Реферат: Комплексные числа - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Комплексные числа

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 195 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

15 Комплексные числа ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Комплексные числа были введены в математику для того , чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа . Это , однако , не является достаточным основанием для того , чтобы вводить в математику новые числа . Оказалось , что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями , в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа , то можно прийти к результату , уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа . В XVI в . Кардано на шел формулу для решения кубического уравнения . Оказалось , когда кубическое уравнение имеет три действительных корня , в формуле Кардано встречается квадратный корень из отрицательного числа . Поэтому квадратные корни из отрицательных чисел стали употреблять в математике и назвали их мнимыми числами – тем самым они как бы приобрели право на нелегальное существование . Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс , который назвал их комплексными числами , дал геометрическую интерпретацию и доказал основную т е орему алгебры , утверждающую , что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень. 1.ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА Решение многих задач математики , физики сводится к решению алгебраических уравнений . Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике . Стремление сделать уравнения разрешимыми – одна из главных причин расширения понятия числа. Так для решимости уравнений вида X+A=B положительных чисел недостаточно . Например , уравнен ие X+5=2 не имеет положительных корней . Поэтому приходится вводить отрицательные числа и нуль. На множестве рациональных чисел разрешимы алгебраические уравнения первой степени , т.е . уравнения вида A X+B=0 ( A 0) . Однако алгебраические уравнения степени выше первой могут не иметь рациональных корней . Например , такими являются уравнения X 2 =2, X 3 =5 . Необходимость решения таких уравнений явилось од ной из причин введения иррациональных чисел . Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел . Однако и действительных чисел недостаточно для того , чтобы решить любое алгебраическое уравнение . Например , квадратное уравнение с д ействительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет действительных корней . Простейшее из них – уравнение X 2 +1=0 . Поэтому приходится расширять множество действительных чисел , добавляя к нему новые числа . Эти новые числа вместе с действител ьными числами образуют множество , которое называют множеством комплексных чисел. Выясним предварительно , какой вид должны иметь комплексные числа . Будем считать , что на множестве комплексных чисел уравнение X 2 +1=0 имеет корень . Обозначим этот корень букво й i Таким образом , i – это комплексное число , такое , что i 2 = – 1. Как и для действительных чисел , нужно ввести операции сложения и умножения комплексных чисел так , чтобы сумма и произведение их были бы комплексными числами . Тогда , в частности , для любых де йствительных чисел A и B выражение A+B i можно считать записью комплексного числа в общем виде . Название “комплексное” происходит от слова “составное” : по виду выражения A+B i . Комплексными числами называют выражения вида A+B i , где A и B – действительные числа , а i – некоторый символ , такой что i 2 = – 1, и обозначают буквой Z . Число A называется действительной частью комплексного числа A+B i , а число B – его мнимой частью . Число i называется мнимой единицей. Например , действительная часть комплексного числа 2+3 i равна 2, а мнимая равна 3. Для строгого определения комплексного числа нужно ввести для этих чисел понятие равенства. Два комплексных числа A+B i и C+D i называются равными тогда и только тогда , к огда A=C и B=D , т.е . когда равны их действительные и мнимые части . 2.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА Рисунок 1 Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой . Комплексное число A+B i можно рассматривать как пару действительных чисел ( A;B) . Поэтому естественно комплексное число изображать точками плоскости . В прямоугольной системе координат комплексное число Z=A+B i изображается точкой плоскости с координатами ( A;B) , и эта точка обозначается той же буквой Z (рисунок 1). Очевидно , что получаемое при этом соответствие является взаимно однозначным . Оно дает возможность интерпретировать комплексные числа как точки плоскости на которой выбрана система координат . Такая коо рдинатная плоскость называется комплексной плоскостью . Ось абсцисс называется действительной осью , т.к . на ней расположены точки соответствующие действительным числам . Ось ординат называется мнимой осью – на ней лежат точки , соответствующие мнимым компле ксным числам . Рисунок 2 Не менее важной и удобной является интерпретация комплексного числа A+B i как вектора , т.е . вектора с началом в точке O ( 0;0 ) и с концом в точке М ( A;B) (рисунок 2). Соответствие установленное между множеством комплексных чисел , с одной стороны , и множествами точек или векторов плоскости , с другой , позволяет комплексные числа точками или векторами. 3.МОДУЛЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА Пусть дано комплексное число Z=A+B i . Сопряженным с Z называется комплексное число A – B i , которое обозначается , т.е. = =A – B i . Отметим , что = A+B i , поэтому для любого комплексного числа Z имеет место равенство =Z . Модулем комплексного числа Z=A+B i называется число и обозначается , т.е . = = (1) Из формулы (1) следует , что для любого комплексного числа Z , причем =0 тогда и только тогда , когда Z= 0, т.е . когда A=0 и B=0 . Докажем , что для любого комплексного числа Z справедливы формулы : 4.СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ Суммой двух комплексных чисел A+B i и C+D i называется комплексное число ( A+C ) + ( B+D) i , т.е . ( A+B i ) + ( C+D i )=( A+C) + (B+D) i Произведением двух комплексных чисел A+B i и C+D i называется комплексное чи сло ( A C – B D)+(A D+B C) i , т.е . ( A + B i ) (C + D i )=(A C – B D) + (A D + B C) i Из формул вытекает , что сложение и умножение можно выполнять по правилам действий с многочленами , считая i 2 = – 1. О перации сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами действительных чисел . Основные свойства : Переместительное свойство : Z 1 +Z 2 =Z 2 +Z 1 , Z 1 Z 2 =Z 2 Z 1 Сочетательное свойство : ( Z 1 +Z 2 )+Z 3 =Z 1 +(Z 2 +Z 3 ), (Z 1 Z 2 ) Z 3 =Z 1 (Z 2 Z 3 ) Распр еделительное свойство : Z 1 (Z 2 +Z 3 )=Z 1 Z 2 +Z 1 Z 3 Геометрическое изображение суммы комплексных чисел Рисунок 3 Согласно определению сложения двух комплексных чисел , действительная часть суммы равна сумме действительных частей слагаемых , мнимая часть суммы равн а сумме мнимых частей слагаемых . Точно также определяются координаты суммы векторов : Сумма двух векторов с координатами ( A 1 ;B 1 ) и (A 2 ;B 2 ) есть вектор с координатами ( A 1 +A 2 ;B 1 +B 2 ) . Поэтому , чтобы найти вектор , соответствующий сумме комплексных чисе л Z 1 и Z 2 нужно сложить векторы , соответствующие комплексным числам Z 1 и Z 2 . Пример 1 : Найти сумму и произведение комплексных чисел Z 1 =2 – 3 i и 1 Способ : Z 2 = – 7 + 8 i . Z 1 + Z 2 = 2 – 7 + ( – 3 + 8) i = – 5 + 5 i Z 1 Z 2 = (2 – 3 i ) ( – 7 + 8 i ) = – 14 + 16 i + 21 i + 24 = 10 + 37 i 2 Способ : 5.ВЫЧИТАНИЕ И ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ Вычитание комплексных чисел – это операция , обратная сложению : для любых комплексных чисел Z 1 и Z 2 существует , и притом только одно , число Z , такое , чт о : Z + Z 2 =Z 1 Если к обеим частям равенства прибавить ( – Z 2 ) противоположное числу Z 2 : Z+Z 2 +( – Z 2 )=Z 1 +( – Z 2 ) , откуда Z = Z 1 – Z 2 Число Z=Z 1 +Z 2 называют разностью чисел Z 1 и Z 2 . Деление вводится как операция , обратная умножению : Z Z 2 =Z 1 Разделив обе части на Z 2 получим : Z= Из этого уравнения видно , что Z 2 0 Геоме трическое изображение разности комплексных чисел Рисунок 4 Разности Z 2 – Z 1 комплексных чисел Z 1 и Z 2 , соответствует разность векторов , соответствующих числам Z 1 и Z 2 . Модуль разности двух комплексных чисел Z 2 и Z 1 по определению модуля есть длина вектора Z 2 – Z 1 . Построим этот вектор , как сумму векторов Z 2 и ( – Z 1 ) (рисунок 4). Таким образо м , модуль разности двух комплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости , которые соответствуют этим числам. Это важное геометрическое истолкование модуля разности двух комплексных чисел позволяет с успехом использовать простые геометр ические факты. Пример 2: Даны комплексные числа Z 1 = 4 + 5 i и Z 2 = 3 + 4 i . Найти разность Z 2 – Z 1 и частное Z 2 – Z 1 = (3 + 4 i ) – ( 4 + 5 i ) = – 1 – i = = 6.ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМ А КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА Рисунок 5 Запись комплексного числа Z в виде A+B i называется алгебраич еской формой комплексного числа . Помимо алгебраической формы используются и другие формы записи комплексных чисел. Рассмотрим тригонометрическую форму записи комплексного числа . Действительная и мнимая части комплексного числа Z = A+B i выражаются через его модуль = r и аргумент следующим образом : A= r cos ; B= r s in . Число Z можно записать так : Z= r cos + i sin = r (cos + i sin ) Z = r (cos + i sin ) (2) Эта запись называется тригонометриче ской формой комплексного числа . r = – модуль комплексного числа. Число называют аргументом комплексного числа. Аргументом комплексного чи сла Z 0 называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором Z , причем величина угла считается положительной , если отсчет ведется против часовой стрелки , и отрицательной , если производится по часовой стрелке. Для числа Z=0 аргумент не определяется , и только в этом случае число задается только своим модулем. Как уже говорилось выше = r = , равенство (2) можно записать в виде A+B i = cos + i sin , откуда приравнивая действительные и мнимые части , получим : cos = , sin = (3) Если sin поделить на co s получим : tg = (4) Эту формулу удобней использовать для нахождения аргумента , чем формулы (3). Однако не все значения , удовлетворяющие равенству (4), являются аргументами числа A+B i . Поэтому при нахождении аргумента нужно учесть , в какой четверти расположена точка A+B i . 7.СВОЙСТВА МОДУЛЯ И АРГУМЕНТА КОМПЛЕКС НОГО ЧИСЛА С помощью тригонометрической формы удобно находить произведение и частное комплексных чисел. Пусть Z 1 = r 1 ( cos 1 + i sin 1 ), Z 2 = r 2 ( cos 2 + i sin 2 ). Тогда : Z 1 Z 2 = r 1 r 2 [cos 1 cos 2 – sin 1 sin 2 + i ( sin 1 cos 2 + cos 1 sin 2 )]= = r 1 r 2 [cos ( 1 + 2 ) + i sin ( 1 + 2 )] . Таким образом , произведение комплексных чисел , записанных в тригонометрической форме , можно находить по формуле : Z 1 Z 2 = r 1 r 2 [cos ( 1 + 2 ) + i sin ( 1 + 2 )] (5) Из формулы (5) следует , что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются , а аргументы складываются. Если Z 1 =Z 2 то получим : Z 2 =[r (cos + i sin )] 2 = r 2 (cos2 + i sin2 ) Z 3 =Z 2 Z= r 2 ( cos2 + i sin2 ) r (cos + i sin )= = r 3 ( cos3 + i sin3 ) Вообще для любого к омплексного числа Z = r ( cos + i sin ) 0 и любого натурального числа n справедлива формула : Z n =[ r (cos + i sin )] n = r n ( cosn + i sinn ), (6) которую называют формулой Муавра. Частное двух комплексных чисел , записанны х в тригонометрической форме , можно находить по формуле : [ cos ( 1 – 2 ) + i sin ( 1 – 2 )]. (7) = = cos ( – 2 ) + i sin ( – 2 ) Используя формулу 5 ( cos 1 + i sin 1 ) ( cos ( – 2 ) + i sin ( – 2 ) ) = cos ( 1 – 2 ) + i sin ( 1 – 2 ) . Пример 3: Z 3 = – 8 Число – 8 запишем в тригонометрической форме 8 = 8 ( cos( + 2 ) + i · sin( + 2 ) ) , Пусть Z = r (cos + i sin ), тогда данное уравнение запишется в виде : r 3 (cos3 + i sin3 ) = 8 ( cos( + 2 ) + i · sin( + 2 ) ), Тогда 3 = + 2 , = , r 3 = 8 r = 2 Следовательно : Z = 2 ( cos( ) + i · sin( ) ) , = 0,1,2... = 0 Z 1 = 2 ( cos + i · sin ) = 2 ( i ) = 1+ i = 1 Z 2 = 2 ( cos( + ) + i · sin( + )) = 2 ( cos + i · sin ) = – 2 = 2 Z 3 = 2 ( cos ( + ) + i · sin ( + )) = 2 ( cos + i · sin ) = 1 – i Ответ : Z 13 = ; Z 2 = – 2 Пример 4: Z 4 = 1 Число 1 запишем в тригонометрической форме 1 = 1 ( cos(2 ) + i · sin(2 ) ) , Пусть Z = r (cos + i sin ), тогда д анное уравнение запишется в виде : r 4 (cos4 + i sin4 ) = cos(2 ) + i · sin(2 ) ), 4 = 2 , = , r 4 = 1 r = 1 Z = cos + i sin = 0,1,2,3... = 0 Z 1 = cos0+ i sin0 = 1 + 0 = 1 = 1 Z 2 = cos + i sin = 0 + i = i = 2 Z 3 = cos + i · sin = – 1 + 0 = – 1 = 3 Z 4 = cos + i sin Ответ : Z 13 = 1 Z 24 = i 8 .ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ Из формулы 6 видно , что возведение комплексного числа r ( cos + i sin ) в целую положительную степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же по казателем , а аргумент умножается на показатель степени. [ r (cos + i sin )] n = r n ( cos n + i sin n ) Число Z называется корнем степени n из числа ( обозначается ), если Z n = . Из данного определения вытекает , что каждое решение уравнения Z n = является корнем степени n из числа . Другими словами , для того , чтобы извлечь корень степени n из числа , достаточно решить уравнение Z n = . Если =0, то при л юбом n уравнение Z n = имеет только одно решение Z = 0. Если 0, то и Z 0 , а , следовательно , и Z и можно представить в тригонометрической форме Z = r (cos + i sin ), = p (cos + i sin ) Уравнение Z n = примет вид : r n ( cos n + i sin n ) = p ( cos + i sin ) Два комплексных числа равны тогда и только тогда , когда равны их модули , а аргументы отличаю тся слагаемыми , кратными 2 . Следовательно , r n = p и n = + 2 k , где k и ли r = и = , где k . Итак , все решения могут быть записаны следующим образом : Z K = [cos( ) + i sin( )], k (8) Формулу 8 называют второй формулой Муавра . Таким образом , если 0, то существует ровно n корней степени n из числа : все они содержатся в формуле 8. Все корни степени n из числа имеют один и тот же модул ь , но разные аргументы , отличающиеся слагаемым , кратным числу . Отсюда следует , что комплексные числа , являющиеся корнями степени n из комплексного числа , соответствует точкам комплексной плоскости , расположенным в вершинах правильн ого n – угольника , вписанного в окружность радиуса с центром в точке Z = 0 . Символ не имеет однозначного смысла . Поэтому , употребляя его , следует четко представлять себе , что под этим символом подразумевается . Например , используя запись , следует подумать о том , чтобы было ясно , понимается под этим символом пара комплексных чисел i и – i , или одно , то какое именно. Уравнения высших степеней Формула 8 определяет все корни двучленного уравнения степе ни n . Неизмеримо сложнее обстоит дело в случае общего алгебраического уравнения степени n: a n Z n + a n – 1 Z n – 1 + . ..+ a 1 Z 1 + a 0 = 0 (9) Где a n ,..., a 0 – за данные комплексные числа. В курсе высшей математики доказывается теорема Гаусса : каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайней мере один корень . Эта теорема была доказана немецким математиком Карлом Гауссом в 1779 году. Оп ираясь на теорему Гаусса , можно доказать , что левая часть уравнения 9 всегда может быть представлена в виде произведения : , Где Z 1 , Z 2 ,..., Z K – некоторые различные комплексные числа , а a 1 ,a 2 ,...,a k – натуральные числа , причем : a 1 + a 2 + ... + a k = n Отсюда следует , что числа Z 1 , Z 2 ,..., Z K являются корнями уравнения 9. При этом говорят , что Z 1 является корнем кратности a 1 , Z 2 – корнем кратности a 2 и так далее. Если условиться считать корень уравнения столько раз , какова его кратность , то можно сформулировать теорему : каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в мно жестве комплексных чисел ровно n корней. Теорема Гаусса и только что сформулированная теорема дают решения о существовании корней , но ничего не говорят о том , как найти эти корни . Если корни первой и второй степени могут быть легко найдены , то для уравнени й третей и четвертой степеней формулы громоздки , а для уравнений степени выше четвертой таких формул вообще не существует . Отсутствие общего метода не мешает отыскивать все корни уравнения . Для решения уравнения с целыми коэффициентами часто оказывается п о лезной следующая теорема : целые корни любого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена. Докажем эту теорему : Пусть Z = k – целый корень уравнения a n Z n + a n – 1 Z n – 1 + . ..+ a 1 Z 1 + a 0 = 0 с целыми коэффициентами. Тогда a n k n + a n – 1 k n – 1 + . ..+ a 1 k 1 + a 0 = 0 a 0 = – k(a n k n – 1 + a n – 1 k n – 2 +...+ a 1 ) Число в скобках , при сделанных предположениях , очевидно , целое , значит k – делитель числа a 0 . 9.КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ С КОМПЛЕКСНЫМ НЕИЗВЕСТНЫМ Рассмотрим уравнение Z 2 = a , где a – заданное действительное число , Z – неизвестное. Это уравнение : имеет один корень , если a = 0. имеет два действительных корня Z 1,2 = , если a > 0. не имеет действительных корней , если a < 0. Но имеет два комплексных корня. Запишем число a в виде a = ( – 1) ( – a ) = i 2 = i 2 ( ) 2 . Тогда уравнение Z 2 = a запишется в вид е : Z 2 – i 2 ( ) 2 = 0 т.е . ( Z – i )(Z + i ) = 0 Следовательно , уравнение имеет два корня : Z 1,2 = i Введенное понятие корня из отрицательного числа позволяет записать корни любого квадратного уравнения с действительными коэффициентами a Z 2 + b Z + c = 0 По известной общей формуле Z 1,2 = (10) Итак , при любых действительных a(a 0), b, c корни уравнения можно находить по формуле 10. При это если дискриминант , т.е . подкоренное выражение в формуле 10 D = b 2 – 4 a c положи телен , то уравнение a Z 2 + b Z + c = 0 два действительных различных корня . Если D = 0, то уравнение a Z 2 + b Z + c = 0 имеет один корен ь . Если D < 0, то уравнение a Z 2 + b Z + c = 0 имеет два различных комплексных корня. Комплексные корни квадратного уравнения обладают такими же свойствами , как и известные нам свойства действител ьных корней. Сформулируем основные из них : Пусть Z 1 ,Z 2 – корни квадратного уравнения a Z 2 + b Z + c = 0 , a 0 . Тогда справедливы свойства : Теорема Виета : Z 1 + Z 2 = – Z 1 Z 2 = 2. При всех комплексных Z справедлива формула a Z 2 + b Z + c = a (Z – Z 1 ) (Z – Z 2 ) Пример 5: Z 2 – 6· Z + 10 = 0 Д = b 2 – 4· a· c Д = 6 2 – 4· 10 = – 4 – 4 = i 2 · 4 Z 1,2 = Z 1,2 = Ответ : Z 1 = Z 2 = 3 + i Пример 6: 3· Z 2 +2· Z + 1 = 0 Д = b 2 – 4· a· c Д = 4 – 12 = – 8 Д = – 1· 8 = 8· i 2 Z 1,2 = = Z 1,2 = Z 1 = – ( ) Z 2 = – Ответ : Z 1 = Z 2 = – Пример 7: Z 4 – 8· Z 2 – 9 = 0 Z 2 = t t 2 – 8· t – 9 = 0 Д = b 2 – 4· a· c = 64 + 36 = 100 t 1,2 = = = 4 t 1 = 9 t 2 = – 1 Z 2 = 9 Z 2 = – 1 Z 1,2 = 3 Z = Z 3,4 = i Ответ : Z 1,2 = 3 , Z 3,4 = i Пример 8: Z 4 + 2 · Z 2 – 15 = 0 Z 2 = t t 2 + 2 · t – 15 = 0 Д = b 2 – 4· a· c = 4 + 6 0 = 64 t 1,2 = = = – 1 4 t 1 = – 5 t 2 = 3 Z 2 = – 5 Z 2 = 3 Z 2 = – 1· 5 Z 3,4 = Z 2 = i 2 · 5 Z 1,2 = i Ответ : Z 1,2 = i , Z 3,4 = Пример 9: Z 2 = 24 10 i Пусть Z = X + Y i (X + Y i ) 2 = X 2 + 2 X Y i Y 2 X 2 + 2 X Y i Y 2 = 24 10 i (X 2 Y 2 ) + 2 X Y i = 24 10 i Y = X 2 = 24 умножим на X 2 0 X 4 – 24 X 2 – 25 = 0 X 2 = t t 2 – 24 t – 25 = 0 t 1 t 2 = – 25 t 1 + t 2 = 24 t 1 = 25 t 2 = – 1 X 2 = 25 X 2 = – 1 — нет решений X 1,2 = 5 X 1 = 5 X 2 = – 5 Y 1 = – Y 2 = Y 1 = – 1 Y 2 = 1 Тогда : Z 1,2 = (5 – i ) Ответ : Z 1,2 = (5 – i ) ЗАДАЧИ : 1) ( 2 – Y) 2 + 3· ( 2 – Y)· Y + Y 2 = 6 4 – 4· Y + Y 2 + 6· Y – 3· Y 2 + Y 2 = 6 – Y 2 + 2Y – 2 = 0 / – 1 Y 2 – 2Y + 2 = 0 Д = b 2 – 4· a· c = 4 – 8 = – 4 – 4 = – 1· 4 = 4· i 2 Y 1,2 = = = 1 i Y 1 = 1 – i Y 2 = 1 + i X 1 = 1 + i X 2 = 1 – i Ответ : 1 + i ; 1 – i 1 – i ; 1 + i 2) — Возведем в квадрат — Возведем в куб 10 12 = 1 10 10 2 = 1 ( ) 10 2 = 1 ( ) 10 2 = 1 т.к . = A + B i = A – B i = (A + B i )· ( A – B i ) = A 2 – (B i ) 2 = A 2 + B 2 = 2 = т.е . 20 · 2 = 1 Возьмем модуль от обоих частей последнего уравнения : 20 · 2 = 1 22 = 1 т.е. = 1 Тогда из уравнения получим 2 = 1 т.е. = 1 1 = 1 2 = – 1 Подставим эти значения в первое уравнение данной системы и найдем численное значение Z 1) 1 = 1 Z 6 = 1 1 = 1 ( cos(2 ) + i · sin(2 ) ) , Z = r (cos + i sin ) r 6 (cos6 + i sin6 ) = cos(2 ) + i · sin(2 ), r 6 = 1 6 = 2 r = 1 = , Z = cos + i · sin , = 0,1,2... = 0 Z 1 = cos0+ i sin0 = 1 + 0 = 1 Z 1 = 1 = 1 Z 2 = cos + i · sin = i = i Z 2 = i = 2 Z 3 = cos + i · sin = – i Z 3 = – i = 3 Z 4 = cos + i · sin = – 1 + 0 = – 1 Z 4 = – 1 = 4 Z 5 = cos + i · sin = – i Z 5 = – i = 5 Z 6 = cos + i · sin = i Z 6 = i Ответ : Z 1 = 1 , Z 2 = i , Z 3 = – i , Z 4 = – 1 , Z 5 = – i , Z 6 = i 2) 2 = – 1 Z 6 = – 1 – 1 = 1 ( cos( + 2 ) + i · sin( + 2 ) ) , Пусть Z = r (cos + i sin ), тогда данное уравнение запишется в виде : r 6 (cos 6 + i sin 6 ) = cos( + 2 ) + i · sin( + 2 ), r 6 = 1 6 = + 2 r = 1 = , Z = cos ( ) + i · sin( ), = 0,1,2... = 0 Z 1 = cos + i · sin = i Z 1 = i = 1 Z 2 = cos ( ) + i · sin( ) = 0 + i = i Z 2 = i = 2 Z 3 = cos ( ) + i · sin( ) = – i Z 3 = – i = 3 Z 4 = cos ( ) + i · sin( ) = – i Z 4 = – i = 4 Z 5 = cos ( ) + i · sin( ) = 0 – i = – i Z 5 = – i = 5 Z 6 = cos ( ) + i · sin ( ) = i Z 6 = i Ответ : Z 1 = i , Z 2 = i , Z 3 = – i , Z 4 = – i , Z 5 = – i , Z 6 = i 3) Доказать , что сумма двух комплексных чисел не превосходит сумму модулей этих чисел. 1 СПОСОБ : Пусть Z 1 =X+Y i и Z 2 =U+V i Доказать что : Предположим противоположное : / т.к . корень существует только из неотрицательного числа , то можно возвести в квадрат обе части неравенства. X 2 +2 X U+U 2 +Y 2 +2 Y V+V 2 X 2 +Y 2 +U 2 +V 2 +2 2 (X U+Y V) 2 Если мы предположили верно , то X U+Y V 0, а поэтому возведем в квадрат : X 2 U 2 +2 XU Y V+Y 2 V 2 X 2 U 2 + X 2 V 2 +Y 2 U 2 +Y 2 V 2 2 X Y V U X 2 V 2 +Y 2 U 2 X 2 V 2 +Y 2 U 2 – 2 X Y V U < 0 (X V + Y U) 2 < 0 Это невозможно , т.к . A 2 0, значит полученное нами неравенство неверно. что и требовалось доказать 2 СПОС ОБ : Пусть Z 1 и Z 2 – два произвольных комплексных числа . Z 1 – соответствует точке A , Z 2 – соответствует точке B . В силу неравенства треугольника т.е. Что и требовалось доказать.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
- Почему у тебя такое лицо грустное, как у Медведева на церемонии инаугурации Путина?
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Комплексные числа", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru