Реферат: Математическая мифология - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Математическая мифология

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 68 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МИФОЛОГИЯ И ПАНГЕОМЕТРИЗМ “Открылось мне : в законах точных числ , В бу нтующей , мыслительной стихии - Не я , не я - благие иерархии Высокий свой запечатлели смысл . Звезда ... Она - в непеременном блеске ... Но бегает летучий луч звезды Алмазами по зеркалу воды И блещущие чертит арабески” . А.Белый . Дух (1 914). Как справедливо отметил еще О.Шпенглер [37], не существует универсального стиля математич еского мышления (универсальной математики ), посколь ку не существует универсальной общечеловеческой культуры . В разные эпохи и у разных народов математика отлича лась настолько сильно , что перед нами , в некотором смыс ле , различные культурные феномены (например , математика античная и математика нововременная ). Другой важный тезис Шпенглера состоит в том , что существует теснейшая взаимосвязь м ежду разнообразными стор онами жизни данно го культурного организма : античная математика глубочайшим образом связана с античными мифо логией , религией , искусством , архитектурой , организ ацией общественной жизни и т.д ., а нововрем енная математика - с соответствующими сторонами нововр е менной культуры . Эти два шпенглеровских тезиса являются основополагающими для всякой социокультурной философии математ ики. Желая проследить далее процесс дифференци ации стилей , и приглядываясь к математике определенного культурного организма , мы увидим бол ее мелкие разделения . Например , в случае современной европейской культуры стало уже общепринятым противопоставлять математику “работающих математиков” (working mathematicians) и математику ма тематических логиков и специалистов по основа ниям . Другой пример : А.Н.Кричевец пред лагает различать в рамках современной культур ы , по крайней мере , т ри математики - математику профессиональных математиков , математику инженеров , и математику физиков [14, с .387-388]. Можно , очевидн о , произвести и другие разделения совреме нной математики . Для дальнейшего нам б удет удобно несколько развить различение А.Н.К ричевца : мы можем разделять математику через преимущественное тяготение к определенной см ежной области культуры : так у нас будут появляться не только математика физиков ил и инженеров , но и математика фил ософов , математика художников , математика поэтов и т.д . Особое положение при таком делени и займет математика профессиональных математиков . Она не взаимодействует напрямую с другим и областями культуры : такое взаимодействие вс е гда опосредовано одной из “матем атик” , перечисленных нами выше. Преимущественная связь с той или иной областью культуры , равно как и установка , состоящая в избегании такой связи , накла дывает определенный отпечаток на стиль матема тического мышления , характе рный для данно й “математики” . Можно даже смотреть на под обное деление математики как на различение стилей мышления par excellence. Очевидно , дифференциацию стилей математическо го мышления можно продолжать и далее , пока не дойдем до уникального стиля данно го математика или даже данного матема тического текста . Однако уже произведенного в ыше различения будет вполне достаточно для наших целей. Пока что мы проводили разделительные линии . Мы отделяли математику разных культур и эпох , мы разделяли математику и в рамках единой эпохи и единой культуры , в зависимости от основной области прилож ений . Теперь необходимо сказать , что , конечно же , в культурном организме математика физик ов не обособлена от математики профессиональн ых математиков или от математики средней ш к олы , а сложным образом взаимодей ствует с ними . Да и между культурами н ет все-таки непроницаемых перегородок : так ант ичная математика и математика нововременная , несмотря на все свои отличия , связаны все же цепью “социальных эстафет” (М.А.Розов ). И менно на л ичие этой , хотя порой весьма хрупкой связи и позволяет нам в се ж таки надеяться на возможность понима ния , равно как и на оправданность разговор а о едином феномене математики (хотя боле е адекватным здесь было бы сравнение не с единой жизнью , а с цепью перев оплощений , связанной единством кармы ). Итак , хотя универсальной математики не существует , это не означает бессмысленности разговора о математике вообще . (Ниже мы будем говорить не только об определенном стиле математического мышления , но и о пон имании мате матики вообще , этим стилем провоцируемом ). Достаточно удобным для разъяснения того , что мы хотим сказать , оказывается противопоставление понятия-ем кости и понятия-типа , производимое Р.Арнхеймом [2, с .34-39]. “Понятие-емкость - это сумма свойств , по которым можно узнать данный вид сущности . Тип - это струк турная основа такого вида сущности” [2, с .35]. М ы не будем пытаться в дальнейшем привести необходимый и (в совокупности ) достаточный перечень черт , определяющих математическое мышл ение . Да такой перечень и невозмож но составить (здесь уместно вспомнить знамени тые рассуждения Витгенштейна о понятии “игра” ). Однако это не делает менее интересной попытку угадать некий образ , некую структуру-гештальт , которая давала бы нам ощущение про зрения в тайну математическо го . При этом достаточно понятно , что харак тер подобного “прозрения” будет зависеть от избранного угла зрения на математику (в нашем случае , взглядом на нее с точки зрения ее связи преимущественно с такими областями культуры как религия , философия , искусст во , т.е . взглядом sub specie artis). Выбор иног о угла зрения привел бы к иной картин е , но избрание одного угла зрения и не предполагает отрицания правомерности других , а значит , мы и не имеем в указании на наличие других возможных подходов решаю щего аргум е нта против права созда ваемой в данной работе картины на существ ование . Более того : мы не просто избираем здесь определенный ракурс , но стремимся с охранять его , пока остается возможность разви вать мысль в избранном направлении . Это со знательный метод данно й работы. Начать естественно с выражения “математич еская мифология” . Для разъяснения того , что имеется в виду , нам придется обратиться к Платону. 1. Что такое математическая мифология ? Платоновский Тимей говорит : “ ... не удив ляйся , Сократ , что мы , рассматри вая во многих отношениях много вещей , таких , как боги и рождение Вселенной , не достигнем в наших рассуждениях полной точности и непротиворечивости . Напротив , мы должны радоват ься , если наше рассуждение окажется не мен ее правдоподобным , чем любое другое , и притом помнить , что и я , рассуждающий , и вы , мои судьи , всего лишь люди , а потому нам приходиться довольствоваться в таких вопросах правдоп одобным мифом , не требуя большего” [21, с .433; курсив мой ]. Мифология “Тимея” насыщена математическими элементами . Эт о не просто миф , но миф математический . Здесь и рассуждение о шар ообразности космоса , и разделение мировой душ и в соответствии с определенными арифметическ ими закономерностями , и все учение о четыр ех стихиях , включающее знаменитые рассуждения о правильных многогранниках . Согласно Прокл у , “Платон многие удивительные учения о бо гах излагает нам посредством математических ф орм” , и таков же “весь способ Пифагора учить о богах” [24, с .81]. В чем же смысл математического мифа ? В чем притягательность именно матема тической мифологии для античного мыслителя ? Отве т на эти вопросы мы находим у того же Платона , и в первую очередь в ди алоге “Государство” . Во-первых , здесь мы весьма отчетливо в идим , каким образом миф работает в динамик е платоновской мысли . В конце VI кни ги строятся взаимосвязанные иерархии бытия и познавательных способностей , а параллельно им развивается соответствующая мифологическая конструкц ия , которая находит окончательное завершение уже в VII книге в знаменитом мифе о пеще ре . По существу Платон пара л лельно возводит две тесно связанные между собою конструкции - метафизическую и мифологическую . Их взаимосвязь организуется посредством широко прим еняемого Платоном принципа пропорции или аналогии (см . подробнее у А.Ф.Лосева [16, с .250-275]). Приведем в ка честве примера лишь малый фрагмент этого построения [21, с .253-319]. Со держащееся в VI книге учение о Благе может быть представлено следующей пропорцией : Числители выписанных дробей относятся к области подлинного бытия , а знаменатели - к области чувственно воспринимаемого (зримого ). Метафизическую связь между мышлением , идеями и Благом , предлагается понимать по аналог ии с тем , как связаны между собой зрение , видимые с его помощью вещи и , только и делающие возможным существование зрения и видимого мира , Солнце и его свет . Наша душа , погрязшая в чувственном мире , и наш язык , приспособленный преимущест венно к выражению п р едметов и отношений этого мира , позволяет нам с помощь ю такой пропорции представить , до некоторой степени , и сверхчувственное отношение сверхчувс твенных предметов . В этом и состоит , по всей видимости , главный смысл , как приведенн ого построения , так и всего мифа о пещере , в который это построение разрастает ся в VII книге. Во-вторых , в тех же книгах “Государств а” мы находим ответ не только на вопр ос о функции платоновского мифа вообще , но и о специфической притягательности именно математического мифа . Имеется в виду знаменитое учение о сре динном положении математики , и вытекающей отсюда исключительной роли последней в процессе восхождения души от мира чувственного к миру подлинному . Как р азъясняют нам Платон и Прокл , математические конструкции ближе к миру под линному , более совершенны и более устойчивы , чем текучие образы чувственного мира , однако не полностью свободны от материальности (hyle phantaston), что и позволяет строить на их основе миф , но миф более правдоподобный , более ад екватный реалиям подлинного мира. Ступень математическая - промежуточная ступень лестницы , за которой следует диалектика . Однако (чего часто не замечают !), переход на ступень диалектики вовсе не означает у Платона отказ от всего того , что имелос ь на ступени математики . При этом перех оде необходимо должно происходить осознан ие и осмысление тех предпосылок , которые о ставались неосознанными и неосмысленными на п редыдущей ступени , но математические дисциплины признаются “помощниками и попутчиками” (Платон ) диалектического метода , его “по д спорьем и азбукой” (Алкиной ). В качестве весьма выразительного примера можно указать на последний трактат “Энне ад” Плотина . Трактат “О благе или едином” , по самой своей тематике , особенно ярко обнаруживает двойственное отношение к математике ( обусловленное промежуточн остью ее статуса ) характе рное для платоников. С одной стороны , наставляя тех , кто желает философствовать о едином , Плотин тре бует “созерцать единое , не присоединив ни одного чувствования и ничего от оного не принимая в него-то , но созерцать чис тейшее чистым умом и тем , что в уме первое” . “Стало быть , - продолжает Плотин , - когда приступивший к созерцанию вот так ого воображает у этой природы или величину , или фигуру , или ма ссу , не ум становится проводником ему в созерцании , потому что не уму прир ождено видеть таковые , а это - деятельность чувствования и мнения , сл едующего за чувствованием” [22, с .219; курсив мой ]. Итак , приступая к рассмотрению единого , сле дует отринуть всякие образы (как собственно чувственные , так и математические ), ведь еди ное безвидно , чуждо всякого образа (aneideos). С другой стороны , читая трактат далее , мы обнаруживаем , что Плотин активно прив лекает различные образы , в особенности матема тические , и именно чтобы говорить (= мыслить ) о едином . Здесь возникают образы геометриче ской точки и арифм етической единицы . Предмет рассмотрения трактата , говорит Плотин , мы на зываем “единым и нераздельным не так , как мы называем точку или единицу ; ибо те , ч то суть единое таким образом , - начала коли чества , которое бы не существовало , не буд ь прежде него сущности и того , что прежде сущности (итак , не нужно вперять сюда мысль ); однако первые всегда подобны последним в соответствиях (аналогичны - В.Ш .) по простоте и избе ганию множества и деления ” [22, с .221; курсив мой ]. Далее эта мысль развив ается . Разви тием (эманацией ) образа т очки оказывается образ круга , а затем и сферы (сама же точка выступает теперь как центр ). Душа , пишет Плотин , “знает , что ее движение не прямолинейное , ну разве лишь тогда , когда бы оно претерпело о тклонение , свойственн ое же ей по приро де движение такое , как движение по кругу (1) не вокруг чего-то вовне , а вокруг центра , центр же - то , от чего происходит круг , то она будет двигаться вокруг это го , от коего происходит , и будет зависеть от этого , привлекая себя к тому самом у , к коему пристало влечься всем д ушам <...>. Ну а этот как бы центр души есть ли искомое ? Или следует признать нечто другое , в чем все как бы центры сов падают ? И признать , что это - “центр” по аналогии со здешним к ругом ? И не оттого , чт о душа - круг так , как фигура , но по тому , что в ней и вокруг нее древняя природа , и потому , что она происходит от “такового” , а еще более и потому , что души отделены целиком . Ныне же , когда часть нас удерживается телом , как если бы кто-то держал ноги в воде , остальным ж е тел ом вздымался , мы поднявшись кверх у тем-то , что не притоплено телом , этим-то соприкасаемся в центре самих себя с ка к бы центром всего так же , как центры наибольших кругов сопри касаются с центром объемлющей сферы , и отдыхаем . Ну а если бы круги были телесным и , а не душе вными , то они пространственно соприкасались б ы с центром и , раз центр расположен гд е-то , были бы вокруг него ; но коль скор о и сами души умопостигаемы , и “то” пр евыше ума , должно полагать , что соприкосновени е происходит благодаря другим силам” [ 22, с .223; курсив мой ]. Те же геометрические образы Плотин ис пользует и далее : “Так вот , тогда видящий и не видит , и не различает , и не представляет себе двух , а , словно став д ругим , он , и не сам , и не свой , отно сится туда , и , став “того” , он есть еди ное, как бы совмес тив центр с центром . И ведь здесь центры суть единое , совпав , и - двоица , когда они порознь . Так и мы ныне называем “то” иным . Потому-то и трудновыразимо зрелище . Ведь как кто-либо см ог бы поведать о “том” как ином , узрев там , когда он созерц ал , не иное , а единое с собой самим ?” [22, с .225; курси в мой ]. Что же получается ? Плотин забыл о собственных увещаниях ? - Нет . Более того , он неоднократно повторяет их вперемешку с приведе нными выше рассуждениями , использующими образы единицы , точки , круга , сферы (и ее б ольших кругов ). Кроме того , и в самих э тих рассуждениях он постоянно делает оговорки : “не нужно вперять сюда мысль” , “как б ы центр” , “”центр” по аналогии” , “не оттог о , что душа - круг , как фигура” и многие другие . Всю же ситуацию он в конце трактата разъясняет следующим сравне нием : стремящийся к постижению единого “совсе м как некто , вошедший вовнутрь святилища и оставивший позади изваяния в храме , котор ые вышедшему из святилища опять предстают первыми после зрелища внутри и общения там не с и зваянием и не с образом , а с “самим” , и которые , стало быть , оказываются последующими зрелищами . <...> Ну а эти зрелища - подобия ; и потому мудрым из прорицателей они намекают , как тот бог зрится ; мудрый же жрец , уразумевший намек , мог бы , оказавшись там в святилище , сделать созерцание истинным” [22, с .225]. Все становится на свои места , когда мы начинаем понимать , что для Плотина е сть две математики (равно как и два отношен ия к чувственно воспринимаемому ). Одну из них он отвергает , тогда , как другую приемл ет . Это те самые две математики , ко торые столь настоятельно противопоставляет Плато н в “Государстве” [21, с .304-315] - “торгашеская” математ ика и математика филосо фская , математика сама по себе (или даже ориентированная на техниче ские приложения и получени е мирской в ыгоды ) и математика как “подспорье и азбук а” диалектики (как матем атическая диалектика или диалектическая математика ). Другими словами , как Пл атон , так и Плотин отвергают математические образы как таковые и приветствуют их в ка честве элемента ми ф а . Подлинная математика д ля них - это математическ ий миф , это те изваян ия в храме , которые окружают святилище (2) . Еще более отчетливое выражение этих ж е мыслей находим у Николая Кузанского , пол агавшего , что именно математика “лучше всего помогает нам в понимании разнообразных Божественных истин” . Рассуждает он следующим образом : “Видимое поистине есть образ нев идимого” , и Творца “можно увидеть по творе нию как бы в зеркале и подобии” . Если же “разыскание ведется все-таки исходя из подобий , нужно , чтобы в том об разе , отталкиваясь от которого мы переносимся к неизвестному , не было по крайней ме ре ничего двусмысленного ; ведь путь к неиз вестному может идти только через заранее и несомненно известное . Но все чувственное пребывает в какой-то постоянной шаткости ввиду изобилия в нем материальной возможности . Самыми надежными и самыми дл я нас несомненными оказываются поэтому сущнос ти более абстрактные , в которых мы отвлека емся от чувственных вещей , - сущности , которые и не совсем лишены материальных опор , без чего их было бы нельзя вообразить , и не совсем подвержены текучей возможности . Таковы математические предметы” . П оэтому , “если приступить к Божественному нам дано только через символы , то всего у добнее воспользоваться математическими знаками и з-за их непреходя щ ей достоверности” [18, с .64-66]. К математической мифологии могут быть отнесены знаменитые рассуждения Николая Кузанс кого в “ De docta ignorantia” , использующие динамические возможности геометрических фигур : шар бесконечн ого радиуса , центр которого везде , а периферия - нигде ; многоугольник , вписанный в кр уг , число углов которого неограниченно увелич ивается ; совпадение бесконечной прямой и окру жности бесконечного радиуса и т.п. Обратим внимание , что математические конс трукции , став частью мифа , начинают жить особой жизнью . Здесь могут возникать , да и в действительности возникают , рассуждения , в ыглядящие совершенно чудовищно для человека н епривычного к подобному стилю мышления . Доста точно вспомнить уже упомянутые рассуждения Пл атона о правильных многогранниках, или м ногочисленные аргументы в пользу совершенства декады в “Теологуменах арифметики” , восходящие к Спевсиппу , а возможно и к Филолаю или даже ранним пифагорейцам [38, с .417-418]. Об особенностях соответствующего взгляда на математику мы поговорим чуть ни же , а сейчас посмотрим на некоторые более близкие и привычные для нас способы об ращения с математическими конструкциями , находящи еся , тем не менее , в самом тесном родст ве с математической мифологией. 2. Вырождение математической мифологии : матем атические к онструкции как п арадигмальные схемы. Начнем с нескольких пр имеров , заимствованных у Лейбница. “Простота субстанции не препятствует множ ественности модификаций , которые должны совместно существовать в той же самой простой субстанции и состоять в разнообрази и отношений к внешним вещам . Точно так же в центре , или точке , как она ни проста , находится бесконечное множество углов , образованных линиями , в ней встречающимися ” [15, с .404; к урсив мой ] (3) . “ ... случай совершенного равновесия химерич ен : он никогда не встречается , так ка к универсум нельзя разрезать или разделить на две совершенно равные и схожие част и . Универсум , как эллипс или другой подобный овал (имеется в виду : в отличие от элли пса или другого подобного овала - В.Ш .), нельзя разложить посредством пр оведенной через центр прямой линии на две совпадающие части . Универсум не имеет центра , и его части бесконечно разнообразны ; следовательно , н икогда не будет случая , когда все на о беих сторонах станет одинаковым и будет п роизводить на нас равное влияние ... ” [15, с .381; курсив мой ]. “Но когда я все более сосредотачивал мысль , не давая ей блуждать в тумане трудностей , мне пришла в голову своеобразная аналогия между ист инами и пропорциями , кото рая , осветив ярким светом , все удивительным образом разъяснила . Под обно тому как во всякой пропорции м еньшее число включается в большее либо ра вное в равное , так и во всякой истине предикат присутствует в субъекте ; как во вс якой пропорции , которая существует между одно родными (подобными ) количествами (числами ), может быть проведен некий анализ равных или совпадающих и меньшее может быть отнято от большего вычитанием из большего части , равной меньшему , и подобным же образом от вычтенного может быть отнят остаток и так далее , беспрерывно вплоть до бескон ечности ; точно так и в анализе истин на место одного т ермина всегда подставляется равнозначный ему , так что предикат разлагается на те части , которые содержатся в субъекте . Но точно так же , как в п ропорциях анализ когда-то все же исчерпываетс я и приходит к общей мере , которая своим повторением полностью определяет об а термина пропорции , а анализ иногда может быть продолжен в бесконечность , как бывае т при сопоставлении рационального и мнимого числа или стороны и диагонали квадрата , аналогично этому истины иногда бывают доказуемы ми , т.е . необхо димыми , а иногда - произвольными либо случайным и , которые никаким анализом не могут быть приведены к тождеству , т.е . как бы к общей мере . А это и является основным различием , существующим как для пропорций , т ак и для истин” [15, с .316; курс и в мой ] (4) . Эти три фрагмента , взятые из различных работ Лейбница , объединяет следующее : в к онтекст метафизического рассуждения вводятся мат ематические фрагменты (мы выделяли их курсиво м ). При этом сам автор воспринимает их как “своеобразные аналогии” дос таточно сл учайно связавшиеся в его мысли с метафизи ческим рассуждением . Например , еще в одном месте , Лейбниц пишет , что он мучительно ра змышлял “над тем , как можно совместить сво боду и случайность с цепью причинной зави симости и провидением” . “Но тут вдру г - говорит он - блеснул мне некий неви данный и неожиданный свет , явившийся оттуда , откуда я менее всего ожидал его , - из математических наблюдений над природой бесконечного . Ведь для человеческого ума существует два наиболее запутанных вопроса (“два лаб ири нта” ). Первый из них касается струк туры непрерывного , или континуума , а второй - природы свободы , и возникают они из одн ого и того же бесконечного источника” [15, с .312-313; курсив мой ]. Нетрудно увидеть связь между приведенными рассуждениями Лейбница и ма тематическими мифами Платона и Николая Кузанского . Одна ко нетрудно заметить также и существенные отличия : во-первых , привлечение математики не является теперь осознанным , оправданным и с истематически проводимым познавательным приемом ; во-вторых , математич е ские конструкции не обретают в этих рассуждениях особой жи зни , они в готовом виде заимствуются из развитых независимо математических теорий . Здес ь наблюдается как бы вырождение математическо го мифа , забвение им собственных корней . В нешне все как в математи ческом мифе , но исчезло измерение глубины , осталась лишь поверхность , утратившая свой смысл и несп особная к самостоятельной жизни и развитию. Теперь перед нами лишь аналогия или модель , единственный смысл которой - дать наглядное представление самим по себ е мало наглядным метафизическим рассуждениям . Вплетенна я в метафизический контекст математическая ко нструкция служит здесь образцом (парадигмой ) для наглядного представления метафизических отношений , предлагает для них отчетливый образ . Жел ая отличить подо бное приложение математик и от математического мифа , мы будем называ ть соответствующие математические конструкции - парадигмальными схемами [33, с .67; 35, с .370]. Легко заметить , что между математическим мифом и использованием математических констр укций в роли парадигмальных схем невозможно провести отчетливой демаркационной линии . В каждом конкретном случае может возникать сомнение - что перед нами ? Если правильные многогранники в “Тимее” Платона - скорее мат ематический миф , чем парадигмальная схема , а гео метрические и арифметические конструкци и в текстах Лейбница - vice versa, то чем является “совершенно-круглый шар” в поэме Парменида [33, с .57-59] сказать уже затруднительно . При этом у одного и того же автора наряду с полноценными математическими мифами м огут встречаться и вырожденные варианты - например , уже упомянутое выше пристрастие Платона к использованию конструкций геометриче ской пропорции и геометрического подобия , в качестве способов организации иерархии. Ситуация еще более осложняется тем , чт о не достаточная осознанность и продуманно сть связи между ходом метафизического рассужд ения и привлекаемыми для его иллюстрации математическими аналогиями (как в случае Лейб ница , лишь смутно догадывающегося о неслучайн ости являющихся его мысли метафизико-матем а тических параллелей как следствии единства их “бесконечного источника” ), часто приводит к тем большей неосознаваемой зави симости хода метафизического рассуждения от п редстоящих мысли математических схем (как и получилось у Лейбница ), иногда вплоть до подл и нной мат ематической экспансии [33, с .63-64]. Дело в том , что соответствующие математич еские конструкции вряд ли привносятся в м етафизические рассуждения лишь post hoc, когда основной рисунок рассуждения уже сложился . Являясь на ранних стадиях формирования мысли , соответствующие математические конструкции не ос таются пассивными . Наглядность этих конструкций , отчетливость математических образов , делает их , можно сказать , “навязчивыми” , определяя их активное влияние на те пути , которые из бирает находящаяся в с тадии становл ения метафизическая мысль. Тексты Лейбница были выбраны нами в качестве примера , конечно же , не случайно . Однако , не следует думать , что они единс твенны в своем роде , т.е . в том как используется в них математика . Использование математических к онструкций в роли парадиг мальных схем - широко распространенное явление , причем не только среди философствующих мат ематиков , таких как Лейбниц и Г.Вейль [33, с .63-64], или мыслителей , получивших хорошее математиче ское образование , таких как П.Флоренский [ 3 3; 35] (5) , но и у весьма далеких от математики мыслителей - например , у Вл.Сол овьева [28, с .3, 20], - хотя в последнем случае набо р применяемых математических конструкций по п онятным причинам значительно беднее. Еще более распространено применение разно о бразных схем и диаграмм - диаграммы Э йлера-Венна , появившиеся в логике задолго до построений , связавших математическую логику и топологию ; диаграммы , применяемые школой Г.П.Ще дровицко - го , и язык картинок , развиваемый А.Г.Барабашевым [4]; диаграммы А.Бело г о [5] и т.п . Мы указали наиболее яркие примеры . Однако , всякое иллюстрирование рассуждения пос редством наглядной схемы , составленной из “кр ужочков” , “прямоугольничков” , “стрелочек” и т.п . (см ., например , рис .1 и 2 в настоящем тексте ), стоит в легко заметн о м родст ве с математическими конструкциями в роли парадигмальных схем , являясь еще более выро жденной версией математической мифологии [33, с .67-68]. Интересно , что и эти диаграммы и схемы обладают “навязчивостью” математических образов и способны вести за с обой м ысль (на что особо обращает внимание А.Г.Ба рабашев ). 3. Математика как эстетический феномен и пангеометризм как способ понимания природы математики. В предыдущих пунктах б ыл продемонстрирован определенный контекст , в котором могут существовать , и сущ ествуют математические конструкции . Попробуем отдать себе отчет в некоторых определяющих особенно стях такого их существования . Во-первых , обратим внимание на чисто качественный , квалитативный , подход к математическим конструкциям . Эта особенность достаточ но ярко прослеживается в приведенных выше п римерах . Во-вторых , - на отсутс твие необходимой связи м ежду нематематическим предметом рассмотрения и математической конструкцией [33, с .66; 35, с .369]. Приведем соответствующий пример . Существует целая традиция использования геометрического образа круга (окружности ) для прояснения соотношения Божественных ипостасей (hypostasis), которых три при единстве сущности (oysia). Од нако делаться это может несколько по-разному. Так Николай Кузанский сравнивает Бога с макс имальным кругом , у которого , в силу единственности максимума , центр , диаметр и окружность тождественны . “Ты видишь , - пи шет он , - что простой и неделимый максимум целиком залегает внутри всего как бескон ечный центр , что он извне всего охватывает все как б е сконечная окружность и что он все пронизывает как бесконечн ый диаметр . Он начало всего как центр , конец всего как окружность , середина всего как диаметр . Он действующая причина как центр , формальная причина как диаметр , целев ая причина как окружность . Он д а рует бытие как центр , правит как диаметр , хранит как окружность , - и многое в то м же роде” [18, с .83]. По-видимому , центр , дающ ий единство кругу , символизирует здесь Отца как единство , диаметр , как характеризующий равенст во круга по всем направлениям , - С ына , как равенство единства , ок ружность , замыкающая и св язующая круг , - Духа , как связь Отца и Сына . Несколько по-другому у Кеплера : “Образ Триединого Бога - это сферическая поверхность ; другими словами , Бог-Отец находится в центре , Бог-Сын - на наружной п оверхности , а Бог-Дух Святой - в равенстве отношений между точкой и поверхностью” [2, с .62]. Вместо круга мы имеем здесь дело с шаром , а элем енты , с которыми связывались Сын и Дух , поменялись местами. Поясняя почему Бог троичен , а не ч етверичен , пятеричен и т.д ., Николай Кузан ский использует образ треугольника как просте йшего из многоугольников : “четырехугольная фигура не минимальна , что очевидно , поскольку тр еугольник меньше ее ; значит простейшему макси муму , который может совпасть только с мини мумом , четы р ехугольник , всегда составн ый и потому больший минимума , подходить ни как не может” [18, с .81]. Рассматривая тот же вопрос , П.А.Флоренский привлекает иной образ : он предпочитает пр едставлять себе взаимное расположение точек н а окружности . “В трех ипостасях, - пишет он , - каждая - непосредственно рядом с каждой , и отношение двух только может быть опосредствовано третьей . Среди них абсолютно немыслимо первенство . Но всякая четвертая ипостась вносит в отношение к себе пер вых трех тот или иной порядок и , значит, собою ставит ипостаси в неодинаковую деятельность в отношении к себе , как ипостаси четвертой” [30, с .50]. (Подробнее см . в [31, с .149-150]). Обсуждаемое отсутствие необходимой связи интересно выразилось уже в “Тимее” . Желая конструировать правильные много гранники из прямоугольных треугольников , Платон избирает дв а наиболее “прекрасных” из них - равнобедренны й и “тот , который в соединении с подоб ным ему образует третий треугольник - равносто ронний” (т.н . гемитригон ). Первый из избраных треугольников “хорош ” по понятной причине - у него равные катеты . Но почему из всех неравнобедренных прямоугольных треуг ольников выбран именно гемитригон ? Этого Плат он не объясняет : “обосновывать это было бы слишком долго ( впрочем , если бы кто изобличил нас и доказал обратное, мы охотно признали бы его победителем )” [21, с .457; к урсив мой ]. Обратим внимание на выделенные курсивом слова . Что это значит ? На наш взгляд , Платон подчеркивает , что для него важен эффект , производимый его рассуждением в целом и основные принципы его ра зворачивания (в данном случае : эстетическое со вершенство ), а не отдельные его детали , кот орые могут и не определяться темой диалог а однозначным образом , а значит , и могут быть заменены другими , коль скоро такие будут представлены. Обе названные особенности существования математических конструкций в интересующем на с культурном контексте являются частными проя влениями более общей тенденции - тяготения к восприятию математи ки как эстетического феномена . Эстетического - в широком , первоначальном смысле этого сл ова - от aisthesis - чувственное восприятие (в первую очередь зрение ). Греч еская математика преимущественно геометрична , а в платонической традиции именно геометрия оказывалась самой “математической” из всех ма тематических дисциплин , дисциплиной , наиболее полно воплощающей срединное положение мат ематики между чувственным и эйдетическим [27]. Им енно эстетическая сторона математики выявляет себя наиболее полно в математической мифол огии. Как мы уже отмечали , всякая специфичес кая область приложения математики позволяет по-новому взглянуть на математику вообще . Какую же перспективу в понимании математики открывает нам математическая мифология и работа математических конструкций в роли п арадигмальных схем ? В данном аспекте ключ к пониманию природы математики наиб олее естественным представляется искать , конечно же , в наиболе е наглядной , “зримой” , области математики - в геометрии . Уже Прокл отчетливо зафиксировал главную особенность геометрической мысли : она способ на дать развернутое знание о своих предме тах лишь с помощью воображения (phantasia), отразив их в воображаемой мат ерии (hyle phantaston) [24]. Предмет математик и не умозрителен , но и не воспринимаем чувствами . Он удивительным образом причастен и тому и другому , что Аристотель зафикс ировал в парадоксальных , совмещающих главные противоположности платонической онтологии терми нах hyle noete (“мыслимая материя” ) и noys pathetikos (“страдательный разум” ) [27]. Геометрическое воображение Прокла ока зывается одновременно совмещающим в себе каза лось бы несовместимое - чистую активность (noys) и чистую пассивность (hyle). Чистая мысль (noys theoretikos), овеществляясь , обращается в геометрии в noys pathetikos, а материя чувственного восприятия (hyle aisthete), очищая сь , предстает как более “тонкая” геометрическ ая матер и я (hyle noete, hyle phantaston). Следующий важный шаг в осмыслении при роды геометрической мысли делает Кант . Прокло вскому различению hyle aisthete и hyle phantaston у Канта соответст вует противопоставление эмп ирического и чистого созерцания (reine Anschauu ng). Причем Кант явно называет это чистое созерцание - “пространство + в ремя” . Здесь “пространство и время” обозначаю т тот универсальный фундамент , который соотве тствующий мысленный эксперимент обнаруживает в основе всякого нашего представления . Геометриче ское мышление есть пространственно-временное конструирование , а предмет геометрии - пространство и его отношения , временная динамика пространственных конструкций [11, т .3, с .67, 76-77, 528-529]. В самом деле , в эстетическом аспекте деятельность геометра пр едстает как организация и переорганизация пространственных э лементов во времени , а цель - изучение суще ствующих здесь возможностей . Решая задачу из элементарной геометрии , мы проводим прямые и окружности , фиксируем их пересечения как точки . Затем исследуе м устройство получившейся конфигурации : насколько “жестко” з аданные условия фиксируют соответствующую “конст рукцию” , сколько различных конструкций может быть “собрано” из данных элементов и т.п . Особенно важно отметить , что соединение любых двух элементов в этой деятел ьности непосредственно дается нам в созерцани и , мы непосредственно “видим” как они “сты куются” между собой . Доказательства же и в ычисления в эстетическом аспекте предстают ка к сравнение и сопоставление различных элемент ов исследуемой конструкц и и. Нарисованная картина порождает , однако , ря д вопросов и требует комментария. Во-первых , обратим внимание на то , как проявляется в нашем простейшем случае пл атоническая тема срединного положения геометриче ской деятельности между чистой активностью и чисто й пассивностью . С одной стороны , налицо активное , констр уктивное начало - мы можем порождать те или иные конфигурации по собственному желанию . С другой стороны , мы не можем , например , заставить две прямые “заключать пространство” , - та среда , в кот орой мы разворачиваем свою конструктивную активность , имеет свои закономерности , не по зволяющие нашему конструированию быть совершенно произвольным , накладывая на него свои огр аничения . Эта среда обладает “косностью” , она сопротивляется формующей руке творца , эта среда материальна - актуализировать в ней можно лишь то , что допускается ее собственными потенциями . Более того , деятельн ость геометра , судя по всему , как раз и направлена именно на выявление этих поте нций , а не на наслаждение собственным прои зволом . Наря д у с конструктивным на чалом в простейшей геометрической деятельности мы явственно ощущаем и присутствие начала рецептивного (7) . Во-вторых , следует особо остановиться на кантовском различении чистого и эмпирического . Насколько математическая мысль действит ельно свободна от эмпирических образов ? Рассу ждая , геометр чертит палочкой на песке , ме лом на доске или ручкой на бумаге . Те или иные эмпирические “подпорки” постоянно сопровождают геометрическую мысль . В каком смысле можно говорить , что она от них незави с има ? Ведь хорошо известно , что уже в случае достаточно сложной за дачи из элементарной геометрии практически не возможно обойтись без помощи эмпирического че ртежа (8) . Подобные недоумения были удачно разрешены еще Аристотелем . Да , геометр рассуждает , г лядя на нарисованный им на доске тр еугольник . Можно даже сказать , что он расс уждает об этом самом нарисованном треугольник е , однако , не поскольку он нарисован мелом и на доске , т.е . не поскольку он ес ть некоторый объект эмпирического мира , а поскольку этот тр е угольник организова н в нашем представлении по определенным з акономерностям . Точнее : этот эмпирический чертеж позволяет геометру удерживать внимание на определенной пространственной конфигурации . При э том нам не столь уж важно способны мы представлять треу г ольник полностью свободным от эмпирических характеристик (нап р ., цвета ) или нет . Нам вполне достаточно различать в самом эмпирическом предмете простра нственно-временные характеристики ото всех осталь ных . Так разные (с эмпирической точки зрен ия ) чертежи впо лне могут представлять одну и ту же геометрическую конфигурацию ( единый гештальт ) (9) . Однако мы можем задать теперь следующ ий вопрос : а в самом ли деле мы сп особны отличать пространственно-временные характерист ики ото всех остальных ? Кант убежден , что да . Но приводимый им в подтверждени е этого и уже упомянутый выше мысленный эксперимент отнюдь не доказывает желаемого . Он вызывает в нашем воображении лишь н екие смутные образы (из разновидности “образо в абстрактного” , которые Р.Арнхейм уподобляет импрессио н истской живописи ). Интерсубъекти вность таких образов может вызвать серьезные сомнения . Значительно более надежно указываю т на интересующий нас предмет сами слова “пространство” и “время” . Сам факт устойч ивого существования их в языке предполагает наличие п остоянной преемственности в контекстах их употребления , в достаточной степени обеспечивающей взаимопонимание (хотя и не гарантирующей абсолютной неизменности и х смысла !). Во всяком случае , эти слова определяют свой предмет не хуже чем слово “математика” - свой (10) . Более конкретным разъяснением вкладываемого в них в настоящем выступлении смысла может слу жить лишь сам текст этого выступления . Но , что же все-таки способен прояснить для нас мысленный эксперимент Канта ? Во всяком случае , достаточную фундамент альность си туаций употребления слов , выражающих пространстве нно-временные характеристики. В-третьих , определенного комментария требует и утверждение о данности геометрических фи гур в созерцании . Еще Декартом был приведе н знаменитый пример с тысячеугольнико м [9, с .58], который не может быть нами воображ ен . Хуже того : даже такие простейшие геоме трические объекты как “точка” или “прямая” непредставимы наглядно в точном смысле сло ва , ведь простейший мысленный эксперимент убе ждает нас в непредставимости ни слиш к ом малого , ни слишком большого [25, с .208; 12, с .273-274; 26, с .63-65; 32, с .44-48, 101-111; 33, с .37-38]. Действительно , мы не можем представить точку , не имеющую раз меров , не можем представить линию , не имею щую толщины , не можем сразу охватить взгля дом б есконечную прямую . Однако это не мешает нам представлять прямые и то чки все же достаточно отчетливо для того , ч тобы отличать различные части геометрической конструкции друг от друга и непосредственно “видеть” их взаимное расположение . Прямую мы имеем возмо жность “видеть” достаточ но тонкой для того , чтобы в процессе р ассуждения не обращать внимания на ее тол щину , а точку - достаточно малой для того , чтобы игнорировать ее размеры (11) . Действи тельно , мы не можем представить тысячеугольни к настолько отчетливо , чтобы отличать ег о от многоугольника с несколько большим и ли несколько меньшим числом сторон . Однако мы можем достаточно отчетливо представить его сторону и соединение ее с соседними сторонами , а этого уже вполне достаточно для изучения математических с в ойст в соответствующей конструкции (подробнее это будет разъяснено ниже ). В-четвертых , необходимо сказать несколько слов о времени в геометрии . Выражение “простр анственно-временное конструирование” следует понимать как пространственную организацию и переорг анизацию элементов во времени . Время в ходит в геометрические конструкции лишь как динамика их пространственных элементов . В ремя в геометрии всегда есть лишь движение пространственных элемен тов . Время как таковое не подлежит не только геометрическому , но и математическому изучению вообще , да и движение как таковое также . Лишь подменив время движением , а движение его пространствен ным следом (траекторией ) мы можем сделать их предметом математического изучения . По сущ еству мы будем изучать при этом не вр емя и н е движение , а особенности п ространственной организации самой траектории . Даж е изучая в элементарной геометрии , что мож ет быть построено с помощью циркуля и линейки , а что - нет , мы также не дела ем предметом нашего рассмотрения геометрическое становление ка к таковое , но ско рее - раскрываемые им особенности организации пространства (12) . Итак , мы сделали некоторые наблюдения над простейшими проявлениями геометрической мысл и в эстетическом ее аспекте . Следующим шаг ом , естественно , должна стать попытка , распро странить наши рассуждения и на другие области математики , проверить , не обнаружим ли мы и там то , что привлекло наше внимание в простейших геометрических примера х . Необходимо выяснить , в какой мере то , что было сказано нами о геометрии , можн о повторить и о математике вообще ; что можно повторить дословно , а что л ишь mutatis mutandis. Кант этот шаг делает : конструктивный х арактер математическое мышление сохраняет и з а пределами геометрии , однако собственно геом етрическое , или остенсивное , конструирование зам еняется в арифметике и алгебре на символическое [11, т .3, с .530-531, 542]. Нечто принципиально новое , по сравнению с рассмотренным выше собственно геометрическим конструированием , мы обнаруживаем уже на примере позиционной записи натуральных чисел . Введя с трого фиксированный конечный набо р графических символов и определенные правила их комбинирования , мы получаем возможность , наглядно представлять достаточно большие натур альные числа и производимые над ними дейс твия . В эстетическом аспекте вся арифметика н а туральных чисел предстает как система организуемых на плоскости графических символов . Организация символов производится посредством нескольких типов манипулирования этими символами : расстановки и перестановки знаков , замены одних знаков другими . Вспомним х отя бы умножение “столбиком” или деле ние “уголком” . Указанные манипуляции могут бы ть охарактеризованы как квазигеометрические , поск ольку , представляя из себя операции с граф ическими знаками как целостными образованиями , собственно геометрическими они не яв ля ются (геометрическая конфигурация самого знака здесь совершенно неважна , важно лишь удобст во его с точки зрения простоты написания , перестановок и замен , а также достаточно е отличие от других знаков в рамках т ой же системы [7, с .58, 61-62]). Работа с бол ее богатой и разн ообразной алгебраической графикой также может быть охарактеризована как манипулирование графическими символами . Рассмотрим , в качестве пример а , одну из простейших алгебраических конструк ций - группу . Группа - это совокупность элем ентов (в качестве графических символов м ожно использовать буквы латинского алфавита ), правила манипулирования с которыми , задаются следующими условиями , называемыми аксиомами группы : (G1) из двух элементов x и y можно составить новый графический символ x• y ; (G2) гр афические символ ы (x• y)• z и x• (y• z) являются взаимозаменяемыми ; (G3) сред и элементов группы имеется элемент , называемы й нейтральным , который обозначим e , такой , что содержащие его графические символы x• e , e• x и x являются взаимозаменяемыми ; (G4) вместе с э лементом x имеется элемент , называемый об ратным для x , обозначим его x' , такой , что символы x• x' , x'• x и e являются взаимозаменяемыми . Во всех аксиомах x , y и z - произвольные элемен ты группы . Доказательства каких-либо утверждений относительно групп предст авляют собой разворачивание определенных квазигеометрических конс трукций . Это демонстрация определенных особенност ей манипуляции с графическими символами при соблюдении указанных правил . Рассмотрим , напр имер , как производится доказательство того , чт о нейт р альный элемент единственный . Демонстрируется , что любые два графических символа , изображающие нейтральный элемент , взаимоз аменяемы . В самом деле , пусть это символы e и f . Тогда , согласно правилу (G3), f вза имозаменяем с e• f , а этот последний символ - с e , следовательно , e и f взаимозаменяемы . Пер ед нами манипуляционное обоснование , в основе к оторого всегда лежат простейшие манипуляции , типа “подставить вместо” , являющиеся неформальным и , геометрически очевидными действиями . Понимание то го , что они обозначают , всегда негласно предполагается . Н.Малкольм сохранил следующую мысль Витгенштейна : “Доказательство в математик е заключается в том , что уравнение записыв ают на бумаге и смотрят , как одно выра жение вытекает из другого . Но если всегда подвергать сомнению вы р ажения , ко торые появляются на бумаге , то не может существовать ни доказательств , ни самой мат ематики” [17, с .90]. Вспоминаются также слова Г.Вейля : “Способ , каким математик обращается со с воими формулами , построенными из знаков , немно гим отличается от тог о , как стол яр в своей мастерской обращается с дерево м и рубанком , пилой и клеем” [7, с .58]. В эстетическом аспекте , как геометрическо е , так и математическое доказательство вообще , п редстает как демонстрация , т.е . непосредственный пок аз того , как соединяются , “стыкуются” эле менты соответствующей математической конструкции . Результат же математического доказательства - математическое утверждение - есть , в интересующем нас аспекте , утверждение об особенностях соедине ния элементов математической конструкции , кот орое мы имели возможность “видеть” в процессе доказательства . Неслучайно математическ ое утверждение получило название теорема (theorema), т.е . “зрелище” , “то , что смотрят”. Как известно , самый веский аргумент дл я обыденного мышления звучит приблизительно т ак : “Я сам видел , не веришь - пойди и посмотри” . Заслуживает внимания , что на иболее точная из теоретических наук - математи ка , составляющая как бы диаметральную противо положность обыденному знанию , черпает доказательн ую силу своих рассуждений в непосредст в енной наглядности своего предмета , т.е . также в возможности “увидеть самому” и “показать другому” . Можно сказать даже , что подлинной убедительностью , подлинной доказ ательной силой обладает только демонстрация ( непосредственный показ ). Как говорит Шопенгауэ р : “Последняя , т.е . исконная очевидность , - созерцаема , что показывает уже само слово” [36, т .1, с .200]. Если бы не существовало обсуждавшихся выше естественных ограничений возможностей наш его наглядного представления пространственно-временны х отношений (в восприятии слишком большо го , слишком малого и т.п .), то , возможно , и математического доказательства , а тем самым и теоретической математики не возникло б ы . Математикам не понадобилось бы идти дал ее лаконичного “смотри” древних индийцев или перегибания че р тежа (как , по-видим ому , обосновывал геометрические утверждения еще Фалес ). Мы могли бы смело , вслед за Ш опенгауэром [36, т .1, с .104-108, 196-216, т .2, с .212-214], возмутиться хитросплетениями доказательств от противного , п роизводимых Евклидом там , где дос т аточно всего лишь перегнуть рисунок , и пол агать , что самым лучшим обоснованием теоремы Пифагора является удачный чертеж без как их-либо комментариев. Однако указанные ограничения существуют , и именно обговаривание соответствующих чертежей и их особенностей знаменовало рождение м атематики как таковой . Но математики не см огли бы продвинуться достаточно далеко в своих изысканиях , если бы не научились воп лощать словесные рассуждения в квазигеометрическ ие символические построения , т.е . не смогли бы вновь опереть с я на геометри ческую оче-видность , но на качественно новом уровне . Именно слово (logos) оказывается тем связующим звеном , которое позволяет шагнуть от геом етрического конструирования к квазигеометрическому манипулированию графическими символами (13) . “Поср едством понятийного мышления - говорит Г.Ре йхенбах - мы можем перейти от созерцания к преобразованному созерцанию . Человеческий разум обладает способностью , так сказать , “перехитр ить” визуальные образы с помощью абстрактных понятий и после этого продуциро в ать новые образы” [26, с .67]. Уже при решении простейших задач геом етрии , наряду с собственно геометрическим кон струированием систематически применяется и квази геометрическое конструирование . Возвращаясь к при меру с тысячеугольником , можно заметить , что хо тя его наглядное представление и невозможно в той степени , в какой оно осуществимо для трех - или пятиугольника , однак о , сохранить конструктивный характер соответствую щих рассуждений легко удается посредством вве дения алгебраической символики , позволяющей р ассуждать о соотношении углов и отре зков соответствующей конфигурации вне зависимост и от числа сторон , а также различать , н еразличимые в наглядном представлении многоуголь ники с тысячью и тысяча двумя сторонами . Там , где геометрическая наглядность нам отк а зывает , мы можем опереться на наглядность квазигеометрическую . При этом , как мы могли отвлекаться (абстрагироваться ) от толщины геометрических линий и размера гео метрических точек , так мы абстрагируемся и от конкретного очертания используемых нами алгебра и ческих знаков , сосредотачивая внимание лишь на системе пространственно-вре менных отношений , с их помощью передаваемых. То , что математик занимается при этом именно пространственно-временными отношениями, хорошо иллюстрируется широким применением в математи ке аксиоматического метода . Ведь главная его идея состоит в сведении оп ределения объекта к указанию системы отношени й , в которых этот объект может находиться с другими объектами той же теории. Итак , в эстетическом аспекте математическ ое мышление предстает перед нами как пространственно-временное конс труирование , которое может выступать либо в форме собственно геометрического конструирования , либо как квазигеометрическое конструирование , т.е . манипулирование графическими символами. Что изучает математика ? Пр остранственно-временные конструкции. Как она это делает ? Посредством разворачивания пространственно-времен ных конструкций другого уровня. Такой взгляд на природу математики мо жет быть охарактеризован как пангеометризм (14) . Для него ключе м к пониманию спе цифики математического мышления является именно образный аспект математики , понятийно-логический же аспект расс матривается при этом как вторичный. 4. Математика мистиков , философов , поэтов и традиционная история математики (Вместо заключ ения ). Разворачиван ие математ ических пространственно-временных конструкций способн о вызывать особое чувство красоты , которое без сомнения служит важнейшим психологическим стимулом , как к профессиональным , так и к любительским занятиям математикой . Как вс якая подлинная красо т а , математическо е действо обладает магическим обаянием . Оно способно создать в нас ощущение прикоснове ния к тайне , а порой и религиозный вос торг . Это безошибочно угадал особенно чуткий к такого рода вещам Новалис (Фридрих фо н Гарденберг , 1772-1801). В его “Фрагментах” (в первую очередь имеются в виду “гимны к математике” , как назвал их Вильгельм Диль тей ) мы находим отчетливое выражение этих мыслей : “Истинная математика - подлинная стихия мага . Истинный математик есть энтузиаст per se. Б ез энтузиазма нет м а тематики . Жизн ь богов есть математика . Чистая математика - это религия . На Востоке истинная математик а у себя на родине . В Европе она в ыродилась в сплошную технику” [19, с .153]. Новалис убежден , что поэт понимает природу лучше , чем ученый . Не ученому и со з данной благодаря его усилиям технике дано овладеть миром , но поэту , способному расслышать сокровенный ритм мироздания . Не из вне , но изнутри обретается мир . “Истинная математика” Новалиса - это та математика , котор ая позволяет нам уловить этот скрытый рит м. “Всякий метод есть ритм : если кто овладел ритмом мира , это значит , он ов ладел миром . У всякого человека есть свой индивидуальный ритм . Алгебра - это поэзия . Ритмическое чувство есть гений” [19, с .152]. Современная математическая культура мало располагает нас к пониманию того , что это за истинная математика (которая в т о же время есть истинная поэзия , истинная религия и истинная магия ), о которой т ак вдохновенно говорит Новалис (15) . Может быть поэтому мы так плохо понимаем и математику пифагорейско-платон ической традиц ии , а также многие другие феномены европей ской духовной культуры столь же необычно для нас воспринимающие математику и развивающ ие ее . И дело здесь не столько в к ультурной гордыне , сколько в реальных барьера х мешающих пробиться к существу ре а лий иной культуры . Пример того , что удается увидеть современному математику , обрати вшемуся к “второстепенным страницам истории” дает книга Дэна Пидоу “ Geometry and the Liberal Arts” (1976). Автору остается лишь огорчаться , что мы утратили способность восх и щаться природой простых геометрических фигур , и надеяться , ч то “неопифагорейские учения все же получат распространение в культуре грядущих поколений” [20, с .207]. Несомненно , более удачными следует п ризнать попытки П.А.Флоренского и А.Ф.Лосева , ко торые и я вились главными вдохновите лями моего интереса к данной области , одна ко внимательное знакомство с их трудами е ще раз убеждает насколько серьезные трудности приходится преодолевать на этом пути. Мартин Дайк , автор монографии , посвященной математическим фрагм ентам Новалиса , гово рит о своей книге : “Настоящее исследование отчасти предпринято для тех математиков-професс ионалов , которым может случиться ознакомиться с фрагментами Новалиса и обнаружить , что математические понятия применяются здесь , хорошо или плохо, но к таким предметам , которые не принято рассматривать математически , которые не укладываются в рамки установивш ихся математических представлений , и это буде т склонять их к выводу о том , что такие фрагменты не могут , вероятно , иметь какого-либо смысла . М о жно принять с самого начала , что эти относящиеся к математике фрагменты философичны , но не тех ничны . С позиции строгого математика они н еточны (unrigorous), произвольны (arbitrary) и не вносят никаког о вклада в технические аспекты математической науки . Не успевает Новалис проник нуть в великолепное по своей стройности з дание математики , как оказывается , что он уже успел незаконным образом расширить его границы (transgressed its boundaries), углубившись в джунгли философс ких идей , в которые ни один математик, оставаясь математиком , не решится за ним последовать , из опасения , что почва там слишком зыбкая (the ground too slippery) и доказательство бе ссильно укротить (and prove defenceless among) диких зверей , населяющих эти темные области” . Желая следить за пол е том мысли Новалиса , уводящей нас в этом направлении , мы не можем обойтись без постоянной оглядки на официальн о принятые результаты , постоянного соотнесения с общепринятым содержанием тех математических областей , в которые он вторгается , однако “нам не сле д ует использовать эти официальные стандарты в качестве абсол ютных и пригодных для любой ситуации меро к (as measuring rods with absolute and exclusive value)” , и тогда “в его на пе рвый взгляд фантастичных идеях о математике можно будет разглядеть глубокие п р озрения о природе этой науки” [41, p.2-3]. То , что говорит М.Дайк о современном математике-профессионале , может быть , к сожалени ю , слишком часто повторено и о современном историке математики , над которым также в полной мере имеют власть стереотипы проф есси онального математического образования . В результате , мы попросту весьма плохо знае м “второстепенные” страницы истории математики , а тем более плохо представляем себе их роль в развитии того , что помещается нами на “основных” ее страницах . Книга М.Д айка пр е дставляет собой скорее ис ключение , чем правило . Но можно ли априори утверждать , что роль эта невелика , когда мы едва знаем в лицо тех , чью рол ь спешим умалить ? Историческое исследование неизбежно предпола гает отбор материала . История культуры может быть уп одоблена сложнейшей паутине , г де каждое культурное событие есть “узелок” , связанный необозримым числом тончайших “нитей” с другими “узелками” . Поэтому , всякое изу чение этой “паутины” состоит в выделении основных “узелков” и связей между ними , и и гнорирован ии второстепе нных . Однако , вызывает сер ьезные сомнения возможность адекватной и одно значной оценки “на глаз” того , какие “узел ки” и какие “нити” являются основными . В отношении “зрительного восприятия” такой “па утины” , судя по всему , может и должен п роявля ться хорошо известный эффект перекл ючения зрительного гештальта . При этом перекл ючении выбор основных “узелков” и “нитей” может существенно изменяться . Какую конфигураци ю “узлов” и “нитей” мы выделим из нео бозримого множества всех возможных , зависит о т на ш ей установки . Что мы “уви дим” (“два профиля” или “вазу” ) зависит от нас . Наше математическое образование готовит нас к тому , чтобы всегда видеть “два профиля” и никогда “вазу” , но это вов се не означает , что первое представляет со бой адекватное выделение о с новного , тогда как второе - нет . Пафос настоящего доклада как раз и состоит в том , чтобы напомнить о возможности смотреть как на саму математику , так и на ее историю sub specie artis, т.е . видеть “вазу” там , где обычно видят лишь “два профиля”. Приведем ещ е несколько примеров т радиционно “второстепенных” страниц истории мате матики , которые , с проводимой нами точки з рения , оказываются в числе основных . О йенском профессоре математики и аст рономии Эрхарде Вейгеле (Erhard Weigel, 1625-1699) можно сейчас у слыша ть в основном в связи с биог рафией Лейбница , на которого он оказал нео споримое влияние . Некогда “всемирно известный” , “знаменитейший профессор математики” , создавший в Йене сильную школу математики и физи ки [10, с .135] в настоящее время практически пол нос т ью забыт . Уже для Морица К антора математика Вейгеля всего лишь пример характерного для немецких университетов того времени отсутствия потребности в математике [29, с .8-9]. В настоящее время , многочисленные ра боты Вейгеля практически невозможно найти в биб л иотеках , они не переиздаются и не переводятся . Редко в каком энцик лопедическом словаре найдешь статью о нем . В чем же дело ? А дело в том , какой математикой занимался Вейгель. В центре его внимания - создание едино й системы знания (включающей в себя как бог ословие , так и все явления физич еского и социального порядка ) на основе ун иверсального логико-математического метода , и рефо рма на этой основе современной ему систем ы образования . Он убежден во всеобщей прил ожимости математического метода и стремится к сб л ижению на этой почве всех отраслей человеческого знания . Его девиз : omnia mensura, numero et pondere. На основе сочетания метода Евклида ( сведение содержания науки к ее основным э лементам ) и Аристотеля (выведение из этих элементов следствий посредством си л ло гизма ) он стремится построить рациональную те орию науки , задача которой - познать мир ка к sillogismus realis. При этом аксиомы выступают как зак оны природы , а выводимые из них следствия являются не только необходимыми , но и реальными . Вейгель развивает и дею “всеобщей математики” (Mathesis universae) или “пантометрии” (Pantometria), которая распространяется им не только на физический , но и на гражданский мир . П озднее он будет развивать мысль , что “пант огнозия” (Pantognosia), или способ точно знать , что б ы то ни было , сводится к измере нию и счету всех предметов познания , ибо достоверно только количественное знание . Отс юда естественно вытекает “пантология” (Pantologia) - взгляд на мир , как на такую систему вещей , в которой все имеет свою логику . В этом конте к сте он писал о мор альной арифметике , т.е . о сведении всех нра вственных качеств к количествам ; разрабатывал практическую этику на арифметической основе ; занимался изучением проблемы зла с математиче ской точки зрения ; доказывал “геометрически” бытие Божие и т.д . [29; 10, с .39-41]. Еще одна страничка истории математики , в интересующем нас аспекте , - это деятельнос ть Юзефа Гоэнэ-Вронского (J.M.Hoё ne-Wroс ski, 1776-1853). Она , н аряду с размышлениями Декарта , Вейгеля , Лейбни ца , Новалиса и многих других , оказываетс я важным “узелком” в истории весьма значимой для развития математики Нового вр емени идеи Mathesis Universalis. Как и Новалис , Вронский о пирался в своих рассуждениях на философию математики Канта . Судьба математических работ польского математика-философа в XIX ве ке весьма напоминала судьбу наследия Вейгеля , а отношение к идеям Вронского со сто роны общепризнаной математики В.В.Бобынин описывал так : “В продолжении всей его жизни оф ициальная наука с настойчивостью , достойной л учшей участи , постоянно отказывала ему в признании научного значения его трудов по философии математики , хотя , строго гов оря , в последователях его учения и не было недостатка” [6, с .10]. В процитированной работ е 1886 года Бобынин называет Вронского “самым выдающимся , даже можно сказать , по к а единственным , представителем философии математики - науки , только еще создающейся , но имеющей в будущем подчинить себе все дальнейшее развитие наук математических” [6, с .1]. Пророчество Бобынина о будущем значении р абот Вронского пока не оправдалось . Пр а вда , в XX веке философско-математическим со чинениям Вронского посчастливилось более : в 1925 г . они были переизданы , а в 1939 о “ loi supreme” Вронского появилась статья такого крупно го математика как Стефан Банах . Впрочем , к ак в прошлом веке , так и в нынеш н ем слишком подозрительной продолжает выглядеть для большинства математически обра зованных людей тесная связь математических ра ссуждений Вронского с “мессианизмом” , “абсолютной философией” и т.п . [40]. Убежденность в единственности привычного и общепринятог о взгляда на то , что такое “настоящая математика” , не дает даже подойти к изучению философско-математических работ Новалиса , Вейгеля , Вронского , или Карла Эккартсхаузена (K. von Eckartshausen, 1752-1803). Эти работы написаны с точки зрения другого пониман и я математики и требуют для своего изучения умения посмотреть на них под тем угл ом зрения , под которым рассматривали их ав торы , умение признать за этим углом зрения хотя бы минимальную , “стартовую” , ценность . На мой взгляд , здесь открывается обширное поле д ля исследований . Мои собс твенные первые робкие шаги в этом направл ении и представлены в изложенных выше рас суждениях о математической мифологии и пангео метризме. Примечания. 1. “Чувственное созерцание может быть сравнено с линией , а умственное - с кругом” [23, с .61]. Предлагаемая Плотином аналогия восходит к “Тимею” Платона. 2. З аслуживает всяческого внимания , что как приве рженцы , так и противники математики в философии (философской математики , математизированной философии ) находят главные свои аргументы у Платона , т.е ., защищая диаметрально противоп оложные позиции , они развивают мысли происход ящие из общего источника (Платон и неоплат оники ). Как правило , такая странность связана с пониманием критики Платоном неправильного отношения к математике как решающе г о аргумента против математики вообще , а противоположности математического и диалектиче ского методов как несовместимости математики и философии вообще (Кант , Гегель , В.Гамильтон ). И в первом и во втором случае полн остью игнорируется возможность и действенн о сть математической диалектики . 3. Б лизкий образ встречается у Плотина : Единый (Единое ) “созерцается во множестве существ , в большей или меньшей степени способных в оспринять и отображать его в себе , но который отличен и обособлен от всех их , подобно тому , как один центр в круге остается один сам по себе , между тем как множество радиус ов со всех точек периферии к нему схо дятся ” [23, с .66; курсив мой ]. 4. А налогия , используемая Лейбницем в этом доволь но мутном отрывке , может быть разъяснена с ледующим образом : как отрезки могут быть между собой либо соизмеримыми , либо - нет , причем , в первом случае , процедура нахожд ения общей меры , - показывающая , что один из отрезков составлен из тех же частей , что и другой , - может быть осуществлена за конечное число шагов, а во вто ром - уходит в бесконечность , так и истины могут быть либо необходимыми , либо случай ными , причем , в первом случае , за конечное число шагов может быть показано , что предикат состоит из тех же частей , которые имеются в субъекте , а во втором - проц ед у ра анализа уходит в бесконечно сть . 5. П. А.Флоренский не ограничивался работой с матем атическими конструкциями как парадигмальными схе мами . Он один из немногих , кто осознанно стремился к возрожден ию математического мифа в его полноте . Вслед за ним в этом н аправлении шел и А.Ф.Лосев. 6. П ространство и время определяются Кантом как обязательный компонент всякого созерцания : о тбрасывая в созерцании все , что может быть отброшено , мы в конечном итоге получ аем пространство и время в чистом виде . См . [11, т .3, с .6 4, т .4, с .38]. По существу , априорное созерцание (пространство и время ) оказывается у Канта тем самым , что не может быть отброшено ни из какого созерцания , и обнаруживается нами в ходе мысленного эксперимента , состоящего в отбрасывании всего , что отбросить возможно. 7. К стати сказать , эта , рецептивная , сторона геомет рической мысли осталась не достаточно отмечен ной Кантом . Чистое созерцание Канта , заменивше е геометрическую материю платоников , не есть уже некая среда со своими собственными потенциями , которые и раскрываются в геометрических рассуждениях . В математике “поняти е о предмете дается дефиницией первоначально” , “математические дефиниции создают само поня тие” , а предмет рассмотрения математика “не может содержать в себе ни больше , ни меньше , чем понят и е” [11, т .3, с .538-539]. Нет дефиниции , - нет понятия о предмете , а тем самым и самого предмета (содержащего в себе ровно столько , сколько понятие ). Здесь как бы нет предмета , свойства кот орого стремится уловить дефиниция , ведь эта последняя “ниоткуда не в ыводится” . Желая во всем противопоставить математику и философию , Кант доходит в своих рассужде ниях почти до абсурда : утратив отличный от нее предмет рассмотрения математическая дефи ниция (понятие ) становится чистым произволом . В ряд ли Кант действительно п ридержив ался такой точки зрения , (чистый произвол не может служить источником синтеза ), однако в пылу полемики он оказывается в опасн ой близости от этой грани. 8. К онечно , можно вспомнить Я.Штейнера , никогда не пользовавшегося на своих лекциях никакими рис унками , или Дистервега , даже специаль но затемнявшего помещение во время семинарски х занятий по геометрии [13, с .146], однако , это скорее исторические казусы , чем закономерность . Нетрудно догадаться , что способность слушате лей следить за рассуждениями этих геометров предполагала уже определенный опыт геометрического мышления использующего эмпирические пособия. 9. Х отелось бы обратить особое внимание на бл изость развиваемых в настоящем докладе идей с взглядами американского психолога , специал иста в области пс ихологии искусства , Рудольфа Арнхейма , изложенными в его книге “ Visual Thinking” (1969) [39]. Арнхейм как раз подходит к математике sub specie artis и (в силу этого ) обращает в нимание преимущественно на те же культурные феномены , которые оказались и в цент ре моего внимания . Попытка прояснить с ложившиеся у меня в ходе получения матема тического образования и опыта преподавания ма тематики представления о математическом мышлении (да и мышлении вообще ) привели меня к взглядам , оказавшимся в самом близком род ств е с представлениями Макса Вертхе ймера о творческом мышлении (productive thinking) [8] и , в ос обенности , с идеями Арнхейма , также явно п римыкающими к гештальт-психологии . “Продуктивное м ышление - говорит Арнхейм - по необходимости осн овано на перцептуальных образах и , наоборот , активное восприятие включает в себя отдельные аспекты мышления” [3, с .165]. “Только то , что , по крайней мере , в принципе до ступно наглядному воображению , может поддаваться и человеческому пониманию” [2, с .78-79]. Имеется “близкое родс т во перцептуального опыт а и теоретического рассуждения” , поэтому “меж ду искусствами и науками нет большой разн ицы ; также нет пропасти и между использова нием картин и употреблением слов” [3, с .167]. Са мое прямое отношение к нашей теме имеют взгляды Арнхейма на природу абстракции , на различение ст атических и динамических понятий , на противопоставление фигуры и фона , как основу простейших систем образов (в частности , образов математических ) и т.д . Понятие же “хорошего гештальта” (Вертхеймер ) дает ключ к пониман ию т ого , что такое математич еская красота . Впрочем , ис пользование наработок гештальт-психологов в облас ти психологии мышления для целей философии математики требует отдельного обсуждения. 10. Р азвитие этой мысли означает разговор о социокультурной природе феномена математики . Перед нами мостик , позволяющий нам ощути ть социокультурную гибкость выдвигаемого взгляда . Ег о гибкость определяется исторической изменчивост ью понимания слов “пространство” , “время” , “пр остранственно-временное конструирование” и т.п . О днако , социокультурная природа рассматриваемо го феномена гарантирует нам не только гиб кость и изменчивость , но и преемственность , сохранение “семейного сходства” (Л.Витгеншт ейн ) посредством “социальных эстафет” (М.А.Розов ) (см . также введение к настоящему докла ду ). 11. У же Аристотель заметил , что математик не ну ждается для своих рассуждений в представлении слишком больших величин , ведь его интерес уют не сами величины , а их отношения , но “в том же отношении , в каком делитс я самая большая величина , можно был о бы разделить и какую угодно другую” (Phys., III, 7) [1, с .121]. Следовательно , все воображаемые математи ками конструкции , без всякого для них вред а , могут быть уложены в рамки конечного аристотелевского космоса . А коль скоро мы хотим говорить о нашей ин д ивид уальной способности воображать - в границы меж ду верхним и нижним порогами восприятия ; н ужно лишь вовремя менять масштаб : гомотетичны м образом увеличивать или уменьшать всю к онструкцию. 12. Х отелось бы сделать некоторые замечания , прояс няющие отношение высказываемой точки зрения на роль времени и движения в математике к позициям платонической традиции и Канта . Хотя Аристотель (Met., VI, 1) и предлагает отличать математику от физики по неподвижности пред мета изучения первой , однако , намеченное у него же учение о специфической материи математических предметов (Met., VII, 10-11; VIII, 6) естественно вед ет к мысли и о наличии становления (дв ижения в широком аристотелевском смысле ) в этой области : ведь всякая материя есть не только лишенность формы , но и обя з ательно ее возможность , а всякая возможность раскрывает себя лишь переходя в действительность , т.е . предполагает наличие становления . Таким образом , можно говорить о математическом становлении (Met., IX, 9), однако математика интересует не само становлени е (это специфический предмет аристотелевской физики ), а лишь его результат . Этот взгляд по дтверждается и Проклом [24]: с одной стороны , геометрия определяется у него как изучающая величины в покое (в отличие от астрон омии , изучающей величины в движении , и о характеризованной в связи с этим Аристотелем как самая физическая из мате матических дисциплин - Phys., II, 2), а , с другой стороны , внутри самой геометрии различаются проблемы и теоремы , что напрямую связывается Прокл ом с различением становления и бытия [ 2 7]. Время , согласно Канту , “мы можем мысли ть не иначе , как обращая внимание при проведении прямой линии (которая должна быть в нешне образным представлением о времени ) искл ючительно на действие синтеза многообразного , при помощи которого мы последовательно определяем внутреннее чувство , и тем самым имея в виду последовательность этого опред еления . Даже само понятие последовательности порождается , прежде всего , движением как дейст вием субъекта (но не как определением объе кта )” [11, т .3, с .142]. Кант весьма н а стороженно относится к движению в геометрии , как науке основанной на чистом созе рцании . Ведь “понятие движения , соединяющее в себе и пространство и время , предполагает нечто эмпирическое” [11, т .3, с .78]. Поэтому он предлагает различать “движение объекта в пространстве” , которое “не подлежит рассмотр ению в геометрии , так как подвижность чего бы то ни было познается не a priori, а т олько опытом” , и “движение как описание пр остранства” , которое есть “чистый акт последо вательного синтеза многообразного во вне ш нем созерцании вообще при помощи продуктивной способности воображения” [11, т .3, с .142] - без кот орого невозможна геометрическая мысль , и кото рое было охарактеризовано выше как “действие субъекта , но не определение объекта” . Это кантовское различение дву х видов движения вполне соответствует платоническому р азличению становления эмпирического и становлени я геометрического. Невозможно не упомянуть здесь также о возводимой обычно к Канту идее об особой связи геометрии с созерцанием пространства , а арифметики с созерцанием времени . В самом деле , у Канта читаем : “Геометрия кладет в основу чистое созерцание простран ства . Арифметика создает понятия своих чисел последовательным прибавлением единиц во врем ени” [11, т .4, с .38]. Это место действительно прово цирует так ое понимание : как геометрия связана с пространством , так арифметика со временем . Именно так воспринимает это место Шопенгауэр : “На связи частей времени осно вано исчисление , слова в нем служат лишь для того , чтобы отмечать отдельные шаги последовательности ; следовательно , на этой связи основана и арифметика , которая учит только методическому сокращению исчислени я” . “Так же на связи положения частей пространства основана вся геометрия” [36, т .1, с .104]. Шопенгауэр не слишком хорошо разбирался в математике , о д нако эту же иде ю подхватывает такой крупный математик как В.Р.Гамильтон , в 1833 г . выпустивший “ an elementary essay on Algebra as the Science of pure time” [13, с .206], впрочем , вынужденный признат ь , что уже введение вычитания требует прос транственных пре д ставлений . Интересно , что более внимательное знакомство с Кантом убеждает , что никакого противопоставления арифм етики , как опирающейся исключительно на созер цание времени , и геометрии , - как опирающейся исключительно на созерцание пространства , им не прои з водится . Никакого представл ения пространства , свободного от представления времени быть не может : “время есть апри орное формальное условие всех явлений вообще” [11, т .3, с .73]. Не может быть и представления времени , свободного от представления простра нства - выше мы уже цитировали од но из мест первой Критики , где эта мыс ль высказывается , кроме того , можно указать на черновые заметки Канта специально разви вающие эту мысль [11, т .8, с .651]. Мы всегда име ем дело с пространственно-временным комплексом представл е ний , который лежит в основании , как арифметики , так и геометрии , хотя акценты и могут расставляться различно . Подлинное же различие геометрии от арифм етики и алгебры в т ипе конструирования - остенсив ном в первом случае и символическом - во втором . На ошиб очность представления об о собой связи геометрии с созерцанием пространс тва , а арифметики - с созерцанием времени , у казывал Шпенглер . Однако он полагал , что э ту ошибку совершил и сам Кант . “Колоссальн ой по своим последствиям - писал Шпенглер - и до сего дн я еще не преодол енной ошибкой Канта было то , что он со вершенно схематически установил связь внешнего и внутреннего человека с многозначными и , главное , не стабильными понятиями пространства и времени и тем самым совершенно ложным образом связал геометрию и арифметику , вместо которых здесь должна быть хотя бы упомянута более глубокая противоположность математического и хронологического числа . Арифм етика и геометрия обе суть счисления пространс тва и в высших своих областях вообще не подлежат различению . Счисле ние времени , ин туитивно вполне понятное наивному человеку , о твечает на вопрос “когд а” , а не на вопрос “что” или “сколько” “ [37, с .132] . “Каждую логическую операцию - пишет Шпенглер далее - можно нарисовать . Каждая система есть геометрический способ обраще ния с мыслями . Оттого время л ишено места в “системе” или падает жертво й ее метода . Тем самым опровергается и повсеместно распространенное недоразумение , поверх ностным образом связующее время с арифметикой , а пространство с геометрией , заблуждение , котором у не должен был бы подпа сть Кант , хотя едва ли следовало ожидать чего-либо иного от Шопенгауэра с его непониманием математики . Поскольку живой акт счисления как-то соотносится со временем , число и время постоянно смешивали друг с дру гом . Но счисление не ест ь число , ка к рисование не есть рисунок . Счисление и рисование суть становление , числа и фигур ы - ставшее . Кант и другие имели в виду в одном случае живой акт (счисление ), а в другом - его результат (пропорции готов ых фигур ). Но одно относится к сфере жи зн и и времени , другое - к протяжен ности и каузальности . То , что я счисляю , по длежит органической логике ; то , что я с числяю , - неорганической . Вся математика , - популярно вы ражаясь , арифметика и геометрия - отвечает на вопрос “как” и “что” , стало быть , на вопр ос о естестве нном распорядке вещей . В противоречии с этим находится вопрос о “когда” вещей , специфически исторический вопрос - вопрос о судьбе , будущем и прошлом . Все это таится в слове “летоисчисление” , которо е наивный человек понимает совершенно недвусм ы сленно . Между арифметикой и геометрией нет никакой противоположности . Каждый род ч исла <...> принадлежит во всем своем объеме к сфере протяженного и ставшего , будь то евклидова величина или аналитическая функция . А к какой из обеих сфер следовало бы отнес т и циклометрические функции , биноминальную теорему , римановы плоскости , те орию групп ? Кантовская схема была уже опро вергнута Эйлером и Д 'Аламбером , прежде чем он успел ее сформулировать , и лишь не осведомленность более поздних философов по ча сти современной им математики - в п ротивоположность Декарту , Паскалю и Лейбницу , которые сами создавали математику своего врем ени из глубин собственной философии , - могла привести к тому , что дилетантские взгляды на отношение между временем и арифметикой продолжали переда ваться по наследству , почти не встречая возражений . Но становлени е ни в чем не соприкасается с какой-ли бо областью математики” [37, с .282-283]. Эта обширная цитата приведена здесь не только как я ркий пример протеста против связывания арифме тики исключител ь но с созерцанием времени , а геометрии - с созерцанием пространст ва , но и как ярчайший пример протеста против представления о том , что время и становление вообще могут служить предметом применения математических методов . Однако хотя в главном Шпенглер , без у словно , прав , картина несколько сложнее , чем ему представляется . Обратим внимание , что среди приверженцев представления об особой связи ал гебры и времени мы находим В.Р.Гамильтона , которого вряд ли можно упрекнуть в незнан ии современной ему математики . Эт о означает , что дело здесь не в дилетанти зме , как полагает Шпенглер . Дело не в т ом , что математике и ее методам недоступны время и становление вообще , а в том , что время и становление в математике с ущественно иные, чем те историческое время и эмпирическое с тановление , о которых говорит Шпенглер . Более адекватным здесь ок азывается платоническое представление о срединном х арактере математики (ее предмета и метода ) - это и не полная свобода от времени и становления - вечное бытие эйдосов и созе рцающего их ума , но и не собственно эмпирическое время и становление чувственно воспринимаемого космоса . Можно и нужно го ворить о времени и становлении в математи ке , но помня , что это особые , математические , время и становление . Например , они н е обладают уникальностью и не повторимость ю исторического времени и эмпирического стано вления . В математике можно дважды войти в одну и ту же реку . Ее время и ее становление подобны времени и становлению кинофильма , который можно прокручивать еще и еще раз , и даже просмотреть в обр атн о м порядке . Однако само событие , состоящее в том , что нам случилось прокрутить именно этот “математический кинофильм” , именно в это время и именно в этом месте , есть факт эмпирического и исторического порядка . 13. С ледует заметить , что роль слова в математ ическом мышлении , да и в мышлении вообще , куда более заметна , чем это предст авлено в настоящем выступлении . Сосредоточив внимание на эстетическом аспекте математики , мы говорили преимущественно о созерцании и образе , оставив в тени неразрывно связанные с н ими язык и по нятие . Дело здесь не в недооценке последних , а в определенном у гле зрения избранном в данной работе . В действительности я полагаю , что не только переход от геометрического к квазигеометрическ ому конструированию предполагает языковое посред ниче ство , но и всякая геометрическая к онструкция , да и всякий отчетливый образ в ообще , невозможен вне опыта обговаривания , вне языковой обработки созерцательного фона . Соз ерцание и язык , образ и понятие не мог ут существовать друг без друга , их можно уподобить двум сторонам одной мон еты [33, с .14-27; 21]. Образ и понятие неразрывно связ аны не только в процессе генезиса , но и в процессе коммуникации . Приведем простой пример . Предположим , мы видим человека рисую щего нечто . Просто глядя на то , что он рисует мы не и меем никакой возможности выяснить , что перед нами - художест венно творчество или математическая деятельность , является ли то , что мы видим орнамент ом или геометрическим чертежом . Способны ли мы вне опыта обговаривания отличить архите ктурное сооружение от с тереометрической модели ? Ребенок , который растет в семье математиков , как правило , довольно рано начи нает проявлять интерес к тем “закорючкам” , которыми его родители в изобилии покрывают бумажные листы . Он пробует подражать им , возможно не без некоторого у сп еха . Предположим , он собственноручно воспроизвел на листе бумаги цепочку формул . Является ли его деятельность математической ? - Конечно , нет . Очень вероятно , что для ребенка эта цепочка формул обладает по преимуществу эстетической ценностью , но - это не математическая эстетика . Так же не является математикой игра в пятнашки , в крестики-ноли ки , в шахматы . Да и построение конечных цепочек знаков по определенным правилам (пу сть даже позаимствованным из метаматематики !) станет математикой только в контексте с вязи этих правил с содержательной мат ематической теорией , или с рассуждениями , выяс няющими особенности пространственно-временной организ ации соответствующей системы знаков (проблемы эквивалентности , разрешимости , аксиоматического постр оения и т.п .). Подоб н ым же образ ом предметом математическог о изучения могут быть сделаны и пятнашки , крестики-нолики или шахм аты . Другими словами , математичность (или немат ематичность ) некоторой графики определяется не ей самой , а тем смысловым контекстом , ко торый связывает ее с изучением простран ственно-временных отношений , создать же этот к онтекст можно лишь слов ом . 14. Такая позиция диаметрально противоположна панарифметизму , представленному , например , работой Ауреля-Эдмунда Фосса (A.Voss) “О сущности математик и” (1908). В э той работе читаем : “ ... разд елим всю совокупность математических изысканий на чистую математику и области ее приложения . К последним мы относим геометрию и механику , понимая их в самом широко м смысле . Чистая же математика есть наука о числах ; а числа суть созданные нами знаки для упорядочивающей деятельности нашего рассудка , которые допускают сочетания друг с другом по определенным общим пр авилам . В учении о числах мы усматриваем поэтому подлинную сущность математики , а изъяснение того , как все другие предс т авления , содержащиеся в понятии величины , могу т быть подчинены понятию числа , составляет в пределах чистой математики переход к областям ее приложения” [32, с .17]. Если мы в настоящем докладе стремились подобраться к тайне математики через распространени е на всю математику идеи геометрического построения , то Фосс делает то же само е в отношении идеи числа . Если мы смот рели на математику sub specie artis, то Фосс - с точки зрения внутриматематической тенденции к арифме тизации математики , характерной для пос л едней трети XIX века , в особенности для Берлинской школы К.Вейерштрасса. 15. Т ак , например , высказывание Новалиса “кривая ли ния есть победа свободной природы над пра вилом” [19, с .146], с его антиплатоническим пафосом , может быть должным образом понято лишь в контексте особой , онтологически выдел енной , роли , отводимой платониками окружности и прямой (отброшенной еще в “Геометрии” Де карта !), а также платонического учения о ма терии.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Порошенко - как картошка. Если летом колорады не съедят, то осенью уберут. А если зимой не замёрзнет - весной посадят.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Математическая мифология", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru