Реферат: Золотое сечение в природе и искусстве - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Золотое сечение в природе и искусстве

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 60 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Четвертая рег иональная научная и инженерная выставка «Будущее Север а» Золотое сечение в природе и искусстве Автор : Седлинский Игорь Николаевич Гимназия № 1 г . Апатиты , М урманская обл. Научный руководитель : Щукина Любовь Николаевна Мурманск 2002 год Геометрия владеет двумя сокровищами : одно из н их – теорема Пифаго ра , другое- деление отрезка в среднем и крайнем от- ношении. И . Кеплер Человек различает окружающие его предметы по форме . Интерес к форме ка кого-либо предмета может быть продиктован жиз ненной необходимостью , а может быть вызван красото й формы . Форма , в основе пост роения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения , способствует наилучшему зрите льному восприятию и появлению ощущения красот ы и гармонии . Целое всегда состоит из частей , части разной величины находятся в определенно м отношении друг к другу и к целому . Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функциона льного совершенства целого и его частей в искусстве , науке , технике и природе. Самым известным из всех ирр ациональных чисел , то есть чисел , десятичные разложения которых бесконечны и непериоди чны , следует считать число – отношение длины о кружности к ее диаметру . Иррациональное число («фи» ) известно не столь широко , но оно выра жает фундамента льное отношение , имеющее п очти такой же универсальный характер , как и число . Сходство между числами и этим не исчерпывается : подобно , обладает свойством возникать в самых неожиданных местах . Что такое золотая пропорция. Пусть длина некоторого отрезка равна А (рис .1) , длина его большей части равна Х , тогда (А – Х ) – длина меньшей части отрезка. Пусть отношение всего отрезка к бо льшей его части равно отношению большей ч асти к меньшей . Составим отношение согласно допущению : . (1) Такое деление о трезка и называетс я со времен древних греков делением отрез ка в крайнем и среднем отношении. От пропорции (1) перейдем к равенству A ( A - X )= X 2 . Получаем кв адратное уравнение . Длина отрезка X выражается положительным числом , поэтому из двух корней выбираем положительный : . Число обозначается буквой или буквой («тау» ) в серьезной математике . Не менее важное зн ачение имеет число , обратное , которое обозначается Ф . Число - единственное положительное число , которое обращается в обратное себе при прибавлен ии единицы. =1/ Обратим внимание на удивительную инвари антность золотой пропорции : Такие значительные преобразования , ка к возведение в степень , не смогли уничтожи ть сущность этой уникальной пропорции , ее «душу» . Следующие соотношения еще раз демонст рируют инвариантность золотой пропорции : -2- и т.д. Подобно ч ислу ,Ф можно представить в виде суммы бесконечного ряда многими способами . Предельная простота следующих двух примеров еще раз подчеркивает фундамен тальный характер Ф : Ф = lim 1+ Ф = lim С золотой пропорц ией тесно связан ряд чисел Фибоначчи 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89 и т.д . В этом ряду каждое последующ ее число является суммой двух предыдущих чисел . Спус тя четыре столетия после от крытия Фибоначчи ряда чисел И.Кеплер установи л , что отношение рядом стоящих чисел в пределе стремится к золотой пропорции Ф . Это свойство присуще не только числам Фибоначчи . Начав с любых двух чисел и построив аддитивный ряд , в к отором каждый член равен сумме двух предыдущих (например , ряд 7, 2, 9, 11, 20, … ), мы обнаружили , что отношение двух последовательных членов такого ряда также стремится к числу : чем дальше мы будем продвигаться от начала ряд а , тем лучше будет приближение. В дальнейшем увидим , что числа Фибоначчи часто появляются в самых неожиданных местах , при этом неотступно соп ровождая золотую пропорцию. Золот ые фигуры. В геометрии существую т различные способы построения золотой пропор ц ии , причем характерно , что для постро ения достаточно взять самые простые геометрич еские фигуры – квадрат или прямоугольный треугольник с соотношением катетов 1:2. Если с середины стороны квадрата провести окружност ь радиусом , равным диагонали полуквадрат а , то на ее пересечении с продолженно й стороной квадрата получим отрезок , который меньше стороны квадрата в соответствии с золотой пропорцией . Еще проще построение золотой пропорции в прямоугольном треугольнике 1:2: . Достаточно провести д ве дуги окружности , пересекающиеся в одной точке на гипотенузе (рис .2), и большой кат ет будет разделен в соответствии с золото й пропорцией . Золотое сечение можно увидеть и в пентаграмме - так называли греки звездчаты й многоугольник (рис .3). Он служит символом П ифагорейского союза – религиозной секты и научной школы по главе с Пифагором , кот орая проповедовала братскую любовь к друг другу , отречение от внешнего мира , общность и м ущества и т.д . На подобных устоях основывались очень многие секты . Н о Пифагорийский союз отличало от других т о , что пифагорейцы считали возможным добиться очищения духа при помощи математики . По их теории , в основу мирового порядка положены числа . Мир , сч и тали они , состоит из противоположностей , а гармония п риводит противоположности к единству . Гармония же заключается в числовых отношениях . Пифаг орейцы приписывали числам различные свойства . Так , четные числа они называли женскими , н ечетные (кроме 1) – мужс к ими . Число 5 – как сумма первого -3- женского числ а (2) и первого мужского (3) – считалось симво лом любви . Отсюда такое внимание к пентагр амме , имеющей 5 углов. Благоговейное отношение к пентаграмме б ыло характерно и для средневековых мистиков , которые м ногое заимствовали у пифаго рейцев . В средние века считалось , что пент аграмма служит охранным знаком от сатаны . Вспомним , например , как описывает Гете проникн овение дьявола Мефистофеля в келью доктора Фауста , на которой была начертана пентаграм ма . Мефисто ф ель сначала послал чер ного пуделя отгрызть кончик двери с часть ю пентаграммы . Только после этого он смог предстать перед Фаустом. Интересно , что стороны пентаграммы , пресе каясь , образуют правильный пятиугольник , в кот ором пресечение диагоналей дает нам н овую пентаграмму , а в пересечении ее сторо н мы снова видим правильный пятиугольник , открывающий возможность построения новой пентагр аммы . И так далее до бесконечности. Пентаграмма представляет собой в местилище золотых пропорций . На рис .3 среди отрезков H J , EH , EJ , EB отношение каждого последую щего к предыдущему равно золотой пропорции . Пентаграмма также содержит золотые треугольни ки – остроугольные с углами , , и тупоугольные с углами , и .Из рис . 4 видно , что остроугольный треугольник АВС разбивается на три треуг ольника золотой пропорции . В них стороны р авны : AD =1, DB =Ф, BC = AB =Ф +1=Ф 2 , AC = AE =Ф. Интересен еще один замечательный треуголь ник , в котором проявляется золотая пропорция . В этом тр еугольнике углы равны , и , а их отношение составляет 5:3:2. В нем отношение большого катета к гипотену зе равно половине золотой пропорции Ф /2. Эт о отношение отвечает равенству Ф /2 = cos . Отсюда вытекает формула , связывающая золотую пропорцию с числом : Ф = . Эта простая и по-своему красивая форму ла связывает число «пи» с золотой пропорц ией . Не свидетельствует ли это о фундамент альности золотой пропорции , о ее родстве с таким универсальным числом , как «пи» ? Хар актерно , что в рассмотренном треугольни ке отношение углов отвечает отношению небольших целых чисел 5, 3 и 2, а отношения сторон н есоизмеримы. Множество «золотых» фигур дополняет золот ой прямоугольник , отношение сторон которого р авно числу Ф . Золотой прямоугольник обладает м ногими необычными свойствами . Отрезав от него квадрат , сторона которого равна меньше й стороне прямоугольника , мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров . Продолж ая отрезать квадраты , мы будем получать вс е меньшие и меньшие золотые прямоугольники (рис .5) Тем самым будет построе н пример совершенного квадрируемого прямоугольни ка бесконечного порядка . Точки , делящие сторон ы прямоугольников в среднем и крайнем отн ошении , лежат на логарифмической спирали , закр учивающейся внутрь . Полюс спирали лежит на пересечении п унктирных диагоналей (ри с .6). Разумеется , «вращающиеся квадраты» , как их принято называть , могут не только закручи вать , но и раскручивать спираль . Для этого лишь требуется строить не уменьшающиеся , а все увеличивающиеся квадраты . Логарифмическая спираль – единственный тип спирали , не меняющей своей формы при увеличении размеров. Если в логарифмической спирали из центра О провести прямую , то образ ующиеся отрезки ОА , ОВ , ОС , О D и т . д ., полученн ые при пересечении прямой с витками спира ли , образуют геометричес кую прогрессию , то есть ОА /ОВ =ОВ /ОС =ОС / OD =… = m , где m – постоянное число. Отрезки радиуса , заключенного между посл едовательными витками спирали , также образуют прогрессию с отношением АВ /ВС =ВС /С D = … = n . Частным случаем спирали является такая , которая отвеча ет значению n , равному Ф , т . е . золотой пропорции . Такая спираль называется «кривой гармонического возрастания». -4- Вездесущий филлотаксис. Характерн ой чертой строения растений и их развития является спиральность . Еще Гете , который был не только великим поэтом , но и естествоиспытателем , считал спиральность одним из характерных признаков всех организмов , про явлением самой сокровенной сущности жизни . Сп ирально закручиваются усики растений , по спир али происходит рост ткани в стволах дерев ьев , по спирали рас п оложены семечк и в подсолнечнике , спиральные движения (нутаци и ) наблюдаются при росте корней и побегов . Очевидно , в этом проявляется наследственност ь организации растений , а ее корни следует искать на клеточном и молекулярном уровн ях . Исследования показал и , что движение протоплазмы в клетке часто спиральное . Ро ст клеток также может быть спиральным , как показал ученый Кастл . В жидкой среде клетки встречаются спиральные нити волокон – цитонем . И , наконец , носители информации – молекулы ДНК – также скручены в спираль . Следует отметить , что термин «спираль» не отражает точно строение молек ул ДНК ; более правильно говорить о винтово м расположении полипептидных цепей в этой молекуле . Во многих других случаях , рассмотр енных в ботанике , речь также идет , по с уществ у , не о спирали , а о ви нтовом расположении элементов структуры ; к со жалению , термины часто смешивают. Нет сомнений , что наследственная спираль ность является одним из основных свойств организмов , она отражает один из существенных признаков живого . На первый взгляд кажется , что в кристаллах неорганических веще ств спиральность или винтовая структура отсут ствуют . Однако более глубокие исследования по казали , что винтовое расположение атомов набл юдается и в некоторых кристаллах и выража ется в образовании так наз ы ваемых винтовых дислокаций . Такие кристаллы состоят из единственной винтообразной изогнутой атом ной плоскости . При каждом обороте вокруг о си эта плоскость поднимается на один шаг винта , равный межатомному расстоянию . Следует добавить , что кристаллы с тако й винтовой структурой обладают сверхпрочност ью . От винтовой структуры молекул ДНК до закручивания усиков растений – таковы ф ормы проявления спиральности на различных уро внях организации растений . Отчетливо проявляется эта особенность организации растений в закономерностях листорасположения. Существует несколько способов листорасполож ения . В первом листья побега располагаются строго один под другим , образуя вертикальны е ряды – ортостихи . Условная спираль , сое диняющая места расположения листьев на побеге , н азывается генетической , или основной спиралью , точнее , винтовой линией и делится на ряд листовых циклов . Генетическим этот винт называется потому , что расположение листьев в нем отвечает порядку появления в нем листьев . Проекция на плоскость листо располож е ния позволяет в долях ок ружности выразить угол расхождения листьев. Винтовое расположение листьев выражают дробью , числитель которой равен числу оборото в по стеблю воображаемого винта одного ли стового цикла , а знаменатель - числу листьев в данном цикле , с овпадающему с числ ом ортостих на стебле . Эта дробь позволяет рассчитать и угол расхождения листьев. Оказалось , что каждое растение характери зуется своим листорасположением . Так , у липы , вяза , бука , злаков листорасположение описываетс я формулой 1/2, у дуб а и вишни – 2/5, у малины , груши , тополя , барбариса – 3/8, у миндаля , облепихи – 5/13 и т.д . Нетрудно видеть , что в формулах листорасположения вс тречаются числа Фибоначчи , расположенные через одно . Посмотрим на сосновую шишку . Чешуйки на ее поверхности р асположены строго закономерно - по двум спиралям , которые пересек аются приблизительно под прямым углом . Число таких спиралей у сосновых шишек равно 8 и 13 или 13 и 21 . Такие же спирали видны в поперечных разрезах почек ; здесь числа с пиралей относятся к ак числа 3/5, 5/8, 8/13. В корзинках подсолн ечника семена также расположены по -5- двум сп иралям , их число составляет обычно 34 и 55, 55 и 89. Здесь вновь мы видим закономерное сочет ание чисел Фибоначчи , расположенных рядом : 2/3, 3/5, 5/8, 13/21 и т.д . Их отношение в пределе с тремится к числу = 0,61803… Рассмотренную закономерность расположения л истьев , чешуек , семян называют филлотаксисом. При изменении формулы листорасположения изменяется и угол расхождения листьев . Ф ормула 1/2 характеризует двурядное расположение лис тьев под углом друг от друга . При формул е 1/3 угол между листьями будет , а при формуле 2/5 - и т.д . В предельном случ ае , когда отношение чисел в формуле будет отвеч ать золотой пропорции - 0,38196… угол расхождения листьев станет равным , который был назван «идеальным» углом , или углом золотой пропорции ( =Ф 2 ). Установлено , что при расположении листьев под идеальн ым углом ни один лист не будет распол агаться точно над другим , чем создаются лу чшие условия для фотосинтеза. Зага дки египетских пирамид. Все на свете страшится времени А время страшится пирамид. Арабская пословица О египетских пирамидах с вос хищением писал греческий историк Геродот . Пер вым европейцем , с пустившимся в глубь п ирамиды , был римский ученый Плиний Старший . Согласно многим описаниям , эти гигантские м онолиты имели совсем иной вид , чем в н аше время . Они сияли на солнце белой г лазурью отполированных известняковых плит на фоне многоколонных прилега ю щих храмов . Рядом с царскими пирамидами стояли малые пирамиды жен и членов семьи фараонов. Среди гранд иозных пирамид Египта особое место занимает великая пирамида фараона Хеопса . Она сама я крупная и наиболее хорошо изученная . Чег о только не находили в ее п ропорц иях ! Число «пи» и золотую пропорцию , число дней в году , расстояние до Солнца , диа метр Земли и т.п . Однако при расчете эт их величин получались неточности , возникали н едоразумения , в результате чего подвергались сомнению даже простейшие пропорции в ра з мерах пирамиды и все сообщения о скрытых в геометрии пирамиды математичес ких сведениях объявлялись выдумкой. Правильная четырехгранная пирамида является одной из хорошо изученных геометрических фигур , символизирующих простоту и гармонию формы , олицетворяющ ую устойчивость , надежность , устремление вверх . Очевидно , размеры пирамиды : площадь ее основания и высота - не были выбраны случ айно , а должны нести какие-то геометрические , математические идеи , информацию об уровне з наний египетских жрецов . Причем следу ет напомнить , что эти знания составляли тайну и были доступны лишь ограниченному числу лиц , поэтому и в геометрии пирамиды о ни должны быть воплощены не в явной , а в скрытой форме . Методической ошибкой многих исследователей является то , что они использовал и р азмеры пирамид , выраженные в метрической сист еме мер . Но ведь египтяне пользовались дру гой системой мер ! Из этой системы и сл едует исходить при анализе размерных отношени й в пирамидах. Прежде чем приступить к анализу формы и размеров пирамиды Хеопса , сл едует учесть уровень знаний тех времен , психоло гию создателей пирамиды . У египтян было тр и единицы длины : локоть (466 мм ), равнявшийся с еми ладоням (66,5 мм ), которая , в свою очередь , равнялась четырем пальцам (16,6 мм ). Трудно допустить , что строители пир амиды пользовались исходными размерами , в ыраженными в долях локтя ; более очевидно , что основные исходные размеры были определены в целых единицах длины – локтях. Рассмотрим размеры пирамиды Хеопса (рис .7). Длина стороны основания – 6- пирамиды ( L ) принята равной 233,16 м . Эта вели чина отвечает почти точно 500 локтям . Очевидно , размер основания пирамиды при ее строитель стве и был определен в 500 локтей . Высота пира миды ( H ) оценивается исследователями различно от 146,6 до 148,2 м . И в зависимости от приня той высоты пирамиды изменяются и все отношен ия ее геометрических элементов . Поэтому на этой величине следует остановиться особо . Одним из чудес великой пи рамиды является очень точная подгонка ее каменных блоков и плит ; между ними букваль но нигде не про сунешь лезвия бритвы (0,1 мм ). Но никакого чуда здесь не оказалос ь . В процессе строительства каменные блоки не могли быть изготовлены столь точно : для этого у древних египтян просто не было средств – ни обрабатывающих , ни и змерительных . Но за длительное в р е мя под воздействием колоссального давления (д остигающего 500 тонн на 1 м 2 нижней поверхности ) произошла «у садка» конструкции , пластическая деформация строи тельных блоков , вследствие чего они и оказ ались так тесно подогнанными . В результате усадки высота п ирамиды стала меньше , чем она была в период завершения строи тельства . Какой же она была первоначально ? Ее можно воссоздать , если найти основную «геометрическую идею» , положенную в основу со оружения. Угол наклона граней пирамиды еще в 1837 году определил ан глийский полковник Г. Вайз : он равен . Указанному значению угла отвечает тангенс , равный 1,272. Эта величина , отвечающая о тношению высот пирамиды к половине ее основания , очень близка к корню квадратному из золотой пропорции = 1,27202 и является иррациона льной величиной . Поэтому , скорее всего , в о снову треугольника OMN пирамиды Хеопса и было заложено отношение OM / MN , равное . Итак , примем отношение катетов , т.е . выс оты пирамиды H к половине ее основания , равн ым 1,272. При этом высота пирамиды Хеопса будет равна точно 318 локтей , или 148,28 м . Такую высо ту , очевидно , имела пирамида Хеопса при за вершении ее сооружения ( или должна была и меть по проекту ). Таким образом , основные элементы конструк ции пирамиды имел и следующие размеры : сторона основания – 500 локтей , высота – 318 л октей . Отсюда следует , что апофема боковой грани ON рав на 404,5 локтя . А теперь посмотрим , какие интересные с оотношения следуют из этих геометрических раз меров . Отношения сторон в треуголь нике OMN пирамиды равно : OM/MN=ON/OM=1,272= ; ON/MN= Ф . Рассмотрим теперь поверхность пирамиды . О на состоит из четырех треугольников и ква драта основания . Основание треугольника BOC равно 500 локтям , высота его равна 404,5 локтя . По теореме Пифаг ора можно рассчитать длину боковых ребер OB и OC . Они равны 475,5 локтя . Площадь основания пирамиды равна 250000 кв . локтей , площадь боковой грани 101125 кв . локтей , а площадь четырех граней пирамиды равна 404500 кв . локтей . Отношение поверхности граней к площади основания также равно золот ой пропорции. Еще Геродот , основываясь на рассказах египетских жрецов , писал , что площадь квадрата , построенного на высоте пирамиды , равна п лощади каждой из его боковых граней . По нашим расчетам , квадрат высоты равен 31 8 2 = 101127 кв . локте й , что почти точно отвечает площади боково й грани (101125 кв . локтей ). Многие исследователи указывают , что отнош ение удвоенной стороны основания 2 L к высоте пир амиды H о твечает числу «пи» . Однако в связи с т ем , что высота пирамиды прин ималась ра вной современной и не всегда однозначной , число «пи» получалось разным : 3,16-3,18. На почве этого возникали сомнения , предпринимались различн ые подгонки , стали говорить даже о некоем «египетском » , равном 3,16. Если принять высоту пирамиды равной 318 локтям , то отношение 2 L / H =1000/318 будет равно 3,144. Эта величина очень близка к современно му значению числа «пи» (3,14159… ). – 7- Интересно с равнить два основных отношения , установленных нами при изучении геометрических пропорций пирамиды : 2 H/L= и 2 L/H= . Отсюда получаем простую и красивую формулу , связывающую число «пи» и золотую пропорцию : 4/ = . Гениальные создатели пирамиды Хеопса стре мились поразить далеких потомков глубиной сво их знаний , и они достигли этого . Следует лишь удивляться высокому знанию и искусству древних математиков и архитекторов Египта , которые смогли воплотить в пирамиде две иррациональные (т.е . неизмеримые ) величины – и Ф со столь поразительной точностью , опер ируя исхо дными отношениями целых чисел – стороной основания и высотой пирамиды , выраженных в локтях . Золотая п ропорция в искусстве Древней Греции. Великолепные памятники архитект уры оставили нам зодчие Древней Греции . И среди них первое место по праву прин адле жит Парфенону. Всю вторую половину V в . до н.э . на Акрополе шло строительство храмов , пропи лей (преддверий ), алтаря и статуи Афины Вои тельницы . В 447 году начались работы над храм ом Афины – Парфеноном и продолжались до 434 года до н.э . Для создания гармон и ческой композиции на холме его строители даже увеличили холм в южной части , сооруди в для этого мощную насыпь. Как указывает исследователь Г . И . Сок олов , протяженность холма перед Парфеноном , дл ины храма Афины и участка Акрополя за Парфеноном относятся ка к отрезки золот ой пропорции . При взгляде на Парфенон от места расположения пропилей отношения массив а скалы и храма также соответствуют золот ой пропорции . Таким образом , золотая пропорция была использована уже при создании компо зиции храмов на священном х о лме. Размеры П арфенона хорошо изучены , но приводимые замеры не всегда однозначны . Следует учесть , о чем сказано ниже , что геометрия архитектуры храма очень непростая – в ней почти отсутствуют прямые линии , поэтому определени е размеров затруднено . Известно , что фаса д Парфенона вписан в прямоугольник со сто ронами 1 : 2 , а план образует прямоугольник со сторонами 1 и . Известно , что диагонал ь прямоугольника 1:2 и меет размер , следовательно , прямоугольн ик фасада и является исходным в построени и геометрии Парфенона. Ширина Парфенона оценена в 100 греческих футов (3089 с м ), а размер высоты несколь ко варьирует у различных авторов . Так , по данным Н . Бруно , высота Парфенона 61,8 , высот а трех ступеней основания и колонны – 38,2 , высота перекрытия и фронтона – 23,6 футов . Указанные размеры образуют ряд золотой про порции : 1 00 : 61,8 = 61,8 : 38,2 = 38,2 :23,6 = Ф. Многие исследователи , стремившиеся раскрыть секрет гармонии Парфенона , искали и находил и в соотношениях его частей золотую пропо рцию . В работе В.Смоляка , посвященной изучению пропорций Парфенона , установлен закон оме рный ряд золотых пропорций . Приняв за един ицу ширину торцового фасада храма , Смоляк получил прогрессию , состоящую из 8 членов ряда : 1: : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 . Указанным членам ряда отвечают основные проп орции фасада Парфенона (рис .8). В н екоторых сооружениях древнего мира золотая пр опорция выражена не в пропорциях формы зд аний , а в деталях внутренней композиции , даже в числе мест для зрителей . Интер есные данные приводит Э.Сороко . Построенный По ликлетом-младшим театр был рассчитан на 15 тысяч зрителей . Места для зрителей (театроп ) име ли 2 яруса : первый - 34 ряда мест , а второй – 21 ряд (числа Фибоначчи ). Раствор угла , охватывающего пространство между театроп ом и скемой (пристройка для переодевания а ктеров и хранения реквизита ), делит окружность основания амфитеатра – 8- в отн ошении : , что равно 1: 1,618… . Это соотношение углов реализовано практи чески во всех античных театрах . Театр Дион и са в Афинах трехъярусный . Первый ярус имеет 13 секторов , второй – 21 сектор . Древние скульпторы знали и использовали золотую пропорцию как критерий гармонии , канон красот ы , корни которой лежат в пропорциях челов еческого тела . “Человеческое тело – лучшая красота на земле” , - утверждал Н.Чернышев ский . Эталонами красоты человеческого тела , об разцами гармонического телосложения издавна и по праву считаются великие творения гречес ких скульпторов : Фидия , Поликлета , Мирона , Пракс ителя . В создании своих творени й греческие мастера использовали принцип золотой пропорции . Центр золотой пропорции строения человеческого тела располагался точно на месте пупка . И не случайно величину зол отой пропорции принято обозначать буквой Ф ; это сделано в честь Фидия – творца бес с мертных скульптурных произведений . Одним из высших достижений классического греческого искусства может служить статуя “Дорифор” , изваянная Поликлетом . Фигура юноши выражает единство прекрасного и доблестного , лежащих в основе греческих принципов искус ства . Широкие плечи почти равны высоте туловища , высота головы восемь раз укладыва ется в высоте тела , а золотой пропорции отвечает положение пупка на теле атлета. Но п роанализируем другие пропорции знаменитой статуи . Расстояние от подошвы копьеносца до его колена равна 3 , высота шеи вместе с головой - 4 , длина шеи до уха - 5 , а ра сстояние от уха до макушки - 6 . Таким образом , в это й статуе мы видим геометрическую прогре ссию со знаменателем : 1, , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . (рис .9). Таким образом , золотое сечение – од ин из основополагающих принципов в искусстве античной Греции. Ритмы сердца и мозга. Равноме рно бьется сердце человека – около 60 удар ов в минуту в состоянии покоя . Сер дце как поршень сжимает , а затем выталкив ает кровь и гонит ее по телу . Предсерд ия выполняют роль резервуара , принимающего кр овь из вен , а желудочки - насоса , ритмически перекачивающего кровь в артерии . Давление крови изменяется в процессе работы сердца. Наибольшей величины оно достигает в левом желудочке в момент его сжатия (систолы ) . В артериях во время систолы желудочков кровяное давление достигает максима льной величины , равной 115-125 мм рт.ст . у здоров ого молодого человека . В момент расслабления сер д ечной мышцы (диастолы ) давлен ие снижается до 70-80 мм рт.ст . Отношение макси мального (систолического ) к минимальному (диастоли ческому ) давлению равно в среднем 1,6 ,т.е . бли зко к золотой пропорции. Сердце бьется непрерывно – от рожде ния человека до его с мерти . Его ра бота должна быть оптимальной , обусловленной з аконами самоорганизации биологических систем . Отк лонения от оптимального режима вызывают разли чные заболевания . А так как золотая пропор ция является одним из критериев самоорганизац ии в живой приро д е , естественно предположить , что и в работе сердца воз можно проявление этого критерия . Нужны были глубокие исследования , и они были проведены советским ученым В.Д .Цветковым . При работе сердца возникает электрический ток , который можно уловить специальным прибором и получить кривую – электрокардиограмму (ЭКГ ) с характерными зубцами , отражающими различные циклы работы сердца . На ЭКГ человека выделяются два участка различной длительности , соответствующие систолической и диастолической деятельности сердца . В. Ц ветков устан овил , что у человека и у других млекоп итающих имеется оптимальная («золотая» ) частота сердцебиения , при которой длительности систолы , диастолы и полного сердечного цикла соот носятся между собой в пропорции 0,382 : 0,618 : 1 , т.е . в полном – 9- соответствии с золотой пропо рцией . Так , например , для человека эта част ота равна 63 ударам в минуту , для собак – 94 , что отвечает реальной частоте сердцебиен ия в состоянии покоя. Далее В.Цветков обнаружил , что систолическое давление крови в аорте равно 0 ,382 , а диастолическое – 0,618 от среднего давления крови в аорте . Доля объема л евого желудочка при ударном выбросе крови по отношению к конечнодиастолическому объему у десяти видов млекопитающих в состоянии покоя составляет 0,37-0,4 , что в среднем т а кже отвечает золотой пропорции . Т аким образом , работа сердца в отношении вр еменных циклов , изменения давления крови и объемов желудочков оптимизировано по одному и тому же принципу – по правилу зо лотой пропорции. Мозг человека представляет собой сложнейш ую самонастраивающуюся систему , основным наз начение которой является регуляция деятельности различных органов человеческого тела , осущес твление связи человека с окружающей средой . В составе мозга различают серое и бело е вещества . Серое вещество представляе т собой скопление нервных клеток , белое – нервных волокон , отростков этих клеток . Нервная клетка с отростком называется нейр оном . Нейроны мозга образуют разнообразные се ти , взаимодействующие с помощью электрических сигналов . Конфигурации нейронных сетей пр едстав ляют собой колебательные электрические цепи . Различным состояниям мозга соответствуют электри ческие колебания с разными частотами . Многочисленные исследования показали , что в мозгу взрослого человека при различных его состояниях преобладают электрич еские колебания определенных частот . Изменение активаци и мозга происходит не непрерывно , а только дискретно , скачками от одного уровня к другому . Каждому состоянию мозга соответствуют свои специфические волны электрических колеб аний . Состоянию спокойного бодрствования отве чает наиболее устойчивый - ритм с частотами колебани й преимущественно от 8 до 13 герц . Это основн ой ритм электрических колебаний мозга , он появляется в детском возрасте и постепенно с возрастом увеличивается с 2-3 до 8-13 гц в возрасте 8-16 лет . Наиболее медленные коле бания с частотой 0,5 – 4 гц у - ритма , характерно для состояния глубокого сна . Для - ритма верхня я граничная частота достаточно стаби льна и равна 3-4 гц , а пределы нижней граничн ой частоты изменяются от 0,2 до 1,5 гц. При появлении неприятности или опасности в мозгу доминирует - ритм с частотами от 4-7 до 6-8 (по данным различных авторов ). Советские учены е-братья Я.и А . Соколовы считают , что наиболее устойчивы для - ритма граничные част оты колебаний 4 - 7 гц . Умственной работе отвечае т - рит м с граничными частотами 14-35гц . (по други м данным , диапазон частот этого ритма более широк – от 14 до 100гц ). Эмоциональ ному возбуждению мозга соответствует - ритм с г раничными частотами 35-55 гц . Нетрудно заметить , чт о граничные частоты ритмов почти точно от вечают числам Фибоначчи . Отклонения граничны х частот от чисел Фибоначчи находятся в пределах точности эксперимента . Соколовы считаю т , что существуют еще не обнаруженные опыт ами - р итм и - ритм . Расчеты показали , что у - ритма пограничные частоты 118 и 225 гц , а у - ритма - 55 и 118 гц . И здесь очевидна близость чисел Фи боначчи. Исследования в этой области только на чинаются , впереди - открыт ие самых сокровен ных тайн организации и работы мозга челов ека , закономерности его эволюции. Алгебра м узыки. В композиции многих музыкальных произведений отмечается наличие некоторого « кульминационного взлета» , высшей точки , причем такое построение – 10- характерно не только для произведения в целом , но и для его отдельных частей . Такая высшая точка крайне редко расположена в центре произведения или его композиционной части , обычно она смещена , асимметрична . Изучая восьм итактные мелодии Бетховена , Шопена, Скр ябина , советский музыковед Л.Мазель установил , что во многих из них вершина , или высш ая точка , приходится на сильную долю шесто го такта или на последнюю мелкую долю пятого такта , т.е . находится в точке золо того сечения . По мнению Л.Мазеля , число под обн ы х восьмитактов , где подъем мел одии занимает пять тактов , а последующий с пуск – три , необычайно велико . Их можно без труда найти почти у каждого автора , сочинявшего музыку в гармоническом стиле . Очевидно , такое расположение к ульминационных моментов музыка льной мелодии является важным элементом ее гармонической композиции , придающим художественную выразительн ость и эстетическую эмоциональность мелодии. Характерно , что в некоторых случаях авторы музыкальных произведений смещали их ве ршину от точки золотого сечения , что придавало мелодиям неустойчивый характер . По мнению Л.Мазеля , это входило в намерения авторов , например , при сочинении скерцо , рон дообразных финалов. Наиболее обширное исследование проявлений золотого сечения в музыке было предпринято Л.Саба неевым . Им было изучено две тысячи произведений различных композиторов . По его мнению , временное протяжение музыкального произведения делится «некоторыми вехами» , ко торые выделяются при восприятии музыки и облегчают созерцание формы целого . Все эти музыка л ьные вехи делят целое н а части , как правило , по закону золотого сечения . По наблюдениям Л.Сабанеева , в музыкальных произведениях различных композиторов обычно констатируется не одно золотое сечение , а целая серия подобных сечений . Каждое такое сечение от ражает свое музыкальное собы тие , качественный скачок в развитии музыкальн ой темы . В изученных им 1770 сочинениях 42 компо зиторов наблюдалось 3275 золотых сечений . Количество произведений , в которых наблюдалось хотя бы одно золотое сечение , составило 1338. Наибольшее количество музыкальных произведен ий , в которых имеется золотое сечение , у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Скря бина (90%), Шопена (92%), Шуберта (91%). Наиболее детально были изучены все 27 этюдов Шопена . В них обн аружено 154 золот ых сечения ; всего в трех этюдах золотое сечение отсутствовало . В некоторых случаях строение музыкального произведения сочетало в себе симметричность и золотое сечение одно временно ; в этих случаях оно делилось на несколько симметричных час т ей , в каждой из которых проявляется золотое се чение . У Бетховена также сочинения делятся на две симметричные части , а внутри каж дой из них наблюдаются проявления золотой пропорции. Характерно , что наиболее часто золотое сечение обнаруживается в произведен иях высокохудожественных , принадлежащих гениальным авт орам . Может быть , частота проявлений золотой пропорции является одним из объективных кр итериев оценки гениальности музыкальных произвед ений и их авторов ? Итак , можно признать , что золотая про порция явл яется критерием гармонии композ иции музыкального произведения. Музыка ст ихов. Многое в структуре произведений поэзии роднит этот вид искусства с музыкой . Каждый стих облад ает своей музыкальной формой – своей рит микой и мелодией . Можно ожидать , что в стро ении стихотворений проявятся некоторые черты музыкальных композиций , закономерности му зыкальной гармонии , а следовательно , и золотая пропорция , и числа Фибоначчи . -11- Исследования поэтических произведений с этих позиций то лько начинаются . И начинать нуж но с поэзии А.С.Пушкина . Ведь его произведения - об разец наиболее выдающихся творений русской ку льтуры , образец высочайшего уровня гармонии . С поэзии А.С.Пушкина мы и начнем поиски золотой пропорции – мерила гармонии и кр асоты. Для анализа метрики стихот ворений А.С.Пушкина рассмотрены его произведения период а 1829-1836 г.г ., периода создания наиболее совершенны х стихов . Сюда вошло 109 стихов . Число строк в стихотворениях этого периода изменялось от 4 до 116. Однако большие стихотворные формы встречаются р едко ; число стихотворе ний с количеством строк более 60 составило всего 9 штук . Средний размер этих стихотворений составил 88 строк. Казалось бы , величина стихотворения , опред еляемая числом строк , может изменяться произв ольно и непрерывно от самой малой в ч етыре строки до самых больших . Однако оказалось , что это не так . Размеры сти хов распределены совсем не равномерно ; выделя ются предпочтительные и редко встречающиеся р азмеры . На графике распределения стихотворений А.С.Пушкина по числу строк в них отчетли во выделяется несколько максимумов - на иболее встречающихся размеров (рис .10). Они явно тяготеют к числам 5, 8, 13, 21, 34. Проявляется вполне закономерная тенденция в творческой манере поэта – он явно предпочитает стихотворени я , размер которых близок к чис л ам ряда Фибоначчи. Только ли стихотворения А.С . Пушкина т яготеют в своих размерах к числам Фибонач чи ? Конечно , нет . И у других поэтов про является тяготение размера стихов к 8,13,21 строчка м , но ни у одного из русских поэтов эта тенденция не выражена так о тче тливо , как у А.С.Пушкина . Стихотворения В.Брюсов а отличаются совершенством своих форм . И н еудивительно , что в их размерности также п роявляются числа Фибоначчи . Было проанализировано 360 стихотворений поэта из его двухтомника ; эти стихи охватывали перио д от 1882 до 1912 года . Только в трех стихотворениях ч исло строк составило 70, 85, 90 (что в среднем бли зко к числу Фибоначчи 89). Остальные стихотворен ия содержали значительно меньше строк – от 8 до 36 и крайне редко несколько больше . Среди рассмотренных стихотворений В.Брюс ова явно преобладают те , в которых число строчек равно или близко к числам Фи боначчи . Они распределены следующим образом : стихотворения с числом строк 8 25 шт. 7% - * - 13 1 77 шт . 21,5% - * - 21 1 70 шт . 19,6% - * - 34 2 36 шт . 10,0% Общее число этих стихотворений составило 208 шт . или 58%. К остальным относятся стихотво рения с числом строчек 10, 14, 16, 18, 24, 26, 28, 31 , 32 и т.д . Поэ т явно предпочитал стихот ворения с чи слом строк 8, 13 1, 21 1 как наиболее оптимальные д ля выражения мыслей и чувств . Обратимся вновь к произведениям А.С.Пушки на . Рассмотрим композицию «Пиковой дамы» . В этой повести кульминационным моментом является сцена в спальне графини , куда проник Германн в надежде узнать тайну трех карт , сцена , котор ая оканчивается смертью графини в повести 853 строки . Кульминационный мо мент повести – это смерть графини . Ему отвечает 535 – я строка . Эта строка расположен а в повести почти точно в месте золот ого сечения , т.к . 853:535=1,6 . Повесть «Пиковая дама» состоит из шести глав . Посмотрим , не проявляется ли в композиции глав золотая пропорция ? В первой главе золотому сечению отвечает 68 ст рочка (всего в главе 110 строк ). Но ведь э то же узловая точка повествования , в ней переломный момент всей главы : откроет ли Сен - Жермен свою тайну графине ! Вторая глава повести содержит 219 строк . Золотое сечение здесь приходится на 135 строк у . Но ведь это кульминационный момент глав ы , Лиза увидела в окне – 12- стоящего на улице Германна ! Отсюда начался для нее новый отсчет време ни , начались события , определившие всю ее дальнейшую судьбу . А. С.Пушкин совершенно точно определил это место во второй главе : ведь 219:135 = 1,62. Третья глава повести описывает усилия Германна попасть в дом старой графини , выведать у нее тайну трех карт. Это место начинает новый отсчет времени для Германна . Эта ситуация приходится на 131 стр оку третьей главы , а всего в ней 212 стро к . Разделив 212 на 131, мы получим точно золотую пропорцию 1,618! В четвертой главе размером 113 строк зо лотая пропорция прих одится на 70 строку . Это также переломный , трагический момент в жизни Лизы . В пятой главе описано посещение Герм анна похорон графини . 46 строка пятой главы разделила повествование на две части : первая - похороны графини и вторая – сон Гер манна . Эта 46 ст рока также отвечает золо той пропорции , ведь всего в этой главе 75 строк (75:46=1,63). В последней главе повести золотая пр опорция приходится на 77 строчку , которая заверш ает описание первого дня игры Германна в карты и первого его выигрыша . Как вид им , и в композиции последней главы п овести присутствует золотая пропорция. Золотая пропорция присутствует и в к омпозиции других произведений Пушкина . В расс казе «Станционный смотритель» 377 строк . Кульминацио нный момент рассказа – это известие о том , что дочь см отрителя уехала с гусаром . Этот момент отражен во фразе , к оторая является 214 строкой . Здесь почти точное соответствие золотой пропорции . В маленьком рассказе «Гробовщик» всего 229 строк . Со 139 строки начинается описание ст рашного сна гробовщика . И здес ь перело мный момент рассказа приходится почти точно на золотую пропорцию (229:1,618=141 строка ). Совпадение кульминационных моментов в п роизведениях А.С.Пушкина с золотой пропорцией удивительно близкое , в пределах 1-3 строк . Чувств о гармонии у него было р азвито не обыкновенно , что объективно подтверждает гениальн ость великого поэта и писателя. Заключение. Рациональные и иррациональные числа являются своеобразными противоположностями . Но природа едина , и ее противоположности не только находятся в противо действии , борьбе , но и в един стве . И не удивительно , что многие иррацио нальные числа выражаются через совокупность ц елых чисел . Все три числа : , e и Ф – связаны между собой простыми отношениями и могут быть выражены в виде пре делов бесконечных дробей . Кроме того , на примере золотой п ропорции показано , что целые числа натурально го ряда : 1, 2, 3, … могут быть выражены через иррациональное число Ф . Кроме того , число Ф с любой степенью точности может быть выражено через отношение целых чи сел . Разве эти примеры не свидетельствуют о единстве рационального и иррационального в природе ?! Мы так часто говорим о единстве и борьбе противоположностей , что это понятие стало тривиальным , само собой разумеющимся и не требующим исследования . М ожет быть , поэтому этот фундаментальный закон прир оды так мало исследован и углублен и , что характерно , почти совершенно не математиз ирован . А между тем он достоин самого пристального изучения и развития – ведь это один из основных , наиболее общих закон о в мироздания. -13- Список литературы : 1. Н . Васютинский “Золотая пропорция” – М.,”Молодая гва рдия” , 1990 2. А . Азевич “Двадцать уроков гармонии” – М ., “Школа -Пресс” , 1998 3. М . Гарднер “Математические головоломки и развлечени я” – М ., “Мир” , 1971 4. Д . Пидоу “Геометрия и искусство” – М ., “Мир” , 1989 5. Энцик лопедический словарь юного математика – М .,1989 6. Журна л “Квант” , 1973, № 8 7. Журна л “Математика в школе” , 1994, № 2, № 3 -14-
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
- Вы так молодо выглядите! В чём ваш секрет?
- Мне восемнадцать лет...
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru