Реферат: Зарождение науки о закономерностях случайных явлении - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Зарождение науки о закономерностях случайных явлении

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 34 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Зарождение науки о за кономерностях случайных явлении Понятие ве роя тности и зарождение науки о закономерностях случайных явлении . Случай , случа йность — с ними мы встречаемся повседневно : случайная встреча , случайная поломка , случайная находки , случайная ошибка . Этот ряд можно продолжать бесконечно . Казалось бы , тут лет ме ста для математики — какие уж законы в царстве Случая ! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности — они позволя ют человеку уверенно чувствовать себя при встреча со случайными событиями. Как наука теория вероятности зародилась в 17в . Возникновение по нятия вероятнос ти было связано как с потребностями страх ования , получившего значительное распространение в ту эпоху , когда заметно росли торговые связи и морские путешествия , так и в связи с запросами азартных игр . Слово “азарт” , под которым обычно понима е тся сильное увлечение , горячность , являетс я транскрипцией французского слова hazard , буквально означающ его “случай” , “риск” . Азартными называют те игры , а которых выигрыш зависит главным образом не от умения игрока , а от с лучайности . Схема азартных игр был а оч ень проста и могла быть подвергнута всест ороннему логическому анализу . Первые попытки этого рода связаны с именами известных уч ёных — а лгебраиста Джероламо Кардана (1501- 1576) и Галилео Галилея (1564 — 1642). Однако честь откр ытия этой теории , которая не только даёт возможность сравнивать случайные величины , но и производить определенные математические оп ерации с ними , принадлежит двум выдающимися ученым — Блезу Паскалю (1623 — 1662 ) и Пьеру Ферма . Ещё в древности было замечено , что имеются яв ления , которые об ладают особенностью : при малом малом числе наблюдений над ними не наблюдается никакой правильности , но по мере увеличения числа наблюдений всё ясн ее проявляется определенная закономерность . Всё началось с игры в кости. Азартные игры практиковались в ту пор у главным образом среди знати , феодало в и дворян . Особенно распространенной была игра в кости . Было замечено . что при многократном бросании однородного кубика , все шесть граней которой отмечены соответственно числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 число очков от 1 до 6 выпадают в сред нем одинаково часто , иными словами , выражаясь языком математики , выпадение определённого ч исла очков имеет вероятность , равную 1/6 (т.е . отноше нию числа случаев , благоприятствующих событию к общему числу всех случаев '). Аналогично в ероятност ь появления на верхней грани кости чётного числи очков равна 3/6 ,так как из шести равновозможных случаев чётное чис ло появляется только в трёх . Один из представителей французской знати того времени , страстный игрок де Мере написал одному из крупнейших уч ёных тоги времени Блезу Паскалю письмо , в ко тором просил ответить на ряд вопросов , воз никших у него в связи с игрой к к ости. Задача кавале ра де Мере . Кавалер де Мере , один из французских придворных , был азартным игроком . Денежный вы игрыш при игре в косит о бычно зависит от комбинации выпивших чисел , на которую д елается ставки. Одна из таких комбинаций — выпадение х отя бы одной шестёрки при четырёх бросани ях игральной кости . Де мере смог подсчитат ь число шансов этой комбинации . Общее числ о исходов при четырёх б росаниях играл ьной кости равно 6 4 =1296. Число шансов появления хотя бы одной шестерки составляет 6-5 =671 , так как шестёрки не выпадает ни разу в 5 случаях . Сл едовательно , вероятность выпадения хотя бы од ной шестёрки при четырёх бросаниях равна 671/1296~ 0,518> 1/2, поэтому при четырёх бросаниях выгодно делать ставку на то , что выпадет хотя бы одни шестёрка . чем на то , что н е выпадет ни одной . Повидимому , многие опы тные игроки знали , что первая комбинация п оявляется чаще , чем вторая , и найти партнё ра ни та кую игру было трудно . Боле е сложные комбинации возникали , если бросали сразу две кости . Де Мере пытался определить , сколько раз надо бросить пару костей , ч тобы вероятность хотя бы одного появления двух шестёрок была больше 1/2. Он подсчитал , что достаточн о 24 бросаний . Однако опыт игрока зас тавил де Мере сомневаться в правильности своих вычислений . Тогда он обратился с это й задачей к математику Блезу Паскалю , кото рый предложил правильное решение . Учёный опре делил , что при 24 бросаниях пары костей две ше стё рки появляются хотя бы раз с в ероятностью , меньшей 1/2, а при 25 бросаниях — с вероятностью , больше й 1/2. В самом деле , если бросить один раз пару костей , две шестёрки выпадут с вероятностью 1/36, а не в ыпадут — с вероятностью 1-1/36=35/36. При n бросаниях па ры костей число шансов непоявления пары шестерок рав но 35 , а общее число исходов составит 35. Поэтому игрок , делающий ставку на событие А выигрывает примерно а 50,5% игр , а игрок , делающий ставку на со бытие А — примерно в 49,1% игр . Эта задача кавалера де Мере заставила Паскаля заняться изучением случайных событий . А в переписке Блеза Паскаля и Пьера Ферма впервые ст али упоминаться понятия теории вероятностей . Подсчёт всех возможных и благоприятствующих д анному событию случаев нередко представляет б ольшие т рудности . Вот почему для решения таких задач некоторые игроки обращались к крупным учёным . Рассказывают , что Гюйгенсу был задан такой вопрос : “Если бросить одновременн о три игральных кости , то какая сумма очков будет выпадать чаще — 11 или 12?” Подсчёт всех различных случаев здесь прост : N =6 =216. Подсчёт же М здесь сложен . Сумма 11 может получиться следующими шестью раз личными способами : 1+4+6, 1+5+5, 2+3+6, 2+4+5, 3+3+5 . 3+4+4. Также шестью различными спос обами образуется сумма 12: 1+5+6, 2+4+6, 2+5+5, 3+3+ 6, 3+4+5, 4+4+4. Это обстоятельство наводит на мысль, будто обе суммы должны п оявляться одинаково часто . Однако это неверно . Уже на практике было замечено , что су мма 11 п оявляется чаще суммы 12. Дело а том , что вышеуказа нные по три числа сами по себе неод инаково часто выпадают . Так , если кажд ую из т рех костей окрасить по-разному , скажем в б елый , красный и зелёный цвет , то становится ясным , что сочетание , а котором имеются три различных слагаемых , например (1+4+6), может получаться шестью различными спос обами : 1) 1 бел . + 4 красн . + 6 зел .; 2) 1 бел . + б красн . + 4 зел .: 3) 4 бел . + 1 красн . + 6 зел .; 4) 4 бел . + 6 красн . + 1 з ел .; 5) 6 бел . + 1 красн . + 4 зел .; 6) б бел . + 4 красн . + 1 зел . Аналогично сочетание с двумя одинаков ыми слагаемым и , например (2+5+5), может получить ся тремя различными способами , в то время как сочетания с одинаковыми слагаемыми , в роде (4+4+4), получается единственным способом . И во т для 11 очков мы получим , таким образом , не шесть различных способов , а 1*6 + 1*3 + 1*6 + 1*6 + 1*3 + 1*3 = 27. Для суммы же 12 число различных спосо бов будет : 1*6 + 1*6 + 1*3 + 1*3 + 1*6+ 1 = 25. Решение порой довольно сложных задач , с которыми обращались заинтересованные лица к Паскалю , Ферма , Гюйгенсу , способствовало разра ботке основн ых понятий и общих принци пов теории вероятностей , в том числе и правил действия над ними . Отсюда не следует , ко нечно , заключать , что основоположники теории в ероятностей рассматривали азартные игры как е динственный или главный предмет разрабатывавшейс я ими новой отрасли науки . На развит ие теории вероятностей оказали влияние более серьёзные потребности науки и запросы пр актики , в первую очередь страховое дело , н ачатое в некоторых странах ещё в 16в . В 16-17вв . учреждение страховых обществ и стра хование судов о т пожара распростран ились во многих европейских странах . Азартные игры были для ученых только удобной моделью для решения задач и анализа понят ий теории вероятности . Об этом заметил ещё Гюйгенс в своей книге “О расчётах в азартной игре” (1657), которая бы л а первой книгой в мире по теории вероятн остей . Он писал : “...при - внимательном изучении предмета читатель заметит , что он занимаетс я не только игрой , а что здесь даются осн овы глубокой и весьма интересной” . Гюйгенс впервые ввёл важное для теории вероятнос тей понятие математического ожидания , кот орое получило дальнейшее развитие а трудах Даниила Бернулли , Даламбера и др . Понятие математического ожидания находит немало примен ений а разных других областях человеческой деятельности. Таким образом , в 60-е годы 17в . были выработаны первые понятия и некоторые элементы теории вероятностей . В последующие два века учёные столкнулись с множеством новых задач , связанных с исследованием сл учайных явлений . Играет ли природа в кости ? В середине 19в . преподаватель Высшей р еальной школы , в городе Брюнне Грегор Иоганн Мендель производил свои ставшие в последствии знаменитыми опыты с горохом , в результате которых были открыты законы нас ледственности . Мендель скрестил два сорта гор оха с жёлтыми и зелёными семенами , после чего р а стения дали только же лтые семена (первое поколение гибридов ). После самоопыления растений , выраженных из этих семян (второе поколение гибридов ), появился горох и с жёлтыми , и с зелёными семена ми Мендель подсчитал , что отношение числа растений с жёлтыми се м енами к числу растений с зелеными семенами равно 3,01. Учёный скрещивал также сорта гороха , разл ичающиеся либо по форме плода , либо по расположению цветков , либо по размерам раст ении и т.п . И каждый раз в первом п околении обнаруживался только один из прот и воположных родительских признаков— его Мендель назвал доминантным (от лат. dominatus — "госпо дство "), лишь во втором поколении проявлялся и другой— регрессивный (от . лат. recessus — “отст упление” ), В опытах Менделя отношение числа растений с доминантным признак ом к числу растений с рецессивным признаком было равно 3,15; 2,95; 2,82 ; 3,14;2,84 , т. е . во всех случаях оказывалось близким к 3. Впоследствии немецкий зоолог Август Бейсман и американский биолог Томас Хант Морган объяснили результаты опытов Менделя . Испол ьзуем с той же целью урновую схем у . Предположим , что два элементарных носителя наследственности— доминантный ген А и р ецессивный ген а— отвечают в организме за некий признак . При этом данный признак задаётся парой генов АА , Аа , аА или аа , и особи с генами А А , Аа , аА имеют домина нтный признак , а особи с генами аа — р ецессивный . При скрещивании гороха АА с горохом аа гибрид получает от каждого родителя по 1 гену , поэтому все особи первого поколе ния имеют пару генов Аа или а А и у них обнаруживается доминантный п ризнак : например , семена желтого цвета . От родителей с парами гено в Аа и ли аА можно получить особь АА , Аа , аА или аа . Все эти сочетания одинаково возможны , значит , особь аа с рецессивным признаком проявляется с вероятностью 1/4, а ос обь АА , Аа или аА с дом инантным признаком— с вероятностью 3/4. Механизм наследования так же случаен , как и исход бросания монеты или игральной кости . Поэтому можно сказать , что природа иногда “ играет в кости”. Основные понятия теории вероятности Теория веро ятности , как и любой раздел математики , оперирует определё нным кругом понятий . Большинству понятий теор ии вероятностей даются определение , но некото рые принимаются за первичные , не определяемые , как в геометрии точка , прямая , плоскость . Первичным понятием теории вероятност ей является событие . Под событием понимают то , относительно чего после некоторого моме нта времени можно сказать одно и только одно из двух : Да , оно произошл о. Нет , оно не произошло. Например , у меня есть ло терейный билет . После опубликования результатов розыгрыша лотереи интересующее меня событие – выигрыш тысячи рублей либо происходит , либо не происходит . Любое событие происходи т вследствие испытания (или опыта ). Под исп ытанием (или опытом ) понимают те ус ловия , в результате которых происходит событи е . Например , подбрасывание монеты – испытание , а появление на ней “герба” – событи е . Событие принято обозначать заглавными лати нскими буквами : A , B , C ,… . События в материальном мире можно ра збить на три категории – достоверные , невозможные и случайные. Достоверное событие – это такое с обытие , о котором заранее известно , что он о произойдёт . Его обозначают буквой я . Так , достоверным является выпаден ие не более шести очков при бросании обычно й игральной кости , появление белого шара при извлечении из урны , содержащей только белые шары , и т.п. Невозможное событие – это событие , о котором заранее известно , что оно не произойдёт . Его обозначают буквой я . Примерами нево зможных событий являются и звлечение более четырёх тузов из обычной карточной колод ы , появление красного шара из урны , содерж ащей лишь белые и чёрные шары , и т . п. Случайное событие – это событие , к оторое может произойти или не произойти в результате испытания . События А и В назы вают несовме стными , если наступление одного из них иск лючает возможность наступления другого . Так п оявление любого возможного числа очков при бросании игральной кости (событие А ) несовместно с появлением иного числа (событие В ). Выпадение чётног о числа очк ов несовместно с выпадение м нечётного числа . Наоборот , выпадение чётного очков (событие А ) и числа очков , кратного трём (событие В ),не будут несовместными , ибо выпадение шести очков означает наступление и событ ия А , и события В , так что н аступление одного из них не исключает наступление другого . С событиями можно сове ршать операции . Объединением двух событий С = А U В называется событ ие С , кото рое происходит тогда и только тогда , когда происходит хотя бы одно из этих собы тий А и В . Пересечен ием двух событий D = A яяя В называется событие , к оторое происходит тогда и только тогда , ко гда происходят события и А и В . Пусть А – некото рое событие . Тогда противоположным событию А * к собы тию А назы вается такое событие , которое происходит тогд а и только тогда , когда не прои схо дит событие А . Рассмотрим некоторую совокупность событий А , В,…, L . Эти события принято называть единственно возможн ыми , если в результате кажд ого испытания хотя бы одно из них нав ерное наступит . Говорят также , что рассматрива емые события образуют полную группу соб ытий . Так , например , при бросании игральной кости полную группу образуют события , состо ящие в выпадении одного , двух , трёх , четырё х , пяти и шести очков. Одним из важных вопросов теории веро ятностей является то , откуда берутся значения вероятнос тей исходов испытаний , ведь вероятности всех остальных событий мы будем получать , опираясь именно на эти вероятно сти . Здесь возможны два случая : а ) по каким – либо соображениям си мметрии мы считаем все элементарные исходы равновозможными , в этом случае и меем p 1 = p 2 =… = p n , а так как p 1 + p 2 +… + p n =1 , то все p k равны 1/ n , p k = / n , 1<= k <= n ; б ) вероятности p 1 ,…, p n исход ов X 1 ,…, X n определены предварительным проведением серии опытов , в этом случае за pk принимают относительную частоту случаев , в которых произ ошло элементарн ое событие X k ( т.е . отношение m k / M числа m k таких случаев к общему чи слу M проведённых испытаний ). Подход а ) называется классической схемо й теории вероятностей , а подход б ) – с татистический подход . Например , если после про верки 1000 детале й оказалось , что среди н их 3 бракованные , то принимают , что вероятность брака равна 0,003, или же 0,3%.В статистике и зучается вопрос : какое число испытаний нужно произвести , чтобы полученные статистическим путём вероятности были достаточно надёжными ? Тепе рь мы можем пе рейти к рассмотрению важнейшего понятия вероя тности события . Вероятность события А в науке обозн ачают символом P (А ) , где P – начальная буква французского слова Probabilite – вероятность , А – сл ово Accident – случайность , происшеств ие. Рассмот рим систему конечного числа событий А 1 , A 2 , .... А n относительно которой сделаем следующие предположения : 1. Эти события попарно несовместны ; иначе говоря , д ля любых двух событий A i и А k ( i , k = 1, 2, ...., n , i я k) появлен ие одного из них исключает появл ение другого. 2. События A 1 ,A 2 ,...,A n единственно в озможны , то есть какое-либо одно из них непременно должно наступить. 3. События A 1 ,A 2 ,...,A n равновозможны . Это оз начает , что не существует никаких объективных причин , вследствие которых од но из них могло бы наступить чаще , чем какое-либ о другое. Пусть имеется событие A , которое на ступает при появлении не которых из наших “элементарных” событий A 1 ,A 2 ,...,A n и не на с тупает при появлении других . Мы будем гово рить в таком случае , что те из “элемен тарные” соб ытий А i , при н аступлении которых наступает также событие A , благоприят ствуют событию A . Допустим , что из общего числа п ра ссматриваемых событий A 1 ,A 2 ,...,A n событию А благоприятствует m из них . Тогда вероят ностью события A называется отношение числа событ ий , благо приятствующих событию А , к общему числу всех равновозможных событий . Е сли , как это принято , обозначить вероятность события A через Р (A) , то мы получаем по определению Р (A)= m/n __ Поясним при веденное нами определение примером . Рассмотрим бросание игральной кости и обозначим через A 1 ,A 2 ,...,A n события , состоящие в выпадении соответс твенно одного , двух,… , шести оч ков . Эти соб ытия удовлетворяют всем сделанным выше предпо ло жениям . Отсюда следует , что P(A 1 )=P(A 2 )=… +P(A 6 )=1/6 потому что каждому из эт и х событий благоприятствует только оно само , так что здесь m = 1, а n = 6. 1 Если событие А означает появление четного числа очков , то ему благоприятствую т события A 2 , А 4 , А 6 , состоящие в появлении двух , четырех и шести очк ов . Поэтому для события А имеем m= 3, так что Р (А ) = 3/6 =1/2. Пусть событие В состоит в появлении числа о чков , кратного трем . Тогда событию В благоприятствуют “элементарные” события А 3 и А 6 , откуда следует , что для события В имеем т = 2. Поэтому Р (В ) =2/6 = 1/3. Легко заметить , что дл я любого события А число благоприятст вующих событий m удовлетворяет неравенствам 0 < m < n . По этому вероятность любого соб ытия А подчинена условиям 0<=P(A)>=1 Далее , если обозначить через Е некоторое достоверное событие , то ему , очевидно , должны благоп риятствоват ь все “элементарные” события А i , так что для него должно бы ть m = n . Поэтому вероят ность достоверного события равна единиц : Р (Е ) =1. Если , наобор от, U — нев озможное событие , то из самого опре деления следует , что здесь m = 0 , так что вероятност ь невозможно го события равна нулю : P(U)= 0 . Рассмотрим несколько примеров , р азъясняющих введенное нами понятие вероятности. Пример 1. В урне находятся три синих , восемь красных и десять белы х шаров одинакового размера и веса , неразл ичимых наощупь . Шары тщательно перемешаны . Какова вероятность по явления синего , красного и б елого шаров при одном вынимании ша ра из урны ? Решение . Так как появление любого шара можно счит ать равновозможным , то мы имеем всего n=3+8+9=20 э лемен тарных событий . Если через А , В , С обозначить события , состоя щие в появлений соответственно синего , красного и белого шаров , а через m 1 ,m 2 ,m 3 — число благоприятствующих этим событиям слу чаев , то ясно , что m 1 =3,m 2 =8,m 3 =9. Поэтому P(A) =3/20=0,15; P(B) =8/20=0,40; P(C) =9/20=0,45. Пример 2 . Одновременно брошены две монеты . Какова ве роятность появления m гербов (m = 0, 1,2 )? Решение. Рассмотрим возможные при бросании двух монет исходы . Очевидно , их можно описать схемой ГГ , ГР , РГ , РР, где Г означает в ыпадение герба , а Р — надписи . Т ак им образом , возможны четыре элементарных собы тия . Поскольку монеты пред полагаются однородными и имеющими геометрически правильную форму , то нет никаких оснований предполагать , что одна из сторон какой-либо монеты выпадает чаще других . Поэтому все четыр е слу чая следует считать равновозможными . Но тогда , обозначив через P m вероятность выпадения m гербо в , легко получим : P 0 =1/4; P 1 =2/4=1/2; P 2 =1/4. Пример 3. Одновременно бросаются две игральные кости , на гранях которых нанесены очки 1, 2, 3, 4, 5, 6. Какова вероят ность того , что сумма очков , выпавших на двух костях , равна восьми ? Решение. Так как любое из возможного числа очков на од ной кости может сочетаться с любым числом очков па другой , то общее число различных случаев равно n = 6 * б = 36. Легк о убе диться в том , что все эти случаи попар но несовместны , равновозможны и образуют полн ую группу событий . Для ответа на вопрос сле дует подсчитать , в каком числе случаев сумма очков равна восьми . Это будет , е сли число очков на брошенных костях равно 2 + 6, 3 + 5, 4 + 4, 5 + 3, 6 + 2, причем перв ое слагаемое означает число очков на перв ой , а второе - на второй кости . Отсюда в идно , что событию А , состоящему в том , что сумма очков , выпавших на двух костях , равна восьми , благоприятствует m = 5 случаев . Поэтому P(A)=5/36. Пример 4. В мешке лежат 33 жетона , помеченные буквами р усского алфавита . Из него извлекают жетоны и записывают соот ветствующие буквы , причем вынутые жетоны обратно не возвра щают . Какова вероятность того , что при этом получится слово “око” ? с лово “ар” ? Решение. Ошибочно было бы решать задачу так : вероя т ность извлечения любой буквы равна 1/33, поэтому вероятность сло жить слово “око” равна 1/33^3, а вероятность сложить слово “ар” равна 1/33^2. Это было бы верно , если бы последовател ьные извлеч е ния жетонов из мешка был и независимы друг от друга . Но так как жетоны обратно в мешок не возвращаются , то , вынув в первый раз букву “о”, мы уже не получим ее при третьем извлечении . П оэто му вероятность получить слово “око” равн а нулю . Чтобы найти вероят ность получе ния слова “ар” , заметим , что при двух и звле чениях букв получаются всевозможные размещен ия без повторе ний из 33 букв по две , при чем очевидно , что любые два таких раз меще ния равновероятны. Так как общее число этих раз мещений равно (А 33 ) 2 =33 . 32=1056 , т о вероятность сложить слово “ар” равна 1/1056. Этот пример показывает , что при решени и многих задач теории вероятностей оказываютс я полезными формулы комбинаторики — при определенных условиях у нас с равной веро ятностью получа ются размещения с повторени ями (если , например , жетоны извле каются и п отом возвращаются обратно ), размещения без пов торе ний (если жетоны не возвращаются обратно ), перестановки с повторениями и без повто рений , сочетания и т . д . Долгое время комбинаторику вообще рас с матривали ка к вспомогательную дис циплину для теории веро ятностей , но теперь она приобрела само стоятел ьное значение. Сложные ве роятности . Теоремы сложения . Непосредственный подсчёт случаев , благоприятствующих данному событию , может оказаться затруднител ьным . Поэтому для определения вероятности события б ывает выгодно представить данное событие в виде комбинации некоторых других , более про стых событий . Приведём теоремы , с помощью которых можно по вероятностям одних случайных событий вычислять вероятности д руг их случайных событий , каким – либо образо м связанных с первыми . Начнём с теорем , которые образуют группу с общим названием “теоремы сложения”. Теорема 1. Пусть А и В – два несовместных событ ия . Тогда вероятность того , что осуществится хотя бы одно из эт их двух событ ий , равна сумме их вероятностей : P(A U B)=P(A)+P(B). Доказательство. Обозначим и сходы , благоприятные для события А , через а 1 ,а 2 ,…,а m , а для события В – через b 1 ,b 2 ,… ,b n . Вероятности этих исходов обозначим соответственн о через p 1 ,p 2 ,… ,p m и q 1 ,q 2 ,… ,q n . Тогда событию A U B благоприятны все исходы a 1 ,a 2 ,… ,a m , b 1 ,b 2 ,… ,b n . В силу того что событи я А и В несовместны , ср еди этих исходов нет повторяющихся . Поэтому вероятность события А U B равна сумме вероятн остей этих исходов . т.е. P ( A U B )=p 1 +p 2 +… +p m +q 1 +q 2 +… +q n . Но p 1 +p 2 +pm= P (A), q 1 +q 2 +q n = P (B), а потому P(A U B)=P(A)+P(B). Теорема доказана. Пример 1. Стрелок стреляет в мишень . Вероятность выби ть 10 очков равна 0,3 , а вероятность выбить 9 оч ков равна 0,6. Чему равна вероятность выбить не менее 9 очков ? Решение . Событие А “выбить не менее 9 очков” является объединение м событий В - “выбить 10 очков” и С – “выбить 9 очков” . При этом события В и С несовместны , так как нел ьзя одним выстрелом выбить сразу и 9, и 10 очков. Поэтому по теореме 1 имеем : P(A)=P(B)+P(C)=0,3+0,6=0.9. Если события А 1 , А 2 , … ,А n попар но несовместны , то событие A 1 U … U A n-1 несовместно с событием A n . В с амом деле , ( A 1 U… UA n-1 ) I A n =(A 1 яяя A n )U… U(A n-1 яяя A n ) . Но п ри s
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Диагностика достигла таких успехов, что здоровых людей практически не осталось.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Зарождение науки о закономерностях случайных явлении", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru