Реферат: Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 79 kb, скачать бесплатно
Обойти Антиплагиат
Повысьте уникальность файла до 80-100% здесь.
Промокод referatbank - cкидка 20%!

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Контрольная работа по математике за 1 семестр


Вариант 4


«Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного»


  1. Вычислить предел

ex? - e-x?

lim ———————

x?0 x

ln? (1+ ?)

2

Решение.

ex?- e-x? 0 ex?~1+ x? 1+x? ?1 + x? 2x?

lim ———— = ( ? ) = e-x? ~1? x? = lim ——————— = lim —— = 8

x?0 x 0 x x x?0 x? x?0 x?

ln? (1+ ?) ln (1+ ?) ~ ? 4 4

2 2 2



Ответ: 8.


  1. Найти асимптоты функции

x

y = ——— + x

2x - 1

Решение. Данная функция определена для

1 1

2x – 1 ? 0 => x Є (-?; ?) U (?; ?).

2 2

x 1

Так как lim (——— +x) = -?, то прямая x = — является вертикальной

x?0,5 – 0 2x – 1 2


асимптотой. Горизонтальных асимптот график функции не имеет, так как

x x

lim (——— + x) = +? и lim (——— +x) = -?.

x?+? 2x - 1 x?-? 2x - 1

Определим, существуют ли наклонные асимптоты:

x

—— + x

f (x) 2x – 1 1

k = lim —— = lim ————— = lim (——— + 1) = 1;

x?+? x x?+? x x?+? 2x - 1

1

Заметим сразу, что lim (———— +1) = 1.

x?-? 2x -1


x x 1

b = lim (f(x) – kx) = lim (——— + x – x) = lim ——— = —.

x?+? x?+? 2x – 1 x?+? 2x – 1 2

x 1

Также b = lim ——— = —.

x?-? 2x1 2

1

Таким образом, график функции имеет наклонную асимптоту y = x + — .

2

1

Ответ: x = — - вертикальная асимптота, горизонтальных асимптот нет,

2

1

y = x + — - наклонная асимптота.

2


  1. Определить глобальные экстремумы

f (x) = x? ln x, при xЄ[1, e]


Решение. Данная функция определена для xЄ[1, e]. Находим производную

x?

f ? (x) = (x? ln x)?= 2xlnx + — = 2xlnx + x и критические точки:

x

2xlnx + x = 0 => x1 = 0 или x2 = e-0,5.

Т.к. {x1,x2}? [1, e], то вычислим значения функций на концах данного интервала:

f (1) = 0,

f (e) = e2.

Среди функций находим наибольшее и наименьшее:

inf f (x) = 0 (1),

[1, e]

sup f (x) = e2 (e).

[1, e]

Ответ: f (1) = 0 — т. глобального минимума,

f (e) = e2 т. глобального максимума.






  1. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции

f (x) = x3 (x + 2)2


Область определения функции — вся числовая ось. D (f (x)) = (-?; +?). Вычислим первую производную и исследуем ее знаки:

f?(x) = 3x2(x+2)2 + 2x3(x+2) и определяем критические точки: f (x) = 0 при

6

x1 = 0, x2 =-2 или x3 = - —.

5


Исследуем знак первой производной до и после критической точки.



f ?(x) + + +

-2 -1,2 0

x


f (x)



f ?(x) > 0 для x Є (-?; -2) U (-1,2; ?) — функция возрастает;

f ?(x) < 0 для x Є (-2; -1,2) — функция убывает.

В точках x = -2, x = -1,2 и x = 0 производная f ? (x) = 0, но в окрестностях точек x = -2 и x = -1,2 она меняет знак, поэтому в этих точках функция имеет экстремумы.

Вычислим значения: f (-2) = 0 (т. максимума), f (-1,2) = -1,1059 (т. минимума).

В окрестности точки x = 0 производная f ?(x) не изменяет знака, следовательно, точка x = 0 не является точкой экстремума функции.


Ответ: x Є (-?; -2) U (-1,2; ?) — функция возрастает;

x Є (-2; -1,2) — функция убывает;

f (-2) = 0 (т. максимума), f (-1,2) = -1,1059 (т. минимума)



  1. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции

f (x) = x3 3x2 + 1


Решение. D (f (x)) = (-?; +?). Находим производные:

f ? (x) =3x2 6x; f ?? (x) = 6x6.

Приравняв к нулю вторую производную, получим критическую точку II рода: 6x6 = 0; x = 1. Исследуем знак второй производной в окрестности этой точки:


f ?? (x) +

— 1 x


Следовательно, для x Є (-?; 1) f ?? (x) < 0 и график функции выпуклый вверх, а для x Є (1; ?) f ?? (x) > 0 — выпуклый вниз. Таким образом, при переходе через точку x = 1 f ?? (x) меняет знак. Значит, точка M (1; -1) — точка перегиба графика данной функции.

Ответ: x Є (-?; 1) — график функции выпуклый вверх;

x Є (1; ?) — график функции выпуклый вниз;

M (1; -1) — точка перегиба функции.


«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ»


  1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции

x3

f (x) = — + x2 + 2

3


Решение.

1. D (f (x)) = (-?; ?).

(-x)3 x3

2. f (-x) = —— + (-x)2 + 2 = - — + x2 + 2.

3 3

Функция не является четной или нечетной.

3. Вертикальных асимптот нет, так как нет точек разрыва.

4. Горизонтальных асимптот функция не имеет, т.к.

x3 x3

lim (— + x2 + 2) = +? и lim (— + x2 + 2) = -?.

x?+? 3 x?-? 3

Определим, существуют ли наклонные асимптоты:



x3

— + x2 + 2

f (x) 3 x2 2

k = lim —— = lim ————— = lim ( — + x + —) = +?;

x?+? x x?+? x x?+? 3 x

x2 2

Заметим сразу, что lim ( — + x + —) = +?

x?-? 3 x

Таким образом, график функции не имеет наклонных асимптот.

5. Вычислим первую производную:

f ? (x) = x2 + 2x и определяем критические точки:

x1 = 0, x2 =-2.

Исследуем знак первой производной до и после критической точки.



f ?(x) + +

-2 0

x


f (x)




f ?(x) > 0 для x Є (-?; -2) U (0; ?) — функция возрастает;

f ?(x) < 0 для x Є (-2; 0) — функция убывает.

В точках x = -2 и x = 0 производная f ? (x) = 0 и в окрестностях этих точек она меняет знак, поэтому в этих точках функция имеет экстремумы.

1

Вычислим значения: f (-2) = 3 — (т. максимума), f (0) = 2 (т. минимума).

3


6. Находим вторую производную:

f ?? (x) = 2x+2

Приравняв к нулю вторую производную, получим критическую точку II рода: 2x + 2 = 0; x = -1. Исследуем знак второй производной в окрестности этой точки:


f ?? (x) +

— -1 x


Следовательно, для x Є (-?; -1) f ?? (x) < 0 и график функции выпуклый вверх, а для x Є (-1; ?) f ?? (x) > 0 — выпуклый вниз. Т.о., при переходе через точку x = -1 f ?? (x) меняет знак.

2

Значит, точка M (-1; 2 —) — точка перегиба графика данной функции.

3

  1. Точки пересечения с осями координат:

если x = 0, то f (x) = 2;

если f (x) = 0, то x ? -3,5.

8. Результаты этих исследований наносим на график.

  1. Найти локальные экстремумы функции

f (x, y) = 2x3 – xy2 + 5x2 + y2

Решение. Находим частные производные первого порядка:

f ?x (x, y) = 6x2 – y2 + 10x;

f ?y (x, y) = - 2xy+ 2y.

Решая систему

6 x2 y2 + 10 x = 0,

- 2xy+ 2y = 0,

5

находим стационарные точки: M1 (0; 0), M2 (- —; 0), M3 (1; 4), M4 (1; - 4).

3

Находим вторые частные производные:

f ??xx (x; y) = 12x + 10;

f ??xy (x; y) = - 2y;

f ??yy (x; y) = - 2x+ 2.

Для каждой стационарной точки вычисляем соответствующее значение дискриминанта:

1) M1 (0; 0): A1= 10; B1 = 0; C1= 2; ?1 = A1 C1 B21; ?1 = 20 > 0, A1 > 0 в точке M1 (0; 0): функция имеет минимум fmin (x; y) = 0;

5 1 160

2) M2 (- —; 0): A2= - 10; B2 = 0; C2= 5 —; ?2 = - —— < 0 — экстремума нет;

3 3 3

3) M3 (1; 4): A3= 22; B3 = -8; C3= 0; ?3 = -64 < 0 — экстремума нет;

4) M4 (1; - 4): A4= 22; B4 = 8; C4= 0; ?4 = -64 < 0 — экстремума нет.

Ответ: fmin (0; 0) = 0 (т. минимума).


  1. Определить экстремумы функции


x2 + y2

f (x; y) = e , если x + y = 1

Решение. Т.к. x + y = 1, то x = 1 – y.


1 2y + y2+ y2 1 2y +2y2

F (y) = e =e

Вычислим первую производную:

1 2y +2y2

F ? (y) = (-2 + 4y) e и определяем критические точки:

y = 0, 5; x = 0, 5. M (0, 5; 0, 5) — критическая точка.

Вычислим вторую производную:


1 2y +2y2 1 2y +2y2

F ?? (y) = 4 e + (-2 + 4y)2 e .



F ?? (0, 5) = 4e 0, 5 > 0

Ответ: M (0, 5; 0, 5) = e0, 5 т. минимума.



« Интегральное исчисление функции одного переменного»


1-3. Найти неопределенный интеграл

dx dx dx 2 ?7 2?7 x - ?7

1.? ————= - ? ————= - ? ———————— = - —— arctg ———— + C.

x – x2 - 2 x2 - x + 2 (x 0, 5)2 + 1, 75 7 7




t = arcsin ?x

arcsin?x dx

2.? ———— dx = dt = ——————— = ? 2t dt = t2 + C = arcsin2 ?x + C.

?x(1- x) 2?x(1- x)

u = x; cos3x dx = dv; 1 1 1

3.? x cos3x dx = 1 = — x sin3x - ? — sin3x dx = — x sin3x +

du = dx; v = — sin 3x. 3 3 3

3

1

+ — cos3x + C.

9



  1. Вычислить

1 ex dx 1 (1 + ex) ? dx 1 d(1+ ex) 1

? ——— = ? ————— = ? ———— = ln (1 + ex) ?= ln (1 + e) – ln 2 =

0 1 + ex 0 1 + ex 0 1 + ex 0

1 + e

= ln ———.

2


  1. Определить длину кривой, описываемой графиком функции

4

y = ?x3 , 0 ? x ?

3

4/3 4/3 8 4/3 56

L = ? ? 1 + (y?) 2 dx = ? ? 1 + (1, 5x0,5)2 dx = (1 + 2, 25 x)1,5 ?= — .

0 0 27 0 27

2

Ответ: L = 2 —.

27

1Авиация и космонавтика
2Архитектура и строительство
3Астрономия
 
4Безопасность жизнедеятельности
5Биология
 
6Военная кафедра, гражданская оборона
 
7География, экономическая география
8Геология и геодезия
9Государственное регулирование и налоги
 
10Естествознание
 
11Журналистика
 
12Законодательство и право
13Адвокатура
14Административное право
15Арбитражное процессуальное право
16Банковское право
17Государство и право
18Гражданское право и процесс
19Жилищное право
20Законодательство зарубежных стран
21Земельное право
22Конституционное право
23Конституционное право зарубежных стран
24Международное право
25Муниципальное право
26Налоговое право
27Римское право
28Семейное право
29Таможенное право
30Трудовое право
31Уголовное право и процесс
32Финансовое право
33Хозяйственное право
34Экологическое право
35Юриспруденция
36Иностранные языки
37Информатика, информационные технологии
38Базы данных
39Компьютерные сети
40Программирование
41Искусство и культура
42Краеведение
43Культурология
44Музыка
45История
46Биографии
47Историческая личность
 
48Литература
 
49Маркетинг и реклама
50Математика
51Медицина и здоровье
52Менеджмент
53Антикризисное управление
54Делопроизводство и документооборот
55Логистика
 
56Педагогика
57Политология
58Правоохранительные органы
59Криминалистика и криминология
60Прочее
61Психология
62Юридическая психология
 
63Радиоэлектроника
64Религия
 
65Сельское хозяйство и землепользование
66Социология
67Страхование
 
68Технологии
69Материаловедение
70Машиностроение
71Металлургия
72Транспорт
73Туризм
 
74Физика
75Физкультура и спорт
76Философия
 
77Химия
 
78Экология, охрана природы
79Экономика и финансы
80Анализ хозяйственной деятельности
81Банковское дело и кредитование
82Биржевое дело
83Бухгалтерский учет и аудит
84История экономических учений
85Международные отношения
86Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
87Финансы
88Ценные бумаги и фондовый рынок
89Экономика предприятия
90Экономико-математическое моделирование
91Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Пользуясь случаем, хотелось бы лечь спать.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2017
Рейтинг@Mail.ru