смысл - мы пока еще не знаем , что это такое , и ес тественно , все это нельзя поручить ЭВМ , х отя бы потому , что мы просто не знаем , что поручать , какую задачу поставить пе ред ЭВМ . Разновидност ью умственной деятельности является принятие решений . Принято считать , что принятие решений относится к неформализуемой деятельности . Од нако это не всегда так . С одной сторон ы , мы не знаем , как мы принимаем реше ние . И объяснеие одних слов с п омо щью других типа "принимаем решение с помо щью здравого смысла " ничего не дает . С другой стороны , значительное число задач п ринятия решений может быть формализовано . Одн им из видов задач принятия решений , котор ые могут быть формализованы , явл я ются задачи принятия оптимальных решений , или задачи оптимизации . Решение задачи оптимизац ии производится с помощью математических моде лей и применения вычислительной техники . Современные ЭВМ отвечают самым высоким требованиям . Они способны выпо лнять миллионы операций в секунду , в их памяти могут быть все необходимые сведения , ком бинация дисплей-клавиатура обеспечивает диалог че ловека и ЭВМ . Однако не следует смешивать успехи в создании ЭВМ с достижениями в области их применения . По сут и , все что может ЭВМ - это по зада нной человеком программе обеспечить преобразован ие исходных данных в результат . Надо четк о себе представлять , что ЭВМ решения не принимает и принимать не может . Решение может принимать только человек-руководитель, наделенный для этого определенными пр авами . Но для грамотного руководителя ЭВМ является великолным помощником , способным вырабо тать и предложить набор самых различных в ариантов решений . А из этого набора челов ек выберет тот вариант который с его точки зрения окажется более приго дным . Конечно , далеко не все задачи приня тия решений можно решить с помощью ЭВМ . Тем не менее , даже если решение задачи на ЭВМ и не заканчивается полным усп ехом , то все равно оказывается полезным , так как спос о бствует более глубок ому пониманию этой задачи и более строгой ее постановке . Чтобы человеку принять решение без ЭВМ , зачастую ничего не надо . Подумал и решил . Человек , хорошо или плохо , решает все во зникающие перед ним задачи . П равда никаких гарантий правильности при этом нет . ЭВМ же никаких решений не прини мает , а только помогает найти варианты ре шений . Данный процесс состоит из следующих этапов : 1) Выбор зад ачи . Решение зад ачи , особе нно достаточно сложной - достато чно трудное дело , требующее много времени . И если задача выбрана неудачно , то это может привести к потере времени и ра зочарованию в применении ЭВМ для принятия решений . Каким же основным требованиям долж на удовлет в орять задача ? А . Должно существовать как минимум один вариант ее решения , ведь если вариан тов решения нет , значит выбирать не из чего . Б . Надо четко знать , в каком смысл е искомое решение должно быть наилучшим , ведь если мы не знаем чего х отим , ЭВМ помочь нам выбрать наилучшее решени е не сможет . Выбор задачи завершается ее содержател ьной постановкой . Необходимо четко сформулировать задачу на обычном языке , выделить цель исследования , указать ограничения , поставить о сновные в опросы на которые мы хотим получить ответы в результате решения зад ачи . Здесь следует выделить наиболее сущест венные черты экономического объекта , важнейшие зависимости , которые мы хотим учесть при построении модели . Формируются некоторые гипот е зы развитиця объекта исследования , изуча ются выделеные зависимости и соотношения . Ког да выбирается задача и производится ее со держательная постановка , приходится иметь дело со специалистами в предметной области (инже нерами , технологами , конст р укторами и . т . д . ). Эти специалисты , как правило , п рекрасно знают свой предмет , но не всегда имеют представление о том , что требуется для решения задачи на ЭВМ . Поэтому , с одержательная постановка задачи зачастую оказыва ется перенасыщенной с ведениями , которые совершенно излишни для работы на ЭВМ . 2) Составление модели Под экономи ко-математической моделью понимается математическое описание исследуемого экономического объекта и ли процесса , при котором экономические законо мерности в ыражены в абстрактном виде с помощью математических соотношений . Основные принципы составления модели с водятся к следующим двум концепциям : 1. При формулировании задачи необходимо достаточно широко охватить моделируемое явление . В противном случа е модель не да ст глобального оптимума и не будет отража ть суть дела . Опасность состоит в том , что оптимизация одной части может осуществл яться за счет других и в ущерб общей организации . 2. Модель должна быть настолько проста , насколько это воз можно . Модель должна быть такова , чтобы ее можно было оце нить , проверить и понять , а результаты по лученные из модели должны быть ясны как ее создателю , так и лицу , принимающему решение . На практике эти концепции часто вступают в конфликт , прежде всего из-за того , что в сбор и ввод дан ных , проверку ошибок и интерпретацию результа тов включается человеческий элемент , что огра ничивает размеры модели , которая может быть проанализирована удовлетворительно . Размеры модели используют с я как лимитирующий фа ктор , и если мы хотим увеличить широту охвата , то приходится уменьшать детализацию и наоборот . Введем понятие иерархии моделей , гдте широта охвата увеличивается , а детализация уменьшается по мере того , как мы пер еходим на более высокие уровни иерархии . На более высоких уровнях в свою оче редь формируются ограничения и цели для б олее низких уровней . При построении модели горизонт планиро вания в основном увеличивается с рос т ом иерархии . Если модель долгосрочного планир ования всей корпорации может содержать моло каждодневных текущих деталей то модель п ланирования производства отдельного подразделеия состоит в основном из таких деталей . При формулировании задачи необхо ди мо учитывать следующие три аспекта : 1) Исследуемые факторы : Цели исследования определены довольно свободно и в большой степени зависят от того , что включено в модель . В этом отношении Легче инженерам , так как исследуемые факторы у них о бычно с тандартны , а целевая функция в ыражается в терминах максимума дохода , миниму ма затрат или , возможно , минимума потребления какого-нибудь ресурса . В то же время социологи , к примеру , обычно задаются целью "общественной полезности " или в это м роде и оказываются в сложном полож ении , когда им приходится приписывать определ енную "полезность " различным действиям , выражая ее в математической форме . 2) Физические границы : Пространственные аспек ты исследования требуют детального рассмотрени я . Если производство сосредоточено более чем в одной точке , то необходимо уче сть в модели соответствующие распределительные процессы . Эти процессы могут включать скла дирование , транспортировку , а также задачи ка лендарного планирования иещения о борудо вания . 3) Временные границы : Временные аспекты и сследования приводят к сдерьезной дилемме . Об ычно горизонт планирования хорошо известен , н о надо сделать выбор : либо моделировать си стему в динамике , с тем , чтобы получить временные графики , либо моделировать ста тическое функционирование в определенный момент времени . Если моделируется динамический (мног оэтапный ) процесс , то размеры модели увеличив аются соответственно числу рассматриваемых приод ов времени (этапов ). Такие модели обы ч но идейно просты , так что основная трудность заключается скорее в возможности решить задачу на ЭВМ за приемлемое вре мя , чем в умении интерпретировать большой объем выходных данных . с Зачастую бывает достаточно построить модель системы в како й-то з аданный момент времени , наприм ер в фиксированный год , месяц , день , а затем повторять расчеты через определенные промежутки времени . Вообще , наличие ресурсов в динамической модели часто оценивается пр иближенно и определяется факторами , вых о дящими за рамки модели . Поэтому необх одимо тщательно проанализировать , действительно л и необходимо знать зависимость от времени изменения характеристик модели , или тот же результат можно получить , повторяя статическ ие расчеты для ряда различных ф иксированных моментов . 3) Составление алгоритма . Алгоритм - э то конечный набор правил , позволяющих чисто мехаически решать любую конкретную задачу из некоторого класса одотипных задач . При этом подразумевается : а . - исходные данные могут изм ен яться в определеных пределах : массовость алго ритма б . - процесс применения правил к исх одным данным (путь решения задачи ) определен однозначно : детерминированность алгоритма в . - на каждом шаге процесса примене ния правил известно , что счит ать резу льтатом этого процесса : результативность алгорит ма Если модель описывает зависимость межд у исходными данными и искомыми величинами , то алгоритм представляет собой последовательо сть действий , которые надо выполнить , чтобы от исходных данных перейти к искомым величинам . Удобной формой записи алгоритма являет ся блок схема . Она не только достаточно наглядно описывает алгоритм , но и является основой для составления программы . Каждый класс математических моделей имеет свой ме тод р ешения , который реализуется в ал горитме . Поэтому очень важной является класси фикация задач по виду математической модели . При таком подходе задачи , различные по содержанию , можно решать с помощью одног о и того же алгоритма . Алгоритмы задач пр и нятия решений , как правило , настолько сложны , что без применения ЭВМ реализовать их практически невозможно . 4) Составление программы . Алгоритм за писывают с помощью обычных математических сим волов . Для того , чтобы он мог быть про читан ЭВМ необходимо составить программу . Программа - это описание алгоритма решения задачи , заданное на языке ЭВМ . Алгоритмы и программы объединяются понятием "математическое обеспечение ". В настоящее время затраты н а математическое обеспечение составляют примерно полторы стоимости ЭВМ , и пос тоянно происходит дальнейшее относительное удоро жание математического обеспечения . Уже сегодня предметом приобретения является именно математ ическое обеспечение , а сама ЭВМ лишь таро й , упаковкой для него . Далеко не для каждой задачи н еобходимо составлять индивидуальную программу . На сегодняшний день созданы мощные современные программные средства - пакеты прикладных прог рамм ( ППП ). ППП - это объединение модели , ал горитма и программы . Зачастую , к задаче можно подобрать готовый пакет , кото рый прекрасно работает , решает многие задач , среди которых можно найти и наши . Пр и таком подходе многие задачи будут решен ы достаточно быстро , ведь не надо занимат ься программированием . Если нельзя исп ользовать ППП для решения задачи без изме нения его или модели , то нужно либо м одель подогнать под вход ППП , либо дорабо тать вход ППП , чтобы в него можно был о ввести модель . Такую процедуру называют адаптацией . Если подходящий ППП находится в памяти ЭВМ , то работа пользова теля заключается в том , чтобы ввести необ ходимые искомые данные и получить требуемый результат . 5) Ввод исхо дных данных . Прежде чем ввести исходные данные в ЭВМ , их , ест ественно , необходимо собрать . Причем не все имеющиеся на производстве исходные данны е , как это часто пытаются делать , а ли шь те , которые входят в математическую мо дель . Следовательно , сбор исходных данных не только целесообразно , но и необходимо пр оизводить лишь после того , как будет известна математическая модель . Имея пр ограмму и вводя в ЭВМ исходные данные , мы получим решение задачи . 6) Анализ полученного решения К сожалению достаточно часто математич еское моделирование смешивают с одноразовым решением конкретной задачи с начальными , зачастую недостоверными данными . Для успешног о управления сложными объектами необходимо п остоянно перестраивать модель на ЭВМ , коррект ируя исходные данные с учетом изменившейся обстановки . Нецелесообразно тратить время и ср е дства на составление математиче ской модели , чтобы по ней выполнить один единственный расчет . Экономико-математическая мо дель является прекрасным средством получения ответов на широкий круг росов , возникающих при планировании , проектировании и в ходе производства . ЭММ может стать на дежным помощником при принятии каждодневных р ешений , возникающих в ходе оперативного управ ления производством . ИСПОЛЬЗОВАНИЕ БЛОК-СХЕМ Физическая природа моделируемой системы может быть представлена с помо щью блок-схемы . Простой пример - предыдущая блок-схема , хотя она недостаточно подробна . Выделим основные составляющие блок схе мы : 1) Прямыми линиями представлены материальные потоки , характеризующиеся определенными свойств ами . Это не обязаельн о должны быть потоки какого-то физического вещества ; таким же образом могут быть представлены , наприм ер , потоки информации , денег . Если два мат ериальных потока характеризуются разными свойств ами и эти различия существенны для модели , то мы до л жны изобразить их разными линиями . 2) Прямоугольниками представлены блки предпр иятия и оборудование , или , в более общем случае , подсистемы , которые имеют свое о пределенное назначение . Характеристики потоков ме няются , а блоки являются точк ами вход а и выхода для множеств линий , представля ющих потоки . 3) Принято , что общее направление движени я потоков происходит слева направо . Таким образом , в блок-схеме , описывающей производстве нный процесс , поступающее сырье изображено ст ре лками входа в левой части блок-схем ы , а конечные потоки - линиями , заканчивающими ся справа в столбцах , ыотвечающих конечным продуктам . Такие столбцы особенно удобны , к огда конечный продукт получается соединением нескольких потоков , как мы э т о увидим в нашем примере . ОПИСАТЕЛЬНЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ Эти ограничения описывают функционирование исследуемой системы . Они представляют особую группу балансовых уравнений , связанных с характеристиками отдельных блоков , такими как масса , энерги я , затраты . Тот факт , что в модели ЛП балан совые уравнения должны быть линейными , исключ ает возможность представления таких принципиальн о нелинейных зависимостей , как сложные химиче ские реакц изменения условий функционирования , которые допу скают линейное описание (х отя бы приближенно ) могут быть учтены в модели . Балансовые соотношения могут быть введены для какой-то законченной части блок-сх емы , например для отдельного блока ; обычно они выписываются для каждого технологичедского пото к а , который в блок-схеме изображается линией . Количество вещества , получен ного , может быть , более чем из одного блока , входящего в поток , равно количеству этого вещества , выходящего из потока (и поступающего как сырье , возможно , боле е , чем в один блок ). В статических (одноэтапных ) моделях таки е соотношения можно представить в виде : - в ход + выход = 0 Динамический (многоэтапный ) процесс описыва ется соотношениями : - вход + выход + накопления = 0, где под н акоплениями понимает ся чистый прирост за рассматриваемый период . Пусть K потоков входит в какой-то бло к , и Xk, k=1. . . K, количество сырья , передаваемого в блок каждым потоком . Пусть также из каждой единицы k-го сырья в блоке производ ится количество Aik как ого-то i-го продукта . Тогда общее количество произведенного продукт а определится формулой : E Aik*Xk . Предположим далее , что этот продукт сам поступает на вход какого-то только одного блока в количестве равном Xi . Тогда балансовое соотношение (с трока i для потока этого продукта имеет вид : - E Aik*Xk + 1. 0Xj = 0 (2. 2) Каждый поток состоит из продуктов , произведенных блоками , и сырья и соединяет различные блоки . Тогда при составлении бала нсовых соотношений потоков предполагается следую щее : 1. Для каждого потока определяется балан совое уравнение , которому соответствует строка i. 2. Каждому входу потока в какой-то бл ок ставится в соответствие столбец с коэф фициентом , равным +1. 0. Каждому столбцу соответствуе т переменная Xj , значение которой определяе т объем потока , входящего в блок . Поток может входить более чем в один блок , тогда в уравнении 2. 2. появится несколько чле нов +1. 0Xj, каждый из которых будет представлять объем потока на входе в соответствующий б лок . 3. Столбец (которому отвечает , например , переменная Xk), соответствующий выходу потока проду кта из блока , содержит коэффициент , равный -Aik. Заметим , что в одном и том же бал ансовом уравнении могут появиться дополнительные члены , если одинаковые потоки (то есть потоки с одинаковыми характеристиками ) поступают из разных блоков или сырьевых источников . В результате получаем балансовое уравн ение виа : - E Aik*Xk + 1. 0Xj = 0 , в котором может быть несколько членов вида +1. 0 Xj, если поток входит более чем в один блок . Итак , строка балансового уравнения соо тветствует потоку , который характеризуется набор ом определенных свойств и может иметь бол ее , чем по одной точке входа и выхода . Столбец , которому отвечает п еременная Xj, соответствует каждой новой точке входа по тока в блок . Дальнейшее условие общего вида , касающ ееся всех типов ограничений , состоит в то м , что отрицательные коэффициенты указывают н а то , что продукт произведен системой , а пол ожительные - что он потреблен ею . ОГРАНИЧЕНИЕ НА РЕСУРСЫ И КОНЕЧНОЕ ПОТРЕБЛЕНИЕ С этими ограничениями ситуация довольн о ясная . В самом простом виде ограничения на ресурсы - это ограничения сверху на переменные , представляющие расход ресурсов , а ограничения на конечное потребление продуктов - это ограничения снизу на пере менные , представляющие производство продукта . Огр аничения на ресурсы имеют следующий вид : Ai1X1 + . . . + AijXj + . . . + AinXn <= Bi, где Aij - расход i-го ресурс а на ед иницу Xj, j = 1 . . . n, а Bi общий объем имеющегося ресурса . Если же ввести новую переменную , на пример Xn+1, представляющую суммарный расход , ограни чение примет вид : Ai1X1 + . . . + AijXj + . . . + AinXn - Xn+1 = 0, Xn+1 <= Bi, Определяя Aij как выход i-го продукта н а единицу Xj, j = 1 . . . n, и поменяв знак неравенства на противоположный , мы получим аналогичные соотношения для учета конечного потребления , где Bi будет представлять общее потребление i-го продукта . Заметим , что ограничение на мощность завода и оборудования можно учесть таким же образом , как ограничение на ресурс . Зависимость затрат от объема используемых ресурсов (или конечного потребл ени можно также отразить в модели . У СЛОВ ИЯ , НАЛАГАЕМЫЕ ИЗВНЕ Часть ограничений на систему можно рассматривать как внешние . Так условия на качество продуктов устанавливаются законодательным и органами . Аналогично учет окружающей среды накладывает ограничения на некоторые свойст ва про дуктов (например на количество серы в нефтетопливе ) и на режим работы предприятия и оборудования (например на кач ество сточной воды ) что можно выразить ка к дополнительные затраты . Рассмотрим ситуацию , когда смешиваются несколько различных потоков , чтобы образ овать конечнылй продукт . Если какое-то свойств о i-ой компоненты смеси характеризуется коэффи циентом Pi, а Pb определяет нижнюю допустимую гра ницу указанного свойства смеси , то ограничени е можно записать в виде : P1X1 + . . . + PiXi = > PbXb где в левой части производится суммирован ие по всем смешиваемым потокам , а Xb предст авляет общее количество произведенной смеси . Ограничения на качество продуктов лучше всего задавать с помощью таблиц . ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ Целева я функция модели обычно состоит из следующих компонент : 1) Стоимость произведенного продукта . 2) Капиталовложения в здания и оборудова ние . 3) Стоимость ресурсов . 4) Эксплуатационные затраты и затраты на ремонт оборудования . 1) Стоимость произ веденного продукта . Если система моделируется с точки зрения прибыли , то стоимость продукта измеряе тся в деньгах . Если целью системы являетс я максимизация общественной полезности , то вы ход системы описывается в терминах полезност и , причем разл ичия в определении этой полезности могут привести к разным ответ ам . Так при планировании медицинского обслужи вания вряд ли окажется полезным для общес тва , если в качестве цели выбирается макс имальное число пациентов , обслуживаемых в еди ницу време н и . В простейшем случае целевую функцию можно сформулировать так : если мы обозначим через Xi количество продукта , а через Ci стоимость единицы этого продукта , то мы получим член целевой функции CiXi. Но целевая функция может быть о писана и более сложным образом . Наприме р стоимость может зависеть от количества проданного продукта , эта зависимость изображена на графике : 2) Капиталовложения в здания и оборудова ние . Если рассматривается статическ ая м одель на определенный момент времени , то все затраты должны быть отнесены к какому- то периоду времени , например рабочему дню (или году ). Единовременные капиталовложения выра жаются через ежедневные (годовые ) затраты . Это осуществляется умноже н ием капиталовл ожений на норму амортизации (коэффициент восс тановления капитала - CRF). Чтобы перейти от годов ых затрат к ежедневным , CRF обычно просто де лят на 365 или если заводд работает не ц елый год (например проводятся регулярные план овые ремон т ные работы ) на число рабочих дней в году , чобы получить зат раты отнесеные к рабочему дню . Данные зат раты чаще запоминаются как константа и пр ибавляются к значению целевой функции после получения решения . 3) Стоимость ресурсов . Способ определен ия стоимости ресур сов совпадает с определением стоимости произ веденного продукта (п . 1): если Xi -количество испол ьзуемого ресурса , а Ci - стоимость единицы этого ресурса , то мы получим член целевой функции , равный - CiXi. Здесь мы снова можем у честь в модели зависимость стоим ости ресурса от его количества , как напри мер на графике : 4)Эксплуатационные затраты и затраты на ремонт оборудования . Эти затраты обычно являются функцией размеров зданий и оборудования , поэтому их можно включить в амортизационные капи тальные затраты . Сюда необходимо включить так же : трудовые затраты , затраты на энергоресурс ы для производственных нужд (пар , электричеств о , вода , сжатый воздух и . т . д . ), аре н дную плату за разработку недр , затраты на катализаторы и другие технолог ические потребности . ПРИМЕР Мы хотим исследовать различные вариант ы расширения существующих блоков и создания новых блоков для максимизации чистого до хода . Нам необходимо : 1) Ввести в ЛП-матрицу ограничения на мощность для кажудого блока . 2) Максимизировать прибыль при фиксированных мощностях . 3 дельно от модели ЛП а затем вы честь их из величины прибыли . 4) Произвести параметрическое изменение мощн остей и повтори ть шаги , начиная с шага 1. Целевая функция будет выражаться в тыс . долл /рабочий день , так что если Xi выражается в единицах MBSD, то стоимость Ci должна выражаться в долл /баррель . Мы будем максимизировать целевую функц ию , поэтому коэффицие нты , отвечающие цена м будут положительными , а коэффициенты , отвеч ающие затратам - отрицательными . ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦЫ БОЛЬШОГО РАЗМЕРА Ограничения заачи представляют систему уравнений (неравенств ), каждому из которых с тавится в соответстви е строка матрицы ограничений , в то же время в ЛП мат рицу ограничений удобнее представлять в виде впоследовательности столбцов . При этом удобн ее объединять в одну группу столбцы соотв етствующие одному блоку предприятия с испоол ьзованием табличной фо р мы записи данных : таблицы данных составляются для каждо го блока предприятия и для каждого набора специальных ограничений на продукт . Поскольк у каждой строке и каждому столбцу приписы вается свое имя , всю матрицу ограничений можно построить , соста в ив список имен всех таблиц , затем списки имен столб цов каждой таблицы , а затем перечислив вс е ненулевые элементы каждого такого столбца . Уравнения из нашего примера поясняют как составляются таблицы . С помощью этих уравнений детально описаны сыр ьевые по токи , входящие в блок газового насыщения , и потоки продуктов , выходящие из него . В ходам сырьевых потоков BOLNP и COLNP отвечают два столбца LNB и LNC на это указывают коэффициенты +1. 0 в соответствующих этим потокам баласовых строках , отрицательные коэффициенты в балансовых строках потока продкта представл яют выход этого продукта на единицу сырья , поступающего в блок . Можно составить та блицу , описывающую весь блок газового насыщеи я , добавив столбцы , которые представляют вх о ды в этот блок сырьевых пото ков 90BBG, 9BBG, HYDBBG. При составлении таблиц , описывающих бл оки предприятия , мы будем руководствоваться с ледующими правилами : 1) Определить столбец j для каждого сырьев ого потока , входящего в блок (тогда Xj - количество j-го сырья ). Выполнить шаги 2 - 6 для каждого такого столбца . 2) Записать коэффициент равный +1. 0 в баланс овую строку , отвечающую входящему сырьевому п отоку . 3) Для каждого продукта , произведенного в блоке из этого сырьевого пот ока , записать коэффициент -Aij в соответствующую балансо вую строку потока продукта , где Aij - количество продукта i, полученного из единицы сырья j. 4) Если для блока существует ограничение по мощности определяемое количеством сырья , записать коэффициент +1. 0 в строку ограни чения по мощности . Компонента вектора огранич ений , соответствующая этой строке , равна пред ельному значению суммарного сырьевого па . 5) В каждую строку , представляющую ограни чение на ресурс , записать коэффици ент +Aij, где Aij - потребление ресурса i на единицу сыр ья j, (например потребности в энергоресурсах дл я нашей задачи ). 6) Каждой единице сырья j приписать коэффи циент затрат Cj в строке целевой функции . Мы можем составить подобные таблицы и для конечных продуктов , действительно , мы могли бы представить процесс произво дства или смешивания конечного продукта в виде отдельного блока , в который входит несколько сырьевых потоков , а выходит толь ко один поток (сам конечный продукт ). Кр о ме балансовых соотношений здесь могут появиться строки ограничений специального типа . При составлении таблиц , описывающих см ешивание потоков для получения конечного про дукта правила будут следующие : 1) Определить столбец j для каждого сырьев ого по тока , поступающего в смеситель (Xj - количество j-го сырья ). Выполнить шаги 2 - 6 для каждого такого столбца . 2) Записать коэффициент равный +1. 0 в баланс овую строку , отвечающую входящему сырьевому п отоку . 3) Записать соответствующий коэффиц иент -1. 0 в балансовую строку для конечного прод укта (например EVOLPROD). 4) Для каждого ограничения снизу на к акое-то свойство смеси записать коэффициент -Pi в строку , соответствующую этому ограничению . 5) В строку , соответствующую ограничени ю сверху на какое-то свойство смеси записать коэффициент +Pi. 6) Выполнив шаги 2 - 5 для всех сырьевых потоков j, определить столбец для конечного пр одукта (смеси ), (например B, тогда Xb количество ко нечного продукта ). В этот столбец записать следующие коэффициенты : а ) в балансовую строку (EVOLPROD) этого кон ечного продукта записать +1. 0, б ) в строку , отвечающую ограничению снизу на какое-то свойство конечного продукта , записать коэффициент равный +Pb, в ) в строку , отвечающу ю огранич ению сверху на какое-то свойство конечного продукта , записать коэффициент -Pb, г ) если есть ограничения на потребл ение конечного продукта , записать +1. 0 в соответ ствующую строку , отвечающую этому ограничению (либо учесть его просто к ак огранич ение на переменную Xb), д ) ввести в строку целевой функции коэффициент стоимости конечного продукта Cb. Классификация экономико-математических моделей Важным этапом изучения явлений предмет ов процессов является их классификация , выс тупающая как система соподчиненных классо в объектов , используемая как средство для установления связей между этими классами о бъектов . Основой классификации являются существен ные признаки объектов . Поскольку признаков мо жет быть очень много то и выполн е нные классификации могут значительно отли чаться друг от друга . Любая классификация должна преследовать достижение поставленных целе й . выбор цели классификации определяет набор тех признаков , по которым будут классифи цироваться объекты , подлежащие си с тем атизации . Цель нашей классификации - показать , что задачи оптимизации , совершенно различные по своему содержанию , можно решить на ЭВМ с помощью нескольких типов существующего программного обеспечения . Классификацию задач оптимизации , возника ющих на производстве , выполним по сле дующим признакам : 1. Область применения 2. Содержание задачи 3. Класс математической модели 1. Обеспеч ение производства включает в себя : 1. 1 Организац ию и управление 1. 2 Проектирование изделий 1. 3 Раз работку т ехнологических процессов Во всех этих элементах производства в озникают задачи оптимизации . Так весьма широк ий круг самых различных работ можно рассм атривать как превращение ресурсов в результат . В связи с этим основные задачи , возн икающие при управлен ии , могут быть от несены к классу задач распределения ресурсов . Объект проектирования устройством и де йствием . Устройство определяется структурой и параметрами . Действие характеризуется процессом функционирования . При решении этих трех воп росов возн икают задачи : 1. 2. а Оптимизация параметров объекта проектирования . 1. 2. б Оптимиза ция структуры объекта проектирования . 1. 2. в Опти мизация функционирования Технологический процесс определяется после довательностью работ , которые обеспечивают превр ащение сырья в готовую продукцию . Так ую последовательность работ называют маршрутом . Каждая операция , входящая в маршрут характ еризуется режимами обработки . Очевидно что за дачи , требующие оптимального решения возникают как при выборе маршрута так и при определении параметров операций . 1. 3. а Оптимизация маршрута изготовления изделия 1. 3. б Оптимизация параметров технологических процесс ов . Важным признаком классификации является класс математической модели . Проведем классифи кацию по элментам ма тематической модели : 1 Исходным данным 2 Искомым переменным 3 Зависим остям , описывающим ограничения и целевую функ цию 1. 1 Исходные данные , которые заданы опред еленными величинами называют детерминированными 1. 2 Исходные данные , которые зависят от сл учайных факторов , например от своевременности поставки ресурсов , исправности оборудования и . т . д . называют случайными величинами . 2. 1 Переменные могут быть непрерывными и дискретными . Непрерывными называют такие вел ичины , которые в заданном и нтервале м огут принимать любые значения . Так масса добываемого угля или объем выпуска ткани представляют собой непрерывные величины . 2. 2 Дискрет ными называют такитолько целые значения . Так например нельзя выпустить 0. 7 тепловоза или сдать строительны й объект из 1. 45 зд ания . 3. 1 Зависимости межу переменными как в целевой функции так и в ограничениях м огут быть линейными и нелинейными . Линейперво й степени и нет их произведения . 3. 2 Если переменые входят не в первой степени и ли есть произведение пе ременных , то з ависимости являются нелинейными . Сочетание различных элементов модели п риводит к различным классам задач оптимизации . Различные классы задач требуют разных м етодов решения а сле Наиболее распространенными задачами оптими зации возникаю щими в экономике являются задачи линейного программирования . Такая их распространенность объясняется следующим : 1) С их помощью решают задачи распределения ресурс ов , к которым сводится очень большое числ о самых различных задач 2) Разработаны надежные м е тоды их решения , которые р еализованы в поставляемом программном обеспечени и 3) Ряд более сложных задач сводится к задачам линейного программирования Математическо е моделирование в управлении и планировании Один из мощных инструментов которым распол агают люди , ответственные за упр авление сложными системами - моделирование . Модель является представлением реального объекта , с истемы или понятия в некоторой форме , отл ичной от формы их фактического реального существования . Обычно модель служит ср е дством , помогающим в объяснении , понимани и или совершенствованииточной копией этого об ъекта , выполненной в другом масштабе или из другого материала , или отображать некоторы е характерные свойства объекта в абстрактной форме , в частности в виде ма т ематических выражений . Анализ математических моделей дает в руки менеджеров и дру гих руководителей эффективный инструмент , который может использоваться для предсказания поведе ния систем и сравнения получаемых результатов . Моделирование позволяет логич е ским путем прогнозировать последстия альтернативных действий и достаточно уверенно показывает какому из них следует отдать предпочтение . Прих суждений и интуиции . Для дости жения цели практически всегда существует неск олько вариантов из которых нужно вы бр ать оптимальный . Для определения лучшего вари анта пользуются критерием эффективности или ц елевой функцией . РУКОВОДСТВО ПРЕДПРИЯТИЕМ Для достижени я поставленной цели предприятию требуются мат ериалы , оборудование , энергия , рабочая сила и другие ресурсы . Каждое предприятие таки ми ресурсами располагает , но общие запасы ресурсов ограничены . Поэтому возникает важная задача : выбор оптимального варианта , обеспечи вающего достижение цели с минимальными затрат ами ресурсов . Таким образом эффективн о е руководство производством подразумевает такую организацию процесса , при которой не только достигается цель , но и получается экстремальное (MIN, MAX) значение некоторого критерия эффективности : К = F(X1, X2, . . . , Xn) => MIN(MAX) Функция К явля е тся математическим выражением резуль тата действия , направленного на достижение по ставленной цели , и поэтому ее называют це левой функцией . Функционирование сложной производственной системы всегда определяется большим числом па раметров . Для получения оптимального решени я часть этих параметров нужно обратить в максимум , а другие в минимум . Возникает вопрос : существует ли вообще такое решени е , которое наилучшим образом удовлетворяет вс ем требованиям сразу ? Можно уверенно ответить - нет . На практ и ке решение , пр и котором какой-либо показатель имеет максиму м , как правило , не обращает другие показа тели ни в максимум ни в минимум . Поэто му выражения типа : производить продукцию наив ысшего качества с наименьшими затратами - это просто торжественна я фраза по сути неверная . Правильно было бы сказать : получить продукцию наивысшего качества при то й же стоимости , или снизить затраты на производство продукции не снижая ее качест ва , хотя такие выражения звучат менее кра сиво , но зато они четко опред е ляют цели . Выбор цели и формулировани е критерия ее достижения , то есть целевой функции , представляют собой труднейшую пробл ему измерения и сравнения мноазнородных перем енных , некоторые из которых в принципе не соизмеримы друг с другом : например безо п асность и стоимость , или качеств о и простота . Но именно такие социальные , этические и психологические понятия часто выступают как факторы мотивации при опреде лении цели и критерия оптимальности . В ре альных задачах управления производством нужно учит ы вать то , что некоторые кри терии имеют большую важность чем другие . Такие критерии можно ранжировать , то есть устанавливать их относительную значимость и приоритет . В подобных условиях оптимальным приходится считать такое решение , при котором крите р ии имеющие наибольший прио ритет получают максимальные значения . Предельным случаем такого подхода является принцип выделения главного критерия . При этом один какой-то критерий принимается в качестве ос новного , например прочность стали , калорийность п родукта и . т . д . По этому критерию производится оптимизация , к остальным предъявляется только одно условие , чтобы о ни были не меньше каких-то заданных значен ий . Между ранжированными параметрами нельзя п роводить обычные арифметические операции , воз м ожно лишь установление их иерарх ии ценностей и шкалы приоритетов , что явл яется существенным отличием от моделирования в естественных науках . При проектировании сложных техических систем , при управлении крупным производством или руководстве военными действиями , то есть в ситуациях где необпрактический опыт , дающий возможность выделить наиболее существе ные факторы , охватить ситуацию в целом и выбрать оптимальный путь для достижения поставленой цели . Опыт помогае также найти аналогичные случаи в прошлом и по возможности избежать ошибочных действий . П од опытом подразумевается е только собственна я практика лица , принимающего решение но и чужой опыт , который описан в книгах , обобщен в инструкциях , рекомендациях и други х руководящих материал а х . Естествено , когда решение уже апробировано , то есть известно какое именно решение наилучшим образом удовлетворяет поставленным целям проблем ы оптимального управления не существует . Одна ко на самом деле практически никогда не бывает совершенно оди н аковых ситуа ций , поэтому принимать решения и осуществлять управление всегда приходится в условиях неполной информации . В таких случаях недостаю щую информацию пытаются получить используя до гадки , предположения , результаты научных исследов аний и особ е нно изучение на м оделях . Научно обоснованная теория управления во многом представляет собой набор методов пополнения недостающей информации о том как поведет себя объект управления при вы браном воздействии . Стремление получить как можно больше информац ии об управляемых объектах и процессах включая и особености их будущего поведения может быть удовлетворено путем исследования интересуюих нас свойств на мо делях . Модель дает способ представления реаль ного объекта , который позволяет легко и с малыми зат р атами ресурсов исслед овать некоторые его свойства . Только модель позволяет исследовать не все свойства сраз у , а лишь те из них , которые наиболее существенны при данном рассмотрении . Поэтому модели поволяют сформировать упрощенное пред ставление о сис т еме и получить нужные результаты проще и быстрее чем при изучении самой системы . Модель производст венной системы в первую очередь создается в сознании работника осуществляющего управлени е . На этой модели он мысленно пытается представить все особенности с амой системы и детали ее поведения , предвидеть все трудности и предусмотреть все критич еские ситуации , которые могут возникуть в различных режимах эксплуатации . Он делает л огические заключения , выполняет чертежи планы и расчеты . Сложность совреме нных технических систем и производственных процессов приводит к тому , что для их изучения приходится использовать различные виды моделей . Простейшими являются масштабные модели в которых соблюдается размеров умножаются на постоянную величину - масштаб моделирован ия . Большие объекты представляются в уменьшен ом виде , а малые в увеличенном . В аналоговых моделях исследуемые проце ссы изучаются не непосредственно а по ана логичным явлениям , то есть по процессам и меющим иную физическую природу , но ко торые описываются такими же математическими с оотношениями . Для такого моделирования используют ся аналогии между механическими , тепловыми , г идравлическими , электрическими и другими явлениям и . Например колебания груза на пружине ан алогичны колебания м тока в электрич еском контуре , также движение маятника аналог ично колебаниям напряжения на выходе генерато ра переменного тока . Самым общим методом научных исследован ий является использование математического модели рования . Математической моделью описы вает формальную зависимость между значениями параме тров на входе моделируемого объекта или п роцесса и выходными параметрами . При математи ческом моделировании абстрагируются от конкретно й физической природы объекта и происходящих в нем процессов и рассмат р ив ают только преобразоваие входных величин в выходные . Анализировать математические модели п роще и быстрее , чем экспериметально определят ь поведение реального объекта в различных режимах работы . Кроме того анализ математич еской модели позволяет выделит ь наи более существенные свойства данной системы , н а которые надо обратить особое внимание п ри принятии решения . Дополнительное преимущество состоит в том , что при математическом моделировании не представляет труда испытать исследуемую систему в идеаль н ых условиях или наоборот в экстремальных режи мах , которые для реальных объектов или пр оцессов требуют больших затрат или связаны с риском . В зависимости от вида системы и конкретных целей , которые ставятся при ана лизе , возможны различные методы оп исания систем , то есть существует несколько раз личных подходов к матемтическому моделированию и системному анализу . В основе каждого подхода лежат те или иные представления , какой-то набор основных идей и теоретических предпосылок или как принято гов о рить определенная концепция . 1) Одна из возможных целей математическо го моделирования связана с желанием разобрать ся в свойствах систем вообще . В этом с лучае требуется иметь такую модель , которая охватывала бы как можно более широкий класс объектов и процессов . 2) Другая задача состоит в тщательном , количественном изучении систем определенного класса . При этом необходимо дать подробное математическое описание объектов интересующего класса и столь же подробное математическое описание происходящих в них процессов . 3) Наконец третий подход с которым ча сто приходится сталкиваться связан со стремле нием использовать для анализа какие-то конкре тные виды математических моделей . Само принятие решения выходит за р амки математического моделирования и относи тся к компетенции ответственного лица котором у предоставлено право окончательногос рекомендац иями , вытекающими из математического расчета , еще ряд соображений , которые этим расчетом не были учтены . В зависимости от того , какой информ ацией обладают руководитель и его сотру дники , подготавливающие решения , меняются и у словия принятия решений и математические мето ды , применяемые для выработки рекомендаций . Если известны все действующие в си стеме факторы , то есть отстствуют случайные воздействия , то это будет принятие решений в условиях определенности . Когда решение может привести не к определенному исходу , а к одному из множества возможных с разными вероятностями и х осуществления , то принимающий решение риску ет получить не т результат , на котор ый он рассчитывает . Поскольку исход каждой конкретной реализации случаен и потому зар аее точно не предсказуем , метод называют приятием решений в условиях риска . Если же исход операции зависит не только от стратегии избраной руко вод ителем , но и от ряда факторов , не изве стных в момент принятия решения , например , действий кокурентов , такая задача называется принятием решений в условиях неопределенност и . Операцией называется комплекс мероприятий объединенных общим замысл ом и направ леных на достижение поставленной цели . Операц ия является управляемым мероприятием . В общем случае цель операции выраж ается в стремлении к достижению экстремальног о значения критерия эффективности . При наличи и еопределенности это уже не стро го математическая задача , которая дает однозначно е решение . Теперь она должна формулироваться следующим образом : При заданных ограничениях B1. . . В n найти такие элементы управления X1. . . Xm которые с уче том случайных воздействий Q1. . . Qr по возмо жнос ти обеспечивают максимальное значение критерия эффективности К max(min). Теперь нет уверенности в том , что можно будет получить решение , а если оно будет получено то нет г арантии в том , что оно будет правильным . Именно поэтому в формулировке з а дачи приходится делать оговорку "по во зможности ". Таким образом при решении проблем возникющих в реальной жизни математическая теория и научно обоснованные методы не дают точного решения . Причина этого в т ом , что когда нет точных данных , то ес ть нет полной информации остается лишь предполагать и строить догадки но не льзя считать что все предсказания сбудутся . И все таки решение , принятоматематических расчетов будет лучше чем взятое наугад . З адача состоит в том , чтобы это решение в возможно боль ш ей степени сод ержало черты разумности , именно в этом см ысле следует понимать определение " по возможн ости оптимальное ". Сложность математического модел ирования в условиях неопределенности зависит от того какова природа неизвестных факторов . По этому п р изнаку задачи дел ятся на два класса . 1) Стохастические задачи , когда неизвестные факторы представляют собой случайные величин ы , для которых известны законы распределения вероятностей и другие статистические харакер истики . 2) Неопределенные задачи , когда неизвес тные факторы не могут быть описаны статис тическими методами . Вот пример стохастической задачи : Мы решили организовать кафе . Какое количество посетителей придет в него за д ень нам неизвестно . Также неизвесно сколько времени будет про должаться обслуживание каждого посетителя . Однако характеристики этих случайных величин могут быть получены ст атистическим путем . Показатель эффективности , зав исящий от случайных величин также будет с лучайной величиной . В данном случае мы в качестве показателя эффективности берем не саму случайную величину , а ее среднее значени е и выбираем такое решение при котором это среднее значение обращается в максимум или минимум . Двойственные оценки , экономическая интерпретация и свойства Рассмотрим экономический смысл двойс твенных оценок (оценок оптимального плана ) на примере экономико-математической задачи наилучше го использования ресурсов (в частности фонда времени работы производственного оборудования ), формулируемой с разными критериями оп т имальности : 1. Максимум прибыли . 2. Минимум себестоимости . 3. Максимум выпуска продукции в заданном ассортиментном соотношении . Рассмотрим последовательно формулировку пр ямых и двойственных задач и проанализируем экономические свойства двойств енных оценок в каждом случае . $ 1 Оценки р есурсов - экономическая интерпретация Каноническая форма дает возможность экономической интерпрет ации значений двойственных переменных . В точк е оптимума двойственные переменные (у ) определ яются как относи тельные оценки дополните льных переменных прямой задачи линейного про граммирования . а ) Предположим что дополнительная переменная Х ij отвечающая i-му ограничению является небазисной в точке оптимума а са мо ограничение имеет вид : E Aij*Xj + Xs = Bi Т ак как Xs вне базиса равна н улю исходное ограничение E Aij*Xj <= Bi можно рассматривать как равенство в точке оптимума , т . е . E Aij*Xj = Bi Теперь по определению относительная оц енка этой небазисной переменной - это величина на которую может возрас ти целевая функция при увеличении этой переменной на единицу . Так как решение оптимально то относительная оценка положительна (неотрицательна ) и поэтому целевая функция должна уменьш аться если дополнительная переменная возрастает и возрастать если до п олнительная переменная уменьшается Пусть например i-я компонента вектора ограничений увеличилась на единицу , так что ограничение примет вид _ E Aij*Xj = Bi + 1 или после перестановки _ E Aij*Xj +(-1) = Bi то есть дополнительная переменная Xs должна принять значение равное -1 чтобы i-ое ограничение оставалось равенством а отн осительная оценка даст соответствующее приращени е целевой функции . Таким образом относительна я оценка i-ой дополнительной переменной дает величину прироста целевой фу н кции на единицу увеличения элемента Bi вектора ограничений . Так как элемент Bi обычно представ ляет собой объем i-го ресурса то относител ьная оценка равная Yi называется оценкой ресурс а (оценкой единицы i-го ресурса ) ибо она представляет относительную ценность еди ницы дополнительного ресурса . Эти относительые оценки являются маргинальными оценками в т ом смысле что они действительны лишь при таком диапазоне изменения ресурсов Bi когда текущий базис остается оптимальным . в ) Если дополнительная перем е нная является базисной в точке оптимума то ее отно сительная оценка по определению равна нулю . Это также имеет смысл так как если ресурс использован не полностью _ E Aij*Xj < Bi то цена которую мы должны были бы заплатить за дополнительную единицу э того ресурса равна нулю . Это приводит к условию дополняющей нежесткости : В оптимальном решении или E Aij*Xj = Bi или Yi = 0 (либо и то и другое ) или E Aij*Yi = Cj или Xj = 0 (либо и то и друго е ) Заметим что переменные Y недопустимы на протяжении всех итераций симплекс-метода до тех пор пока не будет достигнуто оптимальное решение . МАРГИНАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ Оценки ресу рсов связаны скорее с ограничениями а не с переменными . Однако они часто используются для вычисления оценочных или стоимостны х пок азателей , связанных с переменными прямой зада чи . Рассмотрим пример . Пусть в задаче связ анной с суточной переработкой нефти некотора я переменная Xj соответствует объему неочищенной нефт закупаемой по цене 12. 65 долл /баррель (С j = -12. 65) Суще с твует ограничение сверху на объем закупаемой по этой цене неочи щенной нефти равный 50 тыс . баррель /день . Это можно записать уравнением : Xj + Xs = 50 Где Xs - это дополнительная переменная . Пу сть она имеет относительную оценку равную 1. 04 долл /барр ель в оптимальном решении - что это означает ? Оценка ресурса неочищенн ой неочищенной нефти равна 1. 04 долл /баррель , но это вовсе не означает , что мы д олжны были заплатить только 1. 04 долл за каж дый дополнительный баррель неочищенной нефти . Это означает что мы должны быть готовы заплатить еще по 1. 04 долл /баррель за возможность покупать дополнительный объем этой нефти при условии , что последующие з акупки будут осуществляться по цене 12. 65 долл /баррель : то есть целевая функция будет увели ч иваться на 1. 04 долл за каждый дополнительный баррель , который мы сможем купить по цене С j уже учтенной в це левой функции . Это означает , что м должны быть готовы к повышению цены до 12. 65 + 1. 04 = 13. 69 долл /баррель за дополнительную поставку н еочищенной нефти . Заметим , что 13. 69 долл /баррель - это ра вновесная цена при которой мы будем увели чивать нашу целевую функцию Р , если будем покупать по более дешевой цене чем э та : будем уменьшать Р если будем покупать за большую цену : сохрани м Р неизм енной если будем покупать точно за 13. 69 долл /баррель . Если мы определим что МАРГИНАЛЬНАЯ ОЦЕНКА = РАВНОВЕСНАЯ ЦЕНА ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ ЦЕНА , то в нашем при мере МАРГИНАЛЬНАЯ ОЦЕНКА = 13. 69 - 12. 65 = 1. 04 долл /баррель . Маргинальная оценк а переменной Xj - мэ то чистый доход , который может быть получ ен за каждую единицу Xj закупленную сверх с уществующего лимита и равна оценке ресурса , то есть двойственной переменной того условия задачи которое ограничивает количество имеющег ося ресур са Маргинальная оценка остается постоянной только внутри некоторой окрестности существующ его оптимума , соответствующей пределам , внутри которых текущий базис остается оптимал ьным как при увеличении так и при уме ньшении объема ресурсов (объема зак упок ). Относительную оценку которая отвечает небазис ной переменной равной своей нижней границе часто рассматривают как чистый эффект этой переменной . Если принимают решение (неоптимал ьное ) увеличить небазисную переменную равную своей нижней границе т о эта отн осительная оценка показывает уменьшение Р на единицу увеличения переменной (до некоторых пределов ). Здесь относительные оценки указыва ют на эффект (убытки ), обусловленный отклонени ем от оптимального решения . Так как компоненты вектора Aj (гд е j - номер небазисной переменной ) показывают величину изменения значений текущих базисных переменных то их часто называют (маргинальными ) нормами замещения , так что Aij - это норма замещения способа производст ва i на способ производства j. ДИАПАЗОНЫ УСТОЙЧИВОСТИ Часто говорят , что постоптимальный ана лиз - наиболее важная часть линейного программ ирования и нетрудно понять почему делается такой вывод . Большая часть параметров зада чи ЛП точно не известна и на практике обычно берутся приближенные значения , которым должны быть равны эти параметры . Таким образом нас интересуют такие диапазоны изменения этих параметров , в которых опт имальное решение остается оптимальным в том смысле , что не меняется базис . Исследуем три класс а параметров : коэффициенты целевой функции Cj компоненты вектора ограничений Bi коэффициенты матрицы Aij Изменения коэффициентов целевой функции а ) Небазисная переменая Изменение коэффициента целевой функции небазисной переменной влияет на о тноси тельную оценку только этой переменной . Пусть коэффициент целевой функции изменится на величину q тогда _ _ Cj = Cj + q отсюда Dj = Dj - q Например пусть матрицей А задан пр оизводственный процесс и пусть переменная Xj пр едставляет количество некоторого производимого продукта , который может быть продан по цене Cj = 20 долл /ед В оптимальном решении э та переменная небазисная (=0) и ее относительная оценка = 1. 40 долл /ед Таким образом если цен возрастет до 21. 40 долл /ед продукта то относи т ельная оценка станет = 0 и дальнейшее увеличение цены приведет к отри цательной относительной оценке . Это означает что текущее решение перестает быть оптимальн ым . В таком случае выгодно производить пр одукт представленный переменной Xj Следовательно 2 1 . 40 долл /ед продукта это равновес ная цена для Xj , при любой более низкой цене оптимальное решение будет состоять в том чтобы совсем не производить этот п родукт ( Xj остается небазисным ) а при более высокой цене выгодно ввести Xj в базис . Для неба з исной переменной диапазон у стойчивости в котором Cj может меняться так чтобы текущее решение оставалось оптимальным задается выражением _ _ Cj + q, где -оо < q <= Dj и где Dj - относительная оценка переменной Xj отвечающая оптимальному решению . З амети м что при любом отрицательном q относительная оценка этой переменной останется положительн ой . Многие ППП ЛП дают информацию и о диапазоне изменения переменной Xj (от нулевого до некоторого предельного _значения ) при к отором не происходит смены ба з иса . Если q = Dj то относительная оценка = 0 что озн ачает что Xj можно увеличивать не меняя зна чения целевой функции . Предельное значение до которого можно увеличивать Xj определяется фор мулой MIN (B/Aj)i Например предположим что в оптималь ном решен и и вектор базисных перем енных , -1 -1 текущий вектор ограничений B=B * b и векто р Aj=B *aj заданы в виде : X5 3. 2 0. 6 Xb = X1 B = 1. 5 Aj = 0. 3 X6 5. 6 -1. 2 Тогда получаем MIN (Bi/Aij) = 1. 5/0. 3 = 5. 0 Таким образом мы можем сделать выв о д о том что при цене в 21. 40 дол л /ед продукта или более становится выгодн ым производить продукт Xj то есть продукт к оторому отвечает переменная Xj ; на каждую едини цу произведенного продукта Xj переменные X5 X1 X6 уменьша ются соответственно на 0. 6 0. 3 -1. 2 единиц . Если мы произведем 5. 0 ед продукта Xj то переменная X1 обратится в нуль и дальнейшее увеличени е Xj потребует смены базиса . Заметим , что мы получили всю информацию не решая задачу заново , для продолжения анализа нам потр ебуется л ишь выполнить операцию иск лючения соответствующую изменению базиса . б ) Базисная переменная Изменение коэффициента целевой функции базисной переменной влияет на относительные оценки небазисных переменных Рассмотрим увелич ение коэффициента целевой функции i-ой б аисной переменной . В этом случае вектор к оэффициентов целевой функции изменится следующим образом _ Cb = Cb + q*Ei, где Ei - вектор специального вида i-ая компонента которого = 1 а остальные нулю . Н апример E3 = 0 Относительная оце нка j-ой небазисной переменной станет теперь равной Dj = Dj + q*Aij Для того чтобы решение оставалось оптимальным должно выполняться условие Dj => 0 то есть Dj^ + q*Aij => 0, где Dj^ - относительная оце нка соответствующая текущему оптимальному р ешению . Для базисной переменной диапазон устой чивости в котором может изменяться Ci оставляя оптимальным текущее решение адается выражен ием Ci + q, где MAX Dj^/-Aij <= q <= MIN Dj^/-Aij i/Aij>0 i/Aij<0 Если отсутствуют коэффициенты Aij < 0 то q < +oo и аналогично если нет Aij > 0 то q > -oo Например пусть оптимальное решение зад ано следующим образом : Максимизировать Р = 31. 5 -3. 5X4 -0. 1X3 -0. 25X5 При условиях X1 = 3. 2 -1. 0X4 -0. 5X3 -0. 60X5 X2 = 1. 5 +0. 5X4 +1. 0X3 -1. 00 X5 X6 = 5. 6 -2. 0X4 -0. 5X3 -1. 00X5 Если коэффициент целевой функции перем енной X2 станет равным С 2 + q то относительные оценки небазисных переменных изменятся следующим образом : D4 = 3. 5 + q*(-0. 5) D3 = 0. 1 + q*(-1. 0) D5 = 0. 25 + q*(+1. 0) Заметим что величины Aij имеют знаки противоположные тем , что приведены выше . Диапазон значений для q вычисляется в соответствии с формулой : (0. 25/-1. 0) <= q <= MIN (3. 5/0. 5 , 0. 1/1) -0. 25 <= q <= 0. 1 Если q принимает значение ра вное одной из двух границ то относительная оценка некоторой небазисной переменной становитс я равной нулю Предельное значение до кото рого можно увеличивать такую переменную вычи сляется как и в предыдуащем примере с небазисными переменными Так в нашем примере при q = 0. 1 отн осительная оценка переменной X3 равна нулю так что если коэффициент целевой функции пер еменной X2 увеличится на 0. 1 или более станет выгодно производить X3 и мы сможем производить MIN 3. 2/0. 5 , 5. 6/0. 5 = 6. 4 единиц X3 к огда X1 обратится в нуль и потребуется изменение базиса . 1. Существует диапазон изменения q коэффициент ов целевой функции как базисных так и небазисных переменных в которых текущее оп тимальное решение остается оптимальным . Для н ебазисных переменных существует только верх няя граница диапазона изменения q ; для базисны х переменных обычно существует и нижняя и верхняя граница . При значении коэффициента целевой функ ции , выходящем за пределы этого диапазона текущее оптимальное решение становится н еоптимальным , так как появится небазисная пер еменная с отрицательной относительной оценкой . 2. Изменение коэффициента целевой функции базисной переменной приводит к изменению з начения целевой функции . 3. Эффект от изменения коэффициентов цел евой функции можно рассматривать с дв ух позиций : с точки зрения сбыта нас и нтересуют равновесные цены ; с точки зрения производства нас интересует диапазон изменения коэффициентов целевой функции , в пределах которого текущий план ( представленный тек у щим базисом ) остается оптимальным . Изменение ко мпонент вектора ограничений Рассмотрим влияние изменения Bi = Bi + q для некот орого 1 <= i <= m Обычно принято рассматривать случай , когда компонента Bi является правой частью огр аничения-неравенств а в которое введена до полнительная переменная . Мы хотим определить такой диапазон изменения Bi в котором текущее решение остается оптимальным . В случае о граничения-равенства мы могли бы рассматривать соответствующую искусственную переменную как н еот р ицательную дополнительную (которая должна быть небазисной в допустимом решени и ) а ) Базисная дополнительная переменная Если дополнительная переменная i-го огр аничения базисная то это ограничение не я вляется активным в точке оптимума . Анализ прост : значение дополнительной базисой пе ременной дает диапазон изменения , в котором соответствующая компонента Bi уменьшается (увеличи вается в случае ограничения типа =>). Решение остается допустимым и оптималь ным в диапазоне Bi + q, где -Xs <= q <= +oo для ограничений типа <= -oo <= q <= Xs для ограничений типа => Здесь Xs - значение соответствующей дополнител ьной переменной . Например рассмотрим ограничение- неравенство : 3X1 + 4X2 + 7X3 <= 100 Приведем его к равенству введя доп олнительную п еременную 3X1 + 4X2 + 7X3 + X4 = 100 Если в оптимальном решении X4 = 26 то ос тавшиеся переменные удовлетворяют неравенству : 3X1 + 4X2 + 7X3 <= 74 а также любому неравенству того же вида со значением правой части большим 74. б ) Небазисная допо лнительная переме нная Если дополнительная переменная небахзисная и равна нулю , то исходное ограничение-нерав енство является активным в точке оптимума . На первый взгляд может показаться что так как это ограничение активное то отсут ствует возможность изменения значения право й части такого ограничения , в частности в озможность уменьшения значения Bi (для ограничений типа <=). Оказывается что изменяя вектор В мы меняем также вектор Xb и так как существует диапазон изменений в котором Xb н еотрицате л ен , то решение остается еще и оптимальным в том смысле , что базис не меняется . (Заметим что при этом изменяется значение как Xb так и Р ). Рассмотрим ограничение :Ak1X1+Ak2X2 +. . . +Xs = Bk где Xs - дополн ительная переменная . Пусть теперь правая часть станет равной Bk + q, тогда уравнение мож но переписать так : 1. 1) Ak1X1+Ak2X2 +. . . +(Xs-q) = Bk Так что (Xs - q) заменяет Xs Следовательно , есл и в оптимальном решении переменная Xs небазисна я и равна нулю то мы имеем Xb = B - As*(-q) гд е As - столбец конечной таблицы соответствую щий Xs. Так как Xs должен оставаться неотрицатель ным то мы получаем соотношение : B - As*(-q) => 0 которое определяет диапазон изменения q: MAX Bi/-Ais <= q <= MIN Bi/-Ais i/Ais>0 i/Ais<0 Если нет ни одного Ais > 0 то q > -oo, а если нет ни одного Ais < 0 то q < +oo Для ограничений типа => q меняет знак , так как вместо неравенства E AijXj => Bi мы можем рассматривать -E AijXj <= -Bi Поэтому в уравнении 1. 1) вместо +(Xs-q) мы д олжны писат ь -(Xs+q). Снова рассмотрим пример : Максимизировать Р = 31. 5 -3. 5X4 -0. 1X3 -0. 25X При условиях X1 = 3. 2 -1. 0X4 -0. 5X3 -0. 60X5 X2 = 1. 5 +0. 5X4 +1. 0X3 -1. 00X5 X6 = 5. 6 -2. 0X4 -0. 5X3 -1. 00X5 Пусть X4 - дополнительная переменная н екоторого ограничения i (типа <=). Если компонену Bi изменить на величину q, мы получим : X1 = 3. 2 - 1. 0*(-q) X2 = 1. 5 + 0. 5*(-q) X6 = 5. 6 - 2. 0*(-q) 3. 2 1. 0 то есть B = 1. 5 As = -0. 5 5. 6 2. 0 Тогда , X1 => 0 при 3. 2 - 1. 0* (-q) => 0, то есть q => 3. 2/-1. 0, X2 => 0 при 1. 5 + 0. 5*(-q) => 0, то еасть q <= 1. 5/0. 5, X6 => 0 при 5. 6 - 2. 0*(-q) => 0, то есть q => 5. 6/-2. 0 Значит q может меняться в диапазоне : MAX 3. 2/-1. 0; 5. 6/-2. 0 <= q <= 1. 5/0. 5 , то есть -2. 8 <= q <= 3. 0 ВЫРОЖДЕННОСТЬ 1. Вырожденность прямой задачи Вырожденное решение прямой задачи характе ризуется тем , что его базисная компонента равна нулю . Вырожденность прямой задачи мож ет часто проявляться через промежуточные (неоптимальные ) вырожденые базисные решения . Так например не произойдет улучшения целевой функции от введения в базис переменной , для которой положительна соответствующая комп онента вектор а Aq. Возможен случай , когда прямая задача ЛП имеет выр ожденое промежуточное но невырожденное оптимальое решение . Если оптимал ьно решение прямой задачи вырождено , то д войственная задача имеет бесконечно много оп тимальных решеий . 2. Вырожденность двойственой задачи С вырожденностью двойственной за да чи мы сталкиваемся , когда относительная оценк а , отвечающая небазисной переменной , равна ну лю . Это означает , что небазисная переменна я может увеличиваться , не меняя при этом значения целевой функции . Если такая нул евая относительная оцен ка соответствует оптимальному решению , то имеется множество оп тимальных решений так как Р не меняется ). Заметим , что мы получили вырожденное реше ние двойственной задачи , отвечающее границе д иапазоа устойчивости коэффициента целевой функци и , а также вырожденное решение пря мой задачи соответствующее границе диапазона устойчивости компоненты вектора ограничений . Как пример источника ценной информации , получаемой при постоптимальном анализе , рас смотрим следующую производственную задачу . Предприятие по переработке руды производит два сорта очищенной продукции , которая про дается предприятиям металлургической промышленности . Схема работы предприятия выглядит следующим образом . Перерабаты ваются два вида руды : А и В . Заводу может быть поставлено д о 100 тыс . т в день руды вида А по цене 3. 25 долл /т и д 30 тыс . т в день руды вида В более высокого качества по цене 3. 40 долл /т . Общая мощность основного процесса переработки равна 100 ты с . т руды в день при затратах на пере работку 0. 35 долл . /т . Основной процесс переработки позволяет получить из каждой тонны руды вида А 0. 15 т продукта 1 и 0. 85 т продукта 2, а из к аждой тонны руды вида В 0. 25 т продукта 1 и 0. 75 т продукта 2. Продукт 1 более ценный , и агрегат , н азываемый конвертером , способен из каждой тон ны продукта 2 получить 0. 5 т продукта 1 и 0. 5 т продукта , который может быть продан как продукт 2, но который нельзя повторно перера батывать конвертером . Мощ ность конвертера 50 тыс . т сырья в день при затратах н а конвертерную обработку 0. 25 долл /т сырья . У словия реализации следующие . Продукт 2 может бы ть продан в неограниченном количестве по цене 3. 8 долл /т , продукт 1 продается по цене 5. 5 долл /т и е го можно продат ь по этой цене до 45 тыс . т /день . Сущ ествующий контракт требует , чтобы менее 40 тыс . т /день продукта 1. Запасы продукта 1 могут увеличиваться со скоростью 4 тыс . т /день и эти запасы оцениваются из расчета 5. 20 д олл /т . Излишек проду к та 1 может быть продан в неограниченном количестве по пониженной цене равной 5. 0 долл /т . Оба продукта можно при необходимости докупить : за купочная цена продукта 1 равна 5. 75 долл /т ; за купочная цена продукта 2 равна 4. 0 долл /т . Для построения мод ели введем с ледующие обозначения переменных : X1 - количество переработанной руды вида А X2 - количество переработанной руды вида В X3 - количество докупленного продукта 1 X4 - количество докупленного продукта 2 X5 - количество продукта 2 перерабо танного в конвертере X6 - количество продукта 1 на складе X7 - количество продукта 1 проданного по по ниженной цене X8 - дополнительная переменная ограничения на используемые ресурсы руды вида В (<=30) X9 - дополнительная переменная условия , огра ничивающего сверху количество продукта 1 к оторое можно продать по обычной цене (<=45) X10 - дополнительная переменная условия , ограни чивающего снизу количество продукта 1 которое можно продать по обычной цене (<=40) X11 - дополнительная переменна я условия , ограничивающего сверху объем складируемого за паса продукта 1 (<=4) X12 - дополнительная переменная условия , ограни чивающего сверху мощность основного процесса обработки (<=100) X13 - дополнительная переменная условия , ограни чивающего сверху мощность конвертера (<=50) X14 - излишек продукта 2, который идет непос редственно на продажу не проходя конвертерно й обработки Ограничения 0. 15X1 + 0. 25X2 + X3 + 0. 5X5 - X6 - X7 + X9 = 45 [ 1 ] 0. 15X1 + 0. 25X2 + X3 + 0. 5X5 + X6 - X7 - X10 = 40 [ 2 ] X2 + X8 = 30 [ 3 ] X6 + X11 = 4 [ 4 ] X1 + X2 + X12 = 100 [ 5 ] X5 + X13 = 50 [ 6 ] - 0. 85X1 - 0. 75X2 - X4 + X5 + X4 = 0 [ 7 ] Целевая функция 5. 50*(0. 15X1 + 0. 25X2 + 0. 5X5) + 3. 80*(0. 85X1 + 0. 75X2 - 0. 5X5) - 0. 35*(X1 + X2) - 3. 25X1 - 3. 40X2 - 0. 25X5 - 0. 1*(0. 15X1 + 0. 25X2) - 0. 25X3 - 0. 20X4 - 0. 30X6 - 0. 5X7 - MAX 0. 825X1 + 1. 375X2 + 2. 750X5 + 3. 230X1 + 2. 85X2 - 1. 9X5 - 0. 35X1 - 0. 35X2 - 3. 25X1 - 3. 40X2 - 0. 25X5 - 0. 015X1 - 0. 025 X2 - 0. 25X3 - 0. 20X4 - 0. 30X6 - 0. 5X7 -> MAX 0. 44X1 + 0. 45X2 + 0. 6X5 - 0. 25X3 - 0. 2X4 - 0. 3X6 - 0. 5X7 -> MAX Оценки ре сурсов Оценка ограничения на мощность основно го процесса переработки равна 0. 44 долл /т (от носительная оценка , соответствующая переменной X12 равна 0. 44). Эта оценка справедлива в диапа зоне изменения мощности основного процесса о пределяемом выражением 100 + q, где MAX 3/-0. 15; 70/-1; 32/-0. 85 <= q <= MIN 2/0. 15 отсюда -20 <= q <= 13. 33 Таким о бразом , текущий доход мо жно увеличить на 0. 44 долл . за каждую тонну увеличения мощности основого процесса обрабо тки , если будем увеличивать эту мощность лишь до 113, 33 тыс . т /день . Оценка ограничения на мощность конверт ера равна 0. 6 долл /т ( относительная оценка , соответствующая переменной X13 равна 0. 6) Эта оце нка справедлива в диапазоне изменения 50 + q, где MAX 3/-0. 5; 50/-1 <= q <= MIN 2/0. 5 отсюда -6 <= q <= 4 Таким образом , текущий доход можно увеличит на 0. 6 долл. за каждую тонну увеличения мощности конвертера , если будем ув еличивать эту мощность лишь до 54 тыс . т /день . Маргинальная оценка Маргинальная оценка руды В равна 0. 01 долл /т и справедлива в диапазоне 30 + q, где MAX 3/-0. 1; 30/-1 <= q <= MIN 2/0. 1; 70/1; 32/0. 1 отсюда -30 <= q <= 20 Если л q = -30, то X2=0, то есть руда вид а В закупаться не будет . Если q = 20, то X2=50, то есть можно покупать до 50 тыс . т руды В в день . Можно сделать вывод , что мы получим чисты й доход по 0. 01 долл . за каждую тонну руды вида В , купленную сверх 30 т ыс . т /день , при условии , что общее кол ичество покупаемой руды этого вида не пре высит преела 50 тыс . т /день , при котором меняется маргинальная оценка из-за изменения базис а . Точно так же мы потеряем по 0. 01 долл . за каждую недостающую тонну руды вида В , если мы будем покупать меньше 30 тыс . т /день . Мы можем рассуждать иначе , а именно , что мы могли бы вести переговоры о дополнительной закупке руд ы вида В сверх 3 0 т /день (но не более чем на 20 тыс . т /день ) по цене до 3. 40 + 0. 01 = 3. 41 долл /т . Изменения коэффициентов целевой функции 1. ( Небазисные переменные ) X4: относительная оценка = 0. 2 Естли продукт 2 можно покупать по 4. 00 - 0. 2 = . 80 д олл /т или дешевле , то это в ыгодно делать и мы можем покупать неогран иченное количество этого продукта . X6: относительная оценка = 0. 3 Если цена продукта 1 хранимого на ск ладе увеличится до 5. 20 + 0. 30 = 5. 50 долл /т или более то выгодно храни ть запас , увеличивая его до MIN 3/1, 4/1 = 3 тыс . т /день ( до того как произойдет смена базиса ). X7: относительная оценка = 0. 5 Если пониженная цена продукта 1 возрасте т до 5. 00 + 0. 5 = 5. 50 долл /т или более , его выгод но продавать на т аком рынке , причем ежеднневно можно продавать до 3 тыс . т , п режде чем изменится базис . X3: относительная оценка = 0. 25 Если продукт 1 можно купить по цене 5. 75 - 0. 25 = 5. 50 долл /т или дешевле , выгодно сделат ь это , причем можно покупать до 2 тыс . т /день прежде чем изменится базис . 2. ( Базисные переменные ) X2: коэффициент целевой функции = -3. 40 Коэффициент целевой функции может меня ться в диапазоне С 2 + q, где 0. 01/-1 <= q <= оо Если цена руды вида В станет ра вной 3. 41 долл /т или более ( С 2 = -3. 40 - 0. 01 ) то выгодно увеличить X8, т . е . уменьшить количест во покупаемой руды вида В ; диапазон измен ения X8 задается соотношениями MAX 2/-0. 1; 70/-1; 32/-0. 1 <= X8 <= MIN 3/0. 1; 30/1 Обычно нас интересую т только п оложительные пределы . В нашем примере X8 может меняться до 30 тыс . т /день , прежде чем потребуется изменить базис ( X2 оратится в нуль ). Исследование полученных результатов показы вает , что вычисление пределов осуществляется аналогично в ычислению маргинальных оцен ок , выполненномоу ранее . Это указывает нам путь вычисления маргинальных оценок для переменных , которые н е равны значению своей верхней границы ( к ак мы увидим для руды вида А ( X1 ) ) X1: коэффициент целевой функции = - 3. 25 Коэффициент целевой функции может меня ться в диапазоне С 1 + q, где - 0. 44 <= q <= 0. 01 Если цена руды вида А уменьшится до 3. 24 долл /т или еще меньше ( С 1 = -3. 25 + 0. 01 ), то станет выгодно увеличить X8 ( т . е . заменит ь руду вида В рудой вида А ) до X8 = 30, что соответствует X1 = 100, X2 = 0. Таким образом маргин альная оценка руды вида А в диапазоне 50-70 тыс . т /день равна 0. 44 долл /т . Заметим , что скачок маргинальной оценк и , отвечающей базисной переменной , проис х одит при значении , которое эта переменная i принимает в оптимальном решении ( в нашем примере при X1 = 70 ) Маргинальные оценки интерпретир уются несколько иначе , чем изменения цен , требующиеся для того , чтобы изменить операти вный план . Если р у да вида А может быть закуплена дешевле на 0. 01 долл / т , то от замены такой рудой руды вида В целевая функция не изменится ; если цена руды вида А возрастет на 0. 44 долл /т , то уменьшение ее закупки на величину , не превосходящую 20 тыс . т /день , т а кже не изменит значения целевой функц ии . Изменения компонент вектора ограничений 1. ( Базисная дополнительная переменная ) Величина изменения может быть вычислен а непосредственно : X9 = 2 и X10 = 3 указывают , что количество продукт а 1, кот орое можно продавать по обычно й цене равно 43 ( меньше верхней границы на 2 и больше нижней границы на 3 ). Значение X11 показывает , что верхний пред ел запаса продукта 1 может быть уменьшен н а 4. 2. ( Небазисная дополнительная переменная ) Ди апазоны изменения компнент векто р ограничений уже рассматривались выше при обсуждении оценок ресурсов , маргинальных оцено к и изменений коэффициентов вектора целевой функции . Однако нам может понадобиться и сследовать отдельно влияние изменения имеющи х ся ресурсов безотносительно к из менению цен . Поэтому мы кратко просуммируем результаты изменения только компонент вектора ограничений и укажем диапазоны , внутри к оторых текущее решение останется оптимальным . X12: Мощность основного процесса обраб отки может меняться в диапаз MAX 3/-0. 15; 70/-1; 32/-0. 85 <= q <= MIN 2/0. 15 т . е . -20 <= q <= 13. 33 X8: Ресурсы руды типа В могут менятьс я в диапазоне 30 + q, где MAX 3/-0. 1; 30/-1 <= q <= MIN 2/0. 1; 70/1; 32/0. 1 т . е . -30 <= q <= 20 X13: Мощность конвертера может меняться в диапазоне 50 + q, где MAX 3/-0. 5; 50/-1 <= q <= MIN 2/0. 5 т . е . -6 <= q <= 4 Оптимальность сохраняется в том смысле , что базис не меняется , хотя значения переменных и целевой функции меняю тся , но остаются допустимыми . Задача к семинарскому занятию Предприятие может перерабатывать двавида руды : руда вида А может быть поставлена в объеме 50 тыс . т /день по цене 2. 80 до лл /т , руда вида Б может быть поставле на в объеме 75 тыс . т /де нь по це не 2. 50 долл /т . Оба вида руды проходят через блок основной переработки . На заводе есть еще три блока , ксплуатационные затраты и пре дельные мощности которых задаются следующей таблицей : Блоки Эксплуатационные Предельные мощности затрат ы ($/т ) тыс . т /день Блок основной переработки 0. 20 100 Обогащение 0. 15 25 Измельчение 0. 10 40 Очистка 0. 15 40 Данные о продаже : Продукт Доход (долл /т ) Потребление (М АХ ) 1 6. 00 Не ограничео 2 5. 00 60 тыс . т /день 3 4. 00 Не огр аничено Выход продуктов ( в т /т сырья ) Процесс основной обработки Обогащение Руда А Руда Б proc1 proc2 gr1 proc1 0. 15 0. 12 tret1 0. 15 0. 20 0. 18 proc2 0. 10 0. 10 tret2 0. 35 0. 38 0. 40 proc3 0. 20 0. 15 tret3 0. 50 0. 42 0. 42 proc4 0. 23 0. 25 proc5 0. 32 0. 33 Измельчение Очистка proc4 proc5 proc3 gr2 gr1 0. 15 0. 10 gr2 0. 20 0. 20 ref2 0. 55 0. 70 gr3 0. 25 0. 35 gr4 0. 40 0. 35 Каждый столбец соответствует потоку по ступающего сырья , так чтотим данным м ожно легко построить блок-схему потоков . Характеристика качества продукта : Продукты 1 и 3 не имеют никаких огран ичений на качество . Продукт 1 состоит из tret1 и ref1. Продукт 3 состоит из tret3, ref2 и gr4. Продукт 2: % окиси металла => 5 5 Запасы смесей сырья для продукта 2: tret2 tret3 ref1 ref2 gr3 gr4 % окисей металлов 65 60 53 50 45 40 Мы хотим максимизировать чистый доход за день ! МАТЕМАТИЧЕСКА Я МОДЕЛЬ x1 + x21 = 50 . . . . ruda1 x2 + x22 = 75 . . . . ruda2 x1 + x2 + x23 = 100 . . . . blok osn 0. 15x1 + 0. 12x2 = x3 . . . . pr1 0. 10x1 + 0. 10x2 = x4 . . . . pr2 0. 20x1 + 0. 15x2 = x5 . . . . pr3 0. 23x1 + 0. 25x2 = x6 . . . . pr4 0. 32x1 + 0. 33x2 = x7 . . . . pr5 0. 15x6 + 0. 10x7 = x9 . . . . gr1 0. 20x6 + 0. 20x7 = x10 . . . . gr2 0. 25x6 + 0. 35x7 = x11 . . . . gr3 0. 40x6 + 0. 35x7 = x12 . . . . gr4 0. 15x3 + 0. 20x4 + 0. 18x9 = x13 . . . . tr1 0. 35x3 + 0. 38x4 + 0. 40x9 = x14 . . . . tr2 0. 50x3 + 0. 42x4 + 0. 42x9 = x15 . . . . tr3 0. 45x5 + 0. 30x10 = x16 . . . . ref1 0. 55x5 + 0. 70x10 = x17 . . . . ref2 0. 5x13 + 0. 5x16 = x18 . . . . Q1 0. 3x15 + 0. 3x17 + 0. 4x12 = x19 . . . . Q3 65x14 + 60x15 + 53x16 + 50x17 + 45x11 + 40x12 = 55x20 УСТРОЙСТВО ПК Пер сональный компьютер - это настоль ная ЭВМ организованная таким образом , что для работы на ней не обязательно быть специалистом по вычислительной технике и программированию , а достаточн о иметь лишь самое общее представление об ЭВМ . Наибол ьшее распр о странение в мире получ или компьютеры фирмы IBM - IBM PC. Типовая система IBM PC включает системный б лок , где размещены основая электроника компью тера и накопители , клавиатуруЂ , дисплей и принтер . Системный блок имеет размеры поря дка 15*40*50с м и весит около 13 кг . Внутри системного блока находятся глав ные компоненты , выполняющие функции компьютера : блок питания , основная системная плата (цен тральный процессор ) с микросхемами памяти , и гнезда для подключения дополнительных устро йств . Cистемный блок IBM PC состоит из следующих основных компонентов : 1. Центральный процессор представляющий собо й микросхему , и включающий в себя : А ) Устройство управления , интерпретирующее команды компьютера и инициирующее сигналы , котор ые заставляют схемы компьютера в ыполнять определенные действия ; Б ) Арифметико-логическое устройство выполня ющее все вычисления . Центральный процессор оп ределяет быстродействие компьютера . Модель IBM PC/AT исп ользует микропроцессор Intel-80286 и мате матический сопроцессор Intel-80287 обеспечивающие достаточно высокую производительность и быстродействие . 2. Блок памяти , котоый используется для хранения программ , данных и результатов . Этот блок включает в себя два типа п амяти : А ) Оператив ное запоминающее устройс тво (ОЗУ ) - Оперативная память в которой рас полагаются программы , выполняемые компьтером и данные используемые программами . Емкость опера тивной памяти обычно равна 640 Кбайт (байт-единиц а информации ). Из ОЗУ можно считывать и в него записывать информацию . При выключении питан хранившаяся в ОЗУ будет потеряна , если она предварительно не сох ранена на диске . Б ) Постояное запоминающее устройство (ПЗ У ) - Основная память из него можно только считывать информацию . В ПЗУ прог раммы записываются при изготовлении компьютера и остаются там даже при отсутствии питания . В ПЗУ хранится часть операционой систем ы DOS, которая обеспечивает тестирование компьютера , начальную загрузку операционной системы , а также выполнение ос н овных низкоу ровневых услуг ввода-вывода . 3. Контроллеры - электроанные схемы , управляющ ие работой различных устройств входящих в компьютер (дисководов , монитора и . т . д . ). 4. Порты ввода-вывода через которые проце ссор обменивается данными с внешними устройствами . Имеются специализированые порты , че рез которые происходит обмен данными с вн утренними устройствами компьютера , и порты об щего назачения , к которым могут подключаться различные дополнительные вешние устройства ( принтер , мышь и . т . д . ). Порты общего назначения бывают двух видов : параллельные (обозначаемые LPT1, LPT2. . . ) и асинхр онные последовательные (обозначаемые COM1, COM2. . . ). Параллельн ые порты выполняют ввод и вывод с бол ьшей скоростью чем последовате льные , но требуют и большего числа проводов для обмена данными . 5. Дисководы для гибких магнитных дисков - дискет , используемые для чтения и запис и на дискетах . Наиболее распространены дискет ы размером 5. 25 дюйма (133мм ) В настоящее время чащ е всего используются дискеты емко стью 360 Кбайт и 1. 2 Мбайта . Для чтения и з аписи дискет емкостью 1. 2 Мбайта предназначены специальные дисководы , которые устанавливаются н а компьютерах моделей IBM PC/AT. Эти дисководы могут также читать дикеты е м костью 360 Кбайт . Часто используются и накопители на дискетах размером 3. 5 дюйма (89мм ) и емкостью 0. 7 и 1. 4 Мбайта . Дискеты - прецезионные устройства и пото му требуют очень аккуратного обращения . Во избежание порчи записанной на дискетах инф ор мации их следует хранить подальше о т источников магнитных полей телевизоров , эле ктромотор . д . Дискеты не следует гнуть и трогать руками открытые участки магнитного покрытия . Большинство дискет имеет защиту от случайной порчи содержащейся на них и н формации . Так дискеты размером 5. 25 дюйма имеют на боковй кромке прорезь разр ешения записи позволяющую производить запись на дискете при установке ее в дисковод . Чтобы защитить такую дискету , достаточно з акрыть вырез непрозрачной наклейкой . При э т ом повторная запись необходимо е е специальным образом отформатировать . 6. Накопитель на жестком диске - винчестер , предназначенный для постоянного хранения ин формации , используемой при работе с компьютер ом : программ операционной системы , част о используемых ПП , редакторов документов , тран сляторов с языков программирования и . т . д . Наличие винчестера зачительно повышает удоб ство работы с компьютером . По сравнению с гибкими дисками время доступа к информац ии на жестком диске значительн о меньше . На моделях IBM PC/AT жесткий диск чаще в сего имеет емкость 40 Мбайт . Клавиатура IBM PC - размеры 6*20*51 см . , устройство , предназначенное - - для ввода в компьютер инфо рмации . Наиболее широкое распространение получила клавиатура с 10 2 клавишами , (где некотор ые клавиши продублированы в целях удобства работы ), которые могут генерировать все 128 си мволов в кодах ASCII (Американский стандартный код для обмена информацией ), а также специаль ные символы и графические знаки . Рспол о жение латинских букв на клавиату ре IBM PC, как правило такое же как на анг лийской пишущей машинке , а букв кириллицы - как на русской пишущей машинке . С правой стороны клавиатуры имеются цифровые клавиши , некоторые из них использ уютсям также для управления курсором - (к лавиши со стрелками , клавиши Home, End, Page Up, Page Down). Для уд обства пользователя часть этих клавиш продуб лирована . В верхнем ряду расположены 12 программир уемых функциональных клавиш . Функции этих кла виш прогр аммируются разработчиком математиче ского обеспечения . Обычно их действие указыва ется в нижней части экрана . На клавиатуре есть еще ряд специал ьных клавиш : Enter, Control, Altenate, Tab, Insert, Delete и другие . Некоторые из этих клавиш м ожно нажимать одно временно , чтобы выполнять специальные функции . Например нажимая клавиши CTRL, ALT и DEL можно пере загрузить систему (так называемая "теплая пере загрузка DOS"). Нажатие на любую клавишу в теч еие полусекунды приведет к автоматичес к ому повторению символа . В отличие от клавиатур других компьютеров клавиатура IBM PC со держит электронные схемы , расширяющие возможност и клавиш и позволяющие переопределять их . Дисплей и принтер - эти устройства д елают компьютер законченной систем ой . Дисплеи (мониторы ) бывают цветными и монохромными . Они могут работать в одном из двух режимов : текстовом или графическом . В текстовом режиме экран монитора услов но разбивается на отдельные участки - знакомес та , чаще всего на 25 строк по 80 сим во лов . В каждое знакоместо может быть выв еден один из символов . Графический режим предназначе для вывода на экран рисунков , графиков и . т . д . В этом режиме можно выводить и текстовую информацию причем б уквы и цифры могут быть произвольного раз мер а . В графическом режимет экран мон итора состоит из точек . Количество точек по горизонтали и вертикали называется разреш ающей способностью монитора в данном режиме . Например разрешающая способность 640*350 означает , что в данном режиме монитор выв о дит 640 точек по горизонтали и 350 по в ертикали . Наиболее широкое распространение в компьютере IBM PC получили цветные мониторы EGA и VGA. В текстовом режиме они работают примерно о динаково , а в графическом VGA обеспечивает более высокую разрешающ у ю способность , то есть выводит большее количество точек на экран , что повышает качество изображени я и снижает утомление глаз . Принтер преедназначен для вывода инфор мации на бумагу . Все принтеры могут вывод ить текстовую информацию , а многие такж е рисунки и графики . С IBM PC совместим ряд принтеров . Фирма IBM рекомендует и продае т графическое матричное печатающее устройство производимое фирмой EPSON. Принцип работы матричных притеров таков : печатающая головк принтера содержит вертикальный р яд тонких металлических стержней (иголок ). Головка движется вдоль печатаемой строки , а иголки в нужный момент ударяют по бумаге через кра сящую ленту . Скорость печати матричных принте ров в зависимости от требуемого качества печати от 10 до 60 секуд на страницу . Существуют и другие виды принтеров : струйные , литерные , лазерные и . т . д . но они как правило более дорогие и не всегда совместимы с имеющимися программами . К компьютеру IBM PC могут подключаться и другие устройства : Мышь - манипу лятор дл я ввода информации в компьютер . Свое назв ание это устройство получило за свой внеш ний вид : небольшая икоробочка обычно серого цвета с двумя или тремя клавишами , легк о умещающаяся в ладони . Вместе с проводом для подключения к компьютеру дейс т вительно сильно напоминает мышь с хво стом . Чтобы изменить положение курсора на экране монитора пользователь перемещает мышь по столу , нажимая ту или иную клавишу . Некоторые программы рассчитаны только на работу с мышью но большинство программ допу с кают ввод как с клавиатур ы так и с мыши . Сканер - устройство для считывания графи ческой и текстовой информации в компьютер . Сканеры бывают настольные , позволяющие обраба тывать весть лист целиком или ручные их нужно построчно проводить над нужным рисунком или текстом . Модем - устройство используемое при прие ме или передаче информации по телефонной линии . Модем может соединить компьютер с другим омпьютером используя стандартную телефонн ую линию . Существует широкий выбор и друг их периферийных устройств встраиваемых в компьютер : графопостроители , игровые адаптеры , блоки расширения памяти , стриммеры и . т . д . ОПЕРАЦИОННАЯ СИСТЕМА Операционная система - это программа , ко торая загружается при включении компьютера . О на производит диалог с пользователем , о существляет управление компьютером , запускает дру гие программы . Операционная система обеспечивает пользователю удобный способ . общения (интерфе йс ) с устройствами компьютера . Основная причина необходимости операционно й с истемы состоит в том , что элем ентарные операции для работы с устройствами компьютера - это операции очень низкого у ровня , поэтому действия , необходимые пользователю состоят из тысяч таких элементарных опер аций . Так даже для выполнения такого пр о стого действия как копирование ф айла с одной дискеты на другую необходимо выполнить тысячи операций по запуску ком анд дисководов , проверке их выполнения , поиск у и обработке информации в таблицах разме щения файла на диске и . т . д . Операцион ная сис т ема скрывает от пользоват еля эти сложные и ненужные ему подробност и и предоставляет ему удобный интерфейс д ля работы . Как правило IBM PC работает под упр авлением операционной системы MS DOS фирмы Microsoft Corp. MS DOS полу чила широкое распространени е благодаря сравнительно небольшому занимаемому дисковому пространству и затрачиваемой оперативной памят и , удобному интерфейсу хорошей совместимости с различной периферией . Операционная система MS DOS состоит из след ующих частей : 1) Базовая систем а ввода-вывода наход ящаяся в ПЗУ ко Эта часть ОС является встроенной в компьютер . Она выполняет на иболее простые и универсальные услуги ОС связаные с осуществлением ввода-вывода и соде ржит тест компьютера , проверяющий работу его устройств и памяти п ри включен ии электропитания . Базовая система ввода-вывода содержит программу вызова загрузчика ОС . 2) Загрузчик операционной системы - это ко роткая программа , находящаяся в первом сектор е дискеты с ОС или винчестера . ЕЕ функ ция заключается в счит ывании в память еще двух модулей ОС . 3) Дисковые файлы IO. SYS и MSDOS. SYS. Они загружаются в память загрузчиком ОС и остаются в памяти компьютера . Файл IO. SYS представляет собой дополнение к базовой системе ввода-вывода в ПЗУ . Файл MSDOS. SYS р еализует основные в ысокоуровневые услуги MSDOS. 4) Командный процессор DOS - обрабатывает команды вводимые пользователем . Командный процессор находится в файле COMMAND. COM на диске с которого загружается ОС . Некоторые команды пользовате ля , назыв аемые внутренними например DIR или COPY командный процессор выполняет сам . Для выполнения остальных (внешних ) команд он ищет на дисках программу с соответствующим им енем и если находит то загружает ее в память и передает ей управление . По о кончании р а боты командный процессор удаляет программу из памяти и выдает приглашение DOS. 5) Внешние команды DOS - это программы постав ляемые вместе с ОС в виде отдельных ф айлов . Они выполяют действия обслуживающего х арактера , например форматирование дискет , т естирование дисков и . т . д . 6) Драйверы устройств - это специальные пр ограммы , которые дополняют систему ввода-вывода DOS и обеспечивают обслуживание новых устройств . Драйверы загружаются в память компьютера при загрузке ОС и их имена указыва ются в специальном файле CONFIG. SYS. Это обле гчает добавление новых устройств и позволяет делать это не затрагивая системных файло в DOS. Начальная загрузка DOS выполняется автоматиче ски в следующих случаях : а ) При включении электропитания . б ) При нажатии на клавишу "Reset" в ) При одновременном нажатии клавиш C В начале загрузки работают программы прове рки оборудования находящиеся в ПЗУ . После окончания тестирования программа начальной заг рузи пытается прочесть с дискеты установленно й в дис ководе А программу - загрузчик ОС . Если на дисководе А нет дискеты то загрузка ОС будет производиться с винчестера . Если на дисководе А находится дискета без ОС то будет выдано сообщ ение об ошибке . Следует сменить дискету н а системную или убрать дис к ету и повторить загрузку . После того как с диска прочитана программа-загрузчик ОС , она считывает в память компьютера модули ОС - файлы IO. SYS и MSDOS. SYS и передает им управление . Далее с того же диска читается файл конфигурации CONFIG. SYS и в соответствии с указаниями содержащимися в нем , загружаю тся драйверы устройств и устанавливаются пар аметры ОС . После этого с системного диска чит ается файл COMMAND. COM и ему передается управление . COMMAND. COM ищет в корневом каталоге системного диска файл AUTOEXEC. BAT в котором указываются команды и программы , выполняемые при каждом запуске компьютера . Например программа , обес печивающая работу с русскими буквами на к лавиатуре , программа-оболочка NORTON COMMANDER. После выполнения фа й ла AUTOEXEC. BAT процесс загрузки ОС з аканчивается и DOS выдает приглашение показывающее , что она готова к приему команд : напр имер C:\> Сетевое планирование по методу критиче ского пути . (Critical Path Method) CPM CPM я вляется одним из самых популярных инструменто в при планировании хозяйственных проектов . Се тевой график представляет собой графическое и зображение проекта , в котором отдельные опера ции , то есть работы по выполнению проекта , изображ аются стрелками . Начало и кон ец стрелки обозначают начало и окончание операции соответственно . Время , которое предполаг ается затратить на выполнение операции , назыв ается ее плановой длительностью . Для ясности на сетевом графике даются краткое оп и сание и длительность каждой опер ации (рис . 1) Одно из важнейших понятий сетевого гр афика-путь . Путь-это любая последовательность рабо т , в которой конечное событие каждой рабо ты совпадает с начальным событием следующей за ней работы . Среди различ - ных путей сетевого графика наибольший интерес представляет полный путь . Полный путь-это любо й путь , начало которого совпадает с исход ным событием сети , а конец с завершающим событием сети . Наиболее продолжительный путь в сетевом графике называется кри т ическим . Критическими называются также ра боты и события , расположенные на этом пут и . Критический путь имеет особое значение , так как работы этого пути определяют общ ий цикл завершения всего комплекса работ , планируемых при помоши сетевого графика . И для сокращения продолжительности про екта необходимо в первую очередь сокращать продолжительность работ , лежащих на критическо м пути . Если единица времени (день , неделя ) одна и та же для всех операций с етевого графика , то для указания длительности д о статочно привести только число этих единиц . Изображение операций делается без учета масштаба . Различают три вида операций : а )Действительная операция-процесс , требу ющий затрат времени и pесурсов выполнение монтажных работ , подвоз материалов и . т . д. ) б )Операция-ожидание-процесс , требующий толь ко затрат времени (затвердение бетона , сушка штукатурки и . т . д ) в )Фиктивная операция-логическая зависимость , которая отражает технологическую или ресурс ную зависимость в выполнении некоторых опера ций . Ее обозначают штриховыми стрелками . Такая операция имеет нулевую длительность и не требует выполнение какой-либо работы . Для каждой операции в сетевом графике мог ут существовать операции , заканчиваемые до ее начала , выполняемые параллельно с ней ил и начинающиеся только после ее завершения . Сетевой график не должен иметь замкнутых циклов ;все его операции направле ны слева направо . Его следует вычерчивать несколько раз , добиваясь мининума пересечений и постепенно улучшая ясность . Сетевой графи к дл я большого проекта может со держать тысячи операций . Поэтому необходим простой способ опред еления и обозначения операции . Каждая операци я определяется двумя узлами (событиями )-началь ным и конечным . Смысл названия узла 'событ ием ' состоит в том , что он изображает как раз такой момент , когда все опер ации , входящие в этот узел , заканчиваются , и , поэтому могут быть начаты все операции , выходящие из этого узла . Для нумерации операций удобно использовать i-j правило , причем номер i всегда меньше н о мера j. Проблема обозначения возникает в случае , если две или более операции соединяют два или более узла . Для ее решения используется фиктивная оерация . Иногда события нумеруются не по следовательным образом (1, 2, 3. . . ) а получают номера 10, 20 , 30, 40. . . . Это облегчает добавление в сетево й график новых операций . Такие операции п олучают промежуточные номера , например 11-12, 14-18 и . т . п . Составляя сетевой график , необходимо тщательно анализировать его логику , постоянно задаваяс ь следующими вопросами : а )Какие операции должны быть закончены прежде , чем данная операция может начаться ? б )Какие операции могут начинаться одновременно с данной ? в )Какие операции зависят от свершения данной операции ? На каждой стрелке следут предусмотре ть горизонтальный участок , на котором указываются описание и длтельность операции . Описание следует помещать над стрелкой , а длительность-под ней . Стрелки следуют рисоват ь слева направо . Нумеровать узлы следует только после того , как построение диогр а ммы закончено . В целях ясности следует избегать пере сечени , насколько это возможно , даже если ради этого придется изменить структуру график а . МОМЕНТЫ С ОБЫТИЙ . Событием считается момент времени , когда выполнены все предыдущие операции и могу т бы ть начаты все непосредственно сле дуюшие операции . В методе С PM с каждым событием ассоциируются два момента времени :ра нний момент события и поздний момент собы тия . a)Ранний момент события определяется как наиболее раннее время , когда могут быть начаты оп ерации , исходящие из соотве тствующего узла . Вычислительный процесс , использу емый при определении ранних моментов событий сетевого графика , называется прямым проходом . припрямом проходе вычисления начинаются с правого узла и продолжаются последовательн о слева направо до тех пор , пока не будут определены ранние моменты д ля каждого события сетевого графика Для н ачального узла ранний момент события полагает ся равным нулю . ранний момент для последую щего события определяется прибавлением длительно сти преды д ущей операции к раннему моменту предшествующего события . Если в у зел входят несколько операций , то его ран ним моментом события считается наибольшее из всех ранних времен окончания операций . б )Поздний момент события для данного узла определяется как наиб ольшее из всех поздних времен окончания операций , входящих в этот узел . Вычислительный процесс для определения позлних моментов событий называется обратным подходов . При обратном проходе вычисления начинаются с последнего уз ла и продолжаются последовател ь но для каждого события сетевого графика вплот ь до начального . Поздний момент последнего события полагается равным раннему моменту этого события , найденному при прямом проходе . Очевидно , что нет никакого резона в затягивании проекта на время большее , ч е м фактически требуется для его выполнения . Поздний момент предшествующего собы тия находится вычитанием длительности прешествую щей операции из позднего момента последующего события . Если из узла выходит несколько операций , то перед определением позднего м о мента соответствующего (в этом у зле )следует рассмотреть поздние начальнче мом енты событий для каждой операции , исходящей из этого узла . Ясно , что в качестве позднего момента события нужно взять поздний момент начала той операции , которая долж на начаться первой по времени . МОМЕНТЫ Н АЧАЛА И ОКОНЧАНИЯ ОПЕРАЦИЙ . В методе CPM моменты начала и окончан ия операций рассчитываются с помощью моментов событий и обычно табулируются , а предста вляются на сетевом графике . Ранним началом любой операции называетс я ранний момен т предшествующего ей события . Поздним окончан ием любой операции называется поздний момент следующего за ней события . Поздним начало м началом операции называется ее позднее окончание за вычетом длительности операции . Р анним окончанием операци и называется ее раннее начало + длительность операции . По зднее начало операции всегда не меньше по зднего момента события предшествующего узла . Раннее окончание операции всегла не больше ранего момента событий последующего узла . Е сли имеется сетевой график с рассч итанными ранними и поздними моментами событий , то для расчета и табулирования моментов начала и окончания операций можно исполь зовать следующую процедуру из 6 шагов : 1. Упорядо чит нию номера i, а затем для каждого i у порядочить их по возрастанию н о ме ра j). 2. Занести название каждой операции в с толбец 2, а их длительности в столбец 3 3. Зане сти моменты раннего начала для каждой опе рации в столбце 4. Ими являются ранние моме нты событий , соответствующих i узлам операций . 4. Определить моменты ра н него окончани я для каждой операции добавлением ее длит ельности к моменту раннего начала и помес тить данные в столбце 5. 5. Занести моменты п озднего окнчания для каждой операции в ст олбц 7. Ими являются поздние моменты событий , соответствуюших j узлам о пераций . 6. Опр еделить момент позднего начала для каждой операции вычитанием ее длительности из мом ента позднего окончания и поместить данные в столбце 6. РЕЗЕРВ :НА ЧАЛЬНЫЙ И КОНЕЧНЫЙ . Каждая операция пр оекта должна бы ть завершена в пределах от момента раннег о начала до момента позднего окончания . Ес ли все операции заканчиваются в этих пред елах , то проект будет окончен вовремя . Ког да промежуток времени между этими двумя п ределами превышает длительность о пераци й , тогда имеется свободное время , либо до начала , либо после окончания операции . Эт о свободное время называют резервом . Промежут ок времени между поздним окончанем операции и ее ранним началом называется начальным резервом , а промежуток времени ме жду поздним окончанием операции и ее ранн им окончанием называется конечным резервом , т о есть : НАЧАЛЬНЫЙ РЕЗЕРВ = ПОЗДНЕЕ НАЧАЛО-РАННЕЕ НАЧАЛО КОНЕЧНЫЙ РЕЗЕРВ = ПОЗДНЕЕ ОКОНЧАНИЕ-РАННЕЕ ОКОНЧАНИЕ Начальный резерв времени для операции равен конечному . РЕЗЕРВ :ПОЛНЫЙ . НАИБОЛЕЕ ЗНАЧИМЫМ ИЗ ВСЕХ РЕЗЕРВОВ ЯВ ЛЯЕТСЯ ПОЛНЫЙ РЕЗЕРВ . Он указывает количество времени , на к оторое может быть увеличена продолжительность операции без угрозы срыва планового срока завершения поекта . Поэтому следует отличать зад ержку , внушающую опасение , от заде ржки , не представляющей угрозы для срока завершения проекта . Полный резерв определяется как момент позднего окончания операции-момент раннего начала-длительность операции . СВОБОДНЫЙ И НЕЗАВИСИМЫЙ РЕЗЕРВ . Свободны й резерв FF определяется , как ранний момент Е j последующего события минус ранний момент Eiпредшествующего события минус длительность операции D определяемой этими со бытиями : FF=Ej-Ei-D Свободный резерв используется в основном для выявления операций , в ыполнение к оторых может задерживаться без ущерба для полного резерва последующих операций . Независимый резерв IF определяется обычно к ак ранний момент последующего события минус длительность операции D, определяемой этими со бытиями : IF=Ej-Li-D Heзави симый резерв позволяет выявить операции , затягивание которых не влияет на полный резерв ни предыдущих , ни послед ующих операций . Полный резерв (свободный и независимый ) подсчитываются и табулируются с использованием моментовначала и окончания операц ий . Ес л и полный резерв равен н улю , то нулевыми являются также свободный и независимый резервы . Поэтому , когда подсчет приводит к нулевому полному резерву и одновременно ненулевому иному резерву , то э то свидетельствует об ошибке в вычислениях . АНАЛИЗ КР ИТИЧ ЕСКОГО ПУТИ . Последовательность операций , требующая наибол ьшего времени для ее завершения определяет наименьшее время за которое может быть выполнен проект . то время называется длительн остью выполнения проекта . Указанная последователь ность операций , о пределяющая длительность проекта является очень важной и называеся критическим путем . Критический путь всегда начинается с самого первого события сетево го графика и проходит через весь график , заканчиваясь последним событием . Каждая операц ия критическог о пути являетсякритическо й операцией . Для анализа сетевого графика важно определить все критические операции . Кр итические операция должна одновременно удовлетво рять следующим трем критериям : 1)Ранний и п оздний моменты событий для узла i должны б ыть равными : Ei=Lj 2)Ранний и поздний моменты событий j равны тоже : Ei=Lj 3)Длительность операции должна равняться разнице между поздним моментом события j и ранним моментом события i: Lj-Ei-D=0 Tретье условие означает , что критическа я операция не должна име ть резерва . Поэтому полный резерв оказывается полезным инструментом для выявления критической операци и . Часто на сетевом графике существует нес колько критических путей . Иногда короткие цеп и , содержащие критические операции могут отхо дить от основного кр и тического пу ти и снова возвращаться к нему . Критически е операции должны быть завершены вовремя , иначе сроки выполнения проекта будут сорваны . Некритическими операциями называются лишь т е , у которых достаточен размер резерва . Оп ерации с большим резерво м являются субкритическими , вообще , чем больше резерв операции , тем менее она критична по отн ошению с другими . Критические операции должны контролироваться руководителем проекта в пер вую очередь , ибо задержка любой из них увеличивает длительность проек т а . П оскольку критические операции составляют в пр оекте , как правило , 10-15%, сосредоточение внимания руководства на них вполне реально прежде всего за счет менее важных операций . Важны м достоинством метода является возожность кон центрировать внимание р у ководства на наиболее ответственных операциях , что соверш енно необходимо в больших , сложных проектах . Сетевое п ланирование в условиях неопределенностии При определении временных параметров с етевого графика до сих пор предполагалось что время выпо лнения каждой работы точно известно . Такое пред положение в действительности выполняется редко : ведь сетевое планирование обычно применяется для разработки сложных ***** зачастую не име вших в прошлом никаких аналогов . Чаще всег о продолжительность работы п о сетевому графику заранее не известна и может принимать лишь одно и з ряда своих возможных значений . Другими словоми , продолжительность работы является случай ной вееличиной , характеризующейся своим законом распределения , а значит , своими числовыми х арактеристиками - ожидаемой длительностью и мерой разброса . Сетевые графики могут иметь детерминир ованную или стохастическую структуру . Причем следует четко различать отличия между детерме нированными и стохастическими структурами . а ) Если все операции сетевого графика ии их взаимосвязь четко определены , то такая структура графика называется детерменнированой . б ) Стохастическая структура означает , что все операции включаются в с еть с некоторой вероятностью . То еесть в некоторых в некоторых проектах на отдельных этапах тот или иной комплекс ра бот зависит от неизвестного заранее результат а и его фактическое выполнение может быть предсказано лишь с некоторой вероятностью . Так например , в научно-исследовательских и опытно-крнструкторских разработках заранее не известны не только продолжительности от дельных операций , но и их перечень , а также структура сети . Расчет параметров и анализ графиков стохастической структуры связан со значительны ми трудностями , поэтому на практике обычно применяются графики с детерминированной структурой и со случайными временными оценкам и операций . Такие сети получили название стохастических или вероятностных сетей . При исследовании вероятностных сетей м огут встретиться два случая : 1) Операции не являются новыми, и мы приближенно знаем для каждой изних функцию распределения п родолжительности выполнения . 2) Операции являются н овыми , малоизученными , и для них функции распределения продолжительностей неизвестны . В первом случае ожидаемая длительность и мера разброса определяются по из вестной функции распределения . Во втором случае применяется метод усреднения . исходными данными для метода усре днения являются вероятностные оценки продолжител ьности каждой операции :а - минимальная продолж ительность (оптимисти ческая оценка ) операции , б - максимальная продолжиительность (пссимистичес кая оценка ) операциии , m-наиболее вероятная про должительность операции . Эти оценки времени з адаются ответственным исполнителем или группой экспертов . Статистический анализ , проведенный эмпирико-экспериментадьным путем разработчиками матем атического аппарата сетевого планирования в у словиях неопределенности установить что : a+4m+b Ожидае мая длительность ij операции - Fij= 6 b-a Мера разброса ***= 6 После определения ожидае мых длител ьностей продолжительностей операций по данной формуле , проводится расчет временных параметро в сети , как и в детерминированном случае . Ожидаемую длительность критического пути ра ссматривают как сумму случайных величин , т . e. работ решающих н а ***** (Fкр )= Е F(ij)кр . (i, j)кр Меру разброса продолжительности к ритического пути считают равной сумме пути : d(Ткр )= Е dij(Fij) (i, j)кр Расчет временных параметров сети по ожидаемым длительностям продолжительностей операций не позволяет стро го определит ь срок завершения комплекса операций . Фактиче ское отклонение случайных величин Tij от их средних значений Tij может быть как в большы ыю так и в меньшую сторону . Поэтому фа ктическая продолжительность выполнения комплекса операций может быть б о льше или меньше Ткр (ожидаемой длительности критического пути ) В связи с этим большой интерес представляет оценка вероятности завер шения комплекса операций к определенному сроку , которая зависит от меры разброса продолжит ельности критического пути . При о дни х значениях величин Tij можт быть один крити ческий путь , при других-другой . Если операция выполняется при достаточ но благоприятных условиях то она будет за вершена в сравнительно короткие сроки . Так определяется оптимистическая оценка деятельности. Вероятность ее фактической реализации составляет около 0. 01. Если же операция выполняет ся при крайне неблагоприятных условиях , то выполнение ее затянется . Из этих соображени й определяется пессимистическая оценка длительно сти операций , вероятность е е реализ ации составляет также приблизительно 0. 01 В пода вляющем большинстве случаев длительность операци и будет находиться в интервале , ограниченном предыдущими двумя оценками . Оценка же дл ительности наиболее близкая к действительной называется наиболе вероятной . Рассмотрим следующий пример операций : Оптимистическая оценка длительности : a=4 Наиболее вероятная длительность : m=6 Пессимистическая оценка длительности : b=7 Три оценки отражают степень правдоподобия времени выполнения задачи ; одна оценка достаточ на лишь для случая полной уверенности . В свою очередь , правдо подобие может быть выражено в статистических терминах , то е сть в виде кривой плотности распределения , описывающей частоту реализации различных длит ельностей операции , выполняемой бо л ьш ое число аз . Вероятность завершения операции в расс матриваемом примере за 4 ( или за 7)рабочих д ней составляет , как указывалось выше , 0. 01 . Наибол ее вероятно , что операция закончится за 6 д ней . Предполагается , что если операция выполня ется больш ое число раз , причем ведетс я регистрация всех данных , то график част от длительности даст асимметричную кривую , на зываемую функцией . Приведенные числовые оценки длительности выполнения операций и вероятность реализации представлены b-функцией на схем е 1. Вертикальные линии над точками 4. 0 6. 0 7. 0 обозначают частоту реализации операции за то число рабочих дней , которое измеряетс я по горизонтальной линии . Вследствие того , что вертикальная лини я в точке 6. 0 не делит площадь под криво й на две р авные части , вероятность завершения этой операции за 6 (или меньше ) рабочих дней не равна 0. 5. Для определения ожидаемой длительности операции этого типа используются средневзвешанные значения . Ожидаемая длительность , или математическое ожидание , как мы помним , вычисляется по формуле ; а +4m+b = 6 То есть в нашем примере равна 4+4*6+7 = 5. 8 Лицо , оценившее наиболее вероятную дли тельность операции в 6 дней , было настроено пессимистически , поскольку 5. 8 меньше 6. На схеме 2 делит площадь под -ф ункцией на 2 равные части . Таким образом , вероятность окончания о перации не более чем за 5. 8 рабочего дня равна 0. 5. Другая интерпретация этого обстоятельства такова ; представляет собой длительность , для которой существуют равные шансы на окончание операции либо раньше , либо позже . Рассмотрим другой случай , где оценки таковы ; а =4 m=5 b=18 (4 +4*5+18 )/6= 7. 0 Это показано на рисунке 3. Как и на предыдущем рисунке , здесь делит площадь под b-функцией на две равные част и . Т . о . , вероятность окончания операции за ожидаемое время 7. 0 рабочих дней равна 0. 5. В э том случае прогноз был оптимистическим , поско льку больше оценки наиболее вероятной длитель ности , равной 5. МЕРА РАЗБ РОСА Рассмотрим две операции А 1 и А 2 со следующими длительностями ; А 1 А 2 а =4 а =3 m=6 m=5 b=8 b=13 =( 4+24+8 )/6=6=( 3+20+13 )/6=6 Для каждой операции =6, хотя оптимистическа я , наиболее вероятная , и пессимистическая оце нки сильно различаются . Мера разброса указанн ых оце нок называется дисперсией D. D( )= ((b-a)/6)^2 D(А 1)=( (8-4)/6 ) ^2 =0. 444 D(А 2)= ( ( 13 - 3 ) /6) =2. 777 По существу мера разброса характеризует неопределенность , связанную с процессом оцен ивания продолжительности операции . Если мера разброса велика , то есть оптим истическ ая и пессимистическая оценки сильно отличаютс я друг от друга , то это означает боль шую неопределенность относительно времени заверш ения оаерации . Соответственно малая мера разб роса указывает на сравнительную определенность времени з авершения операции . ****, длительность выполнения проекта и рез ервы могут быть рассчитаны с помощью прям ого и обратного прохода . Поскольку вероятность выполнения каждой о перации за ожидаемое время t(ij) =0. 5. , то вероятность окончания всего проект а за время Ts = сумме t(ij), также равна 0. 5. Но длительность вып олнения проекта уже не описывается B-функцией , как это имеет место для отдельных оп ераций проекта . Предполагая , что проект состои т из большого числа операций , получим рез ультирующее р аспределение его длительно сти , близкое к нормальному ;поэтому можно принять , что ожидаемая длительность выполнения проекта имеет нормальное распределение . Может оказатья , что ожидаемая длительно сть выполнения проекта Ts неприемлима для руков одства , в место нее выбирается другое время Tc, меньше , чем Ts. Tc
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Владимир Владимирович, а с нами развестись слабо? (с)Народ России
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Математические методы исследования экономики", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru