Реферат: Интегральное исчисление. Исторический очерк - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Интегральное исчисление. Исторический очерк

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 48 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

14 Учебно-в оспитательный комплекс 1861 Интегр альное исчисление. Истор ический о черк. (реферат ) Учениц а : Холодная Анна Класс : 11 ”А” Москва 2000 г. Поняти е интеграл непосредственно связано с интеграл ьным исчислением – разделом математики , зани мающимся изучением интегралов , их свойств и методов вычисления . Вместе с дифференциальным ис числением интегральное исчисление сост авляет основу математического анализа. Истоки интегрального исчисления относятся к античному периоду развития математики и берут начало от метода исчерпывания , разр аботанного математиками Древней Греции. Метод исчерпыв ания это набор прав ил для вычисления площадей и объёмов , разр аботка которых приписывается Евдоксу Книдскому . Дальнейшее развитие метод получил в работа х Евклида , а особым искусством и разнообр азием применения метода исчерпывания славился Архимед. Типичная схема доказательств методом исчерпывания выглядела следующим образом . Для определения величины A строилась некоторая посл едовательность величин С 1 , С 2 , … , С n , … такая , что Предполаг алось также известным такое B , что и что для любого целого K можно найти достаточно большое n , удовлетворяющее условию : Где D – постоянно . После громоздких рассуждений из последнего выражения удавалось получить : Как видно из приведённой схемы метод был основан на аппроксимации рассматриваемых объек тов ступенчатыми фигурами или телами , составл енными из простейших фигур или пространственн ых тел (прямоугольников , параллелепипедов , цилиндро в и т.п ., обозначенных последовательностью С 1 , С 2 , … , С n , … ). В э том см ысле метод исчерпывания можно рассматривать к ак античный интегральный метод. Кризис и упадок древнего мира привёл к забвению многих научных достижений . О методе исчерпывания вспомнили лишь в XVII ве ке . Это было связано с именами Исаака Ньютона , Готф рида Лейбница , Леонарда Эйлер а и ряда других выдающихся учёных , положив ших основу современного математического анализа. В конце XVII и в XVIII веке все возрастаю щие запросы практики и других наук побужд али ученых максимально расширять область и методы иссл едований математики . Понятия бесконечности , движения и функциональной зависи мости выдвигаются на первое место , становятся основой новых методов математики . В конце XVII и в XVIII веке в математике и механике были получены классические ре зультаты фундамент ального значения . Основным здесь было развитие дифференциального и интегрального исчисления , теории дифференциальных уравнений , вариационного исчисления и аналитиче ской механики . Основные понятия и теория интегрального и дифференциального исчислений , преж де всего связь операций дифференцирования и и нтегрирования , а также их применения к реш ению прикладных задач были разработаны в конце XVII века , но основывались на идеях , сфо рмулированных в начале XVII веке великим математ иком и астрономом Иоганом Кеплеро м. В ноябре 1613 года королевский математик и астролог австрийского двора И . Кеплер пр аздновал свадьбу . Готовясь к ней , он приоб рёл несколько бочек виноградного вина . При покупке Кеплер был поражён тем , что про давец определял вместимость бочки , производя од но единственное действие - измеряя расст ояние от наливного отверстия до самой дал ьней от него точки днища . Ведь такое и змерение совершенно не учитывало форму бочки ! Кеплер сразу увидел , что перед ним ин тереснейшая математическая задача - по нескольким изм е рениям вычислить вместимость бочки . Размышляя над этой задачей , он на шёл формулы не только для объёма бочек , но и для объёма самых различных тел : лимона , яблока , айвы и даже турецкой чал мы . Для каждого из тел Кеплеру приходилось создавать новые , зачастую о чень хитроумные методы , что было крайне неудобно . Попытка найти достаточно общие , а , главно е , простые методы решения подобных задач и привела к возникновению современного интегра льного счисления . Но это уже была заслуга совсем другого математика. Трудно на йти другое имя , которое оказало бы столь сильное влияние на историю мировой науки и культуры , как Исаа к Ньютон . Известный математик и историк на уки Б . Л . Ван-дер-Варден пишет в своей к ниге “Пробуждающаяся наука” : “Каждый естество испы татель безусловно сог л асится , что меха ника Ньютона есть основа современной физ ики . Каждый астроном знает , что современная аст рономия начинается с Кеплера и Ньютона . И каждый математик знает , что самим з начи тельным н наиболее важным для физики отде лом современной математики является анализ , в основе которого лежат дифференц иальное и интегральное исчисления Ньютона . Сл едова тельно , труды Ньютона являются основой о громной части точных наук нашего времени” . И не только наук : “Математика и техника влия ют даже на нашу духовную ж и знь , и настолько . что мы редко може м представить это себе пол ностью . Вслед з а необычайным взлётом , кото рое пережило и XVII веке естествознание , по следовал неизбежно рац ионализм XVIII века , обожествление разума , упадок р елигии ... Кто отдает себе отчет в том , - спрашивает автор , - что с историче ской точки зрения Ньютон являет ся самой значительной фигурой XVII века ?” Исаак Ньютон родился в 1643 году . Мальчик посещал сначала сельскую школу , а в д венадцать лет его отправили учиться в бли жайший город . Директо р школы обратил в нимание на способного мальчика и уговорил мать Ньютона отправить сына учиться в Кембриджский университет . Ньютон был принят т уда в качестве бедного студента , обязанного прислуживать бакалаврам , магистрам и студентам старших курсов. Кафедру математике в Кембридже зани мал тогда молодой блестящий учёный Исаак Барроу . Он скоро стал не только учителем , но и другом Ньютона , а спустя несколь ко лет уступил своему великому ученику ка федру математики . К этому времени Ньютон п олучил уже степени бакал а вра и магистра . В 1665-1667 годах Ньютон начал работать над созда нием математического аппарата , с помощью ко торого можно было бы исследовать и выражать законы физики . Ньютон первый построил дифференциаль ное и интегральное ис числения (он назвал его мето д ом флюксий ). Это сразу позволило решать самые разнообразные , математические и физические , з адачи . До Ньютона многие функ ции определялись только геометрически , так что к ним н евозможно было применять алгебру и новое исчисление флюксий . Ньютон нашел новый о бщий метод аналитического представ ления функции - он ввел в математику и на чал систематически применять бесконечные ряды. Поясним эту идею Ньютона . Известно , чт о любое действительное число можно представит ь десятичной дробью - конечной или бесконечной . Т ак . например : Это з начит , что любое число a можно представить в виде : где N - це лая часть , а a 1 , a 2 , ... a n , ... могут прин имать одно из значений 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. По аналогии с таким представлением чисел Нь ютон предположил , что любая функция от x , нап ример , может быть представлена как бесконечный мн огочлен или ряд , расположенный уже не по степеням , а по степеням x : где a 1 , a 2 , ... a n , ...- коэффициенты , которые кажд ый р аз должны быть определены . Примеро м такого ряда может служить известная нам геометрическая прогрессия : Представ ление функции с помощью ряда очень удобно . С помощью рядов , как писал Ньютон , “ удается преодолеть трудности , в дру гом виде представляющиеся почти неодоли мыми”. Одновременно с Ньютоном к аналогичным идеям пришёл другой выдающийся учёный - Готф рид Вильгельм Лейбниц. Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в Г ер мании в г . Лейпциге в 1646 г . Любознат ельный мальчик уже 6 лет вел интересные бе седы по истории со своим отцом , профессоро м Лейпцигского университета . К 12 годам он х орошо изучил латинский язык и увлёкся дре внегре ческим . Особенно его интересовали древние философы , и он мог подолгу р азмышлять о философских теориях Аристотел я или Демокри та . В 15 лет Лейбниц поступает и Лейпцигский университет , где усердно из учает право и фи лософию . Он очень много читает , среди его лю бимых книг - книги Р . Декарта , Г . Галилея , II. Кеплера и Д . Камп а н еллы. Свои колоссальные знания но математике Лейбниц приобрел само учкой . Через три го да , окончив университет , Лейбниц покинул Лейпц иг . Он был обижен отказом ученого совета университета присво ить ому степень доктора прав . Отказ объяс нили тем . что Лейбни ц был ... слишком молод ! Началась жизнь , полная напряженного труда и многочисленных путешествии . Легко себе представить , как неудобны были путешест вовать в неуклюжих каретах по тряским дорогам Европы тех времен . Лейбниц умел не терять времени даром - много удачных мыслей при шло ему и голову именно во время этих продолжительных поездок . Лейбниц отличался исклю чительной способностью быстро “входить” и за дачу и решать ее наиболее общим способом . Размышляя над философ скими и мат ематическими вопросами , Лейб ниц убедился , что самым надежным средством искать и нах одить истину в науке может стать математи ка . Всю спою сознательную жизнь он стремил ся выразить законы мышления , чело веческую спо собность думать и виде математи ческого исчис ления . Для этого необходим о , учил Лейбниц , уметь обозначать любые поня тия ил и идеи определенными символами , комбинируя их в особые формулы , и сводить правила м ышления к правилам в вычислениях но этим символическим формулам . Заменяя oбычные слова четко определенными символами , Лейб н иц стремился избавить наши рассуж дения от всякой неопределенности и возможности о шибиться самому или вводить в заблуждение других . Если , мечтал Лейбниц . между людьми возникнут разногласия , то решаться они буду т не в длинных и утомительных спорах . а так , к ак решаются задачи или доказываются теоремы . Спорщики возьмут в ру ки перья и , сказав : “Начнем вычислять” - при мутся за расчеты. Как уже отмечалось , Лейбниц одновременно с Ньютоном и независимо от него откр ыл основные принципы дифференциального и инте гральн ого исчислений . Теория приобрела си лу после того , как Лейбницем и Ньютоном было доказано , что дифференцирование и инте грирование - взаимно обратные операции . Об этом свойстве хороню знал и Ньютон . Но тол ько Лейбниц увидел здесь ту замечательную возмож нос т ь , которую открывает при менение символи ческого метода. Любой человек , изучив небольшое число правил действия с символами , обозначающими оп ерации дифференцирования и интегрирова ния , станов ится обладателем мощного матема тического метода . В наше время таки е символы операций называют операторами . Операторы дифференцирования d( ) и интегрирования дейст вуют на функции , “перерабатывая” их в друг ие , точно вычисляемые функции . Лейбниц разраба тывает особую алгебру действий с эти ми операторами . Он доказывает , что обычное ч исло а можно выносить за знак оператора : Одинаковые операторы можно в ыносить за скоб ку : или : Сокращенн о все перечисленные свойства можно выразить соотношением : где : и - чи сла. Операторы . которые обладают таким свой ств ом . называются линейными . Теория линей ных опер аторов , которую с таким успехом начал разв ивать , Лейбниц ,. в современной матема тике явля ется хорошо разработанной и полезной в пр иложениях теорией. Многокр атное применение операторов можно принима ть как степень оператора , например , для d( ) : То , ч то основные операторы математического анализа являются взаимно обратными Лейбниц подчёркивал своей символикой , утверждая , что в d(x) и также взаимно обратны , как степени и корни в обычном исчислении . Употребляя так же обо значение , аналогичное обозначению a -1 числа , обратного a , причём про изведение a a -1 =1. Обозначая операторы или наоборот : и пон имая под их произведением последова тельное и х применение , имеем : т . е . произведение есть “единица” , не меняющая фу нкцию. Однако , в подходе Ньютона-Лейбница крылось серьёзное противоречие. Лейбниц и его последователи - братья Б ернулли , Лопиталь и другие - трактовали диффере нциалы как бесконечно малые ра зности обычных конечных величин , как тогда говорили - “реальных” величин “низшей” математики . Поэтом у они обращались с теми и другими оди наково и в исчислении применяли к первым те же приемы , которые справедливы при действиях со вторыми . Вместе с тем выяс н илось , что таким образом трактуемым б есконечно малым присуще свойство , противоречащее одному основному свойству основных конечных величин : если А — конечная величина , а — бесконечно малая , то , чтобы резул ьтат исчис ления полу чался совершенно точ ным , оказалось необходимым проводить вычисления в предположении , что А + =А . Дифференциальное исчисление , значение которог о для развития науки и техники было в не сомнений , оказалось в парадоксальном полож ени и : чтобы его методами получить точн ый результат , надо было исходить из ошибоч ного утверждения . Ньютон пытался обосновать дифференциальное исчисление на законах механики и понятии предела . Но ему не удалось освободить с вое исчисление флюксий от недостатков , п рисущих дифференциальному исчислению Лейбница . В практике вычисления Ньютон , как и Лейбниц , применял принцип отбрасывания бесконечно ма лых . Такая непоследовательность позволила назвать дифференциальное исчисление Лейбница– Ньютона м истическим . Этим в пе рвую очередь подч еркивалось , что Лейбниц и Ньютон вводили в дифференциальное исчисление бесконечно малые величины метафизически , сразу полагая их су ществующими , без выяснения их возникновения и развития и без анализа природы их сп ецифических свойств. Попыт ки построить анализ бесконечно малых и теорию рядов в полном соответствии с основными понятиями и истинами “низшей” математики с самого начала к успешным результатам не привели . Поэтому Лейбниц и его последователи пыта лись оправдать принципы анализа беско н ечно малых путем сравнения бесконечно малой с песчинкой , которой можно пренебречь при вычисле нии высоты горы , посредством ссы лок на вероятность и т . п . Другая попытка была пр едпринята в конце XVIII века . Известный немецкий математик Вессель предложил оста вить а нализ бесконечно малых в анализе в качест ве “полезных вспомогательных функций” . Однако , такая трактовка широкого распространения не получила - математики знали механическое и гео метрическое истолкование dx и dy . Примерно с последней четверти XVIII ве ка область приложений математического ана лиза начинает значительно перекрывать границы его обычного приложения в механике и г еометрии . Ещё быстрее развертывается этот про цесс в первой четверти XIX века . Математики пытались сначала решать новые задачи мето дами , разработанными классика ми XVIII века - Эйлером , Даламбером , Лагранжем и другими . Однако , вскоре выяснилось , что методы классиков недостаточны , что надо развивать новые , более общие и сильные методы . Выя снилось также , что недостаточность методов кл ас с иков нередко связана с узостью трактовки основных понятий , с “изгоняемым” понятием о бесконечно малом , с “исключениям и” , которые раньше оставались в тени . Поясним сказанное одним примером . Ньютон и Лейбниц разработали две трак товки понятия обычного опред еленного инте грала . Ньютон трактовал определенный интеграл ка к разность соответствующих значений первообразно й функции : , где F ` (x)=f(x) . Для Лейбница определенный интеграл был суммой вс ех бесконечно малых дифференциалов . . Первая трактовка отвечала технике вычисления опреде ленных интегралов при помощи первообразной по дынтегральной функции , вторая - потому , что в приложени ях определенный интеграл появлялс я как предел известного вида суммы (интегр альной суммы ). Примерно до последней четверти XVIII века первая трактовка понятия определенного интеграла занимала господствующее положение . Этому спо собствовали два обстоятельства . К началу XVIII века были установлены пр авила дифференцирования всех элементарных функци й и началась успешная разработка методов нахождения их первообразных (рациональных , отдельн ых классов иррациональных и трансцендентных ф ункций ). Благодаря этому точк а зрения Ньютона вполне отвечала развитию эффективных алгоритмов интегрального исчисления . Непосредственное вычисление как предела интегральной суммы столкнулось с м ногими трудностями . Ест ественно , что это обстоятельство укреплению точки зрения Лейбниц а не способствовало . Истолкование обычного определенного интеграл а по Лейбницу опиралось на понятие о бесконечно малых , от которого математики XVIII век а хотели освободить математический анал из . Это также способствовало укреплению точки зрения Ньютона . Факт этот хорошо подтвержда лся тем , как Леонард Эйлер использовал пон ятие об интегральной сумме . Эйлер не возра жал против приближенного вычисления определенных интегралов при помощи соответству ю щих интегральных сумм . Но рассматривать определенный интеграл как предел интегральной суммы он не мог . В этом случае вс е слагаемые интегральной суммы становились бе сконечно малыми , т . е ., с точки зрения Э йлера , были нулями . Историческая справка . В 1963 г. 23-летний Пауль Эйлер окончил курс теологии в Базельском университете . Но учёных теологов было в те годы больше , чем требовалось , и лишь в 1701 г . он получил официальную должность свя щенника сиротского дома в Базеле . 19 апреля 1706 г . пастор Пауль Эйлер ж енился н а дочери священника . А 15 апреля 1707 г . у ни х родился сын , названный Леонардом. Начальное обучение будущий учёный прошел дома под руководством отца , учившегося не когда математике у Якоба Бернулли . Добрый пастор готовил старшего сына к духовной к ар ьере , однако занимался с ним и м атематикой – как в качестве развлечения , так и для развития логического мышления . М альчик увлёкся математикой , стал задавать отц у вопросы один сложнее другого. Когда у Леонардо проявился интерес к учёбе , его направили в Базе льскую латинскую гимназию – под надзор бабушки. 20 октября 1720 г . 13-летний Леонард Эйлер с тал студентом факультета искусств Базельского университета : отец желал , чтобы он стал священником . Но любовь к математике , блестящая память и отличная работоспособн ость сына изменили эти намерения и направили Л еонарда по иному пути. Став студентом , он легко усваивал учеб ные предметы , отдавая предпочтение математике . И немудрено , что способный мальчик вскоре обратил на себя внимание Бернулли . Он п редложил юноше читать математические мемуар ы , а по субботам приходить к нему домо й , чтобы совместно разбирать непонятное . В доме своего учителя Эйлер познакомился и подружился с сыновьями Бернулли – Николаем и Даниилом , также увлечённо занимавшимися математикой . А 8 июня 1724 г . 17-летний Леонард Эйлер произнёс по - латыни великолепну ю речь о сравнении философских воззрений Декарта и Ньютона - и был удостоен учёной степени магистра (в XIX в . в большинстве университетов Западной Европы ученая степень магистра была заменена степе н ью д октора философии ). Эйлер отличался феноменальной работоспособностью . Он просто не мог не заниматься математикой и ли её приложениями . В 1735 г . Академия получил а задание выполнить срочное и очень громо здкое астрономическое вычисление . Группа академик ов просила на эту работу три месяца , а Эйлер взялся выполнить работу за 3 дня – и справился самостоятельно . Однако перенапряжение не прошло бесследно : он заболе л и потерял зрение на правый глаз . Одн ако учёный отнёсся к несчастью с величайш им спокойствием : “ Т еперь я меньше буду отвлекаться от занятий математикой” , - философски заметил он. До этого времени Эйлер был известен лишь узкому кругу учёных . Но двухтомное сочинение “ Механика , или наука о движе нии , в аналитическом изложении ” , изданное в 1736 г ., прине сло ему мировую славу . Эйлер блестяще применил методы математического анализа к решению проблем движения в п устоте и в сопротивляющейся среде . “Тот , к то имеет достаточные навыки в анализе , смо жет всё увидеть с необычайной лёгкостью и без всякой помощи пр о читает работу полностью” , - заканчивает Эйлер своё пре дисловие к книге. Дух времени требовал аналитического пути развития точных наук , применения дифференциа льного и интегрального исчисления для описани я физических явлений . Этот путь и начал прокладывать Л еонард Эйлер. Конечно , и до последней четверти XVIII века концепция Ньютона сталкивалась с трудностями . В это т период встречались элементарные функции , пе рвообразные которых не могут быть выражены через элементарные функции . Знали математики и некоторые не собственные интегралы , в том числе и расходящиеся . Но такого р ода факты были единичными и установившейся эффективной концепции интеграла нарушить не могли . Иным оказалось положение в последней четверти XVIII и особенно в начале XIX века . С 70-х годов XVII I века решение зада ч аналитической механики , физики и других дисциплин потребовало значительное развитие поня тия определенного интеграла . Особое значение приобретают двойные и тройные интегралы (Эйле р , Лагранж , Лаплас и др .). Это было время , когда великие идеи Ньютона и Лейбница были опубликованы сравнительно недавно и современный математический анализ т олько создавался . Мощные методы , которые прине сли с собой эти идеи , находили применение во всех отраслях точного знания . Применен ие это шло рука об руку с развитием самого анализа , часто указывая пути и направления , по которым должно развиват ься новое исчисление . Это была , пожалуй , ед инственная по своей интенсивности эпоха матем атического творчества , и Эйлер был один из немногих по своей продуктивности твор ц ов . Его "Введение в анализ бес конечно малых ", "Основания дифференциального исчисл ения " и "Основания интегрального исчисления " бы ли первыми трактатами , в которых уже обшир ный , но разрозненный материал нового анализа был объединен в цельную науку . В них был выработан тот скелет современ ного анализа , который сохранился и до наше го времени. Разработ ка приемов вычисления двойных и тройных и нтегралов показала , что вычислять эти интегра лы так , как вычисляли обычный определенный интеграл - при помощи неопределенног о , о чень трудно или даже невозможно . Поэтому м атематики вынуждены были сохранять концепцию Ньютона только на словах , а на деле , пр и решении задач точных наук , стали на путь Лейбница . Они вычисляли соответствующие интегральные суммы (в прямоугольных , цилин д рических и сферических координатах ) и находили их пределы . Короче говоря , разработка способов вычисл ения новых видов определенного интеграла пока зала , что обыкновенный , двойной и т . д . определенный интегралы должны быть обоснованы сами по себе независимо от понятия неопределенного интеграла . Но каждое слагаемое любой интегральной суммы является бесконечно малой величиной . Тем самым не только ставился вопрос о легализации ранее “изгоняем ого” понятия бесконечно малого , но и о раскрытии его реального содержа н ия и о соответствующем его использовании . Ка к уже указывалось , чтобы всё это сделать надо было преодолеть - обобщить , развить т радиционное (Эйлерово ) толкование функции и по нятия предела . В связи с этим возник вопрос о существовании пределов интегральных сумм , слагаемые которых были бы бесконечно малыми . В первой четверти XIX века понятие бесконеч но малой оказалось необходимым и для изуч ения и сопоставления свойств непрерывных и разрывных функций . Получение основополагающих р езультатов связано здесь с име н ем Коши . “Между многими понятиями , - указывал Коши , - тесно связанными со свойствами бесконеч но малых , следует поместить понятие о непр ерывности и прерывности функций” . Тут же К оши дает истолкование непрерывности функции , которое более чем ясно подтвержда е т ясность этого его утверждения . Новая постановка задач обоснования матема тического анализа ясно показывала , что дело не только в признании и применении бес конечно малых - это делали и раньше ! - но прежде всего в научном истолковании их содержания и обосн ованном на этом исп ользовании их в алгоритмах математического ан ализа . Однако , чтобы это сделать надо было преодолеть господствовавшее в XVIII веке узкое толкование понятия предела , разработать общую теорию пределов . Изучение разрывных функций и сопоставл ение их с функциями непрерывными заст авило признать то , что ранее считалось нев озможным : что предел , к которому стремиться последовательность значений функции , при стремлении аргумента в некот орой точке может оказаться отличным от зн ачения функции в этой т очке . Значит , предел не всегда я вляется “последним” значением переменной , но во всех случаях предел есть число , к к оторому переменная приближается неограниченно . Сл едовательно , dx и dy не необходимо нули или “мистически” актуально бесконечно малые ; бескон е чно малая - это переменная , имеющая пр еделом нуль , причем факт этот с противореч иями и парадоксами не связан . Коши преодолел и вторую ограничительную тенденцию в принятой до него трактовке понятия предела . Он признал , что переменная может приближаться к св оему пределу не только монотонно , но и колеблясь , п орой принимая значения , равные её пределу. Это обстоятельство придало теории Коши необходим ую общность и исключительную гибкость . Мы до сих пор следуем пути , намеченному Огюст еном Луи Коши , с теми усоверше нствован иями , которые были внесены во второй полов ине XIX века К . Вейерштрассом. Работы Коши и Вейерштрасса завершили создание классического математического анализа , Т ем самым подведя итог многовекового развития интегрального исчисления. Литерату ра 1. Большакова А . А . Три кризиса в развитии математики . Дипл омная работа ; Астрахань : АГПИ , 1996. 2. Детская энциклоп едия для среднего и старшего возраста . Т .2; М .: Просвещение , 1965. 3. Математическая э нциклопедия . Ред . Виноградова . Т .2; М .: Сов . Энц икло педия , 1979. 4. Фихтенгольц Г.М . Основы математического анализа . Т .1; М .: Наука , 1968.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
– Какая милая девочка! Сколько тебе?
– Сто грамм.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Интегральное исчисление. Исторический очерк", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru