Курсовая: Линейные интегральные уравнения - текст курсовой. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Курсовая

Линейные интегральные уравнения

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Курсовая работа
Язык курсовой: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 251 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникальной курсовой работы

Узнайте стоимость написания уникальной работы

20 25 ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавлени е Введение § 1. Основные определения § 2. Уравнени я Фредгольма . Теоремы Фредгольма 2 .1 Уравнения Фредгольма I рода 2 .2 Уравнения Фредгольма II рода § 3. Уравнени я Вольтерра . Связь с задачей Коши 3 .1 Уравнения Вольтерра I рода 3 .2 Уравнения Вольтерра II р ода § 4. Метод последовательных приближений для уравнений Фредгольма § 5. Метод последовательных приближений для уравнений Вольтерра Заключение Список литературы Приложение Введение Интегральные уравнения встречаются в различных областях науки и многочисленных приложениях (в теории упругости , гидродинамике , физике , экономике , медицине и т.д .). Решение линейных интегральных уравнений очень актуально в наше время . Интегральные уравнения помогают в решении множества задач , которые порой невозможно и ли очень не рационально решать другим способом . На сегодняшний день это полноценный раздел , имеющий большое практическое значение . В данной работе рассматриваются линейные интегральные уравнения I и II рода , шведского математик а Эвара Ивара Фредгольма (1866-1927гг ) и итальянского математика , физика Вито Вольтерра (1860-1940гг ) . И способ их решения методом последовательных приближений. После основного материала приведен ряд приложений , где описано несколько решений линейных интегральных уравнений. Цель работы – изучить линейные интегральные уравнения и методы их решения. Для поставленной цели необходимо решить задачи : 1) рассмотреть интегральные уравнения ; 2) рассмотреть линейные интегральные уравнения ; 3) изучить методы решения линейных интегральных у равнений ; 4) решить линейные интегральные уравнения методом последовательных приближений. § 1. Основные определения Действительная функция называется квадратично интегрируемой (квадратично суммиру емой , интегрируемой с квадратом ) н а отрезке , если интегрируема на . Совокупность всех квадратично интегрир уемых на функций обозначают или коротко . Совокупность всех интегрируемых на функций обычно обозначают или коротко L 1 . Основные свойства функций из L 2 . 1° . Сумма двух квадратично и нтег рируемых функций есть квадратично итерируемая функция. 2° . Произведение квадратично интегрируемой функции на константу есть квадратично итерируемая функция. 3° . Произведение двух квадратично интегрируемых функций есть интегрируемая функция. 4° . Если де йствительные функции и , то имеет место неравенство Б уняковск о го- Шварца Число называется скалярным произведением действительных функций и , а число — нормой действительной функции в . 5° . Для и имеет место неравенство треугольника 6° . Пусть функции и , ,… , ,… квадратично интегрируемы на отрезке . Если то говорят , что последовательность функций , , . .. сходится в среднем квадратичном к функции . Если последовательнос ть функций из L 2 , сходится равномерно к , то и сходится к в среднем. Ядро интегрального уравнения называется вырожденным , если оно представимо в виде Ядро интегрального уравнения называется разностным , если оно зависит от разности аргументов : Ядро инте гр ального уравнения называе т ся симметричным , если оно удовлетворяет условию Линейное интегральное уравнение с переменным пределом интегрирования имеет вид , (1) где — неизвестная функция. Линейное интегральное уравнение с постоянными пределами интегрирования имеет вид (2) При , уравнения ( 1 ) и (2) называются линейными интегр ал ь н ыми уравнениями первого рода, а при — линейными интегральными уравнениями второго рода. Уравнени я вида (1) и (2) при специальных условиях, накладываемых на их ядра и правые части, образуют различные классы интегральных уравнений (уравнения Вол ьт ерра, уравнения Фредгольма, уравнения типа свер тки и др.) . При линейные ур авнения называются однородными, а при — неоднородными. Любое линейное однородное интегральное уравнение имеет тривиальное решение . Если и — частные решения линейного однородного интегрального уравнения, то их линейная комбинация с произвольными постоянными , также будет решением данного уравнения (в физических задачах это свойство называю т принципом линейной суперпозиции). Общее решение линейного неоднородного интегрального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения данного неоднородного уравнения . Если однородное интегральное уравнение имеет только тривиальное решение , то решение соответствующего неоднородного уравнения будет единственным (если оно существует). Преобразование , , , ( 3 ) где , , — произвольные непрерывные функции ( ), приводит уравнения (1) и (2) к линейным уравнениям тою же вида относительно неизвестной функции . Такие преобразования часто используются для построения точных решений линейных интегральных уравнений. Интегральным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную функцию под знаком определенного интеграла . Если неизвестная функция входит в уравнение в первой степени , то та кое интегральное уравнение называется линейным. Линейным интегральным уравнением Фредгольма I рода называется уравнение вида Линейным интегральным уравнением Фредгольма II рода называется уравнение вида Линейным интегральным уравнением Вольтерра I рода называется уравнение с переменным верхним пределом вида Линейным интегральным уравнением Вольтерра II рода называется уравнение с переменным верхним пределом вида , где - известная непрерывная функция двух переменных (ядро интегрального уравнения ); - свободный член , представляющий заданные непрерывные функции ; - искомая функция ; - заданные пределы интегрирования ; - числовой параметр. § 2 Уравнения Фредгольма . Теоремы Фредгольма Рассмотрим неоднородное уравнение Фредгольма . Сопряженным (сою зн ым) интегральным ура в нен ие м называет ся у равнение с я д ром Если я д ро симметрическое, то со юзное уравнение совпадает с исходным. Нар яду с уравнением или , в операторной форме будем рассматрива ть сою зное с ним интегральное уравнение ( в операторной форме ) - непрерывная ф у нк ци я. Теорема 1. Уравнение Фредгольма имеет н е более счетного множества характеристических чисел , которые могут сгущаться только на бесконечности. Теорема 2. Если значение правильное , то, как данное интегральное урав н е ние, так и союзное с ним уравнение , разрешимо при л ю бом свободном члене и решение каждого из этих уравнении единственно . Со ответствующие однородные уравнения имеют только тривиальные решения. Теорема 3. Если значение характеристическое , то однородное интегральное уравнение , так ж е как и союзное с ним однородное уравнение , имеет нетривиальные решения . Ч исло линейно независимых решений однородного интегрального уравнения конечно и равно числу линейно независимых решений однородного союзного уравнения. 2 .1. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода Линейные интегральные уравнения первого рода с постоянными пределами инте грирования имеют форму ( 4 ) где — неизвестная функция , — ядро интегрального уравнения , — некоторая известная функция, которая называется свободным член о м или правой частью уравнения ( 4 ). Функции и обычно считают непрерывными, либо квадратично интегрируемыми на , Если ядро интегрального уравнения ( 4 ) непрерывно в квадрате , либо квадратично интегрируемо в этом квадрате, т. е. , ( 5 ) где В - постоянная, то его называют фредгольмовым ядром. Уравнения с постоян ными пределами интегрирования вида ( 4 ) , имеющие фредгольмово ядро, называют уравнениями Фредгольма первого рода. Интегра льное уравнение , полученное из ( 4 ) заменой ядра на называется союзным с ( 5 ) или транспонированным к нему. Замечание . В общем случае переменные и в уравнении ( 4 ) могут изменяться в различных пределах (например, ). 2 .2. Уравнения Фредгольма II рода Линейные интегральные уравнения второго рода с постоянными пределами интегрирования имеют форму , ( 6 ) где — неизвестная функция , — ядро интегрального уравнения , — некоторая известная функция , которая называется свободным членом или правой частью уравнения ( 6 ). Для удобства анализа в интегральном уравнении ( 6 ) по традиции принято выделять числовой параметр , который называют параметром ин тегрального уравнения . Классы рассматриваемых функций и ядер были определены ранее . Отметим , что уравнения с постоянными пределами интегрирования вида ( 6 ), имеющие фредгольмовы ядра или ядра со слабой особенностью , называются соответственно уравнениями Фре дгольма второго рода или уравнениями со слабой особенностью второго рода. Число называется характеристическим числом или характеристическим значением ин тегрального уравнения ( 6 ), если существует нетривиальное решение соответствующего однородного уравнения ( ). Само же это нетривиальное решение называется собственной функцией интегрального уравнения , соответствующей характеристическому числу . Если является характеристическим числом , то величина называется собственным числом инте грального уравнения ( 6 ). Правильным или регулярным значением параметра называется такое его значение , при котором упомянутое однородное уравнение имеет только тривиальное решение . Иногда характеристические числа и собственные функции интегрального уравнения Фредгольма называют характеристическими числами и собственными функциями ядра . Интегральное уравнение , полученное из ( 6 ) заменой ядра на , называется союзным с ( 6 ) или транспонированным к ( 6 ). Замечание 1. Переменные и могут изменяться в различных интервалах (например , и ). Для определенности далее будем считать , что и (этого всегда можно добиться линейной подстановкой с помощью надлежащего выбора постоянных и ). Замечание 2. Случай , когда пределы интегрирования a и /или b могут б ыть бесконечными , вообще говоря , не исключается , но при этом следует внимательно проверять выполнение условия квадратичной интегрируемости ядра в квадрате . § 3 Уравнения Вольтерра. Связь с задачей Коши Линейным интегральным уравнением Вольтерра I рода называется уравнение с переменным верхним пределом вида ( 7 ) Линейным интегральным уравнением Вольтерра II рода называется уравнение с переменным верхним пределом вида . ( 8 ) Если ядро и - непрерывно дифференцируемые функции , причем при , то интегральное уравнение Вольтерра I рода сводится к интегральному уравнению Вольтерра II рода . Дифференцируя уравнение Вольтерра I рода по , имеем откуда получаем уравнение Вольтерра II рода где С формальной стороны уравнение Вольтерра отличается от уравнения Фредгольма лишь тем , что интеграл с постоянными пре д елами заменяется интегралом с переменным верхним пределом . Между задачей Коши для линейного дифференциального уравнения -го порядка и уравнением Вольтерра существует тесная взаимосвязь . Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение ( 9 ) при начальных условиях (1 0 ) Полагая (1 1 ) и последовательно интегрируя , имеем и Изменяя порядок интегрирования в двойном интеграле последнего равенства , замечаем , что Из начальных условий (12) при находим откуда Аналогично получим и , так как интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю , то . Поэтому (1 2 ) и (1 3 ) Соотношения (1 1 ) – (1 3 ) подставим в дифференциальное уравнение ( 9 ), тогда или Окончательно имеем Обозначая для краткости получаем интегральное уравнение Вольтерра (1 4 ) Зная функцию , из зависимости (1 3 ) можно найти и производную . Итак , интегральное уравнение Вольтерра включает в себя все данные задачи Коши для линейного дифференциального уравнения ( 9 ). Аналогичный результат можно получить для линейного дифференциального уравн ения -го порядка. 3 .1. Уравнения Вольтерра первого рода Линейные интегральные уравнений Вольтерра первого рода, которые имеют вид ( 1 5 ) где — неизвестная функция — ядро интегрального уравнения, — некоторая известная функция, которая называется свободным членом или правой частью уравнения ( 1 5 ). Функции и обычно считают непрерывными, либо квадратично интегрируемыми на . Ядро интегрального уравнения полагают непрерывным в квадрате , либо удовлетворяющим условию ( 1 6 ) где B — постоянная, т. е . квадратично интегрируемым в этом квадрате. В формуле ( 1 6 ) полагается, что при . Рассматривают также полярные ядра ( 1 7 ) и логарифмические ядра (ядра, имеющие логарифмическую особенность) , ( 18 ) где ( ) и — непрерывны в . Полярные и логарифмические ядра составляют кла сс ядер со слабой особенностью. Урав нения, содержащие такие ядра, называются уравнениями со слабой особенностью. Частным случаем уравнения ( 1 5 ) с ядром ( 17 ) является обобщенное уравнение Абеля: , Для непрерывных и правая часть уравнения ( 1 5 ) должна удовлетворять следу ющим условиям: 1 °. Если , то должно выполняться условие . 2 °. Если то правая часть уравнения должна удовлетворять условиям 3°. Если = то правая часть уравнения должна удовлетворять условиям Для полярных ядер вида ( 8 ) и непрерывных на правую часть интегрального уравнения дополнительные условия не накладываются. Замечание 1. Случай, когда вообще говоря, не исключается. Замечание 2. Если в уравнении ( 7 ) функции f ( x ) и — непрерывны и ограничены вместе со своими первыми производными на и в S соответственно, причем ( ) и , то существует единственное непрерывное решение уравнения ( 7 ). Замечание 3 . Уравнение Вольтерра первого рода можно трактовать как уравнение Фред гольма первого рода, ядро которого обращается в нуль при . 3 .2 Интегральные уравнения Вольтерра второго рода В разделе излагаются методы решения интегральных уравнений Вольтерра второго рода , которые имеют вид : ( 19 ) где — неизвестная функци я — ядро интегрального уравнения , — свободный член или правая часть интегрального уравнения . Классы функций , которым могут принадлежать , и . В этих классах функций решение интегрального уравнения В ольтерра второго рода существует и единственно. При уравнение ( 19 ) называют однородным , а при — неоднородным. Замечание 1. Однородное интегральное уравнение Вольтерра второго рода имеет только тривиальное решение. Замечание 2. Вывод о существовании и единственнос ти решения интегрального уравне ния Вольтерра второго рода справедлив и для гораздо более широкого класса ядер и функций. Замечание 3 . Случай , когда и /или , вообще говоря , не исключается , но при этом следует внимательно проверять выполнение условия квадрат ичной интегрируемости ядра в квадрате Решение уравнения ( 11 ) можно представить в виде , ( 20 ) где резольвента не зависит от свободного члена и нижнего предела интегрирования , а определяется только ядром интегрального уравнения. Приведем две полезные формулы , выражающие решение одного интегрального уравнение через решения других и нтегральных уравнений. 1°. Пусть решению уравнения Воль терра второго рода с ядром отвечает резольвента . Тогда решению уравнения Вольтерра второго рода с ядром отвечает резольвента . 2° . Пусть имеются два уравнения Вольтерра второго рода с ядрами и , которым соответствуют резольвенты и . Тогда уравнение Вольтерра с ядром ( 2 1 ) имеет резольвенту . ( 2 2 ) Отметим , что в формулах ( 2 1 ) и ( 2 2 ) интегрирование ведется по различным парам переменных. Теорема. Уравнение Вольтерра II -го рода при любом значении имеет единственное решение для любой непрерывной функции . Это решение мо же т быть найдено мето д ом после довательных приближений , , . Следствие 1. При любом однородное уравнение имеет только тривиальное решение. Следствие 2. Оператор Вол ьтерра , действующий , не имеет характеристических чисел . Таким образом , о п ера то р Вол ьт ерра является примером вполне непрерывно го оператора , не имеюще го ни одного характеристического числа. § 4. Метод последовательных приб лижений для уравнений Фредгольма Пусть имеем интегральное уравнение Фредгольма второго рода , ( 2 3 ) Будем искать его решение в виде ряда по степеням параметра : ( 2 4 ) Подставим ряд ( 2 4 ) в уравнение ( 2 3 ). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях . подучим рекуррентную систему соотношений для определения функци й : , , ,… Здесь , ( 2 5 ) где причем . Функции , определяемые п о формулам ( 2 5 ) называются итерированными ядрами. Для них справедливо соотношение (2 6 ) где - любое натуральное число, меньшее . Итерированные ядра можно непосредственно выразить через данное ядро по формуле . Все итерированные ядра , начиная с , будут непрерывными функциями в квадрате , если начальное ядро квадратично интегрируемо в этом квадрате. Если данное ядро симметрично, то все итерированные ядра тоже симметричны. Такие результаты мо г ут быть также получены с помощью метода последовательных приближени й . Для этого следует использовать рекуррентное соотношение в котором нулевое приближение Решение уравнения ( 15 ) может быть представлено в форме , ( 27 ) где резольвента не зависит от свободного члена и определяется только ядром интегрального уравнения. Резольвента уравне ния Фредгольма ( 27 ) удовлетворяет двум интегральным уравнениям , , в которых интегрирование ведется по различным парам переменных ядра и резольвенты. § 5. Метод после довательных приближений для уравнений Вольтерра Ме тод последовательных приближени й для уравнения Вол ьт ерра 2- го рода называется мето д ом П икара и выглядит так : для любо го начально го приближения определим , или , причем Рассмотрим интегральное уравнение Вольтерра второго рода . ( 28 ) Будем считать , что непрерывна на отрезке , а ядро непрерывно при . Будем искать решение методом последовательных приближений. Для этого положим ( 29 ) где определяются по формулам : , , ,… Здесь , ( 3 0 ) где … .., причем при . Функция , даваемые формулами ( 3 0 ), называются итерированными ядрами . Для них справедливо соотношение , ( 31 ) где – любое натуральное число , меньшее . Послед овательные приближения можно построить и по другой , более общей схеме : , ( 3 2 ) где какая-либо непрерывная на функция. Получаемые таким образом функции также непрерывны на отрезке . При сделанных выше предположениях относительно и последовательность сходится при к непрерывному решению интегрального уравнения. Удачный выбор «нулевого» приближения может привести к быстрой сходимости процесса. Следует отметить, что в частном случае данный метод переходит в метод, изложенный выше . Замечание. Если ядро квадратично интегрируемо в и , то последовательные приближения сходятся в среднем к решению уравнения ( 20 ) при любом выборе начального приближения . Заключение В заключение хочется отметить то, что линейные интегральные уравнения явля ю тся достаточно распространенным и важным явлением , имеющим применение как в математическом анализе и ее приложениях, так и в физике . Многие примеры практики сводятся, в конечном счете, к решению методом последовательных приближений. Данный метод наиболее прост и рационален из всех возможных методов решений линейных интегральных уравнений . В данной работе были рассмотрены линейные интегральные уравнения. Таким образом, в ходе исследования курсовой работы, были достигнуты поставленн ые задачи и цель. Список литературы 1. Абрамович , M . Спр авочник по специальным функциям / М. Абрамович , И. Стиган . – М .: Наук а , 1979 . – 305 c . 2. Верлань , А.Ф . Методы решения интегральных у р авнений с программами для ЭВМ / А.Ф. Верлань , В.С. Сизиков . – Киев : Наукова Думка, 1986 . – 226 с. 3. Виарда , Г . Интегральные уравнения . — М.-Л .: ОНТ И, 1933 . – 301 с. 4. Вольтерра , В. Теория функциона лов , интегральных и и нтегро-дифференциальны х уравнений . — М .: Наука, 1982 . – 215 с. 5. Забрейко , П. П. Интегральные уравнения / П. П. Забрейко , А.И. Кошелев и др. – М .: Наука, 1968 . – 379 с. 6. Зайцев , В. Ф . Справочник по линейным обыкновенным дифференциальным ура внениям / В. Ф. Зайцев , А.Д. Полянин. – М .: «Факториал» , 1997 . – 197 с. 7. Канторович , Л . В. Приближенные методы высшего анализа / Л.В. Канторович , В.И. Крылов . – М.-Л .: Физматлит, 1962 . – 262 с. 8. Ловитт , У. В . Л инейные интегральные уравнения. – М .: Гостехиздат , 1957 . – 197 с. 9. Манжиров , А.В . Интегральные уравнения / А.В. Манжиров ., А.Д. Полянин.– М .: МГАПИ, 1998 . – 532 с. 10. Михли н , С.Г . Интегральные уравнения и их приложе ния. — М.-Л .: Гостехиздат , 1949 . – 421 с. 11. Михли н , С.Г . Лекции п о линейным интегральным у равн ениям.— М .: Физматгиз , 1959 . – 211 с. 12. Михли н , С.Г. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений / С.Г. Михлин , X.Л. Смолицкий . – М .: Наука , 1965 . – 512 с. 13. Полянин , А. Д. Справочник п о ин т е гр альным уравнениям : Точные решения / А.Д. Полянин, А. В. Манжиров. – М .: "Фактор иал " , 1998 . – 307 с. Приложение Пример 1 . Методом последовательных приближений постро ить резольвенту интегрального уравнения Вольтерра II рода и найти решение этого уравнения при . Решение. Вычислим повторные ядра этого у равнения : ………………… Подставляя эт и выражения в формулу д ля р езо львенты , получим . Заметим, что ряд сходится при любых , что обеспечивается не малостью , как было в случае уравнения Фредго льма, а наличием множителя m ! в зн ам е на те лях повторных я де р. Далее, предположив, получим и за п иш ем решение уравнения при в виде Пример 2. Методом последовательных приближений реши ть уравнение Вольт ерра Решение. Итерационный процесс д ля данного уравнения выгляд и т т ак: . Выберем в качестве начально го приближения тогда последовательно найдем: ……………. Переходя к пределу при , получим функцию , которая и является решением рассматриваемого уравнения. Пример 3. Решить интегральное уравнение Вол ьт ерра сведя его к задаче Кош и для дифференциального у равнения. Решение . Легко видеть, что решение уравнения удовлетворяе т условию . Последовательно продифференцируем интегр а льное уравнение и найдем Складывая последнее равенство с исходным, получим Решение з адач и Коши с начальными условиями да е т Пример 4. Вычислить три первых последовательных приближения решения интегрального уравнения Решение . Пусть решение имеет вид где Имеем Так как то первые три последовательные приближения и есть приближенные решения интегрального уравнения : Найдем точное решение данного интегрального уравнения . Имеем где С ледовательно , и точное решение уравнения : Пример 5. Для ин тегрального уравнения найти резольвенту , определив радиус сходимости ряда . Записать решение при произвольном свободном члене , а также найти решение при и . Решение. Находим итерации ядра : Итак , Резольвента ядра Полученный ряд является геометрической прогрессией , с ходится при и сумма его равна Таким образом , Решение уравнения имеет вид . В частности , при имеем и
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
В психиатрической больнице врач объявляет:
- Сейчас мы проведём сеанс шоковой терапии.
Включает телевизор. Передают сообщение об очередном повышении цен.
Молчание. Вдруг один из больных вскакивает, начинает хлопать в ладоши и пускается в дикий пляс со словами:
- Ура! Как хорошо, что я в больнице на больничном дерьме! Хоть и дистрофиком буду, но зато ноги не протяну...
Врач говорит медсестре:
- Этого - готовьте на выписку...
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, курсовая по математике "Линейные интегральные уравнения", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru