Реферат: Исследование устойчивости - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Исследование устойчивости

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 298 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

13 Исследование устойчивости Введение. Анализ устойчивости непосред ственно связан с определением условий равновесия . В линейных системах существуют только одно состояние равновесия . Поэтому зависимые переменные , характеризующие состояние системы , с течением времени приближаются либо к состоянию покоя , либо периодического изменения . В нелинейных же системах возможны ситуации , когда существуют несколько состояний равновесия . Причем достаточно малого возмущения , чтобы начался переходный процесс , который приведет систему к новому состоянию равновесия , существенно отличающемус я от первоначального . Следовательно , при рассмотрении подобных систем необходимо проанализировать особенности их поведения в непосредственных окрестностях всех возможных состояний равновесия. Если достаточно малое (независимо от того , какими причинами оно вызвано ) возмущение приводит к существенному отклонению режима от исходного (установившегося ) состояния или от невозмущенного движения , то говорят о нестабильности или неустойчивости положения равновесия или невозмущенного движения . Если же после прекраще н ия действия возмущения система не отклоняется существенно от своего исходного состояния , то такой режим называют устойчивым. Таким образом , в нелинейной теории недостаточно только получить весь спектр возможных решений . Необходимо еще провести исследовани е всех решений на устойчивость. Исследованию вопросов устойчивости посвящено множество работ . Широко известны первые работы в этой области Лагранжа , Рауса , Жуковского и Пуанкаре . Значительным вкладом в теорию устойчивости явилось исследование выдающегося русского математика А . М . Ляпунова “ Общая задача об устойчивости движения” (1892), которая еще и сегодня представляет собой основу всех исследований в этой области . А . М . Ляпунов дал строгое математическое определение устойчивости . Рассматривая нелинейн ы е задачи небесной механики , А . М . Ляпунов доказал несколько теорем , решающих в общем виде задачу устойчивости . Он показал , что при малых отклонениях от состояния равновесия правильное суждение об устойчивости можно получить , используя линеаризацию исходн о го нелинейного уравнения . Прежде чем перейти к методам исследования устойчивости или неустойчивости движения введем определение устойчивости. Определение устойчивости и асимптотической устойчивости. Поведение широкого класса физических систем часто описывается дифференциальными уравнениями n – го порядка , которое всегда может быть преобразовано в эквивалентную систему n дифференциа льных уравнений 1-го порядка в виде : Здесь y н ( t ) являются какими – либо зависимыми переменными , связанными с “движением” (в свете механики ), т . е . С временным (динамическим ) протеканием процесса ; например , в электрических системах это могут быть напряжени я , токи , заряды и т . п . Точка сверху означает производную от этих величин по времени : формула Частному решению f н ( t ) одного из сис темы уравнений (1) соответствует движение системы , которое назовем невозмущенным движением в противоположность другому движению , которое обозначим как возмущенное движение y н ( t ) . Очевидно , что f н ( t ) должно удовлетворять следующей системе уравнений : Различие значений возмущенного y н ( t ) и невозмущенного f н ( t ) движений в каждый момент времени t назовем возмущением x н ( t ) : Затем при следующих выражениях : Ляпунов дал следующее определение устойчивости . Невозмущенное движение называется устойчивым , если для всякого н ебольшого положительного числа д > 0 может быть найдено другое такое число е (д ) , чтобы для всех возмущенных движений y н ( t ) для начального момента времени t = t 0 выполнялось неравенство (4), а во все последующие моменты времени t > t 0 было справедливо неравен ство (5). В противном случае невозмущенное движение неустойчиво . Иными словами невозмущенное движение устойчиво , если , будучи возмущено в начальный момент времени оно в дальнейшем целиком проходит в непосредственной окрестности своего первоначального сост о яния и не покидает эту соседнюю область . Из данного определения устойчивости движения получается устойчивость положения равновесия как частный случай , когда все f н ( t )=С н , т.е . являются постоянными величинами. Более жестким , чем только что данное определ ение , является определение асимптотической устойчивости . А именно , невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым , если оно , во-первых , устойчиво в смысле вышеуказанного определения (4), (5), и , во-вторых , если можно выбрать число д такое , что бы для всех возмущенных движений , которые удовлетворяют неравенству (4) дополнительно выполнялось условие (6). Другими словами это означает , что при возмущенном в начальный момент времени t = t 0 асимптотически устойчивом движении возмущения не только остают ся внутри окрестности первоначального состояния е (д ) , как при нормальной устойчивости , но и дополнительно с течением времени затухают до нуля. Итак , возмущенное движение устойчиво , если возмущенное в начальный момент времени движение проходит в его непосре дственной окрестности и не покидает определенную соседнюю область . Оно асимптотически устойчиво , если возмущенное движение асимптотически стремится к невозмущенному. Приведенное определение устойчивости называется устойчивым “в малом” . Наряду с ним часто п ользуются понятиями об устойчивости “в большом” и “в целом” , которые характеризуют поведение движения по отношению к большим начальным возмущениям из определенной области или даже для произвольных начальных возмущений . Такие случаи часто имеют существенно е значение в некоторых задачах . Однако во многих практически важных задачах вполне достаточным оказывается исследование устойчивости “в малом” . Именно этот вариант и будет рассматриваться в дальнейшем изложении. Дифференциальные уравнения возмущенного движ ения ; уравнения первого приближения. Продифференцировав (3) по времени , получим : где , в соответствии с (1), (2), обозначено Урав нения (7) записаны относительно возмущений x н ( t ) и называются дифференциальными уравнениями возмущенного движения . Каждому движению рассматриваемой системы соответствует частное решение уравнений (8). Например , полностью невозмущенному движению соответству ет тривиальное решение : при котором , как легко видеть (8), функции X н также становятся тождественно равными нулю. Для многих задач исследования устойчивости желательно правые чести уравнений возмущенного движения (7) разложить в ряд по степеням возмущений X н в окрестности нулевой точки (9). Так как здесь выполяются условия (10), то свободные члены в разложение не попадают (ряд Маклорена ) и можно записать : где а н 1 , а н 2 , ..., а н n – постоянные коэффициенты при разложении функции X н в ряд Маклорена , X н – сокращенная запись для суммарного обозначения всех слагаемых разложения , которые относительно возмущений x н имеют степень выше единицы , а та кже - перекрестных членов ряда . Во многих случаях , если начальные значения возмущений x н малы , то при исследовании устойчивости можно пренебречь членами высших порядков малости и рассматривать линеаризованную систему уравнений возмущенного движения : Эту систему называют системой уравнений 1-го приближения. Вопрос о возможности суждения об устойчивости или неустойчивости первоначальной нелинейной системы на основании рассмотрения уравнений 1-го приближения , т . е . Линеаризованной системы уравнений возмущен ного движения , впервые был рассмотрен А . М . Ляпуновым для всех случаев исследования уравнений (7). При этом найденные и доказанные им положения об устойчивости линеаризованной системы получаются из общей теории А . М . Ляпунова об устойчивости и неустойчиво с ти. Методы А . М . Ляпунова по исследованию устойчивости. Методы исследования были разделены Ляпунов на две категории. В первом случае устойчивость или неустойчивость разрешается на основании непосредственного исследования уравнений возмущенного движения . При этом требуется конкретное определение общего или частного решения системы уравнений возмущенного движения . Однако это удается лишь в очень редких случаях , поскольку в настоящее время неизвестны регулярные методы решения нелинейных дифференциальных у р авнений. Во втором случае решения системы уравнений возмущенного движения вообще не требуется . Метод состоит в составлении определенной функции L , зависящей от t ; x 1 , x 2 ,... x n , с особыми свойствами , так называемой функции Ляпунова , из поведения которой и п оведения ее производной по времени в окрестности нуля можно сделать вывод об устойчивости или неустойчивости движения. Положения об устойчивости по методу функции Ляпунова здесь подробно рассматриваться не будут . С ними при желании можно ознакомиться в со ответствующей литературе . Ограничимся вытекающими из них положениями об устойчивости линеаризованной системы , которых вполне достаточно для исследования в большинстве практически интересных случаев . Эти положения справедливы стационарных , установившихся с о стояний или движений , при которых функции X н в уравнениях (7) или функции X н в уравнениях (11) не зависят от времени t . Прежде чем приводить положения об устойчивости рассмотрим вкратце для лучшего понимания вопрос об устойчивости непосредственно линейной системы , исследование которой возможно без применения функции Ляпунова , более простым способом. Положения Ляпунова об устойчивости линеаризованной системы. Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений (12). Метод определения решений этой системы хорошо известен из общей теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами . А и менно , будем искать решения в виде : где C н и л - константы , подлежащие определению . Тогда после сокращения на e л t
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Он:
- Дорогая, я хочу ребенка...
Она:
- Давай сразу уточним. Сделать или вырастить?
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Исследование устойчивости", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru