Реферат: Кунсткамера математики - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Кунсткамера математики

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 25 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Позвольте пригласить вас на прогулку по математической кунсткамере , где собраны некоторые экспонаты , которые столь же отличаются от знакомых со школьных или вузовских времен математических образов , как ихтиозавры или какие нибудь триц е ратопсы от современных животных. Джин выходит из бутылки. Необычной является уже сама функция Дирихле , о которой гов орилось выше . Ведь на самом маленьком отре зке оси абсцисс бесконечно много и рацион альных и иррациональных чисел . Но функция Дирихле для рациональных чисел равна ед инице , а для иррациональных – нулю . Поэто му когда x пробе гает ось абсцисс , то значение функции все время прыгает от 0 к 1 и обратно . Постро ить график этой функции совершенно невозможно , потому что эта функция во всех точка х раз рывна. Но и среди непрерывных функций есть функции с неожи данными свойствами . Например , может ли непреры вная функция иметь на конечном отрезке бе сконечно много максимумов и минимумов ? На первый взгляд это совершенно невозможно . Ведь функция должна успеть опуститься из точки максимума в точку минимума и т . д . Как же ей сделать все это на конечном отрезке ? Тем не менее оказалось , что такие странные функции существуют , причем построить их совсем нетрудно. Построим такую функцию на отрезке [ 0,1 ] . Для этого р азделим отрезок пополам и построим на левой половине равносторонний треугольник . Т еперь разделим оставшуюся правую половину сно ва на две равные части и на части [1/2, 3/4] построим второй равносторонний треугольник . Выполним описа нную операцию бесконечно много раз . У нас получится «горная цепь» , состоящая из бесконечного числа вершин , постепенно опуска ющаяся к точке 1 0 1 Рис . 12 (рис . 12). Приме м полученную ломанную за график функции f ( x ) . Тогда функция будет определена в каждой точке отрезка [0,1] , за исключен ием крайней правой точки 1. В этой точке положим f (1)=0 . Так как при приближении к точке 1 высоты вершин стремятся к нулю , полученная нам и функция непрерывна во всех то чках отрезка [0,1]. А число максимумов и минимумов на этом отрезке бе сконечно велико ! Математику XVIII в ., чтобы построить такую странную функцию , понадобилось бы долго комбинировать различные функции , прежде чем он догадалс я бы , что функция x cos ( р / x ) , если x ?0 F ( x )= 0 , если x =0 имеет бесконечно много максимумов и м инимумов на отрезке [0,1]. Но функции с бесконечным числом макс имумов и минимумов были лишь началом непр иятностей , ожидавших математ иков . Джинн то лько начал выходить из бутылки. “Мокрые точки” . У функции , которую мы построили в предыдущем пункте , есть лишь одна т очка , около которой бесконечно много максимум ов и минимумов , а именно точка 1. Сейчас мы построим другую функцию , у которой таких точек будет куда больше. Предположим , что на отрезок [0,1] оси абсцисс падает сверху дождь . Для защиты от дождя поступим следующим образом . Разделим отрезок [0,1] на три равные части и возведем над средней частью палатку в форме равностороннего тре угольника . Она защитит от дождя все точки средней час ти (кроме концов этой части , то есть то чек 1/3 и 2/3). Теперь каждую из оставшихся двух частей снова разделим на три ра вные части и защитим средние части палатк ами той же формы ( но втрое меньшего ра змер а ). Рис . 13 У нас получится линия , изображенная н а рис . 13. На третьем шаге процесса мы по строим еще четыре палатки , потом еще восем ь и т . д. Возникает вопрос : все ли точки отрез ка защищены получившейся пилообразной линией или остались точки , которые до ждь намо чит ? Некоторые из таких “мокрых” точек ук азать легко – ими являются концы защищае мых отрезков (то есть такие , ка 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9 и т . д .). Все эти точки остаются без защиты при возведении соответ ствующей палатки , а последующие палатки их тоже не защищают . Легко видеть , что таких концов будет бесконечное , но счетное множество . Колючая линия. На протяжении многих столетий математи ки имели дело лишь с линиями , почти в каждой точке которых можно было провести касательную . Если и встречал ись исклю чения , то только в нескольких точках . В этих точках линия как бы ломалась , и потому их называли точками излома . В те чение долгого времени никто из математиков не верил , что может существовать непрерывна я линия , целиком состоящая из зубцов , изло мо в и колючек . Велико было изумл ение , когда удалось построить такую линию , более того , функцию , график которой был та кой колючей изгородью . Первым это сделал Б ольцано . Но его работа осталась неопубликован ной , и впервые такой пример опубликовал Ве йерштрасс . О д нако пример Вейерштрасса очень трудно изложить – он основан на теории тригонометрических рядов . Пример же Больцано напоминает линии , которые мы стр оили раньше. Вот этот пример с небольшими измене ниями . Разделим отрезок [0,1] на четыре равные части и над двумя средними частями построим р авнобедренный треугольник (рис . 16, а ). Получившаяся линия является графиком некоторой функции , которую обозначим через y = f 1 ( x ) . а б 0 1 0 1 в 0 1 Рис . 16 Разделим теперь каждую из четырех ча стей еще на четыре равные части и в соответствии с этим построим еще четыре равнобедренных прямоугольных треугольника (рис . 16, б ). Мы получим график второй функци и y = f 2 ( x ) . Если сложить э ти две функции , то график суммы y = f 1 ( x ) + y = f 2 ( x ) будет иметь вид , изображенный на рис . 16, в . Видно , что получившаяся линия имеет уже больше изломов и эти изломы гуще расположены . На сле дующем шаге мы с нова разделим каждую часть еще на четыре части , построим 16 равнобедренных прямоугольных треугольников и прибавим соответствующую функц ию y = f 3 ( x ) к функции y = f 1 ( x ) + y = f 2 ( x ). Продолжая этот процесс , мы будем пол учать все более и более и зломанные линии . В пределе получится линия , у кото рой излом в каждой точке и ни в о дной точке к ней нельзя провести касатель ную. Похожий пример линии , нигде не имеющ ей касательной построил голландский ученый Ван-дерВарден . Он взял равносторонн ий треугольн ик , разделил каждую его ст орону на три равные части и на средни х частях построил новые равносторонние треуго льники , смотрящие наружу . У него получилась звезда . Теперь каждую из двенадцати сторон этой звезды он разделил еще на три части и снова на каждой и з средних частей построил правильный треугольник . Получилась еще более колючая линия , в каждой точке которой есть излом , колючка . Рис . 17 Рис . 18 Математики построили много непрерывных функций , графики которых не имел и каса тельной ни в одной точке , и начали изу чать их свойства . Эти свойства совсем не походили на свойства “добропорядочных” гладк их функций , с которыми они до тех пор имели дело . Поэтому математики , воспитанные в классических традициях , с изумлением смот р е ли на новые функции . Более т ого , виднейший представитель классического матема тического анализа Шарль Эрмит так писал с воему другу , голландскому математику Стилтьесу . “Я с ужасом отворачиваюсь от этой дост ойной сожаления язвы непрерывных функций , не имеющи х производной ни в одной точке” ( то есть , как мы их называли , всюду колючих линий ). В физике встречаются линии , очень на поминающие колючие линии Ван-дер-Вардена и дру гих . Это – траектории частиц , совершающих под ударами молекул броуновское движение . Фра нц узский ученый Ж . Перрен сделал зарис овки движения таких частиц . Он наблюдал их положения через каждые полминуты и соеди нял полученные точки прямолинейными отрезками . В результате у него получились запутанные ломанные , вроде изображенных на рис . 18. Но не с ледует думать , что в де йствительности между отдельными наблюдениями час тица двигалась по прямой . Если бы Перрен наблюдал ее не через полминуты , а чер ез полсекунды , то каждый прямолинейный отрезо к пришлось бы заменить ломаной , столь же сложной , как и ломан н ые на рис . 18. И чем меньше были бы промежутки между наблюдениями , тем сложнее и “колючее” становилась бы ломаная . Американский математ ик Н . Винер показал , что движение броуновс кой частицы , настолько малой , что ее инерц ией можно пренебречь , совершается по линии , нигде не имеющей касательной . Как делают статуи. Про многих знаменитых скульпторов рассказывают , что на вопрос , как удается делать столь замечательные статуи , следовал ответ : “Я беру глыбу мрамора и отсека ю от нее все лишнее” . В разных книгах это можно прочитать о Микеланджело , о Торвальдсене , о Родене. Тем же самым способом можно получить любую ограниченную плоскую геометрическую фи гуру : надо взять какой-нибудь квадрат , в ко тором она лежит , а потом отсечь все ли шнее . Однако отсекать надо не сразу , а постепенно , на каждом шагу отбрасывая ку сочек , имеющий форму круга . При этом сам круг выбрасывается , а его граница – ок ружность – остается в фигуре. На первый взгляд кажется , что так можно получить лишь фигуры такого вида , ка на рис . 23. Но все дело в том , что отбрасывают не один и не два к руга , а бесконечное , точнее говоря , счетное множество кругов . Таким путем можно получит ь любую фигуру . Чтобы убедиться в этом достаточно принять во внимание , что множест во кругов , у которых рациональны и радиус и о б е координаты центра , счет ное . А теперь чтобы получить любую фигуру , достаточно взять содержащий ее квадрат ( глыбу мрамора ) и обросить все круги указан ного выше вида , которые не содержат ни одной точки нужной нам фигуры . Если же выбрасывать круги не из ква драта , а из всей плоскости , то описанным прием ом можно получить и неограниченные фигуры Рис . 23 А все таки их можно измерить . Над тем , что такое площадь фигуры , математики задумывались еще до открытия неквадрируемых областе й . До этого на протяжении многих тысячелет ий ученые пользовались понытиями длины , площа ди , объема , не подвергая их строгому крити ческому анализу . Рассказывают , что когда один французский генерал принес в Парижскую а кадемию наук свое “решение” пробл е мы квадратуры круга , его спросили , а что именно он понимает под площадью кр уга . “Площади не понимают , их вычисляют !” – воскликнул бравый генерал . И такая точка зрения была распространена тогда даж е среди математиков . Они считали , что площ адь – это число, сопоставленное г еометрической фигуре и обладающее очевидными свойствами (площадь целого равна сумме площад ей частей , когруэнтные фигуры имеют равные площади и т . д .). Ни на одну минуту они не сомневались в том , что любая плоская геометрическая фигура имее т площадь (быть может , равную нулю или бес конечности ). Но характерной чертой математики являет ся то , что наряду с созданием новых ме тодов решения практических задач она изучает и оттачивает применяемый ею инструментарий , для каждого возникающего понятия и ще т наиболее широкую и естественную область его применимости , для каждой доказанной тео ремы – наиболее общие условия , при которы х она справедлива . И это не пустые зан ятия математических снобов , а необходимость . Т олько установив понятия и теоремы в наибо ль ш ей общности , освободив их от ненужных ограничений , связанных с той конкр етной задачей , из которой они возникли , мо жно увидеть связи между далекими друг от друга областями науки , научиться применять созданные методы в ситуациях , не имеющих на первый взгляд ничего общего с первоначальными источниками этих методов. Поэтому столь очевидные , казалось бы , понятия , как длина , площадь , объем (позднее все эти понятия стали называть одним слов ом – мера ), были подвергнуты тщательнейшему анализу . Одна из первых работ по у точнению понятия меры принадлежала Жордану . В течении многих десятилетий он читал в Париже курс математического анализа , построенны й на самых точных определениях , безупречных доказательствах и строжайшей логике . И , коне чно , он не мог пользоваться в эт о м курсе расплывчатым понятием площади . Придуманное им определение площади можно с формулировать так : площадь фигуры – это ч исло , которое лежит между множеством площадей многоугольников , содержащихся в этой фигуре , и множеством площадей многоугольников , сод е ржащихся в этой фигуре , содержащи х ту же фигуру . Оказалось , что площадь по Жордану имеют те и только те плоск ие фигуры , граница которых имеет нулевую п лощадь . К сожалению , слишком много фигур н е поддавалось измерению по Жордану ; в част ности , нельзя было и з мерить описан ные выше неквадрируемые области. За решение возникших проблем взялись молодые ученые , вдохновленные лекциями Жордана . Одно из первых определений , применимых к весьма широкому классу фигур , предложил в конце XIX в . Эмиль Борель . Он заметил , чт о все возникавшие в науке фигуры на прямой , плоскости и в пространстве могл и быть получены из простейших фигур – отрезков , квадратов и кубов с помощью д вух основных операций : образования дополнения к множеству и объединения счетной совокупнос ти множеств ( в частности , как мы видели выше , таким путем получаются все замкнутые множества ). Чередуя эти операции и продолжая такой процесс трансфинитным образо м , можно получать на каждом шагу все б олее сложные множества , названные в честь Бореля борелевскими или ина ч е В-мн ожествами (отметим что применяя идею Зенона можно получить каждое такое множество за конечный промежуток времени , удваивая на ка ждом шагу скорость применяемых операций ). Оказалось что любому борелевскому множе ству можно приписать меру исходя из след ующих двух принципов : А ) если множество А представимо в виде объединения счетной совокупности подмноже ств , имеющих меру , причем никакие два из них не имеют общих точек , то мера в сего множества равна сумме ряда , составленног о из мер подмножеств ; Б ) мера д ополнения к подмножеств у , имеющему меру , получается путем вычитания меры этого подмножества из меры целого. Из принципов Бореля вытекало , в част ности , что любое счетное множество имеет н улевую меру – ведь оно является объедине нием счетной совокупности точ ек , а мер а каждой из этих точек равна нулю. К сожалению , позднее выяснилось , что предложенный Борелем процесс измерения множеств обладал существенным недостатком . Дело в том , что одно и тоже множество может б ыть разными способами составлено из простейши х, а потому предстояло доказать , что все эти способы дадут одно и то же значение для меры данного множества . Такого доказательства Борель не смог получить. Иначе подошел к проблеме измерения м ножеств начинавший в те годы свою научную деятельность Анри Лебег . Уже первые работы Лебега разгневали математиков классичес кого направления . Само название одной из н их «О нелинейных развертывающихся поверхностях» казалось им столь же противоестественным , как , например название «О газообразном льде » для физики или «О р ы бообраз ных слонах» для биолога . Самый слабый студ ент знал , что любая поверхность , которую м ожно развернуть на плоскость (цилиндр , конус и т . д .), соткана из прямых линий , то есть может быть получена движением прямо линейной образующей . Но все дело было в т о м , что молодой автор по и ному понимал развертывающиеся поверхности , чем геометры-классики . Он считал таки ми не только поверхности , получаемые аккуратн ым изгибанием листа бумаги , но и поверхнос ти , которые получатся , если этот лист бума ги скомкать (поясняя свою работу одному из друзей , Лебег сказал : «Представь себе скомканный носовой платок» ). Он доказал , ч то кусок плоскости можно так «скомкать» , ч то после этого на нем не оказалось ни одного прямолинейного отрезка . Разумеется , по лучившаяся поверхность вся с о стояла из складок и изломов . Поэтому ее и пропустили геометры , классифицированные развертыва ющиеся поверхности : они занимались лишь гладк им случаем. От изучения пр оизвольных развертывающихся поверхностей Лебег п ерешел к общему вопросу , как определить пл ощ адь поверхности , если эта поверхность не является гладкой , если к ней нигде нельзя провести касательную плоскость . Для скомканной развертывающейся поверхности задача р ешается просто : надо расправить ее и подсч итать площадь получившегося куска плоскости . Н о этот ответ нельзя было получ ить по формулам , которые давала классическая математика : они годились лишь для гладких поверхностей. Не удалась бы и попытка измерять площади поверхностей , вписывая в них многогранники и переходя к пределу при уменьшении разм еров всех граней . Немецкий математик Г . Шварц показ ал , что таким путем нельзя найти площадь самого обычного цилиндра – вписанный в него многогранник может оказаться настолько складчатым , что площадь его поверхности к уда больше площади цилиндра . Лебегу уда л ось придумать определение площади поверхности , которое не требовало проведения касательных плоскостей , но в то же врем я обходило все трудности , связанные с «гар мошкой Шварца» . Решая эту частную задачу , Лебег пришел к общим идеям о том , что такое мера множ е ства , как изм ерять длины , площади , и объемы самых причу дливых фигур. Взяв от Бореля идею суммирования рядов , он видоизменил о пределение , предложенное Жорданом , разрешив исполь зовать кроме многоугольников и фигуры , получа емые из них с помощью объединения с четных совокупностей . Именно , назовем фигу ру е- покрываем ой по Лебегу , если существует счетная сист ема многоугольников , объединение которых покрывае т эту фигуру , причем сумма ряда , составлен ного из их площадей меньше , чем е . Далее , назовем множество X измер имым по Лебегу , если для любого е >0 его можно представить в виде многоуго льника А е, к которому присоединено одно е- покрываемое множество и от которого отброшено другое е- покрываемое множество . Е сли меру многоугольника А обозначить через |А |, то ясно , что м ера множества X должна быть заключена между числ ами |А е | - е и |А е |+е . Оказал ось , что для измеримых по Лебегу множеств всегда существует одно и только одно число , обладающее этим свойством , какое бы е >0 мы н и выбрали и какой приближающий многоугольник А е ни взяли . Это-то число и называют мерой Лебега множес тва Х. После создания понятия меры Лебега о казалось , что для нее нет никаких осложнен ий , причем по Лебегу можно измерить все встретившиеся до того в науке множества . Позднее были построены примеры неизм ер имых множеств , но они используют так назыв аемую аксиому выбора , о которой будет идти речь ниже . Построенные с ее помощью п римеры не являются конструктивными . Поэтому можно сказать , что Лебег решил проблему измерения всех множеств , которые могут встретит ьс я в практической работе математиков. С помощью введ енного им понятия меры Лебег сумел найти интегралы всех разрывных функций , которые можно было построить известными в то в ремя методами (интеграл Лебега ). Триумф идей Ле бега привел к тому , что даже од ин из вождей математиков – классиков Гасто н Дарбу изменил свое мнение и , выступая в 1908г . на Математическом конгрессе в Рим е , говорил о пламенном и пытливом духе математики ХХ в ., о науке , ведущей свои изыскания в абсолютно новой области с неизведанными п ерспективами . Он подче ркнул , что наука ХХ в . не боится атаков ать основы построений , которые столь долго казались непоколебимыми. Позднее идеи , приведшие к созданию м еры и интеграла Лебега , позволили А . Н . Колмогорову построить аксиоматику теории вероятн о стей , а Норберту Винеру – определить понятия меры и интеграла для пространств , состоящих из функций. Работу надо не рецензировать , а печатать ! Урысон доказал много интереснейших теорем , св язанных с введенным им понятием размерности . Но одну самую главную теорему ему никак не удавалось доказать : не получалос ь доказательство того , что самый обычный к уб имеет размерность 3. После длительных усилий он нашел замечательный выход из положени я , придумав новое определение размерности . Мы не будем детально излагат ь это определение , а поясним его на простейших фигурах. Если взять отрезок или окружность , т о их можно разбить на сколь угодно ма лые части так , что каждая точка принадлежи т не более чем двум кусочкам (рис . 33). Пр и этом надо брать кусочки вместе с их грани цами (то есть конечными точками ). Квадрат уже так разбить нельзя . На п ервый взгляд кажется , что при разбиении кв адрата на куски всегда будут точки , принад лежащие четырем частям (рис . 34, а ). Но если уложить части так , как кирпичи на строй ке , то удается д о биться чтобы каждая точка принадлежала не более чем тр ем различным частям (рис .34, б ). Точно так же у куба есть разбиение на маленькие параллелепипеды при котором каждая точка п ринадлежит не более чем четырем параллелепипе дам . Именно это свойство и приня л Урысон за новое определение размерности . Фи гура называется имеющей размерность n , если ее можно разбить на сколь угодно малые замкнутые части так , чтобы ни о дна точка не принадлежала n +2 разл ичным частям , но при Рис . 33 Рис . 34 любом дост аточно мелком разбиении найдутся точки , принадлежащие n +1 разл ичным частям. Используя это определение размерности , Урысон доказал что размерность квадрата равна 2, куба – 3 и т . д . А потом он показал , что это определение р авносильно первоначально данному. Построенная Урысоном теория размерности произвела глубокое впечатление на весь матем атический мир . Об этом ярко говорит следую щий эпизод . Во время заграничной командировки Урысон сделал доклад о своих результатах в Геттинге . До прихода нацистов к вла сти Геттингский университет был одним и з основных математических центров . После докл ада руководитель геттингенской математической шк олы знаменитый Давид Гильберт сказал , что эти результаты надо опубликовать в журнале « Mathematische Annalen » - одном из главных математиче ских журналов того времени . Через несколько месяцев Урысон снова делал доклад в Ге ттингене и Гильберт спросил у своего помо щника по журналу , напечатана ли уже работа Урысона . Тот ответил , что работа рецензир уется . «Но я же ясно сказал , что ее на д о не рецензировать , а печата ть !» – воскликнул Гильберт . После столь недвусмысленного заявления статья была немед ленно напечатана. В течение трех лет продолжалась не имеющая равных по глубине и напряженност и научная деятельность Урысона (за это вре мя он оп убликовал несколько десятков научных работ ). Трагический случай оборвал его жизнь – он утонул 17 августа 1924г ., купая сь во время шторма в Бискайском заливе . За день до смерти он закончил очередну ю научную работу. После смерти П . С . Урысона остались много численные черновики и наброски не опубликованных результатов . Его ближайший друг (и соавтор по многим работам ) Павел Серг еевич Александров , отложив на некоторое время свои исследования , подготовил эти работы к печати , сделав тем самым и эти резул ьтаты Урыс о на достоянием всех мат ематиков . В настоящее время теория размерност и стала важной главой математики .
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
- Это, бабушка, палка. Я ею себе селфи делаю.
- Фу, стыдоба какая! Замуж тебе, внучка, надо, замуж!
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Кунсткамера математики", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru