Реферат: Интеграл Пуассона - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Интеграл Пуассона

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 64 kb, скачать бесплатно
Обойти Антиплагиат
Повысьте уникальность файла до 80-100% здесь.
Промокод referatbank - cкидка 20%!

Узнайте стоимость написания уникальной работы




Интеграл Пуассона


Пусть x , g(x) , xR1 –суммируемые на -,  , 2- периодические, комплекснозначные функции. Через fg(x) будем обозначать свертку

fg(x) =dt

Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на -, и

cn ( fg ) = cn ( f ) cn ( g ) , n = 0, 1 , 2 , ... ( 1 )


где  cn ( f ) -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) :

cn = -i n tdt , n = 0, 

Пусть  L1 (-) . Рассмотрим при   r  функцию

r ( x ) = n ( f ) rn  ei n x , x  , ( 2 )

где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r ,  r  . Коэффициенты Фурье функции r х равны

cn ( fr ) = cn  r n  , n = 0 , , а это согласно (1) значит, что r  x  можно представить в виде свертки :

r ( x ) = , ( 3 )

где

, t   ( 4 )

Функция двух переменных Рr (t) , 0 r , t   , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона .

Следовательно,

Pr ( t ) = , 0r   , t  . ( 5 )

Если  L ( -  )  действительная функция , то , учитывая , что

c-n ( f ) = cn( f ) , n = 0 из соотношения (2) мы получим :


fr ( x ) =


= , ( 6 )

где

F ( z ) = c0 ( f ) + 2 ( z = reix ) ( 7 )

  • аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции  L1( -,  ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция

u ( z ) = r (eix ) , z = reix , 0  r 1 , x  [ -,  ] .

При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой

v (z) = Im F (z) = . ( 8 )

Утверждение1.

Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге  z     функция и  (x) = u (eix) , x,   . Тогда

u (z) = ( z = reix ,  z    ) ( 10 ).


Так как ядро Пуассона Pr (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:

=,  z   +  .

Но тогда

и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).


Прежде чем перейти к изучению поведения функции r (x) при r , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:

а) ;

б) ;

в) для любого >0

Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3)  х  .

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -,  ) , 1  p <  , имеет место равенство

;

если же  (x) непрерывна на [ -,  ] и  (-) =  () , то

.


Доказательство.

В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона

( 12 )

Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим

.

Следовательно,

.

Для данного    найдем  =  () такое, что . Тогда для r , достаточно близких к единице, мы получим оценку

.

Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства

.

Теорема 1 доказана.


Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.

Определение1.

Пусть функция суммируема на любом интервале (-А, А), А > 0 . Максимальной функцией для функции называется функция

где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.

Определение 2.

Оператор называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0

.


Теорема 2 (Фату).

Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда

для п.в. .

Доказательство.

Покажем, что для и

, ( 13 )

где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x) 1. Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку

(К - абсолютная константа).

Пусть - такое число, что

.

Тогда для

.


Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора , найдем такую последовательность функций ,что

,

( 14 )

для п.в. .


Согласно (13) при x (-2)

Учитывая , что по теореме 1 для каждого x [- ] и (14)

Из последней оценки получим


при n.

Теорема 2 доказана.

Замечание.

Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. x [- ] , когда точка re стремится к eitix по некасательному к окружности пути.

Мы считаем , что f (x) продолжена с сохранением периодичности на отрезок 22 (т.е.
f (x) = f (y) , если x,y  [-2,2] и x-y=2) и f (x) = 0 , если x   .

1

1Авиация и космонавтика
2Архитектура и строительство
3Астрономия
 
4Безопасность жизнедеятельности
5Биология
 
6Военная кафедра, гражданская оборона
 
7География, экономическая география
8Геология и геодезия
9Государственное регулирование и налоги
 
10Естествознание
 
11Журналистика
 
12Законодательство и право
13Адвокатура
14Административное право
15Арбитражное процессуальное право
16Банковское право
17Государство и право
18Гражданское право и процесс
19Жилищное право
20Законодательство зарубежных стран
21Земельное право
22Конституционное право
23Конституционное право зарубежных стран
24Международное право
25Муниципальное право
26Налоговое право
27Римское право
28Семейное право
29Таможенное право
30Трудовое право
31Уголовное право и процесс
32Финансовое право
33Хозяйственное право
34Экологическое право
35Юриспруденция
36Иностранные языки
37Информатика, информационные технологии
38Базы данных
39Компьютерные сети
40Программирование
41Искусство и культура
42Краеведение
43Культурология
44Музыка
45История
46Биографии
47Историческая личность
 
48Литература
 
49Маркетинг и реклама
50Математика
51Медицина и здоровье
52Менеджмент
53Антикризисное управление
54Делопроизводство и документооборот
55Логистика
 
56Педагогика
57Политология
58Правоохранительные органы
59Криминалистика и криминология
60Прочее
61Психология
62Юридическая психология
 
63Радиоэлектроника
64Религия
 
65Сельское хозяйство и землепользование
66Социология
67Страхование
 
68Технологии
69Материаловедение
70Машиностроение
71Металлургия
72Транспорт
73Туризм
 
74Физика
75Физкультура и спорт
76Философия
 
77Химия
 
78Экология, охрана природы
79Экономика и финансы
80Анализ хозяйственной деятельности
81Банковское дело и кредитование
82Биржевое дело
83Бухгалтерский учет и аудит
84История экономических учений
85Международные отношения
86Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
87Финансы
88Ценные бумаги и фондовый рынок
89Экономика предприятия
90Экономико-математическое моделирование
91Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
У нас под окнами люди в спортивных костюмах что-то запихивают в непрозрачный пакет.
- Сиди тихо и не высовывайся. А то нас либо убьют, либо позовут на субботник.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Интеграл Пуассона", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2017
Рейтинг@Mail.ru