Реферат: Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими тригонометрическими полиномами - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими тригонометрическими полиномами

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 35 kb, скачать бесплатно
Обойти Антиплагиат
Повысьте уникальность файла до 80-100% здесь.
Промокод referatbank - cкидка 20%!
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Исследование наилучших приближений неп рерывных периодических функций тригонометрическими тригонометричес кими полиномами Оглавление. Наименование Введение § 1. Некоторые вспомогательные определения § 2. Простейшие свойства модулей нерперывности § 3. Обобщение теоремы Джексона § 4. Обобщение неравенства С.Н.Бернштейна § 5. Дифференциальные свойства тригонометрических полиномов, аппроксимирующих заданную функцию § 6. Обобщение обратных теорем С. Н. Бернштейна и Ш. Валле-Пуссена § 7. Основная теорема § 8. Решение задач Литература Введение Дипломная рабо та посвящена исследованию наилучших приближений непрерывных периодич еских функций тригонометрическими полиномами. В ней даются необходимы е и достаточные условия для того, чтобы наилучшие приближения имели зада нный (степенной) порядок убывания. Дипломная работа носит реферативный характер и состоит из “Введения” и восьми параграфов. В настоящей работе мы рассматриваем следующие задачи: 1. При каких ограничениях на непрерывную функцию F ( u ) (-1 Ј u Ј +1) её наилучшие приближения E n [ F ;-1,+1] обыкновенными многочленами имеют заданный порядок j ( n -1 )? 1. При каких ограничениях на не прерывную периодическую функцию f ( x ) её наилучшее приближение E n [ f ] тригонометрическими полиномами имеют заданный поряд ок j ( n -1 )? Подстановка u=cos(x) св одит задачу 1 к задаче 2. Достаточно, следовательно, рассматривать лишь зад ачу 2. Мы ограничимся случаем, когда j ( d ) О N a , для некоторого a , где j ( d ) - функция сравнения р-го порядка и для 0< d < h Ј p С.Н.Бернштейн, Д. Джексон и Ш.Валле-Пуссен получили зависимости между оценками сверху для E n [ f ] и дифференциальными свойствами f . Некоторые дополнения к их теоремам доказаны А.Зигмундом. нам предстоит, поэтому, получить зависимости между дифферен циальными свойствами f и оценками E n [ f ] снизу. Впервые задачами типа 1 занимался С.Н.Бе рнштейн. А именно, им получено ассимптотическое равенство: , где m - некоторое число. Наша основная теорема формулируется следующим образом: Пусть j О N a . Дл я того чтобы необходимо, чт обы для любого натурального k> a , и достаточно, чтобы для некоторого натура льного k> a где Изложим теперь кратко содержание каждого из параграфов работы. В § 1 даётся ряд вспомогательных определений, которые понадобятся в даль нейшей работе. В § 2 выводятся основные свойства модулей непрерывности высших порядков . Почти все эти свойства используются в дальнейшем тексте. § 3 посвящен обобщению теоремы Джексона. Как известно, Джексон доказал сл едующую теорему: если f имеет непрер ывную r-ую производную f (r) , то Таким образом, т еорема Джексона дает оценку сверху для наилучших приближений, если изве стны дифференциальные свойства аппроксимируемой функции. В 1947 г. появилась работа С.Н.Бернштейна [1]. Одна из теорем этой работы содержи т в качестве следствия такое предложение: пусть Тогда В § 3 доказываем: (*) В § 4 формулируется доказанное в работе С.Б.Стечкина [2] обобщение изв естного неравенства С.Н.Бернштейна [3], [4] для производных от тригонометрич еского полинома. Мы приводим затем ряд следствий из нашего неравенства (*). Они играют существенную роль при доказательстве теорем § 5. В § 5 рассматривается следующая задача. П усть тригонометрический полином t n , близок в равномерной метрике к заданной фун кции f или последовательность поли номов t n доста точно хорошо аппроксимирует заданную функцию f . Как связаны тогда дифференциальные свойства f с дифференциальными свойствами t n ? Если t n , об разуется из f посредством регулярного мет ода суммирования рядов Фурье, то ответ тривиален: для того чтобы , необходимо и достаточно, чтоб ы равномерно относительно n . ( f О H k [ w ], если ). Оказывается, что этот результат сохраняется и для полино мов наилучшего приближения: для того, чтобы равномерно относительно n . Отметим еще один результат параграфа: для того чтобы , необходимо и достаточно чтоб ы . § 6 посвящён “об ратным теоремам” теории приближения. Известно предложение: пусть . Тогда, если a не целое, r= [ a ], b = a - r , то f имее т нерперывную производную . Случай целого a рассм отрен Зигмундом. В этом случае . Нетрудно показать , что эти два предложения эквивалентны следующему: пусть 0< a < k и . Тогда . В работе [3] С.Н.Бернштейн доказал также эквивалентность ус ловий и . Мы переносим эти т еоремы на условия вида , где j О N a . Кроме того, в этом параграфе доказано, например, такое п редложение: пусть k - натуральное чис ло и ; для того, чтобы , необходимо и достаточно выпо лнение условия . В конце параграфа даются уточнения теорем Валле-Пуссена. В § 7 доказывается основная теорема. Мы д аём здесь же оценку E n [ f ] снизу, если . Именно, тогда Случай a =0 установлен С.Н.Бернштейном [3]. В § 8 мы рассматриваем несколько решений задач с использованием различны х модулей непрерывности. § 1. Некоторые вспомогательные определения. В работе рассма триваются непрерывные функции f с п ериодом 2 p и их приближение тригонометрическими полиномами. Через t n ( x ) обозначается тригонометрический полином по рядка не выше n , а через t n * ( x ) =t n * ( x,f )-тригонометрический полином, наименее уклоняющийся о т f среди всех t n (x) . Мы полагаем и пишем Введём ряд опре делений. Определение 1. При каждом фиксирова нном классом Липшица поряд ка a называется множество всех непр ерывных функция f , модуль непрерывн ости каждой из которых удовлетворяет условию где С 8 -какая-нибудь положител ьная постоянная, которая не зависит от d и которая, вообще говоря, является различной для разных функций. Э тот класс обозначается H a или Lip a. Определение 2. Обозначим при фиксированном натурально м r через W (r) L класс функций f , которая имеет абсолютно непрерыв ные производные до ( r- 1) порядка и у ко торой r -я производная принадлежит к лассу L . Определение 3. Для непрерывной на [ a,b ] функции f ( x ) назовём модулем непрерывности первого порядка или же просто модулем непрерывности функцию w ( d ) =w ( f; d ) , определённую на [ 0, b-a ] при помощи следующего равенства: (1.1) или, что то же самое , (1.1’ ) Свойства модуля непрерывности : 1. w(0)=0; 2. w(d) есть функция, мо нотонно возрастающая; 3. w(d) есть функция непрерывная; 4. w(d) есть функция полуаддитивная в том смысле, что для любых и (1.2) Доказательство. Свойство 1) вытекает из определения модуля непрерывности. Свойство 2) выте кает из того, что при больших d нам пр иходится рассматривать sup на более ш ироком множестве значений h . Свойст во 4) следует из того, что если мы число представим в виде h=h 1 +h 2 , и , то получим Из неравенства (1.2) вытекает, что если то т.е. (1.3) Теперь докажем сво йство 3). Так как функция f ( x ) равномерно непрерывна на [ a,b ], то при и, следовательно, для любых d , при а это и означает, чт о функция w(d) непрерывна. Определение 4. Пусть функция f ( x ) определена на сег менте [ a,b ] . Т огда для любого натурального k и любых и h>0 таких, что k-й разностью функц ии f в точке x с шагом h называется величина (1.4) а при и h>0 таких, что k-й симметричной ра зностью - величина (1.4’ ) Лемма 1. При любых натуральных j и k справедливо равенство (1.5) Доказательство. Действительно, так как при любом натуральном k то Лемма доказана. Лемма 2. При любых натуральных k и n верна формула: (1.6) Доказательство. Во спользуемся индукцией по k . При k= 1 тождество (1.6) проверяется непосредственно: . Предполагая его сп раведливость при k- 1 ( k і 2), получим Лемма доказана. Определение 5. Если измеримая перио да ( b-a ) функция f ( x ) О L q ( L q -класс всех вещественных измеримых н а [ a,b ] функции f ( x )), то под её интегр альным модулем гладкости порядка k і 1 понимают функцию Лемма 3. Если то справедливо (1.7) Доказательство. В самом деле, и так далее. Лем ма доказана. Определение 6. Если функция f(x) ограничена на [ a,b ], то под её модулем гладкости порядка k і 1 понимают функцию заданную для не отрицательных значений и в сл учае, когда k =1, представляющую собой модуль непрерывности. Свойства модулей гладкости: 1. 2. есть ф ункция, монотонно возрастающая; 3. есть ф ункция непрерывная; 4. При любом натуральном n имеет место ( точное) неравенство (1.8) а при любом -неравенство (1.8’ ) 5) Если функция f ( x ) имеет всюду на [ a,b ] непрерывные производные до ( r- 1)-го порядка, и при этом ( r-1 )-я производная , то (1.9) Доказательство. 1) Свойство 1) немедленно вытекает из того, что 2) Свойство 2) дока зывается точно так же, как и для случая обычного модуля непрерывности. 3) Предполагая для определённости, что d>d ’ , получим Этим непрерывность функции w k ( d ) доказана. 4) Используя равенство лемму 2 § 1, имеем Этим неравенство (1.8) доказан о. Неравенство (1.8’ ) следует из монотонности функции w k ( t ) и неравенства (1.8). 5) Используя равенства лемму 1 и лемму 3 § 1, п олучим Определение 7. Пусть k -натуральн ое число. Будем говорить, что функция есть модуль непрерывности k - го порядка функции f , если где -конечная разность функции f k -го порядка с шагом h : Среди модулей н епрерывности всех порядков особенно важное значение имеют случаи k= 1 и k= 2. Случай k= 1 является классиче ским; вместо мы будем писат ь просто и называть эту функцию модулем непрерывности ; функцию мы будем называть модулем гладкости . Определение 8. Зададим натуральное число k. Будем говорить, что функция -есть функция сравнения k- го порядка, если она удовлетворяет следующим условиям: 1. определена для , 2. не убы вает, 3. , 4. Нетрудно показать, что если f є 0, то есть функция с равнения k- го порядка (см. Лемму 5 § 2). Определение 9. Зафиксируем натурал ьное число k и функцию сравнения k -го порядка . Будем говорить, что функци я f принадлежит к классу , если найдётся константа С 10 >0 такая, что Вместо будем писать просто H k a . Если для последовательности функций f n (n=1,2,...) где С 10 не зависит от n , то будем писать: равномерно относительно n . Понятие классов является ес тественным обобщением классов Липшица и классов функций, имеющих огран иченную k -ю производную. Определение 10. Зафиксируем число a >0 и обозначим через p наименьшее натуральное число, не меньше чем a ( p=- [- a ]). Будем говорить, что функц ия принадлежит к классу , если она 1) есть функция сравнения p -го порядк а и 2) удовлетворяет условию: существует константа С 11 >0 такая, что для Условие 2) являе тся небольшим ослаблением условия “ не убывает”. Функции класса N a будут играть основную роль во всём дальнейш ем изложении. Определение 11. Будем говорить, что ф ункция имеет порядок , если найдутся две положит ельные константы С 12 и С 13 так ие, что для всех t , для которых опреде лены функции и , . При выполнении эти х условий будем писать . Определение 12. Ядром Дирихле n -го порядка н азывается функция (1.10) Это ядро является тригонометрическим полиномом порядка n и при этом (1.10’ ) Определение 13. Ядром Фейера n -го порядка на зывается функция (1.11) Ядро Фейера F n ( t ) является средним арифметическим первых n ядер Дирихле, и значит, является тригонометрическим полиномом порядка ( n-1 ). Так что имеют место равенства (1.11’ ) (1.11’ ’ ) где D k ( t )- ядра Дирихле. Определение 14. Ядром Джексона n -го порядка называется функция (1.12) Свойства ядер Дж ексона. а) При каждом n ядро J n ( t ) является чётным неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка 2 n -2 вида , где j k =j k ( n ) - некоторые числа б) в) г) Доказательство. а) Учитывая, что для ядер F n ( t ) Фейера имеют место рав енства получим где j k ( k =1,2,...,2 n -2) -некоторые числа, и в частности, в силу ортогональност и тригонометрической системы функций найдем Этим свойство а) доказано. б) Это равенство следует из равенства, полученного для j 0 . в) Так как при любом и при ( ** ), то г) Совершенно ан алогично случаю в) получим Что и требовало сь доказать. Определение 15. Ядром типа Джексона п орядка n называется функция , (1.13) n =1,2,3,..., k -натуральное, где (1.13’ ) Ядра типа Джексона обладают следующими свойствами: а) б) При фиксированном натуральном k и произвольном n ядро J n,k ( t ) является чётным неотрицательным тригонометрическим по линомом порядка k ( n -1) в) n 2k- 1 , т.е. существую т постоянные С 14 > 0 и С 15 >0, такие, чт о при всех n =1,2,3,... будет г) При любом s >0 им еет место неравенство д) При любом нат уральном Доказательств о свойств ядер типа Джексона. а) Это свойство вытекает из равенств определения б) Это свойство следует из 1-го неравенства определения и из того, что в сил у равенств (1.11) и (1.11‘ ’ ) будет (1.14) где - некоторые целые числа. в) Учитывая неравенства (**), будем иметь (1.15) С другой стороны (1.15‘ ) г) Это неравенство вытекает из первого равенства определения и неравенства (1.15‘ ) д) Действительн о, с одной стороны, в силу неравенств (1.15‘ ) и (**) (1.16) где A-const , а с другой стороны, учитывая соотношение (1.15), нера венств (**) и из неравенства sin t Ј t , при всех t і 0 (***), имеем (1.16‘ ) A 1 -const . Неравенства (1.16) и (1.16‘ ) равносиль ны условию, что и требовалось доказать. § 2. Простейшие свойства модулей нерп ерывности. Этот параграф н осит вспомогательный характер. Здесь устанавливается несколько просте йших свойств модуля нерперывности высших порядков. Все рассматриваемы е здесь функции f 1 , f 2 , ... - не прерывны. ЛЕММА 1. Для любого натурального k и л юбого d і 0 (2.1) Доказательство: по определению, Лемма доказана. ЛЕММА 2. Пусть f и l -натуральные числа, l0, h >0. Тогда (2.6) Если кроме того 0< d < h , то (2.7) Доказательство: Докажем сперва неравенство (2.6). Рассмотрим случай для hЈd . Найдём натуральное число p из условий (2.8) Тогда h< p d -1 , и так как -является неубывающей функ цией от h , то принимая во внимание (2.5) и (2.8), получим Рассмотрим слу чай для h0 (5.7) равномерно относи тельно n . Следствие 3.2. Пусть для некоторого натурал ьного k и любого натурального n Тогда (5.8) Теорема 4. Для того, чтобы , необходимо и д остаточно, чтобы (5.9) равномерно относи тельно n. Это вытекает из теоремы 1, следствия 3.1 и того замечания что если выполнено условие (5.9), то . Теорема 5. Для того, чтобы , необходимо и достаточно, чтоб ы (5.10) Это доказывается а налогично теореме 4, только вместо следствия 3.1 нужно воспользоваться сле дствием 3.2. Неравенства теоремы 3 имеют тот недостаток, что их правые ч асти явно зависят от константы С 20 . Таким образом, если вместо фиксированного номера n и одного полинома t n рассматривать последовательность полиномов t n ( n =1,2,...), то С 20 окажетс я, вообще говоря, независящей от n и теорема 3 даёт оценки, не равномерные относительно n . Покажем как избавиться от этого неудобства. Теорема 6. Пусть для некоторого натуральн ого k (5.11) и (5.12) Тогда для любого d >0 (5.13) равномерно относи тельно n . Доказательство. Пусть сперва . Из неравенства (5.2) следует, что и на основании (5.11) (5.14) Рассмотрим случай . Положим в (5.14) . Тогда получим Из этого нераве нства, в силу (4.7), следует, что Но так как, по ус ловию, , то Отсюда Окончательно, и теорема доказ ана. В следующем параграфе будет показано, как можно видоизменить ограничен ия (5.11) теоремы 6. §6. Обобщение обратных теорем С. Н. Бернштейна и Ш. Валле-Пуссена. В этом параграф е обобщаются и уточняются так называемые “обратные теоремы” теории при ближения. Речь идёт об оценке дифференциальных свойств функции f , если известны свойства последовательнос ти её наилучших приближений E n . Лемма 9. Зададим натуральное число k , и пусть (6.1) и . (6.2) Тогда (6.3) Доказательство. Имеем, согласно (2.1), Но из (2.10) и (6.2) полу чаем а из (2.2) и (6.1) Поэтому левая часть это го неравенства не зависит от n , а поэ тому и лемма доказан а. Для получения хороших оценок о бычно достаточно взять . Одна ко на исключена возможность, что в некоторых случаях другой выбор может оказаться предпочти тельнее. Теорема 7. Пусть k -натуральное число, функция не убывает и (6.4) Для того чтобы , необходимо и достаточно выпо лнение условия (6.5) Доказательство. Необходимость условия (6.5) вытекает из следствия 3.2. Установи м его достаточность, для чего воспользуемся леммой 9. Получаем: Положим здесь ; тогда для будем иметь и поэтому и теорема доказ ана. Отметим два следствия из этой теоремы. Следствие 7.1. Пусть k -натуральное число, функция не убывает и (6.6) Для того чтобы , необходимо и достаточно выпо лнение условия (6.7) Следствие 7.2. Пусть k -натуральное число и Если и (6.8) то равномерно отн осительно n . Это вытекает из теорем 7 и 6. Теорема 7 показывает, что нужно добавить к условию (6.4), чтобы получить . Теперь мы получим оценки д ля , исходя только из условий в ида (6.4). Попутно выясняется, что при некоторых дополнительных ограничения х на функцию условие (6.5) стан овится излишним. Суть дела в том, что при этих ограничениях (6.4) влечёт (6.5). Лемма 10. Пусть (6.9) где . Тогда для любого натуральног о k (6.10) Доказательство. Зафиксируем натуральное число n , определим натуральное p из условий и построим посл едовательность номеров поло жив Для оценки представим в таком виде: Так как , то отсюда (6.11) Оценим U l (k) . Имеем для l= 1,2,..., p откуда Но есть тригонометрический п олином порядка не выше n l . Поэтому по неравенству С.Н. Бернштейна, (6.12) Заметим теперь, чт о, в силу определения последовательности n l , и для Поэтому, пользуясь ещё монотонностью последовательности F n 2 находим, что для (6.13) При помощи (6.11), (6.12) и (6.13) находим окончательно: и лемма доказан а. Теорема 8. Для любого натурального k и любого (6.14) Доказательство. Имеем Отсюда, по лемме 10, Воспользуемся теперь леммой 9. Получаем: Если , то . Кроме того, Поэтому для и теорема доказ ана. Мы обращаемся теперь к рассмотрению вопроса о том, при каких ограничения х на E n условие (6.4) влечёт Теорема 9. Зададим натуральное числ о k ; пусть и . Для того чтобы , необходимо и достаточно в ыполнение условия (6.15) Доказательство. Необходимость условия (6.15) вытекает из теоремы 1. Докажем его достаточность. Согласно теореме 8, для Положим здесь и заметим, что тогда для и, в силу условия , Поэтому для и теорема доказ ана. Следствие 9.1. Пусть и . Тогда для всех натуральны х классы эквивалентны. Следствие 9.2. Пусть и . Если то для любого фи ксированного натурального равномерно отн осительно n . Рассмотрим теперь следующий вопрос. как связаны приближения функции f с приближениями и дифференциальны ми свойствами её производных f (r) ? Теорема 10. Зададим натуральное числ о r, и пусть (6.16) где (6.17) Тогда f имеет непрерывную производную f (r) и (6.18) С.Н.Бернштейн [3] док азал такую теорему: если ряд сходится, т о функция f имеет непрерывную производную f (r) . Рассмотрение этого до казательства С.Н.Бернштейна показывает, что на самом деле им установлено следующее, более общее предложение: пусть выполнены условия (6.16) и (6.17). Тогда функция f имеет непрерывную производную f (r) и равномерно относительно x . В ходе доказательства теоремы 10 мы вновь установим это предложение. Доказательство. при . Поэтому равномерно относительно x . Отсюда следует, что если n k ( k =0,1,2,...) есть возрастающая последоват ельность номеров, то Зафиксируем на туральное число n и положим Тогда будем име ть (6.19) где Докажем, что фор мулу (6.19) можно продифференцировать почленно r раз, т.е. (6.20) Для этого достаточ но установить, что ряд справа равномерно сходится. Прежде всего, оценим . Имеем откуда Оценим теперь . По неравенству С.Н.Бернште йна, Пользуясь этой оценкой, получаем: Но Поэтому (6.21) Итак, доказана схо димость ряда , а вместе с этим установле на и формула (6.20). Из (6.20) и (6.21) вытекает, что и теорема доказ ана. В некоторых случаях оценка (6.18) может быть упрощена. Пусть, например, (6.22) Тогда Поэтому при вып олнении условия (6.22) вместо (6.18) можно написать Следствие 10.1. Пусть r -натуральн ое число и сходится ряд Тогда (6.23) Теорема 11. Пусть r -натуральное число и для ф ункции f сходится ряд Тогда для любог о натурального k и любого (6.24) Доказательство. Имеем Отсюда, по лемме 10, Далее, согласно теореме 10, Воспользуемся теперь леммой 9. Получаем Заметим, что Таким образом, е сли , то и теорема доказ ана. §7. Основная тео рема. Обратимся тепе рь к рассмотрению следующего вопроса: каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы где -заданная невозрастающая ф ункция? Насколько нам известно, эта задача не была до сих пор решена даже для случ ая . Мы решим её для функций сра внения . Лемма 11. Пусть и для некоторого натуральн ого (7.1) Тогда существует т акая константа с >0, что (7.2) Доказательство. Согласно (7.1), найдутся две такие константы С 60 >0 и C 61 >0, что (7.3) Последнее из этих неравенств, теорема 1 и теорема 3 влекут неравенство (7.4) В силу (2.1) и (2.2), имеем Отсюда Пользуясь (7.3) и (7.4), находим, далее (7.5) Вспомним теперь, ч то . Это даёт нам для Подставляя эту оценку в (7.5), получаем (7.6) Мы можем без огран ичения общности считать, что здесь . Поло жим в (7.6) Тогда получим о кончательно и лемма доказан а. Основная теорема. Пусть . Для того чтобы (7.7) необходимо, чтобы для всех натуральных , и достаточно, чт обы для некоторого натурального . (7.8) Доказательство. Пусть имеет место (7.7), т.е. найдутся две положительные конста нты С 67 и С 68 , для которых (7.9) Тогда, по теореме 1 и в силу первой половины неравенства (7.9), для любого k имеем т.е. Отсюда, в силу , и если , то, ввиду монотонности и , Далее, из второй половины неравенства (7.9) и теоремы 9 вытекает существование константы С 72 такой, что для любого Этим заканчива ется доказательство необходимости условия (7.8). Пусть имеет место (7.8): (7.10) с С 73 >0. Тогда по теореме 1 и в силу второй полови ны неравенства (6.10), а по лемме 11, где С 77 >0. Таким образом, установлена достаточность условия (7.8), и основная теорема полностью доказана. Приведём в заключение обобщение леммы 11 на тот случай, когда оценки сверху и снизу имеют разные порядки. Теорема 12. Пусть и (7.11) Тогда (7.12) Доказательство. Имеем, как при доказательстве леммы 11, Положим здесь Тогда получим, ч то Теорема доказа на. §8. Решение задач. Пример 1. Пусть Тогда пр и каждом Пример 2. Пусть график функции f ( x ) имеет вид, изображённый на рис.8.1. Тогда график функции п оказан на рис.8.2. Рис. 8.1. Рис. 8.2. Пример 3. Пусть при и пусть - периодическое продолжени е функции на всю ось. Рис. 8.3. Рис. 8.4. Тогда если функцию рассматривать на сегменте длины так, что (рис. 8.3) то (рис. 8.4) т.е. модуль непр ерывности функции в точке не достигает своего наибол ьшего значения и, следовательно, отличается от модуля непрерывности это й функции на всей оси. Пример 4. При функция является модул ем непрерывности. Пример 5 . При функция является модул ем непрерывности. Пример 6. При имеем так что при всех будет . Литература. 1. Бернштейн С.Н. О свойствах однородных функциональных классов // Доклады А к. Наук СССР,-1947.-№57.-с.111-114. 2. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приб лижений непрерывных функций // Доклады Ак. Наук СССР,-1949.-№65.-с.135-137. 3. Бернштейн С.Н. О наилучшем приближен ии непрерывных функций посредством многочленов данной степени // Сообщ. Харьк. Матем. о-ва (2), -1912.-№13.-с.49-144. 4. Бернштейн С.Н. Экстремальные свойств а полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной веществ енной переменной. Часть I,-М.-Л.,-1937. 5. Никольский С. Обобщение одного нерав енства С.Н.Бернштейна // Доклады Ак. Наук СССР,-1948.-№65.-с.135-137. 6. Гончаров В.Л. Теория интерполировани я и приближения функций.-М.-Л.,-1934. 7. Дзядык В.К. Введение в теорию равноме рного приближения функций полиномами. -М.: Наука.-1977.-с.512. 8. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приб лижений непрерывных функций // Доклады Ак. Наук СССР,-1949.-№65.-с.135-137. 9. Тиман А.Ф. Теория приближения функци й функций действительного переменного. -М.:ГИФМЛ,-1960.-с. 624. 10. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппрокс имаций.-М.:ГИТТЛ,-1947.-324. 11. Арестов В.В. О равномерной регуляриз ации задачи вычисления значений оператора // Математические заметки,-т .22.-1977.-№2.-с.231-243. 12. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приб лижений непрерывных функций // Изв. АН СССР-Математика,-1931.-№15.-с.219-242.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Бывают люди, которым просто хочется калькулятор в жопу засунуть, чтобы удвоить их интеллект..
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими тригонометрическими полиномами", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2017
Рейтинг@Mail.ru