Реферат: История математики - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

История математики

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 52 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

МАТЕМАТИКИ ИСТОРИЯ . Самой древней математич еской деятел ьностью был счет . Счет был необходим , чтобы следить за поголовьем ск ота и вести торговлю . Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов , сопо ставляя им различные части тела , главным о бразом пальцы рук и ног . Наскальный рисуно к , сохранивш и йся до наших времен от каменного века , изображает число 35 в виде серии выстроенных в ряд 35 палочек-пальц ев . Первыми существенными успехами в арифмети ке стали концептуализация числа и изобретение четырех основных действий : сложения , вычитани я , умножения и деления . Первые дост ижения геометрии связаны с такими простыми понятиями , как прямая и окружность . Дальнейш ее развитие математики началось примерно в 3000 до н.э . благодаря вавилонянам и египтянам . ВАВИЛОНИЯ И ЕГИПЕТ Вави лония . Источником наших знаний о вавилонской цивилизации служат хорошо со хранившиеся глиняные таблички , покрытые т.н . кл инописными текстами , которые датируются от 2000 д о н.э . и до 300 н.э . Математика на клинопис ных табличках в основно м была связана с ведением хозяйства . Арифметика и нехитр ая алгебра использовались при обмене денег и расчетах за товары , вычислении простых и сложных процентов , налогов и доли уро жая , сдаваемой в пользу государства , храма или землевладельца . Многочисленны е ариф метические и геометрические задачи возникали в связи со строительством каналов , зернохрани лищ и другими общественными работами . Очень важной задачей математики был расчет кален даря , поскольку календарь использовался для о пределения сроков сельскохозя й ственных работ и религиозных праздников . Деление окр ужности на 360, а градуса и минуты на 60 ча стей берут начало в вавилонской астрономии . Вавилоняне создали и систему счисления , использовавшую для чисел от 1 д о 59 основание 10. Символ , обозначавший едини цу , повторялся нужное количество раз для чис ел от 1 до 9. Для обозначения чисел от 11 д о 59 вавилоняне использовали комбинацию символа числа 10 и символа единицы . Для обозначения чисел начиная с 60 и больше вавилоняне вв ели позиционную систему счисления с основанием 60. Существенным продвижением стал позиционный принцип , согласно которому один и тот же числовой знак (символ ) имеет различные значения в зависимости от того места , где он расположен . Примером могут служить значения шестерки в записи (совреме нн о й ) числа 606. Однако нуль в сис теме счисления древних вавилонян отсутствовал , из-за чего один и тот же набор симв олов мог означать и число 65 (60 + 5), и число 3605 (60 2 + 0 + 5). Возникали неоднозначности и в трактовке дробей . Нап ример , одни и те же симво лы могли означать и число 21, и дробь 21/60 и (20/60 + 1/60 2 ). Неоднозначность разрешалась в зависимости от конкретного контекста . Вавилоняне составили таблицы обратных чисел (которые использовались при вы полнении деления ), таблицы квадратов и квадрат ных корней , а также таблицы кубов и кубических корней . Им было известно хорош ее приближение числа . Клинописные т ексты , посвященные решению алгебраических и г еометрических задач , свидетельствуют о том , чт о они пользовались квадратичной формулой для решения квадратных уравнений и могли реш ать некоторые специальные типы задач , включав ших до десяти уравнений с десятью н еизвестными , а также отдельные разновидности кубических уравнений и уравнений четвертой ст епени . На глиняных табличках запечатлены толь ко задачи и основные шаги процедур их решения . Так как для обозначения неизвестны х величин использо в алась геометрическ ая терминология , то и методы решения в основном заключались в геометрических действия х с линиями и площадями . Что касается алгебраических задач , то они формулировались и решались в словесных обозначениях . Около 700 до н.э . вавилоняне с та ли применять математику для исследовани я движений Луны и планет . Это позволило им предсказывать положения планет , что было важно как для астрологии , так и для астрономии. В геометрии вавилоняне знали о таких соотношениях , например , как пропо рциональность соответствующих сторон подобных треугольников . Им была известна теорема П ифагора и то , что угол , вписанный в пол уокружность – прямой . Они располагали также правилами вычисления площадей простых плоски х фигур , в том числе правильных многоуголь ников , и объе м ов простых тел . Ч исло p вавилоняне считали равным 3. Египет . Наше знание древнеегипетской математики о сновано главным образом на двух папирусах , датируемых примерно 1700 до н.э . Излагаемые в этих папирусах математические сведения в осходят к еще более раннему периоду – ок . 3500 до н.э . Египтяне использовали математик у , чтобы вычислять вес тел , площади посево в и объемы зернохранилищ , размеры податей и количество камней , требуемое для возведения тех или иных сооружений . В папирусах м ожно найти также задачи , связанны е с определением количества зерна , необходимо го для приготовления заданного числа кружек пива , а также более сложные задачи , св язанные с различием в сортах зерна ; для этих случаев вычислялись переводные коэффициен ты . Но гл авной областью применения ма тематики была астрономия , точнее расчеты , связ анные с календарем . Календарь использовался д ля определения дат религиозных праздников и предсказания ежегодных разливов Нила . Однако уровень развития астрономии в Древнем Ег ипте на м ного уступал уровню ее развития в Вавилоне . Древнеегипетская письменность основывалась н а иероглифах . Система счисления того периода также уступала вавилонской . Египтяне пользов ались непозиционной десятичной системой , в ко торой числа от 1 до 9 обозначалис ь соотв етствующим числом вертикальных черточек , а дл я последовательных степеней числа 10 вводились индивидуальные символы . Последовательно комбинируя эти символы , можно было записать любое число . С появлением папируса возникло так называемое иератическое п исьмо-скоропись , способствовавшее , в свою очередь , появлению новой числовой системы . Для каждого из чи сел от 1 до 9 и для каждого из первых девяти кратных чисел 10, 100 и т.д . использовался специальный опознавательный символ . Дроби за писывались в виде сум м ы дробей с числителем , равным единице . С такими д робями египтяне производили все четыре арифме тические операции , но процедура таких вычисле ний оставалась очень громоздкой . Геометрия у египтян сводилась к вычис лениям площадей прямоугольников , треугольников , трапеций , круга , а также формулам вы числения объемов некоторых тел . Надо сказать , что математика , которую египтяне использовал и при строительстве пирамид , была простой и примитивной . Задачи и решения , приведенные в папиру сах , сформулированы чисто рецепт урно , без каких бы то ни было объяснений . Египт яне имели дело только с простейшими типам и квадратных уравнений и арифметической и геометрической прогрессиями , а потому и те общие правила , которые они смогли вывести , были также самого простейшего вида . Ни в авилонская , ни египетская математики не располагали общими методами ; весь свод математических знаний представлял собой скоп ление эмпирических формул и правил . Хотя майя , жившие в Центра льной Америке , не оказали влияния на разви тие математики , их достижени я , относящиеся примерно к 4 в ., заслуживают внимания . Майя , по-видимому , первыми использовали специальный символ для обозначения нуля в своей дв адцатиричной системе . У них были две систе мы счисления : в одной применялись иероглифы , а в другой , более распро с транен ной , точка обозначала единицу , горизонтальная черта – число 5, а символ обознача л нуль . Позиционные обозначения начинались с числа 20, а числа записывались по вертикали сверху вниз .. ГРЕЧЕСКАЯ МАТЕМАТИКА Клас сическая Греция . С точки зре ния 20 в . родоначальниками математики явились греки классического периода (6 – 4 вв . до н.э .). Математика , существовавшая в более ра нний период , была набором эмпирических заключ ений . Напротив , в дедуктивном рассуждении ново е утверждение выводится из принятых посылок способом , исключавшим возможность ег о неприятия . Настаивание греков на дедуктивном доказат ельстве было экстраординарным шагом . Ни одна другая цивилизация не дошла до идеи получения заключений исключительно на основе дедуктивного рассуждения , исходящего из явно сформулированных аксиом . Одно и з объяснен ий приверженности греков методам дедукции мы находим в устройстве греческого общества классического периода . Математики и философы (нередко это были одни и те же лица ) принадлежали к высшим слоям общества , гд е любая практическая деятельность рас с матривалась как недостойное занятие . Мате матики предпочитали абстрактные рассуждения о числах и пространственных отношениях решению практических задач . Математика делилась на арифметику – теоретический аспект и логистик у – вычислительный аспект . Заниматьс я логистикой предоставляли свободнорожденным низших классов и рабам . Греческая система счисления б ыла основана на использовании букв алфавита . Аттическая система , бывшая в ходу с 6 – 3 вв . до н.э ., использовала для обозначения единицы вертикальную черту , а д ля обозначения чисел 5, 10, 100, 1000 и 10 000 начальные буквы их греческих названий . В более поздней ион ической системе счисления для обозначения чис ел использовались 24 буквы греческого алфавита и три архаические буквы . Кратные 1000 до 9000 обо значались так же , как первые девят ь целых чисел от 1 до 9, но перед каждой буквой ставилась вертикальная черта . Десятки тысяч обозначались буквой М (от греческог о мириои – 10 000), после которой ставилось то число , на которое нужно было умножить десять тысяч Дедукт ивный характер греческой матема тики полностью сформировался ко времени Плато на и Аристотеля . Изобретение дедуктивной мате матики принято приписывать Фалесу Милетскому (ок . 640 – 546 до н.э .), который , как и многие древнегреческие математики классического пер и ода , был также философом . Высказы валось предположение , что Фалес использовал д едукцию для доказательства некоторых результатов в геометрии , хотя это сомнительно . Другим великим греком , с чьим именем связывают развитие математики , был Пифагор (ок . 585 – 500 до н.э .). Полагают , что он мог познакомиться с вавилонской и египетск ой математикой во время своих долгих стра нствий . Пифагор основал движение , расцвет кото рого приходится на период ок . 550 – 300 до н.э . Пифагорейцы создали чистую математику в форме теории ч исел и геометрии . Целые числа они представляли в виде ко нфигураций из точек или камешков , классифицир уя эти числа в соответствии с формой возникающих фигур («фигурные числа» ). Слово «ка лькуляция» (расчет , вычисление ) берет начало от греческого слова , озна ч ающего «ка мешек» . Числа 3, 6, 10 и т.д . пифагорейцы называли треугольными , так как соответствующее число камешков можно расположить в виде треуголь ника , числа 4, 9, 16 и т.д . – квадратными , так как соответствующее число камешков можно р асположить в виде к в адрата , и т.д . Из простых геометрических кон фигураций возникали некоторые свойства целых чисел . Например , пифагорейцы обнаружили , что су мма двух последовательных треугольных чисел в сегда равна некоторому квадратному числу . Они открыли , что если (в совреме нных о бозначениях ) n 2 – квадратное число , то n 2 + 2 n +1 = ( n + 1) 2 . Число , равное с умме всех своих собственных делителей , кроме самого этого числа , пифагорейцы называли совершенным . Примерами совершенных чисел могут служить такие целые числа , как 6, 28 и 4 96. Два числа пифагорейцы называли дружес твенными , если каждое из чисел равно сумме делителей другого ; например , 220 и 284 – друже ственные числа (и здесь само число исключа ется из собственных делителей ). Для пифагорейцев любое число представляло собой неч то большее , чем количественн ую величину . Например , число 2 согласно их в оззрению означало различие и потому отождеств лялось с мнением . Четверка представляла справ едливость , так как это первое число , равно е произведению двух одинаковых множителей . Пифагоре йцы также открыли , что сум ма некоторых пар квадратных чисел есть сн ова квадратное число . Например , сумма 9 и 16 р авна 25, а сумма 25 и 144 равна 169. Такие тройки чисел , как 3, 4 и 5 или 5, 12 и 13, называются пифаг оровыми числами . Они имеют геометрическу ю интерпретацию , если два числа из тр ойки приравнять длинам катетов прямоугольного треугольника , то третье число будет равно длине его гипотенузы . Такая интерпретация , п о-видимому , привела пифагорейцев к осознанию б олее общего факта , известного ныне под на з ванием теоремы Пифагора , согласно которой в любом прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадр атов длин катетов . Рассматривая прямоугольный треуго льник с единичными катетами , пифагорейцы обна ружили , что длина его гипотенузы равна , и это пов ергло их в смятение , ибо они тщетно пы тались представить число в виде отнош ения двух целых чисел , что было крайне важно для их философии . Величины , непредстав имые в виде отношения целых чисел , п ифагорейцы назвали несоизмеримыми ; современный те рмин – «иррациональные числа» . Около 300 до н.э . Евклид доказал , что число несоизмеримо . Пи фагорейцы имели дело с иррациональными числам и , представляя все величины геометрическими о бразами . Если 1 и считать длинами некоторых отрезков , то различие между рац иональными и иррациональными числами сглаживаетс я . Произведение чисел и есть площадь прямоугольника со сторонами длиной и .Мы и сегодн я иногда говорим о числе 25 как о квадр ате 5 , а о числе 27 – как о кубе 3. Древние греки решали уравнения с неиз вестными посредством геометрических построений . Б ыли разработаны специальные построения для вы полнения сложения , вычитания , умножения и деле ния отрезков , извлечения квадратных корней из д лин отрезков ; ныне этот метод на зывается геометрической алгеброй . Приведение задач к геометриче скому виду имело ряд важных последствий . В частности , числа стали рассматриваться отдел ьно от геометрии , поскольку работать с нес оизмеримыми отношениями можно б ыло только с помощью геометрических методов . Геометрия стала основой почти всей строгой математ ики по крайней мере до 1600. И даже в 18 в ., когда уже были достаточно развиты алг ебра и математический анализ , строгая математ ика трактовалась как геометрия , и с лово «геометр» было равнозначно слову «математик» . Именно пифагорейцам мы во многом обязаны той математикой , которая зат ем была систематизированно изложена и доказан а в Началах Евклида . Есть основания полагать , что именно они открыли то , что ныне известн о как теоремы о треугольниках , параллель ных прямых , многоугольниках , окружностях , сферах и правильных многогранниках . Одним из самых выдающихся пифагорейцев был Платон (ок . 427 – 347 до н.э .). Платон бы л убежден , что физический мир постижим лиш ь посредством математики . Считается , что именно ему принадлежит заслуга изобретения ан алитического метода доказательства . (Аналитический метод начинается с утверждения , которое тре буется доказать , и затем из него последова тельно выводятся следствия до тех пор , пок а не б удет достигнут какой-нибудь известный факт ; доказательство получается с помощью обратной процедуры .) Принято считать , что последователи Платона изобрели метод д оказательства , получивший название «доказательство от противного» . Заметное место в истории мат е матики занимает Аристотель , уче ник Платона . Аристотель заложил основы науки логики и высказал ряд идей относительно определений , аксиом , бесконечности и возможно сти геометрических построений . Величайшим из греческих математиков класс ического периода , усту павшим по значимост и полученных результатов только Архимеду , был Евдокс (ок . 408 – 355 до н.э .). Именно он ввел понятие величины для таких объектов , как отрезки прямых и углы . Располагая поня тием величины , Евдокс логически строго обосно вал пифагорейский мет о д обращения с иррациональными числами . Работы Евдокса позволили установить дедук тивную структуру математики на основе явно формулируемых аксиом . Ему же принадлежит и первый шаг в создании математического ан ализа , поскольку именно он изобрел метод в ычислен ия площадей и объемов , получивший название «метода исчерпывания» . Этот метод состоит в построении вписанных и описанных плоских фигур или пространственных тел , к оторые заполняют («исчерпывают» ) площадь или о бъем той фигуры или того тела , которое является п редметом исследования . Евдо ксу же принадлежит и первая астрономическая теория , объясняющая наблюдаемое движение пла нет . Предложенная Евдоксом теория была чисто математической ; она показывала , каким образом комбинации вращающихся сфер с различными радиусам и и осями вращения могут объяснить кажущиеся нерегулярными движения С олнца , Луны и планет . Около 300 до н.э . результаты м ногих греческих математиков были сведены в единое целое Евклидом , написавшим математически й шедевр Начала . Из немногих проницательно от обранн ых аксиом Евклид вывел около 500 теорем , охва тивших все наиболее важные результаты классич еского периода . Свое сочинение Евклид начал с определения таких терминов , как прямая , угол и окружность . Затем он сформулировал десять самоочевидных истин , так и х , как «целое больше любой из частей» . И из этих десяти аксиом Евклид смог вы вести все теоремы . Для математиков текст Начал Евклида долгое время служил образцом строгости , п ока в 19 в . не обнаружилось , что в нем имеются серьезные недостатки , такие как нео с ознанное использование несформулированных в явном виде допущений . Аполлоний (ок . 262 – 200 до н.э .) жил в александрийский период , но его основной тру д выдержан в духе классических традиций . П редложенный им анализ конических сечений – окружности , эллипса , па раболы и гипер болы – явился кульминацией развития греческо й геометрии . Аполлоний также стал основателем количественной математической астрономии . Александрийский период . В этот период , который начался около 300 до н.э ., характер греческо й математики изменился . Александрийская математик а возникла в результате слияния классической греческой математики с математикой Вавилонии и Египта . В целом математики александрийс кого периода были больше склонны к решени ю чисто технических задач, чем к философии . Великие александрийские математики – Эратосфен , Архимед , Гиппарх , Птолемей , Диофан т и Папп – продемонстрировали силу грече ского гения в теоретическом абстрагировании , но столь же охотно применяли свой талант к решению практических проблем и чисто количественных задач . Эратосфен (ок . 275 – 194 до н.э .) нашел простой метод точного вычисления дли ны окружности Земли , ему же принадлежит ка лендарь , в котором каждый четвертый год им еет на один день больше , чем другие . Ас троном Аристарх (ок . 310 – 230 до н.э .) на писал сочинение О размерах и расстояниях Солнца и Луны , содержавшее одну из первых попыток определения этих размеров и расстояний ; по своему характеру работа Аристарха была г еометрической . Величайшим математиком древности был Архимед (ок . 287 – 212 до н.э .). Ему принадлежат формулировки многих теорем о площадях и объемах сложных фигур и тел , вполне строго доказанные им методом исче рпывания . Архимед всегда стремился получить т очные решения и находил верхние и нижние оценки для иррациональных чисе л . Например , работая с правильным 96-угольником , он безукоризненно доказал , что точное значени е числа p находится между 3 1 / 7 и 3 10 / 71 . Архимед доказал также несколько теорем , содержавших новые результаты геометрической алгебры . Ему принадле жит формулировка задачи о рассечении ша ра плоскостью так , чтобы объемы сегментов находились между собой в заданном отношении . Архимед решил эту задачу , отыскав пересе чение параболы и равнобочной гиперболы . Архимед был величайшим матема тическим физиком древности . Для доказ ател ьства теорем механики он использовал геометри ческие соображения . Его сочинение О плавающих телах залож ило основы гидростатики . Согласно легенде , Арх имед открыл носящий его имя закон , согласн о которому на тело , погруженное в воду , действует выталкивающа я сила , равная ве су вытесненной им жидкости , во время купан ия , находясь в ванной , и не в силах совладать с охватившей его радостью открыт ия , выбежал обнаженный на улицу с криком : «Эврика !» («Открыл !» ) Во времена Архимеда уже не ограничива лись геометрическ ими построениями , осуществим ыми только с помощью циркуля и линейки . Архимед использовал в своих построениях сп ираль , а Диоклес (конец 2 в . до н.э .) решил проблему удвоения куба с помощью введенн ой им кривой , получившей название циссоиды . В александрийский период арифметика и алгебра рассматривались независимо от ге ометрии . Греки классического периода имели ло гически обоснованную теорию целых чисел , одна ко александрийские греки , восприняв вавилонскую и египетскую арифметику и алгебру , во м ногом утратили уж е наработанные пре дставления о математической строгости . Живший между 100 до н.э . и 100 н.э . Герон Александрийский трансформировал значительную часть геометрическ ой алгебры греков в откровенно нестрогие вычислительные процедуры . Однако , доказывая новые тео р емы евклидовой геометрии , он по-прежнему руководствовался стандартами логичес кой строгости классического периода . Первой достаточно объемистой книгой , в которой арифметика излагалась незав исимо от геометрии , было Вв едение в арифметику Никомаха (ок . 100 н. э .). В истории арифметики ее роль сравнима с ролью На чал Евклида в истории геоме трии . На протяжении более 1000 лет она служил а стандартным учебником , поскольку в ней я сно , четко и всеобъемлюще излагалось учение о целых числах (простых , составных , взаимно п ростых , а также о пропорциях ). По вторяя многие пифагорейские утверждения , Введение Никомаха вм есте с тем шло дальше , так как Никомах видел и более общие отношения , хотя и приводил их без доказательства . Знаменательной вехой в алгебре александри йских греко в стали работы Диофанта (ок . 250). Одно из главных его достижений связано с введением в алгебру начал символики . В своих работах Диофант не предлагал о бщих методов , он имел дело с конкретными положительными рациональными числами , а не с их буквенными обоз н ачениями . Он заложил основы т.н . диофантова анализа – исследования неопределенных уравнений . Высшим достижением александрийски х математиков стало создание количественной а строномии . Гиппарху (ок . 161 – 126 до н.э .) мы обязаны изобретением тригонометрии . Его мето д был основан на теореме , утверждающей , чт о в подобных треугольниках отношение длин любых двух сторон одного из них равно отношению длин двух соответственных сторон другого . В частности , отношение длины кат ета , лежащего против острого угла А в прямоуг ол ьном треугольнике , к длине гипотенузы должно быть одним и тем же для всех пря моугольных треугольников , имеющих один и тот же острый угол А . Это отношение известно как синус угла А . О тношения длин других сторон прямоугольного тр еугольника получили названи е косинуса и тангенса угла А . Гиппарх изобрел метод вычисления таких отношений и составил их таблицы . Располагая этими таблицами и легко измеримыми расстояниями на поверхности Земли , он смо г вычислить длину ее большой окружности и расстояние до Луны . По ег о расчет ам , радиус Луны составил одну треть земног о радиуса ; по современным данным отношение радиусов Луны и Земли составляет 27/1000. Гиппарх определил продолжительность солнечного года с ошибкой всего лишь в 6 1 / 2 минуты ; считается , что именно он ввел шир оты и долготы . Греческая тригонометрия и ее приложения в астрономии достигли пика св оего развития в Альмагесте египтянина Клавдия Птолемея (ум ер в 168 н.э .). В Альмагесте была представлена теория движе ния небесных тел , господствовавшая вплоть до 16 в ., ко гда ее сменила теория Копер ника . Птолемей стремился построить самую прос тую математическую модель , сознавая , что его теория – всего лишь удобное математическо е описание астрономических явлений , согласованное с наблюдениями . Теория Коперника одержала верх и менно потому , что как мо дель она оказалась проще . Упадок Греции . После завоевания Египта римлянами в 31 до н.э . великая греческая александрийская цивилизация пришла в упадок . Цицерон с гордостью утверждал , что в отличие от г реков римляне не мечтатели , а потому применяют свои математические знания на пр актике , извлекая из них реальную пользу . О днако в развитие самой математики вклад р имлян был незначителен . Римская система счисл ения основывалась на громоздких обозначениях чисел . Г л авной ее особенностью был аддитивный принцип . Даже вычитательный принц ип , например , запись числа 9 в виде IX, вошел в широкое употребление только после изобре тения наборных литер в 15 в . Римские обознач ения чисел применялись в некоторых европейски х школах примерно до 1600, а в бух галтерии и столетием позже . ИНДИЯ И АРАБЫ Преемниками гре ков в истории математики стали индийцы . Ин дийские математики не занимались доказательствам и , но они ввели оригинальные понятия и ряд эффективных м етодов . Именно они впервые ввели нуль и как кардинальное число , и как символ отсутствия единиц в соответствующем разряде . Махавира (850 н.э .) установи л правила операций с нулем , полагая , однак о , что деление числа на нуль оставляет число неизменным . Правил ь ный ответ для случая деления числа на нуль был дан Бхаскарой (р . в 1114), ему же принадлеж ат правила действий над иррациональными числа ми . Индийцы ввели понятие отрицательных чисел (для обозначения долгов ). Самое раннее их использование мы находим у Брахм а гупты (ок . 630). Ариабхата (р . 476) пошел дальше Диофанта в использовании непрерывных дробей при решении неопределенных уравнений . Наша современная система счисления , основ анная на позиционном принципе записи чисел и нуля как кардинального числа и испол ьз овании обозначения пустого разряда , наз ывается индо-арабской . На стене храма , построен ного в Индии ок . 250 до н.э ., обнаружено не сколько цифр , напоминающих по своим очертания м наши современные цифры . Около 800 индийская математика д остигла Багдада . Термин «алгебра» происходит от начала названия книги Аль-джебр ва-л-мукабала ( Восполнение и противопоставление ), написанной в 830 астрономом и м атематиком аль-Хорезми . В своем сочинении он воздавал должное заслугам индийской математики . Алгебра аль-Хорезми была основана на трудах Брахмагупты , но в ней явственно различимы вавилонское и греческое влияния . Др угой выдающийся арабский математик Ибн аль-Ха йсам (ок . 965 – 1039) разработал способ получения алгебраических решений квадратных и кубических уравнений . Арабские математики , в их числе и Омар Хайям , умели решать неко торые кубические уравнения с помощью геометри ческих методов , используя конические сечения . Арабские астрономы ввели в тригонометрию поня тие тангенса и котангенса . Насирэддин Туси (1201 – 1274) в Трактате о п олном четырехугольнике систематичес ки изложил плоскую и сферическую геометрии и первым рассмотрел тригонометрию отдельно от астрономии . И все же самым важным вкладом ара бов в математику стали их переводы и комментарии к великим творениям греков . Европ а познакомилась с этими работами после завоевания арабами Северной Африки и Исп ании , а позднее труды греков были переведе ны на латынь . СРЕДНИЕ ВЕКА И ВОЗ РОЖДЕНИЕ Сред невековая Европа . Римская цивили зация не оставила заметного следа в математике , поскольку была слишком озабочена решением практических проблем . Цивилизация , сложив шаяся в Европе раннего Средневековья (ок . 400 – 1100), не была продуктивной по прямо против оположной причине : интеллектуальная жизн ь сосредоточилась почти исключительно на теологии и загробной жизни . Уровень математ ического знания не поднимался выше арифметики и простых разделов из Начал Евклида . Наиболее важным разделом математики в Средние века считалась астрология ; астрологов называ ли математиками . А поскольку медицинская практи ка основывалась преимущественно на астрологическ их показаниях или противопоказаниях , медикам не оставалось ничего другого , как стать ма тематиками . Около 1100 в западноевропейской математике н ачался почти трех вековой период освоения сохраненного арабами и византийскими греками наследия Древнего мира и Востока . Посколь ку арабы владели почти всеми трудами древ них греков , Европа получила обширную математи ческую литературу . Перевод этих трудов на латынь способство в ал подъему математи ческих исследований . Все великие ученые того времени признавали , что черпали вдохновение в трудах греков . Первым заслуживающим упоминания европейским математиком стал Леонардо Пизанс кий (Фибоначчи ). В своем сочинении Книга абака (1202) о н познакомил европейцев с индо-арабскими цифр ами и методами вычислений , а также с а рабской алгеброй . В течение следующих несколь ких веков математическая активность в Европе ослабла . Свод математических знаний той э похи , составленный Лукой Пачоли в 1494, н е содержал каких-либо алгебраических новш еств , которых не было у Леонардо . Возрождение . Среди лучших геометров эпохи Возро ждения были художники , развившие идею перспек тивы , которая требовала геометрии со сходящим ися параллельными прямыми . Художник Леон Баттиста Альберти (1404 – 1472) ввел понятия проекц ии и сечения . Прямолинейные лучи света от глаза наблюдателя к различным точкам изо бражаемой сцены образуют проекцию ; сечение по лучается при прохождении плоскости через прое кцию . Чтоб ы нарисованная картина выг лядела реалистической , она должна была быть таким сечением . Понятия проекции и сечения порождали чисто математические вопросы . Напр имер , какими общими геометрическими свойствами обладают сечение и исходная сцена , каковы свойства д в ух различных сечений одной и той же проекции , образованных д вумя различными плоскостями , пересекающими проекц ию под различными углами ? Из таких вопросо в и возникла проективная геометрия . Ее осн ователь – Ж.Дезарг (1593 – 1662) с помощью доказа тельств , основа н ных на проекции и сечении , унифицировал подход к различным типам конических сечений , которые великий гре ческий геометр Аполлоний рассматривал отдельно . НАЧАЛО СОВРЕМЕННОЙ МА ТЕМАТИКИ Наступление 16 в . в Западной Европе ознаменова лось важ ными достижениями в алгебре и арифметике . Были введены в обращение десятичные дроби и правила арифметических действий с ними . Настоящим триумфом стало изобретение в 1614 ло гарифмов Дж.Непером . К концу 17 в . окончательно сложилось понимание логариф м ов как показателей степени с любым положительным числом , отличным от единицы , в качестве основания . С начала 16 в . более широко стали употребляться иррациональные числа . Б.Паскаль (1623 – 1662) и И.Барроу (1630 – 1677), учитель И.Ньютона в Кембриджском универ с итете , утверждал и , что такое число , как , можно трактов ать лишь как геометрическую величин у . Однако в те же годы Р.Декарт (1596 – 1650) и Дж.Валлис (1616 – 1703) считали , что иррациональные числа допустимы и сами по себе , без сс ылок на геометрию . В 16 в . продолжались споры по поводу законности введения отрицательных чисел . Еще менее приемлемыми сч и тались возникавшие при решении квадратных уравнений комплексные числа , такие как , на званные Декартом «мнимыми» . Эти числа были под подозрением даже в 18 в ., хотя Л.Эйлер (1707 – 1783) с успехом пользовался ими . Комплексные числа окончательно признали только в начале 19 в ., когда математики освоились с их г еометрическим представлением . Достижения в алгеб ре . В 16 в . итальянские математ ики Н.Тарталья (1499 – 1577), С.Даль Ферро (1465 – 1526), Л.Фе ррари (1522 – 1565) и Д.Кардано (1501 – 1576) нашли общие решения уравнений третьей и четвертой ст епеней . Чтобы сделать алгебраичес кие расс уждения и их запись более точными , было введено множество символов , в том числе +, – , ґ , , =, > и <. Самым существенным новш еством стало систематическое использование франц узским математиком Ф.Виетом (1540 – 1603) букв для обозначения неизвестных и постоянных величин . Это нововведение позволило ему найти едины й метод решения уравнений втор ой , трет ьей и четвертой степеней . Затем математики обратились к уравнениям , степени которых вы ше четвертой . Работая над этой проблемой , Кардано , Декарт и И.Ньютон (1643 – 1727) опубликовали (без доказательств ) ряд результатов , касающихс я числа и вида корней уравнения . Ньютон открыл соотношение между корнями и дискриминантом [ b 2 – 4 ac ] квадратного уравнения , а им енно , что уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет равные действительные , раз ные действительные или комплексно сопряженные корни в зависимости оттого , будет л и дискриминант b 2 – 4 ac равен нулю , больше или м еньше нуля . В 1799 К.Фридрих Гаусс (1777 – 1855) доказа л т.н . основную теорему алгебры : каждый мно гочлен n -й с тепени имеет ровно n корней . Основная задача алгебры – поиск общего решения алгебраических уравнени й – продолжала занимать математиков и в начале 19 в . Когда говорят об общем решении уравнения второй степени ax 2 + bx + c = 0, имеют в виду , что каждый из двух его корней может быть выражен с помощью конечного числа операций сложения , вычитания , умножения, деле ния и извлечения корней , производимых над коэффициентами a , b и с . Молодой н орвежский математик Н.Абель (1802 – 1829) доказал , что невозможно получить общее решение уравнения степени выше 4 с помощью конечного числа алгебраических операций . Однако сущес тву ет много уравнений специального вида степени выше 4, допускающих такое решение . Накануне своей гибели на дуэли юный французский математик Э.Галуа (1811 – 1832) дал решающий ответ на вопрос о том , какие уравнения разреш имы в радикалах , т.е . корни каких ур а внений можно выразить через их коэффициенты в помощью конечного числа алг ебраических операций . В теории Галуа использо вались подстановки или перестановки корней и было введено понятие группы , которое нашл о широкое применение во многих областях м атематики. Развитие теории групп служит хорошим примером преемственности творческой работы в математике . Галуа построил свою т еорию , опираясь на работу Абеля , Абель опи рался на работу Ж.Лагранжа (1736 – 1813). В свою очередь многие выдающиеся математики , в том числе Г аусс и А.Лежандр (1752 – 1833) в своих работах неявно использовали понятие группы . Ньютон не был чрезмерно скромен , к огда заявил : «Если я видел дальше других , то потому , что стоял на плечах гигант ов». Аналитическая геометрия . Анали тическая , или координатная , геометрия была создана независимо П.Ферма (1601 – 1665) и Р.Декартом для того , чтобы расши рить возможности евклидовой геометрии в задач ах на построение . Однако Ферма рассматривал свои работы лишь как переформулировку сочи нения Ап о ллония . Подлинное открытие – осознание всей мощи алгебраических мето дов – принадлежит Декарту . Евклидова геометр ическая алгебра для каждого построения требов ала изобретения своего оригинального метода и не могла предложить количественную информаци ю , необх о димую науке . Декарт решил эту проблему : он формулировал геометрические задачи алгебраически , решал алгебраическое у равнение и лишь затем строил искомое реше ние – отрезок , имевший соответствующую длину . Собственно аналитическая геометрия возникла , когда Де к арт начал рассматривать неопределенные задачи на построение , решениями которых является не одна , а множество в озможных длин . Аналитическая геометрия используе т алгебраические уравнения для представления и исследования кривых и поверхностей . Декарт считал приемлемой кривую , которую можно записать с помощью единственного алгебраичес кого уравнения относительно х и у . Такой подход был важным шагом вперед , ибо он не только включил в число допустимых такие кривые , как конхоида и циссоида , но также существенно ра сширил область кривых . В результате в 17 – 18 вв . множество новых важных кривых , таких как циклоида и цепная линия , вошли в научный обиход . По-видимому , первым математиком , который воспользовался уравнениями для доказат ельства свойств конических сечений , бы л Дж.Валлис . К 1865 он алгебраическим путем получ ил все результаты , представленные в V книге Начал Евклида . Аналитическая геометрия полностью поменяла ролями геометрию и алгебру . Как заметил великий французский математик Лагран ж , «пока алгебра и геометрия двигались каждая своим путем , их прогресс был мед ленным , а приложения ограниченными . Но когда эти науки объединили свои усилия , они п озаимствовали друг у друга новые жизненные силы и с тех пор быстрыми шагами на правились к совершенству». Мат ематический анализ . Основатели современной науки – Коперник , Кеплер , Галилей и Ньютон – подходили к исследованию природы как матем атики . Исследуя движение , математики выработали такое фундаментальное понятие , как функция , или отношение между п еременными , например d = kt 2 , где d – расстояние , пройденное свободно падающим телом , а t – число секунд , которое тело находится в свободном падении . Понятие функции сразу же стало центральным в определении скорости в данный момент времени и ускорения движ ущегося тела . Математическая трудность эт ой проблемы заключалась в том , что в л юбой момент тело проходит нулевое расстояние за нулевой промежуток времени . Поэтому оп ределяя значение скорости в момент времени делением пути на время , мы придем к математичес к и бессмысленному выражению 0/0. Задача определения и вычислен ия мгновенных скоростей изменения различных в еличин привлекала внимание почти всех математ иков 17 в ., включая Барроу , Ферма , Декарта и Валлиса . Предложенные ими разрозненные идеи и методы были о бъединены в система тический , универсально применимый формальный мето д Ньютоном и Г.Лейбницем (1646 – 1716), создателями дифференциального исчисления . По вопросу о приоритете в разработке этого исчисления межд у ними велись горячие споры , причем Ньютон обвиня л Лейбница в плагиате . Од нако , как показали исследования историков нау ки , Лейбниц создал математический анализ неза висимо от Ньютона . В результате конфликта обмен идеями между математиками континентальной Европы и Англии на долгие годы оказа лся прерванным с ущербом для англи йской стороны . Английские математики продолжали развивать идеи анализа в геометрическом на правлении , в то время как математики конти нентальной Европы , в том числе И.Бернулли (1667 – 1748), Эйлер и Лагранж достигли несравненно б льших успехо в , следуя алгебраическому , или аналитическому , подходу . Основой всего математичес кого анализа является понятие предела . Скорос ть в момент времени определяется как пред ел , к которому стремится средняя скорость d / t , когда значение t все ближе подходит к нулю . Дифференциальное исчисление дает удобный в вычислениях общий метод нахождения с корости изменения функции f ( x ) при любом значе нии х . Эта скорость получила название производной . Из общности записи f ( x ) видн о , что понятие производной применимо не то лько в задачах , связанных с необходимостью найти скорость или ускорение , но и по отноше нию к любой функциональной завис имости , например , к какому-нибудь соотношению и з экономической теории . Одним из основных приложений дифференциального исчисления являются т.н . задачи на максимум и минимум ; другой важный круг задач – нахождение касательно й к данной кривой . Оказалось , что с помощью производной , специально изобретенной для работ с задачами движения , можно также находить площади и объемы , ограниченные соответственно кривыми и поверхностями . Методы евклидовой геометрии не обладали должной общнос тью и не позволяли получать требуемые количественные ре зультаты . Усилиями математиков 17 в . были создан ы многочисленные частные методы , позволявшие находить площади фигур , ограниченных кривыми того или иного вида , и в некоторых слу чаях была отмечена связь этих зада ч с задачами на нахождение скорости измен ения функций . Но , как и в случае диффер енциального исчисления , именно Ньютон и Лейбн иц осознали общность метода и тем самым заложили основы интегрального исчисления . Метод Ньютона – Лейбница начинается с з амены кривой , ограничиваю щей площадь , которую требуется определить , при ближающейся к ней последовательностью ломаных , аналогично тому , как это делалось в изо бретенном греками методе исчерпывания . Точная площадь равна пределу суммы площадей n прямоугольнико в , когда n обращается в бесконечность . Ньютон показал , чт о этот предел можно найти , обращая процесс нахождения скорости изменения функции . Опера ция , обратная дифференцированию , называется интегр ированием . Утверждение о том , что суммирование можно осуществи ть , обращая дифференциров ание , называется основной теоремой математическог о анализа . Подобно тому , как дифференцирование применимо к гораздо более широкому класс у задач , чем поиск скоростей и ускорений , интегрирование применимо к любой задаче , связанной с суммированием , например , к физическим задачам на сложение сил. СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА Создание диффер енциального и интегрального исчислений ознаменов ало начало «высшей математики» . Методы матема тического анализа , в отличие от по няти я предела , лежащего в его основе , выглядел и ясными и понятными . Многие годы математи ки , в том числе Ньютон и Лейбниц , тщетн о пытались дать точное определение понятию предела . И все же , несмотря на многочисл енные сомнения в обоснованности математическо г о анализа , он находил все бол ее широкое применение . Дифференциальное и инт егральное исчисления стали краеугольными камнями математического анализа , который со временем включил в себя и такие предметы , как теория дифференциальных уравнений , обыкновенных и с частными производными , бескон ечные ряды , вариационное исчисление , дифференциаль ная геометрия и многое другое . Строгое опр еделение предела удалось получить лишь в 19 в . Неевклидова геометрия . К 1800 математика покоилась на двух « китах» – на числовой сист еме и евклидовой геометрии . Так как многие свойства числовой системы доказывались геоме трически , евклидова геометрия была наиболее н адежной частью здания математики . Тем не м енее аксиома о параллельных содержала утвержд ение о прям ы х , простирающихся в бесконечность , которое не могло быть подтве рждено опытом . Даже версия этой аксиомы , п ринадлежащая самому Евклиду , вовсе не утвержд ает , что какие-то прямые не пересекутся . В ней скорее формулируется условие , при кот ором они пересекутся в некоторой к онечной точке . Столетиями математики пытались найти аксиоме о параллельных соответствующую подходящую замену . Но в каждом варианте н епременно оказывался какой-нибудь пробел . Честь создания неевклидовой геометрии выпала Н.И.Лоба чевскому (1792 – 1 8 56) и Я.Бойяи (1802 – 1860), каждый из которых независимо опубликовал свое собственное оригинальное изложение неевклидовой геометрии . В их геометриях через данную точку можно было провести бесконечно мно го параллельных прямых . В геометрии Б.Римана (1826 – 186 6 ) через точку вне прямой нельзя провести ни одной параллельной . О физических приложениях неевклидовой гео метрии никто серьезно не помышлял . Создание А.Эйнштейном (1879 – 1955) общей теории относительности в 1915 пробудило научный мир к осознанию реальности неевклидовой геометрии . Неевклидова геометрия стала н аиболее впечатляющим интеллектуальным свершением 19 в . Она ясно продемонстрировала , что математик у нельзя более рассматривать как свод неп ререкаемых истин . В лучшем случае математика может гарантировать достоверность доказате льства на основе недостоверных аксиом . Но зато математики впредь обрели свободу исследо вать любые идеи , которые могли показаться им привлекательными . Каждый математик в отдел ьности был теперь волен вводить свои собс твенные новые пон я тия и устанавли вать аксиомы по своему усмотрению , следя л ишь за тем , чтобы проистекающие из аксиом теоремы не противоречили друг другу . Гран диозное расширение круга математических исследов аний в конце прошлого века по существу явилось следствием этой ново й сво боды. Математическая строгость . Примерно до 1870 математики пребывали в убеждении , что действуют по предначертани ям древних греков , применяя дедуктивные рассу ждения к математическим аксиомам , тем самым обеспечивая своими закл ючениями не мен ьшую надежность , чем та , которой обладали аксиомы . Неевклидова геометрия и кватернионы ( алгебра , в которой не выполняется свойство коммутативности ) заставили математиков осознать , что то , что они принимали за абстрактны е и логически непроти в оречивые ут верждения , в действительности зиждется на эмп ирическом и прагматическом базисе . Создание неевклидовой геометрии сопровождалось также осознанием существования в евклидовой геометрии логических пробелов . Одним из недостатков евклидовых Начал было испо льзование допущений , не сформулированных в яв ном виде . По-видимому , Евклид не подвергал сомнению те свойства , которыми обладали его геометрические фигуры , но эти свойства не были включены в его аксиомы . Кроме того , доказывая подобие двух треугольнико в , Евклид воспользовался наложением одного треугольника на другой , неявно предполагая , что при движении свойства фигур не изменя ются . Но кроме таких логических пробелов , в Началах ока залось и несколько ошибочных доказательств . Создание новых алгебр , начавш ееся с квартернионов , породило аналогичны е сомнения и в отношении логической обосн ованности арифметики и алгебры обычной числов ой системы . Все ранее известные математикам числа обладали свойством коммутативности , т.е . ab = ba . Кватернионы , соверш ившие пере ворот в традиционных представле ниях о числах , были открыты в 1843 У.Гамильтон ом (1805 – 1865). Они оказались полезными для реше ния целого ряда физических и геометрических проблем , хотя для кватернионов не выполня лось свойство коммутативности . Квартернионы в ы нудили математиков осознать , что если не считать посвященной целым числам и далекой от совершенства части евклидовых Начал , арифмети ка и алгебра не имеют собственной аксиома тической основы . Математики свободно обращались с отрицательными и комплексными чис лам и и производили алгебраические операции , руко водствуясь лишь тем , что они успешно работ ают . Логическая строгость уступила место демо нстрации практической пользы введения сомнительн ых понятий и процедур . Почти с самого зарождения математического анализа неоднократно предпринимались попыт ки подвести под него строгие основания . Ма тематический анализ ввел два новых сложных понятия – производная и определенный инте грал . Над этими понятиями бились Ньютон и Лейбниц , а также математики последующих п околений , п р евратившие дифференциальное и интегральное исчисления в математический анализ . Однако , несмотря на все усилия , в понятиях предела , непрерывности и дифференци руемости оставалось много неясного . Кроме тог о , выяснилось , что свойства алгебраических фун кций не л ьзя перенести на все другие функции . Почти все математики 18 в . и начала 19 в . предпринимали усилия , чтобы най ти строгую основу для математического анализа , и все они потерпели неудачу . Наконец , в 1821, О.Коши (1789 – 1857), используя понятие числа , п одвел с трогую базу под весь мат ематический анализ . Однако позднее математики обнаружили у Коши логические пробелы . Желаема я строгость была наконец достигнута в 1859 К. Вейерштрассом (1815 – 1897). Вейерштрасс вначале считал свойства дейст вительных и комплексных чис ел самоочевидн ыми . Позднее он , как и Г.Кантор (1845 – 1918) и Р.Дедекинд (1831 – 1916), осознал необходимость постро ения теории иррациональных чисел . Они дали корректное определение иррациональных чисел и установили их свойства , однако свойства р ациональных ч и сел по-прежнему считали самоочевидными . Наконец , логическая структура теории действительных и комплексных чисел приобрела свой законченный вид в работах Дедекинда и Дж.Пеано (1858 – 1932). Создание оснований числовой системы позволило также решить проблемы о боснования алгебры . Задача усиления строгости фор мулировок евклидовой геометрии была сравнительно простой и сводилась к перечислению опред еляемых терминов , уточнению определений , введению недостающих аксиом и восполнению пробелов в доказательствах . Эту за дачу выполнил в 1899 Д.Гильберт (1862 – 1943). Почти в то же время были заложены и основы других ге ометрий . Гильберт сформулировал концепцию формаль ной аксиоматики . Одна из особенностей предлож енного им подхода – трактовка неопределяемых терминов : под ними м ожно подраз умевать любые объекты , удовлетворяющие аксиомам . Следствием этой особенности явилась возрастающ ая абстрактность современной математики . Евклидов а и неевклидова геометрии описывают физическо е пространство . Но в топологии , являющейся обобщением г е ометрии , неопределяемый термин «точка» может быть свободен от гео метрических ассоциаций . Для тополога точкой м ожет быть функция или последовательность чисе л , равно как и что-нибудь другое . Абстрактн ое пространство представляет собой множество таких «точек » Аксиоматический метод Гильберта вошел почти во все разделы математики 20 в . Однако вскоре стало ясно , что этому методу п рисущи определенные ограничения . В 1880-х Кантор попытался систематически классифицировать беско нечные множества (например , множество всех рациональных чисел , множество действительных чи сел и т.д .) путем их сравнительной количест венной оценки , приписывая им т.н . трансфинитные числа . При этом он обнаружил в теории множеств противоречия . Таким образом , к н ачалу 20 в . математикам пришлось и меть дело с проблемой их разрешения , а так же с другими проблемами оснований их наук и , такими , как неявное использование т.н . ак сиомы выбора . И все же ничто не могло сравниться с разрушительным воздействием тео ремы неполноты К.Гёделя (1906 – 1978). Эта теоре м а утверждает , что любая непротиво речивая формальная система , достаточно богатая , чтобы содержать теорию чисел , обязательно с одержит неразрешимое предложение , т.е . утверждение , которое невозможно ни доказать , ни опров ергнуть в ее рамках . Теперь общепризнан о , что абсолютного доказательства в математике не существует . Относительно того , что такое доказательство , мнения расходятся . Однако большинство математиков склонно пола гать , что проблемы оснований математики являю тся философскими . И действительно , ни одна теорема не изменилась вследствие вновь найденных логически строгих структур ; э то показывает , что в основе математики леж ит не логика , а здравая интуиция . Если математику , известную до 1600, можно охарактеризовать как элементарную , то по сравнению с тем , ч то было создано позднее , эта элементарная математика бесконечно мала . Расширились старые области и появились новые , как чистые , так и при кладные отрасли математических знаний . Выходят около 500 математических журналов . Огромное количе ство публикуемых резу л ьтатов не п озволяет даже специалисту ознакомиться со все м , что происходит в той области , в кото рой он работает , не говоря уже о том , что многие результаты доступны пониманию т олько специалиста узкого профиля . Ни один математик сегодня не может надеяться з н ать больше того , что происходит в очень маленьком уголке науки. ЛИТЕРАТУРА Ван-дер- Варден Б.Л . Пробуждающаяся наук а . Математика Древнего Египта , Вавилона и Греции . М ., 1959 Юшкевич А.П . Истор ия математики в средние века . М ., 19 61 Даан-Дальмедико А ., Пейффер Ж . Пути и лабиринты . Очерки по ист ории математики . М ., 1986 Клейн Ф . Лекции о развитии математики в XIX столе тии . М ., 1989
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Быстрое и точное выполнение глупых приказов начальства порой хуже саботажа.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "История математики", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru