Реферат: Математические игры и головоломки - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Математические игры и головоломки

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 865 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

11 ГОРОДСКОЙ КЛАССИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ РЕФЕРАТ Математические игры и головоломки Подготовил : Петров А . А., 10Б класс (физ-мат ) г . Кемерово - 1999 Математические игры и головоломки очень популярны , как , впрочем , и все игры . И далеко не всегда более сложная игра – бол ее интересная . Часто миллионы людей с неугасаемым интересом играют в самые простые игры , и именно эти игры больше всего ценят , именно они входят в историю математики и прославляют своих создателей. Наиболее приближенными к математике являются головоломки, но много головоломок образовалось из когда-то существовавших (а некоторые из ещё существующих ) игр . Большинство таких основополагающих игр было придумано древнегреческими математиками. В последнее время математическим играм внимание уделяется , в основном , для нахождения выигрышных стратегий , на что сильно повлияло распространение программирования : составить алгоритм , по которому в игру смог бы играть компьютер , часто бывает сложнее и интереснее , нежели самому научиться играть в неё , при этом глубже вни к аешь в суть игры , после чего выиграть в неё можешь уже практически любого. Игры Простейшие математические игры часто используют как задачи , в которых нужно найти выигрышную стратегию , либо одно положение перевести в другое . Иногда задачи бывают весьма п ростыми , когда они решаются известными методами , такими как инвариант и раскраска , но есть и весьма простые , но до сих пор неразрешённые задачи , связанные с математическими играми. Примером может являться популярная игра крестики-нолики на бесконечном пол е (рендзю ). Она , как известно , при правильной стратегии обоих игроков бесконечна , но выигрышную стратегию при этом никто не знает . В настоящее время придумано множество алгоритмов этой игры , основанных , прежде всего , на переборе различных вариантов и анал и зе игры на следующие несколько ходов , которые очень близки к выигрышной стратегии , но лишь при их реализации на компьютере – человек же им следовать практически не может . Существуют простейшие приёмы этой игры , которыми пользуются игроки , но решающей чаще всего бывает внимательность. Игра ним и другие аналогичные игры Существует несколько игр , в которых двое играющих A и B , руководствуясь определёнными правилами , по очереди вынимают то или иное число фишек из одной или нескольких кучек – побеждает то т , кто берёт последнюю фишку . Простейшая такая игра – это игра с одной кучкой фишек , и сделать ход в ней – значит взять из кучки любое число фишек от 1 до m включительно . Многие подобные игры поддаются исследованию с помощью числа Шпрага-Гранди G ( C ) . Пусто й позиции O , не содержащей фишек , отвечает G ( O )= 0. Комбинацию кучек , состоящих соответственно из x , y , … фишек , обозначим C =( x , y , … ) и предположим , что допустимые ходы переводят C в другие комбинации : D , E , … Тогда G ( C ) есть наименьшее неотрицательное чис ло , отличное от G ( D ), G ( E ), … Это позволяет по индукции определить G ( C ) для любой комбинации C , разрешённой правилами игры . Так , в упомянутой задаче G ( x ) = x mod ( m +1) . Если G ( C )>0 , то игрок , делающий следующий ход , допустим , это игрок A , может обеспечить с ебе выигрыш , если ему удастся перейти к “безопасной” комбинации S с G ( S )=0 . Действительно , по определению G ( S ) в этом случае либо S – пустая позиция , и тогда A уже выиграл , либо B следующим ходом должен перейти к “опасной” позиции U с G ( U )>0 – и тогда всё повторяется снова . Такая игра после конечного числа ходов заканчивается победой A . К подобным играм относится ним . Имеется произвольное число кучек фишек , и игроки по очереди выбирают одну какую-то кучку и вынимают из неё любое число фишек (но хотя бы одн у обязательно ). Более общий случай представляет игра Мура , которую также можно назвать k - ним . Правила её те же , что и в обычном ниме (1-ним ), но здесь разрешается бать фишки из любого количества кучек , не превосходящего k . Ещё одна подобная игра – Кегли . В ней фишки разложены в ряд , и при каждом ходе убирается одна какая-либо фишка или две соседние . При этом ряд может разбиться на два меньших ряда . Выигрывает тот , кто возьмёт последнюю фишку . Обобщённая вариация этой игры известна под именем игры Витхоффа . Есть интересная вариация игры ним под названием “звёздный ним” . Она довольно проста , но стратегия в ней видна не сразу . Играют в эту игру на звездообразной фигуре , изображённой на рис . 1, слева . Поставьте по одной фишке на каждую из девяти вершин звезды . Игроки A и B делают ходы по очереди , снимая при каждом ходе либо одну , либо две фишки , соединённые отрезком прямой . Тот , кто снимает последнюю фишку выигрывает. У игрока B при игре в звёздный ним есть выигрышная стратегия , использующая симметрию игровой доски (вообще , выигрышные стратегии многих математических игр строятся на этом ). Представим , что отрезки прямых , соединяющие вершины звезды , - это нити . Тогда всю конфигурацию можно развернуть в окружность , топологически эквивалентную нитяной звезде . Если A снимает с окружности одну фишку , то B снимает две фишки с противополо жного участка окружности . Если A берёт две фишки , то B снимает с противоположного участка окружности одну фишку . В обоих случаях на окружности остаются две группы из трёх фишек . Какую бы фишку (или какие бы фишки ) ни взял A из одной группы , B берёт соответ ствующую фишку (или фишки ) из другой группы . Ясно , что последняя фишка достанется игроку B . Другие математические игры В конце 60-х годов Дж . Леутуэйт из шотландского города Терсо изобрёл замечательную игру с искусно скрытой стратегией “парных ходов” , о беспечивающей второму игроку заведомый выигрыш . На доске размером 5*5 квадратных клеток в шахматном порядке расставлены 13 чёрных и 12 белых фишек , после чего любая из чёрных фишек , например , стоящая на центральном поле , снимается (рис . 2, слева ). Игрок A ходит белыми фишками , игрок B – чёрными . Ходы делаются по вертикали и горизонтали . Проигравшим считается тот из игроков , кто первым не сможет сделать очередной ход . Если доску раскрасить подобно шахматной доске , то станет ясно , что каждая фишка со своего п оля переходит на поле другого цвета и что ни одну фишку нельзя заставить ходить дважды . Следовательно , игра для каждого игрока не может продолжаться более 12 ходов . Но она может окончиться и раньше выигрышем для любого игрока , если только B не будет придер живаться рациональной стратегии. Рациональная стратегия для игро ка В состоит в том , чтобы мысленно представить себе всю матрицу (за исключением пустой клетки ), покрытую двенадцатью неперекрывающимися костями домино . Как именно они разложены на доске , не имеет значения . На рис . 2, справа показан один из способов покрыт и я доски костями домино . Какой бы ход ни сделал игрок А , В просто делает ход на ту кость домино , которую только что покинул А. При такой стратегии у В всегда есть ход после очередного хода А , поэтому В заведомо выигрывает за 12 или за меньшее число ходов. В игру Леутуэйта можно играть не только фишками на доске , но и квадратными плитками или кубиками , передвигаемыми внутри плоской коробочки , на дне которой начерчена матрица . Предположим теперь , что в правила игры внесена поправка , позволяющая любому игроку в любое время ходить любым числом (от 1 до 4) фишек , стоящих на одной горизонтали или вертикали , если первая и последняя фишки в выбранной им горизонтали или вертикали “его” цвета . Перед нами великолепный пример того , как тривиальное (на первый взгляд ) изм е нение правила приводит к резкому усложнению анализа игры . Леутуэйту не удалось найти выигрышную стратегию ни для одного из игроков в этом варианте игры. Большинство игр , рассмотренных нами , имели выигрышную стратегию , но это не значит , что практически у вс ех подобных игр она существует . Есть множество игр , выигрышную стратегию в которых на сегодняшний день ещё не изобрели , а есть много и таких , у которых таковой вообще нет. Головоломки Математические головоломки бывают самые разные : вращательные (кубик Р убика ), “Волшебные кольца” , “Игры с дыркой” (пятнашки ), решётчатые и многие другие . Мы рассмотрим лишь некоторые из них. Вращательные головоломки Вращательными называются головоломки , суть которых заключается в поворотах рядов кубиков (и не только кубик ов ), из которых они состоят. Знаменитейшая головоломка нашего времени – кубик Рубика – начала своё победное шествие по свету с 1978 года , когда с ней впервые ознакомились математики на Международном математическом конгрессе в Хельсинки . Лишь несколько куб иков увезли математики с конгресса , но это стало начальным толчком лавинного распространения игрушки по всему миру. Практически каждый может собрать одну грань кубика Рубика , но чтобы составить его полностью , часто приходится серьёзно задуматься . Собирая первую грань (или первый слой ), можно не заботиться об остальных , но когда остаётся поменять местами последние несколько кубиков , очень легко всё испортить и начинать сначала. Кубик Рубика относится к вращательным головоломкам , отличительной чертой которы х является то , что запутать их проще простого , а вот также быстро собирать их умеет далеко не каждый . При запутывании мы действуем как попало и стараемся испортить сразу всё , при сборке же охватить сразу всю картину слишком сложно , нам удобнее продвигатьс я методично , шаг за шагом , устанавливая сначала один кусочек , подгоняя к нему второй и т . д . По мере выстраивания правильной картины свобода наших действий ограничивается , ведь достигнутое надо на последующих шагах сохранять . А ближе к концу сборки очередн ы е продвижения уже невозможны без жертв , – мы вынуждены на время отдавать завоёванное с тем , чтобы вернуть его с прибылью . Здесь уже требуются специально разработанные операции , можно назвать их “локальными” или “минимальными” , которые вносят в расположени е элементов головоломки самые малые изменения , например , переставляют два-три элемента или переворачивают их . При этом “минимальные” не значит “маленькие” - обычно они состоят из довольно большого числа ходов. Рассмотрим алгоритм собирания вращательных гол оволомок на примере кубика Рубика. Формулы операций в “кубике Рубика” При использовании “минимальных” операций возникает естественный вопрос : как их систематизировать или сформулировать , чтобы ими удобно было пользоваться при собирании кубика . Прежде вс его , перед тем , как воспользоваться той или иной уже разработанной операцией , следует как-то обозначить грани кубика , относительно которых их проводить . Стандартные их названия : фасад , тыл , лево , право , верх , низ . А обозначения соответственно : Ф , Т , Л , П, В , Н . Любую формулу операций можно выполнить с помощью поворотов боковых или центральных граней кубика . Один поворот грани по часовой стрелке обозначается так же , как и сама грань (Ф , Т и т . д .). Если грань поворачивают против часовой стрелки , то к обозна ч ению этого действия приписывают знак ’ (Ф’ , Т ’ и т . д .). Понятно , что два поворота по часовой стрелке идентичны двум поворотам против , а следовательно обозначаются они одинаково : знаком 2 . ( Ф 2 , Т 2 и т . д .). С помощью этой системы обозначений можно сф ормулировать лишь повороты боковых граней , для центральных же обозначения показаны на рисунке 3. Ниже приведён список самых распространённых “минимальных” операций , которыми пользуются при собирании кубика Рубика . Следует заметить , что это лишь универсальные комбинации , а для создания более совершенного алгоритма собирания кубика , нужно разработат ь более “глобальные” операции , которые человеку запомнить довольно трудно , но в общем уменьшающие количество действий , необходимых для собирания кубика из каждого конкретного положения. Первый слой Операция “лесенка” (лифт ) 1 : Н ’ П ’ НП Операция “лесенка” (лифт ) 2 : НЛН ’ Л ’ Сложная лесенка : Н’ П’ Н 2 П Второй слой Две лесенки 1: НЛН’ Л’ Н’ Ф’ НФ Две лесенки 2: Н’ П’ НПНФН’ Ф’ Третий слой Выполняются только по две комбинации с поворотом верхней грани между ним и : (ПСн ) 4 Операция “Обмен” 1: Ф 2 В ’ СпВ 2 СлВ ’ Ф 2 Опер ация “Обмен” 2: Л’ Т’ П’ ТЛТ’ ПТ (Ф ’ ПФП ’ ) 2 Две последние операции выполняются лишь парами , либо по отдельности , но по два раза подряд с возможным поворотом верхней грани между комбинациями (ПФ ’ П ’ Ф ) 2 “Игры с дыркой” До изобретения кубика Рубика для многих людей знакомство с головоломками начиналось с “пятнашек” – так часто называют известную игру “ 15”. С пятнашек начинается история игр с дырко й – головоломок , в которых фишки перемещаются по игровому полю за счёт того , что одно из мест на поле свободно . У “пятнашек” есть множество родственников , которые как раз и образовывают целый раздел этих головоломок. Игру “ 15” придумал в 70-х годах XIX -го века прославленный американский изобретатель головоломок Сэмюэль Лойд . Время появления его игрушки и известного всем кубика Рубика разделяют ровно сто лет . Любопытно , что возраст обоих изобретателей , когда они придумали свои знаменитые головоломки , был о д инаков – немногим больше тридцати . До “пятнашек” никакая другая головоломка таким успехом не пользовалась. Великий Марк Твен , будучи современником Лойда и свидетелем всеобщего ажиотажа вокруг игры “ 15” , включил в свою сатирическую повесть “Американский пр етендент” изложение сообщения , якобы переданного агентством “Ассошиэйтед пресс” , в котором говорилось , что “за последние несколько недель вошла в моду новая игрушка-головоломка ... и что от Атлантического океана до Тихого все население Соединенных Штатов п р екратило работу и занимается только этой игрушкой ; что в связи с этим вся деловая жизнь в стране замерла , ибо судьи , адвокаты , взломщики , священники , воры , торговцы , рабочие , убийцы , женщины , дети , грудные младенцы,— словом , все с утра до ночи заняты одни м -единственным высокоинтеллектуальным и сложным делом ... что веселье и радость покинули народ,— на смену им пришли озабоченность , задумчивость , тревога , лица у всех вытянулись , на них появились отчаяние и морщины — следы прожитых лет и пережитых трудностей, а вместе с ними и более печальные признаки , указывающие на умственную неполноценность и начинающееся помешательство ; что в восьми городах день и ночь работают фабрики , и все же до сих пор не удалось удовлетворить спрос на головоломку”. Вскоре после своег о появления на свет коробочка с цифрами 15 на крышке пересекла океан , быстро распространилась во всех европейских странах и поучила новое имя “такен” . Изобретателю посчастливилось найти ту неуловимую меру сложности , когда головоломка решалась без труда по ч ти всеми и в то же время требовала определённой сообразительности , благодаря чему каждый мог получить удовольствие от сознания своего высокого интеллектуального уровня. Первому успеху головоломки в немалой степени способствовало и напечатанное в газетах объявление о призе в 100 0$ за решение следующей задачи : в исходной позиции фишки располагаются по порядку номеров , за исключением двух последних , которые переставлены местами друг с другом (рис. 4 ); передвигая по одной фишке , но не вынимая фишки из коробочки , нужно поменять местами номера 15 и 14 так , чтобы все фишки стояли по порядку номеров , а правый нижний угол был свободен. Помещая э то объявление , Лойд знал , что ничем не рискует , так как предлагает неразрешимую задачу . Эта задача ещё сыграла с изобретателем злую шутку , когда он пытался запатентовать свою игру , – ему сказали , что нельзя запатентовать игру , не имеющую решения. Секрет иг ры “ 15” Не всегда можно головоломку перевести из одного состояния в другое , — запрещены такие переходы , при которых нарушаются те или другие законы сохранения . Есть такой закон и в игре “ 15” . Чтобы объяснить его , мысленно заполним пустое место фишкой с но мером 16. Тогда каждый ход — сдвиг фишки — будет состоять в том , что эта фишка меняется местами с фишкой 16. Операцию , при которой какие-то две фишки (не обязательно соседние !) меняются местами , так и назовем — обменом ; математический термин для таких опер аций — транспозиция. Очевидно , что из любой расстановки 16 фишек можно не более чем за 15 обменов получить правильную позицию — обозначим ее S 0 — и вообще любую другую расстановку . П ри этих обменах не запрещается вынимать фишки из коробки . Например , можно сначала поставить на свое место фишку 1, обменяв ее с той фишкой , которая это место занимает , затем точно так же поставить на место фишку 2 и т . д . Последними мы обменяем фишки 15 и 16 — при этом сразу обе встанут правильно . Конечно , не исключено , что по х оду дела какие-то фишки автоматически попадут на свои места , и их трогать не придется , при этом число обменов окажется меньше 15. Можно расставлять фишки по этой же системе , но в другом порядке , скажем 16, 15, 14, .... или совсем иначе , и тогда число обме н ов может оказаться другим . Однако , каким бы способом ни выбрать последовательность обменов , превращающую одну заданную расстановку фишек в другую , четность числа обменов в этой последовательности всегда будет одной и той же. Это очень важное и неочевидное докажем ниже . Оно позволяет дать следующее определение : расстановка называется четной, если ее можно превратить в правильную позицию с помощью четного числа обменов , и нечетной в противном случае . В математике обычно говорят не “расстановка” , а “перестанов ка” ; к этому мы еще вернемся . Сама правильная расстановка S 0 всегда четная , а ловушка Лойда L нечетная . Но почему они не переводятся друг в друга ? Как выше уже сказано , каждый ход в игре “ 15” можно рассматривать как обмен фишки с одной из соседних . Следова тельно , при каждом ходе четность расстановки 16 фишек меняется : если до хода расстановку можно было упорядочить за N обменов , то после него — за N +1 обменов (взяв этот ход назад ), а числа N и N +1 — разной четности . В обеих расстановках классической задачи Лойда дырка (или фишка 16) расположена одинаково . Если бы мы сумели одну расстановку перевести в другую , то фишка 16 должна была совершить столько же ходов вверх , сколько вниз , и столько же ходов вправо , сколько влево , иначе она не вернулась бы назад . Поэ т ому мы сделали бы четное число ходов , а так как при каждом ходе четность расстановки меняется , в начале и в конце она была бы одинаковой . Но позиции S 0 и L, как мы видели , имеют разную четность. Мы рассмотрели лишь малую часть замечательных головоломок , к оторые придумали математики разных времён , но если когда-нибудь ещё и изобретут головоломку более популярную , чем , например , игра “ 15” , то известней знаменитого кубика Рубика наверняка – нет ! Список литературы 1. Я . И . Перельман “Зан имательная математика” 2. Мартин Гарднер “Путешествие во времени” . – Москва , “Мир” , 1990 3. У . Болл , Г . Коксетер “Математические эссе и развлечения” . – Москва , “Мир” , 1986 4. В . Н . Дубровский , А . Т . Калинин “Математические головоломки” . – Москва , “Знани е” , 1990 5. “Математический цветник” (составитель и редактор Д . А . Кларнер ). – Москва , “Мир” , 1983
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Женщина я одинокая, поэтому даже в сексе приходиться рассчитывать только на себя.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Математические игры и головоломки", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru