Реферат: Интеграл по комплексной переменной - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Интеграл по комплексной переменной

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 186 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Интеграл по комплексной переменной. Определение 1 : Кривая Г называется гладкой ,если она имеет непрерывно изменяющуюся касательную. Определение 2 : Кривая называется кусочно-гладкой ,если она состоит из конечного числа гладких дуг. Основные свойства : Пусть на комплексной плоскости Z задана кусочно-гладкая кривая С длиной я , используя параметриче ское задание кривой С зададим яя t яя и яя ( t ), где яя и яяя являются кусочно-гладкими кривыми от действительной переменной t . Пусть я <= t <= яяя причем яя и яя могут быть бесконечными числами . я я Пусть яя и яя удовлетворяют условию : [ я ‘ ( t )] 2 + [ я ‘ ( t )] 2 я 0. Очевидно , что задание координат я = яя t яя и яя я я ( t ), равносильно заданию комплексной функции я ( t )= яя ( t ) яя i я ( t ). Пусть в каждой точке я ( t ) кривой С определена некоторая функция f ( я ). Разобьем кривую С на n – частичных дуг точками деления я 0 , я 1 , я 2 , … , яя n -1 соответствующие возрастающим значениям параметра t , т.е . t 0 , t 1 , … , t i +1 > t i . я я i = я i – я i -1 . Составим интегрируемую функцию S = я f ( я *) я я i . (1) где я * – производная точки этой дуги. Если при стремлении max | я я i | я 0 существует предел частных с умм не зависящий ни от способа разбиения кривой С на частичные дуги , ни от выбора точек я i , то этот предел называется интегралом от функции f ( я ) по кривой С. (2) f ( я i * ) = u ( P i *) + iv ( P i *) (3) где я я i = я яя ( t ) яя i я я ( t ) ( яя ( t ) и яя ( t ) - действительные числа ) Подставив (3) в (1) получим : (4) Очевидно , что (4) состоит из суммы двух частных сумм , криволинейных интегралов действительной переменной . Переходя в (4) к пределу при я я и я я яя 0 и предполагая , что данные пределы существуют , получаем : (5) Заметим , что для существования криволинейног о интегралов , входящих в (5), а тем самым и для существования интеграла (2) достаточно кусочной непрерывности функций u и v . Это означает , что (2) существует и в случае неаналитичности функции f ( я ). Сформулируем некоторые свойства интеграла от функции ко мплексной переменной . Из равенства (5) следуют свойства : О ограниченности интеграла. При этом z = я ( я ) . 7.) Пусть Cp – окружность радиуса я , с центром в точке Z 0 . Обход вокруг контура Cp осуществляется против часовой стрелки . Cp : я = Z 0 + яя e i я , 0 я я я 2 я , d я = i яя e i я d я . Кусочно-гладкую замкнутую кривую будем называть замкнутым контуром , а интеграл по замкнутому контуру – контурным интегралом. ТЕОРЕМА КОШИ. В качестве положительного обхода контура выберем направление при котором внутренняя область , ограничен ная данным замкнутым контуром остается слева от направления движения : Для действительной переменной имеют место формулы Грина . Извес тно , что если функции P ( x , y ) и Q ( x , y ) являются непрерывными в некоторой заданной области G , ограниченны кусочно-гладкой кривой С , а их частные производные 1-го порядка непрерывны в G , то имеет место формула Грина : ( 8 ) ТЕОРЕМА : Пусть в односвязной области G задана аналитическая функция f ( Z ), тогда интеграл от этой функции по замкнутому контуру Г целиком лежащему в G , рав ен нулю. Доказательство : из формулы (5) следует : Т.к . f ( я ) аналитическая всюду , то U ( x , y ), V ( x , y ) - непрерывны в области , огран иченной этим контуром и при этом выполняются условия Коши-Римана . Используя свойство криволинейных интегралов : Аналогично : По условию Коши-Римана в последних равенствах скобки равны нулю , а значит и оба криволинейных интеграла равны нулю . Отс юда : ТЕОРЕМА 2 (Вторая формулировка теоремы Коши ) : Если функция f ( я ) является аналитической в односвязной област и G , ограниченной кусочно-гладким контуром C , и непрерывна в замкнутой области G , то интеграл от такой функции по границе С области G равен нулю. TEOPEMA 3 (Расширение теоремы Коши на многосвязную область ) : Пусть f ( я ) является аналитической функцией в многосвязной области G , ограниченной извне контуром С 0 , а изнутри контурами С 1 , С 2 , .. ,С n (см . рис .). Пусть f ( я ) непрерывна в замк нутой области G , тогда : , где С – полная граница области G , состоящая из контуров С 1 , С 2 , .. , С n . Причем обход кривой С осуществля ется в положительном направлении. Неопределенный интеграл. Следствием формулы Коши является следующее положение : пусть f ( Z ) аналитична в односвязной области G , зафиксируем в этой области точку Z 0 и обозначим : интеграл по какой-либо кривой , целиком лежащей в области G , содержащей Z 0 и Z, в силу теории Коши этот интеграл не зависит от выбора кривой интегрирования и является однозначной функцией Ф (Z). Аналитическая функция Ф ( Z ) называется первообразной от функции f ( Z ) в области G , если в этой области имеет м есто равенство : Ф я ( Z ) = f ( Z ). Определение : Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом от комплексной функции f ( Z ). Так же как и в случае с функцией действительного переменного имеет место равенство : ( 9) Это аналог формулы Ньютона-Лейбница. Интеграл Коши . Вывод формулы Коши. Ранее была сформулирована теорема Коши , которая позволяет установить связь между значениями аналитической функции во внутренних точках области ее аналитичности и граничными значениями этой функции. Пусть функция f ( Z ) – аналитическая функция в односвязной области G , ограниченной контуром С . Возьмем внутри этой области произвольную точку Z 0 и в области G вокруг этой точки построим замкнутый контур Г . Рассмотрим вспомогательную функцию я ( Z ). Эта функция аналитична в области G всюду , кроме точки Z = Z 0 . Проведем контур я с достаточным радиусом , ограничи вающий точку Z 0 , тогда функция будет аналитична в некоторой двусвязной области , заключенной между контурами Г и я . Согласно теореме Коши имеем : По свойствам интегралов : (2 ) Так как левый интеграл в (2) не зависит от выбора контура интегрирования , то и правый интеграл также не будет зависеть от выбора контура . Выберем в качестве я окружность я я с радиусом я . Тогда : (3) Уравнение окружности я я : я = Z 0 + я e i я яяяяяяяя (4) Подставив (4) в (3) получим : ( 5 ) ( 6 ) (7) Устремим я я я 0, т.е . яя 0. Тогда т.к . функция f ( я ) аналитична в точке Z = Z 0 и всюду в области G , а следовательно и непрерывна в G , то для всех я >0 существует я >0, что для всех я из я – окрестности то чки Z 0 выполняется | f ( я ) – f ( Z 0 ) | < я . (8) Подставив ( 7) в ( 6) с учетом ( 8) получаем : Подставляя в ( 5) и выражая f ( Z 0) имеем : (9) Это интеграл Коши . Интеграл , стоящий в (9) в правой части выражает значение аналитической функции f ( я ) в некоторой точке Z 0 через ее значение на произвольном контуре я , лежащем в области аналитичности функции f ( я ) и содержащем точку Z 0 внутри. Очеви дно , что если бы функция f ( я ) была аналитична и в точках контура С , то в качестве границы я в формуле (9) можно было использовать контур С. Приведенные рассуждения остаются справедливыми и в случае многосвязной области G . Следствие : Интеграл Коши , целико м принадлежащий аналитической области G имеет смысл для любого положения Z 0 на комплексной плоскости при условии , что эта точка есть внутренней точкой области Г . При этом если Z 0 принадлежит области с границей Г , то значение интеграла равно (9), а если т . Z 0 принадлежит внешней области , то интеграл равен нулю : При Z 0 я Г указанный интеграл не существует. Интегралы , зависящие от параметра. Рассматривая интеграл Коши , видим , что подинтегральная функция зависит от 2-х комплексных переменных : переменной ин тегрирования я и Z 0 . Таким образом интеграл Коши может быть рассмотрен как интеграл , зависящий от параметра , в качестве которого выбираем точку Z 0 . Пусть задана функция двух комплексных переменных я (Z, я ), причем Z= x + i y в точке , принадлежащей некот орой комплексной плоскости G. я = я + i яя я С . (С - граница G). Взаимное расположение области и кривой произвольно . Пусть функция я (Z, я ) удовлетворяет условиям : 1) Функция для всех значений яяяя С является аналитической в области G . 2) Функция я (Z, я ) и ее производная яяяяя являются непрерывными функциями по совокупности переменных Z и я при произвольном изменении области G и переменных на кривой С . Очевидно , что при сделанных предположениях : Интеграл существует и является функцией комплексной переменной . Справедлива формула : (2) Эта формула устанавливает возможность вычисления производной от исходного интеграла путем дифференцирования подинтегральной функции по параметру. ТЕОРЕМА . Пусть f ( Z ) является аналитической функцией в области G и непреры вной в области G ( G включая граничные точки ), тогда во внутренних точках области G существует производная любого порядка от функции f ( Z ) причем для ее вычисления имеет место формула : (3) С помощью формулы (3) можно получить производную любого порядка от аналитической функции f ( Z ) в любой точке Z области ее аналитичности . Для доказательства этой теоремы используется формула (2) и соответственные рассуждения , которые привели к ее выводу. ТЕОРЕМА МОРЕРА . Пусть f ( Z ) непрерывна в односвязной области G и интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру , целиком принадлежащему G равен 0. Тогда функция f ( Z ) является аналитическо й функцией в области G . Эта теорема обобщается и на случай многосвязной области G . Разложение функции комплексного переменного в ряды. Если функция f ( x , y ) определена и непрерывна вместе с частными производными (до n -го порядка ), то существует разложени е этой функции в ряд Тейлора : Итак , если задана функция f (z) комплексного переменного , причем f (z) непрерывная вместе с производными до n -го порядка , то : (2) – разложение в ряд Тейлора. Формула (2) записана для всех Z принадлежащих некоторому кругу | Z-Z 0 |1 такой полюс будет называться простым. , если m яяя , то в этом случае в точке Z=Z 0 имеем существенную особенность. Определение 2. Вычетом функции f ( Z ) в круге |Z-Z 0 |0 существует M >0 и S 0 я 0 такие , что выполняется условие : | f ( t )|< Me S 0 t Рассмотрим функцию f ( t ) я e - pt , где р – комплексное число р = ( а + i b ). (1) Применим к этому соотношению формулу Эйлера : Проинтегрировав это равенство получим : (2) Оценим левую часть равенства (2) : А согласно свойству (3) | f ( t )| < Me S 0 t В случае если a > S 0 имеем : Аналогично можно доказать , что существует и сходится второй интеграл в равенстве (2). Таким образом при a > S 0 интеграл , стоящий в левой части равенства (2) также существует и сходится . Этот интеграл определяет со бой функцию от комплексного параметра р : (3) Функция F ( p ) называется изображением функции f ( t ) по Лапласу , а функция f ( t ) по отношению к F ( p ) называется о ригиналом. f ( t ) я F ( p ), где F(p) – изображение функции f ( t ) по Лапласу. - это оператор Лапласа. Смысл введения интегральных преобразований. Этот смысл состоит в следу ющем : с помощью перехода в область изображения удается упростить решение многих задач , в частности свести задачу решения многих задач дифференциального , интегрального и интегро-дифференциального уравнения к решению алгебраических уравнений. Теорема единст венности : если две функции яя t яяя и яяя t я имеют одно и то же изображение F ( p ), то эти функции тождественно равны. Смысл теоремы : если при решении задачи мы определим изображение искомой функции , а затем по изображению нашли оригинал , то на основании теорем ы единственности можно утверждать , что найденная функция является решением в области оригинала и причем единственным. Изображение функций я 0 ( t ), sin ( t ), cos ( t ). Определение : называется единичной функцией . Единичная функция удовлетворяет требованиям , которые должны быть наложены на функцию для существования изображения по Лапласу . Найдем это изображение : Изображение единичной функции Рассуждая аналогичным образом получим изображение для функции sin ( t ) : интегрируя по частям получим : т.е . Аналогично можно доказать , что cos ( t ) переходит в функцию в области преобразований . Откуда : Изображение функции с измененным масштабом независимого переменного. где а – константа. Таким образом : и Свойства линейности изображения. Теорема : изображение суммы нескольких функций умноженное на постоянные равны сумме изображений этих функций умноженных н а те же постоянные. Если , то , где Теорема смещения : если функция F ( p ) это изображение f ( t ), то F ( я + p ) является изображением функции e - я t f ( t ) (4) Доказательство : Применим оператор Лапласа к левой части равенства (4) Что и требовалось доказать. Таблица основных изображений : F(p) f(t) F(p) f(p) 1 Изображение производных. Теорема . Если , то справедливо выражение : (1) Доказательство : (2) (3) По дставляя (3) в (2) и учитывая третье условие существования функции Лапласа имеем : Что и требовалось доказать . Пример : Решить дифференциальное уравнение : Если x (0)=0 и x ’ (0)=0 Предположим , что x ( t ) – решение в области оригиналов и , где - решение в области изображений. Изображающее уравнение : Теорема о интегрировани и оригинала . Пусть находится в области оригиналов , , тогда также оригинал , а его изображение . Таким образом операции интегрирования в области оригиналов соответ ствует операция деления в области изображений. Теорема о интегрировании изображений : Пусть – функция оригинал , которая имеет изображение и также оригинал , а - является сходящимся интегралом , тогда . Толкование теоремы : операция деления на аргумент в области оригиналов соответствует операции интегрирования в пределах от р до я в области изображений. Понятие о свертке функций . Теорема о свертке. Пусть заданы две функции a ( t ) и b ( t ), удовлетворяющие условиям существования изображения по Лапласу , тогда сверткой таких функций называется следующая функция : (1) Свертка обозначается следующим образом : (1 ’ ) Равенства (1) и (1 ’ ) идентичны. Свертка функции подчиняется переместительному закону. Доказательство : Теорема о умножении изображений . Пусть и , тогда произведение изображений представляется сверткой оригиналов . Доказательство : Пусть изображение свертки (1) Интеграл (1) представляет собой повторный интеграл относительно переменных t и я . Изм еним порядок интегрирования . Переменные t и я входят в выражение симметрично . Замена переменной производится эквивалентно. Если в последнем интеграле сделать замену пер еменной , то после преобразований последний интеграл преобразуется в функцию F 2 ( p ). Операция умножения двух функций в пространстве изображений соответствует операции свертки их оригиналов в области оригиналов . Обобщением теоремы о свертке есть теорема Эфрос а . Теорема Эфроса . Пусть функция находится в области оригиналов , , а Ф (р ) и q (р ) – аналитические функции в области изображений , такие , что , тогда . В практиче ских вычислениях важную роль играет следствие из теоремы о свертке , наз . интеграл Дюамеля . Пусть все условия теоремы выполняются , тогда (2) Соотношение (2) применяетс я при решении дифференциальных уравнений. Обратное преобразование Лапласа. - Это прямое преобразование Лапласа. Обратное преобразование есть возможность получить функцию-оригинал через известную функцию-изображение : , где s – некоторая константа. Пользоваться формулой для обратного преобразования можно при определенном виде функции F ( p ), либо для численного нахождения функции-оригинала по известному изображению. Теоремы разложения. Известн ая методика разложения дробно-рациональных функций на сумму элементарных дробей (1)-(4) может быть представлена в виде двух теорем разложения. Первая теорема разложения . Пусть F ( p ) – изображение некоторой функции , тогда эта функция представляется в виде , k – постоянная , может быть сколь угодно большим числом , , то возможен почленный переход в пространство оригиналов с помощью формулы : . Вторая теорема разложения . Если из ображение представляется д робно-рациональной функцией . Степень числа s меньше степени знаменателя n , знаменатель имеет корни я 1 , я 2 , … , я n соответствующий кратности k 1 , k 2 , … , k n , при этом k 1 + k 2 +… + k n = n . В этом случае оригинал функции определяется по формуле : (3) Например : Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа. Преобразование Лапласа имеет вид : (1) На f ( t ) наложены условия : 1) f ( t ) определена и непрерывна на всем интервале : (- я ; я ) 2) f(t) яя 0 , t я (- я ;0) 3) При M , S 0 >0 , для всех t > 0 выполняется условие | f ( t )|< Me S 0 t Если о тказаться от условий 2 и 3, и считать , что f ( t ) принимает произвольное значение при t < 0, то вместо (1) можно рассмотреть следующий интеграл : (2) Формула (2) – двустороннее преобразование Лапласа. Пусть в (1) и (2) p = a + in , где a и n – действительные числа. Предположим , что Re ( p ) = a = 0, т.е. (4) (5) (4) и (5) соответственно односторонние и двусторонн ие преобразования Фурье. Для существования преобразования Фурье , функция должна удовлетворять условиям : 1) Должна быть определена на промежутке (- я ; я ) , непрерывна всюду , за исключением конечного числа точек разрыва первого рода. 2) Любой конечный промежуток оси t можно разделить на конечное число промежутков , в каждом из которых функция либо кусочно-гладкая , либо кусочно-монотонная. 3) Функция абсолютно интегрируема : , это условие выполняется , если | f ( t )|< Me S 0 t Из существования преобразования Лапласа не следует преобразование Фурье . Преобразования Фурье существуют для более узкого класса функций . Преобразования Фурье не существуют для постоянной и огр аниченной функции : f ( t ) = C Аналогично преобразования Фурье не существуют и для гармоничных функций : т.к . Если f ( t ) = 0 при t >0 и преобразование для этой функции существует , то оно может быть получено из таблицы оригиналов и изображений для преобразования Лапласа путем замены параметра t на iu , но при этом необходимо убедиться , что F ( p ) не обращается в число справа от мнимой оси. Если f(t) я 0, t<0 (6) Обозначим Очеви дно , что (6 ’ ) Функция (6) называется спектральной плотностью В связи с изложенным можно указать два пути отыскания спектральной плотности : 1) Вычисление интеграла (5) 2) Использование преобразования Лапласа или Фурье. Непосредственное вычисление спектральной плотности для абсолютно интегрируемой функции. Функция F ( iu ) может быть представлена , как комплексная функция действительной переменной (7) | F ( iu )| - амплитудное знач ение спектральной плотности , я ( u ) – фазовый угол. В алгебраической форме : F ( iu ) = a ( u ) + ib ( u ) (8) (9) Для непосредственного вычисления спектральной плотности вычисляется интеграл (6), а затем по формулам (8) и (9) определяется амплитудное значение | F ( iu )| и фазовый угол я ( u ). Пример. Найти спектральную плотность импульса : откуда , далее Отыскание спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций. Прямое преобразование Фурье для таких функций не существует , существует преобразование Лагранжа. Прямое преобразование Фурье необходимо : 1) Для обле гчения процесса решения дифференциальных и интегральных уравнений. 2) Для исследования амплитудной и частотной характеристик спектральной плотности , определенной всюду на числовой оси. Введем следующее определение спектральной плотности для неабсолютно ин тегрируемых функций : Если для заданной функции y = f ( t ) существует непрерывное изображение по Лапласу F ( p ), то спектральной плотностью функции называется изображение функции по Лапласу при p = iu . Спектральной плотностью F 1 ( iu ) неабсолютно интегрируемой фу нкции называется предел от спектральной плотности F 2 ( iu я ) абсолютно интегрируемой функции.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Не нравится мне надпись на этикетках товаров: Продукт может содержать то-то и то-то. Что значит "МОЖЕТ"? Oни сами не знают что там?
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Интеграл по комплексной переменной", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru