ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Оглавление
Введение
§ 1. Основные определения
§ 2. Уравнения Фредгольма. Теоремы Фредгольма
2.1 Уравнения Фредгольма I рода
2.2 Уравнения Фредгольма II рода
§ 3. Уравнения Вольтерра. Связь с задачей Коши
3.1 Уравнения Вольтерра I рода
3.2 Уравнения Вольтерра II рода
§ 4. Метод последовательных приближений для уравнений Фредгольма
§ 5. Метод последовательных приближений для уравнений Вольтерра
Заключение
Список литературы
Приложение
Введение
Интегральные уравнения встречаются в различных областях науки и многочисленных приложениях (в теории упругости, гидродинамике, физике, экономике, медицине и т.д.).
Решение линейных интегральных уравнений очень актуально в наше время. Интегральные уравнения помогают в решении множества задач, которые порой невозможно или очень не рационально решать другим способом. На сегодняшний день это полноценный раздел, имеющий большое практическое значение.
В данной работе рассматриваются линейные интегральные уравнения I и II рода, шведского математика Эвара Ивара Фредгольма (1866-1927гг) и итальянского математика, физика Вито Вольтерра (1860-1940гг). И способ их решения методом последовательных приближений.
После основного материала приведен ряд приложений, где описано несколько решений линейных интегральных уравнений.
Цель работы – изучить линейные интегральные уравнения и методы их решения. Для поставленной цели необходимо решить задачи:
рассмотреть интегральные уравнения;
рассмотреть линейные интегральные уравнения;
изучить методы решения линейных интегральных уравнений;
решить линейные интегральные уравнения методом последовательных приближений.
§ 1. Основные определения
Действительная
функция
называется квадратично интегрируемой
(квадратично суммируемой, интегрируемой
с квадратом) на отрезке
,
если
интегрируема на
.
Совокупность всех квадратично
интегрируемых на
функций обозначают
или
коротко
.
Совокупность всех интегрируемых на
функций обычно обозначают
или коротко L1.
Основные свойства функций из L2.
1°. Сумма двух квадратично интегрируемых функций есть квадратично итерируемая функция.
2°. Произведение квадратично интегрируемой функции на константу есть квадратично итерируемая функция.
3°. Произведение двух квадратично интегрируемых функций есть интегрируемая функция.
4°.
Если действительные функции
и
,
то имеет место неравенство Буняковского-Шварца
Число
называется скалярным произведением
действительных функций
и
,
а число
— нормой действительной функции
в
.
5°.
Для
и
имеет место неравенство треугольника
6°.
Пусть функции
и
,
,…,
,…
квадратично интегрируемы на
отрезке
.
Если
то
говорят, что последовательность функций
,
,...
сходится в среднем квадратичном к
функции
.
Если
последовательность функций
из L2,
сходится
равномерно к
,
то
и
сходится к
в среднем.
Ядро
интегрального уравнения
называется вырожденным, если оно
представимо в виде
Ядро
интегрального уравнения
называется разностным, если оно зависит
от разности аргументов:
Ядро
интегрального уравнения
называется симметричным, если оно
удовлетворяет условию
Линейное интегральное уравнение с переменным пределом интегрирования имеет вид
, (1)
где
—
неизвестная функция.
Линейное интегральное уравнение с постоянными пределами интегрирования имеет вид
(2)
При
,
уравнения (1) и (2)
называются линейными
интегральными уравнениями первого
рода, а
при
—
линейными
интегральными уравнениями второго
рода.
Уравнения вида (1) и (2) при специальных условиях, накладываемых на их ядра и правые части, образуют различные классы интегральных уравнений (уравнения Вольтерра, уравнения Фредгольма, уравнения типа свертки и др.).
При
линейные уравнения называются однородными,
а при
—
неоднородными.
Любое
линейное однородное интегральное
уравнение имеет тривиальное решение
.
Если
и
—
частные решения линейного однородного
интегрального
уравнения, то их линейная комбинация
с
произвольными постоянными
,
также
будет решением данного уравнения (в
физических задачах это
свойство называют принципом линейной
суперпозиции).
Общее
решение линейного неоднородного
интегрального уравнения
равно сумме
общего решения
соответствующего
однородного уравнения
и
любого частного решения
данного
неоднородного уравнения
.
Если
однородное интегральное уравнение
имеет только тривиальное решение
,
то решение соответствующего неоднородного
уравнения будет единственным (если оно
существует).
Преобразование
,
,
, (3)
где
,
,
—
произвольные непрерывные функции (
),
приводит уравнения (1) и (2) к линейным
уравнениям тою же вида относительно
неизвестной функции
.
Такие
преобразования часто используются для
построения точных решений линейных
интегральных уравнений.
Интегральным
уравнением называется уравнение,
содержащее неизвестную функцию
под знаком определенного интеграла.
Если неизвестная функция входит в
уравнение в первой степени, то такое
интегральное уравнение называется
линейным.
Линейным интегральным уравнением Фредгольма I рода называется уравнение вида
Линейным интегральным уравнением Фредгольма II рода называется уравнение вида
Линейным интегральным уравнением Вольтерра I рода называется уравнение с переменным верхним пределом вида
Линейным интегральным уравнением Вольтерра II рода называется уравнение с переменным верхним пределом вида
,
где
- известная непрерывная функция двух
переменных (ядро интегрального уравнения);
- свободный член, представляющий заданные
непрерывные функции;
- искомая функция;
- заданные пределы интегрирования;
- числовой параметр.
§ 2 Уравнения Фредгольма. Теоремы Фредгольма
Рассмотрим
неоднородное уравнение Фредгольма
.
Сопряженным
(союзным) интегральным уравнением
называется уравнение с ядром
Если
ядро симметрическое, то союзное уравнение
совпадает с
исходным.
Наряду
с уравнением
или, в операторной форме
будем
рассматривать союзное с ним интегральное
уравнение
(в
операторной форме
)
- непрерывная
функция.
Теорема 1. Уравнение Фредгольма имеет не более счетного множества характеристических чисел, которые могут сгущаться только на бесконечности.
Теорема
2.
Если значение
правильное, то, как данное интегральное
уравнение, так и союзное с ним уравнение,
разрешимо при любом свободном члене и
решение каждого из этих уравнении
единственно. Соответствующие однородные
уравнения имеют только тривиальные
решения.
Теорема
3.
Если значение
характеристическое, то однородное
интегральное уравнение, так же как и
союзное с ним однородное уравнение,
имеет нетривиальные решения. Число
линейно независимых решений однородного
интегрального уравнения конечно и равно
числу линейно независимых решений
однородного союзного уравнения.
2.1. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода
Линейные интегральные уравнения первого рода с постоянными пределами интегрирования имеют форму
(4)
где
—
неизвестная функция
,
—ядро
интегрального
уравнения,
—
некоторая известная функция, которая
называется свободным
членом или
правой
частью уравнения (4).
Функции
и
обычно считают непрерывными, либо
квадратично интегрируемыми на
,
Если
ядро интегрального уравнения (4)
непрерывно в квадрате
,
либо
квадратично интегрируемо в этом
квадрате, т. е.
, (5)
где В - постоянная, то его называют фредгольмовым ядром. Уравнения с постоянными пределами интегрирования вида (4), имеющие фредгольмово ядро, называют уравнениями Фредгольма первого рода.
Интегральное
уравнение, полученное из (4) заменой ядра
на
называется союзным с (5) или транспонированным
к нему.
Замечание.
В общем случае переменные
и
в
уравнении (4) могут изменяться в
различных пределах (например,
).
2.2. Уравнения Фредгольма II рода
Линейные интегральные уравнения второго рода с постоянными пределами интегрирования имеют форму
, (6)
где
—
неизвестная функция
,
—ядро
интегрального
уравнения,
—
некоторая известная функция, которая
называется свободным
членом или
правой
частью уравнения (6).
Для удобства анализа в интегральном
уравнении (6) по традиции принято выделять
числовой параметр
,
который называют параметром
интегрального уравнения. Классы
рассматриваемых функций и ядер были
определены ранее. Отметим, что уравнения
с постоянными пределами интегрирования
вида (6), имеющие фредгольмовы ядра или
ядра со слабой особенностью, называются
соответственно уравнениями
Фредгольма второго рода или
уравнениями
со слабой особенностью второго рода.
Число
называется характеристическим
числом или
характеристическим
значением интегрального
уравнения (6), если существует нетривиальное
решение соответствующего однородного
уравнения ().
Само же это нетривиальное решение
называется собственной
функцией интегрального
уравнения, соответствующей
характеристическому числу
.
Если
является характеристическим числом,
то величина
называется собственным
числом интегрального
уравнения (6). Правильным
или регулярным значением
параметра
называется такое его значение, при
котором упомянутое однородное уравнение
имеет только тривиальное решение. Иногда
характеристические числа и собственные
функции интегрального уравнения
Фредгольма называют характеристическими
числами и собственными функциями ядра
.
Интегральное
уравнение, полученное из (6) заменой ядра
на
,
называется
союзным
с
(6) или транспонированным
к
(6).
Замечание
1.
Переменные
и
могут
изменяться в различных интервалах
(например,
и
).
Для определенности далее будем считать,
что
и
(этого
всегда можно добиться линейной
подстановкой
с помощью надлежащего выбора постоянных
и
).
Замечание
2.
Случай, когда пределы интегрирования
a
и/или b
могут
быть бесконечными, вообще говоря, не
исключается, но при этом следует
внимательно проверять выполнение
условия квадратичной интегрируемости
ядра
в
квадрате
.
§ 3 Уравнения Вольтерра. Связь с задачей Коши
Линейным интегральным уравнением Вольтерра I рода называется уравнение с переменным верхним пределом вида
(7)
Линейным интегральным уравнением Вольтерра II рода называется уравнение с переменным верхним пределом вида
. (8)
Если
ядро
и
- непрерывно дифференцируемые функции,
причем
при
,
то интегральное уравнение Вольтерра I
рода сводится к интегральному уравнению
Вольтерра II
рода. Дифференцируя уравнение Вольтерра
I
рода по
,
имеем
откуда получаем уравнение Вольтерра II рода
где
С формальной стороны уравнение Вольтерра отличается от уравнения Фредгольма лишь тем, что интеграл с постоянными пределами заменяется интегралом с переменным верхним пределом.
Между
задачей Коши для линейного дифференциального
уравнения
-го
порядка и уравнением Вольтерра существует
тесная взаимосвязь. Рассмотрим линейное
дифференциальное уравнение
(9)
при начальных условиях
(10)
Полагая
(11)
и
последовательно интегрируя, имеем
и
Изменяя порядок интегрирования в двойном интеграле последнего равенства, замечаем, что
Из
начальных условий (12) при
находим
откуда
Аналогично получим
и, так как интеграл с одинаковыми
пределами интегрирования равен нулю,
то
.
Поэтому
(12)
и
(13)
Соотношения
(11) – (13) подставим в дифференциальное
уравнение (9), тогда
или
Окончательно имеем
Обозначая для краткости
получаем интегральное уравнение Вольтерра
(14)
Зная
функцию
,
из зависимости (13) можно найти
и производную
.
Итак,
интегральное уравнение Вольтерра
включает в себя все данные задачи Коши
для линейного дифференциального
уравнения (9). Аналогичный результат
можно получить для линейного
дифференциального уравнения
-го
порядка.
3.1. Уравнения Вольтерра первого рода
Линейные интегральные уравнений Вольтерра первого рода, которые имеют вид
(15)
где
—
неизвестная функция
—
ядро
интегрального уравнения,
—
некоторая известная функция, которая
называется свободным
членом или
правой
частью уравнения
(15).
Функции
и
обычно считают непрерывными, либо
квадратично интегрируемыми на
.
Ядро
интегрального уравнения
полагают
непрерывным в квадрате
,
либо
удовлетворяющим условию
(16)
где
B
—
постоянная, т. е. квадратично интегрируемым
в этом квадрате. В формуле (16) полагается,
что
при
.
Рассматривают также полярные ядра
(17)
и логарифмические ядра (ядра, имеющие логарифмическую особенность)
, (18)
где
(
)
и
—
непрерывны в
.
Полярные и логарифмические ядра составляют класс ядер со слабой особенностью. Уравнения, содержащие такие ядра, называются уравнениями со слабой особенностью.
Частным случаем уравнения (15) с ядром (17) является обобщенное уравнение Абеля:
,
Для
непрерывных
и
правая часть уравнения (15)
должна удовлетворять следующим
условиям:
1°.
Если
,
то должно выполняться условие
.
2°.
Если
то правая часть уравнения должна
удовлетворять условиям
3°.
Если
=
то правая часть уравнения должна
удовлетворять условиям
Для
полярных ядер вида (8) и непрерывных
на
правую часть интегрального уравнения
дополнительные
условия не накладываются.
Замечание
1.
Случай, когда
вообще
говоря, не исключается.
Замечание
2.
Если в уравнении (7) функции f(x)
и
—
непрерывны и ограничены вместе со своими
первыми
производными на
и
в S
соответственно, причем
(
)
и
,
то
существует единственное непрерывное
решение
уравнения
(7).
Замечание
3. Уравнение
Вольтерра первого рода можно трактовать
как уравнение Фредгольма
первого рода, ядро которого
обращается
в нуль при
.
3.2 Интегральные уравнения Вольтерра второго рода
В разделе излагаются методы решения интегральных уравнений Вольтерра второго рода, которые имеют вид:
(19)
где
— неизвестная функция
— ядро интегрального уравнения,
— свободный член или правая часть
интегрального уравнения. Классы функций,
которым могут принадлежать
,
и
.
В этих классах функций решение
интегрального уравнения Вольтерра
второго рода существует и единственно.
При
уравнение (19) называют однородным, а при
— неоднородным.
Замечание 1. Однородное интегральное уравнение Вольтерра второго рода имеет только тривиальное решение.
Замечание 2. Вывод о существовании и единственности решения интегрального уравнения Вольтерра второго рода справедлив и для гораздо более широкого класса ядер и функций.
Замечание
3.
Случай, когда
и/или
,
вообще говоря, не исключается, но при
этом следует внимательно проверять
выполнение условия квадратичной
интегрируемости ядра
в квадрате
Решение уравнения (11) можно представить в виде
, (20)
где
резольвента
не зависит от свободного члена
и нижнего предела интегрирования
,
а определяется только ядром интегрального
уравнения.
Приведем две полезные формулы, выражающие решение одного интегрального уравнение через решения других интегральных уравнений.
1°.
Пусть решению уравнения Вольтерра
второго рода с ядром
отвечает резольвента
.
Тогда решению уравнения Вольтерра
второго рода с ядром
отвечает резольвента
.
2°.
Пусть имеются два уравнения Вольтерра
второго рода с ядрами
и
,
которым соответствуют резольвенты
и
.
Тогда уравнение Вольтерра с ядром
(21)
имеет резольвенту
. (22)
Отметим, что в формулах (21) и (22) интегрирование ведется по различным парам переменных.
Теорема.
Уравнение Вольтерра II-го
рода при любом значении
имеет единственное решение для любой
непрерывной функции
.
Это решение может быть найдено методом
последовательных приближений
,
,
.
Следствие
1.
При любом
однородное уравнение имеет только
тривиальное решение.
Следствие
2.
Оператор Вольтерра, действующий
,
не имеет характеристических чисел.
Таким образом, оператор Вольтерра
является примером вполне непрерывного
оператора, не имеющего ни одного
характеристического числа.
§ 4. Метод последовательных приближений для уравнений Фредгольма
Пусть
имеем интегральное уравнение Фредгольма
второго рода
,
(23)
Будем
искать его решение в виде ряда по степеням
параметра
:
(24)
Подставим
ряд (24)
в уравнение (23).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях
.
подучим рекуррентную систему соотношений
для определения функций
:
,
,
,…
Здесь
, (25)
где
причем
.
Функции
,
определяемые
по формулам (25) называются итерированными
ядрами. Для
них справедливо соотношение
(26)
где
-
любое натуральное число, меньшее
.
Итерированные
ядра
можно
непосредственно выразить через данное
ядро
по формуле
.
Все
итерированные ядра
,
начиная с
,
будут
непрерывными функциями в квадрате
,
если начальное ядро
квадратично интегрируемо в этом квадрате.
Если
данное ядро
симметрично,
то все итерированные ядра
тоже симметричны.
Такие результаты могут быть также получены с помощью метода последовательных приближений. Для этого следует использовать рекуррентное соотношение
в
котором нулевое приближение
Решение уравнения (15) может быть представлено в форме
, (27)
где
резольвента
не зависит от свободного члена
и
определяется только ядром интегрального
уравнения.
Резольвента уравнения Фредгольма (27) удовлетворяет двум интегральным уравнениям
,
,
в
которых интегрирование ведется по
различным парам переменных ядра и
резольвенты.
§ 5. Метод последовательных приближений для уравнений Вольтерра
Метод
последовательных приближений для
уравнения Вольтерра 2-го рода называется
методом Пикара и выглядит так: для любого
начального приближения
определим
,
или
,
причем
Рассмотрим интегральное уравнение Вольтерра второго рода
. (28)
Будем
считать, что
непрерывна на отрезке
,
а ядро
непрерывно при
.
Будем искать решение методом последовательных приближений. Для этого положим
(29)
где
определяются по формулам:
,
,
,…
Здесь
, (30)
где
…..,
причем
при
.
Функция
,
даваемые формулами (30),
называются итерированными ядрами. Для
них справедливо соотношение
, (31)
где
– любое натуральное число, меньшее
.
Последовательные приближения можно построить и по другой, более общей схеме:
,
(32)
где
какая-либо непрерывная на
функция. Получаемые таким образом
функции
также непрерывны на отрезке
.
При
сделанных выше предположениях относительно
и
последовательность
сходится при
к непрерывному решению
интегрального уравнения. Удачный выбор
«нулевого» приближения
может привести к быстрой сходимости
процесса.
Следует
отметить, что в частном случае
данный метод переходит в метод, изложенный
выше.
Замечание.
Если ядро
квадратично
интегрируемо в
и
,
то последовательные приближения сходятся
в среднем к решению
уравнения (20)
при любом выборе начального приближения
.
Заключение
В заключение хочется отметить то, что линейные интегральные уравнения являются достаточно распространенным и важным явлением, имеющим применение как в математическом анализе и ее приложениях, так и в физике.
Многие примеры практики сводятся, в конечном счете, к решению методом последовательных приближений. Данный метод наиболее прост и рационален из всех возможных методов решений линейных интегральных уравнений.
В данной работе были рассмотрены линейные интегральные уравнения. Таким образом, в ходе исследования курсовой работы, были достигнуты поставленные задачи и цель.
Список литературы
Абрамович, M. Справочник по специальным функциям / М. Абрамович, И. Стиган.–М.: Наука, 1979.–305 c.
Верлань, А.Ф. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ / А.Ф. Верлань, В.С. Сизиков.–Киев: Наукова Думка, 1986.–226 с.
Виарда, Г. Интегральные уравнения. — М.-Л.: ОНТИ, 1933.–301 с.
Вольтерра, В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1982.–215 с.
Забрейко, П.П. Интегральные уравнения / П.П. Забрейко, А.И. Кошелев и др.–М.: Наука, 1968.–379 с.
Зайцев, В.Ф. Справочник по линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям / В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин.–М.: «Факториал», 1997.–197 с.
Канторович, Л. В. Приближенные методы высшего анализа / Л.В. Канторович, В.И. Крылов.–М.-Л.: Физматлит, 1962.–262 с.
Ловитт, У.В. Линейные интегральные уравнения.–М.: Гостехиздат, 1957.–197 с.
Манжиров, А.В. Интегральные уравнения / А.В. Манжиров., А.Д. Полянин.–М.: МГАПИ, 1998.–532 с.
Михлин, С.Г. Интегральные уравнения и их приложения.—М.-Л.: Гостехиздат, 1949.–421 с.
Михлин, С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям.— М.: Физматгиз, 1959.–211 с.
Михлин, С.Г. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений / С.Г. Михлин, X.Л. Смолицкий.–М.: Наука, 1965.–512 с.
Полянин, А.Д. Справочник по интегральным уравнениям: Точные решения / А.Д. Полянин, А.В. Манжиров.–М.: "Факториал", 1998.–307 с.
Приложение
Пример
1.
Методом последовательных
приближений построить резольвенту
интегрального уравнения Вольтерра II
рода
и найти решение
этого уравнения при
.
Решение.
Вычислим
повторные ядра этого уравнения:
…………………
Подставляя
эти выражения в формулу для резольвенты,
получим
.
Заметим, что ряд сходится при любых
,
что обеспечивается не малостью
,
как было в случае уравнения Фредгольма,
а наличием множителя m!
в знаменателях повторных ядер.
Далее,
предположив,
получим
и запишем решение уравнения при
в
виде
Пример
2.
Методом
последовательных приближений решить
уравнение Вольтерра
Решение.
Итерационный
процесс для данного уравнения выглядит
так:
.
Выберем в
качестве начального
приближения
тогда последовательно
найдем:
…………….
Переходя
к пределу при
,
получим функцию
,
которая и является решением рассматриваемого
уравнения.
Пример
3.
Решить
интегральное уравнение Вольтерра
сведя
его к задаче Коши для дифференциального
уравнения.
Решение.
Легко
видеть, что решение уравнения удовлетворяет
условию
.
Последовательно
продифференцируем интегральное уравнение
и найдем
Складывая
последнее равенство с исходным, получим
Решение задачи Коши с
начальными условиями
дает
Пример 4. Вычислить три первых последовательных приближения решения интегрального уравнения
Решение.
Пусть решение имеет вид
где
Имеем
Так
как
то первые три последовательные приближения
и есть приближенные решения интегрального
уравнения:
Найдем
точное решение данного интегрального
уравнения. Имеем
где
Следовательно,
и
точное решение уравнения:
Пример 5. Для интегрального уравнения
найти
резольвенту, определив радиус сходимости
ряда. Записать решение при произвольном
свободном члене
,
а также найти решение при
и
.
Решение. Находим итерации ядра:
Итак,
Резольвента
ядра
Полученный ряд является геометрической
прогрессией, сходится при
и сумма его равна
Таким
образом,
Решение уравнения имеет вид
.
В частности, при
имеем
и
