Реферат: Замечательные кривые в математике. Прямая, окружность, циклоида, кривая кратчайшего спуска, спираль Архимеда, лемниската, Т. Барианшона, Т. Паскаля - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Замечательные кривые в математике. Прямая, окружность, циклоида, кривая кратчайшего спуска, спираль Архимеда, лемниската, Т. Барианшона, Т. Паскаля

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 355 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

15 П л а н Стр. Пряма я и окружность 3 Циклоида 5 Кривая кратчайшего спуска 6 Спираль Архимеда 7 Логарифмическая спираль 9 Теорема Паскаля 10 Теорема Барианшона 12 Лемниската Бернулли 13 Список литературы 15 Прямая и окружность Прямая и окружность - две наиболее простые и вместе с тем наиболее замечательные по своим свойствам кривые . Любой человек знаком с прямой и окружностью больше , чем с другими кривыми . Но пус ть он не думает , что ему хорошо известны все важнейшие свойства прямых и окружностей . Знает ли он , например , что если вершины двух треугольников АВС и A'B'C' лежат на трех прямых , пересекающихся в одной точке 5 (рис . 1), то тогда три точки М , К., L пересеч ения соответственных сторон треугольников АВ с А 'В ', ВС с В 'С ' и АС с А 'С ' должны находиться на одной и той же прямой ? Рис . 1. Рис . 2. Читателю , конечно , известно , что точка М , которая движется по плоскости , оставаясь на равных расстояниях от двух неподвижных точек F 1 и F 2 той же плоскости , т . е . так , что MF 1 = MF 2 ; описывает прямую (р ис . 2). Но , вероятно , он затруднится ответить , какую кривую опишет точка М , если ее расстояние до точки F 1 будет в определенное число раз превосходить расстояние до точки F 2 (например , вдвое , как на рис . 3). Оказывается , что этой кривой является окружность . Следовательно , если точка М движется по плоскости так , что ее расстояние до одной из двух неподвижных точек F 1 и F 2 плоскости будет изменяться пропорционально расстоянию до другой точки : Рис . 3. MF 1 = k MF 2 , то М будет описывать либо прямую (когда коэффициент пропорциональности k равен единице ), либо окружность (когда коэффициент пропорциональности отличен от единицы ). Рис . 4. Рассмотрим кривую , описываемую точкой М так , что сумма расстояний этой точки до двух неподвижных точек F 1 и F 2 остается неизменной . Возьмем нить , концы ее привяжем к двум булав кам и воткнем эти булавки в лист бумаги , оставляя сначала нить ненатянутой . Если оттянуть теперь нить с помощью вертикально поставленного карандаша и затем передвигать карандаш , слегка придавливая его к бумаге и следя за тем , чтобы нить была натянутой (ри с . 4), то острие М карандаша опишет кривую овальной формы (похожую на сплющенный круг ); она называется эллипсом. Чтобы получить полный эллипс , придется перекинуть нить на другую сторону от булавок , после того как будет описана одна половина эллипса . Очевидн о , что сумма расстояний от острия М карандаша до булавочных проколов F 1 и F 2 остаётся неизменной во все время движения ; эта сумма равна длине нити. Рис . 5. Проколы булавок отмечают на бумаге две точки , называемые фокусами эллипса . Слово фокус в переводе с латинского означает “очаг” , “огонь” ; оно оправдывается следующим замечательным свойством эллипса. Если изогнуть узкую полоску хорошо отполированного металла по дуге эллипса и поместить точечный источник света (“огонь” ) в одном фокусе , то лучи света , отразившись от полоски , соберутся в другом фокусе ; поэтому и во втором фокусе будет также виден “огонь” - изображение первого (рис . 5.). Циклоида Приложим к нижнему краю классной доски линейку и будем катить по ней обруч или круг (картонный или деревянный ), прижимая его к линейке и к доске . Если прикрепить к обручу или кругу кусок мела (в точке соприкосновения его с линейкой ), то мел бу дет вычер чивать кривую (рис . 37), называемую циклоидой (что по-гречески значит “кругообразная” ). Одному обороту обруча соответствует одна “арка” циклоиды MM'M''N', если обруч будет катиться дальше , то будут получаться еще и еще арки той же циклоиды. Рис . 6. Чтобы построить на бумаге приближенно одну арку циклоиды , описанную при качении обруча диаметром , равным , например , трем сантиметрам , отложим на прямой отрезок , равный 3х 3,14 = 9,42 см. .Получим отрезок , длина которого равна длине обода обруча , т . е . длине окружности диаметром в три сан тиметра . Разделим далее этот отрезок на некоторое число равных частей , например на 6, и для каждой точки деления изобразим наш обруч в том его поло жении , когда он опирается именно на данную точку (рис . 38), занумеровав эти положения цифрами : О , 1, 2, 3, 4, 5, 6. Чтобы перейти из одного положения в соседнее , обруч должен повернуться на одну шестую полного оборота ^так как расстояние между со седними точками деления равно шестой части окружности ). Поэтому если в положении 0 мел будет находиться в точке М 0 , то в положении 1 он будет лежать в точке M 1 - на одной шестой окружности от точки касания , в положении 2 - в точке М 2 - на две шестых от точ ки касания и т . д . Чтобы получить точки M 1 , M 2 , М 3 и т.д ., нужно лишь производить засечки соответствующей окружно сти , начиная от точки касания , радиусом , равным Ри с . 7. 1,5 см , причем в положении 1 нужна одна засечка , в положении 2 - две засечки , выполненные одна за другой , в положении 3 - три засечки и т . д . Теперь для вычерчивания циклоиды остается соединить точки М 0 , M 1 , М 2 , М 3 , M 4 , M 5 , M 6 плавной кривой (на глаз ). Кривая кратчайшего спуска Среди многих замечательных свойств циклоиды от метим одно , из-за которого она заслужила громко звучащее мудреное название : “брахистохрона” . Это название составлено из двух греческих слов , означающих “ кратчайший” и “время”. Рассмотрим такой вопрос : какую форму следует придать хорошо отшлифованному металлическому желобу , соединяющему две заданные точки А и В (рис . 8.), чтобы полированный металлический шарик скатывался по этому желобу из точки А в точку В в кратчайшее время ? На первый взгляд кажется , что нужно остановиться на прямолинейном желобе , так как только вдоль него шарик пройдет кратчайший путь от А до В . Однако речь идет не о кратчайшем пути , а о кратчайшем времени ; время же зависит не только от д лины пути , но и от скорости , с которой бежит шарик . Если желоб прогнуть вниз , то его часть , начиная от точки А , будет круче опускаться вниз , чем в случае прямолинейного желоба , и шарик , падая по Рис . 8. нему , приобретет скорость большую , чем на участке такой же длины прямолинейного желоба . Но если сде лать начальную часть очень крутой и сравнительно длинной , то тогда часть , примыкающая к точке В , бу дет очень по логой и также сравнительно длинной ; первую часть шарик пройдет быстро , вторую очень медленно и шарик может запоздать с приходом в точку Рис . 9. В . Итак , желобу , по- видимому , нужно придавать вогнутую форму , но делать выгиб не слишком значительным. Итальянский физик и астроном Галилей (1564 - 1642) думал , что желоб кратчайшего времени нужно выгибать по дуге окружности . Но швейцарские математики братья Бернулли около тр ехсот лет тому назад доказали точным расчетом , что это не так и что желоб нужно выгибать по дуге циклоиды (опрокинутой вниз , рис . 9.). С тех пор циклоида и заслужила прозвище брахистохроны , а доказательства Бернулли послужили , началом новой отрасли матема т ики - вариационного исчисления . Последнее занимается оты сканием вида кривых , для которых та или иная интересующая нас величина достигает своего наименьшего (а в некоторых вопросах - наибольшего ) значения. Спираль Архимеда Вообра зим бесконечно длинную секундную стрелку , по которой , начиная от центра циферблата , неутомимо бежит маленький жучок с постоянной скоростью v см /с . Через минуту жучок будет на расстоянии 60 v см от центра , через две - 120 v и т.д . Вообще , через t секунд после начала пробега расстояние жучка от центра будет равно vt см . За это время стрелка повернется на угол , содержащий 6 t° (ведь за одну секунду она успевает повернуться на угол 360° :60 = 6° ). Поэтому положение жучка на плоскости циферблата через любое число t секунд после начала движения находится так . Нужно отложить от начального положения стрелки в направлении ее вращения угол а , содержащий 6t°, и отмерить от центра вдоль нового положения стрелки расстояние r = vt см . Тут мы и настигнем жучка ( рис . 10.). Рис . 10. Очевидно , что соотношение между углом поворота a стрелки (в градусах ) и пройденным расстоянием r ( в сантиметрах ) будет такое : r = (va)/6 Иными словами , r пря мо пропорционально a , причем коэффициент пропорциональности k = v/6 . Приладим к нашему бегуну маленькую , но неистощимую баночку с черной краской и допустим , что краска , вытекая через крошечное отверстие , оставляет на бумаге след от уносимого вместе со стре лкой жучка . Тогда на бумаге будет постепенно вырисовываться кривая , впервые изученная Архимедом (287 - 212 до н.э .). В его честь она называется спиралью Архимеда . Нужно только сказать , что у Архимеда не было речи ни о секундной стрелке (тогда и часов с пр у жиной не было : их изобрели только в XVII в .), ни о жучке . Мы ввели их здесь для наглядности. Рис . 11. Рис . 12. Спираль Архимед а состоит из бесконечно многих витков . Она начинается в центре циферблата , и все более и более удаляется от него по мере того , как растет число оборотов . На рис . 42 изображены первый виток и часть второго. Вы , наверное , слышали , что с помощью циркуля и лин ейки невозможно разделить на три равные части наудачу взятый угол (в частных случаях , когда угол содержит , например , 180° , 135° или 90° , эта задача легко решается ). А вот если пользоваться аккуратно на черченной архимедовой спиралью , то любой угол можно р а зделить на какое угодно число равных частей. Разделим , например , угол АОВ на три равные части (рис . 12.). Если считать , что стрелка повернулась как раз на этот угол , то жучок , будет находиться в точке N на стороне угла . Но когда угол поворота был втрое мен ьше , то и жучок был втрое ближе к центру О . Чтобы найти это его положение , разделим сначала отрезок ON на три равные части . Это можно сделать с помощью циркуля и линейки . Получим отрезок ON 1 , длина которого втрое меньше , чем ON. Чтобы вернуть жучка на спир аль , нужно сделать засечку этой кривой радиусом ON 1 (снова циркуль !). Получим точку М . Угол АОМ и будет втрое меньше угла AON. ЗАДАЧИ АРХИМЕДА Самого Архимеда занимали , однако , другие , более трудные задачи , которые он сам поставил и решил : 1) найти площад ь фигуры , ограниченной первым витком спирали (на рис . 11. она заштрихована ); 2) получить способ построения касательной к спирали в какой-либо ее точке N. Замечательно , что обе задачи представляют собой самые ранние примеры задач , относящихся к математическ ому анализу . Начиная с XVII в ., площади фигур вычисляются математиками с Помощью интеграла , а касательные проводятся с помощью производных . Поэтому Архимеда можно назвать предшественником математического анализа. Для первой из названных задач мы просто ука жем результат , полученный Архимедом : площадь фигуры составляет точно 1/3 площади круга радиуса О А . Для второй задачи можно показать ход ее решения , несколько упростив при этом рассуждения самого Архимеда . Все дело в том , что скорость , с которой жучок опи с ывает спираль , в каждой точке N направлена по касательной к спирали в этой точке . Если будем знать , как направлена эта скорость , то и касательную построим. Но движение жучка в точке N складывается из двух различных движений (рис . 13.): одно - по направлени ю стрелки со скоростью v см /с , а другое - вращательное по окружности с центром в О и радиусом О N. Чтобы представить последнее , допустим , что жучок замер на мгновенье в точке N. Тогда он будет уноситься вместе со стрелкой по окружности радиуса ON. Скорость последнего вращательного движения направлена по касательной к окружности . А какова ее величина ? Если бы жучок мог описать полную окружность радиуса ON, то за 60 секунд он проделал бы путь , равный 2л ON [см ]. Так как скорость при этом оставалась бы постоянн ой по величине , то для ее отыскания нужно разделить путь на время . Получим : (2 л ON )/60 = ( л ON)/30 [ см /с ] т . е . немногим более , чем : 0,1 ON [ см /с ] ( л /30 3,14/30 0,105). Теперь , когда мы знаем обе составляющие скоро сти в точке N: одну по направлен ию ON, равную v см /с , и другую , к ней перпендикулярную , равную ( л ON)/30 см /с , остается сложить их по правилу параллелограмма . Диагональ представит скорость составного движения к вместе с тем определит направление касательной NT к спирали в данной точке. Логарифмическая спираль Кривую эту можно было бы назвать по имени Декарта , так как впервые о ней говорится в одном из его писем (1638 г .). Однако подробное изучение ее свойств было проведено только полвека спустя Якобом Бернулли . На современных ему математиков эти свойства произвели сильное впечатление . На каменной плите , водруженной на могиле этого знаменитого математика , изображены витки логарифмической спирали. Архимедову спираль описывает точка , движущаяся вдоль луча (“бескон ечной стрелки” ) так , что расстояние от начала луча возрастает пропорционально углу его поворота : r = ka. Логарифмическая спираль получится , если потребовать , чтобы не само расстояние , а его логарифм возрастал прямо пропорционально углу поворота . Обычно ура внение логарифмической спирали записывают , пользуясь в качестве основания системы логарифмов неперовым числом е (п . 25). Такой логарифм числа r называют натуральным логарифмом и обозначают In r . Итак , уравнение логарифмической спирали записывается в виде l n r = ka Конечно , угол поворота а можно измерять по-прежнему в градусах . Но математики предпочитают измерять его в радианах , т . е . принимать за меру угла отношение длины дуги окружности между сторонами центрального угла к радиусу этой окружности . Тогда лов орот стрелки на прямой угол будет измеряться числом л 1,57 , поворот на величину развернутого угла - числом л 3,14, а полный поворот , измеряемый в градусах числом 360, в радианах будет измеряться числом 2 л 6,28. Рис . 13. Из многих свойств логарифмической спирали , от метим одно : любой луч , выходящий из начала , пересекает любой виток спирали под одним и тем же углом . Величина этого угла зависит только от числ а k в уравнении спирали . При этом под углом между лучом и спиралью понимается угол между этим лучом и касательной к спирали , проведенной в точке пересечения (Рис . 13). Теорема Паскаля Б . Паскалю (1623 — 1662) не было еще и 17 лет , когда он открыл замечательное общее свойство конических сечений . Об его открытии математикам поведала афиша , отпечатанная в количестве 50 экземпляров ; только два из них дошли до нашего времени . Несколько таких афиш были расклеены на стенах домов и церквей Парижа . Пусть читатель не удивляется этому . Ведь тогда (1640 г .) еще не было научных журналов , на страницах которых можно было бы рассказывать другим ученым о своем открытии . Такие журналы появились лишь четверть века спустя , почти одновременно во Франции и Англии . Но вернемся к Паскалю. Хотя его афиша и была напечатана на французском языке , а не на латинском , как это было тогда принято , парижане , глазея на нее , вряд ли могли понять , о чем там идет речь . Настолько сжато , без доказательств и пояснений излага л молодой гениальный автор свои мысли. В начале афиши после трех определений шла под названием “леммы 1” теорема , которую мы перескажем здесь другими словами . Отметим на окружности какие-либо шесть точек , перенумеруем в любом порядке (не обязательно в том, в каком они расположены на окружности ) и соединим их отрезками пря мых ; последний из них свяжет шестую точку с первой (рис . 14). Теорема Паскаля утверждает , что три точ ки пересечения прямых , полученных продолжением этих шести отрезков , взятых через две : первой с четвертой , второй с пятой и третьей с шестой , будут лежать на одной и той же прямой. Рис . 14. Попробуйте сами сделать несколько опытов , разбрасывая по-разному точки на окружности (рис . 15). Рис . 15. При этом может случиться , что какие-либо прямые , пересечение которых мы ищем , например , первая и четвертая , окажутся параллельными . В этом случае теорему Паскаля нужно понимать так , что прямая , соединяющая две д ругие точки пересечения , параллельна указанным прямым (рис . 16). Рис . 16. Наконец , если вдобавок окажутся параллельными между собой и вторая прямая с пятой , то в э том специальном случае , теорема Паскаля утверждает , что и прямые последней пары - третья и шестая - окажутся параллельными . Рис . 17. С таким случаем мы встретимся , например , когда точки на окружности являются вершинами правильного вписанного шестиугольника , перенумерованными в порядке следования на окружности (рис . 17). Паскаль не ограничился тем , что сформулировал свою теорему для окружности . Он заметил , что она д олжна оставаться верной , если вместо окружности взять любое коническое сечение : эллипс , параболу или гиперболу . На рис . 18 дается иллюстрация к теореме Паскаля для случая параболы. Рис . 18. ТЕОРЕМА БРИАНШОНА Французский математик Шарль Брианшон (1783 — 1864) обнаружил в 1806 г ., что верна следующая тео рема , которая , как мы увидим , является своего рода перевертышем по отношению к теореме Пас каля. Проведем 6 касательных к окружности (или к любому коническому сечению ), перенумеруем их в каком-либо порядке и найдем последовательные точки Рис . 19. пересеч ения (рис . 19). Теорема Брианшона утверждает , что три прямых , соединяющих шесть точек пе ресечения , взятых через две : первой с четвертой , второй с пятой , третьей с шестой , пересекаются в одной точке. Рис . 20. Чтобы подчеркнуть тесную связь между формулировками двух теорем , Брианшон записал обе формулировки в двух столбцах , одну против другой (следите за рис . 20, где слева пояснена теорема Паскаля , а справа - Брианшон а ). Теорема Паскаля Пусть 1,2,3,4,5,6 - шесть каких-либо точек на коническом сечении. Соединим их по порядку прямыми I ,II, III , IV, V и VI и найдем три точки пересечения этих шести прямых , взятых через две : I с IV, II с V и III с VI. Тогда эти три точки бу дут лежать на одной прямой. Теорема Бриаишона Пусть 1,2,3,4,5,6 - шесть каких-либо каса тельных к коническому сечению. Найдем по порядку точки их пересечения I , II , III, IV,V и VI и соеди ним прямыми эти шесть точек , взятых через две : I с IV, II с V, III с VI. Тогда эти три прямые будут пересекаться в од ной точке. Очевидно , что для перехода от одной формулировки к другой достаточно произвести такие замены одних слов и выражений на другие : вместо точек - касательные , вместо “соединять точки прямыми” - “наход ить точки пересечения прямых” , вместо “три точки лежат на одной прямой” - “три прямые пересекаются в одной точке” . Короче можно сказать , что при этом переходе прямые и точки меняются между собой ролями . В проективной геометрии указываются условия , при кот о рых в результате подобной замены из одной верной теоремы (не обязательно теоремы Паскаля ) получается другая теорема , также верная . Это так называемый принцип двойственности , позволяющий доказывать из двух геометрических теорем только одну . Другая будет ве р ной , так сказать , автоматически. Лемниската Бернулли Обратимся к кривой , описываемой точкой М на плоскости так , что остается неизменным произведение р расстояний этой точки до двух определенных точек F 1 и F 2 той же плоскости . Такая кривая называется лемнискатой (лемниската по-гречески значит “ленточ ная” ). Если длина отрезка F 1 F 2 есть с , то расстояния от середины О отрезка F 1 F 2 до F 1 и F 2 равны с /2 и произведение этих расстояний равно – с 2 /4. Потребуем сн а чала , чтобы величина р неизменного произведения равнялась как раз с 2 /4; тогда Рис . 21 точка О будет лежать на лемнискате , а сама лемниската будет иметь вид “лежащ ей восьмерки” (рис . 21). Если продолжить отрезок F 1 F 2 в обе стороны до пересечения с лемнискатой , то получим две точки А 1 и А 2 . Выразим расстояние между А 1 А 2 = х через известное расстояние с : (х /2+с /2)(х /2-с /2)=х 2 /4-с 2 /4. Если величину неизменного произвед ения р взять не равной с 2 /4, то лемниската изменит свой вид . И при р меньше с 2 /4, лемниската состоит из двух овалов , каждый из которых содержит точки F 1 и F 2 , соответственно (рис .22). Рис . 22 Т.о . задавая различные условия для р и с 2 /4 будем получать лемнискаты различного вида (рис . 23). Рис . 23 Возьмем теперь на плоскости любое количеств точек. F 1 ,F 2 , ..., F n и заставим точку М двигаться так , чтобы для нее оставалось неизменным произведение расстояний до каждой из взятых точек . Получим Кривую , форма которой будет зависеть от того , как расположены точки F 1 ,F 2 , ..., F n друг относительно друга и какова величина неизменного произведения . Кривая эта называется лемнискатой с n фокусами. Выше мы рассматривали лемнискаты с двумя фокусами . Беря разное число фокусов , располагая их по-разному и назначая ту или иную величи ну для произведения расстояний , можно получать лемнискаты самых причудливых очертаний . Будем вести острие ка рандаша из некоторой точки А , не отрывая от бумаги , так , чтобы оно в конце вернулось в исходную точку А . Тогда оно опишет некоторую кривую ; мы пот р ебуем только , чтобы эта кривая нигде не пересекала Рис . 24 самое себя . Очевидно , что таким путем могут получиться кривые , имеющие , например , очертания человеческой головы или птицы (рис . 24). Оказывается , что , имея такую произвольную кривую , можно так подобрать число п и расположение фокусов F 1 ,F 2 , ..., F n и назначить такую величину для неизменного произведения расстояний М F 1 М F 2 … М F n = p что соответствующая лемниск ата на глаз не будет отличаться от этой кривой . Иными словами , возможные отклонения точки М , описывающей лемнискату , от нарисованной кривой - не будут превосходить ширину карандашного штриха (карандаш можно заранее отточить как угодно хорошо так , что штрих будет очень узким ). Этот замечательный факт , говорящий о необычайном разнообразии н богатстве форм лемнискат с многими фокусами , доказывается совершенно строго , н o очень сложно , при помощи высшей математики. Список литературы 1. Маркушевич А.И ., Замечательные кривые , М ., 1978 г ., 48 стр . с илл.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Спор с женой лишен всякого смысла: в 90% случаев она окажется права, и только в 10% случаев ты окажешься виноват.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Замечательные кривые в математике. Прямая, окружность, циклоида, кривая кратчайшего спуска, спираль Архимеда, лемниската, Т. Барианшона, Т. Паскаля", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru