Реферат: Кватернионы - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Кватернионы

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 65 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

6 Как сделать из точек числа ? Если речь идет о точках на прямой – это просто . Выбрав начало отс чета и масштаб с направлением , можно получ ить из прямой числовую ось и тем самы м превратить каждую точку в действительное число – ее координату. С точками на плоскости сложнее . Выбираем две оси и начало отсчет а . Для каждой точки плоскости сопоставля ем ее координаты ( x ; y ). Эта пара будет называться дуплетом . Чтобы сделать дуплет числом , нужно научиться “складывать” и “умн ожать” их в соответствии со свойствами сл ожения и умножения. Дуплеты складываются как ве кторы – покоординатно : (x; y) + (x ’ ; y ’ ) = (x + x ’ ; y + y ’ ) . (1) Для умножения существует иная формула : (x; y) (x ’ ; y ’ ) = (xx ’ - yy ’ ; xy ’ + x ’ y). (2) Умножение и сложение (1), (2) дупл етов п одчиняются привычным свойствам сложения и умн ожения . Следовательно , множество дуплетов с оп ерациями (1), (2) можно считать полноценным числовым множеством. На самом деле дуплеты – это комплексные чис ла . Их записывают так : x + yi , где i – мнимая е диница (дуплет (0; 1)). Ее квадрат равен . Это позволяет извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Но встает проблема превращения точек пространства в числа . Здесь снова введем систему координат и запишем точки в виде набора уже трех координат (x; y; z ). Эти так называе мые триплеты тоже складываются покоординатно : (x; y; z) + (x ’ ; y ’ ; z ’ ) = (x + x ’ ; y + y ’ ; z + z ’ ). (3) Триплеты можно будет считать числами , если научиться их ум ножать , обладая , в месте со свойствами сложения , обычными способ ами умножения этих операций . В 1833 г . умножением триплетов занимался ирландский математик У . Р . Гамильтон (1805 – 1865). О нем мы расскажем особо. Уильям Роуан Гамильтон Гамильто н был человеко м многосторонне развитым . В четырнадцать лет владел девятью языками , в 1824 г . опубликовал в трудах Королевской Ирландской Академии работу , посвященную геометрической оптике , в 1828 г . получил звание королевского астронома И рландии . К 1 833 г . Гамильтон занимал пост директора обсерватории в Денсинке и был известен работами по оптике и аналитическо й механики . Он предсказал эффект двойной к онической рефракции в двуосных кристаллах . В течение долгих десяти лет Гамил ьтон безуспешно пыта лся придумать правило умножения триплетов. Векторное произведение Задача поначалу казалась несложной . Ск ладывать векторы следовало по формуле (3). Остав алось найти формулу умножения , подобную форму ле (2). Но Гамильтон безуспешно пытался подбират ь формулы для умножения триплетов. В то время было известно правило векторного произведения : векторным произведением ненулевых ве кторов называется векто р , перпендикулярный плоскости , проходящей через векторы имеющий направле ние , определяемое правилом “правой руки” , и длину к к к к . Если для данных векторов заданы координаты в прямоу гольной системе координат : то (4) Но операция векторного произведения не годилась Гамильтону , поскольку она не имеет обратной . Например , если то угол ( ) между векторами равен нулю . Значит , длина векторного прои зведения равна нулю , т.е . и сам вектор нулевой. Но несмотря на неудачи , Гамильтон пытался решить поставленную перед собой задач у . Но эта задача не могла быть решена (объяснение следует ниже ). Но труд не пропал даром . В 1843 г . Гамильто н вдруг решил , что для определения умножения нужно рассматривать не триплеты (тройки чисел ), а четверки , или кватернионы . Вот история и х создания . Случай на Брогемском мосту В одном из писем к своему сыну Гамильтон писал : “Это был 16-й день октября , который случился в понедельни к , в день заседания Совета Королевской Ирл андской Академии , где я должен был председ ательствовать . Я направлялся туда с твоей мате рью вдоль Королевского канала ; и , хотя она говорила мне какие-то отдельные ф разы , я их почти не воспринимал , так ка к в моем сознании подспудно что-то творило сь . Неожиданно как будто бы замкнулся элек трический контур ; блеснула искра , предвещающая многие дл и тельные годы определенно направленной мысли и труда , моего – если доведется , или труда других , если мне будет даровано достаточно сознательной жизни , чтобы сообщить о своем открытии . Я ок азался не в состоянии удержаться от желан ия высечь ножом на мягком к а м не Брогемского моста фундаментальную формулу о символах i, j, k, , содержащую решение проблемы , но , конечно , эта запись с тех пор стерлась . Однако более прочное упоминание осталось в Книге записей Совета Академии за этот де нь , где засвидетельствовано , что я попросил и получил разрешение на доклад о квате рнионах на первом заседании сессии , который и был прочитан соответственно в Понедельни к 13-го следующего месяца – ноября”. Определение ква тернионов Кватернионы – это четверки действительных чисел (x; y; u; v) , которые удобно записывать в виде q = x + yi + uj + vk , где i, j, k – новые числа , являющиеся аналогом мнимой единицы в комплексных числ ах . Требуется , чтобы числа i, j, k удовлетвор яли следующим соотношениям : (5) (6) которые удобно запис ать в виде “таблицы умножения”. x i j k i -1 k j j -k -1 i k - j -i -1 По определению операции сложения и умножения кватернионов производят ся по обычным правилам раскрытия скобок и приведения подобных членов с учетом прав ил (5) – (6). Согласно этому определению , если и – два квате рниона , то (7) Это , разумеется , привычное нам “покоордина тное” сложение . Далее , произведение кватернионов и вычисляется так : Длинная , н о совершенно автоматическая проверка показывает , что умножение кватернио нов обладает сочетательным свойством : Естественно считать , что действительные и комплексные числа являются частным с лучаем кватернионов . Так , действительное число x – это кватернион вида Комплексное число z = x + yi представляется как кватернион У операции сложения кватернионов , очев идно , имеется обратная операция – вычитание . И менно , разность двух кватернионов и определяется фор мулой : Если , то разность кватернионов – это нулевой кватернион. Деление кватернионов Перейдем теперь к операции деления кватернионов , обратной к операции умножения . Вообще , что мы понимаем под частным от де ления числа a на число b , не равное нулю ? Это такое число c, что bc = a. (10) Так определяется частное от деления д ля действительных и комплексных чисел . К с ожалению , для кватерниона применить непосредствен но это определение мы не можем . Для то го чтобы формула (10) “корректно” определяла частное , нужно , чтобы произведение не зависе ло от порядка сомножителей . В противном сл учае наряду с частным определенным фор мулой (10), существует вполне равноправное “лев ое” частное” с’ , определяемое формулой c ’ b = a, которое может отличаться от “правого частного” c из (10). Вот здесь , кроме необходимости выйти за пределы трехмерного пространства , Гамильтону пришлось принести еще одну жертву. Оказы вается , определенные им новые числа – кватернионы – потеряли еще одно привычное качество : произведение кватернио нов зависит от порядка сомножителей . Действит ельно , уже в формулах (6) при изменении поряд ка сомножителей произведение меняет знак. Таким о бразом , можно говорить лишь о “делении справа” и “делении слева” . Как реально найти , скажем , “левое частное ” от деления кватерниона на кватернион ? Обозначим искомое частное через q = x + yi + uj + vk . Тогда , исполь зуя правило умножения для кватернионов и определение левого частного , получим следующее равенство кватернионов : , или Полученное равенство равносильно системе четырех линейных уравнений с переменными x, y, u, v : Аналогичным образом находится “правое частное” от деления на . Рассмотрим частный случай , когда делим ое равно единице . В этом случае частное от деления =1 на кватерни он (и “слева” и “справа” ) равно одному и тому же кват ерниону Поэтому кватернион p обозначается через . Тогда “правое частное” от деления кватерниона на выражается форму лой , а “левое частное” от деления кватерни она на – формуло й Практически частное от деления двух кватернионов ищется другим путем . Для этого нам потребуются Скалярные и векторные кватернионы Так же как комплексные числа разла гаются в сум му своей действительной и мнимой частей , кватернион тоже можно разл ожить в сумму q = x + (yi + uj + vk). Первое слагаемое в этом разложении называется скалярной частью кватерниона , а второе – векторной частью. Скалярная часть х – это просто действительное число , а векторная часть может быть изображена вектором r = yi + uj + vk в трехмерном пространстве , где i, j, k мы теперь рассматриваем как единичные вектора прямоугольной системы координат. Таким образом , каждый кватернион q представляется в виде сумм ы q = x + r , где x – скалярная часть кватерниона q , а r – векторная часть . Ес ли r = 0 , то q = x и кватернион q называется скалярным кватернионом . Если же x = 0 , то q = r и q называется векторным кватернионом . При сложении кватернионов независимо склады ваются их скалярные и векторные части. При умножении дело обстоит сложнее . Если и – скалярные кватернионы , то их произв едение тоже скалярный кватернион . В случае , когда = х – скалярный кватернио н , а = r – векторный кватернион , произведение является век торным кватернионом , и операция умножения сов падает с умножением вектора r в пространстве на дей ствительное число x . И , наконец , если оба кватерниона ве кторные , то Как видно из последней формулы , скаляр ная часть произведения рав на ск алярному произведению векторов и с обратным з наком . Векторная же часть – это наш старый знакомый – векторное произведение , записанное в координатах. Об ъединяя все рассмотренные случаи , получим общ ую формулу для умножения кватернионов . Если и , то А как же триплеты ? Почему же Гамильтону не удалось на йти способа умножения триплетов ? Раньше уже было отмечено , что эту зад ачу решит ь нельзя . Доказано , что попросту не существует способа умножения точек пространства , удовлетворяющего нашим требованиям (ассоциативности , дистрибутивност и относительно покоординатного сложения , возможно сти деления на ненулевые элементы ). Сейчас , к тому же , известны все случаи , когд а можно вести такое умножение . Это доказал немецкий математик Ф . Г . Фробениус (1849 – 1917). По его словам , этих случаев три : в размерности один (действительные числа ), в разм ерности два (комплексные числа ) и в “разме рно с ти четыре” (кватернионы ). Что было дальше Гамильтон и его последователи возлага ли большие надежды на кватернионы . От кват ернионов ожидали таких же результатов , как от комплексных чисел , и даже больше . И действительно , с помощью исчисления кватернионо в были обнаружены совершенные в их математической красоте формулы , описывающие ряд важных физических явлений . Но дальнейшие надежды на развитие алгебраического и функцио нального исчисления кватернионов не оправдались. Для кватернионов не имеет места ос новная теорема алгебры о существовании корней у многочлена с кватернионными коэфф ициентами , а , с другой стороны , существует такой многочлен с кватернионными коэффициентами от одной переменной , для которого любой кватернион является корнем . Оптимизм см енился скепсисом . В начале нашего века математики перестали интер есоваться кватернионами . Но время шло , и ф изики упорно искали математический формализм для некоторых эффектов , связанных с так на зываемым спином элементарных частиц . Кватернионы снова получил и признание , когда была понята их роль в построении различных геометрических пр еобразований пространства , используемых в квантов ой физике . Геометрические свойства кватернионов – это особая большая тема. Для этого будет посвящен другой рефер ат. Использов анная литература : Квант . Изд . “Наука” . Главная редакция физико-математической литературы , Москва , 1983(9).
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
У меня появилась своя рок группа.
Я на электрогитаре и соседи на батареях, но всё сыграться не можем.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Кватернионы", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru