Реферат: Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими тригонометрическими полиномами - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими тригонометрическими полиномами

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 35 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Исследование наилучших приближений неп рерывных периодических функций тригонометрическими тригонометричес кими полиномами Оглавление. Наименование Введение § 1. Некоторые вспомогательные определения § 2. Простейшие свойства модулей нерперывности § 3. Обобщение теоремы Джексона § 4. Обобщение неравенства С.Н.Бернштейна § 5. Дифференциальные свойства тригонометрических полиномов, аппроксимирующих заданную функцию § 6. Обобщение обратных теорем С. Н. Бернштейна и Ш. Валле-Пуссена § 7. Основная теорема § 8. Решение задач Литература Введение Дипломная рабо та посвящена исследованию наилучших приближений непрерывных периодич еских функций тригонометрическими полиномами. В ней даются необходимы е и достаточные условия для того, чтобы наилучшие приближения имели зада нный (степенной) порядок убывания. Дипломная работа носит реферативный характер и состоит из “Введения” и восьми параграфов. В настоящей работе мы рассматриваем следующие задачи: 1. При каких ограничениях на непрерывную функцию F ( u ) (-1 Ј u Ј +1) её наилучшие приближения E n [ F ;-1,+1] обыкновенными многочленами имеют заданный порядок j ( n -1 )? 1. При каких ограничениях на не прерывную периодическую функцию f ( x ) её наилучшее приближение E n [ f ] тригонометрическими полиномами имеют заданный поряд ок j ( n -1 )? Подстановка u=cos(x) св одит задачу 1 к задаче 2. Достаточно, следовательно, рассматривать лишь зад ачу 2. Мы ограничимся случаем, когда j ( d ) О N a , для некоторого a , где j ( d ) - функция сравнения р-го порядка и для 0< d < h Ј p С.Н.Бернштейн, Д. Джексон и Ш.Валле-Пуссен получили зависимости между оценками сверху для E n [ f ] и дифференциальными свойствами f . Некоторые дополнения к их теоремам доказаны А.Зигмундом. нам предстоит, поэтому, получить зависимости между дифферен циальными свойствами f и оценками E n [ f ] снизу. Впервые задачами типа 1 занимался С.Н.Бе рнштейн. А именно, им получено ассимптотическое равенство: , где m - некоторое число. Наша основная теорема формулируется следующим образом: Пусть j О N a . Дл я того чтобы необходимо, чт обы для любого натурального k> a , и достаточно, чтобы для некоторого натура льного k> a где Изложим теперь кратко содержание каждого из параграфов работы. В § 1 даётся ряд вспомогательных определений, которые понадобятся в даль нейшей работе. В § 2 выводятся основные свойства модулей непрерывности высших порядков . Почти все эти свойства используются в дальнейшем тексте. § 3 посвящен обобщению теоремы Джексона. Как известно, Джексон доказал сл едующую теорему: если f имеет непрер ывную r-ую производную f (r) , то Таким образом, т еорема Джексона дает оценку сверху для наилучших приближений, если изве стны дифференциальные свойства аппроксимируемой функции. В 1947 г. появилась работа С.Н.Бернштейна [1]. Одна из теорем этой работы содержи т в качестве следствия такое предложение: пусть Тогда В § 3 доказываем: (*) В § 4 формулируется доказанное в работе С.Б.Стечкина [2] обобщение изв естного неравенства С.Н.Бернштейна [3], [4] для производных от тригонометрич еского полинома. Мы приводим затем ряд следствий из нашего неравенства (*). Они играют существенную роль при доказательстве теорем § 5. В § 5 рассматривается следующая задача. П усть тригонометрический полином t n , близок в равномерной метрике к заданной фун кции f или последовательность поли номов t n доста точно хорошо аппроксимирует заданную функцию f . Как связаны тогда дифференциальные свойства f с дифференциальными свойствами t n ? Если t n , об разуется из f посредством регулярного мет ода суммирования рядов Фурье, то ответ тривиален: для того чтобы , необходимо и достаточно, чтоб ы равномерно относительно n . ( f О H k [ w ], если ). Оказывается, что этот результат сохраняется и для полино мов наилучшего приближения: для того, чтобы равномерно относительно n . Отметим еще один результат параграфа: для того чтобы , необходимо и достаточно чтоб ы . § 6 посвящён “об ратным теоремам” теории приближения. Известно предложение: пусть . Тогда, если a не целое, r= [ a ], b = a - r , то f имее т нерперывную производную . Случай целого a рассм отрен Зигмундом. В этом случае . Нетрудно показать , что эти два предложения эквивалентны следующему: пусть 0< a < k и . Тогда . В работе [3] С.Н.Бернштейн доказал также эквивалентность ус ловий и . Мы переносим эти т еоремы на условия вида , где j О N a . Кроме того, в этом параграфе доказано, например, такое п редложение: пусть k - натуральное чис ло и ; для того, чтобы , необходимо и достаточно выпо лнение условия . В конце параграфа даются уточнения теорем Валле-Пуссена. В § 7 доказывается основная теорема. Мы д аём здесь же оценку E n [ f ] снизу, если . Именно, тогда Случай a =0 установлен С.Н.Бернштейном [3]. В § 8 мы рассматриваем несколько решений задач с использованием различны х модулей непрерывности. § 1. Некоторые вспомогательные определения. В работе рассма триваются непрерывные функции f с п ериодом 2 p и их приближение тригонометрическими полиномами. Через t n ( x ) обозначается тригонометрический полином по рядка не выше n , а через t n * ( x ) =t n * ( x,f )-тригонометрический полином, наименее уклоняющийся о т f среди всех t n (x) . Мы полагаем и пишем Введём ряд опре делений. Определение 1. При каждом фиксирова нном классом Липшица поряд ка a называется множество всех непр ерывных функция f , модуль непрерывн ости каждой из которых удовлетворяет условию где С 8 -какая-нибудь положител ьная постоянная, которая не зависит от d и которая, вообще говоря, является различной для разных функций. Э тот класс обозначается H a или Lip a. Определение 2. Обозначим при фиксированном натурально м r через W (r) L класс функций f , которая имеет абсолютно непрерыв ные производные до ( r- 1) порядка и у ко торой r -я производная принадлежит к лассу L . Определение 3. Для непрерывной на [ a,b ] функции f ( x ) назовём модулем непрерывности первого порядка или же просто модулем непрерывности функцию w ( d ) =w ( f; d ) , определённую на [ 0, b-a ] при помощи следующего равенства: (1.1) или, что то же самое , (1.1’ ) Свойства модуля непрерывности : 1. w(0)=0; 2. w(d) есть функция, мо нотонно возрастающая; 3. w(d) есть функция непрерывная; 4. w(d) есть функция полуаддитивная в том смысле, что для любых и (1.2) Доказательство. Свойство 1) вытекает из определения модуля непрерывности. Свойство 2) выте кает из того, что при больших d нам пр иходится рассматривать sup на более ш ироком множестве значений h . Свойст во 4) следует из того, что если мы число представим в виде h=h 1 +h 2 , и , то получим Из неравенства (1.2) вытекает, что если то т.е. (1.3) Теперь докажем сво йство 3). Так как функция f ( x ) равномерно непрерывна на [ a,b ], то при и, следовательно, для любых d , при а это и означает, чт о функция w(d) непрерывна. Определение 4. Пусть функция f ( x ) определена на сег менте [ a,b ] . Т огда для любого натурального k и любых и h>0 таких, что k-й разностью функц ии f в точке x с шагом h называется величина (1.4) а при и h>0 таких, что k-й симметричной ра зностью - величина (1.4’ ) Лемма 1. При любых натуральных j и k справедливо равенство (1.5) Доказательство. Действительно, так как при любом натуральном k то Лемма доказана. Лемма 2. При любых натуральных k и n верна формула: (1.6) Доказательство. Во спользуемся индукцией по k . При k= 1 тождество (1.6) проверяется непосредственно: . Предполагая его сп раведливость при k- 1 ( k і 2), получим Лемма доказана. Определение 5. Если измеримая перио да ( b-a ) функция f ( x ) О L q ( L q -класс всех вещественных измеримых н а [ a,b ] функции f ( x )), то под её интегр альным модулем гладкости порядка k і 1 понимают функцию Лемма 3. Если то справедливо (1.7) Доказательство. В самом деле, и так далее. Лем ма доказана. Определение 6. Если функция f(x) ограничена на [ a,b ], то под её модулем гладкости порядка k і 1 понимают функцию заданную для не отрицательных значений и в сл учае, когда k =1, представляющую собой модуль непрерывности. Свойства модулей гладкости: 1. 2. есть ф ункция, монотонно возрастающая; 3. есть ф ункция непрерывная; 4. При любом натуральном n имеет место ( точное) неравенство (1.8) а при любом -неравенство (1.8’ ) 5) Если функция f ( x ) имеет всюду на [ a,b ] непрерывные производные до ( r- 1)-го порядка, и при этом ( r-1 )-я производная , то (1.9) Доказательство. 1) Свойство 1) немедленно вытекает из того, что 2) Свойство 2) дока зывается точно так же, как и для случая обычного модуля непрерывности. 3) Предполагая для определённости, что d>d ’ , получим Этим непрерывность функции w k ( d ) доказана. 4) Используя равенство лемму 2 § 1, имеем Этим неравенство (1.8) доказан о. Неравенство (1.8’ ) следует из монотонности функции w k ( t ) и неравенства (1.8). 5) Используя равенства лемму 1 и лемму 3 § 1, п олучим Определение 7. Пусть k -натуральн ое число. Будем говорить, что функция есть модуль непрерывности k - го порядка функции f , если где -конечная разность функции f k -го порядка с шагом h : Среди модулей н епрерывности всех порядков особенно важное значение имеют случаи k= 1 и k= 2. Случай k= 1 является классиче ским; вместо мы будем писат ь просто и называть эту функцию модулем непрерывности ; функцию мы будем называть модулем гладкости . Определение 8. Зададим натуральное число k. Будем говорить, что функция -есть функция сравнения k- го порядка, если она удовлетворяет следующим условиям: 1. определена для , 2. не убы вает, 3. , 4. Нетрудно показать, что если f є 0, то есть функция с равнения k- го порядка (см. Лемму 5 § 2). Определение 9. Зафиксируем натурал ьное число k и функцию сравнения k -го порядка . Будем говорить, что функци я f принадлежит к классу , если найдётся константа С 10 >0 такая, что Вместо будем писать просто H k a . Если для последовательности функций f n (n=1,2,...) где С 10 не зависит от n , то будем писать: равномерно относительно n . Понятие классов является ес тественным обобщением классов Липшица и классов функций, имеющих огран иченную k -ю производную. Определение 10. Зафиксируем число a >0 и обозначим через p наименьшее натуральное число, не меньше чем a ( p=- [- a ]). Будем говорить, что функц ия принадлежит к классу , если она 1) есть функция сравнения p -го порядк а и 2) удовлетворяет условию: существует константа С 11 >0 такая, что для Условие 2) являе тся небольшим ослаблением условия “ не убывает”. Функции класса N a будут играть основную роль во всём дальнейш ем изложении. Определение 11. Будем говорить, что ф ункция имеет порядок , если найдутся две положит ельные константы С 12 и С 13 так ие, что для всех t , для которых опреде лены функции и , . При выполнении эти х условий будем писать . Определение 12. Ядром Дирихле n -го порядка н азывается функция (1.10) Это ядро является тригонометрическим полиномом порядка n и при этом (1.10’ ) Определение 13. Ядром Фейера n -го порядка на зывается функция (1.11) Ядро Фейера F n ( t ) является средним арифметическим первых n ядер Дирихле, и значит, является тригонометрическим полиномом порядка ( n-1 ). Так что имеют место равенства (1.11’ ) (1.11’ ’ ) где D k ( t )- ядра Дирихле. Определение 14. Ядром Джексона n -го порядка называется функция (1.12) Свойства ядер Дж ексона. а) При каждом n ядро J n ( t ) является чётным неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка 2 n -2 вида , где j k =j k ( n ) - некоторые числа б) в) г) Доказательство. а) Учитывая, что для ядер F n ( t ) Фейера имеют место рав енства получим где j k ( k =1,2,...,2 n -2) -некоторые числа, и в частности, в силу ортогональност и тригонометрической системы функций найдем Этим свойство а) доказано. б) Это равенство следует из равенства, полученного для j 0 . в) Так как при любом и при ( ** ), то г) Совершенно ан алогично случаю в) получим Что и требовало сь доказать. Определение 15. Ядром типа Джексона п орядка n называется функция , (1.13) n =1,2,3,..., k -натуральное, где (1.13’ ) Ядра типа Джексона обладают следующими свойствами: а) б) При фиксированном натуральном k и произвольном n ядро J n,k ( t ) является чётным неотрицательным тригонометрическим по линомом порядка k ( n -1) в) n 2k- 1 , т.е. существую т постоянные С 14 > 0 и С 15 >0, такие, чт о при всех n =1,2,3,... будет г) При любом s >0 им еет место неравенство д) При любом нат уральном Доказательств о свойств ядер типа Джексона. а) Это свойство вытекает из равенств определения б) Это свойство следует из 1-го неравенства определения и из того, что в сил у равенств (1.11) и (1.11‘ ’ ) будет (1.14) где - некоторые целые числа. в) Учитывая неравенства (**), будем иметь (1.15) С другой стороны (1.15‘ ) г) Это неравенство вытекает из первого равенства определения и неравенства (1.15‘ ) д) Действительн о, с одной стороны, в силу неравенств (1.15‘ ) и (**) (1.16) где A-const , а с другой стороны, учитывая соотношение (1.15), нера венств (**) и из неравенства sin t Ј t , при всех t і 0 (***), имеем (1.16‘ ) A 1 -const . Неравенства (1.16) и (1.16‘ ) равносиль ны условию, что и требовалось доказать. § 2. Простейшие свойства модулей нерп ерывности. Этот параграф н осит вспомогательный характер. Здесь устанавливается несколько просте йших свойств модуля нерперывности высших порядков. Все рассматриваемы е здесь функции f 1 , f 2 , ... - не прерывны. ЛЕММА 1. Для любого натурального k и л юбого d і 0 (2.1) Доказательство: по определению, Лемма доказана. ЛЕММА 2. Пусть f и l -натуральные числа, l0, h >0. Тогда (2.6) Если кроме того 0< d < h , то (2.7) Доказательство: Докажем сперва неравенство (2.6). Рассмотрим случай для hЈd . Найдём натуральное число p из условий (2.8) Тогда h< p d -1 , и так как -является неубывающей функ цией от h , то принимая во внимание (2.5) и (2.8), получим Рассмотрим слу чай для h0 (5.7) равномерно относи тельно n . Следствие 3.2. Пусть для некоторого натурал ьного k и любого натурального n Тогда (5.8) Теорема 4. Для того, чтобы , необходимо и д остаточно, чтобы (5.9) равномерно относи тельно n. Это вытекает из теоремы 1, следствия 3.1 и того замечания что если выполнено условие (5.9), то . Теорема 5. Для того, чтобы , необходимо и достаточно, чтоб ы (5.10) Это доказывается а налогично теореме 4, только вместо следствия 3.1 нужно воспользоваться сле дствием 3.2. Неравенства теоремы 3 имеют тот недостаток, что их правые ч асти явно зависят от константы С 20 . Таким образом, если вместо фиксированного номера n и одного полинома t n рассматривать последовательность полиномов t n ( n =1,2,...), то С 20 окажетс я, вообще говоря, независящей от n и теорема 3 даёт оценки, не равномерные относительно n . Покажем как избавиться от этого неудобства. Теорема 6. Пусть для некоторого натуральн ого k (5.11) и (5.12) Тогда для любого d >0 (5.13) равномерно относи тельно n . Доказательство. Пусть сперва . Из неравенства (5.2) следует, что и на основании (5.11) (5.14) Рассмотрим случай . Положим в (5.14) . Тогда получим Из этого нераве нства, в силу (4.7), следует, что Но так как, по ус ловию, , то Отсюда Окончательно, и теорема доказ ана. В следующем параграфе будет показано, как можно видоизменить ограничен ия (5.11) теоремы 6. §6. Обобщение обратных теорем С. Н. Бернштейна и Ш. Валле-Пуссена. В этом параграф е обобщаются и уточняются так называемые “обратные теоремы” теории при ближения. Речь идёт об оценке дифференциальных свойств функции f , если известны свойства последовательнос ти её наилучших приближений E n . Лемма 9. Зададим натуральное число k , и пусть (6.1) и . (6.2) Тогда (6.3) Доказательство. Имеем, согласно (2.1), Но из (2.10) и (6.2) полу чаем а из (2.2) и (6.1) Поэтому левая часть это го неравенства не зависит от n , а поэ тому и лемма доказан а. Для получения хороших оценок о бычно достаточно взять . Одна ко на исключена возможность, что в некоторых случаях другой выбор может оказаться предпочти тельнее. Теорема 7. Пусть k -натуральное число, функция не убывает и (6.4) Для того чтобы , необходимо и достаточно выпо лнение условия (6.5) Доказательство. Необходимость условия (6.5) вытекает из следствия 3.2. Установи м его достаточность, для чего воспользуемся леммой 9. Получаем: Положим здесь ; тогда для будем иметь и поэтому и теорема доказ ана. Отметим два следствия из этой теоремы. Следствие 7.1. Пусть k -натуральное число, функция не убывает и (6.6) Для того чтобы , необходимо и достаточно выпо лнение условия (6.7) Следствие 7.2. Пусть k -натуральное число и Если и (6.8) то равномерно отн осительно n . Это вытекает из теорем 7 и 6. Теорема 7 показывает, что нужно добавить к условию (6.4), чтобы получить . Теперь мы получим оценки д ля , исходя только из условий в ида (6.4). Попутно выясняется, что при некоторых дополнительных ограничения х на функцию условие (6.5) стан овится излишним. Суть дела в том, что при этих ограничениях (6.4) влечёт (6.5). Лемма 10. Пусть (6.9) где . Тогда для любого натуральног о k (6.10) Доказательство. Зафиксируем натуральное число n , определим натуральное p из условий и построим посл едовательность номеров поло жив Для оценки представим в таком виде: Так как , то отсюда (6.11) Оценим U l (k) . Имеем для l= 1,2,..., p откуда Но есть тригонометрический п олином порядка не выше n l . Поэтому по неравенству С.Н. Бернштейна, (6.12) Заметим теперь, чт о, в силу определения последовательности n l , и для Поэтому, пользуясь ещё монотонностью последовательности F n 2 находим, что для (6.13) При помощи (6.11), (6.12) и (6.13) находим окончательно: и лемма доказан а. Теорема 8. Для любого натурального k и любого (6.14) Доказательство. Имеем Отсюда, по лемме 10, Воспользуемся теперь леммой 9. Получаем: Если , то . Кроме того, Поэтому для и теорема доказ ана. Мы обращаемся теперь к рассмотрению вопроса о том, при каких ограничения х на E n условие (6.4) влечёт Теорема 9. Зададим натуральное числ о k ; пусть и . Для того чтобы , необходимо и достаточно в ыполнение условия (6.15) Доказательство. Необходимость условия (6.15) вытекает из теоремы 1. Докажем его достаточность. Согласно теореме 8, для Положим здесь и заметим, что тогда для и, в силу условия , Поэтому для и теорема доказ ана. Следствие 9.1. Пусть и . Тогда для всех натуральны х классы эквивалентны. Следствие 9.2. Пусть и . Если то для любого фи ксированного натурального равномерно отн осительно n . Рассмотрим теперь следующий вопрос. как связаны приближения функции f с приближениями и дифференциальны ми свойствами её производных f (r) ? Теорема 10. Зададим натуральное числ о r, и пусть (6.16) где (6.17) Тогда f имеет непрерывную производную f (r) и (6.18) С.Н.Бернштейн [3] док азал такую теорему: если ряд сходится, т о функция f имеет непрерывную производную f (r) . Рассмотрение этого до казательства С.Н.Бернштейна показывает, что на самом деле им установлено следующее, более общее предложение: пусть выполнены условия (6.16) и (6.17). Тогда функция f имеет непрерывную производную f (r) и равномерно относительно x . В ходе доказательства теоремы 10 мы вновь установим это предложение. Доказательство. при . Поэтому равномерно относительно x . Отсюда следует, что если n k ( k =0,1,2,...) есть возрастающая последоват ельность номеров, то Зафиксируем на туральное число n и положим Тогда будем име ть (6.19) где Докажем, что фор мулу (6.19) можно продифференцировать почленно r раз, т.е. (6.20) Для этого достаточ но установить, что ряд справа равномерно сходится. Прежде всего, оценим . Имеем откуда Оценим теперь . По неравенству С.Н.Бернште йна, Пользуясь этой оценкой, получаем: Но Поэтому (6.21) Итак, доказана схо димость ряда , а вместе с этим установле на и формула (6.20). Из (6.20) и (6.21) вытекает, что и теорема доказ ана. В некоторых случаях оценка (6.18) может быть упрощена. Пусть, например, (6.22) Тогда Поэтому при вып олнении условия (6.22) вместо (6.18) можно написать Следствие 10.1. Пусть r -натуральн ое число и сходится ряд Тогда (6.23) Теорема 11. Пусть r -натуральное число и для ф ункции f сходится ряд Тогда для любог о натурального k и любого (6.24) Доказательство. Имеем Отсюда, по лемме 10, Далее, согласно теореме 10, Воспользуемся теперь леммой 9. Получаем Заметим, что Таким образом, е сли , то и теорема доказ ана. §7. Основная тео рема. Обратимся тепе рь к рассмотрению следующего вопроса: каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы где -заданная невозрастающая ф ункция? Насколько нам известно, эта задача не была до сих пор решена даже для случ ая . Мы решим её для функций сра внения . Лемма 11. Пусть и для некоторого натуральн ого (7.1) Тогда существует т акая константа с >0, что (7.2) Доказательство. Согласно (7.1), найдутся две такие константы С 60 >0 и C 61 >0, что (7.3) Последнее из этих неравенств, теорема 1 и теорема 3 влекут неравенство (7.4) В силу (2.1) и (2.2), имеем Отсюда Пользуясь (7.3) и (7.4), находим, далее (7.5) Вспомним теперь, ч то . Это даёт нам для Подставляя эту оценку в (7.5), получаем (7.6) Мы можем без огран ичения общности считать, что здесь . Поло жим в (7.6) Тогда получим о кончательно и лемма доказан а. Основная теорема. Пусть . Для того чтобы (7.7) необходимо, чтобы для всех натуральных , и достаточно, чт обы для некоторого натурального . (7.8) Доказательство. Пусть имеет место (7.7), т.е. найдутся две положительные конста нты С 67 и С 68 , для которых (7.9) Тогда, по теореме 1 и в силу первой половины неравенства (7.9), для любого k имеем т.е. Отсюда, в силу , и если , то, ввиду монотонности и , Далее, из второй половины неравенства (7.9) и теоремы 9 вытекает существование константы С 72 такой, что для любого Этим заканчива ется доказательство необходимости условия (7.8). Пусть имеет место (7.8): (7.10) с С 73 >0. Тогда по теореме 1 и в силу второй полови ны неравенства (6.10), а по лемме 11, где С 77 >0. Таким образом, установлена достаточность условия (7.8), и основная теорема полностью доказана. Приведём в заключение обобщение леммы 11 на тот случай, когда оценки сверху и снизу имеют разные порядки. Теорема 12. Пусть и (7.11) Тогда (7.12) Доказательство. Имеем, как при доказательстве леммы 11, Положим здесь Тогда получим, ч то Теорема доказа на. §8. Решение задач. Пример 1. Пусть Тогда пр и каждом Пример 2. Пусть график функции f ( x ) имеет вид, изображённый на рис.8.1. Тогда график функции п оказан на рис.8.2. Рис. 8.1. Рис. 8.2. Пример 3. Пусть при и пусть - периодическое продолжени е функции на всю ось. Рис. 8.3. Рис. 8.4. Тогда если функцию рассматривать на сегменте длины так, что (рис. 8.3) то (рис. 8.4) т.е. модуль непр ерывности функции в точке не достигает своего наибол ьшего значения и, следовательно, отличается от модуля непрерывности это й функции на всей оси. Пример 4. При функция является модул ем непрерывности. Пример 5 . При функция является модул ем непрерывности. Пример 6. При имеем так что при всех будет . Литература. 1. Бернштейн С.Н. О свойствах однородных функциональных классов // Доклады А к. Наук СССР,-1947.-№57.-с.111-114. 2. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приб лижений непрерывных функций // Доклады Ак. Наук СССР,-1949.-№65.-с.135-137. 3. Бернштейн С.Н. О наилучшем приближен ии непрерывных функций посредством многочленов данной степени // Сообщ. Харьк. Матем. о-ва (2), -1912.-№13.-с.49-144. 4. Бернштейн С.Н. Экстремальные свойств а полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной веществ енной переменной. Часть I,-М.-Л.,-1937. 5. Никольский С. Обобщение одного нерав енства С.Н.Бернштейна // Доклады Ак. Наук СССР,-1948.-№65.-с.135-137. 6. Гончаров В.Л. Теория интерполировани я и приближения функций.-М.-Л.,-1934. 7. Дзядык В.К. Введение в теорию равноме рного приближения функций полиномами. -М.: Наука.-1977.-с.512. 8. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приб лижений непрерывных функций // Доклады Ак. Наук СССР,-1949.-№65.-с.135-137. 9. Тиман А.Ф. Теория приближения функци й функций действительного переменного. -М.:ГИФМЛ,-1960.-с. 624. 10. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппрокс имаций.-М.:ГИТТЛ,-1947.-324. 11. Арестов В.В. О равномерной регуляриз ации задачи вычисления значений оператора // Математические заметки,-т .22.-1977.-№2.-с.231-243. 12. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приб лижений непрерывных функций // Изв. АН СССР-Математика,-1931.-№15.-с.219-242.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Задержан Андрей Нелидов за взятку в 500 000. Учитывая что за 7 миллиардов Васильева получила 2,5 года, он получит не меньше 10 лет. В российском правосудии обратная пропорциональность - чем больше украл тем меньше срок. Взятка в 10 000 карается пожизненным заключением - чтоб цены не сбивал, гад!
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими тригонометрическими полиномами", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru